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A MATEMTICA COMO ESTRUTURANTE DO CONHECIMENTO FSICO

Maurcio Pietrocola1 Depto de Fsica UFSC Florianpolis SC Resumo As dificuldades enfrentadas no ensino das cincias muitas vezes acabam por induzir os professores a procurarem problemas onde eles no existem. Um caso particular disto ocorre quando professores de Fsica acabam por acreditar que seus alunos no aprendem os contedos ministrados por insuficiente formao matemtica. A este tipo de raciocnio subjaz a idia de que a Fsica se vale da Matemtica, enquanto instrumento para enunciar suas leis e princpios. O objetivo deste artigo mostrar que existe uma relao muito mais complexa entre ambas as disciplinas, que faz da Matemtica um estruturante do conhecimento fsico. Esta relao possui profundas implicaes para o ensino de Fsica.

I. Linguagem da cincia e dificuldades de ensino

Os contedos da cincia, quando comparados queles presentes na vida cotidiana, apresentam uma srie de barreiras para seu ensino: os conceitos nela presentes so por demais abstratos, mantendo uma relao indireta com situaes presentes no cotidiano; esto relacionados s situaes de observao que invariavelmente requerem equipamentos sofisticados, presentes apenas nos laboratrios; envolvem um estilo de raciocnio muito diferente daquele vulgarmente empregado pelas pessoas. Tais caractersticas permitem dimensionar o quo distante se encontra o mundo da cincia daquele do cidado comum. Alguns autores fazem meno a uma cultura cientfica muito diferente da cultura do senso comum (Joshua, 1993). Na comparao entre estas culturas, a linguagem utilizada tambm uma fonte de diferenciao importante, pois, ao contrrio do que ocorre no cotidiano, a cincia, normalmente, vale-se da Matemtica como forma de expressar seu pensamento. Seu emprego torna-se critrio de cientificidade, na fsica, na medida em que a incapacidade de expressar propriedades de sistemas em linguagem matemtica

1Com apoio parcial do CNPq.

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inviabiliza mesmo a possibilidade de admiti-las como hipteses para o debate cientfico.

No ensino da Fsica, a linguagem matemtica muitas vezes considerada como a grande responsvel pelo fracasso escolar. comum professores alegarem que seus alunos no entendem Fsica devido fragilidade de seus conhecimentos matemticos. Para muitos, uma boa base matemtica nos anos que antecedem o ensino de Fsica garantia de sucesso no aprendizado. Neste trabalho, pretende-se analisar o que h de verdadeiro neste argumento. Para tanto, ser necessrio primeiramente precisar o papel desempenhado pela Matemtica na constituio do conhecimento na Fsica, pois, enquanto conhecimento constitutivo das cincias naturais, vive, assim como o rochedo, o eterno dilema2 de se colocar entre o concreto e o abstrato, entre a razo e a experincia. Muitos a consideram apenas como ferramenta do mtodo emprico, este sim fonte de todo conhecimento possvel sobre a realidade. Para outros, se coloca como a prpria essncia da realidade, sendo a Fsica o mtodo de acess-la.

inegvel que a Matemtica est, hoje mais do que nunca, alojada de forma definitiva no seio da Fsica. Isto fica claro quando nos voltamos para os produtos da sua atividade cientfica. Nos livros e artigos, v-se que a Matemtica enche a cena do discurso cientfico atravs de elementos como funes, equaes, grficos, vetores, tensores, inequaes, geometrias, entre outros. Professores de todos os nveis no tm dvidas de que sem conhecimentos em Matemtica (e no se tratar de saberes simples medida em que se aprofunda na rea) no possvel exercer boa Fsica3. Boa parte dos cursos bsicos dedicado formao de uma slida base matemtica sobre a qual os conhecimentos fsicos possam ser assentados. Pensando nas primeiras fases dos cursos universitrios tradicionais (bacharelado e licenciatura), disciplinas eminentemente fsicas partilham o grosso dos currculos com disciplinas de Matemtica. Apenas pela estruturao curricular , muitas vezes, difcil saber se se trata de um legtimo curso de Fsica! Muitas vezes esta indiferenciao responsvel pela desmotivao de parte dos alunos que ingressam em tais cursos, por acharem que h pouca nfase no conhecimento que elegeram como formao profissional. O pedgio pago em contedo matemtico , por vezes, demasiado alto para aqueles que pretendem fazer Fsica, contribuindo para os elevados ndices de abandono do curso.

A formao para a pesquisa leva em conta o fato da Matemtica estar alojada, em definitivo, no corpo das cincias, produzindo currculos universitrios com forte nfase em contedos matemticos. A situao parece se encaminhar para

2 Paty afirma que isto se constitui num "drama entre o real e o abstrato simblico". Paty (1989), pag. 234. 3 O mesmo poderia ser dito de outras disciplinas, como a economia, por exemplo, que hoje busca sua identidade entre as reas das cincias sociais e das cincias ditas exatas.

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solues de pr-requisitos profissionais: no qual para fazermos Fsica, temos que conhecer Matemtica. E, portanto, temos que ensin-la! Porm, a questo colocada desta forma mascara o problema de saber como a Matemtica deve ser ensinada e, portanto, aprendida no contexto da Fsica. As suas eventuais solues devem se apoiar em uma anlise mais profunda sobre as relaes que a Fsica mantm com a Matemtica, que implicam em posturas didtico-pedaggicas completamente diferentes.

No Ensino Mdio, este problema assume contornos muito especficos, devido ao carter no profissionalizante do ensino. Na perspectiva de uma educao geral e formativa do cidado, os compromissos do ensino no se vinculam apenas com as necessidades intrnsecas da atividade profissional do fsico ou do cientista. O ensino das cincias no Ensino Mdio no pode e no deve, ser visto como um estgio anterior a uma formao cientfica profissional. O pedgio anteriormente citado torna-se fardo insuportvel para os alunos do Ensino Mdio, pois implica em pedir aos mesmos que se submetam ao ensino de algo sem justificativas a priori. preciso encontrar formas de mostrar qual o papel desempenhado pela Matemtica na aprendizagem da Fsica, pois o desinteresse a resposta freqentemente oferecida pelos alunos a um ensino de algo em que eles no vislumbram a pertinncia.

