8 método dos deslocamentos

7/24/2019 8 Mtodo Dos Deslocamentos

1/62

11

TEORIA DAS ESTRUTURASANLISE DE ESTRUTURAS

CINEMATICAMENTE INDETERMINADASPELO MTODO DOS DESLOCAMENTOS

Prof. lvaro Carmo Vaz

UNIVERSIDADE EDUARDO MONDLANECurso de Engenharia Civil


2/62

22

Mtodo das Foras

Sobreposio de sistemas isostticos

Estrutura-base

Sobreposio de sistemas deve sercinematicamente equivalente ao sistema dado

Equaes de compatibilidade permitem calcularas incgnitas hiperestticas


3/62

33

Mtodo das Foras

O mtodo das foras um desenvolvimentolgico a partir do conhecimento e resoluo desistemas isostticos

A base de partida do mtodo dosdeslocamentos no o sistema isosttico(sistema estaticamente determinado) mas osistema cinematicamente determinado osdeslocamentos de todos os ns so conhecidos

O mtodo dos deslocamentos o mtodo maisutilizado nos programas de computador declculo de estruturas reticuladas porque maisautomatizvel que o mtodo das foras


4/62

Resoluo de um sistema estaticamentedeterminado

44

Solicitao Condies

de equilbrio

Esforos

Relaes deelasticidade

Condies decompatibilidade

Deformaes

Deslocamentos


5/62

Deformaes independentes

um vector das deformaes independentes

Deformaes independentes parmetrosnecessrios e suficientes para caracterizar oestado de deformao de uma pea linearpertencente a uma estrutura plana que sedeforma no prprio plano 55

=

j

j

i

m

e

u


6/62

Esforos independentes

Xm vector de esforos independentes

Esforos independentes parmetros

necessrios e suficientes para caracterizar oestado de tenso numa pea linear pertencentea uma estrutura plana solicitada no prprioplano

66

=

j

j

i

m

N

M

M

X


7/62

77

+

=

j

j

i

j

j

i

j

j

i

eNM

M

EA

LEI

L

EI

LEI

L

EI

L

e

00

036

063

mmmm uXFu +=

Relaes de elasticidade de umabarra

Fm matriz de flexibilidade da barra

vector das deformaes independentes devido a cargas

de vo quando todos os esforos independentes so nulos

mu


8/62

88

Matriz de rigidez da barra

Matriz de rigidez K da barra relaciona osesforos independentes com as deformaesindependentes

Quando no h cargas de vo, u = F X;donde, X = F-1 u = K u

A matriz de rigidez duma barra a inversa darespectiva matriz de flexibilidade

Cada elemento Kijda matriz de rigidezrepresenta o esforo Xina barra causado peladeformao uj= 1 quando todos as restantesdeformaes independentes so nulas


9/62

99


==

LEA

LEI

LEI

LEI

LEI

FK

00

042

024

1


10/62

1010


Note-se que apenas foram considerados asdeformaes independentes no foramconsiderados os deslocamentoscorrespondentes ao movimento da barra comocorpo rgido translao da barra (2deslocamentos lineares) e rotao do eixo dabarra

Os deslocamentos da barra como corpo rgidono provocam esforos nas extremidades


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1111

Exerccios

Verificar que K = F-1

Desenhe a deformada da barra para para cada umadas deformaes independentes uunitrias erestantes nulas, identificando os respectivos valores

dos esforos independentes X


12/62

1212

Alternativa ao Mtodo das Foras

possvel determinar os esforos edeformaes a partir do conhecimento dosdeslocamentos dos ns?

