40061316 apostila calculo1 final jul 2010

APONTAMENTOS DE CÁLCULO I

Edson de Oliveira

CENTRO UNIVERSITÁRIO CENTRAL

PAULISTA

UNICEP

APONTAMENTOS DE CÁLCULO 1

ENGENHARIAS: COMPUTAÇÃO, ELÉTRICA E PRODUÇÃO

MATEMÁTICA, SISTEMAS DE INFORMAÇÃO

TECNOLOGIA EM: MANUTENÇÃO DE AERONAVES

E PRODUÇÃO SUCROALCOOLEIRA

ADMINISTRAÇÃO

Edson de Oliveira

2010


Edson de Oliveira

Índice Introdução .......................................................................................................................... 03

A História do Cálculo Diferencial e Integral .................................................................. 04

Trigonometria .................................................................................................................... 06

Ângulos ................................................................................................................ 06

Seno, cosseno e tangente ..................................................................................... 08

Mudança de quadrante ......................................................................................... 10

Função seno, função cosseno e função tangente .................................................. 12

Seno, cosseno e tangente no triângulo retângulo ................................................. 13

Lei dos cossenos .................................................................................................. 16

Lei dos senos ........................................................................................................ 16

As Funções cotangente, secante e cossecante ...................................................... 17

Relações básicas .................................................................................................. 18

Funções trigonométricas inversas ........................................................................ 20

Exercícios propostos ............................................................................................ 22

Respostas dos exercícios propostos ...................................................................... 26

Limites e continuidade ...................................................................................................... 27

Conceito intuitivo de limite ................................................................................. 27

Definição informal de limite ....................................................................... 28

Limite da função constante e da função identidade ..................................... 29

Leis básicas dos limites ....................................................................................... 30

Continuidade ........................................................................................................ 32

Limites laterais ..................................................................................................... 34

Funções elementares contínuas ............................................................................ 36

Leis básicas das funções contínuas ....................................................................... 36

Propriedade do Valor Intermediário ..................................................................... 37

Definição (continuidade num intervalo) ...................................................... 37

Teorema do Valor Intermediário ................................................................. 37

Exercícios propostos ............................................................................................. 38


Derivadas ............................................................................................................................ 43

Taxa de variação média ....................................................................................... 43

Taxa de variação instantânea ou derivada ........................................................... 45

Função derivada ................................................................................................... 48


Edson de Oliveira

Regras de derivação ............................................................................................. 48

Derivadas de ordem superior ............................................................................... 55

Exercícios propostos ............................................................................................ 56


Aplicações das derivadas .................................................................................................. 65

Crescimento e decrescimento ............................................................................... 65

Encontrando extremos relativos .......................................................................... 66

Concavidade ........................................................................................................ 69

Teste da derivadas segunda ................................................................................. 70

Esboço do gráfico de uma função ........................................................................ 72

Problemas de otimização ..................................................................................... 74


Limites infinitos; Teorema da Média; Funções hiperbólicas ........................................ 85

Limites quando x tende ao infinito ....................................................................... 85

Limites finitos quando x ±∞→ ............................................................................ 86

Funções polinomiais e racionais quando x tende ao infinito ................................ 89

O limite exponencial fundamental e os juros capitalizados continuamente ......... 92

Teorema do Valor Médio (TVM) ......................................................................... 93

Interpretação geométrica do TVM ............................................................. 95

Teorema de Rolle ........................................................................................ 94

Conseqüências Matemáticas ....................................................................... 95

Uma interpretação física do TVM .............................................................. 95

Funções hiperbólicas ............................................................................................ 95

Gráficos ........................................................................................................ 96

Identidades básicas ...................................................................................... 97

Outras funções hiperbólicas ........................................................................ 97

Outras identidades ...................................................................................... 98

Fórmulas de derivadas ................................................................................ 98

Funções hiperbólicas inversas .............................................................................. 99

Funções hiperbólicas inversas e suas derivadas ................................................... 100

Exercícios propostos ............................................................................................. 101


Referências bibliográficas .............................................................................................. 104

Apêndice I – Tabela de derivadas ................................................................................. 105


Edson de Oliveira

3

Introdução

Estes apontamentos foram escritos com o intuito de servir de material didático para a

disciplina Cálculo I e Matemática Aplicada, ministrada no ciclo básico dos cursos oferecidos

de Engenharia de Computação, Engenharia Elétrica, Engenharia de Produção, Sistemas de

Informação, Matemática, Administração, Curso Superior de Tecnologia em Manutenção de

Aeronaves e Curso Superior de Tecnologia em Produção Sulcroalcooleira no Centro

Universitário Central Paulista – UNICEP.

Os assuntos são apresentados de modo suscinto e sem formalismos. Sempre que

possível, são mostradas as correspondentes idéias intuitivas e geométricas, como também,

aplicações e problemas práticos, resolvidos de forma detalhada. No final de cada tópico são

propostos diversos exercícios, com respostas, que exploram o conteúdo teórico esenvolvido,

além de complementar a aprendizagem.

Agradeço aos colegas da UNICEP que usaram versões preliminares deste texto e

apresentaram valiosas contribuições no que tange a correções e idéias de melhorias na

redação.

Espero contar com sugestões e apreciações de todos aqueles que vierem a fazer uso

deste material para melhorar o conteúdo ou a apresentação do texto.

A Márcia, Melissa e Viviane, com carinho.


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A História do Cálculo Diferencial e Integral

O Cálculo Diferencial e Integral, também chamado de cálculo infinitesimal ou

simplesmente Cálculo, é um ramo importante da Matemática, desenvolvido a partir da

Álgebra e da Geometria, que se dedica ao estudo de taxas de variação de grandezas, como a

inclinação de uma reta, e uma acumulação de quantidades, por exemplo, como a área abaixo

de uma curva ou o volume de um sólido. O Cálculo é empregado, entre outros, onde há

movimento ou crescimento e forças variáveis agem produzindo aceleração.

Quando se fala em origem do Cálculo Diferencial e Integral, os primeiros nomes que

aparecem são Isaac Newton e Gottifried Leibniz. Entretanto, se retomada desde o começo, a

história do Cálculo primeiramente se confronta com o nome do considerado maior

matemático do período helenístico e de toda a antiguidade, Arquimedes (287-212 a.C). Suas

maiores contribuições foram feitas no campo que hoje denominamos “Cálculo Integral”, por

meio do método que ficou conhecido como Método de Exaustão.

Os escritos matemáticos de Arquimedes foram divulgados na Europa, em várias

edições impressas em 1550 d.C, fazendo com que fosse retomado o estudo do Cálculo

Infinitesimal. Historicamente, o primeiro método a utilizar o Cálculo foi através das

Infinitesimais.

Nomes como Comandino, Maurolico, Luca de Valerio, e Stevin (1570-1585),

destacaram-se, pois continuaram a tradição arquimediana aplicando seus métodos na

determinação de áreas, volumes e centros de gravidade.

Alguns dados históricos mostram as primeiras aplicações do Cálculo foram para

determinar áreas, volumes e centros de gravidade, utilizando a Integral, mais propriamente a

Integral Definida.

Contudo, pode-se concluir que a noção de Integração surgiu primeiro que a noção de

diferenciação. Foi só com o advento do Teorema Fundamental do Cálculo, de Barrow, que se

estabeleceu uma conexão entre os dois ramos do Cálculo: o Cálculo Diferencial e o Cálculo

Integral.

Em 1620, Galileu, um renascentista, procurou ir além dos gregos, os quais se

limitavam a estudar as grandezas geométricas da Astronomia, Óptica e Estatística. Galileu é o

primeiro a estudar áreas do conhecimento não abordadas pelos gregos clássicos, como

Cinemática, Dinâmica, Elasticidade. Foi assim que o Cálculo passou a ser aplicado a outras

áreas, como por exemplo, na Física.


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5

Depois de quase 100 anos desde a divulgação dos escritos de Arquimedes surgem

Newton e Leibniz, encontrando uma grande base matemático-física com cerca de 1000

resultados sobre Cálculo Infinitesimal. Assim surge a questão, será que então não se deve

atribuir a Newton e a Leibniz o surgimento do Cálculo? Observando os dados históricos

acima relatados, há muitos outros nomes, como citados anteriormente, envolvidos nessa

descoberta antes de Newton e Leibniz. Nomes que muitas vezes quando se fala sobre a

origem do Cálculo, quase nem são mencionados.

