CAPÍTULO 4

VIGAS-COLUNA

4.2

ÍNDICE DE SEÇÕES 4.1 INTRODUÇÃO 4.3 4.2 VIGA-COLUNA COM CARGA LATERAL CONCENTRADA 4.3 4.3 VIGA-COLUNA COM CARGA LATERAL DISTRIBUÍDA 4.6 4.4 VIGA-COLUNA DE SEÇÃO TRANSVERSAL CONSTANTE 4.8 4.5 VIGA-COLUNA CONTÍNUA 4.15

4.6 VIGAS COM CARGAS AXIAIS DE TRAÇÃO 4.20 4.7 EQUAÇÃO DE INTERAÇÃO PARA O PROJETO DE VIGA-COLUNA 4.20 4.8 EXERCÍCIOS 4.22

4.9 REFERÊNCIAS 4.24 BIBLIOGRAFIA ADICIONAL 4.24 ÍNDICE DE FIGURAS 4-1 VIGA-COLUNA 4.3 4-2 VIGA-COLUNA COMM CARGA CONCENTRADA 4.3 4-3 CARACTERÍSTICAS DE CURVA DE DEFLEXÃO EM VIGAS-COLUNA 4.5 4-4 VIGA-COLUNA COM CARGA DISTRIBUÍDA 4.6 4-5 EXEMPLO DE ANÁLISE DE VIGA-COLUNA DE SEÇÃO CONSTANTE 4.13 4-6 TEOREMA DOS TRÊS MOMENTOS MODIFICADO COM A INCLUSÃO DO EFEITO DA CARGA AXIAL 4.16 4-7 EQUAÇÃO DE INTERAÇÃO PARA VIGA-COLUNA 4.21

4.3

4 VIGAS-COLUNA 4.1 INTRODUÇÃO

Vigas-Coluna são membros que estão sujeitos a ambas, flexão e compressão. A flexão pode ser

causada tanto por momentos aplicados na extremidade do membro quanto por forças transversais

agindo diretamente no membro como mostrado na Fig. 4-1. A coluna carregada excentricamente,

analisada no Cap. 2, também é, na essência, uma viga-coluna. As preocupações da análise então,

entretanto, eram distintos das que serão tratadas aqui. A razão de estudar um membro carregado

excentricamente no Cap. 2 foi verificar qual o efeito que pequenas quantidades de flexão, causadas por

inevitáveis imperfeições, têm sobre colunas carregadas axialmente. Aqui serão tratados membros onde a

compressão e flexão são devidas a cargas aplicadas intencionalmente. Noutras palavras, a flexão é

agora o efeito primário, enquanto que no estudo anterior era apenas um efeito secundário.

4.2 VIGA-COLUNA COM CARGA LATERAL CONCENTRADA Considere um membro simplesmente apoiado de comprimento L, submetido simultaneamente à

carga transversal Q e compressão P, como mostrado na Fig. 4-2. Suponha que o material seja elástico

linear, que as deformações permaneçam pequenas e que o membro é apoiado lateralmente de modo

que só possa fletir no plano vertical (i.e., não possa flambar lateralmente).

Se o sistema de coordenadas é aquele indicado na figura, o momento externo, a uma distância x da

origem, é

4.4

20

2"

2

2

2

2 Lx

EI

QxwkwPw

Qx

dx

wdEIM para (4.1)

com

EI

Pk 2

(4.2)

A solução geral da Eq. (4.1) é

P

QxkxBkxAxw

2cossen)( (4.3)

onde A e B são as constantes arbitrárias determinadas das condições de contorno

)2cos(

1

20)

2('

00)0(

kLPk

QA

Lw

Bw

e a Eq. (4.3) pode ser reescrita como

22cos

sen

2)(

kL

kL

kx

Pk

Qxw (4.4)

Concentrando a atenção na deflexão no centro da viga, = w(L/2) resulta em

22cos

2sen

2

kL

kL

kL

Pk

Q

ou

2

,tan2

kLuuu

Pk

Q com (4.5)

Multiplicando e dividindo a expressão (4.4) convenientemente por L

3/24EI resulta em

3

3

3

3

3

3 tan3

48tan

2

3

48tan

24

48 u

uu

EI

QLuu

kLEI

QLuu

kPL

EI

EI

QL (4.6)

O fator QL3/48EI que aparece nesta relação pode ser identificado como a deflexão que existiria na viga

se a carga Q estivesse agindo sozinha. Em conseqüência, introduzindo a notação

EI

QL

48

3

0 (4.7)

a Eq. (4.6) pode ser reescrita na forma

30

tan3

u

uu (4.8)

Para simplificar ainda mais esta expressão, considere a expansão de tan u numa série de potência:

...315

17

15

2

3tan 75

3

uuu

uu

A substituição desta série na Eq. (4.8) resulta em

4.5

...

