Razão e Proporção

Razão: é o quociente indicado (exato) entre dois números racionais, sendo que o segundo número é diferente de zero.

Como você pode perceber, uma razão é representada por uma fração. No entanto, não deve ser lida como se fosse um número racional. Observe o quadro abaixo:

2

1

2

1

4

3

4

3

3

5

3

5

10

7

10

7

Número racional (representado por fração)

Razão (representada por fração)

1/2 lê-se: um meio 1/2 lê-se: um para dois ou um está para dois

3/4 lê-se: três quartos 3/4 lê-se: três para quatro ou três está para quatro

5/3 lê-se: cinco terços 5/3lê-se: cinco para três ou cinco está para três

7/10lê-se: sete décimos 7/10 lê-se: sete para dez ou sete está para dez

OS TERMOS DE UMA RAZÃO: O ANTECEDENTE E O CONSEQÜENTE

Vamos considerar a notação . O que ela representa?

A notação é um numeral (fração) que representa um número “três quintos”, onde 3 é o numerador, e 5, o denominador.

Porém, é a representação também da razão “três para cinco”, onde 3 é o antecedente, e 5, o conseqüente.

5

3

5

3

5

3

RAZÕES EQUIVALENTES

Ao multiplicar ou dividir os termos de uma razão por um mesmo número diferente de zero, obtém-se outra razão equivalente à primeira.

Veja o exemplo:

16

12

12

9

8

6

4

3

lIrredutíveForma5

4

15

12

30

24

60

48

PROPORÇÃO

A proporção é uma igualdade entre duas ou mais razões.

Quando temos a igualdade só de duas razões , chamamos essa igualdade de proporção simples.

Se tivermos a igualdade de mais de duas razões , chamamos de proporção contínua.

Desta forma temos que:

simplesoporçãoy

xPr

5

2

contínuaoporçãozyx

Pr354

Propriedade Fundamental

A propriedade fundamental da proporção diz que o produto dos extremos é igual ao produto dos meios.

cxbdxad

c

b

a

Exemplos:

1) Dois números estão na razão de 2 para 3. Acrescentando-se 2 a cada um, as somas estão na razão de 3 para 5. Então, o produto dos dois números é:

       a) 90      b) 96      c) 180      d) 72      e) -124

Solução:

5

3

2

2

3

2

y

xquee

y

x

96.log12)4.(3;8)4(.2

:

4106910691010

3)23(5)22(5

3

23

22

:

33

.22

yxoyx

temosyexemadevalorodosubstituin

aaaaa

xaxaa

a

temosproporçãooutranayexdevaloresosdosubstituin

ayay

eaxax

2) Sabendo que x + y = 42, determine x e y na proporção .

429

5 yxe

y

x

27)3.(9;15)3(.5

:

314

424214429542

:

99

.55

yx

temosyexemadevalorodosubstituin

aaaayx

temosproporçãooutranayexdevaloresosdosubstituin

ayay

eaxax

3) A soma da idade do pai e do filho é 45 anos. A idade do pai está para a idade do filho, assim como 7 está para 2. Determine a idade do pai e do filho.

452

7 FPe

F

P

10)5.(2;35)5(.7

:

59

45459452745

:

22

.77

FP

temosFePemadevalorodosubstituin

aaaaFP

temosproporçãooutranaFePdevaloresosdosubstituin

aFaF

eaPaP

Porcentagem

Introdução:

Utilizamos o cálculo de porcentagem constantemente no nosso cotidiano. Dois simples exemplos:

1) Uma loja lança uma promoção de 10% no preço dos seus produtos. Se uma mercadoria custa R$120,00, quanto a mercadoria passará a custar?

O desconto será de 10% do valor de R$120,00. Logo:

Retiramos, portanto, R$12,00 de R$120,00: 120 - 12 = 108Passaremos a pagar, com a promoção, R$108,00.

12100

1200

100

10120 x

2) Uma sala de aula possui 100 alunos, sendo que 40% são meninas. Qual a quantidade de meninas e de meninos?

quantidade de meninas será:

E a de meninos será: 100 - 40 = 60.

40100

4000

100

40100 x

Razão centesimal:

Como o próprio nome já diz, é a fração cujo denominador é igual a 100.