De modo bastante simplificado pode-se dizer que Leibniz, em 1684, iniciou

essencialmente o Cálculo Diferencial. Contudo, ao contrário do atual Cálculo Diferencial que

é baseado na noção de derivada, o Cálculo Diferencial de Leibniz era baseado na noção de

diferencial. Já Newton foi o primeiro a usar sistematicamente o Teorema Fundamental do

Cálculo Integral elaborado por Barrow, e demonstrou sua utilidade na descoberta de grande

quantidade de resultados em Matemática e Física. Essas descobertas foram feitas entre 1666 e

1676, mas a maioria só foi publicada após 1700.

As gerações de matemáticos que vieram após Newton, em grande parte, seguiram seus

passos, procurando novos resultados tanto nos aspectos técnicos como nas aplicações do

Cálculo a aspectos teóricos da Mecânica. Em 1700 ainda, apareceram oportunidades para um

uso mais prático do Cálculo na análise estática, dinâmica e termodinâmica das máquinas

industriais, das quais a cada dia eram solicitadas maior potência e velocidade. Nesse mesmo

ano, o Cálculo Infinitesimal desenvolveu-se principalmente através das descobertas de Euler,

o qual escreveu um livro sobre Cálculo Infinitesimal. Nessa época, entretanto, o padrão

científico do Cálculo ainda era muito baixo.

No século XIX, as infinitesimais foram substituídas pelos limites, os quais descrevem

o valor de uma função em certo ponto em termos de valores de pontos. Ainda nesse século, o

cálculo foi abordado por Cauchy, Riemann e Weierstrass com um formalismo mais rigoroso.

Foi também durante este período que idéias do cálculo foram generalizadas ao espaço

euclidiano e ao plano complexo.

Dessa época até os dias atuais o Cálculo não cessou de se desenvolver teoricamente e

de ser aplicado a novas situações, sendo um instrumento matemático absolutamente

imprescindível para muitas áreas do conhecimento.


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Capítulo 1

Trigonometria

A trigonometria é a aparte da Matemática dedicada ao estudo das funções

trigonométricas e suas aplicações. Ela teve origem na antiga Grécia com o estabelecimento de

relações métricas entre os lados e os ângulos de um triângulo retângulo. Além de ser

importante em vários ramos da Matemática, a trigonometria tem também muitas aplicações na

Física, Astronomia, Engenharia e Arquitetura. Ela constitui ferramenta indispensável para o

estudo de fenômenos periódicos de todas as espécies, abrangendo desde o movimento de

vaivém do pêndulo de um relógio até a revolução dos planetas ao redor do Sol. Na aviação e

navegação ela é absolutamente essencial para resolver problemas referentes a altitudes e

distâncias, usando triângulos retângulos.

1.1 Ângulos

Considere um sistema de coordenadas cartesianas ortogonal com origem O e s uma

semi-reta, que originalmente coincide com o semi-eixo positivo dos x.

Se se girar a semi-reta s mantendo a origem O fixa, quando s coincidir pela primeira

vez com o semi-eixo positivo dos y, então s formará um ângulo reto com o semi-eixo positivo

dos x. A nonagésima parte desse ângulo é a unidade freqüentemente usada para a medida de

ângulos denominada grau.

Continuando a girar s, quando ela coincidir pela primeira vez com o semi-eixo

negativo dos x, formará um ângulo de 1800 com o semi-eixo positivo dos x.

Prosseguindo com a rotação de s, obtêm-se ângulos de medidas maiores, não

existindo um limite superior para elas. Dessa maneira, pode-se considerar ângulos tais como

4000 , 7600, etc. Um ângulo de 3600 é a medida para uma rotação completa.

Em diversas aplicações é necessário considerar ângulos negativos. Eles são obtidos

quando se gira a semi-reta s, a partir de sua posição original no semi-eixo positivo dos x, no

sentido horário. Quando s coincide pela primeira vez com o semi-eixo negativo dos y, forma-

se um ângulo α = – 900. Uma rotação completa no sentido horário tem medida –3600.


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7

Figura 1. O ângulo α é positivo para uma rotação anti-horária e negativo para uma rotação horária

Para o estudo da trigonometria, é conveniente introduzir uma outra unidade de

medida mais natural para ângulo, o radiano. Para isso, considera-se um sistema de

coordenadas cartesianas ortogonal e fixa-se, nos dois eixos, a mesma unidade de

comprimento. É desenhada uma circunferência com centro O na origem do sistema de

coordenadas cujo raio é a unidade de comprimento dos eixos. Fixa-se nessa circunferência o

ponto A de coordenadas (1, 0).

Girando a semi-reta s a partir de sua posição original no sentido anti-horário, seja B

o ponto de interseção de s com essa circunferência. A medida em radianos do ângulo AOB

no centro da circunferência (Figura 2) equivale ao comprimento do arco que AOB forma no

círculo.

Figura 2. A medida α em radianos é o comprimento do arco entre A e B.

Uma circunferência cuja medida em graus é 360 tem comprimento 2π r, onde r é

o comprimento de seu raio. Assim:

3600 = 2π rad ou 1800 = π rad

Dessa forma:

1 rad = 0

2360

⎟⎠⎞

⎜⎝⎛

π ≅ 570

Usualmente, omite-se a abreviação rad nas medidas expressas em radianos e o

ângulo é tratado como um número puro.

Exemplos

1. Converter 2π e

23 π em graus.


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8

Tem-se que π = 1800 . Assim, basta substituir nas expressões 2π e

23 π o valor de

π por 1800 :

2π =

21800

, ou seja, 2π = 900

23 π =

2180.3 , ou seja,

23 π = 2700

2. Converter 1200 e 3150 em radianos.

A partir de π = 1800 resulta 01 = π180

1 rad.

Assim, para converter 1200 graus em radianos basta efetuar o produto 180

120 π⋅ .

Portanto:

1200 = 180

120π rad ou 3

21200 π= rad

Similarmente:

3150 = 180

315 π⋅ =

180315π rad ou

473150 π

= rad

1.2 Seno, cosseno e tangente

Admite-se o sentido anti-horário como positivo. Considere uma circunferência com

centro O na origem de um sistema de coordenadas cartesianas ortogonal, cujo raio é a unidade

de comprimento dos eixos. Fixe nessa circunferência o ponto A de coordenadas (1, 0). Uma

circunferência com tais características é chamada circunferência trigonométrica. Seja B um

ponto sobre ela, de modo que o ângulo AOB tenha medida α radianos, conforme a Figura 3.

Figura 3. O cosseno e o seno como abscissa e ordenada de

um ponto B da circunferência trigonométrica


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9

Define-se:

senα é a ordenada do ponto B, ou seja, senα = OD

cosα é a abscissa do ponto B, ou seja, cosα = OC

Aplicando o Teorema de Pitágoras ao triângulo OBC, segue:

sen2 α + cos2 α = 1

Usando as funções seno e cosseno, pode-se definir a função tangente de α , denotada

por tgα , como o quociente:

tg α = αα

cossen desde que cos α ≠ 0

Exemplo

Obter o seno e o cosseno dos arcos 2π ,

23π , π e 2π .

Observando os gráficos da Figura 4 conclui-se:

sen 2π = 1 sen π = 0 sen

23π = –1 sen 2π = 0

cos 2π = 0 cos π = –1 cos

23π = 0 cos 2π = 1

Figura 4. Ilustração dos senos e cossenos de 2π ,

23π , π e 2π


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10

Certos valores das funções seno e cosseno podem ser obtidos a partir de figuras

geométricas, como por exemplo, o seno e cosseno de 300, 450 e 600. A Tabela 1 fornece os

senos, cossenos e tangentes desses ângulos.

Tabela 1. Seno, cosseno e tangente de 300, 450 e 600

x 300 450 600

sen 21

22

23

cos

23

22

21

tg

33

1 3

De um modo geral, os valores do seno, cosseno e tangente de ângulos podem ser

obtidos por tabelas, utilizando computadores ou calculadoras usando as teclas sin (seno)

cos (cosseno) e tan (tangente) .

Por exemplo, para se obter o valor do seno de 470, tecla-se na calculadora:

sin 47

e aparece no visor 0,731353701.

