10 método dos deslocamentos

Método dos Deslocamentos

Método dos Deslocamentos

1° Condições de compatibilidade;2° Leis constitutivas dos materiais;3° Condições de equilíbrio.

“Somar uma série de soluções básicas (chamadas de casos básicos) que satisfazem as condições de compatibilidade, mas que não satisfazem as condições de equilíbrio da estrutura original, para na superposição restabelecer as condições de equilíbrio.”

Esse procedimento é o inverso do que é feito na solução pelo Método dos Esforços

Deslocabilidades

são as componentes de deslocamentos e rotações nodais queestão livres, isto é, que devem ser conhecidas para determinar a configuraçãodeformada de uma estrutura.Em estruturas que trabalham principalmente por flexão, geralmente podemos desprezar as deformações por força normal e cortante.

Deslocamentos livres que não provocam esforços na estrutura podem ser desprezados.

𝜃1 𝜃1 𝜃2

𝜃1 𝜃2 𝜃1 𝜃2

𝛿3

Grau de hipergeometria(G.H.): somatória das deslocabilidades.

𝐺. 𝐻. = 1𝐺. 𝐻. = 2

𝐺. 𝐻. = 2 𝐺. 𝐻. = 3

𝜃1

Deslocabilidades

𝛿2

𝜃5 𝜃6

𝜃2 𝜃3𝛿4

𝛿1

𝜃4 𝜃5

𝜃2𝛿3

𝛿1 𝜃1

𝐺. 𝐻. = 2 𝐺. 𝐻. = 6

𝐺. 𝐻. = 5 𝐺. 𝐻. = 1

estrutura cinematicamente determinada: uma estrutura que tem todas as suas deslocabilidades definidas (com valores conhecidos)

Sistema Hipergeométrico (SH): O modelo estrutural utilizado nos casos básicos é o de uma estrutura cinematicamente determinada obtida a partir da estrutura original pela adição de vínculos na forma de apoios fictícios

Sistema Hipergeométrico (SH)

Sistema Hipergeométrico (SH)

Fatores de carga

São os esforços (momentos e forças) que surgem nas extremidades das barras provocadas pelas cargas, também chamadas de momento de engastamentoperfeito.

𝐸𝐼𝐴

𝐵

𝐿

𝛿11 =1

3

𝐿. 1.1

𝐸𝐼=𝐿

3𝐸𝐼

𝛿10 + 𝛿11𝑋1 = 0

𝑋1 =𝑞𝐿2

8

𝑀𝐴𝐵

𝑀𝐴𝐵 =𝑞𝐿2

8

𝑀𝑒𝑡𝑜𝑑𝑜 𝑑𝑜𝑠 𝑒𝑠𝑓𝑜𝑟ç𝑜𝑠

𝑋1 = 1

𝑞𝑞

𝑞𝐿2

8

𝛿10 = −1

3

𝐿

𝐸𝐼

𝑞𝐿2

81 = −

𝑞𝐿3

24𝐸𝐼

−𝑞𝐿3

24𝐸𝐼+𝐿

3𝐸𝐼𝑋1 = 0

𝐹𝐴𝐵 𝐹𝐵𝐴

Fatores de carga

Fator de carga do nó

Soma dos fatores de carga das barras ligadas ao nó

𝑀𝐵𝐶𝐴 𝐵 𝐶

𝐿 𝐿

𝐸𝐼 𝐸𝐼

𝑀𝐵𝐴

𝑆11 = 𝑀𝐵𝐴 +𝑀𝐵𝐶

𝑆𝑖𝑗𝑖 → 𝑑𝑒𝑠𝑙𝑜𝑐𝑎𝑏𝑖𝑙𝑖𝑑𝑎𝑑𝑒𝑗 → 𝑐𝑎𝑠𝑜 𝑏𝑎𝑠𝑒

(1)

Rigidez de barra

Esforço ou força que surge na barra quando impomos um deslocamento (translação ou rotação) unitário em uma de suas direções.

