“Por meio de seus dez algarismos de base (1,2,3,4,5,6,7,8,9,0), nossa numeração escrita atual permite não apenas uma representação simples e perfeitamente racional de qualquer número (por maior que seja), mas ainda uma prática muito cômoda de todas as operações aritméticas. Assim do ponto de vista intelectual, este sistema é nitidamente superior a todas as numerações precedentes”. (IFRAH, 1994, p.235) O sucesso da base numérica que usamos não se deve de modo algum à natureza de sua base, outros sistemas poderiam ser construídos na base dois, seis, oito,etc. Na realidade, se deve à reunião do princípio de posição e do conceito de zero. Em alguns sistemas, o egípcio, grego, romano, por exemplo, os algarismos tinham um valor fixo, independente de seu lugar nas representações numéricas.

“O símbolo ‘ V’ valia 5 onde quer que fosse escrito, enquanto no nosso sistema atual o valor do algarismo 5 se modifica se considerarmos, por exemplo, as expressões 35, 54,568 ou 5987. Ou seja, este algarismo não tem o mesmo valor quando colocado na primeira, segunda, terceira ou quarta casas (pois ele vale então 5, 50, 500 ou 5000)” (IFRAH, 1994, p. 235) O conceito de posição, aparentemente tão simples, teve que ser inventado. “a humanidade balbuciou, tateou e hesitou durante milênios antes de concebê-lo, e civilizações tão importantes quanto a dos gregos ou dos egípcios o ignoraram completamente” (IFRAH, 1994, p. 236)

Os primeiros a utilizar um sistema posicional, no início do II milênio antes da nossa era, foram os matemáticos e astrônomos da Babilônia (aproximadamente 1792-1750 a.C.), porém a base utilizada era a sexagesimal. Assim, os números de 1 a 59 formavam as unidades simples ou unidades de primeira ordem; os de sessenta constituíam as unidades de segunda ordem; os múltiplos de 60 correspondiam às unidades de terceira ordem.

Esta representação podia gerar muita confusão, principalmente em virtude da ausência do zero. Segundo Ifrah (1994), durante mais de quinze séculos os matemáticos e astrônomos ignoraram o zero. Quando se aplica o princípio de posição, em algum momento, é necessário um símbolo que represente as unidades que estão faltando. Por exemplo, sem o zero, era usada a mesma notação para representar 72, 702, 7002, etc

Aos poucos, percebe-se que o “nada” colocado entre os algarismos serve para quantificar a ausência de unidades de uma certa ordem, finalmente este “nada” será o zero! “finalmente, todas as ambiguidades desapareceram no século III a. C., quando o signo ou foi introduzido para significar a ausência das unidades sexagenais de uma determinada casa. Foi assim que nasceu o zero babilônico, o mais antigo da história. Entretanto, o zero não foi concebido pelos matemáticos babilônicos como uma quantidade. [...] o que não retira o mérito dos sábios da Babilônia, inventores da primeira numeração escrita estritamente posicional e do mais antigo zero da história...”(IFRAH, 1994, p. 243)

Dois mil anos depois, os matemáticos chineses redescobriram a mesma regra numeral. Desenvolveram um sistema decimal, sobre o princípio da posição, barras verticais e horizontais. Porém, diferentemente do nosso sistema atual que compreende uma série única de nove algarismos, ela ainda conferia uma representação ideográfica ás nove unidades.

No entanto, esta numeração comportava ainda inúmeras ambiguidades, devido ao fato de que seus usuários se limitavam a justapor o mesmo número de barras para a representação das unidades das ordens consecutivas. Para sanar esta dificuldade, introduziram uma segunda notação para as unidades simples, formando símbolos análogos aos precedentes, usando barras horizontais.

Ifrah,1994, p. 245

Ifrah p. 244

Alternavam os algarismos da primeira série com os da

segunda, visando distinguir bem as diversas ordens.

Assim, ‘as unidades de casa ímpar (unidades simples,

centenas, dezenas de milhar, milhões, etc.) foram

expressas por meio do dos ‘algarismos verticais’

(primeira série) e as unidades de casas pares

(dezenas, milhares, centenas de milhar, dezenas de

milhões, etc.) com a ajuda dos ‘algarismos horizontais’

(segunda série)”(IFRAH, 1994, p. 245)

Exemplo :

Porém, ainda nem todas as dificuldades foram sanadas, a ausência de signo destinado a indicar as unidades em falta de uma determinada ordem podia gerar confusão. Independente de qualquer influência, as mesmas descobertas foram feitas pelos sacerdotes e astrônomos maias. Esta civilização foi a mais prestigiosa, e sua influência sobre as demais culturas pré-colombianas foi comparável à dos gregos sobre os romanos na antiguidade. Os maias chegaram ao auge do desenvolvimento em vários campos: arte, arquitetura, escultura, educação, comércio, matemática, astronomia, etc. Entre os séculos III e IV da nossa era, os mais refizeram a mesma descoberta do zero, aplicando-a desta vez à base vinte. O zero maia foi empregado no meio e no final das representações numéricas, porém, ficou privado de qualquer possibilidade operatória.