Deve-se observar que a calculadora deve estar programada em deg para o cálculo

em graus e em rad para o cálculo em radianos.

Para o cálculo do cosseno de 4

7π , tecla-se:

cos ( 7 × shift exp ÷ 4 ) =

e aparece no visor 0,707106781.

Para se calcular tg 5 (tangente de 5 radianos) tecla-se:

tan 5

cujo resultado é –3, 380515006.

1.3. Mudança de quadrante O seno e o cosseno de um ânguloα , como coordenadas de um ponto, têm sinais que

dependem do quadrante em que se encontram.


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11

Daí para 0 <α< 900 tem-se cosα > 0 e senα > 0; para 900 < α< 1800 tem-se

que cosα < 0 e sen α > 0; para 1800 < α < 2700 tem-se cosα < 0 e senα < 0 e para

2700 < α < 3600 tem-se que cosα > 0 e sen α < 0.

Pode-se relacionar os valores do seno e cosseno de um arco x do primeiro quadrante

com os valores do seno e cosseno de arcos em qualquer quadrante, do seguinte modo:

xsenxsen =− )(π xx cos)(cos −=−π

xsenxsen −=+ )(π xx cos)(cos −=+π

xsenxsen −=− )2( π xx cos)2(cos =−π

Se f(x) atinge os eixos coordenados a verificação é imediata. Caso contrário, o

resultado se verifica geometricamente em vista da congruência dos triângulos da Figura 5.

Estas fórmulas são conhecidas como redução do seno e do cosseno ao primeiro quadrante.

Figura 5. Mudança de quadrante

Desde que os arcos de medidas x− e x−π2 possuem a mesma extremidade, eles

possuem o mesmo seno e o mesmo cosseno. Daí tem-se:

xsenxsen −=− )( xx cos)(cos =−

ou seja, os valores de sen x e sen (–x) são opostos, portanto, y = sen x é uma

função ímpar e os valores de cos x e cos (–x) são iguais, portanto, y = cos x é uma função

par.

Decorre imediatamente da definição da tangente que se x é um arco do primeiro

quadrante:

xtgxtg −=− )(π xtgxtg =+ )(π

xtgxtg −=− )2( π xtgxtg −=− )(


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12

1.4 Função seno, função cosseno e função tangente

Para cada número real x, seja B o único ponto sobre a circunferência trigonométrica,

de modo que o arco AB tenha medida x radianos.

Para cada valor de x tem-se então, associado um único valor y = sen x e um único

valor y = cos x, que atingem um máximo +1 e um mínimo –1. Ficam assim definidas duas

funções :

sen : R → [-1, 1] e cos : R → [-1, 1]

x → y = sen x x → y = cos x

Se são adicionados 3600 ou 2π a qualquer ângulo x, os pontos da circunferência

unitária que representam x e 3600 + x são os mesmos e, portanto, possuem o mesmo seno e o

mesmo cosseno, ou seja:

sen(3600 + x) = sen x, cos(3600 + x) = cos x

Isso quer dizer que as duas funções y = sen x e y = cos x são periódicas com

período 3600 ou 2π .

De um modo geral, uma função f com domínio D é periódica se existe um número

real e positivo k tal que x + k está em D e f(x + k) = f(x), para todo x em D. Se existe um

menor real positivo k, ele é chamado período de f. Isso implica que o gráfico de f se repete a

intervalos sucessivos de amplitude k

Em virtude desse fato, os gráficos das funções seno e cosseno, isto é, o conjunto dos

pontos do plano de coordenadas (x, sen x) e os pontos de coordenadas (x, cos x),

respectivamente, podem ser representados no intervalo [0,2π ] e depois repetidos em cada

intervalo de amplitude 2π .

Levando-se em conta os valores de sen x e cos x para x = 0, 2π , π ,

23π e 2π

obtidos no exemplo considerado em 1.2, são esboçados na Figura 6 os gráficos das

funções seno e cosseno.

( i ) ( ii )

Figura 6. (i) Gráfico da função seno e (ii) gráfico da função cosseno utilizando medida em radianos


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13

A tangente de um número real foi definida como a razão do seno para o cosseno desse

real. Com isso, pode-se definir a função tangente:

tg: D → R

x → y = tg x = xx

cossen

onde D = { x ∈ R: cos x ≠ 0} isto é, o conjunto dos números reais em que se excluem os

valores que anulam cos x.

O conjunto D ainda se escreve como D = { x ∈ R : x ≠ kπ + 2π , k ∈ Z }.

A variação da função tangente no intervalo ] –2π ,

2π [ obedece:

Tabela 2 - Variação da tangente no intervalo ] –2π ,

2π [

x –

2π

0

2π

tg x Não existe cresce 0 cresce Não existe

Para se obter o gráfico da função tangente, é suficiente esboçá-lo no intervalo ] –

2π ,

2π [ e repeti-lo em todos os quadrantes da forma ] –

2π + kπ ,

2π + kπ [, k ∈ Z. A função

tangente é periódica de período π .

Figura 7. Gráfico da função y = tg (x)

1.5. Seno, cosseno e tangente no triângulo retângulo

As definições do seno e cosseno foram dadas como coordenadas de ponto de uma

circunferência trigonométrica. De um modo geral, considera-se agora um ponto P com

coordenadas (x, y) em relação a um sistema de coordenadas cartesianas ortogonal de

origem O.


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14

Admite-se que o ponto P não coincide com O. Seja B o ponto em que o segmento

que liga O a P intercepta a circunferência trigonométrica e seja a o comprimento do

segmento OP. Será chamado de α o ângulo AOB

Os triângulos OBC e OPQ da Figura 8 têm os seus lados correspondentes proporcionais.

Figura 8. Seno e cosseno definidos em termos x, y e a

Desta maneira:

1|||| a

OCOQ

= e 1||

|| aBCPQ

=

Como OQ e OC têm o mesmo sinal e, da mesma forma, PQ e BC, então:

1cosax

=α

e 1senay

=α

e, conseqüentemente:

x = a cos α e y = a sen α

Escolha um triângulo retângulo, onde α é um de seus ângulos. Considere um

sistema de coordenadas cartesianas ortogonal e tome o triângulo na posição da Figura 9.

Figura 9. Esquema para definir o seno, o cosseno e a tangente de um ângulo agudo α de um triângulo retângulo

As funções seno, cosseno e tangente de α são dadas por:


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15

sen α = ac

= hipotenusa

opostocateto cos α =

ab

= hipotenusa

adjacentecateto

tg α = bc =

adjacentecatetoopostocateto

Exemplos

a) Uma fonte de mel é descoberta por uma abelha a 1580 metros da colméia, num

ponto cujo ângulo medido no sentido anti-horário a partir da direção leste é 1400.

Quais são as coordenadas cartesianas da fonte?

Figura 10. Localização de uma fonte de mel para o exemplo (a)

Tem-se

a = 1580 cos 1400 = –1210,4

b = 1580 sen 1400 = 1015,6

b) Um peixe percorreu uma distância de 40 cm entre a superfície de um aquário e o

seu fundo seguindo uma trajetória retilínea que forma um ângulo de 300 com a

superfície. Qual é, aproximadamente, a profundidade alcançada pelo peixe?

Solução Chamando de x a profundidade, tem-se, de acordo com a Figura 11:

x = 40 sen 300 = 40 . 21 = 20

Logo, a profundidade alcançada pelo peixe é 20cm.

Figura 11. Esquema para a distância entre a superfície de um aquário e o seu fundo


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16

1.6 Lei dos cossenos

Se os lados de um triângulo tiverem comprimentos a, b, c e se α for o ângulo entre

os lados com comprimentos a e b, então:

c2 = a2 + b2 – 2a b cos α

A demonstração deste resultado é feita introduzindo um sistema de coordenadas

cartesianas com origem em C e o eixo x positivo ao longo de um dos lados do triângulo. As

coordenadas de A passam a ser (b, 0) e as de B, (a cosα , a senα ).

Figura 12. O quadrado da distância entre A e B fornece a lei dos cossenos

Portanto, o quadrado da distância entre A e B será:

2 2 2( cos ) ( )c a b a senα α= − +

a qual desenvolvida oferece a referida lei.

