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CAMPUS SIMÕES FILHO
PROF.: Melquisedec Lourenço
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Notação científica
A notação científica é uma forma concisa de representar números, em especial muito grandes (100000000000) ou muito pequenos (0,00000000001). É baseado no uso de potências de 10 (os casos acima, em notação científica, ficariam: 1 · 1011 e 1 · 10-11, respectivamente).
Observe os números abaixo:
• 600 000 • 30 000 000 • 500 000 000 000 000 • 7 000 000 000 000 000 000 000 000 000 000 000 • 0,0004 • 0,00000001 • 0,0000000000000006 • 0,0000000000000000000000000000000000000000000000008
O cérebro humano tem cerca de 1,0 · 1011 neurônios
A massa da Via Láctea é de 1,0 · 1041 quilogramas
1. Introdução A representação desses números na forma convencional torna-se difícil. O principal fator de dificuldade é a
quantidade de zeros extremamente alta para a velocidade normal de leitura dos números. Pode-se pensar que esses valores são pouco relevantes e de uso quase inexistente na vida cotidiana. Mas este
pensamento é incorreto. Em áreas como a Física e a Química esses valores são frequentes. Por exemplo, a maior distância observável do universo mede cerca de 740 000 000 000 000 000 000 000 000 metros, e a massa de um próton é aproximadamente 0,00000000000000000000000000167 gramas. Para valores como esses, a notação científica é mais compacta.
2. Descrição
Um número escrito em notação científica segue o seguinte modelo: m · 10 e
O número m é denominado mantissa e e a ordem de grandeza.
2.1. Notação científica padronizada
A definição básica de notação científica permite uma infinidade de representações para cada valor. Mas a notação científica padronizada inclui uma restrição: a mantissa (coeficiente) deve ser maior ou igual a 1 e menor que 10. Desse modo cada número é representado de uma única maneira.
Como transformar
Para transformar um número qualquer para a notação científica padronizada devemos deslocar a vírgula obedecendo o princípio de equilíbrio.
Vejamos o exemplo abaixo:
253 756,42
3
A notação científica padronizada exige que a mantissa (coeficiente) esteja entre 1 e 10. Nessa situação, o valor adequado seria 2,5375642 (observe que a sequência de algarismos é a mesma, somente foi alterada a posição da vírgula). Para o exponente, vale o princípio de equilíbrio: "Cada casa decimal que diminui o valor da mantissa aumenta o expoente em uma unidade, e vice-versa". Nesse caso, o expoente é 5.
Observe a transformação passo a passo:
253 756,42 = 25 375,642 · 101 = 2 537,5642 · 10² = 253,75642 · 10³ = 25,375642 · 104 = 2,5375642 · 105
Um outro exemplo, com valor menor que 1:
0,0000000475 = 0,000000475 · 10-1 = 0,00000475 · 10-2 = 0,0000475 · 10-3 = 0,000475 · 10-4 = 0,00475 · 10-5 = 0,0475 · 10-6 = 0,475 · 10-7 = 4,75 · 10-8
Desse modo, os exemplos acima ficarão:
• 6 x 105 • 3 x 107 • 5 x 1014 • 7 x 1033 • 4 x 10-4 • 1 x 10-8 • 6 x 10-16 • 8 x 10-49
2.2. Ordem de Grandeza
É muito comum no mundo da Ciência, trabalharmos com grandezas físicas sem necessidade de saber seu valor exato, nesses casos somente é necessário saber a potência de base 10 que mais se aproxima do seu valor. Essa potência é denominada de Ordem de Grandeza do número que expressa sua medida, isto é, a ordem de grandeza de um número é a potência de base 10 mais próxima deste número. Para determinação da ordem de grandeza de um número usaremos a
fronteira numérica de 16,310 = . Exemplo: Qual a ordem de grandeza das seguintes medidas? 3 x 10-3 m → 3 < 3,16 , logo a ordem de grandeza é 10-3
4 x 102 m → 4 > 3,16 , logo a ordem de grandeza é 103
7 x 10-6 m → 7 > 3,16 , logo a ordem de grandeza é 10-5
OBS.: POR QUE É ASSIM?
A essa altura, você deve estar perguntando, por que raios esse estranho valor de 3,16 foi adotado como referência?
Resposta: O fato é que o ponto médio entre o intervalo de duas potências consecutivas, tipo 100 e 101 é:
16,3101010 2
1
2
10
===
+
3. Operações
3.1. Adição e subtração
Para somar ou subtrair dois números em notação científica, é necessário que o expoente seja o mesmo. Ou seja, um dos valores deve ser transformado para que seu expoente seja igual ao do outro.
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A transformação segue o mesmo princípio de equilíbrio. O resultado possivelmente não estará na forma padronizada, sendo convertido posteriormente.
Exemplos:
4,2 · 107 + 3,5 · 105 = 4,2 · 107 + 0,035 · 107 = (4,2 + 0,035) · 107 = 4,235 · 107
6,32 · 109 - 6,25 · 109 = (6,32 – 6,25) · 109 = 0,07 · 109 (não padronizado) = 7 · 107 (padronizado)
3.2. Multiplicação
Multiplicamos as mantissas e somamos os expoentes de cada valor. O resultado possivelmente não será padronizado, mas pode ser convertido:
Exemplos:
(6,5 · 108) . (3,2 · 105) = (6,5 · 3,2) · 108+5 = 20,8 · 1013 (não padronizado) = 2,08 · 1014 (convertido para a notação
padronizada)
(4 · 106) · (1,6 · 10-15) = (4 · 1,6) · 106+(-15) = 6,4 · 10-9 (já padronizado sem necessidade de conversão)
3.3. Divisão
Dividimos as mantissas e subtraímos os expoentes de cada valor. O resultado possivelmente não será padronizado, mas pode ser convertido:
Exemplos:
(8 · 1017) : (2 · 109) = (8 :2) . 1017-9 = 4 · 108 (padronizado)
(2,4 · 10-7) : (6,2 · 10-11) = (2,4 /6,2) · 10-7-(-11) ≈ 0,3871 · 104 (não padronizado) = 3,871 · 10³ (padronizado)
( ) 155205
20
101166,110335,3103
1035,3⋅=⋅÷=
⋅
⋅ −
3.4. Exponenciação
A mantissa é elevada ao expoente externo e o expoente da base dez é multiplicado pelo expoente externo.