Na organizao curricular do Ensino Mdio, h uma estrutura de pr-requisitos que faz com que os contedos presentes numa disciplina articulem-se com aqueles presentes em outras. Na Fsica, a relao com a Matemtica sintomtica, e se coloca como um quebra-cabea de difcil soluo. Os professores de Fsica gostariam que seus alunos chegassem sala de aula com os pr-requisitos matemticos completos. Em contrapartida, os professores de Matemtica no aceitam, com razo, que sua disciplina seja pensada apenas como instrumento para outras disciplinas, impondo uma programao que nem sempre se articula com aquela da Fsica. No primeiro ano, em particular, a Cinemtica se apia fortemente em conhecimentos sobre funes que so anteriores ou dados em paralelo a esta. No incomum que os professores se esmerem na interpretao fsica de problemas, chegando a esboar solues num formalismo matemtico e digam: "daqui para frente s matemtica e a soluo completa disto vocs j aprenderam na outra disciplina". Isto sugere que, uma vez entendido o problema do ponto de vista fsico, dali para frente as competncias no so mais de responsabilidade daquele professor. A transformao do problema em um algoritmo matemtico e sua soluo passariam a depender de habilidades obtidas em outra disciplina. Muitas vezes, os professores de Fsica acabam por atribuir Matemtica a responsabilidade pelas dificuldades na aprendizagem e no naquilo que ensinam. Erros de alunos na resoluo de equaes do segundo grau, no clculo de coeficientes angulares de curvas em grficos, na soluo de sistemas de equaes etc, so comuns, reforando a idia de que se trata de falta de conhecimento matemtico. Admitir que boa parte dos problemas do

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aprendizado da Fsica se localiza no domnio da Matemtica reflete um posicionamento epistemolgico ingnuo - acaba-se por atribuir segunda funo de instrumento da primeira!

Esta concluso pode ser reforada pela anlise de algumas obras destinadas ao Ensino Mdio (que abordaremos mais adiante) e nas colocaes de alguns professores, pois, para muitos, a Fsica como a Matemtica"4. Isto se explica em parte, pelo fato das atividades na disciplina Fsica no Ensino Mdio, limitarem-se aos exerccios numricos e aos problemas fechados5. Embora exista conscincia por parte de alunos e professores de que a Fsica uma cincia da natureza e que relatos de experincias, observaes, laboratrios e dados empricos, etc., abundam nos livros e nos discursos didticos, as atividades escolares acabam por se restringir s aplicaes de formalismos matemticos e aos exerccios numricos extrados das teorias. Os exames vestibulares contribuem com este quadro, reforando a imagem da Fsica como sinnimo de um operacionalismo matemtico.6 Neste contexto, difcil escapar constatao ingnua de que Matemtica , por fora de origem, linguagem da Fsica, sendo, pois, seu instrumento. No contexto escolar, domin-la torna-se condio de sucesso.

, no entanto, precipitado aderir a esta concluso quando procuramos apoio numa anlise epistemolgica que busque entender a adequao entre conhecimento fsico e conhecimento matemtico. Pois para Lautman, "h um real fsico e o milagre a ser explicado que haja necessidade das teorias matemticas mais desenvolvidas para explic-lo".7 Esta questo, quando avaliada no contexto da educao cientfica, parece induzir a uma concluso preliminar: h necessidade de aprofundar a anlise estrutural do conhecimento fsico, para melhor avaliar a funo da Matemtica no seu ensino. Na forma como se apresenta, a Matemtica configura-se como um obstculo-pedaggico8. Colaborar para ultrapass-lo passa a ser funo deste trabalho.

II. Empiricismo, realismo ingnuo e Matemtica como descrio

Aprendemos a ver as leis fsicas expressas em linguagem matemtica. Embora parece natural que isto seja assim, uma incurso pela histria pode nos mostrar outras formas de expressar leis sobre o mundo. Na Antigidade, na Idade Mdia e no Renascimento, tambm se pensava sistematicamente sobre os fenmenos fsicos levando proposio de leis, sem que, no entanto, isto fosse feito em

4 Testemunho de um professor do curso de Especializao em Ensino de Fsica. 5 Peduzzi,2001. 6 Sobre os exames vestibulares, ver Pietrocola 1998 (mimeo) 7 Albert Lutman, apud Paty (1989), pag. 235. 8 Ver Astolfi 1994.

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linguagem matemtica. Se quisermos saber as leis do movimento propostas por Buridan e outros escolsticos, devemos inferi-las a partir dos tratados que escreverem em latim. O mesmo acontece com a Fsica aristtelica, espalhada por uma dezena de textos em grego arcaico, que ainda hoje so objeto de investigao de filsofos e historiadores da cincia. Foi com o advento da cincia moderna, no sculo XVII, com Galileu entre outros, que os fenmenos naturais comearam a ser sistematicamente expressos atravs de relaes matemticas, vindo a se tornar, tal prtica, um critrio de cientificidade. Esta prtica configura-se como herana da tradio pitagrica. Nela, a natureza era concebida atravs de analogias entre os fenmenos e relaes tiradas de formas idealizadas. A geometria era a linguagem da natureza por excelncia, sendo o mundo seu campo de inspirao e aplicao das relaes l produzidas. A Matemtica colocava-se como o revestimento de formas ideais que se acreditava estariam na prpria essncia da natureza. Com Galileu, temos uma pequena modificao desta forma de conceber o papel da Matemtica no processo de interpretao natural. Paty (1989) afirma que, para Galileu, a "Matemtica era concebida como um conhecimento que permitia uma leitura direta da natureza, da qual, precisamente, era a lngua".9 No contexto galileano, a geometria mantm seu status de linguagem preferencial do mundo, mas agora como recurso do pensamento para sua estruturao terica. Este processo se configura como uma "traduo matemtica", onde o cientista seria o tradutor pela sua capacidade de transitar entre os dois "idiomas": da natureza e da Matemtica. A evoluo nas relaes entre Fsica e Matemtica no termina com Galileu e, muito pelo contrrio, este apenas um dos primeiros episdios da longa histria de construo da mesma. Com a formao da "Fsica-matemtica", o papel de traduo passa a se constituir numa mediao propriamente fsica. Neste contexto, a matematizao concebida como inerente aos conceitos e suporte para a construo dos mesmos. Ampre (sc XIX) era um partidrio desta nova forma de concepo, pois seu procedimento visava "escolher o modo mais radical de abordagem conceitual, em vista da matematizao (do saber experimental) ... de encurtar ao mximo a distncia entre o discurso matemtico e os dados concretos que ele estava destinado a informar e esclarecer"10 Esta tradio se imps na pesquisa fsica estabelecida pelo uso, mostrando o poder do simblico que funciona por si prprio, chegando, hoje, ao seu maior requinte com as modernas teorias fsicas, onde impossvel pensar o emprico sem auxlio de um simbolismo matemtico altamente sofisticado.