105

17

5

21 42

0 uu (4.9)

Levando em consideração as expressões em (4.2) e (4.5),

cr

2

222 46,2

4 P

PL

EI

Pu

` (4.10)

de modo que a Eq. (4.9) pode ser posta na forma

...1...998,0984,01

2

crcr

0

2

crcr

0P

P

P

P

P

P

P

P (4.11)

A soma da série geométrica entre os colchetes é 1/[1-(P/Pcr)], de modo que a Eq. (4.11) reduz a

crPP

1

10 (4.12)

A equação (4.12) é uma muito boa aproximação para a deflexão máxima de um membro

simplesmente apoiado que é fletido simultaneamente por uma carga transversal Q e uma força axial P. A

equação indica que a deflexão máxima do membro é igual a 0, a deflexão máxima que ocorreria se

somente a carga transversal Q estivesse agindo sozinha, multiplicada por um fator de amplificação que

depende da razão P/Pcr. O efeito da carga axial é, portanto, o de ampliar a deflexão que existiria na viga

se esta carga não estivesse presente. A Eq. (4.12) indica também que a deflexão aumenta sem limite

quando P/Pcr tende para a unidade. Noutras palavras, a resistência do membro desaparece quando a

carga axial se aproxima da carga crítica. Isto significa que, além dos métodos vistos no Cap. 2, também

é possível determinar a carga crítica de um membro achando-se a carga axial sob a qual a rigidez em

flexão do membro se anula.

A variação de com Q, como dada pela Eq. (4.12), é mostrada na Fig. 4-3a para P = 0, P = 0,4 Pcr,

e P = 0,7 Pcr. Uma vez que a rigidez em flexão de um membro é proporcional à inclinação de sua curva

carga-deflexão, estas curvas claramente demonstram que um aumento na carga axial produz uma

diminuição na rigidez em flexão. As curvas também mostram que a relação entre a carga e a deflexão,

que é sabidamente linear quando P = 0, permanece linear mesmo quando P 0, desde que P seja

4.6

constante. Se é permitida a variação de P, entretanto, como no caso da Fig. 4-3b, a relação carga-

deflexão é não-linear. Isto é verdadeiro mesmo que a carga transversal Q permaneça constante (curva

cheia) ou cresça com o aumento de P (curva tracejada). A deflexão de uma viga-coluna, portanto, é uma

função linear de Q, mas não-linear de P. Se P e Q crescem simultaneamente, a relação carga-

deformação é não-linear.

Tendo determinado como a presença de uma carga axial afeta a deflexão lateral de um membro

carregado transversalmente, agora será estudado o efeito que a carga axial tem sobre o momento fletor.

O momento fletor máximo no membro é

crcr

maxPPEI

PLQL

PPEI

PQLQLP

QLM

1

1

121

41

1

4844

23

(4.13)

Mas

cr

2

22

2

82,01212 P

P

LEI

P

EI

PL

de modo que

cr

crmax

1

18,01

4 PP

PPQLM (4.14)

O fator fora dos colchetes na Eq. (4.14) é o momento que existiria na viga se não houvesse a carga

axial. Se este momento for designado por M0 = QL/4, a Eq. (4.14) pode ser posta na forma

cr

cr

0max1

18,01

PP

PPMM (4.15)

A equação (4.15) mostra que o efeito da compressão axial sobre o momento fletor é bastante

semelhante ao efeito que uma carga axial tem sobre a deflexão. Como a deflexão, o momento que existe

na ausência da carga axial é amplificado pela presença de uma carga axial. É também interessante notar

a semelhança entre o fator de amplificação para o momento e o correspondente fator para a deflexão.

4.3 VIGA-COLUNA COM CARGA LATERAL DISTRIBUÍDA Considere um membro simplesmente apoiado de comprimento L, submetido simultaneamente a

uma carga distribuída uniforme q e uma carga axial P, como mostrado na Fig. 4-4. Assuma, como

anteriormente, que o material é elástico linear, que as deformações permanecem pequenas e que a viga

4.7

é apoiada de forma tal a prevenir a flambagem lateral. A análise, na seção anterior, foi feita a partir da

formulação da equação de equilíbrio do corpo livre e posterior solução. Com o objetivo de ilustrar um

método alternativo de análise, se fará uso, aqui, do método de Rayleigh-Ritz.

A energia potencial total do sistema é

dxdx

dwPdxwqdx

dx

wdEIVU

LLL 2

00

2

0

2

2

22

(4.16)

Considerando as condições de contorno, a deflexão w(x) é assumida na forma

L

xxw

sen)( (4.17)

onde é a deflexão no centro da viga. Substituição desta expressão no potencial total resulta em

L

PqL

L

EIL

L

PLq

L

L

EI

dxL

x

L

Pdx

L

xqdx

L

x

L

EIVU

LLL

4

2

422

2

22

cos2

sensen2

22

4

24

2

42

4

42

0

2

2

42

00

2

4

42

(4.18)

Do princípio do valor estacionário da energia potencial total, para que o sistema esteja em equilíbrio é

necessário que a variação de U+V seja nula, ou seja

224

4

3

140

2

22

2

4)

LPEI

qL

L

PqL

L

EIVU

(4.19)

O numerador e denominador podem ser multiplicados por 5/384EI. Por outro lado, 2EI/L