(2 · 106)4 = (24) · 106 · 4 = 16 · 1024 = 1,6 · 1025 (padronizado)
(5 · 10-3)2 = (52) · 10(-3) · 2 = 25 · 10-6 = 2,5 · 10-5 (padronizado)
3.5. Exponente negativo
Um expoente negativo em um número representa o inverso desse número. O mesmo ocorre para as potências de 10. Quando mudamos o número do numerador para o denominador (ou vice-versa), trocamos o sinal do expoente.
7-4 = 47
1
5
1 · 10-5 = 55 10
1
10
11 =⋅
33
1010
1=
−
10007,3
107,3
107,30037,0 33
==⋅=−
(3 · 107)-2 = (3-2) · 107 · (-2) = 142
103
1 −⋅ = 1410
91 −
⋅ ≈ 0,1111 · 10-14 = 1,111 · 10-15
3.6. Radiciação
Antes de fazer a radiciação é preciso transformar um expoente para um valor múltiplo do índice. Após feito isso, o resultado é a radiciação da mantissa multiplicada por dez elevado à razão entre o expoente e o índice do radical.
13226
22 262627 104101610161016106,1 ⋅=⋅=⋅=⋅=⋅
3515
55 155 17 10674,31067010670107,6 ⋅≈⋅=⋅=⋅
Exercícios
1) Cite duas vantagens de se escrever os números na notação de potências de 10.
2) Complete em seu caderno as igualdades seguintes, conforme o modelo. Modelo: 3,4 x 105 = 340000 a) 2 x 103 = b) 1,2 x l06 = c) 7,5 x 10-2 = d) 8 x 10-5 =
3) Usando a regra prática sugerida no texto, escreva em seu caderno os números seguintes em notação de potência de 10. a) 382 = g) 0,042 = b) 21200 = h) 0,75 = c) 62000000 = i) 0,000069 = d) 123,8763 = j) 1236,840 = e) 4,22 = k) 0,000000000000211 = f) 0,000238 = l) 9,10 =
4) a) Dados os números 3 x 10-6 e 7 x 10-6, qual deles é
o maior?
b) Coloque as potências de 10 seguintes 4xl0-5; 2 x 10-2 e 8 x 10-7 em ordem crescente de seus valores.
5) Apresente os resultados das operações indicadas em notação científica: a) (8,41 X 103) + (9,71 X 104) = b) (5,11 X 102) - (4,2 X 102) = c) (8,2 X 102) + (4,0 X 103) = d) (6,3 X 10-2) - (2,1 X 10-1) = e) (3 X 105) . (3 X 106) = f) (2 X 107) . (3 X 10-9) = g) (4 X 10-6) . (4 X 10-4) = h) 3,45 X 108 / 6,74 X 10-2 = i) 6,7 X 107 / 8,6 X 103 = j) 4,7 X 10-2 / 5,7 X 10-6 = k) 1,2 x 105 x 3,0 x 102 = l) 2,4 x 107x 2,5x 10-3 = m) 5,0 x 10-2x 2,6 x 10-4 = n) (8,4 x 105) ÷ (4,0 x 108) = o) (3 x 104)3 = p) (-2 x 10-4)² =
q) 6104x =
6
r) 7109,4 x =
s) 2,30 x 103 + 4,12 x 104 =
t) 5,8 x 10-3 - 45 x 10-4 = 6) Efetue as operações indicadas:
a) 102 x l05 = b) 4,8 x 10-3 : 1,2 x 104 = c) 1015 x 10-11 = d) (102)3 = e) 2 x 10-6 x 4 x 10-2 = f) (2 x 10-5)2 = g) 1010 ÷ 104 =
h) 61016 ⋅ = i) 1015 ÷ 10-11 = j) (-1,2 x 10-3)2 =
k) 101025,6 x =
l) 41044,1 x =
m) 3 27108x− =
n) ( )3 513− =
o) ( )
( )2158
24
101105102
105
xxxx
x
−+ =
p) (0,1 - 0,01) ÷ (0,2 - 0,02) = q) (0,5)² ÷ 5 - 2 x (0,3 x 1,2 - 0,72 ÷ 2,4) =
r) 34
2
41
3 821
168 +
−−+−−
−−
=
s) ( )
( ) 253
2720
32
−+−
−−− =
7) Para adicionar ou subtrair dois números que estão expressos em potências de 10, cujos expoentes são diferentes, o que deve ser feito antes de efetuar a operação?
8) Efetue as operações indicadas: a) 1,28 x 105 + 4 x 103 = b) 7,54 x l08 - 3,7 x l07 =
9) A massa da Terra é 5 980 000 000 000 000 000 000 000 kg.
a) Escreva esse número usando a notação de potência de 10.
b) Qual é a ordem de grandeza da massa da Terra? 10) Dê a ordem de grandeza dos seguintes números:
a) 200 b) 800 c) 4328 d) 7,4.1011 e) 7,4.10−4 f) 2,1.10−7 g) 0,027 h) 0,0031 i) 0,00074.
11) A ordem de grandeza da operação
( ) ( )376 105,2104109 −÷− xxx é:
a) 10 b)102 c) 103 d) 104 e) 105
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MEDIDAS
1. Grandezas e Unidades
Grandeza é tudo o que pode ser medido. Comprimento, massa, tempo, força, velocidade são grandezas porque podem ser medidos. Todavia há coisas impossíveis de ser medidas, como cansaço, coragem, amor. Não é possível atribuir um valor numérico ao amor que uma pessoa sente por outra, portanto o amor, bem como o cansaço e a coragem, não é grandeza. A fisica, como toda ciência, só trabalha com grandezas, ou seja, com aquilo que pode ser medido.
Mas o que é medir? Medir uma grandeza é atribuir-lhe um valor numérico e uma unidade. Para isso é necessário a escolha de um padrão, que pode ser um modelo concreto, como o quilograma padrão (veja a figura ao lado), ou definido por regras que possam ser reproduzidas em laboratórios especializados, como o padrão de comprimento o metro.