No que se refere ao zero babilônico, ele não apenas desempenhou este papel, como também preencheu igualmente a função de um operador aritmético, o que significa que o acréscimo de um zero no final de uma representação por algarismos multiplicava o valor do número correspondente pela base sessenta), no entanto, ele nunca foi concebido como um número. Assim, os sistemas posicionais babilônicos, chinês e maia permaneceram para sempre impróprios à prática das operações aritméticas e que os dois zeros precedentes nunca puderam dar origem a desenvolvimentos matemáticos. ”apesar de suas descobertas, nem os babilônicos, nem os chineses, nem os maias foram capazes de dar o passo decisivo rumo ao derradeiro aperfeiçoamento da notação numérica ...” (IFRAH, 1994, p. 262)

Segundo os historiadores do início do século passado, os matemáticos gregos desenvolveram um sistema de numeração tão importante como a descoberta do fogo, da roda ou da máquina a vapor – a numeração moderna! Porém, até hoje nenhum traço do emprego desse sistema foi comprovado junto aos gregos. “Na verdade, esta teoria foi sustentada apenas por afirmações sem prova ou testemunho e visava sobretudo exaltar o famoso ‘milagre grego’” (IFRAH, 1994, p. 263) Foi no norte da índia, por volta do século V da era cristã, que nasceu o ancestral de nosso sistema moderno de numeração e que foram estabelecidas as bases de cálculo escrito tal como é praticado atualmente. Este fato é comprovado por inúmeros documentos e testemunhos.

A forma gráfica dos algarismos hindus ainda ficou pouco precisa durante muitos séculos. Seus grafismos podiam variar conforme a época ou região, e também de acordo com o escriba, desta forma, um 2 podia ser interpretado como 3, ou 7 ou até 9, uma consequência é que se um copista cometesse um erro, este passaria despercebido. O uso das representações por números não apresentava segurança alguma, enquanto que a forma poética das palavras-símbolos o ritmo do verso poderia ser quebrado com um mínimo erro.

Por mais satisfatório que fosse este sistema, ainda era insuficiente. “é claro que ele permitia enunciar e conservar os números com grande confiabilidade, mas era totalmente inoperante no campo das operações aritméticas. [...] no entanto, é sabido que os aritméticos hindus calculavam muito bem, chegando mesmo a efetuar operações muito complicadas. [...] mesmo antes de inventar o antecessor de nosso cálculo atual, os sábios hindus conseguiram arranjar-se durante muito tempo com os meios de que dispunham. E como para todos os calculadores do mundo antigo, as insuficiências de sua numeração escrita inicial os levaram, num primeiro momento, a recorrer a instrumentos aritméticos como o ábaco ou a tábua de contar” (IFRAH, 1994, p. 277-278)

CURIOSIDADE

Os grãos de trigo – a lenda do xadrez Há muito tempo atrás, viveu na índia, um rei chamado Iadava, o senhor da Província de

Taligama. Um dia, Iadava viu-se forçado a empunhar a espada para repelir à frente de pequeno exército, o ataque insólito e brutal do aventureiro Varangul, que se dizia príncipe de Caliã. O rei Iadava possuía invulgar talento para a arte militar. Sereno em face da invasão iminente, elaborou um plano de batalha tão hábil e feliz foi executá-lo nos campos de Dacsina, para vencer e aniquilar os pérfidos perturbadores da paz do seu reino. Mas como todo triunfo tem um preço, muitos jovens pagaram com a vida a segurança de um trono para o prestígio da dinastia, e entre os mortos, com o peito varado por uma flecha, o príncipe Adjamir, filho do rei Iadava, que patrioticamente se sacrificou para salvar a posição que deu aos seus, a vitória final. O rei trancou-se em seus aposentos, aparecendo somente para atender os ministros e sábios brâmanes (sacerdotes). Quando algum grave problema surgia, o chamavam a decidir como chefe de Estado. As peripécias da batalha em que pereceu o príncipe Adjamir não lhe saíam do pensamento. Um dia, afinal, foi o rei informado de que um moço brâmane - pobre e modesto - solicitava uma audiência que vinha pleiteando já há algum tempo. Como estivesse, no momento, com boa disposição de ânimo, mandou o rei que trouxessem o desconhecido à sua presença. Então, após a indagação de Iadava, o jovem respondeu: - Meu nome é Lahur Sessa, e venho da aldeia de Namir. Ao recanto em que eu vivia chegou a notícia que nosso bondoso rei arrastava os dias em meio de profunda tristeza, amargurado pela ausência de um filho que a guerra viera roubar-lhe. Deliberei, pois, inventar um jogo que pudesse distraí-lo e abrir em seu coração as portas de novas alegrias.

