“a aprendizagem depende do · mas para compreendermos o que é uma proporção, ... é o...

1 PROJETO SIMULADÃO– http://uehelenacarvalho.wordpress.com -FINACEIRA PROF. RANILDO LOPES 1

APOSTILA RESUMO PROF: RANILDO LOPES ALUNO(A)___________________________________

APOSTILA DE : FRAÇÕES

PORCENTAGEM JUROS

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“A Aprendizagem depende do querer aprender do aluno”

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1.RAZÕES E PROPORÇÕES:

Revisar o estudo de proporções é neste momento muito importante, já que todos os temas a

serem trabalhados neste semestre se baseiam nas grandezas proporcionais. Mas para compreendermos o

que é uma proporção, necessitamos, primeiramente, recordar o conceito de razão em Matemática.

1.1.Razão:

Você já deve ter ouvido expressões como: “De cada 20 habitantes, 5 são analfabetos”, “De

cada 10 alunos, 2 gostam de Matemática”, “Um dia de sol para cada dois dias de chuva”.

Em cada uma dessas frases está sempre clara a comparação entre dois números. No primeiro

caso, destacamos 5 entre 20, no segundo, 2 entre 10, e no terceiro, 1 para cada 2.

Todas as comparações são matematicamente expressas por um quociente chamado

razão.Temos, então:

1) De cada 20 habitantes, 5 são analfabetos. Razão =20

5=

4

1

2) De cada 10 alunos, 2 gostam de Matemática. Razão = 10

2 =

5

1

3) Um dia de sol, para cada dois de chuva. Razão = ½

Portanto, razão entre dois números a e b (com b ≠0) é o quociente entre a e b.

Indica-se: b

a ou a : b e lê-se a para b.

O número a é chamado antecedente e o número b, conseqüente.

Exemplos:

1. A razão de 3 para 12 é: 12

3= ¼

2. A razão de 20 para 5 é: 5

20= 4

3. A razão de 5 e ½ é = 5 . 1

2= 10

1.2.Razão de duas grandezas:

Considerando grandeza como tudo o que pode ser medido, podemos dizer que a razão entre

duas grandezas, dadas em uma certa ordem, é a razão entre a medida da primeira grandeza e a medida da

segunda grandeza.

- Se as grandezas são da mesma espécie, suas medidas devem ser expressas na mesma

unidade. Neste caso, a razão é um número puro.

Exemplos:

1.A razão de 2 m para 3 m é: m

m

3

2

3

2

2.A razão de 30 dm para 6 m = m

dm

6

30 =

m

m

6

3 = ½

- Se as grandezas não são da mesma espécie, a razão é um número cuja unidade depende das

unidades das grandezas a partir das quais se determina a razão.

Exemplo:

Um automóvel percorre 160 Km em 2 horas. A razão entre a distância percorrida e o tempo gasto

em percorrê-la é:

h

km

2

160= 80 Km/h

ATIVIDADES:



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1.Calcule a razão entre as grandezas:

a) 256 e 960 b) 1,25 e 3,75 c) 5 e 1/3 d) 1/2 e 0,2 e) 27 m³ e 3 l de

álcool f) 24 Kg e 80 000 g g) 40 g e 5 cm³ h) 20 cm e 4 dm i) 20 d e 2 me 15 d

2.No vestibular de 2005 da FEMA concorreram, para 50 vagas da opção Administração,150

candidatos. Qual a relação candidato vaga para essa opção?

3.Tenho duas soluções de água e álcool. A primeira contém 279 litros de álcool e 1 116 litros de

água. A segunda contém 1 155 litros de álcool e 5 775 litros de água. Qual das duas soluções tem maior

teor alcoólico?

4.Numa prova de matemática, um aluno acertou 20 questões e errou 5. Escreva a razão entre:

a) o número de acertos e o número de questões

b) o número de acertos e o número de erros

1.3.Proporção:

Existem situações em que as grandezas que estão sendo comparadas podem ser expressas

por razões com antecedentes e conseqüentes diferentes, porém com o mesmo quociente. Assim, ao dizer

que de 40 alunos entrevistados, 10 gostam de Matemática, poderemos supor que, se forem entrevistados 80

alunos da mesma escola, 20 deverão gostar de Matemática. Na verdade, estamos afirmando que 10 estão

representando em 40 o mesmo que 20 em 80.

Escrevemos: 40

10=

80

20

A esse tipo de igualdade entre duas razões dá-se o nome de proporção.

Portanto:

Dadas duas razões a/b e c/d com b e d ≠ 0, teremos uma proporção se a/b = c/d A proporção também pode ser representada como a : b : : c : d

* Lê-se: a está para b assim como c está para d

* a e d são chamados extremos e b e c são chamados meios.

Propriedade fundamental das proporções:

Exemplo:

4

2=

18

9 2 : 4 : : 9 : 18 2. 18 = 4. 9 36 = 36

Transformações de uma proporção:

Transformar uma proporção é escrever seus termos em uma ordem diferente de modo que a

igualdade dos produtos dos meios e extremos não sofra alteração.

