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FACULDADE D. PEDRO IICurso: Curso Licenciatura em Pedagogia Disciplina: FUNDAMENTOS E METODOLOGIA DO ENSINO DA MATEMTICA Aluna(o) Professor: Adalberto Santos

A CONSTRUO DO CONHECIMENTO MATEMTICO Adalberto da Silva Santos Shirley Costa Este texto foi estruturado a partir da pesquisa e compilao das referncias citadas, bem como da nossa experincia em sala de aula como professores dos diversos segmentos da educao, voltada para Educao Matemtica. Tratar do conhecimento matemtico tratar das aes do homem em suas relaes de vida, sejam elas sociais, culturais, polticas, antropolgicas, ambientais, biolgicas, etc. Neste texto discutiremos sobre a aplicabilidade da matemtica ao cotidiano, caracterizando os conhecimentos matemticos, associando-o aos processos civilizatrios da humanidade. Enfatizando os conhecimentos necessrios a serem desenvolvidos na Educao Infantil e nos Anos Iniciais do Ensino Fundamental. de suma importncia o estudo e aprofundamento destes aspectos relacionados Caracterizao da Matemtica, para que voc possa ter uma melhor compreenso dos fenmenos relacionados ao ensino aprendizagem da Matemtica. Aqui faremos estudos sobre os fundamentos tericos e metodolgicos voltados para o ensino-aprendizagem da Matemtica na Educao Infantil e nos Anos Iniciais do Ensino Fundamental, identificaremos os conhecimentos matemticos como meios de compreender e interagir com o mundo a sua volta, percebendo o carter intelectual caracterstico da Matemtica, como aspecto que estimula o interesse, a curiosidade, o esprito de investigao e o desenvolvimento da capacidade de resolver problemas.

2 Vamos conhecer tambm funes as do

nmero quando e onde apliclo, a relao da

Acordei s 6h30min. Tomei um banho rpido, pois teria nesse dia, 2 reunies. Na primeira dessas reunies, seria tratada a questo da incluso de mais 10 alunos, nas 4 salas de 1 serie do Colgio So Joo.

criana com os aspectos quantificadores e abstratos do nmero e principalmente os esquemas bsicos para a aprendizagem da Matemtica pela criana. Voc j se deu conta do quanto sua vida est cercada por nmeros? Faa o seguinte exerccio: identifique todos os passos dados por voc no dia anterior, desde a hora (nmero) em que acordou, at a hora em que foi dormir. Veja o exemplo:

Quantas atividades voc elencou? Em que atividades executadas ontem foi necessrio o emprego do nmero, para melhor identific-las? Voc consegue imaginar-se vivendo sem os nmeros? Os nmeros incorporam-se, ao nosso dia-a-dia, de tal forma que no nos mais possvel prescindir deles.

A EVOLUO DA IDIA DO NMERO

3 A idia de nmero muito antiga. No existe um inventor, mas as situaes vividas pelo homem, participante da construo de sua prpria histria, em diversos lugares do mundo, promoveram o desenvolvimento da numerao falada ou escrita. A Histria nos mostra que o homem inventou vrias maneiras para realizar contagens e represent-las, e todas elas associadas s necessidades de sua poca. Todo seu processo de construo fez parte do seu prprio contexto histrico-cultural. A relao biunvoca (exemplo: para cada ovelha, uma pedra) esteve presente neste processo. Usando os dedos, contas, pedras, marcas (conjunto comparador), entre outros, o homem ia garantindo o conhecimento e a memria das quantidades j relacionadas. No entanto, a dificuldade de trabalhar com grandes quantidades foi exigindo mudana nas formas de registros. O registro escrito vai sendo construdo para facilitar a prpria vida humana. Imaginemos, por exemplo, o trabalho que tinham os homens ditos primitivos para registrar, com pedrinhas ou riscos, a quantidade de mil quatrocentos e vinte e seis ovelhas. Para ns basta escrever 1.426.