2 = Pcr, de modo

que

crP

PEI

qL

EI

PLEI

qL

LPEI

EI

EI

qL

1

1

5

1536

384

5

1

1

5

1536

384

5

5

1536

384

55

4

2

25

4

224

4

(4.20)

A razão 1536/55 =1.00386 1. Por outro lado, a deflexão na viga quando não existe a carga axial P é

EI

qL

384

5 4

0 (4.21)

de modo que a Eq. (4.10) pode ser colocada na forma

crPP

1

10 (4.22)

A Eq. (4.22) fornece a deflexão máxima de uma viga simplesmente apoiada que é fletida

simultaneamente por uma carga distribuída uniforme q e uma carga axial P. Como a forma assumida

para a deflexão w(x) na Eq. (4.17) não é exata, a deflexão dada pela Eq. (4.22) é somente uma

aproximação. Entretanto, o erro cometido na aproximação é muito pequeno (Ref. 4.1). O momento

máximo na viga ocorre no centro e é dado por

4.8

cr

cr

2

crcr

2

cr

22

cr

422

max

1

03,01

81

103,11

8

1

1

48

51

81

1

384

5

88

PP

PPqL

PPP

PqL

PPEI

PLqL

PPEI

PqLqLP

qLM

(4.23)

O momento máximo numa viga simplesmente apoiada, submetida a uma carga transversal

uniformemente distribuída agindo sozinha (sem a carga P) é M0 = qL2/8, de modo que

cr

cr0max

1

03,01

PP

PPMM (4.24)

A máxima deflexão na viga-coluna, dada pela Eq. (4.22), e o momento máximo, dado pela Eq.

(4.24), sãoportanto o resultado do produto de dois termos: a deflexão ou momento máximo que existiria

se a carga axial não estivesse presente, e um fator de amplificação que leva em consideração o efeito da

carga axial. O que talvez seja mais marcante nestas relações é a sua semelhança com as expressões

correspondentes para a deflexão e momento obtidas anteriormente para o caso da carga concentrada. É

pelo menos parcialmente devido a esta semelhança que um critério de projeto relativamente simples

pode ser formulado para vigas-coluna.

4.4 VIGA-COLUNA DE SEÇÃO TRANSVERSAL CONSTANTE Esta seção é uma transcrição do que está disposto na Ref. 4.2, incluindo a convenção de sinais e

exemplo.

Como foi visto, vigas-coluna em compressão axial sempre falharão sob uma carga axial menor do

que a carga crítica de flambagem. À medida que as cargas axiais e momentos crescem e a carga axial

se aproxima da carga crítica, as deflexões laterais aumentarão e a flexão tende a dominar. Tipicamente,

portanto, a condição de falha será dada equacionando-se a soma das tensões de compressão devidas à

carga axial e aquelas resultantes do momento fletor nas fibras extremas, com a tensão admissível.

Como visto na seção 4.2, a análise de uma viga-coluna é complicada porque há um acoplamento

não-linear entre a carga axial e a flexão. A flexão pode ser causada por uma aplicação excêntrica da

carga axial, cargas laterais, gradientes térmicos ou uma combinação de condições. Este acoplamento

não-linear amplifica o momento fletor que resultaria na viga sem a carga axial de compressão. Uma

conseqüência do momento fletor não ser proporcional às cargas axiais é que não pode ser utilizado o

princípio da superposição, isto é, os efeitos combinados de duas ou mais cargas axiais não pode ser

obtido a partir da superposição dos efeitos das cargas agindo separadamente. Se as cargas axiais

permanecem constantes, entretanto, os momentos fletores originados de qualquer sistema de cargas

laterais são proporcionais a estas cargas. As deflexões e momentos para dois ou mais sistemas de

cargas laterais podem portanto ser superpostas se a carga axial é a mesma em cada sistema.

O momento fletor M, numa viga-coluna carregada lateralmente e submetida a uma carga axial P,

pode ser comparado ao momento fletor M0 que resultaria na viga sob a ação do mesmo carregamento

lateral atuando sozinho (sem a carga axial) pela seguinte expressão aproximada:

4.9

crPPMM

1

10 (4.25)

A Eq. (4.25) pode ser utilizada para calcular a diferença aproximada entre M e M0, com o objetivo de

determinar se uma análise completa da viga-coluna é necessária. A diferença entre M e M0 é

normalmente pequena em membros que são projetados primariamente para suportar flexão e uma

análise de viga-coluna mais complexa pode não ser necessária.

O primeiro passo na análise de uma viga-coluna é calcular a sua carga crítica. Se a carga axial for

menor do que a carga crítica, os efeitos combinados são, então, examinados. As seguintes equações

são utilizadas para calcular o efeito das cargas combinadas em vigas de um único vão:

a) Momento Fletor

)(cossen)( 2

21 xfjj

xC

j

xCxM (4.26)

b) Esforço Cortante

dx

xdfj

j

x

j

C

j

x

j

C

dx

dMxV

)(sencos)( 221 (4.27)

onde C1 e C2 são constantes de integração, f(x) é uma função que depende das cargas distribuídas na

viga e

P

EIj (4.28)

Para vigas simplesmente apoiadas, as expressões para as deflexões e inclinações são dadas,

respectivamente, por

P

xVxVx

P

xMxMx

)()()(

)()()( 00

; (4.29)

onde M0 e V0 são, respectivamente, o momento fletor e o esforço cortante na viga quando submetida

somente a cargas laterais (P = 0).