Exemplo:

Dada a proporção 5/8 = 20/32, podemos transformá-la :

alternando os extremos: 32/8 = 20/5 32 . 5 = 8 . 20 160 = 160

alternando os meios: 5/20 = 8/32 5 . 32 = 20 . 8 160 = 160

invertendo os termos; 8/5 = 32/20 8 . 20 = 5 . 32 160 = 160

transpondo as razões: 20/32 = 5/ 8 20 . 8 = 32 . 5 160 = 160

Propriedade fundamental para série de razões iguais ( ou proporção múltipla):

Exemplo:

3

6

5

10

6

12

4

8

4653

812106

=

3

6 ou

5

10 ou

6

12 ou

4

8

ATIVIDADES:

Em toda proporção, o produto dos meios é igual ao produto dos extremos, e vice-versa.

Em uma série de razões iguais , a soma dos antecedentes está para a soma dos

conseqüentes assim como qualquer antecedente está para o seu respectivo conseqüente.



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1.Verificar se são ou não proporções as seguintes igualdades:

a) 4/15 = 72/270 b) 0,75/ 0,25 = 3 c) 2

82,45,9 =

60

1,14 d)

3/2

9/5=

8,0

3/2

2.Encontrar o valor de x nas proporções:

a) x/20 = 4/10 b 12/121 = 6/x c) x

x 2 =

3

2

x

3.Escreva quatro proporções utilizando os números 3,4, 6 e 8.

4.Calcular x e y na proporção x/7 = y/12, sabendo que x + y = 76.

5.Na série de razões x/10 = y/120 = z/14, calcular x, y e z, sabendo que x + y + z = 88.

2.GRANDEZAS PROPORCIONAIS:

A maioria dos problemas que se apresentam em nosso dia-a-dia liga duas grandezas de tal

forma que, quando uma delas varia, como conseqüência varia também a outra.

Assim, a quantidade de combustível gasto por um automóvel depende do número de

quilômetros percorridos. O tempo numa construção depende do número de operários empregados. O

salário está relacionado aos dias de trabalho.

A relação entre duas grandezas estabelece a lei de variação dos valores de uma em relação à

outra. Existem dois tipos básicos de dependência entre grandezas proporcionais: a proporção direta e a

proporção inversa.

2.1.PROPORÇÃO DIRETA OU GRANDEZAS DIRETAMENTE PROPORCIONAIS:

Se analisarmos duas grandezas como trabalho e remuneração, velocidade média e distância

percorrida, área e preço de um terreno, altura de um objeto e comprimento da sombra projetada ...,

veremos que aumentando ou diminuindo uma delas a outra também aumenta ou diminui.

Então:

Exemplo 1:

Um grupo de pessoas se instalou num acampamento que cobra R$ 10,00, a diária individual. Veja

na tabela a relação entre o número de pessoas e a despesa diária.

Número de pessoas

1

2

4

5

10

Despesa diária

10,00

20,00

40,00

50,00

100,00

Percebemos que a razão de aumento do número de pessoas é a mesma para o aumento da despesa.

É, portanto, uma proporção direta. As grandezas número de pessoas e despesa diária são diretamente

proporcionais, ou seja, a razão entre o número de pessoas e despesa diária são iguais:

1/10 = 2/20 = 4/40 = 5/50 = 10/100

1/10 1/10 1/10 1/10 1/10

Exemplo 2:

Duas grandezas variáveis são diretamente proporcionais quando,

aumentando ou diminuindo uma delas numa determinada razão, a outra aumenta

ou diminui nessa mesma razão. As razões de cada elemento da primeira por cada

elemento correspondente da segunda são iguais, ou seja, possuem o mesmo

coeficiente de proporcionalidade.



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Os números 3, 10 e 8 são diretamente proporcionais aos números 6, 20 e 16, nessa ordem, porque

possuem a mesma razão ou o mesmo coeficiente de proporcionalidade:

3/ 6 = 10/20 = 8/16

½ = ½ = ½

2.2. PROPORÇÃO INVERSA OU GRANDEZAS INVERSAMENTE PROPORCIONAIS:

Se analisarmos duas grandezas como tempo de trabalho e número de operários para a mesma

tarefa, velocidade média e tempo de viagem, número de torneiras e tempo para encher um tanque...,

veremos que aumentando uma grandeza , a outra diminuirá.

Então:

Exemplo 1:

Suponhamos que no exemplo analisado na folha anterior (razão direta), a quantia gasta

pelo grupo de pessoas seja sempre R$ 200,00. Então, o tempo de permanência do grupo dependerá do

número de pessoas. Analise a tabela:

Número de pessoas

1

2

4

5

10

Tempo de permanência (dias)

20

10

5

4

2

Percebemos que, se dobrarmos o número de pessoas, o tempo de permanência se reduzirá à

metade. É, portanto, uma proporção inversa. As grandezas número de pessoas e número de dias são

inversamente proporcionais. A razão entre o número de pessoas é igual ao inverso da razão do tempo de

permanência:

20/1

1

10/1

2

5/1

4

4/1

5

2/1

10 = 20

Exemplo 2:

Os números 9, 6 e 2 são inversamente proporcionais aos números 4, 6 e 18, nessa ordem,

porque a razão entre cada elemento da primeira sucessão e o inverso do elemento correspondentes na

segunda sucessão são iguais.

4/1

9

6/1

6

18/1

2 = 16

ATIVIDADES:

1.Verificar se os números 18, 6 e 3 são ou não diretamente proporcionais aos números 6, 2 e 1.