Definido o padrão que permite a medida da grandeza, define-se a unidade de medida dessa grandeza, seus múltiplos e submúltiplos, e a ele se ajustam os correspondentes instrumentos de medida. A partir daí, a medida passa a ser um processo de comparação entre o que se quer medir e o padrão.
O quilograma padrão é a massa do protótipo internacional constituído por um cilindro de platina e irídio depositado no Bureau Internacional de Pesos e Medidas, em Paris.
Em princípio, qualquer indivíduo, comunidade ou nação pode construir e definir seus próprios padrões e unidades. No entanto, é fácil imaginar como o mundo seria complicado se cada país tivesse padrões e unidades diferentes. Os trabalhos científicos, as peças de um automóvel fabricadas num país para serem montadas noutro, o preço justo de uma mercadoria importada ou exportada necessitam da unificação de todos os padrões e unidades em todo o mundo.
Para efetuar medidas é necessário fazer uma padronização, escolhendo unidades para cada grandeza. Antes da instituição do Sistema Métrico Decimal (no final do século XVIII, exatamente a 7 de Abril de 1795), as unidades de medida eram definidas de maneira arbitrária, variando de um país para outro, dificultando as transações comerciais e o intercâmbio científico entre eles.
As unidades de comprimento, por exemplo, eram quase sempre derivadas das partes do corpo do rei de cada país: a jarda, o pé, a polegada e outras. Até hoje, estas unidades são usadas nos Estados Unidos da América, embora definidas de uma maneira menos individual, mas através de padrões restritos às dimensões do meio em que vivem e não mais as variáveis desses indivíduos.
2. Sistema internacional de Unidades
O Sistema Internacional de Unidades (sigla: SI) é um conjunto de definições utilizado em quase todo o mundo moderno que visa uniformizar e facilitar as medições.
2.1. Unidades do SI
Básicas
Existem sete unidades básicas do SI, descritas na tabela, na coluna à esquerda. A partir delas, podem-se derivar todas as outras unidades existentes. As unidades básicas do SI são dimensionalmente independentes entre si.
Grandeza Unidade Símbolo
Comprimento metro m
Massa quilograma kg
Tempo segundo s
8
Corrente elétrica ampère A
Temperatura termodinâmica kelvin K
Quantidade de matéria mol mol
Intensidade luminosa candela cd
Derivadas
Consideram-se unidades derivadas do SI apenas aquelas que podem ser expressas através das unidades básicas do SI e desse modo, há apenas uma unidade do SI para cada grandeza. Contudo, para cada unidade do SI pode haver várias grandezas. Às vezes, dão-se nomes especiais para as unidades derivadas.
Segue uma tabela com as unidades SI derivadas que recebem um nome especial e símbolo particular:
Grandeza Unidade Símbolo Dimensional analítica Dimensional sintética
Ângulo plano radiano rad 1 m/m
Ângulo sólido esferorradiano1 sr 1 m²/m²
Freqüência hertz Hz 1/s ---
Força newton N kg·m/s² ---
Pressão pascal Pa kg/(m·s²) N/m²
Energia joule J kg·m²/s² N·m
Potência watt W kg·m²/s³ J/s
Carga elétrica coulomb C A·s ---
Tensão elétrica volt V kg·m²/(s³·A) W/A
Resistência elétrica ohm Ω kg·m²/(s³·A²) V/A
Capacitância farad F A²·s²·s²/(kg·m²) A·s/V
Condutância siemens S A²·s³/(kg·m²) A/V
Indutância henry H kg·m²/(s²·A²) Wb/A
Fluxo magnético weber Wb kg·m²/(s²·A) V·s
Densidade de fluxo magnético tesla T kg/(s²·A) Wb/m²
Temperatura em Celsius grau Celsius °C --- ---
Fluxo luminoso lúmen lm cd cd·sr
Luminosidade lux lx cd/m² lm/m²
Atividade radioativa becquerel Bq 1/s ---
Dose absorvida gray Gy m²/s² J/kg
Dose equivalente sievert Sv m²/s² J/kg
Atividade catalítica katal kat mol/s ---
É fácil de perceber que existem infinitas unidades derivadas do SI (por exemplo; m², m³, etc.). As tabelas que se seguem não pretendem ser uma lista exaustiva, mas colocar as unidades do SI das principais grandezas. Na primeira tabela, unidades que não fazem uso das unidades com nomes especiais:
Grandeza Unidade Símbolo
Área metro quadrado m²
Volume metro cúbico m³
Número de onda por metro 1/m
Densidade de massa quilograma por metro cúbico kg/m³
Concentração mol por metro cúbico mol/m³
Volume específico metro cúbico por quilograma m³/kg
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Velocidade metro por segundo m/s
Aceleração metro por segundo por segundo m/s²
Densidade de corrente ampère por metro ao quadrado A/m²
Campo magnético ampère por metro A/m
2.2. Unidades aceitas pelo SI
O SI aceita várias unidades que não pertencem ao sistema. A primeiras unidades deste tipo são unidades muito utilizadas no cotidiano:
Grandeza Unidade Símbolo Relação com o SI
Tempo minuto min 1 min = 60 s
Tempo hora h 1 h = 60 min = 3600 s
Tempo dia d 1 d = 24 h = 86 400 s
Ângulo plano grau ° 1° = π/180 rad
Ângulo plano minuto ' 1' = (1/60)° = π/10 800 rad
Ângulo plano segundo " 1" = (1/60)' = π/648 000 rad
Volume litro l ou L 1 l = 0,001 m³
Massa tonelada t 1 t = 1000 kg
Outras unidades também são aceitas pelo SI, mas possuem uma relação com as unidades do SI determinada apenas por experimentos:
Grandeza Unidade Símbolo Relação com o SI
Energia elétron-volt eV 1 eV = 1,602 176 487(40) x 10–19 J
Massa unidade de massa atômica u 1 u = 1,660 538 782(83) x 10-27 kg
Comprimento Unidade astronômica ua 1 ua = 1,495 978 706 91(30) x 1011 m
Por fim, temos unidades que são aceitas temporariamente pelo SI. Seu uso é desaconselhado.