Nas equações acima, um momento positivo produz compressão na fibra superior da viga e um

deslocamento positivo está na direção da carga lateral aplicada. A Tab. 4-1 fornece os valores de C1, C2

e f(x) para os casos mais comuns, bem como a localização e valor do momento máximo na viga quando

disponíveis.

Casos que envolvem mais de um sistema de carregamento lateral podem ser tratados somando-se

os coeficientes individuais para cada sistema e usando o total nas equações fornecidas acima. Os

momentos em vários pontos ao longo do vão podem ser computados e uma curva suave pode ser

traçada através destes pontos para a determinação do momento máximo.

Dados e fórmulas adicionais para a análise de vigas-coluna de seção constante podem ser

encontrados nas Refs. 4-1, 4-3, 4-4 e 4.5.

4.10

TABELA 4.1 Fórmulas para Viga-Coluna sob Cargas Combinadas Axial e Transversal

CARREGAMENTO C1 C2 f(x) LOCALIZAÇÃO DE Mmax Mmax

j

Lwj

2tan2

2wj

w

Lx 5,0

1

j2

Lsec2

max wjM

2

wjL

j2Ltan2

wjL

w

Lxx e 0

1

j2Ltan

22max

jL

wjM

Lx 5,0

1

j2Lsen

22max

jL

wjM

jLwj

jL

jL

jL

jL

wLj

2tan

tan

22tan

2

2tantan

2tan

2wj

j

L

jL

jL

jL

jL

wLj

w

0x

j

L

jL

jL

jL

jL

wLjM tantan

2tan

2max

wLj

j

Ltansec2

j

L

j

Lwj

w

0x

j

Ltan1sec2

maxj

L

j

LwjM

ax

jL

jWj

para sen

bsen

0

0

j

bj

Lx

se 2

jL

jaWj

Msen

sen

max

ax

jL

jaWj

para tan

sen

j

aWj sen

0

j

bax

se j

b

jL

jaWj

M sensen

sen

max

ax

j

L

j

L

j

L

j

b

j

L

j

b

Wj

para

sencos

sencos

ax

j

L

j

L

j

L

j

L

j

b

j

b

j

L

Wj

para

sencos

sensen

0

0x

sencos

sensen

max

j

L

j

L

j

L

j

L

j

b

j

b

j

L

WjM

ax

j

L

j

L

j

L

j

b

j

a

j

L

j

asin

j

L

Wj

para

sencos

coscos

ax

j

L

j

L

j

L

j

b

j

a

j

a

j

L

j

L

Wj

para

sencos

sencossen

0

ax

sencos

sencos

senmax

j

L

j

L

j

L

j

a

j

b

j

a

j

L

j

bWjM

b

W

a

x

W

W P P

w

P

x

P w

P

x

P

w

w

PP

x

P

a b

W

x

W

W P P

1

2

3

4

5

6

x

P b

4.11

TABELA 4.1 Fórmulas para Viga-Coluna sob Cargas Combinadas Axial e Transversal (Continuação)

CARREGAMENTO C1 C2 f(x) LOCALIZAÇÃO DE Mmax Mmax

2

para 2

Lx

Wj

2 para

4tan

2

Lx

j

LWj

0

0x

j

LWjM

4tan

2max

2/Lx

j

LWjM

4tan

2max

Wj

j

LWj tan

0

0x

j

LWjM tanmax

ax

j

L

j

bM a

para sen

cos

0

0

2

se j

bax

j

L

j

b

j

aM

Ma

sen

cossen

max

ax

j

L

j

aM a

para tan

cos

j

aM a cos

0

2 se

2

jb

jLx

j

L

j

aM

M

a

sen

cos

max

sen

cos12

j

L

j

LMM

1M

0

j

LM

j

LMM

jx

sen

cos

tan arc

1

12

ou x = 0 ou x = L

j

L

Mj

LMMM

M

sen

cos2

21

2121

22

max

ou M1 ou M2

j

L

wj

sen

2

0

L

wx

jL

jLjx

sencosarc

Ache o valor de x e substitua

na equação geral

P P

L/2

W

w P P

x

M2 M1

P P

x

Ma

P P

a b

a < b

x

P P W

x

7

8

9

10

11

4.13

EXEMPLO

O projeto preliminar de uma viga simplesmente apoiada de 50 in de comprimento, submetida a momentos M1 e M2 em suas extremidades, uma carga W, a uma distância a de sua extremidade esquerda, e uma carga axial P, foi baseado na equação de interação para vigas-coluna dada por (vide seção 4.7):

1

1

crcr PPM

M

P

P

u

(a)

onde M é o momento máximo devido às cargas laterais atuando sozinhas (P = 0), P é a carga axial aplicada, Mu é o momento admissível para as cargas laterais agindo sozinhas e Pcr é a carga crítica de flambagem em torno de eixo compatível com as deflexões produzidas por M (y-y, no caso).