2.Verificar se os números da sucessão (30,24,20) são ou não inversamente proporcionais aos

números da sucessão (4,5,6)

3.Encontrar x e y, sabendo que os números 20, x, y são diretamente proporcionais aos números 4,

2 e 1.

4.Encontrar x, y e z sabendo que as sucessões (x, 3, z) e (9, y, 36) são inversamente proporcionais

com coeficiente de proporcionalidade igual a 36.

5.O número de dias gastos na execução de uma obra é direta ou inversamente proporcional ao

número de máquinas empregadas na obra? Por que?

Duas grandezas são inversamente proporcionais quando, aumentando (ou

diminuindo ) uma delas numa determinada razão, a outra diminui (ou aumenta) na

mesma razão. As razões de cada elemento da primeira pelo inverso de cada

elemento correspondente da segunda são iguais. Em outras palavras, duas

grandezas são inversamente proporcionais quando os elementos da primeira

grandeza forem diretamente proporcionais ao inverso dos elementos da segunda

grandeza.



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3.DIVISÃO PROPORCIONAl:

3.1.Divisão em partes diretamente proporcionais: Duas pessoas, A e B, trabalharam numa determinada tarefa, sendo que A trabalhou durante 6

horas e B durante 5 horas. Como elas irão dividir com justiça R$ 660,00 que serão pagos por essa tarefa?

Na verdade, o que cada uma tem a receber deve ser diretamente proporcional ao tempo gasto

durante a realização da tarefa. Portanto:

No problema acima, devemos dividir 660 em partes diretamente proporcionais a 6 e 5, que

são as horas que as pessoas A e B trabalharam.

Chamamos de x o que A tem a receber e de y o que B tem a receber. Então:

x + y = 660 e x/6 = y/5

Aplicando as propriedades de proporção que vimos em aulas anteriores, podemos resolver :

56

yx

6

x=

5

y

11

660 =

6

x =

5

y

Onde:

11

660 =

6

x

11

660=

5

y

x = 360 y = 300

Concluindo, A deve receber R$ 360,00, enquanto B receberá R$ 300,00.

3.2.Divisão em partes inversamente proporcionais:

E se tivéssemos que efetuar uma divisão em partes inversamente proporcionais?

Por exemplo: Duas pessoas A e B trabalharam durante um mesmo período para fabricar e vender

por R$ 160,00 um certo artigo. Se A chegou atrasado ao trabalho 3 dias e B, 5 dias, como efetuar essa

divisão com justiça?

O problema agora é dividir R$ 160,00 em partes inversamente proporcionais a 3 e 5, pois deve ser

levado em consideração que aquele que se atrasa mais deve receber menos.

Nesse problema, temos que dividir 160 em partes inversamente proporcionais a 3 e 5, que

são os números de atraso de A e B. Para realizar essa divisão, chamaremos de x o que A tem a receber e de

y o que B tem a receber.

x + y = 160

3/1

x

5/1

y

5/13/1

yx =

15/8

160

15/8

160 =

3/1

x x = 100

15/8

160=

5/1

y

y = 60

Concluindo, A deve receber R$ 100,00 e B receberá R$ 60,00.

ATIVIDADES:

1.Dividir 720 em partes diretamente proporcionais a 4, 6 e 8. (160,240,320)

2.Dividir o número 260 em parte inversamente proporcionais aos números 2, 3 e 4. (120, 80 e 60)

Dividir um número em partes diretamente proporcionais a outros números

dados significa encontrar parcelas desse número que são diretamente proporcionais

aos números dados e que, somadas, reproduzam esse número.

Dividir um número em partes inversamente proporcionais a outros números

dados é encontrar parcelas desse número que sejam diretamente proporcionais aos

inversos desses números dados.



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3.Dois operários contratam um serviço por R$ 180,00. Como devem repartir essa quantia, se um

trabalhou 7 horas e o outro 8 horas, sendo a divisão diretamente proporcional ao tempo de trabalho? (84

e 96)

4.A Federação Brasileira de futebol resolveu distribui prêmios num total de 320.000,00 para os

quatro jogadores brasileiros que tiveram o melhor ataque durante a Copa do Mundo, ou seja, para

aqueles que fizeram o maior número de gols na razão direta desses gols. Os jogadores premiados fizeram

9, 6, 3 e 2 gols. Quanto recebeu cada jogador? (144 000, 96 000, 48 000 e 32 000)

5.Um pai deixou R$ 2 870 00 para serem divididos entre seus três filhos na razão inversa de suas

idades: 8, 12 e 28 anos. Quanto recebeu cada um? ( 1 470, 980, 420)

6.Um número foi dividido em partes diretamente proporcionais a 4 e 3. Sabendo que a parte

correspondente a 4 era 2 000, encontre esse número. (3 500)

3.3.Divisão proporcional composta:

Vamos analisar a seguinte situação:

Uma empreiteira foi contratada para pavimentar uma rua. Ela dividiu o trabalho em duas turmas,

prometendo pagá-las proporcionalmente. A tarefa foi realizada da seguinte maneira: na primeira turma,

10 homens trabalharam durante 5 dias; na segunda turma, 12 homens trabalharam durante 4 dias.

Sabendo que a empreiteira tinha R$ 29 400,00 disponíveis, como dividir com justiça essa quantia entre as

duas turmas de trabalho?