O que Sessa trazia ao rei Iadava consistia num grande tabuleiro quadrado, dividido em 64 quadradinhos, ou casas, iguais; sobre esse tabuleiro colocavam-se não arbitrariamente, duas coleções de peças que se distinguiam, uma da outra, pelas cores branca e preta, repetindo porém, simetricamente, os engenhosos formatos e subordinados a curiosas regras que lhe permitiam movimentar-se por vários modos: - Cada um dos partidos dispõe de 8 peças pequeninas - os Peões. Representam a infantaria, que ameaçava avançar sobre o inimigo para desbaratá-lo. Secundando a ação dos Peões, vêm os Elefantes de Guerra (as atuais Torres), representados por peças maiores e mais poderosas; a Cavalaria, indispensável no combate, simbolizada por duas peças que podem saltar, como dois corcéis sobre as outras, e para representar os guerreiros cheios de nobreza e prestígio - os dois Vizires (atuais Bispos) do rei. Outra peça, dotada de amplos movimentos, mais eficiente e poderosa que as demais, representará o espírito de nacionalidade do povo e será chamada de rainha (Dama). Completa a coleção, uma peça que pouco vale, mas se torna muito forte quando amparada pelas outras: é o rei.

Um dia, afinal, foi o rei informado de que um moço brâmane - pobre e modesto - solicitava uma audiência que vinha pleiteando já há algum tempo. Como estivesse, no momento, com boa disposição de ânimo, mandou o rei que trouxessem o desconhecido à sua presença. Então, após a indagação de Iadava, o jovem respondeu: - Meu nome é Lahur Sessa, e venho da aldeia de Namir. Ao recanto em que eu vivia chegou a notícia que nosso bondoso rei arrastava os dias em meio de profunda tristeza, amargurado pela ausência de um filho que a guerra viera roubar-lhe. Deliberei, pois, inventar um jogo que pudesse distraí-lo e abrir em seu coração as portas de novas alegrias. O que Sessa trazia ao rei Iadava consistia num grande tabuleiro quadrado, dividido em 64 quadradinhos, ou casas, iguais; sobre esse tabuleiro colocavam-se não arbitrariamente, duas coleções de peças que se distinguiam, uma da outra, pelas cores branca e preta, repetindo porém, simetricamente, os engenhosos formatos e subordinados a curiosas regras que lhe permitiam movimentar-se por vários modos: - Cada um dos partidos dispõe de 8 peças pequeninas - os Peões. Representam a infantaria, que ameaçava avançar sobre o inimigo para desbaratá-lo. Secundando a ação dos Peões, vêm os Elefantes de Guerra (as atuais Torres), representados por peças maiores e mais poderosas; a Cavalaria, indispensável no combate, simbolizada por duas peças que podem saltar, como dois corcéis sobre as outras, e para representar os guerreiros cheios de nobreza e prestígio - os dois Vizires (atuais Bispos) do rei. Outra peça, dotada de amplos movimentos, mais eficiente e poderosa que as demais, representará o espírito de nacionalidade do povo e será chamada de rainha (Dama). Completa a coleção, uma peça que pouco vale, mas se torna muito forte quando amparada pelas outras é o rei.

Então Iadava perguntou: - Por que é a rainha mais forte e mais poderosa que o próprio rei? - é mais poderosa - argumentou Sessa - porque a rainha representa nesse jogo o patriotismo do povo. Como poderia o rei resistir ao ataque dos adversários, se não contasse com o espírito de abnegação e sacrifício daqueles que o cercam e zelam pela integridade da pátria? Em dado momento, o rei fez notar, com grande surpresa, que a posição das peças, pelas combinações resultantes dos diversos lances, parecia reproduzir exatamente a batalha de Dacsina. - Reparai - ponderou o inteligente brâmane - que para conseguirdes a vitória, indispensável se torna, de vossa parte, o sacrifício deste vizir! E indicou precisamente a presença que o rei Iadava, no desenrolar da partida - por vários motivos - grande empenho pusera em defender e conservar. O judicioso Sessa demonstrava, desse modo, que o sacrifício de um príncipe é, por vezes, imposto como uma fatalidade, para que dele resultem a paz e a liberdade de um povo. Ao ouvir tais palavras, o rei Iadava, sem ocultar o entusiasmo que lhe dominava o espírito, assim falou: - Não creio que o engenho humano possa produzir maravilha comparável a este jogo interessante e instrutivo! Movendo estas tão simples peças, aprendi que um rei nada vale sem o auxílio e a dedicação constante de seus súditos. E que às vezes o sacrifício de um simples Peão vale mais, para a vitória, do que a perda de uma poderosa peça. Aliviado então de suas velhas angústias, o rei Iadava decidiu recompensar Lahur Sessa com o que ele desejasse. Demonstrando desdém e desamor aos bens materiais, Sessa nada quis. Entretanto o rei exigiu que Sessa escolhesse uma recompensa.