Inicialmente será mostrado que, de fato, a viga foi projetada com base na eq. (a). A carga crítica de flambagem em torno do eixo y é:

kips 712,21kips 50

514,0700.102

2

2

2

cr

L

EIP

y (b)

O momento admissível Mu é calculado de forma que a fibra extrema da viga atinja a tensão de escoamento Fy:

inkips 093,37in kips97,0

514,070

c

IFM

I

cMF

yy

u

y

uy (c)

O momento máximo na viga sujeita às cargas laterais atuando sozinhas pode ser calculado do diagrama de momentos. Sejam RA e RB as reações (positivas para cima), respectivamente, nas extremidades A e B. Nestas condições:

kip 605,050

3575,0412 0 :B em 21

AA RWbbaRMMM

kip 145,0 0 BBAz RRRWF

O momento máximo é claramente no ponto de aplicação da carga W:

in-kip 075,1715605,081 aRMM A (d)

Usando os valores encontrados em (b), (c) e (d) na eq. (a), tem-se

712,2171093,37

075,17

712,21

71,0018

4.14

O que se deseja, através de uma análise apurada, é conhecer o momento máximo que se desenvolverá na viga e a margem de segurança do projeto.

Passo 1: Determine se P > Pcr , considere P agindo sozinho:

kips 153,8762,07,10 ksi 7,10

4,99

700.10

'

4,99503,0

50' in; 50' in; 503,0

762,0

193,0

A

crcr2

2

2

2

cr

minmin

AFPL

EF

LLL

I

(e)

Como P < Pcr , a coluna não flambará sob a carga P atuando sozinho

Passo 2: Determine o nível de tensão devido à carga P atuando sozinho e a margem de segurança em relação à flambagem

165,01186,9

7,101.. ; ksi 186,9

762.0

7 cr c

cf

FSM

A

Pf (f)

Passo 3: Determine as expressões para o momento ao longo da viga

03,287

514,0700.10

P

EIj

y (g)

Use uma combinação dos casos (10) e (5) da Tabela 4.1 de modo que C = Ccaso 10 + Ccaso 5

Para x < a:

4100,34

03,28

50sen

03,28

35sen03,2875,0

03,28

50cos812cos12

1

j

Lsen

j

bwjsen

J

Lsen

j

LMM

C

8012 MC , 000)( 2 jxf de modo que

axj

x

j

xsenxM ; cos841,34)( (h)

Para x > a:

3265,16

03,28

50tan

03,28

1503.2875.0

03,28

50

03,28

50cos812

tan

cos12

1

sen

senj

L

j

bwjsen

J

Lsen

j

LMM

C

7207,1803,28

15sen03,2875,0812

j

aWjsenMC , 000)( 2 jxf , de modo que

axj

x

j

xxM ; cos7207,18sen3265,16)( (i)

Passo 4: Determine o momento máximo

O momento máximo se dará ou numa das extremidades A e B, ou no ponto C de aplicação da carga, ou em algum ponto entre A e C, ou em algum ponto entre C e B.

in-kip 429,2403,28

15cos8

03,28

15sen41,34

;in -kip 12 ;in -kip 8 21

C

BA

M

MMMM

4.15

Verificação se está em algum ponto entre A e C:

63,37 rad 3424,1 3013,48

41,34tan 0sen

8cos

41,34 x

j

x

j

x

j

x

jj

x

jdx

dM

como x > a = 15, não há mínimo local no intervalo.

Verificação se está em algum ponto entre C e B:

in-kips 839,2403,28

10,20cos7207,18

03,28

10,20sen3265,16

10,20 rad 7172,0 8721,0tan 07207,18

cos3265,16

max

M

xj

x

j

x

j

xsen

jj

x

jdx

dM

O diagrama de momentos está esboçado na figura, podendo-se verificar que Mmax = 24,840 kips-in.

Passo 5: Calcule a tensão total e a margem de segurança

1. do passo 2, tensão de compressão: fc = - 9,186 ksi

2. tensão normal máxima de flexão: fb = Mc / I = 24,840x0,97/0,514 = 46,877 ksi

3. tensão combinada: ftotal = | fc | + | fb| = 56,063 ksi

4. M.S. = Fy / ftotal – 1 = 70/56,063 – 1 = + 0,249

Como pode ser notado, o projeto da viga é mais crítico em relação à flambagem em torno do eixo z e a margem de segurança é + 0,165 .

4.5 VIGA-COLUNA CONTÍNUA Uma grande percentagem da estrutura primária de uma aeronave pode ser classificada nesta

categoria. Cargas aerodinâmicas, de combustível, pressurização, etc., dão origem às cargas laterais. As

nervuras e cavernas fornecem os suportes contínuos à estrutura primária.

Vigas-coluna contínuas com rigidez uniforme em cada vão podem ser resolvidas por uma adaptação

do teorema dos três momentos, como mostrado na Fig. 4-6.

A continuidade sobre quatro, ou mais vãos, pode ser resolvida escrevendo-se uma equação dos

três momentos para cada par de vãos e resolvendo-se o sistema de equações simultâneas decorrente.