Em cada n h 3 deslocamentos e 3 esforos

correspondentes (sistemas planos): d1= y

d2= dx

d3= dz Cada elemento / barra ter ndeslocamentos a

considerar conforme as ligaes dos ns deextremidade


13/62

1313

Comparao entre o mtodo das forase o mtodo dos deslocamentos

Mtodo das Foras:sobreposio de sistemas isostticos (estaticamente

determinados),

compatibilidade de deslocamentos,clculo das foras hiperestticas

Mtodo dos Deslocamentos:sobreposio de sistemas cinematicamente

determinados,equilbrio de foras,

clculo dos deslocamentos nodais


14/62

Resoluo de um sistema

cinematicamente determinado1414

Movimentosda estrutura

Condiescinemticas

Deslocamentos

Condies decompatibilidade

Relaes deelasticidade

Deformaes

Esforos


15/62

Deformao de um prtico

1515


16/62

Deformao da barra AB

1616


17/62

1717

Barra com ns de extremidadergidos

Utiliza-se a conveno universal de sentidos


18/62

1818

Ateno aos sentidos / sinais

Com a conveno de sentidos da figuraanterior:

Mi= - X3

Mj= X6Nj= X4i= - 1

j= 2


19/62

1919


Vamos designar os esforos independentes porX e as deformaes independentes por u

Vamos designar os 6 esforos nas

extremidades por Xee os 6 deslocamentos pord

Sem cargas de vo, ser X = K u, Xe= Ked

Ke

a matriz de rigidez da barra (6 x 6)

Vamos designar por T1a matriz (3 x 6) querelaciona d com u, e por T2(6 x 3) a querelaciona X com Xe


20/62

2020

Relaes entre deformaes edeslocamentos

L

dddj

25

6

= 14 ddej =L

dddi

253

+=

=

6

5

4

3

2

1

001001

11

001

0

01

011

0

d

d

dd

d

d

LL

LL

ej

j

i

Em forma matricial, pode escrever-se: u = T1d


21/62

2121

Relaes entre esforos nasextremidades e esforos independentes

A relao entre os 6 esforos nas extremidadese os esforos independentes tambm podeexprimir-se sob forma matricial: Xe= T2X

=

j

j

i

N

M

M

LL

LL

X

XX

X

X

X

010

011

100

001

011

100

6

5

4

3

2

1


22/62

2222


Pode obter-se a matriz de rigidez da barra, Ke,que relaciona os 6 esforos com os 6deslocamentos dos ns: Xe= Ke d

Para isso, basta usar as relaes matriciaisanteriores

Xe= T2X

X = K u

u = T1d

Xe= T2K T1d Ke= T2K T1


23/62

2323

Exerccio

Obter a matriz de rigidez da barra (6x6)


24/62

2424

[ ] =

=

0000

460

260

260

460

1

001001

110010

01

011

0

00

042

024

010

011

100

001

011

100

22

22

L

EA

L

EAL

EI

L

EI

L

EI

L

EI

L

EI

L

EI

L

EI

L

EI

matriz

LL

LL

L

EA

LEI

LEI

L

EI

L

EI

LL

LL

Esta matriz d os 3 esforos independentes em funodos 6 deslocamentos dos ns


25/62

2525

[ ]matriz

L

EI

L

EI

L

EI

L

EI

L

EA

L

EI

L

EI

LEI

LEI

L

EA

3

042

066

00

024

066

00

22

22

=

Esta matriz d os 6 esforos nos ns em funo das 3 deformaes independentes

B d t id d


26/62

2626

Barra com ns de extremidadergidos matriz de rigidez

=

6

5

4

3

2

1

22

2323

22

2323

6

5

4

3

2

1

460

260

612

0

612

0

0000

260460

6120

6120

0000

d

d

d

dd

d

L

EI

L

EI

L

EI

L

EIL

EI

L

EI

L

EI

L

EIL

EA

L

EALEI

LEI

LEI

LEI

L

EI

L

EI

L

EI

L

EIL

EA

L

EA

X

X

X

XX

X

B d t id d


27/62

2727

Barra com ns de extremidadergidos matriz de rigidez

Matriz de rigidez simtrica Kij = Kji Krs o valor de Xrquando o deslocamento ds= 1 e

todos os restantes deslocamentos so nulos

Elementos da diagonal Kjj so sempre positivos

Se no houver cargas de vo, os esforos nasextremidades da barra ficam determinados a partir doconhecimento dos valores dos deslocamentos nos nsde extremidade