Vrios sistemas de representao escrita dos nmeros surgiram na histria da humanidade: o sistema de numerao egpcio, o da Mesopotmia, o romano, o maia, o arbico entre outros. Temos sistemas de numerao em diferentes bases: 2, 5, 10... A idia de nmero foi sendo construda desde os primrdios da humanidade e passou por muitas mudanas at os dias de hoje. Com seu sistema de nove sinais (o zero surge depois), o povo hindu contribuiu de forma significativa para o sistema de numerao decimal que usamos hoje. O sistema indo-arbico utilizado em quase todo o mundo apresenta alguns princpios bsicos:

4 i. Possuir base decimal, ou seja, a cada dez, formo um novo grupo da

ordem posterior. ii. Fazer uso de dez smbolos, que so os algarismos: 0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, para representar qualquer nmero desejado. iii. Ser um sistema de valor posicional, ou seja, o algarismo 2 pode valer 2, 20, 200... dependendo da ordem em que se encontre no nmero representado. Quando conhecemos um pouco da histria da construo dos nmeros (Visite o site http://vitoria.upf.tche.br/~pasqualotti/hiperdoc/matematica.htm), podemos perceber que o homem levou muitos milnios nesta construo. Com isto, pensamos que trabalhar a idia de nmero com crianas em processo escolar traz tona um pouco deste vasto conhecimento elaborado ao longo da histria da humanidade. Se, na condio de professores, nos colocarmos como observadores das estratgias apresentadas pelas crianas, veremos que algumas delas esto em comunho com as estratgias utilizadas pelo homem ao longo da inveno dos nmeros. A contagem utilizando os dedos uma das heranas de que at hoje fazemos uso. Os nmeros em nossa vida. Eles esto no endereo, nos documentos, nos telefones, etc. como podemos perceber, o nmero pode exercer vrias funes.

Dentre estas destacamos: Nmero localizador - quando utilizado parar indicar endereo, latitude ou distncia, por exemplo: moro na Rua 25 de maro, nmero 15; moro a 13 km de distncia do meu trabalho.

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5 Nmero identificador - quando utilizado em datas, telefones,

pginas, camisas de jogadores. Por exemplo: os cristos comemoram o Natal no dia 25 de dezembro; o telefone da Fundao Demcrito Rocha 0800-1010; O ala da Seleo Americana de Basquete, o nmero 7. Nmero ordenador - quando indica o andar de um apartamento, posio obtida em uma competio, sua posio na escala familiar. Por exemplo: moro no 4 andar; a seleo brasileira foi a quinta colocada na copa do mundo, na Alemanha. Nmero quantificador - quando indica a

velocidade, remunerao, consumo, altura e etc. Por exemplo: a velocidade mxima permitida na cidade de 60 km/h; a altura de Pedro 1,10m.

A relao da criana com o nmero. A intimidade que temos hoje, com os nmeros, s vezes impedem-nos de compreender as dificuldades que a criana enfrenta quando trava os primeiros contatos com eles. muito comum, quando comentem erros do tipo: i. ii. dizer a seqncia, fora de ordem e com repeties: um, dois, dez, cinco, sete, numa contagem de objetos, contarem o mesmo objeto mais de uma vez ou um cinco dois trs seis quatro iii. contar como se estivessem nomeando os objetos. Por exemplo: na contagem acreditam que o trs a terceira bolinha. sete dois, seis, sete,doze...; deixarem de contar algum:

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um

dois

trs

Esses procedimentos deixam transparecer que ainda no existe o domnio do conceito de nmero. Segundo Piaget (1981) (Visite o site para http://www.espirito.org.br/portal/palestras/piaget/piaget-biografia.html,

saber mais sobre Piaget), antes da criana chegar ao raciocnio abstrato, necessrio ao conhecimento matemtico, ela precisa passar por experincias concretas que aos poucos lhe proporcionaro conhecimentos cada vez mais complexos e abstratos. Piaget (1981), diz ainda que existem trs tipos de conhecimentos: o matemtico, o fsico e o social. O conhecimento social consiste das convenes estabelecidas pelas pessoas, de forma arbitrria e que so socialmente transmitidas, de forma repetida, de gerao em gerao. As crenas, as datas comemorativas, os nomes das coisas e objetos, so exemplos de conhecimento social.

O conhecimento fsico o conhecimento dos objetos da natureza, de suas caractersticas individuais, como peso, tamanho, cor, forma, caractersticas essas que podem ser notadas a partir da observao direta de que um objeto. Assim a percepo de que um objeto de uma determinada cor um conhecimento fsico.

