01.A soma dos 20 elementos iniciais da P.A. (-10,-6,-2,2,...) é:

a) 660

b) 640

c) 600

d) 560

e) 540

02.A soma dos múltiplos de 7 compreende entre 100 e 250 é igual a:

a) 3.325

b) 3.850

c) 3.500

d) 3.825

e) 3.675

03.Qual é a soma de todos os números naturais de 2 algarismos que, divididos por 7, dão resto

5?

a) 707

b) 691

c) 702

d) 606

e) 611

04.Obter a soma dos n primeiros termos da P.A. (an) em que an= 2n+3 para todo n> 1.

a) Sn = n² - 4n

b) Sn = n² + 4n

c) Sn = n² + 2n

d) Sn = n² + 3n

e) Sn = 2n² + 1

05.A soma dos n primeiros termos de uma P.A. é dada por Sn = 2n² + 3n. O quinto termo da

progressão é:

a) 05

b) 14

c) 19

d) 21

e) 23

06.Um adolescente, querendo comprar um celular de R$ 987,00, começou a guardar parte de sua

mesada, sempre r$ 9,00 a mais do que no mês anterior. O projeto de 14 meses de duração teve

inicio com o adolescente guardando:

a) R$ 6,00

b) R$ 9,00

c) R$ 12,00

d) R$ 15,00

e) R$ 18,00

 

07. A soma dos termos de uma progressão aritmética é 27 e a soma de dois termos

equidistantes dos extremos é 6. O número de termos dessa progressão é:

a) 5

b) 3

c) 9

d) 27

e) 6

08. Considere as afirmações:

I) Numa P.A. sendo Sn=20, n=5, então o termo médio é 4.

II) Sendo o termo médio de uma P.A. igual a 10 e n=5, então a soma é igual a 25.

III) Sendo a3 = 11 e a5 = 17, então S7=98.

IV) A soma de todos os número pares entre 1 e 51 é igual a 624.

V) A soma dos N primeiros números naturais impares é n².

São verdadeiras

a) I e IV.

b) I, III e IV.

c) I, III e V

d) III e V.

e) II, III e IV.

09. A soma dos 20 primeiros termos de uma P.A. é igual ao quíntuplo da soma dos seus 5

primeiros termos. Nessas condições, o primeiro termo está para a razão assim como:

a) 28 esta para 1.

b) 1 esta para 28.

c) 1 esta pára 56.

d) 1 esta para 7.

e) 7 esta para 1.

10 Se o número 225 for dividido em 3 partes, formando uma progressão aritmética, de maneira

que a terceira parte exceda a primeira de 140, essas partes serão:

a) Primas entre si

b) Múltiplas de 5 e 10 ao mesmo tempo

c) Numero cujo produto é 54.375

d) Múltiplas de 5 e 3 ao mesmo tempo

e) indeterminadas.

11.Um atleta corre sempre 400 metros a mais que no dia anterior. Ao final de 11 dias ele

percorre um total de 35200 metros. O número de metros que ele correu no último dia foi igual a

a) 5100

b) 5200

c) 5300

d) 5400

e) 5500

12. Um terreno será vendido através de um plano de pagamentos mensais em que o primeiro

pagamento de R$ 500,00 será feito 1 mês apos a compra, o segundo de R$ 550,00 será feito

dois meses apos a compra, o terceiro de R$ 600,00 será feito 3 meses apo a compra e assim

por diante ( isto é, cada pagamento mensal é igual ao anterior com acrescido de R$ 50,00).

Sabendo que o preço total do terreno é de R$ 19.500,00, calcule o número de prestações

mensais que devem ser pagas.

 

  

 Gabarito do seu teste

01.D    02.E    03.C    04.B    05.D    06.C    7.C    08.C    09.A     10.C     11.B     12.20

INTERPOLAÇÃO ARITMÉTICA 

Interpolar ou inserir k meios aritméticos entre dois números a1 e an, significa obter uma progressão aritmética de k+2 termos, cujos os extremos são a1 e an.