9 Paty 1989, pag. 234. O autor acrescenta, em nota, que para Galileu esta lngua era basicamente a geometria. A evoluo da cincia mostra que pouco a pouco a lgebra foi tomando o lugar da geometria, em particular com o advento da mecnica newtoniana baseada na idia de ao instantnea a distncia. 10 Merleau-Ponty, apud Paty 1989, pag. 234, nota 3.

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Embora o papel da matemtica no interior das pesquisas fsicas tenha se modificado, os livros espelham ainda uma tradio muito prxima das antigas tradies pitagricas e galileanas. Isto pode ser constatado em algumas obras didticas destinadas ao Ensino Mdio.

No livro Fsica, de Ramalho et all. (1979), encontramos no captulo 1, a seo "Fsica e Matemtica". No seu nico pargrafo lemos o seguinte:

A matemtica ajuda muito a Fsica, simplificando a compreenso dos fenmenos. Uma frmula matemtica em um fenmeno fsico uma ajuda para sua compreenso e nunca deve ser assustadora para voc. Uma longa explicao necessria para chegarmos ao fato de que a energia de um corpo em movimento depende de sua massa e de sua velocidade; no entanto, recorrendo Matemtica, obtemos a frmula:

2. 2vmE =

Essa frmula estabelece que a energia E diretamente proporcional massa m e ao quadrado da velocidade v; e tambm, que a energia depende da massa m e da velocidade v. Assim, aos poucos voc ter de aprender a ler uma frmula e utiliz-la a seu favor.11 O autor parece aderir idia de que a Matemtica a linguagem da

natureza, substituindo com economia a linguagem comum (de palavras). Ao dizer que "a Matemtica ajuda a Fsica, simplificando a compreenso dos fenmenos", o autor acaba sugerindo a existncia de dois mundos: dos fenmenos e o nosso, que contm a Fsica. A Matemtica seria um meio de acesso entre ambos, indicando uma traduo. Assim, o extrato parece se alinhar com uma posio galilena, onde a lngua "natural" da natureza seria a Matemtica e no outra.

Um pouco diferente a colocao presente no volume 1 da coleo Fsica, de Bonjorno et all (1992). Na parte destinada descrio da cincia, l-se o seguinte:

Para estudar os fenmenos, a cincia procura, numa primeira etapa, estabelecer uma relao qualitativa entre eles. So as leis qualitativas... O conhecimento destas leis no suficiente e um estudo mais profundo sugere medidas quantitativas...

11 Ramalho, 1979, pag.4. Os itlicos so do original, negritos foram acrescentados.

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Quando se pode medir aquilo de que se est falando e exprimi-lo por nmeros, estabelecemos o que chamamos de lei fsica. Lei fsica a relao matemtica entre as grandezas que participam de um mesmo fenmeno (em destaque no texto).12 Aqui, o dilema entre o real e o abstrato parece receber soluo mais

radical pela identificao estrutural entre o domnio fenomenolgico e aquele da matemtica. Ao mencionar a necessidade de aprofundamento, visando o quantitativo, parece existir a inteno de inferir sobre a estrutura prpria dos fenmenos estudados. Ao atingir esta meta, chega-se a uma relao matemtica, que a lei fsica. Tal posio se aproxima da tradio pitagrica, acima apresentada, transformando, porm, a analogia dos pitagricos entre realidade e linguagem matemtica em expresso de uma identidade experimentalmente verificada. Interessante, ainda, notar que, neste trecho, podemos fazer uma leitura do papel presumido para o mtodo da produo da cincia. Ao passar do qualitativo ao quantitativo, seria preciso valer-se de tcnicas especiais, estas presentes na observao, na experimentao e na descrio matemtica precisa.

A posio expressa por estes autores sobre o papel desempenhado pela Matemtica no conhecimento fsico est longe de ser clara. No entanto, ela parece apontar para uma simplificao, que pretende identificar como natural que as leis fsicas sejam expressas matematicamente, contrastando com a afirmao anterior de Lautmann. Existia como que uma adequao de origem entre ambas seja pela linguagem prpria, seja pela essncia da natureza. Quando procuramos entender a forma como tais autores concebem os modos de produo do conhecimento fsico, torna-se mais fcil entender o papel atribudo por eles Matemtica. Nos mesmos livros, encontramos, em outras pginas, sees destinadas ao "Mtodo Cientfico", que em geral, so apresentados como um processo baseado na observao, medida e induo de leis,13 tributrios de um empiricismo ingnuo. No raro que o empiricismo se associe a um realismo tambm ingnuo e que aparea com freqncia na concepo dos livros-textos. Na mesma obra, o item intitulado Mtodo da cincia comea com a seguinte frase:

Na pesquisa de um fenmeno e das leis que o regem, deve-se obedecer a uma ordem progressiva, que constitui o mtodo da cincia. A Fsica utiliza-se de dois processos: a observao e a experimentao...14.

12 Bonjorno, 1992, volume 1, pag. 14. Os negritos esto no original. O itlico foi acrescentado. 13 Ramalho pag. 5 e Bonjorno14. Os autores tomam o cuidado de dizer que se trata de uma apresentao simplificada, o que apenas minora a ingenuidade na apresentao do processo de produo de conhecimento fsico. 14 Ramalho et al., op cit. pag. 14.

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Acredita-se na existncia de uma estrutura real para alm do que percebido pelos nossos sentidos, estes capazes apenas de atingir as aparncias. Esta estrutura seria a realidade ltima do mundo, sendo os conhecimentos verdadeiros aqueles que se referem a ela. O papel do cientista seria desvendar esta estrutura, formulando leis que se diferenciariam das demais leis possveis de serem formuladas sobre o mundo, por se apoiarem num mtodo seguro.

