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ISBN 978-85-87837-31-8
A ELABORAÇÃO E UTILIZAÇÃO DE UM KIT DE TRIÂNGULOS
MODELÁVEIS PARA ATIVIDADES DE ENSINO DE
CLASSIFICAÇÕES DE TRIÂNGULOS
Raissa Moda – ICMC/IQSC/IFSC, Universidade de São Paulo
Luiz H. C. Salles - ICMC/IQSC/IFSC, Universidade de São Paulo
Dayana Mara Santos - ICMC/IQSC/IFSC, Universidade de São
Paulo
Esther de Almeida Prado Rodrigues - ICMC, Universidade de São
Paulo
Financiamento/Apoio: PIBID - CAPES
Modalidade: Relato de Experiência
RESUMO
Estudos e documentos oficiais apontam o potencial de materiais manipuláveis como
um recurso que pode tornar significativo o processo de ensino e aprendizagem de
Matemática. Nesse sentido, bolsistas do grupo de Geometria do Programa
Institucional de Bolsa de Iniciação à Docência (PIBID), da Matemática, ao elaborarem
uma sequência didática, decidiram por utilizar um material manipulável. Dessa forma,
esse relato de experiência trata da criação e reflexão sobre a aplicação desse, à saber
no desenvolvimento de uma aula de classificações de triângulos. Para isso, a primeira
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autora desse trabalho desenvolveu um kit de triângulos modeláveis feitos de canudos
e linhas, a fim de que os alunos pudessem explorar esse tema e se apropriarem dos
conceitos envolvidos. A aplicação deste, junto a outros bolsistas, foi em nonos anos do
ensino fundamental de uma escola estadual em São Carlos/SP, no primeiro bimestre
de 2016, e foi avaliada no decorrer e posteriormente, por meio de exercícios e uma
prova final. Através dessa experiência, foi possível verificar que é possível em baixo
custo e em pouco tempo o desenvolvimento de materiais manipuláveis que agucem o
interesse dos alunos, tornando a aula mais participativa, o que facilitou a abstração
dos conceitos estudados.
INTRODUÇÃO
Estudos mostram que materiais didáticos manipuláveis constituem
potenciais ferramentas na abstração de conceitos escolares (PAIS, 2006). O
uso de recursos didáticos é, inclusive, destacado pelos Parâmetros
Curriculares Nacionais (BRASIL, 1997, p.55) como um importante suporte à
ação reflexiva do aluno. Esse documento nacional também indica que
(...) o ensino de Matemática prestará sua contribuição à medida que
forem exploradas metodologias que priorizem a criação de
estratégias, a comprovação, a justificativa, a argumentação, o espírito
crítico, e favoreçam a criatividade, o trabalho coletivo, a iniciativa
pessoal e a autonomia advinda do desenvolvimento da confiança na
própria capacidade de conhecer e enfrentar desafios. (BRASIL, 1987,
p.26)
Nesse sentido, de que é necessário explorar essas metodologias,
bolsistas do Programa Institucional de Bolsa de Iniciação à Docência (PIBID),
do grupo de Geometria - Matemática (ICMC/USP) -, ao elaborarem uma
sequência didática sobre classificações de triângulos e Teorema de Pitágoras,
decidiram por fazer uso de materiais manipuláveis para facilitar a abordagem
do tema com os alunos. Dessa forma, esse relato de experiência trata da
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criação e reflexão sobre a aplicação de um desses materiais, a saber no
desenvolvimento de uma aula de classificações de triângulos. Tendo em vista,
ainda, que, é importante, segundo os Parâmetros Curriculares Nacionais
(Brasil, 1987, p. 56), para os alunos que estes saibam "identificar
características das figuras geométricas, percebendo semelhanças e diferenças
entre elas", desenvolvemos um kit de triângulos modeláveis feitos de canudos
plásticos e linhas, conforme Figura 1 a seguir
Figura 1. Triângulos modeláveis feitos de canudo e linha.
Fonte própria
A elaboração deste material, voltado para o processo de ensino e
aprendizagem de classificação de triângulos, teve como objetivo, dentro da
sequência didática elaborada, proporcionar a exploração das formas dos
triângulos. Proporcionou a observação e comparação dos ângulos e lados, a
construção dos diferentes tipos possíveis de triângulos, utilizando, ferramentas
de medidas não usuais, como os dedos (tamanho dos lados – em substituição
à régua) e o canto do caderno (ângulo maior, igual ou menor que 90º - em
substituição ao transferidor), fazendo uma reflexão quanto à escolha do tipo de
ferramenta que seja mais adequada em função da situação-problema e do grau
de precisão para obtenção do resultado desejado. Essas habilidades também
estão previstas nos Parâmetros Curriculares Nacionais enquanto um objetivo
da matemática para os anos finais do ensino fundamental (BRASIL, 1987 p.