Pode-se dizer que todo problema que envolve interpolação se resume em calcularmos a razão da P.A. 

Ex.: Veja esta P.A. (1, ..., 10), vamos inserir 8 meios aritméticos, logo a P.A. terá 8+2 termos, onde:

a1 = 1; an = 10 ; k = 8 e n = k + 2 = 10 termos. 

an = a1 + (n-1).r   r = 

a P.A. ficou assim: (1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, 10) 

SOMA DOS n TERMOS DE UMA PROGRESSÃO ARITMÉTICA (Sn)  

Vamos considerar a P.A.: (a1, a2, a3, ..., an-2, an-1, an) (1).

Agora vamos escrevê-la de uma outra forma: (an, an-1, an-2, ..., a3, a2, a1) (2). 

Vamos representar por Sn a soma de todos os membros de (1) e também por Sn a soma de todos os membros de (2), já que são iguais.

Somando (1) + (2), vem: 

Sn = a1 + a2 + a3 + ... + an-2 + an-1 + an

Sn = an + an-1 + an-2 +...+ a3 + a2 + a1 

2Sn = (a1 + an) + (a2 + an-1) + (a3 + an-2) ... + (an-1 + a2) + (an + a1) 

Observe que cada parênteses  representa a soma dos extremos da progressão aritmética, portanto representa a soma de quaisquer termos eqüidistantes dos extremos. Então: 

2Sn = (a1 + an) + (a1 + an) + ... +(a1 + an) + (a1 + an)                                            n - vezes

2Sn =   que é a soma dos n termos de uma P.A.

Exercício 1: (FUVEST/01) Uma progressão aritmética e uma progressão geométrica têm, ambas, o primeiro termo igual a 4, sendo que

os seus terceiros termos são estritamente positivos e coincidem. Sabe-se ainda que o segundo termo da progressão aritmética excede o

segundo termo da progressão geométrica em 2. Então, o terceiro termo das progressões é:

a) 10

b) 12

c) 14

d) 16

e) 18

Solução:

Sejam (a1, a2, a3, …) a PA de razão r e (g1, g2, g3, …) a PG de razão q. Temos como condições iniciais:

(1) a1 = g1 = 4

(2) a3 > 0, g3 > 0 e a3 = g3

(3) a2 = g2 + 2

Reescrevendo (2) e (3) utilizando as fórmulas gerais dos termos de uma PA e de uma PG e (1) obtemos o seguinte sistema de

equações:

(4) a3 = a1 + 2r e g3 = g1.q2 => 4 + 2r = 4q2

(5) a2 = a1 + r e g2 = g1.q => 4 + r = 4q + 2

Expressando, a partir da equação (5), o valor de r em função de q e substituindo r em (4) vem:

(5) => r = 4q + 2 – 4 => r = 4q – 2

(4) => 4 + 2(4q – 2) = 4q2 => 4 + 8q – 4 = 4q2 => 4q2 – 8q = 0

=> q(4q – 8) = 0 => q = 0 ou 4q – 8 = 0 => q = 2

Como g3 > 0, q não pode ser zero e então q = 2. Para obter r basta substituir q na equação (5):

r = 4q – 2 => r = 8 – 2 = 6

Para concluir calculamos a3 e g3:

a3 = a1 + 2r => a3 = 4 + 12 = 16

g3 = g1.q2 => g3 = 4.4 = 16

Exercício 2: (ITA/2000) O valor de n que torna a seqüência (2 + 3n; –5n; 1 – 4n) uma progressão aritmética pertence ao intervalo:

a) [– 2, –1] b) [– 1, 0] c) [0, 1] d) [1, 2] e) [2, 3]

Solução:

Para que a sequência se torne uma PA de razão r é necessário que seus três termos satisfaçam as igualdades (aplicação da definição

de PA):

(1) -5n = 2 + 3n + r

(2) 1 – 4n = -5n + r

Determinando o valor de r em (1) e substituindo em (2):

(1) => r = -5n – 2 – 3n = -8n – 2

(2) => 1 – 4n = -5n – 8n – 2 => 1 – 4n = -13n – 2

=> 13n – 4n = -2 – 1 => 9n = -3 => n = -3/9 = -1/3

Ou seja, -1 < n < 0 e, portanto, a resposta correta é a b).