Exemplos:

( lê-se 10 por cento)

(lê-se 150 por cento)

Definição de taxa porcentual ou porcentagem:

As expressões 7%, 16% e 125% são chamadas taxas centesimais ou taxas percentuais.

    Porcentagem é o valor obtido ao aplicarmos uma taxa percentual a um determinado valor.

Exemplos:

Calcular 10% de 300.

Calcular 25% de 200kg.

Um jogador de futebol, ao longo de um campeonato, cobrou 75 faltas, transformando em gols 8% dessas faltas. Quantos gols de falta esse jogador fez?

Exercícios

Qual a razão que é igual a 2/7 e cujo antecedente seja igual a 8.

Solução:Vamos igualar as razões. 8 = 2X    7 2x = 8 x 7 2x = 56 X = 56/2 X = 28Desta forma a razão igual a 2/7, com antecedente igual

a 8 é : 8/28 = 2/7

2) Em uma sala de aula,  a razão de moças para o número de rapazes é de 5/4. Se o número total de alunos desta turma é de 45 pessoas, caso exista uma festa quantas moças ficariam sem par ?

Solução:Primeiro vamos denominar o número de moças por X, e o número de rapazes por Y. x/y = 5/4 (Igualam-se as razões) x + y = 45 (Soma total de alunos) x + y = 5 + 4  (Aplicação das propriedades das proporções)  x           5 45/x = 9/5 45 x 5 = 9x 225 = 9x ---> x = 225/9 ---> x = 25 moças Substituindo X = 25 na expressão x + y = 45, temos : 25 + y = 45 ---> y = 45 – 25 ----> y = 20 rapazes Tendo por base que cada rapaz fique apenas com uma moça, o número de moças que ficariam sem

par será : 25 – 20 = 5 moças Então, o número de moças que ficará sem par é igual a 5.

3) A razão das idades de duas pessoas é 2/3. Achar estas idades sabendo que sua soma é 35 anos.

a)14 e 20 anos

b)14 e 21 anos

c)15 e 20 anos

d)18 e 17 anos

e)13 e 22 anos

Solução:

21)7.(3;14)7(.2

:

75

35355353235

:

33

;.22

ba

temosbeaemxdevalorodosubstituin

xxxxba

temosproporçãooutranabeadevaloresosdosubstituin

xbxb

xaxa

35;3

2 ba

b

a

4) A diferença dos volumes de dois sólidos é 9cm³ e a sua razão é 2/3. Achar os volumes.

a)17cm³ e 28cm³

b)18cm³ e 27cm³

c)19cm³ e 28cm³

d)20cm³ e 27cm³

e)n.d.a

Solução:

9;3

2 ab

b

a

27)9.(3;18)9(.2

:

99239

:

33

;.22

ba

temosbeaemxdevalorodosubstituin

xxxab

temosproporçãooutranabeadevaloresosdosubstituin

xbxb

xaxa

5) O preço de uma  casa sofreu um  aumento de 20%, passando a ser vendida por 35 000 reais. Qual era o preço desta casa antes deste aumento?

Solução:

Porcentagem         Preço

120                    35 000

100                      x

6) Aumentando-se 10% uma grandeza positiva x e do resultado diminui-se 10% obtemos:

(A) x(B) 0,9·x(C) 0,99·x(D) 1,1·x(E) 1,2·x

Solução:

Acrescentar 10% em X significa dizer que x passa a ser 1,1 x.

Retirar 10% de 1,1x é igual: 0,11

Logo :

1,1x – 0,11x = 0,99x

7) Com o reajuste de 10% no preço da mercadoria A, seu novo preço ultrapassará o da mercadoria B em R$9,99. Dando um desconto de 5% no preço da mercadoria B, o novo preço dessa mercadoria se igualará ao preço da mercadoria A antes do reajuste de 10%. Assim, o preço da mercadoria B, sem o desconto de 5%, em R$, é

Solução:

Temos: 1,1 A = B + 9,99 e que 0,95 B = A

1,1( 0,95 B ) = B + 9,991,045 B = B + 9,991,045B – B = 9,990,045B = 9,99B = R$ 222,00

FIM