1.7 Lei dos senos

Uma outra maneira de relacionar lados e ângulos de um triângulo qualquer é a

conhecida lei dos senos, cujo enunciado está a seguir:

Em qualquer triângulo as razões dos lados para os ângulos opostos são iguais, isto é:

senCc

senBb

Asena

==

Exemplo

Dois homens puxam horizontalmente um corpo com cordas que formam um ângulo

de 450 . Um exerce uma força de 150 kgf e outro de 100 kgf. Calcular a intensidade resultante

R e o ângulo que faz com a primeira corda.


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17

Conhecendo–se as duas forças F1 e F2 e o ânguloα entre eles, é possível calcular a

resultante R.

FIGURA 13 . Esquema para a resultante de duas forças que formam um ângulo de α = 450

No triângulo ABD, pela lei dos cossenos, tem-se:

R2 = β−+ cos2 212

22

1 FFFF

Porém, β = 1800 – α ; então, cos β = – cos α e assim :

R2 = 2 21 2 1 22 cosF F F F α+ +

Daí, R2 =1502 + 1002 + 2 .150.100 cos 450 ou R é, aproximadamente, 231 kgf.

Pela lei dos senos:

0

100sen135 sen

Rγ

= ⇒ senγ = 231

135sen.100 0

⇒ γ ≅ 170 8’

1.8 As funções cotangente, secante e cossecante

Pode-se definir a função secante:

sec : F → R

x → y = sec x = xcos

1

onde F = { x ∈ R: x ≠ kπ + 2π , k ∈ Z }.

Também define-se:

cossec : D → R

x → y = cossec x = xsen

1

cotg : D → R

x → y = cotg x = xx

sencos

onde D = { x ∈ R: x ≠ kπ , k ∈ Z }.


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18

1.9 Relações básicas

Como conseqüências das definições acima, tem-se:

i) sec2x = 1 + tg2 x

ii) cossec2x = 1 + cotg2 x

Prova de (i)

xxx

xsenxxsenxtg x2

22

22

2

22 sec

cos1

coscos

cos11 ==

+=+=+

A justificativa de (ii) é similar.

Existem, ainda, fórmulas para a adição de arcos. São elas:

iii) cos ( x + y ) = cos x cos y – sen x sen y

iv) sen ( x + y ) = sen x cos y + sen y cos x

Observe que sen ( x + y ) é diferente de sen x + sen y. Veja por exemplo:

sen ( 300 + 600 ) = sen 900 = 1

sen 300 + sen 600 = 23

21+

A fórmula para o cálculo de sen ( x + y) é dada por (iv).

Substituindo a por x e y nas identidades (iii) e (iv), tem-se as seguintes relações

denominadas fórmulas do seno e cosseno do arco duplo:

v) cos 2a = cos2a – sen2a

vi) sen 2a = 2 sen a cos a

Exemplos

1) Sendo x um ângulo agudo do segundo quadrante e sen x = 1312 , determinar os

valores de cos x e tg x.

Solução

Tem-se:

sen2 x + cos2 x = 1 ⇒ cos2 x = 1 – 2

1312

⎟⎠⎞

⎜⎝⎛ ⇒ cos2 x =

16925


Edson de Oliveira

19

Como no segundo quadrante o valor do cosseno de x é negativo, segue que:

cos x = – 16925 ⇒ cos x = –

135

Daí vem que tg x = xx

cossen = –

512 .

Então, cos x = – 135 e tg x = –

512 .

2) Se x é um ângulo tal que tg x = 2 e 2π < x <

23π , obter sen x e cos x.

Solução Tem-se:

tg x = xx

cossen ⇒ tg2 x =

2

2

sen1

xsen x−

⇒ 4 = 2

2

sen1

xsen x−

⇒ 4( 1 – sen2x) = sen2 x ⇒ sen2 x = 45

Sendo x um ângulo do segundo quadrante, então o valor do seno de x deve ser

negativo. Logo:

sen x = –54 ⇒ sen x = – 2

5 Assim

cos2 x = 1 – sen2x ⇒ cos2 x = 1 – 45

⇒ cos x = – 5

1

onde o sinal negativo foi considerado em virtude de 2π < x <

23π .

Portanto, sen x = – 25

e cos x = – 5

1 .

3) Mostrar que para todo x real:

i) sen (2π – x) = cos x

ii) cos (2π – x) = sen x

iii) tg (2π – x) = cotg x

De acordo com as fórmulas de adição de arcos e lembrando que y = sen x é uma

função ímpar e y = cos x é uma função par e sen 2π = 1 e cos

2π = 0, tem-se:


Edson de Oliveira

20

i) sen (2π – x) = sen [

2π + (– x) ] = sen

2π cos(– x) + sen (– x) cos

2π = cos x

ii) cos (2π – x) = cos [

2π + (– x) ] = cos

2π cos(– x) – sen

2π sen (– x) = sen x

iii) tg (2π – x) =

xx

cossen =

xx

sencos = cotg x

4) Resolver a equação (sen x + cos x)2 = 1 para x ∈ [0, 2π ].

Solução Tem-se:

(sen x + cos x)2 = 1 ⇒ sen2 x + 2 sen x cos x + cos2 x = 1

⇒ 1 + sen 2x = 1 ⇒ sen 2x = 0

O seno se anula para valores múltiplos de π . Como, por hipótese, 0≤ x ≤ 2π , ou

seja, 0 ≤ 2x ≤ 4π , para que sen 2x = 0, o ângulo 2x deve assumir valores múltiplos de π

entre 0 e 4π . Logo:

2x = 0, π , 2π , 3π , 4π

Portanto, as soluções da equação são x = 0, x = 2π , x = π , x =

23π ou x = 2π .

1.10 Funções trigonométricas inversas

Conhece-se que 12=

πsen . Portanto, se se pede para achar um ângulo (medido em

radianos) cujo seno vale 1, imediatamente responde-se que um desses ângulos é 2π . Existem,

no entanto, infinitos outros ângulos com essa propriedade De fato, 2

5πsen = sen (–2π ) = 1.

Isto significa que a função de domínio R definida por y = sen x não admite inversa. Diversos

valores reais possuem o mesmo seno.

Porém, restringindo o domínio da função seno ao intervalo [– 2π ,

2π ] é possível definir

a sua inversa, denominada função arco seno e denotada por por arc sen.

Por exemplo, a igualdade:

12

senarc=π


Edson de Oliveira

21

equivale a dizer:

2π é o arco cujo seno é 1

Define-se para x ∈ [–1, 1] e y ∈ [– 2π ,

2π ] função arco seno através da sentença:

y = arc sen x ⇔ sen y = x

Exemplos

a) 21

6senarc=

π , pois 21

6=

πsen

b) – )1(2

−= senarcπ , pois 12

−=⎟⎠⎞

⎜⎝⎛−

πsen

O gráfico da função arco seno está esboçado na Figura 14.

FIGURA 14. Gráfico da função y = arc sen x

Observe que como inversa da função y = sen x o gráfico da função y = arc sen x é simétrico

ao gráfico de y = sen x em relação à reta bissetriz y = x , do primeiro e terceiro quadrantes. Esta

propriedade de simetria é geral para todas as funções inversas.

A exemplo da função seno, para definir as inversas das funções cosseno e tangente, é

necessário restringir seus domínios a intervalos convenientes.

As inversas das funções y = cos x e y = tg x , denotadas por arc cos x e arc tg x,

respectivamente, são definidas por:

arc cos : [–1, 1] → [0, π ]

x → y = arc cos x ⇔ cos y = x

arc tg : R → ] –2π ,

2π [

x → y = arc tg x ⇔ tg y = x


Edson de Oliveira

22

Seus gráficos estão esboçados nas Figura 15.

(i) (ii)

FIGURA 15. ( i ) Gráfico da função y = arc cos x; ( ii ) gráfico da função y = arc tg x

Se se quiser usar a calculadora para obter a medida do ângulo cujo seno vale 0,875,

ou seja, o valor de arc sen 0,875, utiliza-se a tecla sin-1. Tecla-se:

shift sin 0.875 =

e obtém-se, aproximadamente, 61,040.

Para calcular arc cos 0,672:

shift cos 0.672 =

e obtém-se, 47,780.

Para arc tg 2:

shift tan 2 =

cujo resultado é 63,430.