Grandeza Unidade Símbolo Relação com o SI
Comprimento milha marítima ---- 1 milha marítima = 1852 m
Velocidade nó ---- 1 nó = 1 milha marítima por hora = 1852/3600 m/s
Área are a 1 a = 100 m²
Área hectare ha 1 ha = 10 000 m²
Área acre ---- 40,47 a
Área barn b 1 b = 10-28 m²
Comprimento ångström Å 1 Å = 10-10 m
Pressão bar bar 1 bar = 100 000 Pa
2.3. Prefixos do SI
Os prefixos do SI permitem escrever quantidades sem o uso da notação científica, de maneira mais clara para quem trabalha em uma determinada faixa de valores. Os prefixos oficiais são:
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Múltiplos Sub-múltiplos
Fator Nome Simbolo Fator Nome Simbolo
101 deca da 10-1 deci d
102 hecto h 10-2 centi c
103 quilo k 10-3 mili m
106 mega M 10-6 micro µ
109 giga G 10-9 nano n
1012 tera T 10-12 pico p
1015 peta P 10-15 femto f
1018 exa E 10-18 atto a
1021 zetta Z 10-21 zepto z
1024 yotta Y 10-24 yocto y
Para utilizá-los, basta juntar o prefixo aportuguesado e o nome da unidade, sem mudar a acentuação, como em nanometro, micrometro, miliampère (miliampere) e deciwatt. Para formar o símbolo, basta juntar os símbolos básicos: nm, µm, mA e dW.
Exceções
• Unidades segundo e radiano: é necessário dobrar o r e o s. Exemplos: milissegundo, decirradiano, etc. • Especiais (apenas estes seis casos): quilômetro, hectômetro , decâmetro, decímetro, centímetro e milímetro.
Observações
• O k usado em "quilo", em unidades como quilômetro (km) e quilograma (kg) deve ser grafado em letra minúscula. É errado escrever em maiúsculo.
• Em informática, o símbolo "K" que pode preceder as unidades bits e bytes (grafado em letra maiúscula), não se refere ao fator multiplicativo 1000, mas sim a 1024 unidades da grandeza citada.
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• O nome das unidades deve ser sempre escrito em letra minúscula.
Exemplos: Correto: quilograma, newton, metro cúbico.
Exceção: quando o nome estiver no início da frase e em "grau Celsius"
• Somente o nome da unidade aceita o plural . O símbolo não aceita plural, isto é, ele é invariável e jamais pode ser seguido pelo "s".
Certo Errado
cinco metros 5 m 5 ms
dois quilogramas 2 kg 2 kgs
oito horas 8 h 8 hs
• O resultado de uma medição deve ser representado com o valor numérico da medida, seguido de um espaço de até um caracter e, em seguida, o símbolo da unidade em questão.
• Para o símbolo da unidade de tempo "hora" (h), "minuto" (min) e segundos (s), não deve haver espaço entre o valor medido e as unidades, porém, deve haver um espaço entre o símbolo da unidade de tempo e o valor numérico seguinte.
8h 35min 3s
2.4. Transformações de Unidades
Com bastante freqüência precisamos mudar as unidades nas quais uma grandeza física acha-se espressa. Isto é feito por meio da chamada conversão em cadeia. Neste método, um fator de conversão é escrito como uma razão igual à unidade. Assim, 1min e 60s são quantidades físicas idênticas e deste modo podemos escrever
160min1
=s
ou 1min160
=s
Isto não é equivalente a escrever 1/60 = 1, o número e a unidade devem ser considerados em conjunto.
Como uma grandeza qualquer não se altera ao ser multiplicada pela unidade, estes fatores de conversão podem ser introduzidos sempre que forem úteis. Tais fatores são usados de modo que as unidades indesejadas cancelem-se. Por exemplo,
ss
120min160
min)2()1min)(2(min2 =
==
Quando forem introduzidos fatores de conversão em que as unidades não se cancelem, simplesmente invertemos o fator e tentaremos de novo. Observe que as unidades seguem as mesmas regras aplicadas a números e variáveis algébricas.
12
EXEMPLO: O submarino de pesquisas ALVIN desloca-se a uma velocidade de 36,5 braças por minuto (em inglês, fathom/minute).
a) Expresse esta velocidade em metros por segundo. Uma braça (1 fathom) corresponde a 6 pés (6 ft), aproximadamente 1,8 m.
sm
fat
m
s
fatfat
1,1
hom1
8,1
60
min1
min
hom5,36
min
hom5,36
≈
=
b) Quanto vale esta velocidade em milhas por hora? Uma milha tem 5280 pés.
hmi
ft
mi
fath
ft
h
fatfat
49,2
52801
16
1min60
minhom
5,36min
hom5,36
≈
=
3. Algarismos Significativos e Incertezas
3.1. Algarismos Corretos e Avaliados
Fig. 1: Ao realizarmos uma medida, obtemos algarismos corretos e um algarismo avaliado.
Imagine que você esteja realizando uma medida qualquer, como, por exemplo, a medida do comprimento de uma barra (fig. 1). Observe que a menor divisão da régua utilizada é de 1 mm. Ao tentar expressar o resultado desta medida, você percebe que ela está compreendida entre 14,3 cm e 14,4 cm. A fração de milímetro que deverá ser acrescentada a 14,3 cm terá de ser avaliada, pois a régua não apresenta divisões inferiores a 1 mm.
Para fazer esta avaliação, você deverá imaginar o intervalo entre 14,3 cm e 14,4 cm subdividido em 10 partes iguais, e, com isso, a fração de milímetro, que deverá ser acrescentada a 14,3 cm, poderá ser obtida com razoável aproximação. Na fig. 1 podemos avaliar a fração mencionada como sendo 5 décimos de milímetro e o resultado da medida poderá ser expresso como
14,35 cm
Observe que estamos seguros em relação aos algarismos 1,4 e 3, pois eles foram obtidos através de divisões inteiras da régua, ou seja, eles são algarismos corretos. Entretanto, o algarismo 5 foi avaliado, isto é, você não tem muita certeza sobre o seu valor e outra pessoa poderia avaliá-lo como sendo 4 ou 6, por exemplo. Por isto, este algarismo avaliado é denominado algarismo
duvidoso ou augarismo incerto.