𝜃 = 1

𝐸𝐼𝐴

𝐵

𝐿

𝑋1 = 1

𝛿10 = − 𝑅𝜌 = −1.1 = −1

𝛿11 =1

3

𝐿. 1.1

𝐸𝐼=𝐿

3𝐸𝐼

𝛿10 + 𝛿11𝑋1 = 0

−1 +𝐿

3𝐸𝐼𝑋1 = 0 𝑋1 =

3𝐸𝐼

𝐿

𝑀𝐴𝐵

𝑀𝐴𝐵 =3𝐸𝐼

𝐿

𝑀𝑒𝑡𝑜𝑑𝑜 𝑑𝑜𝑠 𝑒𝑠𝑓𝑜𝑟ç𝑜𝑠

𝐹𝐴𝐵 𝐹𝐵𝐴

Rigidez de barra

𝐸𝐼

𝐿3𝐸𝐼

𝐿

𝜃 = 1

𝐸𝐼

𝐿4𝐸𝐼

𝐿

𝜃 = 1

2𝐸𝐼

𝐿

𝐸𝐼

𝐿

3𝐸𝐼

𝐿2 𝜌 = 1

𝐸𝐼𝐿

𝜌 = 16𝐸𝐼

𝐿2

6𝐸𝐼

𝐿2

Rigidez do nó

Soma das rigidezes das barras ligadas ao nó

𝑀𝐵𝐶𝐴 𝐵 𝐶)

𝐿 𝐿

𝐸𝐼 𝐸𝐼

𝑀𝐵𝐴

𝑀𝐵𝐶 =3𝐸𝐼

𝐿𝑀𝐵𝐴 =

4𝐸𝐼

𝐿

𝐾11 = 𝑀𝐵𝐴 +𝑀𝐵𝐶

𝐾11 =4𝐸𝐼

𝐿+3𝐸𝐼

𝐿

𝐾𝑖𝑗𝑖 → 𝑑𝑒𝑠𝑙𝑜𝑐𝑎𝑏𝑖𝑙𝑖𝑑𝑎𝑑𝑒𝑗 → 𝑐𝑎𝑠𝑜 𝑏𝑎𝑠𝑒

(1)

Metodologia

1) Identificar as deslocabilidades;

2) Definir o sistema hipergeométrico (bloqueando as deslocabilidades);

3) Calcular os fatores de carga dos nós;

4) Calcular as rigidezes dos nós;

5) Aplicar a condição de equilíbrio dos nós;

6) Superposição de efeitos para o cálculo dos esforços.

𝐴

𝐵 𝐶

𝐷𝐴

𝐵 𝐶

𝐷

𝑑1 𝑑2

𝑑3

𝐺. 𝐻. = 3

S. 𝐻.

𝒄𝒂𝒔𝒐 𝒃𝒂𝒔𝒆 𝟎: 𝐹𝑎𝑡𝑜𝑟𝑒𝑠 𝑑𝑒 𝑐𝑎𝑟𝑔𝑎:

(1) (2)(3)