1.11 Exercícios propostos 1. Converter em graus:

a) 4

3π b) 4

5π c) 6

7π d) 1112π

2. Converter em radianos:

a) 1500 b) 3000 c) 2400 d) 1100

3. Sabendo que tg x = 3 e 0 < x < 900, obter sen x e cos x.

4. Achar o valor de x, sabendo que 900 < x < 1800:

a) tg x = -0,9 b) sen x = 0,72 c) cos x = -0,35


Edson de Oliveira

23

5. Determinar a área e o perímetro de um triângulo retângulo ABC cujo cateto AB

mede 10 cm e forma com a hipotenusa AC um ângulo de 300.

6. Num sistema de coordenadas cartesianas, considere os pontos A(0, 4) e B(2, 0). Obter a

tangente do ângulo obtuso que a reta pelos pontos A e B forma com o eixo x.

7. Calcular o valor de x nos triângulos:

8. Observando a figura abaixo, determinar os valores de tg a e tg b.

9. Uma barra vertical de 3 metros de comprimento produz uma sombra em um plano

horizontal. Os raios solares têm inclinação de 600 em relação ao plano horizontal.

Qual é o comprimento da sombra?

10. A inclinação de uma reta num sistema de coordenadas ortogonal é medida por

m = xy

∆∆ . Suponha que ∆ x e ∆ y são medidos e plotados na mesma unidade de

comprimento. O ângulo α obtido ao girar o eixo x no sentido anti-horário até ele

coincidir com a reta dada pela primeira vez é chamado ângulo de inclinação e tem um

valor que varia de 00 a 1800. Obter α nos seguintes casos:

a) ∆ x = 3 ∆ y = 3 b) ∆ x = –2 3 ∆ y = 2

11. A torre de Pisa na Itália tem 58,5 metros de comprimento. Em 1995, a distância entre a

projeção de seu topo no solo e o seu pé era 5,40 metros. Qual era, em 1995, o ângulo de

inclinação da torre?


Edson de Oliveira

24

12. Para uma função periódica da forma y = M + R sen (wt + b), w > 0, o período vale T =

wπ2 , se as medidas são expressas em radianos e T =

w360 se expressam em graus,

enquanto a freqüência será π

=λ2w ou

360w

=λ , respectivamente. O valor |R| é a

amplitude. Encontrar os períodos, as freqüências e a amplitude das funções:

a) y = 3 + 2 sen ( t + 6π ) b) y = 4 – sen 3t

13. Um praticante do método de corridas, conhecido como o método de Cooper

balança cada um de seus braços ritmicamente enquanto corre, segundo a equação:

y = f(t) = 9π sen ( )2

38 ππ

−t

Determinar o período, a freqüência e a amplitude da oscilação.

14. Um caçador está sentado na plataforma construída numa árvore a 30 metros do chão. Ele

vê um tigre sob um ângulo de 300 abaixo da horizontal. A que distância está o tigre

do caçador?

15. Um avião decola e segue uma trajetória retilínea que forma um ângulo de 350 com a

linha horizontal. Após ter voado 1000m, qual é a altura aproximada do avião ?

16. Uma escada está encostada numa parede formando um ângulo de 600 com o chão. Que

altura ela atinge, sabendo-se que a escada tem comprimento de 18 metros? 17. Um corpo suspenso em uma mola é deslocado em 5 unidades da posição de repouso e

solto no instante t = 0 para oscilar para cima e para baixo. Sua posição em qualquer

instante é dado por s = 5 cos t.

a) Qual a sua posição no instante t =4π ?

b) Em que instante s = 2,5 ?

18. Um corpo suspenso em uma mola é puxado para baixo e liberado. Seu deslocamento é

descrito por s = – t210cos251 . Qual é sua posição no instante t = 10 ?

19. Resolver no intervalo [0, 3600]:

a) cos4 x – sen4 x = 23 b) (sen x + cos x)2 = 2

20. Dado sen x = 54 ,

2π < x < π , obter :

a) sen 2x b) cos 2x c) tg 2x


Edson de Oliveira

25

21. Mostrar que para todo x real:

a) sen2 2x =

2cos1 x− b) cos2

2x =

2cos1 x+

(Sugestão: fazer 2a = x nas fórmulas de transformação em produto)

22. Mostrar que :

a) sen 220 30’ = 2

22 − b) cos 220 30’ = 2

22 +

23. Mostrar que :

a) sen 150 = 2

32 − b) cos 150 = 2

32 +

24. Dados cos a = 6556 com 0 < a <

2π e sen b = –

54 com

23π < x < 2π , calcular:

a) cos (a + b) b) sen ( a + b)

25. Dados x = arcsen 53 e y = arcsen

135 com 0 < x <

2π e

2π < y < π , obter o valor

de cos (x + y).

26. Determinar o perímetro de um triângulo em que dois lados medem 6m e 10m e

formam entre si um ângulo de 1200.

27. Dois lados de um triângulo medem a = 2 m e b = 1m e os ângulos opostos a esses

lados indicam-se por A e B, respectivamente. Determinar o outro lado, sabendo que

A = 2B.

28. Num triângulo ABC, sabe-se que a = 8 2 e b = 8 3 . Se o ângulo B mede 600, determinar a medida do ângulo C.

29. Em um triângulo ABC, conhece-se as medidas a = 3 + 1, b = 2 e ∧

C = 300. Obter a

medida do lado c.

30. Conhecendo-se uma força F e uma inclinação x pode-se calcular imediatamente suas

componentes xF e yF (tangencial e normal).

A componente horizontal de uma força que atua sobre um corpo, sob um ângulo de

600 com a horizontal, é igual a 7,5 dinas. Calcular a força.

⇒= αcosxF

F αcosFFx =

⇒= αsenFF

y

αsenFFy =


Edson de Oliveira

26

1.12 Respostas dos exercícios propostos

1. a) 1350 b) 2250 c) 2100 d) 1650 2. a) 6

5π b) 3

5π c) 3

4π d) 1811π

3. sen x = 310

, cos x = 110

4. a) 1380 b) 133,950 c) 110,480

5. perímetro = 10 3 10+ área = 50 33

6) –2 7) i) 4 ii) 30

8. tg a = 0,8, tg b = -0, 8 9. 3

3 m 10. a) 450 b) 1500 11) 84,70

12. a) T = 2π , λ = π2

1 , |R| = 2 b) T =3

2π , λ = π23 , |R| = 1

13. T =43 , λ =

34 , |R| =

9π 14. 60m 15. 574m 16. 9 3 m≈ 15,6m

17. a) 2

25 b) 6π 18. 0,03 19. a) 150, 1650, 1950, 3450 b) 450, 1350

20. a) –2524 b) –

257 c) 24

7 24. a)

6554 b) – 5

13 25. 63

65−

26. 30cm 27. 1m 28. 750 29. 2 30. 15 dinas


Edson de Oliveira

27

Capítulo 2

Limites e continuidade

Trata-se a seguir, de forma intuitiva, uma idéia sobre limites a qual é usada para

estudar a noção de continuidade. A noção de limites tem também, grande utilidade na

formulação das definições de derivada e integral, temas essenciais no desenvolvimento do

Cálculo.

2.1 Conceito intuitivo de limite

Considere a função real y = f(x) definida por:

111)(

2

+=−−

= xxxxf , 1≠x

Observe na Tabela 3 o comportamento da função quando a variável x assume valores

cada vez mais próximos de 2, isto é, quando x tende a 1.

Tabela 3 – Comportamento da função f(x) para valores de x próximos de 1

x tende a 1 assumindo valores inferiores a 1

x 0,5 0,9 0,99 0,995 0,9999 0,99999

f(x) 1,5 1,9 1,99 1,995 1,9999 1,99999

x tende a 1 assumindo valores superiores a 1

x 1,5 1,2 1, 1 1,01 1,001 1,0001

f(x) 2,5 2,2 2,1 2,01 2,001 2,0001

A tabela indica que quando x tende a 1, o que quer dizer x se aproxima de 1, e indica-

se 1→x , tem-se que f(x) tende a 2 e denota-se 2)( →xf . Isto significa que para valores de x

bastante próximos de 1, f(x) estará tão próximo de 2 quanto quisermos.