Se houver cargas de vo, preciso somar os esforosnas extremidades causados pelas cargas de voquando todos os deslocamentos dos ns deextremidade esto impedidos barra bi-encastrada

B bi t d d


28/62

2828

Barra bi-encastrada com cargas devo

Os esforos podem ser obtidos por diversasvias:

usando o mtodo das foras (sistema 3 vezeshiperesttico)

pela integrao da equao diferencial da linhaelstica com 4 condies de fronteira (no calcula os

esforos axiais) e o TTV para os esforos axiaisusar tabelas de Mi, Mje Njpara as solicitaes maishabituais e obter Ni, Ti, Tjpelas equaes de equilbrioesttico

mmmm XdKX +=mX


29/62

2929Ateno: conveno de sinais no a mesma para o momento do n iAteno: conveno de sinais no a mesma para o momento do n i


30/62

3030

Exemplo ilustrativo barra bi


31/62

3131

Exemplo ilustrativo barra bi-encastrada com apoio a meio

Sistema 4 x hipersttico (3 x para cargas verticais)

Sistema com 2 graus de indeterminao cinemtica (1grau para cargas verticais)

No exemplo, as cargas so verticais, s 1 grau deindeterminao cinematica incgnita a rotao don B = q1(deslocamento nodal)


32/62

3232

Resoluo

Sobreposio de 2 sistemas cinematicamentedeterminados: soluo particular e soluocomplementar

Soluo particular o sistema com q1= 0(deslocamento do n impedido) e cargas

Soluo complementar sistema sem cargas e comdeslocamento do n (neste caso, rotao) q1. Calcula-se multiplicando por q1o sistema com q1= 1

Clculo de q1 atravs de K q + = Q

K matriz de rigidez da estrutura, soluo complementarq vector de deslocamentos nodais vector de foras de fixao, soluo particular

Q vector das foras nodais aplicadas estrutura

Q

Q


33/62

3333

Soluo particular

A fora de fixao a soma dos momentos defixao nas extremidades das barras que

convergem no n = 7,5 kNmQ

Q


34/62

3434

Soluo para q1= 1

Neste caso, apenas uma fora nodal

q1= 1, K11= 0,67EI + 0,67EI = 1,33 EI

Equao do mtodo dos


35/62

3535

Equao do mtodo dosdeslocamentos

K q + = Q K = 1,33 EI

= 7,5 kNm

Q = 0

Donde q1= -5,625 / EI fcil calcular os momentos de extremidade por

sobreposio da soluo particular com a soluocomplementar. Por ex

MAB= 15 + 0,33 EI * (-5,625 / EI) = 13,125MBA= -15 + 0,67 EI * (-5,625 / EI) = -18,75MBC= 22,5 + 0,67 EI * (-5,625 / EI) = 18,75MCB= -22,5 + 0,33 EI * (-5,625 / EI) = -24,375

Q

Q

Coordenadas locais vs coordenadas


36/62

3636

Coordenadas locais vs coordenadasuniversais

Num mesmo n de uma estrutura podem ligar-se barras com diversas orientaes

Em cada n, as equaes de equilbrio tm deestar referidas a um nico sistema de eixos

Pode no ser possvel fazer coincidir esse nicosistema de eixos com o sistema de eixos decada barra (eixos locais)

Adopta-se um sistema universal de eixos paratoda a estrutura e transforma-se ascoordenadas locais em globais e vice-versa


