8 tensões em engrenagens 1

Universidade Federal de Goiás

Escola de Engenharia Elétrica e de Computação

Graduação em Engenharia Mecânica

Disciplina: Elementos de Máquinas 2

Prof.: Ricardo Humberto de Oliveira Filho

ANÁLISE DE TENSÕES

EM ENGRENAGENS

ENGRENAGENS CILÍNDRICAS DE DENTES RETOS E HELICOIDAIS

Engrenagens podem falhar basicamente por dois tipos de solicitação:

•a que ocorre no contato, devido à tensão normal;

•e a que ocorre no pé do dente, devido a flexão causada pela carga

transmitida.

A fadiga no pé do dente causa a quebra do dente, o que não é comum

em conjuntos de transmissão bem projetados.

Geralmente, a falha que ocorre primeiro é a por fadiga de contato.

A parte que tende ao vermelho mostra as maiores tensões em magnitude (Von

Mises) e a parte em azul as menores.

Esse modelo corresponde exatamente ao resultado obtido por outras técnicas,

como a fotoelasticidade, e mostra as tensões que levam às falhas citadas.


A próxima figura mostra um caso de falha por fadiga de contato ainda no estágio

inicial.

Esses pequenos sulcos são formados na região próximo a linha primitiva do

dente, que é definida pelo diâmetro primitivo.

Surgem nessa região porque a velocidade de deslizamento entre os dentes anula-

se no ponto primitivo


A figura a seguir mostra ainda o mesmo tipo de falha após a progressão.

Nesse caso, a falha de fadiga por contato aumenta de tamanho e partes maiores

são arrancadas da superfície.


Formulação de Lewis (1892):


2

3

tW P xPonde Y

FYσ = =

2

4

tx

l=

2 2 2 46

6 1 1 1

/ 6 / 4

t t tW l W W

Ft F t l F t lσ = = =

( )23

passo circular

largura da face

t pW p

FF xpσ

=

2

3

xy

p=


Pp

π=Y yπ=

2/ 2

/ 2 4

t l tx

x t l= =Por semelhança de triângulos:

tW P

FYσ =2

3

xPY =

Fatores de Correção:

Dinâmicos:

• Desvios do perfil evolvental;

• Velocidade;

• Deformações decorrentes do contato;

• Tenacidade do material das engrenagens, etc.

O ruído no engrenamento significa que existem impactos sobre os

dentes das engrenagens.

vtWK P

FYσ =


• Fatores dinâmicos perfil cicloidal (Século XIX):

600 Engrenagem de FoFo obtida por fundição

600

1200Perfis cortados em fresas

1200

v

v

VK

VK

+= →

+= →

• Fatores dinâmicos perfil evolvental (Século XX):

50 Engrenagem obtida por processo de corte em fresa

50

78Perfil retificado

78

v

v

VK

VK

+= →

+= →


≅

Raio de curvatura do dente Raio do cilindro

Largura do dente Comprimento do cilindro

≅≅

tW

tW

Durabilidade Superficial:


Teoria de Hertz para contato entre cilindros:

( ) ( )( ) ( )

max

122 2

1 1 2 2

1 2

max

1 2 1 2

1 2

2

1 12

1 1

orça de contato nos cilindros

pressão máxima nas superfícies

comprimento dos cilindros

, , E e constantes elásticas

e d

Fp

bl

E EFb

l d d

F f

p

l

E

d

π

ν ν

π

ν ν

=

− + − = +

→→

→→

→ diâmetros dos cilindros


Teoria de Hertz para contato em engrenagens:

É negativo por ser tensão de compressão!

( ) ( )( ) ( )

11 22

2 21 1 2 2

2

1

2

1 2

sin1/ 1/ 2

cos sin1 / 1 /2

1 1

cos

pt

c

G

tv

c p

drr rW

F dE E r

K WC

F r r

φ

σπ φ φν ν

σφ

=+ = − + − =

= − + ÷

1

2

2 21 2

1 2

1

1 1pC

E Eν νπ

= − −+ ÷


Equações Fundamentais de Tensão de Flexão da Norma AGMA:

0

0

(Imperial Units)

1 (Unidades Métricas)

t d m Bv s

t H Bv s

t J

P K KW K K K

F JK K

W K K Kbm Y

σ

=

( )

0

força tangencial

fator de sobrecarga

fator de velocidade ou fator dinâmico

fator de tamanho

diametral pitch transversal

fator geométrico (inclui a concentração de tensão na raiz)

t

v

S

d

J

W

K

K

K

P

J Y

( )( )

largura da face

fator distribuição de carga

fator de espessura do anel

módulo

m H

B

t

F b

K K

K

m


( )( ) ( )( )

0

01

2 2

(Imperial Units)

(Unidades Métricas)

fator distribuição de carga

coeficiente elástico, / /

fator de acabamento superfíc

ft mP v s

P

C

t H RE v s

w I

m H

P E

f R

CKC W K K K

d F I

K ZZ W K K K

d b Z

K K

C Z lbf in N mm

C Z

σ

=

( )( )

1

ial

diametro primitivo do pinhão

fator de geometria para o contato

P w

I

d d

I Z


Equações Fundamentais de Tensão de Contato da Norma AGMA:


Equações de resistência AGMA: utiliza a resistência de engrenagem (sat

sac), também chamados de números de tensão admissível.