Simbolicamente se expressa este fato por:

2)(lim1

=→

xfx

ou 211lim

2

1=

−−

→ xx

x


Edson de Oliveira

28

2.1.1 Definição informal de limite

Seja y = f(x) definida em um intervalo aberto em torno de um ponto 0x , mas não

necessariamente no próprio 0x . Caso |)(| Lxf − se torne arbitrariamente pequeno quando x

assumir qualquer valor suficientemente próximo de (mas não igual a) 0x , diz-se que:

o limite de f(x) quando x tende a 0x é igual a L

Nessa situação, escreve-se:

Lxfxx

=→

)(lim0

2.1.2 Observações

i) Se existe o limite de f(x) quando x tende a 0x então esse valor L é único.

ii) Na determinação do limite de f(x), quando x tende 0x , não importa como f está

definida em 0x (nem mesmo se f está realmente definida) mas sim, como f se comporta para

valores de x nas proximidades de 0x .

Por exemplo, considere as funções:

11)(

2

−−

=x

xxf e 1)( += xxg

Seus gráficos estão representados na Figura 16.

Figura 16. Os gráficos de f e g são idênticos, exceto em x = 1 onde g não está definida

As funções f e g são iguais para todo Rx∈ , exceto para 1=x , onde a função g não

está definida. Apesar disso:

2)(lim)(lim11

==→→

xgxfxx


Edson de Oliveira

29

2.1.3 Limite da função constante e da função identidade

Apresentam-se abaixo duas funções que possuem limites em todos os pontos.

a) Na Figura 17 está representado o gráfico da função constante kxf =)( , k ∈ R.

Figura 17. Função constante y = f(x) = k

Do modo geométrico como foi introduzida a idéia de limite tem-se que kxf →)( se

0xx → , fato que se simboliza da seguinte forma:

kkxx

=→ 0

lim

Assim

55lim0

=→xx

, ππ =→ 0

limxx

, para qualquer valor de 0x

b) Considere a função f definida por xxf =)( (função identidade) cujo gráfico está

representado na Figura 18.

Figura 18. Função identidade f(x) = x

Da mesma maneira:

00

lim xxxx

=→

Assim

7lim7

=→

xx

, 4lim4

−=−→

xx


Edson de Oliveira

30

2.2 Leis de básicas dos limites

Suponha que existam Lxfxx

=→

)(lim0

e Mxgxx

=→

)(lim0

. Então:

(i) Lei da soma e da diferença

)]()([lim0

xgxfxx

±→

= )(lim0

xfxx→

± )(lim0

xgxx→

= ML ±

((ii) Lei do múltiplo constante

)(lim0

xfkxx→

= )(lim0

xfkxx→

= k L

(iii) Lei do produto

)]()([lim0

xgxfxx→

= )(lim0

xfxx→

)(lim0

xgxx→

= ML

iv) Lei do quociente

)()(lim

0 xgxf

xx→ =

)(lim

)(lim

0

0

xg

xf

xx

xx

→

→ = ML se 0≠M

v) Lei da potenciação

Se r e s são números inteiros e 0≠s então:

( )sr

xxxf )(lim

0→ = s

r

L

desde que sr

L seja um número real.

Note-se que as leis da soma e da diferença e do produto foram apresentadas para duas

funções, no entanto, elas se estendem para qualquer número de funções.

Desta forma, se n é um número inteiro e positivo:

n

xxx

0

lim→

= )....(lim0

xxxxx→

= xxxxxxxxx 000

lim...lim.lim→→→

= 000 .... xxx = nx0

Consequentemente, se k é uma constante tem-se:

n

xxxk

0

lim→

= n

xxxk

0

lim→

= nxk 0

Exemplos

a) Obter o valor de )174(lim 2

0

−+→

xxxx

.

)174(lim 2

0

−+→

xxxx

= 1lim7lim4lim000

2

xxxxxxxx

→→→−+ = 174 0

20 −+ xx


Edson de Oliveira

31

De um modo geral tem-se o seguinte resultado:

Se p(x) é um polinômio então o limite )(lim0

xpxx→

obtém-se substituindo x por 0x na

expressão de p(x),

Isto quer dizer que:

)(lim0

xpxx→

= p( 0x )

b) Calcular )453(lim 23

2−+−

→xx

x.

)453(lim 23

2−+−

→xx

x = 42.52.3 23 −+− = – 8

Na situação de função racional (quociente de dois polinômios):

Se )()(

xqxp é uma função racional então o limite

)()(lim

0 xqxp

xx→ obtém-se substituindo x por

0x nas expressões de p(x) e )(xq , se 0)( 0 ≠xq

Isto significa:

)()(lim

0 xqxp

xx→=

)()(

0

0

xqxp

, 0)( 0 ≠xq

c) Obter 3

2

1 23106lim

xxx

x −−+

−→

3

2

1 23106lim

xxx

x −−+

−→ = 3

2

)1(23)1(.10)1(.6

−−−−+− =

37

−

d) Calcular 2

65lim2

2 −+−

→ xxx

x.

Se x for substituído por 2 na expressão do limite tem-se a fração 00 , impossível de se

calcular e que é chamada de forma indeterminada.

Pode-se tentar calcular o limite usando fatoração. Observe que para 2≠x :

2

652

−+−

xxx

= 2

)3(.)2(−

−−x

xx = 3−x


Edson de Oliveira

32

Conforme 2.1.2 (ii), visto que no cálculo do limite não interessa o que acontece

quando x = 2, vem:

2

65lim2

2 −+−

→ xxx

x = )3(lim

2−

→x

x = –1

2.3 Continuidade

Na determinação do limite )(lim0

xfxx→

não importa como f está definida em 0x (nem

mesmo se f está realmente definida). A única coisa que interessa é o comportamento de )(xf

nas proximidades de 0x .

Considere os gráficos das funções da Figura 19.

( i ) ( ii) ( iii) ( iv) Figura 19. Algumas funções reais

Constata-se que:

• No caso (i), quando 0xx → tem-se )()( 0xfLxf ≠→ ;

• Em (ii) não existe )(lim0

xfxx→

;

• Na situação (iii) existe Lxfxx

=→

)(lim0

, porém, 0(xf ) não está definida;

• Em (iv) tem-se que )()(lim 00

xfxfxx

=→

.

Com exceção do caso (iv) todas as outras funções apresentam interrupções em algum

ponto. O que caracteriza a ausência de interrupções é o fato de, para todo ponto 0x do

domínio, existir )(lim0

xfxx→

e esse valor ser igual à imagem )( 0xf .

Isso sugere a seguinte definição:

Uma função )(xf definida em um intervalo aberto contendo 0x é contínua em 0x se )()(lim 0

0

xfxfxx

=→

.

Desta maneira, três condições devem ser satisfeitas por :)(xfy =


Edson de Oliveira

33

1. )(lim0

xfxx→

;

2. )( 0xf existe, ou seja, f é definida no ponto 0x ;

3. O valor do limite coincide com o valor da imagem )( 0xf .

Portanto, a noção intuitiva de continuidade decorre da análise de seu gráfico. O gráfico

de uma função contínua não apresenta interrupções. Pontos onde ocorrem interrupções

denominam-se pontos de descontinuidade.

Uma função contínua em todos os pontos de seu domínio se diz contínua. Caso

contrário ela é descontínua.

Exemplos

1. A função 2)( xxf = é contínua para todo Rx∈ .

De fato:

)(lim0

xfxx→

= )(lim 020

2

0

xfxxxx

==→

2. A função ⎩⎨⎧

=≠

=2,02,

)(2

xxx

xf não é contínua no ponto 2=x .

Com efeito,

42)(lim 2

2==

→xf

x, porém, 0)2( =f que é um valor diferente do limite.

3. Analise a continuidade da função ⎪⎩

⎪⎨⎧

≥−

<=31

33)(

xsex

xsexxg .

Observe o gráfico da função )(xg , esboçado na Figura 20.

Figura 20. Gráfico da função g(x)

Conclui-se que não existe o limite )(lim3

xgx→

. Portanto a função não é contínua no

ponto x = 3.


Edson de Oliveira

34

2.4 Limites laterais

No estudo da continuidade é conveniente a introdução de limite lateral, isto é, um

limite de )(xf quando x tende a um ponto 0x , através de valores em um único lado de 0x .