O conhecimento matemtico de natureza bastante diferente da dos outros dois. Ele no pode ser ensinado e s estruturado pela ao reflexiva decorrente da manipulao de objetos. Assim, o conhecimento matemtico no est na percepo dos objetos e sim na relao que uma pessoa pode estabelecer mentalmente entre eles. Estabelecer diferenas e semelhanas entre os objetos um exemplo de

7 conhecimento matemtico. Ao compararmos duas fichas, uma azul e outra vermelha, a diferena entre elas no est nem na ficha azul e nem na ficha vermelha e sim na comparao que a pessoa venha a fazer entre esses dois objetos. Se estivermos interessados nas fichas independentes da sua cor, ento esta diferena (cor), no ser levada em conta, no existir, para ns.

AZUL

VERMELHA

Ao tomarmos uma ficha vermelha e outra azul, podemos exemplificar os trs tipos de conhecimentos. Quando dizemos que temos duas fichas uma azul e uma outra vermelha estamos lidando como o conhecimento fsico (percepo da cor do objeto); com o conhecimento social (o nome das cores); e com o conhecimento matemtico quando dizemos que temos duas fichas e quando dizemos que elas so diferentes por causa da cor (relao). Conclumos, portanto, que nmero faz parte do conhecimento matemtico. A criana precisa pegar, juntar, separar, apertar, amassar objetos slidos, massas, lquidos para chegar aos conceitos e aes prprios do conhecimento matemtico. Atravs da manipulao desses materiais sero trabalhados os sete esquemas mentais bsicos para aprendizagem da matemtica: incluso, Classificao, sequenciao, comparao, conservao, correspondncia, ordenao. ESQUEMAS BSICOS PARA A APREDIZAGEM DA MATEMTICA Segundo Piaget (1981), nmero uma sntese de dois esquemas mentais bsicos: ordenao e a incluso. Nesta seo caracterizaremos cada um dos esquemas bsicos para aprendizagem da matemtica. Esses esquemas devem ser trabalhados com as crianas a fim de que estas venham a desenvolver o conceito de nmero.

Comparao

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Semelhanas Brinquedos Cor branca

Diferenas Forma Tamanho

A comparao o ato de examinar para estabelecer diferenas ou semelhanas. Assim, quando olhamos para um gato ou um cachorro e percebemos que eles so diferentes por serem animais diferentes (gato e cachorro) e possuem em comum o fato de serem animais, ns estamos comparando os dois. Ao olhar para um tringulo grande azul e outro pequeno e vermelho, a criana que percebe que as duas figuras possuem em comum as caractersticas de um tringulo (semelhanas), mas possuem pelo menos duas diferenas: o tamanho (uma grande e o outro pequeno) e a cor (um azul e o outro vermelho), est estabelecendo uma comparao entre os objetos.

Os

Blocos

Lgicos

(Visite

o

site

http://www.ensino.net/novaescola/111_abr98/html/matematica.htm) so um timo recurso para trabalhar: cor, forma, tamanho, espessura. Entretanto, esses mesmos atributos podem ser trabalhados com outros materiais como: brinquedos, material escolar, colees de objetos, etc. muitas das atividades feitas em sala de aulas se prestam ao desenvolvimento da capacidade de comparar objetos. O processo mental de comparao importante, pois estabelecendo diferenas e semelhanas que se chega classificao.

Classificao Classificar separar objetos, pessoas e idias em categorias de acordo com atributos percebidos por meio de semelhanas ou diferenas. A classificao deve comear de maneira espontnea, onde a prpria criana de posse de um grupo de objetos

9 determina o que so semelhantes, e diferentes segundo o seu critrio de classificao. importante que, inicialmente, as crianas sejam incentivadas a separar os objetos de acordo com a sua prpria classificao, sem determinao prvia do professor. Vale ressaltar que neste tipo de atividade no h respostas certas e nem erradas. Todas estaro corretas segundo a lgica de quem est classificando. Assim de posse de: bola, carrinho, boneca, caderno, giz, par de meias, banana, ma a criana pode perceber que o atributo ser brinquedo pode servir a carrinho, boneca, bola e no aos demais objetos.