Essa divisão não é da mesma natureza das anteriores. Trata-se de uma divisão composta em partes

proporcionais, pois os números obtidos deverão ser proporcionais a dois números de homens e também a

dois números de dias trabalhados. Analisando veremos que:

- Na primeira turma: 10 homens em 5 dias produzem o mesmo que 50 homens em um dia (10 . 5).

- Na segunda turma:12homens trabalhando 4 dias equivale a 48 homens num único dia (12 . 4 ).

Portanto:

Resolvendo o problemas, temos:

5.10

x =

4.12

y ou

50

x =

48

y

4850

yx=

50

x

98

29400=

50

x x = 15 000

Como x + y = 29 400 y = 19 400 – 15 000 = 14 400

Assim, a primeira turma deverá receber R$ 15 000,00 da empreiteira e a segunda R$ 14

400,00

ATIVIDADES:

1.Dividir o número 4 680 em partes diretamente proporcionais a 3 e 6 e, em seguida, diretamente

proporcionais a 5 e 4. ( 1 800 e 2 880)

2.Dividir o número 2 640 em partes diretamente proporcionais a ¾ e ½ e inversamente

proporcionais a 5/6 e 2/3. ( 1 440 e 1 200)

3.Um milionário resolveu dividir parte de sua fortuna entre três sobrinhas, de modo que a divisão

fosse diretamente proporcionais às suas idades e inversamente proporcionais a seus pesos. As moças

tinha 16, 18 e 21 anos e pesavam, respectivamente, 52, 48 e 50 quilos. A quantia a ser dividida entre elas

era de R$ 5 734 000, 00. Quanto cada uma recebeu? ( 1 600 000, 1 950 000, 2 184 000)

4.(BB)A importância de R$ 20 650,00 foi dividida entre duas pessoas. A primeira recebeu na

razão direta de 8 e na razão inversa de 3; a segunda recebeu na razão direta de 9 e na razão inversa de

4. Quanto recebeu cada pessoa? ( 11 200 e 9 450)

5.(TTN) Um comerciante deseja premiar, no primeiro dia útil de cada mês, os três primeiros

fregueses que chegarem ao seu estabelecimento. Para tanto, dividiu R$ 507,00 em partes inversamente

Para dividir um número em partes, de tal forma que uma delas seja proporcional a

m e n e a outra a p e q, basta dividir esse número em partes proporcionais a m . n e

p . q.



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proporcionais a 2 ¼ , 3

5 e 1,2. Nessas condições, qual o prêmio de menor valor a ser pago?

(120)

6.(TTN) Dividindo o número 570 em três partes, de tal forma que a primeira esteja para a segunda

como 4 está para 5 e a segunda esteja para a terceira como 6 está para 12. Qual o valor da 3ª parte?

(300)

4.REGRA DE SOCIEDADE:

Quando duas ou mais pessoas se juntam, formando uma sociedade numa atividade com fins

lucrativos, é justo que os lucros ou prejuízos, sejam divididos entre elas, proporcionalmente ao capital que

cada uma empregou e ao tempo que o capital esteve empregado.

Na resolução de situações-problema dessa natureza, usa-se a chamada regra de sociedade, que

consiste em dividir a quantia considerada em partes diretamente proporcionais ao capital

empregado, ao tempo de aplicação ou a outras grandezas. É, portanto, uma das aplicações da divisão

proporcional, que tem como objeto a divisão dos lucros ou dos prejuízos entre sócios que formam uma

sociedade. Uma sociedade pode ser classificada em simples ou composta, dependendo dos capitais

aplicados e dos períodos de tempo de aplicação que podem ser iguais ou diferentes para cada sócio.

4.1.REGRA DE SOCIEDADE SIMPLES

1º caso: Os capitais são iguais e aplicados durante o mesmo tempo:

O lucro ou o prejuízo é dividido pelo número de sócios.

Exemplo:

Três sócios obtiveram um lucro de R$ 222.600,00. Sabendo que seus capitais eram iguais

qual a parte de cada um dos sócios?

Neste caso, basta dividir o lucro pelo número de sócios.

3

222600 = 74 200 Logo, a parte de cada sócio é de R$ 74 200,00

2º caso: Os capitais são diferentes e empregados durante o mesmo tempo:

Neste caso, dividimos o lucro ou o prejuízo em parte diretamente proporcionais aos capitais dos

sócios.

Exemplo:

Por ocasião do balanço anual de uma firma comercial formada por três sócios, verificou-se um

prejuízo de R$ 27 000. Qual a parte correspondente a cada sócio se os seus capitais são de R$ 54 000, R$

45 000 e R$ 36 000.

54000

x =

45000

y =

36000

z

135000

27000=

54000

x =

45000

y=

36000

z

x = 10 800 y = 9 000 z = 7 200

Logo, o prejuízo correspondente a cada sócio é, respectivamente, de : R$ 10 800 , R$ 9 000 e

R$ 7 2000.

3º caso: Os capitais são iguais e empregados durante tempos diferentes:

Os lucros e os prejuízos são divididos em partes diretamente proporcionais aos períodos de

tempo em que os capitais ficaram investidos.

Exemplo:

Três amigos A, B e C, juntaram-se numa sociedade com idêntica participação no capital

inicial. A deixou seu capital durante 4 meses, B por 6 meses e C por 3 meses e meio. Sabendo que, ao final

de um ano, houve um lucro de R$ 162 000, 00, como dividir essa quantia entre os três?