56).
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Com isso, resumidamente, buscou-se trabalhar o olhar geométrico dos
alunos, grande objetivo do grupo de geometria do PIBID Matemática USP São
Carlos, sobre a classificação dos triângulos, e também refletir acerca da
utilização deste tipo de material enquanto uma ferramenta facilitadora do
processo de ensino e aprendizagem de geometria.
Entendemos por “olhar geométrico” as atividades de ensino de
geometria que proporcionam a leitura mais detalhada de uma figura geométrica
e de seus elementos constitutivos. No caso dos triângulos, essas atividades
visam destacar a identificação, leitura, comparação e medição de seus lados e
ângulos, elementos geométricos necessários para estabelecer a classificação
de triângulos.
MATERIAIS E MÉTODOS
Em reuniões semanais do Grupo de Geometria do PIBID, no começo do
ano com 6 integrantes, nos organizamos em três duplas sendo que cada uma
ficou responsável por desenvolver um Plano de Aulas e uma sequência
didática, que o compõem, contendo cinco aulas, para cada ano/série, a saber
7º e 9º ano do Ensino Fundamental e 2º série do Ensino Médio de uma escola
da rede estadual paulista. Vamos descrever aqui o desenvolvimento do plano
do 9º ano do ensino fundamental deste plano.
Nesta primeira etapa, de elaboração do plano de aula, foi escolhido
como tema estudar mais profundamente os triângulos retângulos. Depois da
escolha do tema, foi desenvolvido o Plano de Aulas, assim como foi
confeccionado o kit de triângulos modeláveis para sua aplicação na primeira
aula deste plano, do que trata este relato de experiência.
A regência do plano ocorreu no período do primeiro bimestre de 2016,
em três turmas (A, B e C) de 9º ano do Ensino Fundamental, no período da
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tarde, e foi dividida segundo um cronograma. A utilização do kit foi feita nas
primeiras aulas, com retomada de exercícios na segunda, e avaliação final na
quinta, sendo estas três, portanto, focos deste relato.
Por fim, após a regência do plano, e feitas as correções das avaliações
nas três turmas, os três autores deste trabalho fizeram sínteses didáticas que
consistem em relatos desse desenvolvimento, com reflexões acerca disso.
Estas sínteses, ao final de cada semestre do PIBID, compõem o relatório final
de atividades dos bolsistas do programa, e auxiliaram no desenvolvimento
deste trabalho. Ainda, durante a aplicação dos planos, vale ressaltar que houve
momentos de comunicação dos relatos em reuniões do Grupo de Geometria do
PIBID, proporcionando um diálogo de experiências que corrobora para a
formação do futuro professor de Matemática e para as possíveis mudanças de
rotas no desenvolvimento da sequência no decorrer de sua aplicação. Como
exemplo, a avaliação final foi alterada de maneira a valorizar questões que
tratassem mais do olhar geométrico do aluno e menos da parte algébrica da
geometria, existente, por exemplo, no Teorema de Pitágoras.
DESENVOLVIMENTO
Primeiramente, os dois primeiros autores deste trabalho desenvolveram
uma sequência didática, para nonos anos do ensino fundamental, contendo
cinco aulas para o estudo dos triângulos. Intitulada por “O Triângulo Retângulo
e o Teorema de Pitágoras”, esta sequência, em sua versão final, trouxe na
primeira aula as classificações dos triângulos, na segunda os componentes do
triângulo retângulo, e, por fim, as conclusões de Pitágoras sobre esses
triângulos na terceira aula. Após estas três aulas, que trabalharam mais a parte
do olhar geométrico do aluno, a aula 4 foi preparada para resoluções de
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exercícios e situações-problemas pitagóricos. Por fim, a quinta aula tratou de
uma avaliação final contemplando todo o conteúdo trabalhado.
Quanto ao desenvolvimento do tema de Classificações de triângulos,
foco deste relato, observamos que algumas dessas classificações estão
definidas no caderno do professor, volume 2, 5ª série / 6º ano, 2014 – 2017,
ainda nas primeiras unidades. Segue trecho do caderno a respeito do assunto,
em Figura 2:
Figura 2. Imagem ilustrativa com um trecho do texto sob o título de “Conteúdos básicos do volume” do Caderno do Professor, volume 2, 5ª série / 6º ano do Ensino Fundamental, 2014 –
2017.