É claro que não haveria sentido em tentar descobrir qual o algarismo que everia ser escrito, na medida, após o algarismo 5. Para isso, seria necessário imaginar o intervalo de 1 mm subdividido mentalmente em 100 partes iguais, o que evidentemente é impossível. Portanto, se o resultado da medida fosse presentado como sendo 14,357 cm, por exemplo, poderíamos afirmar que a avaliação do algarismo 7 (segundo algarismo avaliado) não tem nenhum significado e, assim, ele não deveria figurar no resultado.
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3.2. Algarismos Significativos
Pelo que vimos, no resultado de uma medida devem figurar somente os garismos corretos e o primeiro algarismo avaliado. Esta maneira de proceder é adotada convencionalmente entre os físicos, os químicos e, em geral, por todas as pessoas que realizam medidas. Estes algarismos (corretos e o 1º duvidoso) são denominados algarismos significativos. Portanto,
algarismos significativos de uma medida são os algarismos corretos e o primeiro algarismo duvidoso.
Desta maneira, ao efetuarmos uma medida, devemos presentar o resultado apenas com os algarismos significativos. O resultado da medida da fig. 1 deve, então, ser expresso como 14,35 cm.
3.3. Comentários
1) Se cada divisão de 1 mm da régua da fig. 1 fosse, realmente, subdividida em 10 partes iguais, ao efetuarmos a leitura do comprimento da barra (usando um microscópio, por exemplo), o algarismo 5 passaria a ser um algarismo correto, pois iria corresponder a uma divisão inteira da régua (fig.2). Neste caso, o algarismo seguinte seria o primeiro avaliado e passaria a ser, portanto, um algarismo significativo. Se nesta avaliação fosse encontrado o algarismo 7, por exemplo, o resultado da medida poderia ser escrito corno 14,357 cm, sendo todos estes algarismos significativos. Por outro lado, se a régua da fig. 1 não possuísse as divisões de milímetros (fig. 3), apenas os algarismos 1 e 4 seriam corretos. O algarismo 3 seria o primeiro algarismo avaliado e o resultado da medida seria expresso por 14,3 cm, com apenas três algarismos significativos. Vemos, então, que o número de algarismos significativos, que se obtém no resultado da medida de uma dada grandeza, dependerá do aparelho usado na medida.
2) A convenção de se apresentar o resultado de uma medida contendo apenas algarismos significativos é adotada de maneira geral, não só na medida de comprimentos, mas também na medida de massas, temperaturas, forças etc. Esta convenção é também usada ao se apresentar os resultados de cálculos envolvendo medidas das grandezas. Quando uma pessoa lhe informar, por exemplo, que mediu (ou calculou) a temperatura de um objeto e encontrou 37,82°C, você deverá entender que a medida (ou o cálculo) foi feita de tal modo que os algarismos 3, 7 e 8 são corretos e o último algarismo, neste caso o 2, é sempre duvidoso.
3) A partir deste momento, você pode compreender que duas medidas expressas, por exemplo, como 42 cm e 42,0 cm, não representam exatamente a mesma coisa. Na primeira, o algarismo 2 foi avaliado e não se tem certeza sobre o seu valor. Na segunda, o algarismo 2 é correto, sendo o zero o algarismo duvidoso. Do mesmo modo, resultados como 7,65 kg e 7,67 kg, por exemplo, não são fundamentalmente diferentes, pois diferem apenas no algarismo duvidoso.
Fig. 2: Com essa régua, o algarismo 5 passaria a ser um algarismo correto.
Fig. 3: Usando essa régua, o resultado da medida do comprimento deverá ser apresentado com apenas um três algarismos.
3.4 Incerteza
Fig. 4
Suponha que um aluno tenha medido o diâmetro de uma moeda de 10 centavos utilizando um régua milimetrada comum mostrada na figura 4. Sabemos que há regras que permitem exprimir o resultado desta medida com até três algarismos significativos: Por exemplo 19,6 mm. A este valor, acrescentamos o correspondente a incerteza dessa medida. Essa incerteza é um valor numérico obtido por cálculos estatísticos ou avaliado de acordo com o instrumento de medida utilizado. Nesse caso, costuma-se adotar como valor da incerteza a metade da menor divisão da escala do instrumento. Como a régua é graduada em milímetros, a metade da menor divisão é 0,5 mm.
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Assim o valor final do diâmetro dessa moeda resultante desse processo de medida deve ser expresso na forma:
(19,6 ± 0,5) mm
Essa forma de escrever o valor da medida indica que, provavelmente, o melhor valor seja 19,6 mm - chamado de valor mais provável -, mas os valores compreendidos entre:
19,1 mm = (19,6 - 0,5) mm e
20,1 mm = (19,6 + 0,5) mm
são aceitáveis. Essa medida tem, portanto, três algarismos significativos.
Fig. 5
A figura 5, (a) e (b) mostram a mesma medida de velocidade. Em Fig. 5-a, o instrumento analógico só permite a leitura indireta da medida a partir de uma escala graduada. Essa leitura sempre depende de alguma avaliação de quem a faz. No instrumento digital, Fig. 5-b, a medida já é fomecida numericamente. No velocímetro analógico, pode-se avaliar a velocidade em 110 km/h, mas é impossível uma leitura de 112 km/h como aparece no velocímetro digital. Nos instrumentos de medidas digitais, como a medida é apresentada diretamente em dígitos, não é possível avaliar a incerteza das medidas feitas.
4. Operações com Algarismos Significativos
Conforme dissemos, os resultados de cálculos que envolvem medidas devem conter apenas algarismos significativos. Ao resolver exercícios de Física, Química, ou no seu curso, teremos que realizar operações envolvendo essas medidas e os resultados desses exercícios também devem ser expressos com algarismos significativos somente. Para isto, será necessário observar as regras que apresentaremos a seguir. Se estas regras não forem obedecidas, respostas poderão conter algarismos que não são significativos.