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120

A =

180

B=

105

C

405

162000 =

120

A =

180

B=

105

C A = 48 00 B = 72 000 C =

42 000

Na prática este caso não ocorre, porque , em uma sociedade, os sócios não podem

permanecer por tempo desiguais. No momento em que um antigo sócio se retira ou um novo sócio é

admitido, procede-se a uma reforma do contrato social, após o balanço.

4.2.REGRA DE SOCIEDADE COMPOSTA

Na sociedade composta, tanto os capitais quanto os períodos de investimento são diferentes

para cada sócio. Trata-se, portanto, de dividir os lucros ou os prejuízos em partes diretamente

proporcionais, tanto ao capital quanto ao período de investimento.

Então:

Quando os capitais e os períodos de tempo forem diferentes, os lucros ou os prejuízos serão

divididos em parte diretamente proporcionais ao produto dos capitais pelos períodos de tempo respectivos.

É uma divisão proporcional composta estudada no capítulo anterior.

Exemplo:

Uma sociedade teve um lucro de R$ 11 700,00. O primeiro sócio entrou com R$ 1 500,00

durante 5 meses, e o outro, com R$ 2 000,00 durante 6 meses. Qual foi o lucro de cada um?

5.1500

x =

6.2000

y e x + y = 11 700

7500

x= 4 500 e y = 7 200

ATIVIDADES:

1.Três sócios sofreram um prejuízo de R$ 14 400,00. Os três entraram para a sociedade com o

mesmo capital, ficando o primeiro durante 11 meses, o segundo12 e o terceiro 13 meses. Qual foi o

prejuízo de cada um? ( 4 400,00; 4 800,00; 5 200,00)

2.Um investimento total de R$ 60 000,00 foi feito por três amigos. Sabendo que o tempo foi o

mesmo e que o segundo sócio ganhou o dobro do primeiro, e o terceiro o triplo, quanto investiu cada um?

3.Jonas e Paulo se associaram para jogar na loteria. Jonas deu R$ 1,80 e Paulo R$ 1,20. Tendo

acertado um terno, eles ganharam R$ 1 600,00. Quanto receberá cada um? (960,00 e 640,00)

4.Três pedreiros, ganhando o mesmo salário-hora, trabalharam , respectivamente, 24, 18 e 20

horas. Na hora do pagamento, o dono da obra tinha em mãos um envelope com R$ 3 100,00. Como foi

feita a divisão do dinheiro?( 1 200, 900 e 1 000)

5.Uma sociedade entre dois amigos, A e B, foi estabelecida com as seguintes características:

CAPITAL TEMPO DE

APLICAÇÃO

SÓCIO A 2 500,00 1 ano e 6 meses

SÓCIO B 3 000,00 1 ano e 9 meses

Divida o lucro de R$ 18 000,00 entre os sócios. ( 7 500 e 10 500)

6.Marcos e Antonio montaram uma locadora de vídeo empregando respectivamente, capitais de R$

50 000,00 e R$ 30 000,00. Em um determinado mês, a loja obteve um lucro de R$ 3 200,00. Quanto coube

a cada um? (2 000,00 e 1 200,00)

7.Dois sócios lucraram, em um determinado período, R$ 28 200,00. O primeiro aplicou R$ 80

000,00,

durante 9 meses, e o segundo RS 20 000,00, durante 11 meses. Qual foi o lucro de cada um? (21

600 e 6 600)

REVISANDO:



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8.Três amigos, A, B e C, saíram para comer um pizza. No final, perceberam que A comeu ¼ da

pizza, B comeu 1/3 e C comeu 1/5. O preço da pizza era R$ 14, 10. Calcule a parte da despesa de cada um

, sabendo que desejavam dividi-la em partes proporcionais ao consumo de cada um.(4,50;6,00 e 3,60)

9.Encontre os valores desconhecidos, sabendo que:

a) os números das sucessões (x, 5, 2) e (3, y, 6) são diretamente proporcionais.

b) os números das sucessões (x, 1, 30) e (3, 15, y) são inversamente proporcionais.

c) os números da sucessão (x, y, 20) são de proporcionalidade composta, direta a (4,3,1) e

também direta a (5, 8, 4).

10.Encontre a, b e c, sabendo que os números (a, b, c) e (18, 12, 4) são inversamente

proporcionais e que a + b = 5. (2, 3 e 9)

11.Num colégio há 210 alunos. A metade do número de meninas é igual a 1/5 do número de

meninos. Qual é o número de meninos e meninas? (60 e 150)

12.Um supermercado fazia a seguinte promoção: “Pague 3 sabonetes e leve 5”. Aproveitando a

promoção, levei 30 sabonetes. Quantos sabonetes paguei? (18)

5.REGRA DE TRÊS:

Chamamos de regra de três uma regra prática que permite, através da comparação de

grandezas proporcionais, a resolução de diferentes situações-problema do dia-a-dia. Essas grandezas

formam uma proporção em que, conforme o nome já diz, três termos são conhecidos e busca-se encontrar

o quarto termo.

Temos dois tipos de regra de três: a simples, que trabalha com apenas duas grandezas, e a

composta, que envolve mais de duas grandezas.