Nesse trecho, podemos observar a importância de tratar o assunto de
Classificações de Triângulos de maneira a motivar os alunos. São sugeridas,
para isso, aulas em que o aluno possa ser desafiado, seja através de jogos ou
dinâmicas, ou então através da utilização de materiais manipuláveis. Através
disso, os novos vocabulários poderão ser naturalmente apresentados, e
associados, quando possíveis, com outros vocabulários prévios dos alunos
para melhor compreensão.
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Entretanto, apesar dessas indicações no Caderno do Professor (2014-
2017), e de tratar desses assuntos em situações de aprendizagem, propondo
atividades mais envolventes, jogos e materiais manipuláveis, o Caderno não
traz a classificação de triângulos, quanto aos lados e quanto aos ângulos, de
maneira conjunta. Isto é, não há um momento em que as informações de um e
outro triângulo são colocadas lado a lado para uma comparação entre estas
formas. Inclusive, as classificações abordadas neste caderno se limitam aos
triângulos isósceles, equilátero, escaleno e retângulo, sem contemplar,
portanto, o obtusângulo e o acutângulo. Isso, pois os ângulos obtusos e agudos
são tratados apenas no Caderno do Professor da 6ª série / 7º ano do Ensino
Fundamental.
Tendo isso em vista, ao elaborar o plano de aula contendo esse tema
esperava-se que os alunos dos nonos anos, público-alvo da sequencia
desenvolvida, já tivessem visto o assunto em questão em anos anteriores. Ou
seja, os vocabulários, assim como as propriedades de um triângulo que dão
base para comparações e classificações, e também as próprias classificações,
já eram supostamente conhecidos pelos alunos. Assim, optamos por utilizar
apenas uma aula, como uma revisão desta parte, importante para o posterior
estudo mais profundo do triângulo retângulo.
Para essa retomada, no entanto, foi seguida a indicação de que este
tema não fosse abordado de maneira expositiva apenas. Embora o plano tenha
previsto a construção de duas tabelas na lousa, como na Figura 3 e 4, para
serem completados junto aos alunos, resgatando seus conhecimentos prévios,
foi criado um kit de triângulos modeláveis feitos de 3 (três) canudos dobráveis e
linha (como mostrado na Figura 1, p. 2).
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Figura 3. Tabela contendo a classificação de triângulos quanto aos seu lados. Fonte: Alison Simião, bolsista no PIBID.
Figura 4. Tabela contendo a classificação de triângulos quanto aos ângulos. Fonte: Alison Simião, bolsista no PIBID.
O desenvolvimento desta aula foi planejado da seguinte forma:
Através dos triângulos modeláveis, o aluno deverá explorar a
definição de triângulo, verificar os vértices, lados e ângulos do
triângulo.
Em seguida, verificará que é possível aumentar e diminuir seus
lados, alterando, assim, seus ângulos. E que para alterar um ângulo,
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também alterará o lado. Utilizando os dedos e/ou a régua, poderá
medir seus lados, e através do canto do caderno e/ou transferidor,
poderá medir seus ângulos, verificando quando são maiores, iguais
ou menores que 90º.
o Neste momento, é importante lembrar nomes dos ângulos
(reto, agudo, obtuso) que ajudam, depois, na classificação dos
triângulos segundo esses ângulos.
Depois, poderemos construir os triângulos e começar a completar as
tabelas:
o Primeiro, observando os lados, e ir representando-os através
de desenhos na lousa, conforme a coluna 3 da Figura 3. No
segundo momento, questionar sobre a presença ou não de
lados iguais nos triângulos. E, por fim, nomeá-los, segundo as
lembranças dos alunos, e também mostrando a origem dessas
palavras. Exemplo: equilátero: equi, “igual”, mais lateralis,
“relativo a lado”, de latus, “lado”. Ou seja, 3 lados iguais. E
assim por diante.
o Segundo, observando os ângulos, mostrando a existência de
um ângulo reto, depois de um ângulo maior que 90º e, por fim,
quando todos são menores que 90º. É importante relembrar
que o triângulo tem três ângulos internos cuja soma é 180º,
tema previsto no Caderno do Professor (2014-2017), no
volume 1, 6ª série / 7º ano do Ensino Fundamental, mais
especificamente na Situação de Aprendizagem 7 do Caderno
(p.66). Por isso não tem a possibilidade de um triângulo ter
mais de um ângulo reto ou obtuso, assim como não tem como
ter um reto e um obtuso ao mesmo tempo - se não a soma
daria maior que 180º, não sendo, portanto, um triângulo.