4.1. Adição e Subtração
Suponha que se deseje adicionar as seguintes parcelas
2807,5
0,0648
83,645
525,35____
Para que o resultado da adição contenha apenas algarismos significativos, você deverá, inicialmente, observar qual (ou quais) das parcelas possui o menor número de decimais. Em nosso exemplo, essa parcela é 2807,5, que possui apenas uma casa decimal. Esta parcela será mantida como está. As demais parcelas deverão ser modificadas, de modo a ficar com o
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mesmo número de casas decimais que a primeira escolhida, abandonando-se nelas tantos algarismos quantos forem necessários.
Assim, na parcela 0,0648, devemos abandonar os algarismos 6, 4 e 8. Ao abandonarmos algarismos em um número, o último algarismo mantido deverá ser acrescido de uma unidade, se o primeiro algarismo abandonado for superior a 5 e, quando inferior a 5, o último algarismo mantido permanecerá invariável (regra de arredondamento). Então, a parcela citada (0,0648) deverá ser escrita como 0,1.
Na parcela 83,645 devemos abandonar os algarismos 4 e 5; logo, a parcela 83,645 fica reduzida a 83,6.
Finalmente, na parcela 523,35, devemos abandonar o algarismo 5. Quando o primeiro algarismo abandonado for exatamente igual a 5, será indiferente acrescentar ou não uma unidade ao último algarismo mantido. De qualquer maneira, as respostas diferirão, em geral, apenas no último algarismo e isto não tem importância, pois ele é um algarismo incerto. Podemos, então, escrever a parcela 525,35 indiferentemente como 525,3 ou 525,4.
Vejamos, pois, como efetuaremos a adição:
2807,5 permanece inalterada .............. 2807,5 0,0648 passa a ser escrita ......................... 0,1 83,645 passa a ser escrita ....................... 83,6 525,35 passa a ser escrita ..................... 525,3_ O resultado correto é................................................... 3416,5
Na subtração, deve-se seguir o mesmo procedimento.
4.1. Multiplicação e Divisão
Suponha que desejemos, por exemplo, multiplicar 3,67 por 2,3. Realizando normalmente a operação, encontramos
3,67 x 2,3 = 8,441
Entretanto, procedendo desta maneira, aparecem, no produto, algarismos que não são significativos. Para evitar isto, devemos observar a seguinte regra: verificar qual o fator que possui o menor número de algarismos significativos e, no resultado, manter apenas um número de algarismos igual ao deste fator.
Assim, no exemplo anterior, como o fator que possui o menor número de algarismos significativos é 2,3, devemos manter, no resultado, apenas dois algarismos, isto é, o resultado deve ser escrito da seguinte maneira:
3,67 x 2,3 = 8,4
Na aplicação desta regra, ao abandonarmos algarismos no produto, devemos seguir o critério de arredondamento que analisamos ao estudar a adição.
Procedimento análogo deve ser seguido ao efetuarmos uma divisão.
4.2. Comentários
1) As regras citadas para operar com algarismos significativos não devem ser consideradas como absolutamente rigorosas. Elas se destinam, apenas, a evitar que você perca tempo, trabalhando inutilmente com um grande número de algarismos que não têm significado algum. Assim, não sendo estas regras muito rígidas, na multiplicação analisada acima seria perfeitamente razoável manter um algarismo a mais no resultado. São, pois, igualmente aceitáveis os resultados
3,67 x 2,3 = 8,4 ou 3,67 x 2,3 = 8,44
2) Ao contar os algarismos significativos de uma medida, devemos observar que o algarismo zero só é significativo se estiver situado à direita de um algarismo significativo. Assim,
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0,00041 tem apenas dois algarismos significativos (4 e 1), pois os zeros não são significativos.
40100 tem cinco algarismos significativos, pois aqui os zeros são significativos.
0,000401 tem três algarismos significativos, pois os zeros à esquerda do algarismo 4 não são significativos.
3) Quando realizamos uma mudança de unidades, devemos tomar cuidado para não escrever zeros que não são significativos. Por exemplo, suponha que queiramos expressar, em gramas, uma medida de 7,3 kg. Observe que esta medida possui dois algarismos significativos, sendo duvidoso o algarismo 3. Se escrevêssemos
7,3 kg = 7300 g
estaríamos dando a idéia errônea de que o 3 é um algarismo correto, sendo o último zero acrescentado o algarismo duvidoso. Para evitar este erro de interpretação, lançamos mão da notação de potência de 10 e escrevemos
7,3 kg = 7,3 x 103 g
Desta maneira, a mudança de unidades foi feita e continuamos a indicar que o 3 é o algarismo duvidoso.
4) Finalmente, chamamos sua atenção para alguns números que encontramos em fórmulas (na Matemática ou na Física) que não são resultados de medida e, para os quais, portanto, não teria sentido falar em número de algarismos significativos. Por exemplo, na fórmula que fornece a área A de um triângulo de base b e altura h,
2hb
A×
=
se b for medido com três algarismos significativos e h com cinco algarismos significativos, a área, como já sabemos, deverá ser expressa com três algarismos. O número 2 não foi obtido através de medida e, assim, não deverá ser levado em consideração para a contagem dos algarismos significativos do resultado.
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EXERCÍCIOS
1) Considerando a figura deste exercício: a) Como você expressaria o comprimento da barra
AB? b) Qual é o algarismo correto desta medida? o
algarismo avaliado? e a incerteza?
2) O que são algarismos significativos e incerteza de uma medida?
3) Uma pessoa sabe que o resultado de uma medida deve ser expresso apenas com algarismos significativos. Se esta pessoa lhe disser que a velocidade de um carro era 123 km/h: a) Quais os algarismos que ela leu no velocímetro
(algarismos corretos)? b) Qual o algarismo que ela avaliou (algarismo
duvidoso)? 4) A temperatura de uma pessoa foi medida usando-se
dois termômetros diferentes, encontrando-se 36,8 °C e 36,80 °C. a) Qual é o algarismo duvidoso da primeira medida? b) Na segunda medida o algarismo 8 é duvidoso ou
correto? 5) Lembrando-se da "regra de arredondamento", escreva
em seu caderno as medidas seguintes com apenas três algarismos significativos: a) 422,32 cm2 b) 3,428 g c) 16,15 s
6) Uma pessoa deseja realizar a seguinte adição, de tal modo que o resultado contenha apenas algarismos significativos:
27,48 cm + 2,5 cm a) Qual das parcelas permanecerá inalterada? b) Como deverá ser escrita a outra parcela? c) Qual é o resultado da adição?