5.1.REGRA DE TRÊS SIMPLES:

A regra de três simples, como vimos anteriormente, envolve apenas duas grandezas diretamente ou

inversamente proporcionais. O processo consiste em montarmos uma tabela colocando em cada coluna,

ordenadamente, os valores da mesma grandeza e, daí, obtermos uma equação através da aplicação da

propriedade fundamental das proporções. Quando as grandezas forem diretamente proporcionais, essa

equação terá a mesma forma da tabela.

No caso de grandezas inversamente proporcionais, a montagem da equação será feita

invertendo-se a razão de uma das grandezas. Quando as grandezas forem diretamente proporcionais

dizemos que a regra de três é direta. Quando forem inversamente proporcionais, dizemos que a regra de

três é inversa.

Procedimentos para resolver problemas por regra de três simples:

1º) Montar a tabela: As quantidades correspondentes a uma mesma grandeza devem ser

expressas sempre na mesma unidade de medida

Comprimento(m) Preço(R$)

5 80,00

9 x

2º) Verificar se as grandezas são diretamente ou inversamente proporcionais:

- Se as grandezas forem diretamente proporcionais, coloca-se uma seta vertical na coluna

onde se encontra o x, na direção dele, e uma seta vertical de mesmo sentido na coluna dos outros dados.

- Se as grandezas forem inversamente proporcionais, procede-se da mesma forma na coluna

do x, invertendo o sentido da seta na outra coluna.

3º) Determinar o valor de x, que é o termo procurado, através da propriedade fundamental

das proporções.

Exemplo:

Cinco metros de um tecido custam R$ 80,00. Quanto pagarei por 9 metros do mesmo tecido?



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Nesse exemplo temos uma regra de três simples e direta. Observe os procedimentos acima:

Comprimento(m) Preço(R$)

5 80,00

9 x

9

5 =

x

80 x =

5

9.80 x = 144,00

ATIVIDADES:

1.Se 6 operários fazem certa obra em 10 dias, em quantos dias 20 operários fariam a mesma obra?

2.Uma viagem foi feita em 12 dias, percorrendo-se 150 Km por dia. Quantos dias seriam

necessários para fazer a mesma viagem, percorrendo-se 200 Km por dia?

3.Três torneiras completamente abertas enchem um tanque em 1h30min. Quantas torneiras de

mesma vazão seriam necessárias para encher o mesmo tanque em 54min?

4.Um corte de tecido de 2m x 2,5m custa R$ 100,00. Quanto deverá ser pago por um corte do

mesmo tecido de 3m x 5 m?

5.Se 4/9 de uma obra foram feitos em 28 dias, em quantos dias a obra será concluída?

5.2.REGRA DE TRÊS COMPOSTA:

A regra de três composta envolve três ou mais grandezas relacionadas entre si. Os procedimentos

de resolução serão os mesmos da regra de três simples. Quando há dependência inversa entre a grandeza

que contém a variável com as demais grandezas, invertemos os elementos da respectiva coluna. A equação

será montada, relacionando a grandeza que contém a variável com as demais grandezas.

Exemplo: Três operários, trabalhando durante 6 dias, produzem 400 peças. Quantas peças desse mesmo tipo

produzirão sete operários, trabalhando 9 dias?

Nº de operários Nº de dias Nº de peças

3 6 400

7 9 x

Comparando a grandeza que contém o x com as outras duas grandezas, verificamos que são

diretamente proporcionais. Então:

x

400 =

9.7

6.3

x

400 =

63

18

x

400 =

7

2 2x = 2 800 x = 1 400

peças

ATIVIDADES:

1.Um ciclista percorre 120 Km em 2 dias, dirigindo 3 horas por dia. Em quantos dias percorrerá

500 Km, viajando 5 horas por dia?

2.Numa fazenda, 3 cavalos consomem 210 Kg de alfafa durante 7 diais. Para alimentar 8 cavalos,

durante 10 diais, quantos quilos de alfafa serão necessários?

3.Seis digitadores preparam 720 páginas em 18 dias. Em quantos dias 8 digitadores, de mesma

capacidade, prepararão 800 páginas?

4.Um automóvel, com velocidade média de 60 km/h, roda 8 horas por dia e leva 6 dias para fazer

certo percurso. Se a velocidade fosse 80 km/h e se rodasse 9 horas por dia, em quanto tempo ele faria o

mesmo percurso?

5.Uma torneira enche um tanque em 20 horas, com uma vazão de 1 litro por minuto. Quanto tempo

será necessário para que duas torneiras, com vazão de 2 litros por minuto, encham o mesmo tanque?



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6.Trabalhando 6 horas por dia durante 10 dias, 10 engenheiros executam projetos de 5 pontes.

Quantos engenheiros seriam necessários para projetar 8 pontes, trabalhando 8 horas por dia, durante 15

dias?

7.Um livro de 120 páginas, com 25 linhas, é impresso em 4 horas. Quantas horas seriam

necessárias para imprimir um livro de 100 páginas com 30 linhas por página?

8.Uma pessoa que viajará para os Estados Unidos dispõe de R$ 2 500,00 para a viagem.Quantos

dólares conseguirá comprar?

6.PORCENTAGEM:

Em nosso dia-a-dia estamos constantemente convivendo com expressões do tipo“ O índice de

reajuste salarial de maio é de 9,8%.” “ O rendimento da poupança foi de 1,58%.” “ Liquidação de inverno

com 30% de desconto”...