Este mtodo especial, dito cientfico, se revestiria numa espcie de cdigo de conduta a ser obedecido pelo pesquisador, com uma srie de requisitos a serem cumpridos ao longo de sua investigao: ser isento em suas observaes (observador neutro), buscando no se influenciar por concepes prvias; tornar a parte do mundo a ser estudada em fenmenos cientficos, de forma a que se possa estud-los sistematicamente, se possvel num laboratrio; diversificar as condies de observao de uma dada relao, buscando avaliar se se trata de uma relao verdadeira ou meramente fortuita; exprimir seus resultados de forma a que possam ser universalizados, atravs de testes feitos por outros cientistas; duvidar, sempre que possvel, das relaes obtidas entre fenmenos, antes de transform-las em conhecimento. Em relao forma de se conhecer o mundo, a cincia se diferenciaria de outras formas de conhecimento pelo uso de um mtodo especialmente desenvolvido para a produo de um conhecimento seguro. Ao contrrio das impresses primeiras, passageiras e superficiais, o conhecimento obtido atravs da cincia seria absoluto, definitivo e fundamental, pois seria apoiado num mtodo experimental. A base lgica de tal mtodo repousa na possibilidade de obter verdades gerais a partir de verdades particulares, sendo esta a lgica indutiva. 15

Dentro deste contexto, a importncia da Matemtica residiria na sua capacidade de descrio sinttica, pela exatido na apresentao dos resultados da investigao e pela possibilidade de comunicao universal sobre algo que se cr existir na prpria realidade e pela preciso garantida pela sua estrutura lgico-formal. Estas funes lhe confeririam um papel muito importante no contexto das cincias experimentais, como ferramenta do mtodo cientfico.

A preciso, por exemplo, estaria relacionada ao fato de podermos saber que a lei que descreve a interao eltrica entre dois corpos carregados expressa na forma F=K.q.q'/4r2 (lei de Colulomb) e no em outra qualquer. Apenas determinar que a fora eltrica diminui com o aumento da separao entre os corpos no se configura como atividade cientfica, pois isto pode ser inferido diretamente pelos sentidos em vrias situaes. Por outro lado, para determinar a forma como esta diminuio ocorre, isto , a lei precisa que determina a diminuio da fora, necessita-se de mtodos mais sofisticados. Isto seria possvel por meio de experincias quantitativas bem conduzidas de laboratrio, como tambm pela sntese

15 Chalmers 1993.

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destes resultados atravs de funes matemticas entre os valores de F e r. Os textos de Fsica, em particular, do a entender neste caso que se trata de uma lei verdadeira, pois expressa uma real dependncia dos fenmenos eltricos, ou seja, caracterstica da estruturao do mundo. Caso escrevssemos outra lei semelhante como:

F = K q.q'/4r3 ela estaria errada pois no descreveria a verdadeira estruturao da realidade eltrica.

Numa concepo emprico-realista, o conhecimento geralmente apresentado como o resultado de uma inquisio experimental natureza, seguida de uma confisso em cdigo matemtico. No bastaria ao cientista ser um bom inquiridor, pois , caso no soubesse descrever aquilo que obteve da natureza, no teria como formular leis verdadeiras sobre ela. A Matemtica tomaria parte no processo de produo de conhecimento como uma ferramenta/instrumento a ser utilizado na transcrio das snteses verdadeiras obtidas no trabalho cientfico. Seria como no caso de uma descrio verbal sobre algo que pode ser melhorado por uma fotografia. A tcnica fotogrfica aqui entendida como ferramenta, pois apenas melhora o nvel de informao da descrio, tornando-a mais fiel ao objeto. Desta forma, haveria dois momentos bem distintos na produo do conhecimento fsico: a elaborao do questionamento via experimentao, seguido de uma descrio em linguagem matemtica, buscando desvendar a estrutura do mundo.

Os empiricismo e realismo ingnuos como epistemologia implcita em muitos livros didticos permite melhor entender a forma como so concebidas em geral, as relaes entre a Matemtica e a Fsica. Ela se revestiria em instrumento do mtodo cientfico para a produo de conhecimento seguro.

III. Linguagem, comunicao e pensamento

O fato de conceber-se a Matemtica como instrumento da Fsica, alm da coerncia com a tradio emprico-realista, recebe reforo da prpria idia espontnea que se tem da linguagem. Dizemos tambm que a Matemtica a linguagem da Fsica! E aqui, linguagem parece exprimir o meio como os produtos da Fsica so apresentados/comunicados, pois, em geral, a linguagem est associada com cdigos que empregamos na comunicao. Na linguagem matemtica, smbolos, grficos, equaes, retas crculos, ngulos, entre outros so os cdigos, diferentemente do que ocorre na linguagem falada, onde tem-se palavras e sentenas.

Palavras nada mais so que sons codificados e partilhados por grupos. Se pensarmos nos demais habitantes deste planeta perceberemos que existem diversos tipos de cdigos, partilhados pelos mais diversos grupos de seres vivos. Apesar de no se constiturem em falas moda humana, estes cdigos so formas de comunicao eficientes, pois transmitem mensagens que podem ser entendidas. Em

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situaes mais comuns, sabemos que ces e gatos domsticos possuem meios de se comunicar. No difcil saber a mensagem enviada por um co que rosna e eria seus plos frente a um invasor. "Afaste-se!" diz ele, sem pronunciar nenhuma palavra. O mesmo ocorre com um gato que roa a perna de seu dono quando este chega a noite do trabalho, dizendo "estou com fome". A dana que as abelhas produzem ao encontrar uma regio rica em plen, ou o tocar de antenas das formigas, passando pela comunicao qumica entre plantas16 so exemplos de formas de comunicao utilizadas por outras espcies. Os macacos Rhesus so tidos como possuidores dos sistemas mais complexos de comunicao entre os animais. Utilizam-se de cerca de 20 sons diferentes e sabem fazer 20 gestos para se comunicar, perfazendo um total de 40 palavras. Pssaros, peixes, insetos, plantas desenvolveram linguagens como estratgia de sobrevivncia; linguagens que tm feito diferena na constante luta pela vida.

Em relao aos demais seres deste planeta, nossa linguagem muito complexa. Um indivduo conhece em mdia 4.000 palavras e as lnguas (portugus, francs, ingls etc) podem conter centenas de milhares de verbetes. Nos comunicamos mais e com mais preciso do que os demais seres deste mundo. Mas podemos nos perguntar ao que se deve tamanha complexidade na nossa linguagem. Por um lado, poderamos esperar que as dimenses das linguagens fossem semelhantes, pois partilhamos um mundo fsico semelhante aos dos demais animais (chuvas, ventos, calor, frio e demais caractersticas fsicas so comuns aos habitantes deste planeta), assim como, boa parte das sensaes fisiolgicas, como fome, sono, medo etc. Por outro lado, nossa estrutura social difere muito das deles: nosso cotidiano se assemelha muito pouco aos demais seres deste planeta. Para ter certeza disto, basta nos concentrarmos nas modificaes que impomos ao meio ambiente para constituirmos nosso habitat. As cidades so construes humanas que acabam por ditar formas particulares de se viver.