A resistência flexional (St) é dada pelas equações e gráficos a seguir.


Número de tensão de flexão admissível para aços endurecidos por

completo.


Número de tensão de flexão admissível para engrenagens de aço

endurecidas totalmente por nitretação.


Número de tensão de flexão admissível para engrenagens de aço

nitretado.


A equação para tensão admissível de flexão é:

( )

( )

2 2

(Imperial Units)

(Unidades métricas)

Tensão admissível devido a flexão / /

fator de repetição para a tensão de flexão

fator

t N

F T R

all

t N

F Z

t

N

T

S Y

S K K

S Y

S Y Y

S lbf in N mm

Y

K Y

θ

θ

σ

=

( ) de temperatura

fator de confiabilidade

Fator segurança da norma AGMAR z

F

K Y

S


A equação para tensão de contato admissível é:

( )

( )

,

2 2

(Imperial Units)


Tensão admissível ao contato / /

fator de repetição para a tensão de contato

fat

c N H

H T R

c all

c N W

H Z

c

N

H W

S Z C

S K K

S Z Z

S Y Y

S lbf in N mm

Z

C Z

θ

σ

=

( )( )

or de relação de durezas

fator de temperatura

fator de confiabilidade

Fator segurança da norma AGMA

T

R z

H

K Y

K Y

S

θ


Fator de geometria para resistência à flexão YJ ou J: calculado pela

norma AGMA 908-B89;

0.95

f N

NN

YJ

K m

pm

Z

=

=

• Fator de correção de tensão Kf.

• Y: Fator da norma AGMA 908-B89.

• pN: Passo de base normal.

• Z: Comprimento da linha de ação.

• mN: razão de compartilhamento de carga, =1

para ECDR.


0

0

1

t d m Bv s

t H Bv s

Jt

P K KW K K K

FK K

W K K Kbm

J

Y

σ

=


Fator geométrico da resistência superficial I, ZI:

0

01

ft mP v s

PC

t H RE v s

Iw

CKC W K K K

d F

K ZZ W K K K

d b

I

Z

σ

=

cos sin

2 1

cos sin

2 1

t t G

N G

t t G

N G

m

m mI

m

m m

φ φ

φ φ

+= −

Engrenagens Externas

Engrenagens Internas

mG: razão de velocidades=NG/NP


Coeficiente elástico CP, ZE: 0

01

ft mv s

PC

t

P

EH R

v sw I

CKW K K K

d F I

K ZW K K KZ

d b

C

Z

σ

=

1

2

2 2

1

1 1p

p G

P G

C

E E

ν νπ

= − − + ÷ ÷


( )( ) 2/3

[ / min]

200[ / ]

50 56 1

0.25 12

B

v B

v

A VV ft

AK

A VV m s

A

A B

B Q

+ → ÷ ÷ = + → ÷ ÷

= + −

= −

( )( )

( )

2

max 2

3 / min

3 200 /

v

t

v

A Q ftV

A Q m s

+ − = + −

Fator dinâmico KV:


Fator de sobrecarga KO:


Fator de condição da superfície CF, ZR:

A norma AGMA ainda não definiu um valor ou uma equação para o

calculo do valor.

Uma regra, “bom senso”, seria considerar quanto mais rugoso maior o

valor deste fator.

Este fator representaria a redução da área real de contato em relação a

área aparente dentre outros fatores.


Fator de tamanho Ks:

Normalmente adota-se a unidade para este fator, mas caso queira, existe

uma equação para determinação:

Se o fator calculado for menor que a unidade, adote o fator igual a 1.

0,0535

11,192S

b

F YK

k P

= = ÷ ÷


Fator de distribuição de carga Km, KH:

Este fator leva em consideração:

•Montagem da engrenagem;

•Deformações do eixo e da engrenagem;

•Largura da face;

•Relação largura da face e diâmetro primitivo.