7) Para efetuar a multiplicação 342,2 x 1,11
responda: a) Qual dos fatores possui o menor número de
algarismos significativos? b) Com quantos algarismos devemos apresentar o
resultado? c) Escreva o resultado da multiplicação com
algarismos significativos apenas. d) Seria aceitável apresentar 379,8 como resultado
desta multiplicação? e 379,84? 8) Quantos algarismos significativos há em cada uma das
medidas seguintes? a) 702 cm;
b) 36,00 kg; c) 0,00815 m; d) 0,05080 L;
9) Ao medir o comprimento de uma estrada, uma pessoa encontrou 56 km. a) Qual o algarismo duvidoso desta medida? b) Seria aceitável escrever esta medida como 56000
m? c) Qual a maneira de expressar esta medida em
metros, sem deixar dúvidas quanto aos algarismos significativos?
10) O volume de um cone é dado pela expressão
3hA
V×
=
onde A é a área de sua base e h é sua altura. Para um dado cone temos A = 0,302 m2 e h = 1,020 m. Com quantos algarismos você deve expressar o volume deste cone?
11) Um ônibus espacial está em órbita ao redor da Terra, a uma altura de 300 km. Calcule esta distância em: (a) milhas e (b) em milímetros.
12) Qual é a sua altura em pés? 13) Calcule o número de quilômetros que existem em 20
milhas, usando apenas os seguintes fatores de conversão: 1 milha = 5 280 pés, 1 pé = 12 polegadas, 1 polegada 2,54 cm, 1m = l00cm e l km = l000 m.
14) Calcule quanto vale: (a) uma polegada quadrada em centímetro quadrado; (b) uma milha quadrada em quilômetro quadrado; (c) um metro cúbico em centímetro cúbico e (d) um pé quadrado em jarda quadrada.
15) Uma sala mede 20 pés e 2 polegadas de comprimento e 12 pés e 5 polegadas de largura. Qual é a sua área em: (a) pés quadrados e (b) em metros quadrados? Se o teto está a 12 pés e 2,5 polegadas acima do assoalho, qual é o volume desta sala em (c) pés cúbicos e (d) metros cúbicos?
16) Um cubo de açúcar típico tem l cm de aresta. Se você tivesse uma caixa cúbica contendo 1 mol de cubos de açúcar, qual deveria ser o comprimento da aresta da caixa? (1 mol = 6,02 X 1023 unidades.)
17) Exprima a velocidade da luz, 3,0 x 108 m/s em (a) pés por nanossegundos e (b) milímetros por picossegundos.
18) Existem 365,25 dias em um ano. Quantos segundos existem em um ano?
19) As velocidades máximas de alguns animais são dadas aproximadamente a seguir, todas em milhas por hora: (a) um pardal: 3 x 10-2; (b) aranha: 1,2; (c) esquilo: 12; (d) um ser humano: 23; (e) coelho: 35; (f) raposa: 42; (g) leão: 50; e (h) leopardo: 70. Converta todos estes dados para metros por segundo.
20) Uma molécula de água (H2O) contém dois átomos de hidrogênio e um átomo de oxigênio. Um átomo de hidrogênio tem uma massa de 1 u e um átomo de
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oxigênio tem massa aproximada de 16 u. (a) Calcule a massa de uma molécula de água em quilogramas. (b) Calcule quantas moléculas de água existem nos oceanos do mundo. Os oceanos possuem uma massa total de 1,4 x 1021 kg.
21) A Terra tem massa de 5,98 x 1024 kg. A massa média dos átomos que compõem a Terra vale 40 u. Quantos átomos existem aproximadamente na Terra?
22) Uma pessoa sob dieta perde 2,3 kg por semana. Exprima a perda de massa por unidade de tempo, em miligramas por segundo.
23) Analise a figura abaixo e represente da forma correta as medidas realizadas do cone. Use a equação
3
2hrV
π= para calcular o volume do cone.
0 5 10 15 20 (cm)
05
10
15(cm)
r
h
24) Explique como os números muito grandes ou muito pequenos podem ser escritos de maneira compacta. Dê exemplos.
25) Lembrando-se de seus conhecimentos de Matemática, responda como devemos proceder para: a) Multiplicar potências de mesma base. b) Dividir potências de mesma base. c) Elevar uma potência à outra. d) Extrair a raiz quadrada de uma potência. e) Somar ou subtrair potências.
26) Em uma medida, explique: a) O que são algarismos corretos. b) O que é um algarismo avaliado. c) O que são algarismos significativos.
27) Descreva como devemos proceder para que no resultado de uma adição (ou subtração) figurem apenas algarismos significativos.
28) Descreva como devemos proceder para que no resultado de uma multiplicação (ou divisão) figurem apenas algarismos significativos.
29) Cite pelo menos duas unidades usadas com freqüência em sua vida diária, para medir as seguintes grandezas: a) Comprimento b) Área c) Volume d) tempo
30) a) Suponha que a duração de um evento tenha sido
3,5 h (observe que estamos usando a notação
decimal). Você acha que esse intervalo de tempo é maior, menor ou igual a 3 h 30 min?
b) Considere um intervalo de tempo de 8,7 h. Expresse esse tempo na notação não decimal (horas e minutos).
c) Expresse na notação decimal, usando a hora como unidade, um intervalo de tempo de 5 h 18 min.
31) Usando a notação de potência de 10, expressar: a) Uma área de 2 km2 em cm2. b) Um volume de 5 cm3 em m3. c) Um volume de 4 L em mm3. d) Uma massa de 8 g em kg.
32) Entre as potências de 10 seguintes 1020, 1015, 1010, 108, 104, escolha aquela que você julga estar mais próxima a) da população do Brasil. b) da população do mundo.
33) Determine o resultado da expressão seguinte:
( )24
625
10
101010 −××
34) a) Supondo que o próton tenha a forma de um cubo,
cuja aresta é 10-13 cm, calcule o seu volume. b) Considerando que a massa do próton é 10-24 g,
determine a sua densidade (a densidade de um corpo é obtida dividindo-se a sua massa pelo seu volume).