A comunicao de animais e plantas se limita ao envio de ordens e a manifestao de necessidades imediatas. Para os insetos, animais e plantas, as palavras so formas de manifestar necessidades como "estou com fome", ou "no se aproxime", ou ainda "encontrei comida". Comunicao e linguagem, neste caso, so faces da mesma moeda, pois a ltima materializa a primeira. A linguagem vista desta forma, teria papel passivo na comunicao, se constituindo apenas no veculo codificado da informao. Vista desta forma, a linguagem se prestaria a meramente exprimir necessidades e desejos pr-existentes, configurando-se em um real

16 Vegetais tambm possuem a capacidade de se comunicar entre si. Pesquisadores da Universidade de Kyoto, no Japo mostraram que feijo da espcie Phaseolus lunatus capaz de informar quimicamente seus vizinhos sobre ataque de pragas. Trabalho publicado na revista Nature, agosto de 2000.

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instrumento de comunicao. Bronowski emprega a noo de linguagem de ordens para definir tal concepo de linguagem17.

No entanto, a funo da linguagem para o ser humano muito mais complexa do que aos demais seres vivos. Podemos nos comunicar sobre fatos e situaes concretas e presentes do mundo, mas tambm sobre situaes imaginadas, e acontecimentos passados, produzidos e armazenados em nossa mente. Ao empregarmos a palavra "bonito", e seus sinnimos, no estamos fazendo apenas a descrio de uma situao ou coisa. Produzimos uma avaliao sobre algo, que possui elementos presentes, mas tambm sobre diversas outros que no esto. Ao empregarmos a palavra bonito estamos lanando mo de uma idia que no se encontra especialmente vinculada a objetos, situaes ou sensaes. Utilizamos tal palavra para designar tanto objetos, como a Monalisa de Da Vinci, ou a Catedral de Braslia, mas tambm sobre uma cena familiar, ou ainda sobre um gesto de afeto.

Devemos, pois, entender que existe uma aplicao do senso comum acerca do uso das palavras, dando a impresso a procedermos a descries de objetos e situaes. Isto acontece quando existe consenso no emprego das palavras, induzindo-nos a acreditar que se trata de caractersticas ou propriedades das coisas. Mas, determinadas situaes so fortemente influenciadas pelo contexto, tornando-se resultado de julgamentos pessoa ou coletivo. Porm, as palavras so mais que caractersticas das coisas. Elas se constituem em idias intencionalmente elaboradas e que ganham sentido dentro de contextos definidos. Muitas das coisas consideradas belas na sociedade ocidental de hoje, no o seriam em outras civilizaes, e vice-versa. Por exemplo, a Vnus de Milus, modelo de perfeio para os antigos gregos, seria considerada gordinha para os dias de hoje!

Na verdade, melhor seria referirmo-nos ao uso das palavras como processo de julgamento, envolvendo diversos elementos presentes em minha mente. Algumas vezes, tais julgamentos so mais conscientes, outras vezes, menos! Estes julgamentos se tornam idias que se materializam em palavras como bonito, feio e lindo. A linguagem humana vai alm da comunicao direta e da descrio de coisas, servindo para dar forma s nossas idias e permitindo-nos lidar com elas.18 Em nossos pensamentos podemos refletir sobre idias e modific-las. Alteramos a idia de beleza quando introduzimos novos critrios em nosso julgamento. Assim, um mesmo objeto pode ser bonito numa situao e no em outra, ou para determinada pessoa e no para outra. Podemos inserir a idia de beleza dentro de um tratado sobre esttica, construindo desta forma uma teoria sobre seu significado. De posse deste tratado poderamos, inclusive, entender melhor as diferenas culturais no seu uso. O contexto no qual a palavra inserida constitu-se num mundo de idias que no tem uma relao exclusiva com as informaes obtidas do mundo. Isto reflete nossa 17 Bronowski 1983, pag. 23. 18 Bronowski, 1983.

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capacidade de imaginao, e isto o que nos diferencia dos demais seres vivos deste planeta. Segundo Bronowski:

A existncia de palavras ou smbolos para coisas ausentes, desde 'dia bonito' a 'impedimento definitivo', permite que os seres humanos pensem em si mesmos em situaes que no existem realmente. Este dom a imaginao, e simples e forte, porque no seno a capacidade humana de criar imagens no esprito e de as utilizar para construir situaes imaginrias.19 A linguagem humana estrutura o mundo imaginrio das idias. Nela

possvel formular novas idias a partir de idias anteriores, pois nem todas as idias esto diretamente associadas a objetos e situaes visualizadas num dado momento. Podemos nos referir aos hbitos dos antigos egpcios mesmo sabendo que sua civilizao desapareceu a mais de 1500 anos. Podemos falar sobre a atmosfera do Sol sem que nenhum artefato humano jamais tenha l estado. Com auxlio de um bom livro de histria, podemos reconstituir parte do cotidiano de um egpcio do reinado de Amon-R. Da mesma forma, podemos imaginar a constituio da atmosfera solar a partir de idias elaboradas aqui na Terra, sobre tomo, molculas e reaes nucleares. Enquanto os animais so prisioneiros do mundo que os cerca e de suas sensaes fisiolgicas, o homem utiliza suas palavras para se referir a coisas que esto em sua mente. Um animal, por mais complexa que seja sua linguagem, no capaz de se referir comida do dia anterior; saber se ela foi saborosa ou se saciou completamente sua fome. Estes so atos que requerem a construo de idias como comida, fome, dia etc, capacidade exclusiva da espcie humana.

Bronowski emprega a noo de linguagem de idias em contraste com aquele de linguagem de ordens.20 Esta serve para comunicaes imediatas no nosso cotidiano e de uso corrente pela maioria dos seres vivos. J a linguagem de idias exclusiva dos seres humanos e cria um universo diferente. Instalado em nossas mentes, este universo da imaginao no tem limites e ultrpassa em muito o nmero de palavras utilizadas no mundo das ordens. Para termos uma idia disto, basta constatar que um conjunto de palavras empregadas pela humanidade da ordem do milho, sendo o que podemos encontrar nos dicionrios em geral. O mais incrvel que o processo de produo de palavras no tem fim. O emprego de grias e neologismos indica que este universo est em eterna modificao, sendo que mudanas no nosso estilo de vida geram o aparecimento de novas palavras e o desuso de outras.