( )1m mc pf pm ma eK C C C C C= + +


( )1m pf pmmc ma eK C CC C C= + +

1 Dentes não coroados

0.8 Dentes coroados* mcC

=

* Contato esférico


2

0.025 110

0.0375 0.0125 1 1710

0.1109 0.0207 0.000228 17 4010

0.05 0.0510

pf

FF in

dF

F F indCF

F F Fd

F

d

− ≤ − + < ≤

= − + − < ≤ <

( )1 pfm mc pm ma eK C C C CC= + +


( )1m mc pf pm ma eK C C C CC= + +

1

1

1 / 0.175

1.1 / 0.175pm

S SC

S S

<= ≥


( )1m mc pf pm emaK C C CCC= + +

2. .maC A B F C F= + +


( )1m mc pf pm emaK C C CCC= + +


0.8 para engrenamentos ajustados no local ou quando

a compatibilidade é melhorada por lapidação.

1 para todos os outros casos eC

=

( )1m mc pf pm emaK C CC C C= + +


Fator de razão de dureza CH:

( )

( ) ( )3 3

1.0 ' 1.0 relação de transmissão

8.98 10 8.29 10 1.2 1.7

' 0 1.2

0.00698 1.7

H G G

BP BP

BG BG

BP

BG

BP

BG

C A m m

H H

H H

HA

H

H

H

− −

= + − → =

− ≤ ≤ ÷

= <

>

,

(Imperial Units)


c N

H T Rc all

C N

H Z

H

W

S Z

S K K

S Z

S

C

Z

Y Yθ

σ

=


Fator de número de ciclos YN, ZN: t

F T Rall

t

N

N

F Z

S

S K K

S

S Y

Y

Y

Y

θ

σ

=


,

c H

H

N

T Rc all

C W

H Z

N

S C

S K K

S Z

S Y Y

Z

Z

θ

σ

=


Fator de confiabilidade KR, YZ:

,

c N H

H RTc all

C N W

ZH

S Z C

S K

S Z Z

S Y

K

Yθ

σ

=

t N

F Tall

t N

R

F Z

S Y

S K

Y

K

S Y

S Yθ

σ

=

( )( )

0.658 0.0759ln 1 0.5 0.99

0.5 0.109ln 1 0.99 0.9999R

R RK

R R

− − < <= − − < <


Fator de temperatura KT, Yɵ:

•A temperatura limite é dada pelo óleo que se degenera quando

aquecido.

•Em geral os óleos possuem ponto de fulgor próximo à 150ºC.

•A norma AGMA recomenda que os redutores quando trabalharem

abaixo de 120ºC utilizem este fator igual à 1.

•Para temperaturas superiores, utiliza-se o fator maior que 1.


Fator de espessura de aro KB: Quando a espessura do aro não é suficiente para

proporcionar suporte completo para a raiz do dente, pode ocorrer falha por fadiga flexional.

RB

t

tm

h=

2.2421.6 ln 1.2

1 1.2

BBB

B

mmK

m

<= ≥


Fatores de segurança contra falha por fadiga flexional SF e contra

falha por crateramento SH:

/ ( ) Resist ncia flex o corrigida por completo

Tens o de flex o

/ ( ) Resist ncia de contato corrigida por completo

Tens o de contato

t N T RF

c N H T RH

c

S Y K K ê à ãS

ã ã

S Z C K K êS

ã

σ

σ

= →

= →


Decisões Iniciais do Projeto:

•Carregamento, velocidade, confiabilidade, vida desejada e fator de

sobrecarga.

•Fator de segurança: Quanto maior a incerteza do projeto maior deve ser

este.

•Sistema de dentes: ângulo de pressão e ângulo de hélice.

•Relação de transmissão, números de dentes da coroa e do pinhão.


Variáveis de projeto:

•Qualidade (Qv).

•Módulo (diametral pitch).

•Largura da face.

•Material do pinhão, dureza do núcleo e superficial.

•Material da coroa, dureza do núcleo e superficial.


Sugestão de procedimento de cálculo:

1.Escolha o módulo (diametral pitch).

2.Examine as implicações na largura da face, nos diâmetros primitivos,

nas propriedades dos materiais. Se não for factível, altere o valor.

3.Escolha o material do pinhão definindo as durezas do núcleo e da

superfície.

4.Repita o passo 3 para a coroa.

5.Repita os passos anteriores até que as variáveis de projeto não se

alterem mais.


Critério de flexão do pinhão:

• Selecione um valor inicial de F=4π/P;

• Encontre as tensões limites;

• Encontre o material e as durezas necessárias para atender as

tensões limites;

• Ajuste o valor da largura da face caso necessário;

• Verifique o coeficiente de segurança.


Critério de flexão da coroa:



tensões limites;




Critério de desgaste:



tensões limites;



EXERCÍCIOS

Exemplos resolvidos:

14.4

14.5

14.6

14.7

14.8

8 tensões em engrenagens 1

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