Neste momento, ao professor caber, apenas, a tarefa de identificar junto ao aluno os critrios que este est empregando para fazer sua classificao. Num momento posterior o professor poder dar os atributos e os alunos devero separar os objetos, segundo esses atributos. Para as atividades de classificao, alm do material existente na escola, importante que os alunos contribuam, trazendo suas prprias colees: chaveiros, tampinhas, botes, figurinhas, carrinhos, sementes etc. Incluso Incluir o ato de abranger, envolver um conjunto ou idia por outro (a). , em termos matemticos, a percepo da existncia de subconjuntos de um determinado conjunto. Incluir um conjunto em outro significa, basicamente, encontrar um atributo que generalize e o atributo do conjunto que vai ser includo. Assim se temos um conjunto de gatos e outro de cachorros esses elementos, formam conjuntos diferentes. Mas, olhando para o conjunto de todos os animais, os gatos e os cachorros pertencem ao mesmo conjunto. Portanto, o conjunto dos animais ou, em outras palavras o conjunto dos gatos est contido ou includo no conjunto dos animais. O mesmo se aplicando ao conjunto dos cachorros. Dominar a incluso de classes se faz necessrio, pois para construir com significado a seqncia numrica a criana deve perceber que cada

10 nmero, a partir do um, est includo dentro do nmero seguinte. Quando a criana no percebe tal fato, ela simplesmente nomeia os nmeros, ou seja, ela os canta e no os conta. Cantando:um dois trs quatro

Contando:um dois trs quatro

Correspondncia Antes de aprender a contar a criana j pode comparar duas quantidades. Isto pode ser feito por meio do emparelhamento de elementos de uma coleo com os da outra. Por exemplo, para sabermos se existem mais pessoas do que cadeiras em um determinado local basta que associemos a cada pessoa uma cadeira. Se sobrarem pessoas sem cadeira porque existem mais pessoas do que cadeiras, se sobrarem cadeiras porque existem mais cadeiras do que pessoas. Se, por outro lado, der uma cadeira para cada pessoa e no sobrarem pessoas nem cadeiras porque existe o mesmo nmero de cadeiras. Mais pessoas Mais cadeiras Mesma quantidade

Neste caso, dizemos que existe uma correspondncia um a um entre os elementos das duas colees ou entre duas colees. A criana deve tomar conscincia de que o emparelhamento ou a correspondncia um a um , excetuando-se a contagem, a melhor ferramenta para se comparar quantidade de elementos de dois conjuntos, ou melhor, para estabelecer dentre dois conjuntos aquele que possui mais elementos. Inicialmente comparando quantidades bastante diferentes, a criana percebe os conceitos de mais e de menos, de muito e de pouco e de diferente. Estes conceitos precisam ser refinados. Para isso deve-se

11 coloc-la diante de situaes em que no se possui mais elementos. Com isso estaremos desenvolvendo na criana sua capacidade de estabelecer a correspondncia um a um. Sequenciao Sequenciar fazer suceder, a cada elemento, um outro, sem levar em conta a ordem linear de grandeza desses elementos. Assim quando dispomos lado a lado, um objeto grande ao lado de um pequeno estamos diante de uma seqncia. Uma das atividades bastante comuns de sequenciao a de colares de contas, neles pode-se sequenciar utilizando vrios atributos como: tamanho das contas, formato, cor etc.

A sequenciao um processo muito importante para o desenvolvimento do conceito de nmero. Alm disso, a sequenciao tambm muito importante quando da escrita dos numerais, as crianas devem perceber que o numeral 13 diferente do numeral 31, embora sejam constitudas dos mesmos algarismos. A diferena resultante da seqncia em que os algarismos aparecem. Ordenao Ordenao a sequenciao de objetos segundo uma ordem direta e linear de grandeza, ou seja, segundo uma ordem crescente ou decrescente. Assim, a ordenao envolve um conceito matemtico, enquanto a sequenciao no, necessariamente envolve. Vale ressaltar que a criana comea ordenando pequenas quantidades de objetos. Somente com a manuteno de suas estruturas mentais que ela consegue ordenar quantidades maiores de objetos.

Or Ordem decrescente Conservao

dem

crescente

a percepo de que a quantidade no depende da arrumao, forma ou posio dos objetos. A passagem do estagio de no-conservao para o de conservao, um