19 Bronowski 1983, pag 33 20 Bronowski 1983, pag. 23.

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Desta forma, o que nos separa dos demais seres vivos no a linguagem em si como forma de comunicao entre indivduos, mas a capacidade que temos de criar um mundo de idias atravs da linguagem. Ou seja, o nosso pensamento articula-se atravs das palavras que construmos e passamos a nos comunicar por meio delas. O universo de palavras de um ser humano dez mil vezes maior do que o de um macaco Rhesus e isto o resultado da nossa capacidade de imaginao, que nos permite construir um rico mundo de idias.

As palavras so idias codificadas e so a matria prima do nosso pensamento. Integrando palavras em frases, expressamos idias e pensamentos. A linguagem humana o testemunho da maneira como nosso pensamento lida com as idias, articulando-as umas s outras na construo de significados. Nem sempre existe uma correlao direta entre os significados presentes no mundo das idias com aqueles do mundo real. Neste caso, estamos no domnio exclusivo da imaginao. Imaginao ou realidade, a linguagem deve ser entendida como a forma que temos de estruturar nosso pensamento.

IV. Matemtica, linguagem do mundo da cincia

Ao dizer que a Matemtica se constitui na linguagem da cincia, devemos analis-la como expresso de nosso prprio pensamento, e no apenas como instrumento de comunicao. A Matemtica a maneira de estruturarmos nossas idias sobre o mundo fsico, embora possa em determinados momentos se assemelhar a uma simples descrio de objetos. Neste sentido, pode-se pensar num uso descritivo p/ a linguagem matemtica (prxima da idia de linguagem de ordens de Bronowsik). Neste caso, admite-se um mundo fsico previamente estruturado, descrito atravs de resultados anteriores da pesquisa cientfica. No entanto, sua maior importncia est no papel estruturante que ela pode desempenhar quando do processo de produo de objetos que iro se constituir nas interpretaes do mundo fsico. Ao buscar entender as mudanas na nossa viso de mundo produzidas pelas modernas teorias cientficas, somos levados a crer que no h uma estruturao to rgida no mundo, a ponto de conferir solidez absoluta s nossas tentativas de interpret-lo. Ou seja, todos os produtos da pesquisa cientfica so frutos de tentativas de estruturas de representaes sobre o mundo e sofrem modificaes de tempos em tempos. As epistemologias realistas devem deixar margem para que parte da estruturao do mundo seja obra da imaginao cientfica. A realidade no ponto de partida, mas de chegada das interpretaes cientficas.21 () Neste processo, a Matemtica, enquanto linguagem, empresta sua prpria estruturao ao pensamento cientfico para compor os modelos fsicos sobre o mundo. Estas so em ltima instncia, estruturas

21 Paty 1993, cap. IX.

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conceituais que se relacionam ao mundo, mediadas pela experimentao. (Bunge, 1974) A escolha da Matemtica enquanto veiculo estruturador da cincia reside, entre outras coisas, nas suas caractersticas de preciso, universalidade e principalmente lgica dedutiva (possibilidade de previsibilidade). Bachelard j afirmava que a fora da Matemtica reside no fato dela ser "um pensamento seguro de sua linguagem"22.

O trabalho do cientista melhor entendido como o de elaborador de estruturas conceituais adequadas a representar a realidade. Se pudermos comprovar, por meio de experincias, a adequao de uma estrutura conceitual, ento estamos de posse de conhecimentos verdadeiros sobre o mundo e em condies de discorrer sobre a sua realidade. Reavaliaes so sempre necessrias, pois a adequao de tais estruturas sempre parcial. As insuficincias das estruturas conceituais criadas pela cincia se configuram como projetos de pesquisa a serem executados.

Um realista pode at conjecturar sobre a existncia de uma estruturao prpria para o mundo. Mas ser prova de bom senso admitir que no lhe possvel apreend-la de forma neutra, sem uma participao ativa de seu esprito23. No h sentido em se atribuir linguagem, seja ela matemtica, seja qualquer outra, papel descritivo. Ela se constituir num meio de dar forma s idias que podero, eventualmente, tornar o mundo compreensvel. No caso geral da linguagem empregada pelo homem, as palavras so idias; nas cincias os conceitos tm esta funo. A gramtica, ortografia, sintaxe e outras caractersticas da anlise lingstica so formas de se articular palavras para exprimir nosso pensamento. Na cincia precisamos de regras equivalentes, pois de outra forma ser-nos-ia impossvel elaborar e exprimir nossos pensamentos de forma clara, para ns mesmos e para os outros. A Matemtica, por ser uma linguagem, dispe de tais "regras" que permitem vincular os conceitos. A geometria euclidiana, com seus axiomas e teoremas, um exemplo de linguagem matemtica amplamente utilizada na Fsica clssica. A lgebra vetorial outra linguagem matemtica de muito uso na Fsica atual. A diversidade de linguagens matemticas leva os franceses a se referirem a ela no plural (Matemticas). Cada uma delas se estrutura de forma diferente, com gramtica, sintaxe e ortografia prprias. Aqui cabe uma analogia entre as diversas lnguas existentes no mundo. Todas se prestam a expressar o pensamento, mas quem fala mais de uma lngua sabe que algumas idias melhor se exprimem numa lngua do que em outras. Em Portugus exprime-se, com preciso o sentimento de "saudade" atravs de uma nica palavra. Em Francs, deve se usar uma expresso para o mesmo fim (Elle me manque - sinto falta dela). No h em Francs, nem em Ingls, uma palavra que possa englobar tal significado. Isto nos leva a pensar que algumas idias so mais facilmente constitudas numa lngua do que em outras. Isto talvez revele

22 Citado por Paty 1989, pag. 236, nota 17. 23 Ver Pietrocola 1999.

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uma importncia relativa de tais idias, assunto que se encontra fora dos propsitos deste trabalho.

Outro exemplo lingstico, mais prximo do uso cientfico, se refere forma como nos expressamos sobre propriedades de coisas no mundo. No deve existir, em portugus, mais de 10 significados associados cor branca24. Dizemos branco neve, branco gelo, branco prola. Os Esquims, por sua vez, definem mais de 70 tipos de branco. Com certeza est caracterstica se relaciona ao meio em que vivem Seu pensamento e linguagem tiveram de se adaptar ao mundo gelado que habitam; no rtico, estruturar idias de forma a lidar com vrios tipos de "brancos" separa a vida da morte, pois gelo fino pode ser diferenciado de gelo grosso pela cor! Poderamos discorrer inclusive sobre a questo da percepo visual e sua vinculao com o contexto. Deste exemplo, fica claro que a observao neutra um mito, ou melhor, uma construo da cincia, fruto da busca pela universalidade.