Uma extremidade engastada pode ser tratada a partir da adição de um vão fictício com rigidez EI e

fazendo P = 0 neste vão. Um sistema complexo de cargas em qualquer vão pode ser aproximado

através da aplicação repetida de cargas concentradas.

As funções e , são conhecidas como funções de Berry. Tabelas de Ψ e , em

função do parâmetro L / j podem ser encontradas em alguns textos, como a Ref. 4.2.

4.16

Fig. 4-6 Teorema dos Três Momentos Modificado com a Inclusão do Efeito da Carga Axial

EXEMPLO 1 – Viga-Coluna sobre três suportes

Considere a viga-coluna da figura, apoiada em três suportes. A viga está sujeita a uma carga axial constante ao longo de seu comprimento, momentos distintos em suas extremidades, uma carga

4.17

concentrada no primeiro vão e uma carga uniformemente distribuída no segundo vão. Solicita-se o valor do momento no suporte central. Os dados relevantes são dados na figura.

Passo 1: Inicie com os cálculos preliminares:

9171,071,32

30 ; 7643,0

71,32

25 ;in 71,32

5

5,0700.10

j

L

j

L

P

EIj RL

Passo 2: Calcule o valor das funções de Berry relevantes à solução do problema:

0919,1

9171,0

29171,029171,0tan24

22tan24

0610,1 ; 0412,17643,0tan

1

7643,0

1

7643,0

3

tan

113

1076,1 ; 0726,17643,0

1

7643,0sen

1

7643,0

6

116

33

R

RL

RL

jL

jLjL

jLjLL

j

jLjLsenL

j

Passo 3: Calcule as funções F:

4

R

4 10346,95,0700.10

30 ; 10788,7

5,0700.10

25

6

FFEI

LF L

Passo 4: Calcule as funções H:

233

3

10592,45,0700.1024

0919,1302.0

24

10774,725

5,12

7643,0sen

27643,0

5

1

EI

wLH

senH

L

b

jLsen

jbsen

P

WH

R

LL

Passo 5: Substitua na fórmula geral e resolva para M2

143,2810605,3

101456,10 103694,5107762,410605,3ou

10592,410774,71076,110346,930

0610,110346,90412,110788,720726,110788,720

3

2

2

22

2

3

234

44

2

4

MM

M

M2 = - 28,143 kips-in

EXEMPLO 2 – Viga-Coluna sobre quatro suportes

Considere a viga-coluna da figura, sobre quatro suportes. Como no exemplo 1, há uma carga axial constante através de todo o comprimento da coluna e momentos distintos aplicados nas extremidades. A viga tem um carregamento distribuído que cresce linearmente no vão da esquerda, permanece uniforme no vão central e decresce linearmente no vão da direita. O procedimento de solução consiste em separar o problema de três vãos em dois problemas de dois vãos e resolver o sistema resultante para os momentos nos suportes 2 e 3, como realizado no exemplo 1. Duas equações, onde os dois momentos nos suportes centrais aparecem como incógnitas, são montadas e posteriormente resolvidas.

4.18

Passo 1: Separe a estrutura em duas equações dos três momentos (1-2-3 e 2-3-4) e faça os cálculos preliminares

Vão 1-2 2-3 2-3 3-4

L / j 0,4586 0,6114 0,6114 0,7643

1,0251 1,0454 1,0454 1,0726

1,0143 1,0258 1,0258 1,0412

- 1,0389 1,0389 -

F 4,673x10-4

6,231x10-4

6,231x10-4

7,788x10-4

H -7,153x10-3

-3,236x10-2

-3,236x10-2

-3,437x10-2

Passo 2: Monte as equações dos três momentos para cada lado:

Para o lado esquerdo:

20x4,673x10-4

x1,0251 + 2M2 (4,673x10-4

x1,0143 + 6,231x10-4

x1,0258) +

+ M3x6,231x10-4

x1,0454 = -(0,7153 + 3,236)x10-2

Para o lado direito:

M2x6,231x10-4

x1,0454 + 2M3 (6,231x10-4

x1,0258 + 7,788x10-4

x1,0412) +

+ 30x7,788x10-4

x1,0726 = -(3,236 + 3,437)x10-2

Passo 3: Resolva o sistema de equações para M2 e M3:

in -kips 575,28

693,13

1792,9

9096,410

002,29513,6

513,6263,22

3

22

3

2

M

M

M

M

4.19

EXEMPLO 3 – Viga-Coluna com engastamento

Considere a viga-coluna do exemplo 1, onde o suporte da esquerda (e momento aplicado na extremidade da esquerda) foi substituído por um engaste. O procedimento de solução consiste em adicionar um vão fictício à esquerda da viga, com rigidez infinita e carga axial nula. O problema de três vãos resultante é depois separado em dois problemas de dois vãos, como no exercício anterior.