𝐴

𝐵 𝐶

𝐷

(1) (2)(3) 𝑆10 = 𝑀𝐵𝐴0 +𝑀𝐵𝐶

0

𝑆20 = 𝑀𝐶𝐵0 +𝑀𝐶𝐷

0

𝑆30 = 𝐹𝐵𝐴0 + 𝐹𝐶𝐷

0

𝑀𝐵𝐶0 𝑀𝐶𝐵

0

𝑀𝐵𝐴0

𝑀𝐴𝐵0

𝑀𝐷𝐶0

𝑀𝐶𝐷0

𝐹𝐵𝐴0

Exemplo

𝐹𝐶𝐷0

𝑪𝒂𝒔𝒐 𝒃𝒂𝒔𝒆 𝟏: 𝑅𝑖𝑔𝑖𝑑𝑒𝑧 para o giro em 1

𝐴

𝐵 𝐶

𝐷

(1) (2)(3)𝑑1 = 1

𝑀𝐵𝐶1𝑀𝐶𝐵1

𝑀𝐵𝐴1

𝑀𝐴𝐵1

𝑀𝐶𝐷1

𝑀𝐷𝐶1

𝐹𝐷𝐶1

𝐾11 = 𝑀𝐵𝐴1 +𝑀𝐵𝑐

1

𝐾21 = 𝑀𝐶𝐵1 +𝑀𝐶𝐷

1

𝐾31 = 𝐹𝐵𝐴1 + 𝐹𝐶𝐷

1

𝑪𝒂𝒔𝒐 𝒃𝒂𝒔𝒆 𝟐: 𝑅𝑖𝑔𝑖𝑑𝑒𝑧 para o giro em 2

𝐴

𝐵 𝐶

𝐷

(1) (2)(3)

𝑑2 = 1𝑀𝐵𝐶2𝑀𝐶𝐵2

𝑀𝐵𝐴2

𝑀𝐴𝐵2

𝑀𝐶𝐷2

𝑀𝐷𝐶2

𝐹𝐷𝐶2


2


2


2

𝑪𝒂𝒔𝒐 𝒃𝒂𝒔𝒆 𝟑: 𝑅𝑖𝑔𝑖𝑑𝑒𝑧para a translação em 3

𝐴

𝐵 𝐶

𝐷

(1) (2)(3)

𝑀𝐵𝐶3𝑀𝐶𝐵3

𝑀𝐵𝐴3

𝑀𝐴𝐵3

𝑀𝐶𝐷3

𝑀𝐷𝐶3

𝐹𝐷𝐶3

𝑑3 = 1


3


3


3

𝐹𝐵𝐴1 𝐹𝐵𝐴

3

𝐹𝐵𝐴2

𝐶𝑜𝑛𝑑𝑖çõ𝑒𝑠 𝑑𝑒 𝑒𝑞𝑢𝑖𝑙í𝑏𝑟𝑖𝑜

𝑆10 + 𝐾11𝑑1 + 𝐾12𝑑2 + 𝐾13𝑑3 = 0

𝑆20 + 𝐾21𝑑1 + 𝐾22𝑑2 + 𝐾23𝑑3 = 0

𝑆30 + 𝐾31𝑑1 + 𝐾32𝑑2 + 𝐾33𝑑3 = 0

𝑆10𝑆20𝑆30

+

𝐾11 𝐾12 𝐾13𝐾21 𝐾22 𝐾23𝐾31 𝐾32 𝐾33

.

𝑑1𝑑2𝑑3

= 0

𝑆 + 𝐾 . 𝑑 = 0

𝑑 = − 𝑆 𝐾 −1

𝑆𝑢𝑝𝑒𝑟𝑝𝑜𝑠𝑖çã𝑜 𝑑𝑒 𝑒𝑓𝑒𝑖𝑡𝑜𝑠

𝐸 = 𝐸0 + 𝐸1𝑑1 + 𝐸2𝑑2+𝐸3𝑑3

𝑀𝐴𝐵 = 𝑀𝐴𝐵0 +𝑀𝐴𝐵

1 𝑑1 +𝑀𝐴𝐵2 𝑑2+𝑀𝐴𝐵

3 𝑑3

𝑀𝐵𝐴 = 𝑀𝐵𝐴0 +𝑀𝐵𝐴

1 𝑑1 +𝑀𝐵𝐴2 𝑑2+𝑀𝐵𝐴

3 𝑑3

𝑀𝐵𝐶 = 𝑀𝐵𝐶0 +𝑀𝐵𝐶

1 𝑑1 +𝑀𝐵𝐶2 𝑑2+𝑀𝐵𝐶

3 𝑑3

𝑀𝐶𝐷 = 𝑀𝐶𝐷0 +𝑀𝐶𝐷

1 𝑑1 +𝑀𝐶𝐷2 𝑑2+𝑀𝐶𝐷

3 𝑑3

𝑀𝐷𝐶 = 𝑀𝐷𝐶0 +𝑀𝐷𝐶

1 𝑑1 +𝑀𝐷𝐶2 𝑑2+𝑀𝐷𝐶

3 𝑑3

𝑀𝐶𝐵 = 𝑀𝐶𝐵0 +𝑀𝐶𝐵

1 𝑑1 +𝑀𝐶𝐵2 𝑑2+𝑀𝐶𝐵

3 𝑑3

𝐴

𝐵 𝐶

𝐷

(1) (2)(3)