Para se ter idia de como a linguagem matemtica se adapta aos objetivos da cincia tomemos um exemplo particular. Os fenmenos do mundo fsico podem ser entendidos como manifestao de interaes entre os corpos. Esta constatao d origem a uma srie de perguntas, do tipo "por que" e "como" interagem. Parte das respostas se apiam no conceito fora. A princpio poderamos pensar se tratar de uma constatao direta, pois esta parece ser uma idia construda com base na experincia diria do homem, nos esforos exercidos sobre os objetos que o cercam.25 Mas o conceito fsico de fora no apenas uma traduo de algo presente no mundo como os esforos realizados no cotidiano. Fora uma idia muito mais complexa, pois envolve caractersticas especficas, como direo e sentido, submetendo-se a princpios como o de ao-e-reao. Tais caractersticas no esto presentes nos esforos musculares feitos pelo homem sobre os objetos materiais. No h, de fato, nenhuma situao tirada do mundo que possa represent-la perfeitamente. O conceito de fora habita nossa mente na forma de uma idia e a reside a dificuldade em exprimi-la. Isto tanto verdade, que temos dificuldade em ensinar este conceito nos cursos. Apelamos para metforas e analogias, aplicaes e exemplos. Em geral, a diferenciao formal se torna eficiente quando j se tem alguma idia sobre este conceito e pode-se utiliz-lo para interpretaes de situaes. A idia de fora s fica clara usando outras idias. Fazendo conexes com outros conceitos posso dar forma a esta idia e com ela produzir entendimento sobre caractersticas dos corpos no mundo fsico. Assim, digo que numa interao gravitacional entre corpos h o aparecimento de duas foras, de mesma direo e sentidos contrrios. A direo aquela que liga os centros de massa dos dois corpos.

24 Talvez hoje com o advento das mquinas de produo de tintas por computador haja mais do que isto. Mas as cores neste caso so expressas em cdigo e no em palavras. 25 Isabelle Stengers se refere ao processo de produo de conceitos cientficos como metforas que se estabilizaram ao longo dos anos. Ver Stengers, apud Fourez 1994, cap. 4.

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A intensidade da fora inversamente proporcional ao quadrado da distncia entre eles. A idia "fora", para ter sentido, precisou explicitamente do auxlio de outras idias, como massa, direo, sentido, intensidade, distncia, alm de vrias outras implcitas, como tempo, espao, simetria etc.

O valor de um pensamento conceitual reside no fato de que as idias por ele criadas podem ser articuladas entre si formando teorias. (Bunge, 1974) Da mesma forma, a linguagem constitui-se justamente na capacidade de inter-relacionar idias de modo a dar-lhes significados individuais muito precisos. A linguagem permite que, ao nos depararmos com determinada situao do mundo, possamos produzir um entendimento sobre elas atravs do bom uso das idias. Neste sentido, toda linguagem um conjunto articulado de idias.

Os conceitos so idias estabilizadas pelo uso e tijolos do pensamento cientfico. Carga, massa, distncia, fora, campo, potencial, energia, alm de espao, tempo, velocidade so conceitos muito importantes do pensamento fsico. Todavia, esses conceitos sozinhos nada podem e s ganham sentido quando vinculados uns aos outros, ou seja, quando presentes no interior de uma teoria. No interior delas encontramos as leis fsicas. Nas teorias, os conceitos se entrelaam formando verdadeiras redes conceituais.26 Devido sua organizao interna, lgica e coerente, as teorias so mais que simples agrupamentos de conceitos, constituindo-se em estruturas. As estruturas conceituais tm propriedades especficas: so autoconsistentes, isto , esto livres de contradio internas; so autocontidas, isto as definies de elementos nelas contidas comeam e sempre terminam em seu interior e no fora dele, desta forma bastando-se a si mesma; so coerentes, isto , no permitem contradies no seu domnio de validade.27 As estruturas se caracterizam por definirem contexto de explicao para os conceitos. O sentido de um conceito no est nele prprio, mas na sua relao com os demais conceitos pertencentes estrutura.28 Robilotta exemplifica o aspecto cclico das definies ao dizer que "... para se saber eletrosttica preciso se conhecer bem o campo eltrico, o que s possvel ao se saber eletrosttica.29 Nesse sentido, impossvel definir um conceito fsico qualquer sem ultrapassar o seu limite individual de significado e passar a considerar as relaes que ele estabelece com os demais conceitos pertencentes estrutura terica.

A evoluo da cincia resultou na expresso dos conceitos em linguagem Matemtica. As idias da cincia ganham significado se interconectando em estruturas matemticas. A linguagem matemtica, com suas regras e propriedades, tornam as teorias cientficas capazes de pensar o mundo. Toda teoria cientfica ,

26 Robilotta 1985, 1988. 27 Robilotta 1988, Pietrocola, 1993. 28 Giordan l983. 29 Robilotta 1988.

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desta forma, um conjunto de conceitos, cuja estruturao eminentemente matemtica. Neste sentido, ela no tem como funo apenas melhorar a preciso das definies da cincia, como se poderia crer. A linguagem dos vetores empresta ao conceito de fora sua estruturao para que ele possa ser definido enquanto conceito fsico. A flecha colocada acima da letra F

indica que se trata de uma grandeza com

direo e sentido. A linguagem vetorial dispe de uma gramtica, sintaxe e ortografia prprias que so os axiomas, teorema, lemas, regras de aplicao etc. Um conceito fsico como a Fora, ao ser identificado grandeza vetorial F

, passa a se submeter a

todas as suas regras de linguagem. Torna-se difcil express-lo de outra forma, por exemplo, atravs da linguagem escrita comum. Os livros didticos refletem as dificuldades desta empreitada, sendo uma espcie de dicionrio entre a linguagem comum e a linguagem dos vetores.

A Matemtica se constitui numa linguagem dentre vrias outras linguagens a nossa disposio para estruturar nosso pensamento. Ela provou, ao longo dos sculos, sua excepcional capacidade de dar suporte ao nosso pensamento sobre o mundo. Na cincia atual, nos domnios do muito rpido, do muito pequeno e do grande, do muito antigo (universo primordial) ou do muito futuro (da evoluo do universo), nossa linguagem comum impotente para interpretar o mundo. Segundo Paty, "...a Fsica passou a substituir as determinaes do real dado na experincia por esses conceitos "abstratos-construdos" que se impunham explicitamente nas teorias da Relatividade, na Mecnica Quntica e nas teorias atuais da matria elementar"30. Nestes domnios, a Matemtica impera solitria, amparando nosso pensamento para atingir o entendimento do mundo. Sem ela seramos como cegos tateando num mundo repleto de cores.