Essas expressões envolvem uma razão especial chamada porcentagem. Porcentagem, portanto,

pode se definida como uma razão cujo conseqüente é 100 ou ainda como uma razão centesimal, onde

o conseqüente é substituído pelo símbolo %, chamado “ por cento “.

100

80 = 0,80 = 80%

6.1.CÁLCULOS DE PORCENTAGEM:

Existem vários recursos para resolver cálculos que envolvem porcentagens:

1º) POR UMA FORMA DIRETA ENVOLVENDO O ENTENDIMENTO DE FRAÇÕES:

Exemplo: Quanto é 20% de 800?

20% de 800, é o mesmo que dividir 800 em 100 partes iguais e tomar 20 delas.

20 % de 800 = 20/100 de 800 800 : 100 . 20 = 160 ou usando taxa unitária:

20% de 800 = 2 0/100 = 0,20 800 . 0,20 = 160

2º) POR UMA REGRA DE TRÊS SIMPLES E DIRETA:

Exemplo 1: Um trabalhador cujo salário era de R$ 2 000,00, recebeu um aumento de 5%. Quanto

passou a ser o seu novo salário?

Este problema pode ser resolvido por regra de três de dois modos:

1ª). 2000 100%

x 5% x = 100

5.2000 x = 100,00

Salário= 2 000,00 + 100,00 = 2 100,00

2ª) 2 000 100%

x 105% x = 100

105.2000

x = 2 100,00

Salário: 2 100,00

Exemplo 2: Ao comprar um automóvel por R$ 15 000,00, obtive um desconto de R$ 1 800,00.

Qual foi a taxa de desconto?

15 000 100%

1800 x x = 100

1800.100 x = 12%

Taxa de desconto: 12%

Exemplo 3: Uma taxa de 13% é aplicado num determinado capital, produzindo um valor

porcentual de 5 200,00. De quanto era o capital?



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13% 5 200

100% x x = 100

5200.100 x = 40.000

Capital: R$ 40 000,00

6.2.ELEMENTOS DO CÁLCULO PORCENTUAL:

Pelos exemplos anteriores observamos que são três os elementos envolvidos no cálculo de

porcentagem:

Principal: valor da grandeza da qual se calcula a porcentagem (P)

Taxa porcentual: valor que representa a quantidade de unidades tomadas em cada 100 (i).

Porcentagem: resultado que se obtém quando se aplica a taxa de porcentagem ou taxa porcentual (p)

Concluímos também que a resolução por regra de três permite chegarmos ao seguinte raciocínio:

Porcentagem = 100

.Pr taxaincipal p =

100

.iP , onde P =

i

p.100 e i =

P

p.100

É mais prático usarmos a taxa unitária: 25% = 25/100 = 0,25

ATIVIDADES:

1.Calcular:

a) 20 % de 32 b) 3,5% de R$ 4 500 c) 4% de 550

2.Qual a taxa unitária de 20%?

3.Qual a taxa porcentual correspondente a 0,05?

4.Qual é o número principal em que 20 representa 3%?

5.Qual o número principal em que 800 representa 3/5%?

6. Qual a porcentagem em que 2 representa em 40?

7.Um comerciante vendeu um objeto por R$ 540,00 com um lucro de 15% . Quanto ganhou?

8.Em um escola, as 1120 alunas representam 56% do total de alunos. Qual é esse total?

9. A média de reprovação em concursos públicos é de 82%. Quantos serão aprovados num

concurso público com 6 500 inscritos?

10.Walter pediu aumento salarial na empresa em que trabalha, alegando que um simples reajuste

(que naquele dissídio seria 7,5% ) não cobriria suas reais necessidades. Na ocasião, seu salário

era de

R$ 2 850,00 e sua proposta foi uma correção de 9 %. No final do mês, ele recebeu R$ 3

092, 25. Calculando qual o índice de correção aplicado pela empresa, responda se o pedido foi atendido.

11.Um comerciante comprou um automóvel de R$ 84 000,00 com desconto de 2%. Em seguida,

vendeu o automóvel por um valor 3% acima desse preço(valor inicial do automóvel). Qual foi a taxa de

lucro total, desde a venda até a compra, usada pelo comerciante?

12.Dois postos de abastecimento misturam água ao álcool que vendem. No primeiro deles foram

encontrados 7,5 l de água em 300 l de álcool e, no segundo, 13,5 l de água em 500 l de álcool. Quanto por

cento o álcool de um posto é mas aguado que o do outro/

13.Do que eu recebo, 30% vão para a poupança, 20% para o aluguel e 35% para a alimentação,

restando-me apenas R$ 450,00. Qual é o meu salário?

14.Numa cidade, 45% da população é composta por homens. Qual a população total dessa cidade

se nela residem 60 500 mulheres?

15.Uma certa quantia y tornou-se 2y após 1 ano e 3y após 2 anos. Com relação a quantia inicial,

calcule a taxa aplicada no primeiro e no segundo ano.

16.Que taxa devemos utilizar para transformar uma quantia x em 3x?

17.Um vendedor ganha 3% de comissão sobre as vendas que realiza. Tendo recebido R$ 300,00 de

comissões, qual o total vendido por ele?