35) Colocando-se cuidadosamente, sobre a superfície de um tanque d'água, uma gota de óleo, cujo volume é V = 6 x 10-2 cm3, ela se espalha, formando uma camada muito fina, cuja área é A = 2 x 104 cm2. Calcule a espessura desta amada de óleo.
36) Observe os aparelhos mostrados na figura deste problema. a) Qual a maneira adequada de expressar a leitura do
velocímetro? Qual é o algarismo avaliado? b) Qual a maneira adequada de expressar a leitura da
balança em kg? Qual o número de algarismos significativos desta leitura?
37) Em cada uma das figuras deste problema existem erros nas interpretações das leituras dos aparelhos mostrados. Procure identificá-los.
19
38) a) Meça o tempo necessário para o coração efetuar
100 batidas. Use um cronômetro ou um relógio com ponteiros de segundos e expresse o resultado com o número adequado de algarismos significativos.
b) A partir do valor obtido em (a), determine o intervalo de tempo entre duas batidas consecutivas (observe os algarismos significativos).
39) Um trem viaja registrando os seguintes intervalos de tempo entre as diversas estações de sua rota: de A até B: 2,63 h de C até D: 0,873 h de B até C: 8,2 h de D até E: 3 h Como você expressaria corretamente o tempo que o trem gastou: a) Para ir da estação A até a estação C? b) Para ir de B até D? c) No percurso total?
40) Efetue as operações indicadas a seguir de tal modo que o resultado contenha apenas algarismos significativos: a) 8,20 x 108 + 5,4 x 104 = b) 3,72 x 10-4 - 2,65 x 10-2 =
41) Antes de efetuar as operações seguintes, expresse os números em notação de potência de 10. Calcule o resultado, lembrando-se dos algarismos significativos.
a) 0035,0700
b) 420
0084,0052,0 x
42) Quais das igualdades seguintes apresentam o resultado expresso adequadamente em relação aos algarismos
significativos? (Não é necessário efetuar as operações, pois os resultados estão numericamente corretos.) a) 1, 50 x 10-3 x 2,0 x 10-1 = 3 x 10-4 b) 3,41 x 108 - 5,2 x 102 = 3,41 x 108 c) 1,701 x 2,00 x 10-3 = 3,4 x 10-3 d) 9,2 x 105 : 3,0 x 102 = 3,1 x 103
43) Desejando construir um modelo do sistema solar, um estudante representou o Sol por meio de uma bola de futebol cujo raio é igual a 10 cm. Ele sabe que o raio do Sol vale, aproximadamente, 109 m. a) Se o raio da Terra é cerca de 107 m, qual deve ser
o raio da esfera que vai representá-la no modelo? b) Considerando-se que a distância da Terra ao Sol é
1011 m, a que distância da bola de futebol o estudante deverá colocar a esfera que representa a Terra?
44) O ano-luz é uma unidade de comprimento usada para medir distâncias de objetos muito afastados de nós (como as estrelas, por exemplo). a) Faça uma pesquisa para descobrir qual o valor de
1 ano-luz e expresse este valor em km, usando a notação de potência de 10.
b) Procure saber qual é, em anos-luz, a distância até a estrela mais próxima da Terra. Expresse esta distância em km.
45) A escala de uma balança está dividida de 1 kg em 1 kg. a) Com quantos algarismos significativos você
obteria o seu peso nesta balança? b) Qual seria sua resposta para a questão anterior se
você pesasse mais de 100 quilos? c) Se você colocar, nesta balança, um pacote de
manteiga (cerca de 200 g), como você expressaria a leitura da balança?
46) Certa região do país tem, em média, 15 habitantes por quilômetro quadrado. Se esta região tem área igual a 105 km2, qual é a ordem de grandeza de sua população?
47) Numa campanha nacional de vacinação, 10 milhões de crianças foram atendidas e receberam duas gotas de vacina cada uma. Supondo que 20 gotas ocupam 1,0 cm3, qual é, em litros, o volume de vacina usado nessa campanha?
48) O fluxo total de sangue na grande circulação, também chamado de débito cardíaco, faz com que o coração de um homem adulto seja responsável pelo bombeamento, em média, de 20 litros de sangue por minuto. Qual a ordem de grandeza do volume de sangue, em litros, bombeado pelo coração em um dia?
RESPOSTAS: 11a) 186,45 mi, 11b) 3x108 mm; 13) 32,19 km; 14a) 6,45 cm2, 14b) 2,59 km2, 14c) 106 cm3, 14d) 0,11 jar2; 15a) 250,40 pe2, 15b) 23,26 m2, 15c) 3056,96 pe3, 15d) 86,53 m3; 16) 8,44x107 cm = 844 km; 17a) 0,98 pe/ns, 17b) 0,3 mm/ps; 18) 31557600 s; 19a) 1,34x10-2 m/s, 19b) 0,5364 m/s, 19c) 5,364 m/s, 19d) 10,281 m/s, 19e) 15,645 m/s, 19f) 18,774 m/s, 19g) 22,35 m/s, 19h) 31,29 m/s; 20a) 2,99x10-26 kg, 20b) 4,69x1046 moléculas; 21) 9x1049 átomos; 22) 3,8 mg/s; 23) D = (16,3±0,25) cm, h = (13,9±0,5) cm; 30b) 8h 42min, 30c) 5,3 h; 31a) 2x1010 cm2, 31b) 5x10-6 m3, 31c) 4x106 mm3, 31d) 8x10-3 kg; 32a) 108, 32b) 1010; 33) 10-4; 34a) 10-39 cm3, 34b) 1015 g/cm3; 35) 3x10-6 cm; 39a) 10,8 h, 39b) 9,1 h, 39c) 15 h; 40a) 8,20x108, 40b) -2,61x10-2; 41a) 2,0x105, 41b) 1,04x10-6; 42) ECEC; 43a) 10-3 m = 1 mm, 43b) 10 m; 44a) 1 ano-luz = 9,45x1012 km, 44b) 4,2 anos-luz = ? km; 45c) 0,2 kg, 46) 106, 47) 1000 litros, 48) 28800 litros.