37/62

3737

Transformao de eixos

Eixos locais a preto, eixos globais a vermelho

ngulo entre os eixos homlogos

f


38/62

3838


Eixos locais so os de cada barra, eixos globaisso para a estrutura

Matriz de transformao de eixos L

d deslocamentos locais, g deslocamentosglobais

d = L g

=

3

2

1

3

2

1

100

0cossin

0sincos

gg

g

dd

d

fcil de verificar que L-1= LT

T f d i


39/62

3939


Da mesma forma transformam-se forasreferidas a eixos globais para foras referidas aeixos locais

X foras locais, Q foras globais

X = L Q

T f d i


40/62

4040


Podemos escrever uma equao similar em termos

dos eixos globais

Para isso, temos de ver como transformar X em Q eK em K

XdKX +=

QgKQ +=

T f d i


41/62

4141


fcil de ver que Q = LTX = LT (K d + ) Q = LTK L g + LT

Ento ser K = LTK L e

Da mesma forma, g = LTd Muitas estruturas tm barras inclinadas: as

expresses acima facilitam o clculo automtico

com o mtodo dos deslocamentos

X

X

XLQ T=

Montagem da equao do Mtodo


42/62

4242

Montagem da equao do Mtododos Deslocamentos

Determine os graus de indeterminao cinemtica daestrutura

Seleccione e numere os deslocamentos nodais gdeacordo com um sistema de eixos globais

Discretize a estrutura e oriente e numeresequencialmente as barras que a compem

Identifique para cada barra os esforos locais Xedeslocamentos locais d

Resuma numa tabela as caractersticas geomtricas eelsticas que determinam o comportamento estruturalde cada barra



43/62

4343

Montagem da equao do Mtododos Deslocamentos

Obtenha para cada barra ma matriz de rigidez Kme asforas de fixao devido s cargas de vo

Obtenha a matriz L de transformao de eixos

Obtenha o vector das foras de fixao atravs de

Obtenha a matriz de rigidez da estrutura K atravs de

X

m

T

m

m XL

=m

mm

T

m LKLK

Q



44/62

4444

o tage da equao do tododos Deslocamentos

Defina o vector Q das foras nodais aplicadasResolva a equao vectorial K g + = Q para calcularos deslocamentos nodais g

Obtenha os deslocamentos locais atravs de d = L g

Calcule os esforos na estrutura atravs de

mmmmmmm XgLKXdKX +=+=

Q

Exerccio


45/62

Exerccio Calcule as reaces de apoio e trace os diagramas de

esforos utilizando o mtodo dos deslocamentos

45

Exerccio


46/62

Exerccio

46

Calcule as reaces de apoio e trace os diagramas deesforos utilizando o mtodo dos deslocamentos

Outros tipos de barras


47/62

4747

Outros tipos de barras

Para alm da barra com os dois ns deextremidade rgidos, interessa conhecer, asmatrizes de rigidez e as foras de fixao deoutros dois tipos de barras: Barra com uma extremidade rgida e a outra

articulada (rotao livre na extremidadearticulada, [K] = 5x5, X3ou X6=0)

Barra bi-articulada, apenas interessam os dois

deslocamentos axiais ([K] = 2x2,X2=X3=X5=X6=0)

Barra com extremidades rgida e


48/62

48

garticulada

A condio de que o momento na extremidadearticulada tem de ser nulo permite no considerar esseesforo

A rotao na extremidade articulada ser tal que omomento se anula

Pode-se calcular os valores de d6que faam X6= 0quando sucessivamente di= 1, i = 2, 3, 5; obtm-se -1,5/L, -0,5 e 1,5/L

Com esses valores de d6, fcil obter a nova matriz de

rigidez (5x5). Cada coluna correspondente a di= 1ser obtida somando os seus valores aos da (anterior)coluna 6 multiplicados pelos correspondentes valoresobtidos para d6