O gráfico da Figura 20 mostra claramente que 1)( →xf quando 3→x para valores

menores que 3 e, 2)( →xf quando 3→x por valores menores que 3.

De um modo geral, fixado 0x sobre a reta real x pode se aproximar de 0x de duas

maneiras: pela direita ou pela esquerda. Indica-se essas aproximações, respectivamente, por +→ 0xx e −→ 0xx .

Se 1)(lim0

Lxfxx

=+→

e 2)(lim0

Lxfxx

=−→

então os números 1L e 2L denominam-se,

respectivamente, limite à direita de f em 0x e limite à esquerda de f em e são referidos

coletivamente como limites laterais f em 0x .

Se )(lim0

xfxx→

existe, os dois limites laterais )(lim0

xfxx +→

e )(lim0

xfxx −→

existem e os três

limites têm o mesmo valor. Consequentemente, se os dois limites laterais existem, porém têm

valores diferentes então )(lim0

xfxx→

não pode existir.

Pode-se mostrar que o limite lateral satisfaz leis básicas similares às enunciadas em

2.2 para limites.

Por exemplo, se que existem Lxfxx

=+→

)(lim0

e Mxgxx

=+→

)(lim0

, então:

)]()([lim0

xgxfxx

±+→

= )(lim0

xfxx +→

± )(lim0

xgxx +→

= ML ±

e, assim por diante.

Exemplos

1. Investigue os limites laterais da função xxxf ||)( = quando 0→x . Existe

)(lim0

xfx→

?

A Figura 21 ajuda bastante nessa investigação. Observa-se que quando x se aproxima

de zero pela direita, f(x) se aproxima de 1 e, quando x se aproxima de zero pela esquerda, f(x)

se aproxima de –1.


Edson de Oliveira

35

Figura 21 – Função com limites laterais diferentes e, portanto, sem limite em x = 0

Vê-se pois que os limites laterais existem:

)(lim0

xfx +→

= 1, )(lim0

xfx −→

= –1

Entretanto, esses limites laterais não coincidem, portanto não existe )(lim0

xfx→

.

2. Considere a função ⎩⎨⎧

>−≤

=1,31,2

)(2

xxxx

xf . Analise a continuidade da função no

ponto x = 1.

Solução

A Figura 22 mostra o gráfico de f(x).

Figura 22. Função contínua no ponto x = 1

Tem-se:

)(lim1

xfx +→

= 2 = )(lim1

xfx −→

Como os dois limites laterais existem e possuem o mesmo valor 2, segue que

)(lim1

xfx→

= 2. Ainda, visto que 21.2)1( 2 ==f então f está definida em x = 1. Desde que:

)(lim1

xfx→

= 2 = )1(f

conclui-se que f é contínua em x = 1.


Edson de Oliveira

36

2.5 Funções elementares contínuas

A partir das leis básicas dos limites enunciadas em 2.2 justifica-se que as funções

polinomiais e as funções racionais são contínuas. A partir da lei da potenciação justifica-se a

continuidade da função n xxf =)( , x >0 .

A continuidade das funções seguintes, dadas como informação, são fáceis de serem

aceitas em virtude de suas representações gráficas não apresentarem interrupções:

• Função modular ||)( xxf = ;

• Funções trigonométricas;

• Funções trigonométricas inversas;

• Funções logarítmicas;

• Funções exponenciais.

2.6 Leis de básicas das funções contínuas

Seja Rc∈ uma constante, f e g funções contínuas com domínio comum D e Dx ∈0 .

Então:

a) gf ± , gf . são contínuas em 0x ;

b) Se 0)( 0 ≠xg então gf é contínua em 0x ;

c) A composta fog é contínua em 0x .

Exemplos

1. Em cada caso, f é contínua em seu domínio pelo motivo justificado.

a) 0|,|ln5||)( >+= xxxxf ( f é soma de funções contínuas)

b) xsenxxxf .)275()( 23 +−= (f é produto de funções contínuas)

c) Zkkxxsenxxxf ∈≠== ,,coscot)( π (f é quociente de funções contínuas)


Edson de Oliveira

37

2. As seguintes funções são contínuas por serem compostas de funções contínuas.

a) )1(ln)( 2 += xxf

f = hog ; xxg ln)( = , x > 0; 1)( 2 += xxh

b) )32()( 23 −+= xxsenxf

f = hog ; xsenxg =)( ; 32)( 23 −+= xxxh

2.7 Propriedade do Valor Intermediário

Funções contínuas em intervalos fechados apresentam propriedades de muita utilidade

em Matemática e suas aplicações. Uma delas é a Propriedade do Valor Intermediário que

assegura: se uma função contínua assume dois valores também assume todos os valores

intermediários.

Para enunciar formalmente essa propriedade necessita-se da seguinte definição.

2.7.1 Definição (Continuidade num intervalo fechado)

Um função f definida em um intervalo fechado [a, b] se diz contínua em [a, b] se é

contínua em ]a, b[ e, além disso:

)()(lim afxfax

=+→

e )()(lim bfxfbx

=−→

2.7.2 Teorema do Valor Intermediário (TVI)

Se )(xfy = é contínua em [a, b] e z está entre )(af e )(bf então existe c∈[a, b] tal

que )(cfz = .

Uma prova deste teorema encontra-se no Apêndice B de (ROGAWSKI, 2008).

Exemplo

1. O polinômio 3)( 3 −+= xxxf tem valor – 1 para x = 1 e tem valor 7 para x = 2 .

Como f é contínua segue do TVI que 0)( =xf para algum x entre 1 e 2, isto é, a equação

033 =−+ xx possui pelo menos uma solução entre 1 e 2.


Edson de Oliveira

38

2.8 Exercícios propostos

1. 12lim5→x

é igual a 5 ou 12?

2. Determine:

a) )83(lim5

+→

xx

b) )10(lim2

+−→

yyy

c) 1123lim

2 +−

→ xx

x d)

xxx

x 2lim 31 +−→

3. Suponha que .3)(lim5

=→

xfx

Calcule:

a) 2

5)(lim xf

x→ b) )(lim

5xfx

x→ c)

)(1lim

5 xfx→

4. Suponha que 5)(lim2

=→

xfx

e 3)(lim2

−=→

xgx

. Calcule:

a) )()(lim2

xgxfx→

b) 32

)(limx

xgx→

c) )](7)(4[lim2

xgxfx

−→

5. Calcule os limites:

a) 12

34lim 2

2

3 −++−

→ xxxx

x b)

525lim

2

5 −−

→ xx

x c)

93lim 23 −

+−→ x

xx

d) 24lim

2

2 −−

→ xx

x e)

112lim

2

1 −+−

→ xxx

x f)

4127lim

2

4 −+−

→ xxx

x

6. Considere a função x

xsenxh =)( .

a) Faça uma tabela de valores de h quando x se aproxima de 0, em ordem

decrescente;

b) Estime o valor de )(lim0

xhx→

;

c) Fundamente a conclusão do item (b)construindo um gráfico de h próximo de.

0=x

7. Calcule x

xx

22lim0

−+→

.

Solução

Não se pode substituir 0=x e o numerador não apresenta fatores comuns evidentes.

Uma dica para resolver o limite é multiplicar tanto o numerador, quanto o denominador, pela

expressão conjugada 22 ++x obtida pela mudança de sinal entre as raízes quadradas:


Edson de Oliveira

39

x

x 22 −+ = x

x 22 −+ . 2222

++++

xx =

)22(22++−+

xxx

= )22( ++xx

x = 22

1++x

Então:

x

xx

22lim0

−+→

= 22

1lim0 ++→ xx

= 220

1lim0 ++→x

= 22

1


a) 33

lim0 −+→ x

xx

b) 34

5lim5 −+

−→ x

xx

c) 42lim

4 −−

→ xx

x

9. Em vista de sua ligação com retas tangentes e taxas de variação instantânea os limites da

forma:

h

xfhxfh

)()(lim0

−+→

são de suma importância, principalmente no estudo de derivada.

Calcule os limites a seguir para 0x e f dados:

i) 1;52)( 0 =+= xxxf

ii) 3;1)( 0 −== xx

xf

iii) 7;)( 0 == xxxf

10. Esboce o gráfico da função ⎩⎨⎧

≥<−

=1,

1,4)(

xxxx

xf .

a) Determine )(lim1

xfx +→

e )(lim1

xfx −→

;

b) Existe )(lim1

xfx→

? Justifique.

c) Determine )(lim2

xfx +→

e )(lim2

xfx −→

;

d) Existe )(lim2

xfx→

? Qual é esse valor?