Então Sessa pediu seu pagamento em grão de trigo da seguinte maneira: um grão de trigo pela primeira casa do tabuleiro, dois pela segunda, quatro pela terceira, e assim dobrando até a sexagésima quarta e última casa do tabuleiro. Espantado com tamanha simplicidade do pedido, mandou que calculassem a quantidade de trigo para que pudesse pagar sua dívida. Maior foi seu espanto quando chegou-se à conclusão da questão levantada. O número de grãos solicitados era inconcebível, correspondia a: 18.446.744.073.709.551.615 grãos Era o equivalente a uma montanha que tendo por base a cidade de Taligana, seria 100 vezes mais alta que o Himalaia! A índia inteira, semeados todos os seus campos, não produziria em 2 mil séculos, a quantidade de trigo necessária para pagar a promessa. Disse-lhe Sessa então: - Meditai, ó rei, sobre a verdade que os brâmanes prudentes tantas vezes repetem: os homens mais avisados iludem-se não só diante da aparência enganadora dos números, mas também iludem-se com a falsa modéstia dos ambiciosos. Infeliz daquele que toma sobre os ombros o compromisso de uma dívida cuja grandeza não pode avaliar com a tábua de cálculo de sua própria argúcia. Mais avisado é o que muito pondera e pouco promete! Então Lahur Sessa, que era pobre e modesto, tornou-se o primeiro vizir do rei Iadava.

A lenda de Sessa comporta pelo menos um fato autêntico: graças aos seus impulsos criadores, os hindus conseguiram chegar, há quase quinze séculos, a técnicas operatórias tão simples e rápidas quanto as de hoje. “Ao conceber o zero, e ao aplicar rigorosamente o princípio de posição a algarismos de base independentes de qualquer intuição visual direta, os sábios da índia foram os primeiros a dar o passo decisivo rumo ao derradeiro aperfeiçoamento da numeração escrita. E, graças a eles, as histórias paralelas da notação numérica e do cálculo puderam enfim se encontrar. Ao reunir as três grandes ideias precedentes, os hindus não apenas inventaram o cálculo e a numeração moderna como conseguiram tornar teoricamente possível a democratização da arte do cálculo – domínio que ficara confinado durante milênios nas mãos de uma casta privilegiada. (IFRAH, 1994, p.292)

Concluindo... Ao final de uma longa história feita de saltos, invenções, regressões, esquecimentos, encontros e até justaposições de sistemas diferentes que desencadeiam a faísca do gênio criador, nosso sistema decimal acaba por se completar: surge a numeração decimal de posição. Nossa numeração de posição constitui um sistema perfeito, acabado, porque é mais econômico em signos e permite anotar racionalmente qualquer número, por maior que seja. Trata-se também de um sistema mais eficaz, permitindo que qualquer um pratique a aritmética.

Com o aparecimento dos computadores e das calculadoras eletrônicas, já presenciamos de fato a uma evolução na grafia dos algarismos, no sentido de uma esquematização que sem dúvida teria causado horror aos calígrafos daqueles tempos! Na realidade, esta simplificação das formas não teve o objetivo de modificar a estrutura dos números, eles foram redesenhados para atender às imposições dos procedimentos físicos de afixação ou, então, para que cada signo pudesse conter ao mesmo tempo os elementos de informação codificada apropriados a sua identificação por uma máquina capaz de lê-los, e para apresentar uma aparência geral reconhecível pelo olho humano. Esta invenção humana, é ao mesmo tempo a mais universal de todas. É ela que consolida a humanidade.[...] a invenção e a democratização da nossa numeração de posição tiveram consequências incalculáveis sobre as sociedades humanas, pois facilitaram a explosão da ciência, da matemática e das técnicas. (IFRAH, 1994, p. 323)

Referências CARAÇA, B. J Conceitos fundamentais da matemática. Lisboa: Tipografia Matemática Ltda, 1951. DANTIZG, T. Número: a linguagem da ciência. Rio de Janeiro: Zahar Editores, 1970. DIAS, M. S.; MORETTI, V.D. Números e operações: elementos lógico-históricos para a atividade de ensino. Curitiba: Ibpex, 2011. GIARDINETTO, J.R.B. A concepção histórico-social da relação entre a realidade e a produção do conhecimento matemático. Revista Millenium. Viseu, IPT, Portugal, ano 4, n.17,p. 239-271, 2000. IFRAH, G. Os números: história de uma grande invenção. São Paulo: Globo, 1994. TAHAN,M. O homem que calculava. Rio de Janeiro: Record, 1995.