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Por fim, foi entregue uma lista contendo dois exercícios.
o A primeira questão solicitava aos alunos que construíssem os
seis casos de triângulos, dados o tamanho dos lados,
utilizando-se os dedos. Após essa construção, o aluno deveria
classificar esses triângulos quanto aos lados e ângulos.
Nessa construção é possível ser realizada a
classificação dos triângulos utilizando ferramentas não
usuais de medidas, já que não é necessário um algo
grau de precisão. Mas, é possível também utilizar régua
e transferidor para as verificações, ficando à critério do
aluno e da disponibilidade ou não dessas ferramentas.
Segue um caso, à exemplo, da questão:
1º Caso
(lado 1 = medida de 5 dedos; lado 2: medida de 5 dedos; lado 3
= medida de 4 dedos)
CLASSIFICAÇÃO: triângulo isósceles e acutângulo.
o A segunda questão foi proposta para observar os resultados
encontrados no exercício anterior e, a partir da análise de seus
elementos, responder verdadeiro ou falso para alguns itens.
Seguem, como exemplo, dois itens (de oito) dessa
questão:
( F ) Todo triângulo isósceles é equilátero.
( V ) Todo triângulo equilátero é isósceles.
Já na segunda aula, as classificações de triângulos serão usadas para
um estudo mais aprofundado do triângulo retângulo. Isso, da seguinte forma:
Iniciar a aula relembrando um pouco, sem precisar colocar
nada na lousa, as classificações dos triângulos.
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Com isso, questionar aos alunos: “Quando um exercício fala
que um tal triângulo é isósceles (mostrar na lousa), e dá ao
leitor o valor de um dos lados congruentes, eu preciso do valor
do outro lado, congruente ao dado?”, e seguir, depois da
discussão, para o mesmo questionamento quanto ao
equilátero, e posteriormente perguntar sobre o escaleno, para
os alunos verificarem que não conseguem, de forma direta,
obter informações que estão “escondidas” nesse caso.
Com isso, seguir perguntando: “será então que tem
informações que podem ser escondidas no triângulo
retângulo? O que sabemos sobre ele?”.
o A discussão gerada é importante, pois dá chance ao
aluno de construir uma hipótese, e de estimular seu
raciocínio, dando, inclusive, oportunidade ao pibidiano
de conhecer melhor o aluno e seus conceitos
previamente construídos.
Por fim, na quinta aula, o tema de classificação dos triângulos é
retomado através da avaliação final. São duas as questões que abordaram
esse tema:
QUESTÃO 1
(Avaliação final do PIBID) Classifique os triângulos abaixo em relação
aos ângulos (retângulo, acutângulo ou obtusângulo) e lados (isósceles,
equilátero ou escaleno):
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TRIÂNGULOS
CLASSIFICAÇÃO
LADOS ÂNGULOS
A
B
C
D
E
Tabela 2. Tabela para os alunos completarem com as classificações dos cinco triângulos dados.
Fonte própria
QUESTÃO 3
(Avaliação final do PIBID) Responda o que se pede nos itens a
seguir acerca dos triângulos indicados.
A
Quais são as classificações deste triângulo? Sabendo disso, qual é o tamanho do lado “x”?
B
Qual é a classificação do triângulo ao lado? Nele é possível esconder algum dos lados e depois descobrir quanto vale? Explique como isso é possível.
Tabela 3. Tabela elaborada pela Raissa Moda, já relacionando o tema de classificações de triângulos com o Teorema de Pitágoras, discussão que ocorreu nas aulas.
Fonte Própria
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No desenvolvimento deste plano, foi possível observar um maior
envolvimento dos alunos nas duas primeiras aulas se comparado com a
terceira. Isso, pois naquelas os alunos foram estimulados a pensar, a
investigar, a buscar soluções, e testar seus próprios conhecimentos, o que
acabou dando maior significação a estes conceitos que dos outros
desenvolvidos na terceira aula. Na avaliação final, por exemplo, foi observado
que os alunos conseguiam, com maior facilidade, desenvolver os temas
envolvendo o olhar geométrico, o conhecimento dos triângulos, inclusive do
retângulo, enquanto que tiveram grandes dificuldades na parte algébrica do
Teorema de Pitágoras, por exemplo, que foi abordado sem esses recursos na
terceira aula.