Passo 1: Adicione o vão virtual com rigidez infinita e carga axial nula

Passo 2: Separe a estrutura em duas equações dos três momentos (0-1-2 e 1-2-3) e faça os cálculos preliminares

Vão 0-1 1-2 1-2 2-3

j 32,71 32,71 32,71

L / j 0 0,7643 0,7643 0,9171

1 1,0726 1,0726 1,1076

1 1,0412 1,0412 1,0610

- - - 1,0919

F 0 7,788x10-4

7,788x10-4

9,346x10-4

H 0 -0,7774x10-2

-0,7774x10-2

-4,592x10-2

1 2 3

4.20

Passo 2: Monte as equações dos três momentos para cada lado:

Para o lado esquerdo:

0 + 2M1 (0 + 7,788x10-4

x1,0412) + M2x7,788x10-4

x1,0726= -(0 + 0,7774)x10-2

Para o lado direito:

M1x7,788x10-4

x1,0726+ 2M2 (7,788x10-4

x1,0412 + 9,346x10-4

x1,0610) +

+ 30x9,346x10-4

x1,1076 = -(0,7774 + 4,592)x10-2

Passo 3: Resolva o sistema de equações para M1 e M2:

in -kips 433,25

306,8

4749,8

7774,010

050,36353,8

353,8218,16

3

22

2

1

M

M

M

M

OBSERVAÇÃO: Em aplicações aeronáuticas, o número de suportes é normalmente grande e a solução

manual seria tediosa. Uma solução por computador seria mandatória. Para análise preliminar, entretanto,

a Ref. 4.6 apresenta figuras que permitem estimar o momento máximo no vão central de vigas contínuas

de 3, 5 e 7 vãos.

4.6 VIGAS COM CARGAS AXIAIS DE TRAÇÃO O tratamento de vigas submetidas a cargas transversais e cargas axiais de tração é realizado de

forma análoga. A equação de equilíbrio para o caso típico pode ser escrita como

)(" 2 xfwkw , com EI

Pk (4.30)

A solução geral é da forma

)(coshsenh)( xwkxBkxAxw p (4.31)

onde wp(x) é uma solução particular e A, B constantes arbitrárias determinadas a partir das condições de

contorno. Tabelas de formulas para os casos mais comuns, semelhantes àquelas dispostas na Tab. 4-1,

podem ser encontradas nas Refs. 4.2, 4.3, 4.5 e 4.6. A diferença matemática entre os casos de carga

axial em compressão e tração é que este último envolve funções hiperbólicas em vez de funções

circulares. Fisicamente, a carga axial de tração, ao contrário daquela em compressão que diminui a

rigidez do membro, aumenta a rigidez do membro, tendo, em conseqüência, um efeito redutor sobre os

deslocamentos e momentos desenvolvidos sob o carregamento transversal.

4.7 EQUAÇÃO DE INTERAÇÃO PARA O PROJETO DE VIGA-COLUNA Quando um membro está sujeito a um carregamento combinado, tal como compressão axial e

flexão, uma equação de interação fornece um meio adequado para a aproximação do estado de falha.

Conhecendo-se a resistência do membro em compressão pura e em flexão pura e sabendo-se que o

membro pode suportar menor compressão e flexão quando estes carregamentos estiverem agindo de

forma combinada do que suportaria se qualquer um destes carregamentos estivesse agindo sozinho,

4.21

pode-se estimar quanto de compressão e flexão o membro pode resistir se ambos estiverem presentes.

Tal aproximação pode ser verificada experimentalmente.

Para desenvolver uma equação de interação para flexão e compressão combinadas, considere as

razões P/Pu e M/Mu, onde

P = carga axial agindo no membro no momento da falha quando ambas, a compressão axial e

flexão estão presentes;

Pu = carga última no membro quando somente a compressão axial está presente, isto é, a carga de

flambagem do membro;

M = momento primário máximo agindo no membro no instante da falha quando ambas, a

compressão axial e flexão estão presentes; este momento exclui a amplificação devido à

presença da carga axial, ou seja, é o momento devido ao carregamento transversal somente;

Mu = momento último do membro sob flexão somente; na condição final, este momento é o

momento plástico da seção; na condição limite, é o momento sob o qual a fibra extrema atinge

a tensão de escoamento.

A equação de interação mais simples que poderia ser derivada é a reta,

1uu M

M

P

P (4.32)

mostrada pela linha tracejada na Fig. 4.7. Como pode ser notado, entretanto, todas as cargas de falha

obtidas experimentalmente ou teoricamente (também mostradas na figura) caem abaixo desta reta. Em

conseqüência pode-se concluir que a Eq. (4.32) fornece uma estimativa não conservativa para o projeto

de vigas-coluna e não é, portanto, um critério satisfatório de projeto.

4.22

Ma

EI P P

Mb

A razão para a discrepância entre a Eq. (4.32) e as cargas reais de falha em vigas-coluna é que M,

na equação, é somente a parte primária do momento total que age no membro. Noutras palavras, M não

inclui o momento secundário produzido pela carga axial e deflexão lateral. Foi mostrado na seção 4.2

que a presença de uma carga axial amplifica o momento fletor primário, aproximadamente pela razão

1/[1-(P/Pcr)]. Se este fator é incorporado na Eq. (4.32) obtém-se

1

1

crP

PM

M

P

P

u

u

(4.33)

Esta relação é mostrada pela linha cheia na Fig. 4-7. É evidente que a Eq. (4.33) se correlaciona muito

melhor com as cargas de falha reais e, de fato, parece oferecer um critério bastante satisfatório de

projeto. É evidente que a Eq. (4.33) nada mais é que a Eq. (4.32) onde os efeitos secundários no

momento Mu são considerados. Em alguns textos (como Ref. 4.6) a equação de interação é dada como

em (4.32). Neste caso, entretanto, a definição de Mu deve incorporar os efeitos da carga axial.