𝑀𝐴𝐵

𝑀𝐵𝐴

𝑀𝐵𝐶 𝑀𝐶𝐵

𝑀𝐶𝐷

𝑀𝐷𝐶

Exemplo

𝐸𝐼 → 𝑐𝑡𝑒

𝐴

𝐵 𝐶

4𝑚 2𝑚 3𝑚

20 𝐾𝑁/𝑚 30 𝐾𝑁

𝑑𝑒𝑠𝑙𝑜𝑐𝑎𝑏𝑖𝑙𝑖𝑑𝑎𝑑𝑒𝑠: 𝐺𝐻 = 1

𝑑1

𝐴

𝐵 𝐶

𝑆. 𝐻.

(1)

Exemplo

𝐴

𝐵 𝐶

4𝑚 2𝑚 3𝑚

CB0= Cálculo dos fatores de carga dos nós

𝑀𝐵𝐴 𝑀𝐵𝐶𝑀𝐴𝐵

𝑀𝐴𝐵 =𝑞𝐿2

12=20. 42

12= 26,67𝐾𝑁𝑚

20 𝐾𝑁/𝑚 30 𝐾𝑁

𝑀𝐵𝐴 = −𝑞𝐿2

12= −20. 42

12= −26,67𝐾𝑁𝑚

𝑀𝐵𝐶 =𝑃𝑎𝑏

2𝐿2𝐿 + 𝑏 =

30.2.3

2. 525 + 3 = 28,80𝐾𝑁𝑚

𝑆10 = 28,80 − 26,67 = 2,13 𝐾𝑁𝑚

(1)

Exemplo

𝐴

𝐵 𝐶

4𝑚 2𝑚 3𝑚

CB1: Cálculo da rigidez

𝐸𝐼(1)

(2)

𝐿3𝐸𝐼

𝐿

𝜃 = 1

𝐸𝐼(1)(2)

𝐿4𝐸𝐼

𝐿

𝜃 = 1

2𝐸𝐼

𝐿

𝐾𝐵𝐴𝐾𝐵𝐶𝐾𝐴𝐵

𝐾𝐵𝐴 =4𝐸𝐼

𝐿= 𝐸𝐼

𝐾𝐵𝐶 =3𝐸𝐼

𝐿=3

5𝐸𝐼

𝐾11 = 𝐸𝐼 +3

5𝐸𝐼 =8

5𝐸𝐼

(1)

𝐾𝐴𝐵 =2𝐸𝐼

𝐿=𝐸𝐼

2

Exemplo

𝐴

𝐵 𝐶

4𝑚 2𝑚 3𝑚

Aplicação da condição de equilíbrio

(1)

𝑆10 + 𝐾11𝑑1 = 0

2,13 +8

5𝐸𝐼𝑑1 = 0

𝑑1 = −1,33

𝐸𝐼

Superposição de efeitos

𝐸 = 𝐸0 + 𝐾1𝑑1

𝑀𝐴𝐵 = −26,67 +𝐸𝐼

2.(−1,33)

𝐸𝐼= 26,00𝐾𝑁𝑚

𝑀𝐵𝐴 = −26,67 + 𝐸𝐼.−1,33

𝐸𝐼= −28,00𝐾𝑁𝑚

𝑀𝐵𝐶 = 28,80 +3

5𝐸𝐼.−1,33

𝐸𝐼= 28,00𝐾𝑁𝑚 𝐴

𝐵 𝐶

26 28

4036

10 método dos deslocamentos

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