18.Comprei uma casa cujo preço era R$ 200 000,00. Tendo gasto 5% desse valor em impostos e

3% de comissão para o corretor, quanto efetivamente tive que desembolsar?



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19.Uma turma tem 40 alunos. Destes, 60% são moças e 40% são rapazes. Em um determinado dia,

compareceram às aulas 75% das moças e 50% dos rapazes. Quantos alunos foram às aulas nesse dia?

Qual a porcentagem (taxa) que compareceu às aulas nesse dia?

20.Ao comprar uma automóvel por R$ 15 000,00 obtive um desconto de R$ 1 800,00. Qual foi a

taxa de desconto?

7.OPERAÇÕES COMERCIAIS QUE UTILIZAM PORCENTAGENS:

Chamamos de operações comerciais as operações de compra, venda, permuta, etc. de mercadorias,

feitas com o objetivo de obter lucro, sendo o lucro a diferença entre o preço de venda e o preço de

custo. Em situações diversas, envolvendo operações comerciais, é comum ouvirmos: “Vendi uma

mercadoria com 20% de lucro”. “Vendi uma mercadoria com 30% de prejuízo.” Frases como estas, muitas

vezes, são motivo de dúvidas: 30% de prejuízo sobre o que?

A venda de mercadorias pode oferecer lucro ou prejuízo e estes podem ser “sobre o preço de

custo” ou “sobre o preço de venda”.

7.1.VENDAS COM LUCRO:

- Sobre o preço de custo (ou sobre a compra):

Exemplo: Por quanto devo vender um objeto que comprei por R$ 4 000,00, a fim de obter um

lucro de 20% sobre a compra .

Podemos considerar o preço de venda como 120%

Resolvendo por regra de três temos:

4 000 100%

x 120% x = 4 000 . 120 : 100 ou 1, 20 . 4 000 = 4 800

Então:

Ou

onde, V = preço de venda

i = taxa unitária do lucro

C = preço de compra

- Sobre o preço de venda:

Exemplo: Calcular por quanto devo vender um objeto que comprei por R$ 4 000,00 para ganhar

20% sobre o preço de venda.

Devemos considerar o preço de venda que é desconhecido como 100% e, conseqüentemente, o

preço de compra como 80%, já que o lucro será de 20%

Por regra de três temos;

4 000 80%

x 100% x = 4 000 . 100 : 80 = 5 000 ou 4 000 : 0,80 = 5 000

Então:

Ou

Preço de venda = ( 1 + taxa unitária do lucro sobre a compra) . preço de compra

V = (1 + i)C

Preço de custo

Preço de venda =

1 – taxa unitária do lucro sobre a venda

C

V =

1 - i



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onde, V = preço de venda

C = preço de custo

i = taxa unitária do lucro

7.2.VENDAS COM PREJUÍZO:

- Sobre o preço de custo (ou sobre a compra):

Exemplo: Um objeto foi vendido com um prejuízo de 40% sobre o preço de custo. Sabendo que

esse objeto custou R$ 300,00, qual foi o preço de venda?

Como preço de venda = preço de custo – prejuízo, consideramos o preço de venda como 60% e o

preço de custo 100%.

Por regra de três temos:

300 100%

x 60% x = 300 . 60 : 100 ou 0,60 . 300 = 180,00

Então:

Ou

Onde, V = preço de venda

i = taxa unitária de prejuízo

C = preço de compra

- Sobre o preço de venda:

Exemplo: Calcular o preço de venda de uma casa que comprei por 30 000,00, tendo

perdido 25% do preço de venda.

Como o preço de custo = preço de venda + prejuízo, o preço de custo será de 125%, já que o

prejuízo foi de 25%. A quantia desconhecida será 100%.

Por regra de três temos:

125% 30 000

100% x x = 30 000. 100 : 125 ou 30 000 : 1,25 = 24 000

Então:

Ou

ATIVIDADES:

1.Um comerciante vendeu mercadorias com um lucro de 8% sobre o preço de custo. Determine o

preço de venda, sabendo que essas mercadorias custaram R$ 500,00.

2.Por quanto devo vender um carro que comprei por R$ 40 000,00 se desejo lucrar 5% sobre a

compra?

3.Um comerciante comprou um objeto por R$ 480,00. Desejando ganhar 20% sobre o preço de

venda, qual deve ser este último?

4.Uma mercadoria custou R$ 160,00. Pretendo vendê-la com 20% de lucro sobre o preço de

venda. A que preço devo vendê-la?

5.Calcular o prejuízo e o preço de venda de uma mercadoria que comprei por R$ 6 000,00, tendo

uma perda de 30% sobre o preço de compra.

Preço de venda = ( 1 – taxa de prejuízo sobre a compra) . preço de compra

V = ( 1 – i) C

Preço de custo

Preço de venda =

1 + taxa unitária sobre a venda

C

V =

1 + i



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6.Calcular o prejuízo e o preço de venda de uma mercadoria que comprei por R$ 800,00, tendo

perdido 25% do preço de venda.

7.Uma casa que custa R$ 96 000,00 foi vendida com um prejuízo de 20 % sobre o preço de venda.

Calcule o preço de venda.

8. Um terreno foi vendido por R$ 50.600, dando um prejuízo de 8% sobre o preço de venda.

Quanto havia custado?



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“a aprendizagem depende do · mas para compreendermos o que é uma proporção, ... é o...

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