Nas questões da primeira aula, com a utilização dos triângulos
modeláveis, os alunos puderam ver, manipular e palpar os triângulos, material
que tem o potencial. Com isso, os alunos puderam estabelecer relações entre
os tamanhos dos lados dos triângulos e os ângulos, verificar o que acontece
com os ângulos se aumentados os lados proporcionalmente, dentre outros.
Portanto, essa experiência seguiu a orientação dos PCN’s (p.58) de estimular
os alunos a observarem as características de figuras bidimensionais,
permitindo com que identifiquem propriedades e estabeleçam, a partir disso, as
classificações.
Vale ressaltar que este kit de triângulos modeláveis foi feito com baixo
custo. Para fazer o triângulo, bastou cortar os canudos com o tamanho igual a
partir das dobras, que funcionam como os vértices dos triângulos, e depois
encaixar esses canudos um no outro, deixando assim os lados do triângulo
ajustáveis. Para aumentar a durabilidade do triângulo, foi utilizado uma linha
que passa pelos lados, para que não se perca nenhuma das partes dos
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canudos. Portanto, o kit foi de rápida confecção: em um dia foram feitos cerca
de 80 triângulos.
Por fim, outra observação que vale ser feita, a partir do desenvolvimento
das aulas e da avaliação final, é que, embora os alunos tenham ido melhor na
parte envolvendo classificações de triângulos na prova, observamos certa
hesitação por parte destes em relação a prova. Aqui vale o questionamento de
por que nos momentos dos exercícios nas aulas os alunos demonstram maior
entendimento que em uma prova? Será o problema com o método de
avaliação, ou então com a compreensão dos conceitos? Não é possível, neste
trabalho, uma resposta a estas perguntas. Mas vale refletir sobre a avaliação,
os tipos de perguntas elaboradas (se correspondem ou não ao trabalhado em
sala de aula), ou fatores de outras ordens.
CONSIDERAÇÕES FINAIS
A partir da análise dos documentos oficiais, mostra-se cada dia mais
importante uma reflexão quanto às abordagens adotadas pelos professores no
tratamento de assuntos, como o de Geometria. Nesse sentido, experiências
com a incorporação de materiais manipuláveis ou outras ferramentas didáticas
alternativas aos livros, apostilas e cadernos, para um processo de ensino e
aprendizagem mais significativo, se tornam essenciais. Nessas experiências,
os objetivos precisam estar bem explícitos e os papéis dos conteúdos bem
definidos para que possamos utilizar métodos, ferramentas e estratégias
adequadas neste processo. No PIBID, os bolsistas do grupo de Geometria, que
são futuros professores de Matemática, podem fazer essa experiência, como a
relatada neste trabalho.
Foi possível observar, portanto, que é possível criar materiais de baixo
custo para o ensino de Geometria. E também, que a aula se torna mais
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dinâmica quando estes tipos de materiais são utilizados. Consideramos
também que o material manipulável deve estar alicerçado em um Plano de
Aula que o torne dinâmico e significativo para os alunos, para isso foi
necessário que nós, pibidianos, entendêssemos as necessidades dos alunos e
as potencialidades do material.
Consideramos que ao optar por desenvolver o olhar geométrico nas
atividades de ensino de geometria foi possível aos alunos realizar a leitura do
triângulo e de seus elementos constitutivos, ângulos e lados, habilidade
necessária para estabelecer as características que definem a classificação dos
triângulos.
REFERÊNCIAS
BRASIL. Secretaria de Educação Fundamental. Parâmetros curriculares
nacionais: matemática / Secretaria de Educação Fundamental. Brasília:
MEC/SEF, 1997. 142p.
PAIS, Luis Carlos. Ensinar e aprender matemática. São Paulo: Autêntica,
2006. Disponível em:
<http://repositorio.furg.br/bitstream/handle/1/1085/primeiras%20etapas%20de%
20escolariza%C3%A7%C3%A3o.pdf?sequence=1>. Acesso em: 02 mai. 2016.
SECRETARIA DE EDUCAÇÃO DO ESTADO DE SÃO PAULO. Material de
apoio ao currículo do estado de são Paulo. Caderno do Professor:
Matemática. Ensino Fundamental – anos finais. 5ª série/6º ano. Vol.2. Edição
2014 – 2017.