Exerccio


49/62

Exerccio

Determine:1. A matriz de rigidez (5 x 5) da barra com um n rgido e um

n articulado

2. Os esforos para uma carga uniformemente distribuda e

para uma carga concentrada a meio do vo

49

X

Barra com extremidades rgida e


50/62

5050

garticulada

Rotao livre na extremidade articulada, momento nulo

323

22

323

30

330

000

30

330

30330

000

L

EI

L

EI

L

EILEA

LEA

L

EI

L

EI

L

EILEI

LEI

LEI

L

EA

L

EA

Foras de fixao barra com


51/62

5151

extremidades rgida e articulada

Barra bi articulada


52/62

5252

Barra bi-articulada

o caso mais simples: Nas duas extremidades s h esforo axial

Rotaes nas extremidades no geramesforos axiais

Deslocamentos transversais d2e d5: comoso perpendiculares ao eixo da barra, ocomprimento no varia no geram esforoaxial

Deslocamentos axiais d1e d4originamesforos axiais

No h cargas de vo

Matriz de rigidez da barra bi-


53/62

5353

articulada

=

LEA

LEA

LEA

LEA

K

=

4

1

4

1

d

d

LEA

LEA

LEA

LEA

X

X

Barras incompressveis


54/62

5454


Se se aceitar que as deformaes axiais dealgumas barras so desprezveis, o nmero degraus de indeterminao cinemtica reduz-se

Apenas afecta os deslocamentos nodaislineares, no as rotaes

N deslocamentos lineares independentes =max {(n deslocamentos lineares n barrasincompressveis), 0}

Note-se que, se duas barras incompressveisestiverem no mesmo alinhamento quando seencontram num n, contaro como apenas umabarra incompressvel



55/62

5555


A matriz de transformao Lrelaciona osdeslocamentos locais d com os deslocamentosglobais independentes g

necessrio analisar como que a estrutura se

deforma para cada deslocamento linearindependente

Equao do mtodo dos deslocamentosb i i


56/62

5656

barras incompressveis

Obtenha para cada barra m a matriz de rigidez Kme asforas de fixao devido s cargas de vo

Obtenha o vector das foras de fixao Q0atravs de

Obtenha a matriz de rigidez da estrutura K atravs de

Defina o vector Q das foras nodais aplicadas

Resolva a eq. vectorial K g + Q0= Q para calcular osdeslocamentos nodais g

Calcule os esforos na estrutura atravs de

X

m

T

m

m XL

=m

mm

T

m LKLK

mmmm XgLKX +=



57/62

5757


Os esforos axiais nas barras incompressveisno so funo das deformaes axiais (que seassumiram serem nulas) e so obtidos porequilbrio dos ns

Uma mesma estrutura pode ter barrascompressveis e incompressveis No clculo em computador, consideram-se

todas as barras como compressveis porque areduo do tempo de clculo desprezvel, emcomparao com o aumento da complexidadeda resoluo

Barras incompressveis exemplos


58/62

5858


Exemplo 1: prtico rectangular



59/62

59


Exemplo 2: prtico com duas abas

59

Variaes de temperatura


60/62

6060

p

Variao linear de temperatura Barra compressvel: na soluo particular, a deformao

axial impedida, os esforos axiais nas extremidades so

Barra incompressvel: a deformao axial no impedida,

o seu valor L = t L, a considerar na soluo particular

(gi= 0)

tEALtLEAX ==

Variaes de temperatura


61/62

6161

p

Variao diferencial de temperatura Na soluo particular, rotaes das extremidades so

impedidas, momentos de fixao para barra com duas

extremidades rgidas dados por

Para barra com um n rgido e outro n articulado, o

momento na extremidade rgida dado por

h

tEIM

=

h

tEIM

=

2

3

Assentamento de apoio


62/62

6262

p

Barra compressvel considerar o assentamento nasoluo particular, calcular os esforos a partir da

deformada da barra

Barra incompressvel considerar o assentamentona soluo particular, calcular os esforos a partir

da deformada da estrutura

X

X

8 método dos deslocamentos

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