V. Implicaes didticas e consideraes finais

Iniciamos esse trabalho pela anlise da tendncia em atribuir os fracassos no ensino de Fsica falta ou deficincia de formao Matemtica dos alunos. Como procuramos argumentar no incio deste texto, esta forma de conceber o conhecimento matemtico coloca-se como algo preliminar aprendizagem da Fsica, atribuindo-lhe implicitamente o papel de mero descritor do real. O que parece importante extrair como implicaes didtico-pedaggicas deste trabalho diz respeito a uma mudana de postura epistemolgica dos educadores cientficos em geral com respeito forma de apresentar a Matemtica nos cursos de Fsica. Se a matemtica a linguagem que permite ao cientista estruturar seu pensamento para apreender o mundo, o ensino da cincia deve propiciar meios para que os estudantes adquiram esta habilidade. No

30 Paty 1989, pag. 235.

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parece que um mero domnio operacional dos contedos matemticos seja capaz de permitir a incorporao de tal habilidade.

Nessa direo de muito pouco ou de quase nada, interessa a vivncia isolada do aluno no contexto prprio da Matemtica, sem um esforo especfico de introduzi-lo na arte da estruturao do pensamento atravs da Matemtica. Esse tipo de habilidade no inata nos indivduos, mesmo para aqueles que j operam a Matemtica enquanto ferramenta. Vale lanar mo mais uma vez da histria da cincia para chamar a ateno para o fato de que muitos sbios da Antigidade e da Idade Mdia, apesar de bons matemticos, no utilizaram-na sistematicamente na interpretao dos fenmenos. Eles apreenderam-nos valendo-se de outras formas de linguagem. As teorias cientficas, da forma como as conhecemos hoje, s vieram a ocorrer por volta do sculo XVII, com Galileu, Kepler e outros. Historiadores e epistemlogos mostraram a dificuldade que foi aceitar o papel da Matemtica como mediador de nosso pensamento na apreenso dos fenmenos, constituindo-se em um obstculo epistemolgico a ser ultrapassado no desenvolvimento das cincias experimentais.31 Os cientistas modernos incorporaram essa prtica como um valor de base nos padres que guiam a pesquisa. Desde ento, geraes de cientistas, fsicos em particular, tm se submetido a um processo de formao que inclui a modelizao matemtica cuja conscincia, muitas vezes, s ocorre quando se iniciam nas pesquisas.

A minha experincia como professor de Fsica do Ensino Mdio e universitrio tem me mostrado que no basta ao aluno conhecer a Matemtica no seu campo prprio de validade para obter um bom desempenho em Fsica. Isto , no suficiente conhec-la enquanto ferramenta para poder utiliz-la como estruturante das idias fsicas sobre o mundo. Este fato parece exemplificar a concluso extrada da anlise epistemolgica realizada anteriormente. Ao concebermos a apreenso do real como fruto de um processo de interao dialtica entre abstrato e concreto, entre terico e emprico, no h como evitar o tratamento da Matemtica como elemento que participa, com sua especificidade prpria, do contexto da construo do conhecimento. Assim, um dos atributos essenciais ao educador com relao a esta questo perceber que no se trata apenas de saber Matemtica para poder operar as teorias Fsicas que representam a realidade, mas de saber apreender teoricamente o real atravs de uma estruturao matemtica.

Est fora dos objetivos deste trabalho discutir as alternativas metodolgicas para revestir a matemtica de uma funo estruturante no ensino da Fsica. Porm, podemos fornecer alguns indicadores neste sentido.

Mximo e Alvarenga (1992) num texto didtico parecem preocupados com este ponto, permitindo entrever uma funo estruturadora para a linguagem

31 Neste sentido, ver Paty 1989 e Kuhn, 1976.

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matemtica no pensamento fsico nos termos mencionados neste trabalho. O segundo captulo desta obra dedicado ao estudo das relaes entre grandezas fsicas e as funes passveis de represent-las atravs de tabelas, grficos e expresses algbricas. So tratadas diversas funes matemticas, como a proporo direta, variao linear entre outras. Na justificativa para o professor, lemos o seguinte trecho:

Para um desenvolvimento satisfatrio de qualquer curso de Fsica, os conhecimentos apresentados neste captulo so indispensveis. Por esse motivo ressaltamos que ele no pode ser omitido da programao. Embora as idias aqui analisadas sejam habitualmente estudadas pelos alunos em cursos de Matemtica, nossa experincia tem demonstrado que, geralmente, a abordagem usada em tais cursos no apropriada s necessidades de um curso de Fsica. Assim, necessrio que o estudante tenha uma viso do contedo deste captulo, sob o enfoque aqui apresentado.32 Os autores parecem ter conscincia da importncia de bem estabelecer o

papel da matemtica na aprendizagem da Fsica, embora isto fique apenas claramente colocado neste captulo inicial da obra. Em termos das pesquisas atuais diramos que os autores realizam uma discusso sobre modelizao matemtica.33

Para o contexto do ensino de Fsica, uma modelizao matemtica precisa incorporar de forma explcita o domnio emprico, ou seja, envolver atividades experimentais. Uma boa atividade modelizadora deveria necessariamente se preocupar na passagem dos dados brutos contidos numa observao, at uma representao conceitual de um fenmeno enfocado. Nesta direo, Pinheiro (1996) apresenta propostas de atividades para introduzir os estudantes do Ensino Bsico na prtica de modelizao matemtica de fenmenos naturais atravs de atividades experimentais.34 Este tipo de proposta enfrenta dificuldades para ser implementada no contexto escolar, pois esbarram na rigidez dos currculos e na excessiva nfase colocada no contedo a ser transmitido nas disciplinas e na forma tradicional de conceber o ensino de Fsica neste nvel, como seqncias de problemas fechados de soluo nica. Passar a estruturar nosso pensamento com base nas linguagens que a Matemtica oferece passa a ser um objetivo-obstculo35, a ser enfrentado pela didtica da Fsica.

32 Mximo e Alvarenga 1992, pag. 34. 33 Ver Bassanezi, 1994. 34 Pinheiro 1996. 35 Ver Martinand 1986 e Astolfi 1994

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Ser objetivo de outro trabalho avaliar a efetividade de propostas que incorporem o carter estruturante da matemtica no ensino de Fsica e indicar os melhores caminhos para ultrapassar as dificuldades decorrentes das relaes entre o conhecimento matemtico e fsico.

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