4.8 EXERCÍCIOS

EXERCÍCIO 4.1

Obtenha expressões para a deflexão máxima e momento máximo de uma viga-coluna uniforme de comprimento L e rigidez a flexão EI, cujas extremidades estão engastadas e que está sujeita a uma carga concentrada transversal em seu ponto médio igual à carga de compressão P.

EXERCÍCIO 4.2

Obtenha expressões para a deflexão de uma viga-coluna simplesmente apoiada, submetida a momentos nas extremidades;

Ache expressões para as derivadas da deflexão nas extremidades.

Ache o momento máximo na viga, quando: Mb = - Ma = M0 para

a) P/PE = 0,2 b) P/PE = 0,8

onde PE = 2EI/L

2

EXERCÍCIO 4.3

Uma viga simplesmente apoiada em ambas as extremidades está sujeita a um carregamento uniforme w /unidade de comprimento.

A força longitudinal de compressão P é aplicada à uma distância e do centróide da seção, e colocada de forma a se opor ao efeito de flexão do carregamento lateral, como mostrado na figura. A excentricidade e pode ser variada de forma a, dados valores de P e w, minimizar o momento fletor máximo na viga.

Ache, em função de P, w, EI e L, a expressão de e que minimiza este momento máximo.

P EI

P

L

P

L

e

P P

EI

L

w

wL/2 wL/2

e

4.23

EXERCÍCIO 4.4 A carga P para a qual o escoamento inicia nas fibras

extremas da viga-coluna mostrada na figura, é dada pela relação implícita

EA

PLec

A

PFy

2sec1

2 (a)

Notando que

I

cM

A

PFFy

max

max

derive a relação (a). Os termos usados nas relações são definidos como: A = área da seção transversal c = distância da fibra extrema do eixo central

= raio de giração da seção Fy = tensão de escoamento Fmax = tensão máxima admissível

EXERCÍCIO 4.5

Calcule o momento máximo na viga-coluna da figura. Dados: L = 40 in ; I = 0,64 in

4

E = 10.700 ksi P = 10 kips; w = 0,4 kips/in; M = 30 kips-in

EXERCÍCIO 4.6

Calcule o momento máximo na viga-coluna da figura. Dados: L = 60 in; a = 40 in; b = 20 in A = 0,81 in

2 ; I = 0,64 in

4

E = 10.700 ksi P = 10 kips; W = 5 kips M = 30 kips-in

EXERCÍCIO 4.7

Calcule os momentos atuantes no engastamento e suportes. Dados: a = 40 in ; b = 60 in; c = 40 in; d = 20 in A = 0,81 in

2 ; I = 0,64 in

4

E = 10.700 ksi P = 10 kips; w = 0,4 kips/in; W = 5 kips M = 30 kips-in

max

e

P P

EI e

L

w

a b

P W

M

d c

w

L

P

M

L

P W

M

a

4.24

4.9 REFERÊNCIAS

4.1 Timoshenko, S.P. & Gere, J.M.: Theory of Elastic Stability, McGraw-Hill, New York, NY, 1961.

4.2 Boeing Design Manual, BDM-6255, Classical Beam Columns, The Boeing Co., Seattle, Jan 1994

4.3 Roark, J.R.: Formulas for Stress and Strain, 4th ed., McGraw-Hill, New York, 1965.

4.4 Niles, A.S. & Newell, J.S.: Airplane Structures, Vol II, 4th ed., John Wiley & Sons, 1954.

4.5 NASA, Astronautics Structures Manual, Vol. 1, Section B.4.6, Structures and Propulsion Laboratory, NASA Marshall Space Flight Center, AL 35812, August 1975 – também disponível para download em http://trs.msfc.nasa.gov/mtrs/75/tmx73305v1p6.pdf e http://trs.msfc.nasa.gov/mtrs/75/tmx73305v1p7.pdf

4.6 Structural Design Manual, Vol. I, Section B6.2.2, Beam Column, McDonnell Douglas Co., Aug 1982.

BIBLIOGRAFIA ADICIONAL

4.7 ESDU, Information on the Use of Data Sheets 01.06, ESDU Data Item no. 01.06.00, November, 1956.

4.8 ESDU, Struts with Lateral Loads, ESDU Data Item no. 78030, November, 1978.

4.9 ESDU, Form Factors for Circular Sections under Combined Bending and Axial Load, ESDU Data Item no. 01.06.01, October, 1956.

4.10 ESDU, Form Factors for Flanged Sections under Combined Bending and Axial Load., ESDU Data Item no. 01.06.02, October, 1956.

4.11 ESDU, Form Factors for Channel Sections under Combined Bending and Axial Load., ESDU Data Item no. 01.06.03, October, 1956.