12 processo gradual, esta mudana , em grande parte, resultante de aes que as crianas realizam sobre os objetos. Se mostrarmos a uma criana com menos de 7 anos duas fileiras com igual nmero de objetos emparelhados e pedirmos que compare ambas as fileiras e diga em qual delas h mais objetos, ela diria que possuem a mesma quantidade de objetos. Se espalhssemos os objetos de uma das fileiras ela agora acreditaria que na fileira dos objetos espalhados h mais objetos. Mesmo que a ao de espalhar fosse feita na sua frente. Mesmo que contssemos os objetos ela continuaria afirmando que na fileira dos objetos espalhados h mais objetos. A criana nesta idade no desenvolveu a conservao do nmero. Ela ainda no consegue perceber que o nmero de elementos no sofreu alterao. A criana encontra-se presa ao conhecimento perceptvel. Quando colocada diante de um problema em que solues cognitivas e perceptivas se conflitam, ela toma decises baseadas em indicadores perceptivos. Problemas semelhantes ocorrem com relao conservao de massas, rea, volume e peso. Vale ressaltar ainda que a aquisio de esquemas que permitem perceber a conservao no acontece ao mesmo tempo pra todas as reas, eles so adquiridos na seqncia a seguir, conforme as idades: Conservao de: Nmero Massa rea Volume lquido Peso Volume Slido Idade 56 78 78 7-8 9 -10 11 12

indispensvel conhecer o indispensvel conhecer o momento adequado para momento adequado para trabalhar trabalhar matemticas, matemticas, as noes as noes a fim de que a fim de que e educando e educando

educador educador consigam xito no processo consigam xito no processo de ensino-aprendizagem. de ensino-aprendizagem.

Consideraes Finais Vimos neste texto que os nmeros incorporaram-se em nossa vida de tal forma que no mais possvel prescindir deles, Segundo Piaget (1981), existem trs tipos de conhecimentos que proporcionam a aprendizagem da matemtica, que so: o social , o fsico e o matemtico. Para a criana desenvolver o conhecimento de nmero preciso trabalhar os sete esquemas mentais bsicos da aprendizagem da matemtica, comparar, classificar, corresponder, incluir, sequenciar, ordenar e conservar, cada um

13 desses esquemas deve ser trabalhado vrias vezes e de diversas formas com diferentes tipos de materiais. Observamos tambm que e importante valorizar o conhecimento numrico, que o aluno traz ao iniciar a aprendizagem em Matemtica. Os alunos constroem significados a partir de mltiplas e complexas interaes. Pudemos perceber que a Matemtica est presente em nossas aes cotidianas, para o desempenho das nossas funes profissionais, sendo assim, de suma importncia para o desenvolvimento da sociedade contempornea. Vimos tambm que o ensino da Matemtica no pode ser mais dissociado da realidade, devendo o mesmo tornar o aluno apto para atividades que permitam se relacionar com o mundo a sua volta e o exerccio da cidadania. Um outro aspecto abordado no texto est ligado questo histrica do desenvolvimento da Matemtica, para formao dos alunos, bom desmistificar a Matemtica mostrando que ela uma obra humana, feita por homens em tempos historicamente datados, e em evoluo constante. Referncias: Brasil. Parmetros curriculares nacionais de Matemtica: 1 a 4 srie, Vol 3. Braslia: MEC/SEF, 2001 BRASIL. Ministrio da Educao e do Desporto/ SEF. Referencial Curricular para Educao Infantil, Vol 3. Braslia: MEC, 1998. CENTURIN, Marilia. Nmeros e operaes .So Paulo: Scipione, 1994. KAMII, Constance. Crianas pequenas continuam reinventando a aritmtica (sries iniciais): implicaes da Teoria de Piaget / Constance Kamii com Linda Joseph; trad. Vincius Figueira. 2. ed. Porto Alegre: Artmed, 2005. KAMII, Constance. A Criana e o Nmero . So Paulo: Papirus, 1995. NETO, E. R. Didtica da Matemtica. 11a ed. So Paulo : Editora Atica.2001 PIRES, Magna Natalia Marin, Fundamentos Tericos do Pensamento Matemtico. Curitiba: IESD,2006.

14 RANGEL,A.C.S. Educao Matemtica e a construo do nmero pela criana ; uma experincia em diferentes contextos scio-econmicos. Porto Alegre: Artmed Editora ,, 1992 SAIZ, C. P. I. Didtica da Matemtica : reimpresso.Porto Alegre: Artmed Editora , 2001. reflexes psicopedaggicas. 2

SMOLE, Ktia Stocco. Ler, escrever e resolver problemas: habilidades bsicas para aprender Matemtica. / Ktia Stocco Smole e Maria Ignez Diniz. Porto Alegre: Artmed Editora, 2001. TOLEDO , M. e TOLEDO M, Didtica da Matemtica : como dois e dois : a construo da matemtica. So Paulo ; FDT ,1997.