Exercício 3: (PUC-SP/2003) Os termos da seqüência (10; 8; 11; 9; 12; 10; 13; …) obedecem a uma lei de formação. Se an, em que n

pertence a N*, é o termo de ordem n dessa seqüência, então a30 + a55 é igual a:

a) 58

b) 59

c) 60

d) 61

e) 62

Solução:

Primeiro, observe que os termos ímpares da sequência é uma PA de razão 1 e primeiro termo 10 – (10; 11; 12; 13; …). Da mesma forma

os termos pares é uma PA de razão 1 e primeiro termo igual a 8 – (8; 9; 10; 11; …) . Assim, as duas PA têm como termo geral o seguinte

formato:

(1) ai = a1 + (i – 1).1 = a1 + i – 1

Para determinar a30 + a55 precisamos estabelecer a regra geral de formação da sequência, que está intrinsicamente relacionada às duas

progressões da seguinte forma:

Se n (índice da sucessão) é impar temos que n = 2i – 1, ou seja, i = (n + 1)/2;

se n é par temos n = 2i ou i = n/2.

Daqui e de (1) obtemos que:

an = 10 + [(n + 1)/2] – 1 se n é ímpar

an = 8 + (n/2) – 1 se n é par

Logo:

a30 = 8 + (30/2) – 1 = 8 + 15 – 1 = 22

e

a55 = 10 + [(55 + 1)/2] – 1 = 37

E portanto:

a30 + a55 = 22 + 37 = 59

Exercício 4: (UFSCAR/2000) A condição para que três números a, b e c estejam, simultaneamente, em progressão aritmética e em

progressão geométrica é que:

a) ac = b2

b) a + c = 2

c) a + c = b2

d) a = b = c

e) ac = 2b

Solução:

A condição para que a, b e c sejam ao mesmo tempo uma PA de razão r e uma PG de razão qé:

(1) b = a + r = aq => r = a(q – 1)

(2) c = b + r = bq => r = b(q – 1)

De (1) e (2) vem:

a(q – 1) = b(q – 1) => (a – b)(q – 1) = 0

Para que o produto seja igual a zero:

ou a – b = 0 ou q – 1 = 0 ou ambas => ou a = b ou q = 1 ou ambas

Como se trata de uma PG se a é igual a b, necessariamente q = 1. A recíproca também é verdadeira, isto é, se q = 1 então a = b. Logo a

= b e q = 1. Daqui, de (1) e de (2) segue que r = 0 e b = c = a.

Exercício 5: (UFLA/99) A soma dos elementos da sequência numérica infinita (3; 0,9; 0,09; 0,009; …) é:

a) 3,1

b) 3,9

c) 3,99

d) 3,999

e) 4

Solução:

Sejam S a soma dos elementos da sequência e S1 a soma da PG infinita (0,9; 0,09; 0,009; …) de razão q = 10-1 = 0,1. Assim:

S = 3 + S1

Como -1 < q < 1 podemos aplicar a fórmula da soma de uma PG infinita para obter S1:

S1 = 0,9/(1 – 0,1) = 0,9/0,9 = 1 => S = 3 + 1 = 4

Exercício 6: (STA. CASA) A soma dos vinte primeiros termos de uma progressão aritmética é -15. A soma do sexto termo dessa P.A.,

com o décimo quinto termo, vale:

a) 3,0

b) 1,0

c) 1,5

d) -1,5

e) -3,0

Solução:

Aplicando a fórmula da soma dos 20 primeiros termos da PA:

S20 = 20( a1 + a20)/2 = -15

Na PA finita de 20 termos, o sexto e o décimo quinto são equidistantes dos extremos, uma vez que:

15 + 6 = 20 + 1 = 21

E, portanto:

a6 + a15 = a1 + a20

Substituindo este valor na primeira igualdade vem:

20(a6 + a15)/2 = -15 => 10(a6 + a15) = -15

=> a6 + a15 = -15/10 = -1,5

Exercício 7: (MACK) O sexto termo de uma PG, na qual dois meios geométricos estão inseridos entre 3 e -24, tomados nessa ordem, é:

a) -48

b) -96

c) 48

d) 96

e) 192

Solução:

Para determinar os dois meios geométricos da PG cujos extremos são 3 e -24 precisamos calcular, primeiro, sua razão q, com n = 4.

Pela fórmula do termo geral temos que:

a4 = a1.q4-1 => -24 = 3q3 => q3 = -24/3 = -8 => q = -2

Logo a PG é (3; -6; 12; -24; …) e seu sexto termo é obtido, também, através da fórmula do termo geral:

a6 = a1q6-1 => a6 = 3(-2)5 = -3.32 = -96

Os exercícios 8 e 9 a seguir foram propostos pelo leitor Watson Meyer, no comentário 17 do artigo sobre Potenciação.

Exercício 8: Sendo Sn a soma dos termos de uma PA de razão 4, em que a1 = 6, determine ntal que Sn é igual a 1456.

Solução:

Sabemos que:

(1) Sn = (a1 + an)n/2 = (6 + an)n/2 = 1456 => (6 + an)n = 2912

Para determinar n basta expressarmos an em função de n, o que é feito através da fórmula do termo geral de uma PA:

(2) an = 6 + (n – 1).4 = 6 + 4n – 4 = 4n + 2

Substituindo (2) em (1):

(6 + 4n + 2)n = 2912 => 4n2 + 8n – 2912 = 0

Resolvendo a equação do segundo grau obtemos:

n1 = 26 e n2 = -28

Como n > 0, a resposta é 26.

Exercício 9: A soma dos infinitos termos da P.G (x/2; x2/4; x3/8; …) é igual a 1/10. Qual o valor de x?

Solução:

Note que, pela lei de formação da PG, a razão é q = x/2. Como uma PG infinita converge somente se -1 < q < 1, o valor de x deve ser tal

que esta condição seja satisfeita. Aplicando, então, a fórmula da soma vem que:

Para que a solução esteja completa falta verificar se q satisfaz a condição de convergência:

Como -1 < q < 1 a solução está concluída e x = 2/11.

Para finalizar a matéria, vamos resolver o último exercício extraído do livro Matemática para o Ensino Médio de Manoel Jairo Bezerra.

Exercício 10: As medidas dos lados de um triângulo retângulo estão em PA de razão 3. Calcule essas medidas.

Solução:

Sejam a, b e c as medidas dos lados do triângulo, onde a é a hipotenusa, b a base e c o outro lado. Como eles estão em PA, (b; c; a)

nesta ordem, de razão 3 vem que:

b = a – 6 e c = a – 3

Por outro lado, do Teorema de Pitágoras para um triângulo retângulo, temos que:

a2 = b2 + c2 => a2 = (a – 6)2 + (a – 3)2

Resolvendo os produtos notáveis:

a2 = a2 – 12a + 36 + a2 – 6a + 9 = 2a2 – 18a + 45

=> a2 – 18a + 45 = 0 => a = 15 e a = 3

Mas a não pode ser igual 3, uma vez que teríamos c = 0 e b = -3, o que contradiz claramente o fato de serem medidas dos lados de um

triângulo retângulo. Logo:

a = 15 => b = 15 – 6 = 9 e c = 15 – 3 = 12

E a PA é:

(9; 12; 15).