Edson de Oliveira

40

11. Verifique se a funções abaixo são contínuas nos pontos indicados:

a) ⎩⎨⎧

>−≤+

=1,141,12

)(xxxx

xf ; 1=x

b) ⎩⎨⎧

=≠−

=2,7

2,1)(

2

xxx

xf ; 2=x

c) 39)(

2

−−

=x

xxf ; 3=x

12. Determine a para que a função ⎩⎨⎧

=≠−

=3,

3,12)(

xaxx

xf seja contínua para 3=x .

13. Justifique por que f é contínua nos casos:

a) xxxf ln32)( ++= b) xxsenxf cos)( = c) 1

)( 2 +=

xexf

x

14. Usando o resultado 1lim0

=→ x

xsenx

encontre:

a) x

xsenx

)(lim0

−→

b) x

pxsenx 0lim→

c) x

xsenxx

43lim0

−→

d) qxsenpxsen

x 0lim→

15. Seja )(xp o preço para postar uma encomenda pesando x quilogramas. Custa 10 reais por

1 kg ou menos, 12 reais para pesos entre 1 kg e 1,5 kg, inclusive para o último, 14 reais

para pesos entre 1,5 kg e 2kg, inclusive o último, e assim por diante.

a) Esboce o gráfico da função )(xp para ;30 << x

b) )(xp é uma função contínua? Justifique a sua resposta.

16. Um determinado país permite uma importação individual limitada a 600 dólares. O valor

)(xfy = do frete a ser pago, em função do valor x em dólares da importação é dada pela

tabela:

a) Represente graficamente a função )(xfy = ;

b) Especifique os pontos de descontinuidade no intervalo ]0, 500[.

x 600 ≤< x 12060 ≤< x 240120 ≤< x 500240 ≤< x f(x) 12 18 25 35


Edson de Oliveira

41

17. Considere um corpo que se movimenta numa trajetória com lei de movimento ).(tfs = A

velocidade instantânea v, no instante t é obtida por:

v = h

tfhtfh

)()(lim0

−+→

Uma pedra em queda livre a partir do repouso próximo à superfície da Terra cai

s = 4,9 2t metros em t segundos. Encontre a velocidade instantânea da pedra no instante t = 2.

18. Um foguete é lançado ao espaço e t segundos após decolar a sua altura é 3 2t pés. Qual é a

velocidade de ascensão do foguete 10 segundos após a decolagem?

19. Seja )(xC a função custo de produção de x unidades de um produto. Chama-se custo

marginal para a quantidade x = 0x o limite mC = h

xChxCh

)()(lim 00

0

−+→

.

Dada a função custo )(xC = 1000050 +x obtenha o custo marginal para x = 100.

20. Mostre que a equação 5,0=xsen possui pelo menos uma solução no intervalo [0, 2π ].

21. Teorema do Confronto Se )()()( xhxfxg ≤≤ para todo x em um intervalo aberto contendo 0x , exceto possivelmente em 0x , e se:

)(lim0

xgxx→

= )(lim0

xhxx→

= L

então )(lim0

xfxx→

= L.

Como exemplo, mostra-se que x

senxx

1lim0→

= 0 utilizando o Teorema do Confronto.

Observe que não se obtém o limite por substituição de x por 0, nem por manipulações

algébricas. Como todos os valores da função seno encontram-se entre -1 e 1 então 11≤

xsen

e, daí, para todo 0≠x :

||1||1 xx

senxx

senx ≤= ⇒ – || x ≤ ||1 xx

senx ≤

Desde que 0|| →x quando 0→x segue do Teorema do Confronto que:

x

senxx

1lim0→

= 0.

22. Usando o Teorema do Confronto calcule os seguintes limites:

a) x

xx

1coslim0→

b) xxx

7coslim 2

0→


Edson de Oliveira

42


1. 12 2. a) 23 b) -16 c) -2 d) 31 3. a) 6 b) 15 c)

31

4. a) -15 b) -125

3 c) 41 5. a) 72 b) 10 c)

61

− d) 4 e) 0 f) 1

6. a) b) 1 c)

8. a) 32 b) 6 c) 4 9. a) 2 b) 91

− c) 72

1

10. a) 1, 3 b) não existe c) 2, 2 d) 2

11. a) Sim; pois 3)1()(lim1

==→

fxfx

b) Não; pois 7)2(3)(lim2

=≠=→

fxfx

c) Não; a função não está definida para x = 3.

12. a = 5 13. a) soma de funções contínuas b) produto de funções contínuas

c) quociente de funções contínuas 14. a) -1 b) p c) -1 d) qp

15. a) b) Não; não existe )(lim xpax→

, para a = 1, 1,5, 2, 2,5 e 3

16. a) b) 60, 120, 240

17. 19,6 m/s 18. 60 pés/s 19. 50

20. f(x) = sen x é contínua no intervalo [0, ]2π e z = 0,5 está entre 0 e

2π = 1,57.... Daí, pelo

TVI existe c ∈[0, ]2π tal que sen c = 0,5. 22. a) 0 b) 0

x 0,2 0,4 0,6 0,8 1

h(x) 0,993 0,973 0,941 0,897 0,841


Edson de Oliveira

43

Capítulo 3

Derivadas

Seja Q a quantidade vendida de um produto em função do tempo, isto é, Q = f(t). A

taxa de variação média dessa função representa uma medida de rapidez com que ela varia, em

média, entre dois valores t1 e t2, considerada da mesma forma que a velocidade média de um

carro mede a rapidez média com que ele se move entre dois instantes fixados.

Em muitos problemas deseja-se obter a rapidez com que a quantidade vendida varia,

em um dado instante t1, que corresponde ao conceito de velocidade de um carro em um

instante fixado.

Para se resolver problemas como este, é necessário o conceito de derivada, que será

desenvolvido neste capítulo.

3.1 Taxa de variação média

Uma partícula se movimenta de acordo com a equação horária s = f(t) = –50 + 4t,

com a posição média em metros e o tempo em segundos, no intervalo de tempo de t1 até t2, t1

< t2. O aumento de deslocamento é:

s∆ = f(t2) – f(t1)

Para se ter o aumento por unidade de tempo, divide-se por t∆ = t2 – t1:

12

12 )()(tt

tftfts

−−

=∆∆

Este quociente é chamado taxa de variação média de f(t) entre t1 e t2, ou velocidade

média no intervalo entre t1 e t2.

A idéia de taxa de variação média da distância em relação ao tempo pode ser

generalizada e, assim, aplicada para quaisquer variáveis de qualquer espécie.

Considere o seguinte problema:

Um cubo de metal com aresta x, medida em centímetros, é expandido uniformemente

como conseqüência de ter sido aquecido.


Edson de Oliveira

44

Sendo V o volume do cubo então V = f(x) = x3. Com x aumentando, V também

aumenta e pode-se perguntar: como muda V em relação a uma variação de x? Para se

responder essa pergunta, considere duas medidas x1 e x2 da aresta com x1 < x2 . Então, ∆ x =

x2 – x1 é o aumento de x e ∆V = f(x2) – f(x1) é o aumento correspondente de V. A relação:

12

12 )()(xx

xfxfxV

−−

=∆∆

é o aumento do volume por unidade de aumento da aresta.

Diz-se que xV∆∆ é a taxa de variação de V quando x aumenta de x1 até x2. Por

exemplo, se x1 = 2 e x2 = 4, então ∆ x = 4 – 2 = 2 cm e ∆V = 43 – 23 = 64 – 8 = 56 cm3.

Logo:

xV∆∆ =

256 = 28 cm3/cm

Isso quer dizer que, em média, o volume cresceu 28 cm3 para cada cm de aumento da

aresta.

De um modo geral, seja y = f(x) qualquer função e sejam x1, x ∈ D(f) com x1 ≠ x. A

variação de y no intervalo entre x1 e x é ∆ y = f(x1) – f(x). Seja ∆ x = x1 – x. Então a razão :

1

1 )()(xx

xfxfxy

−−

=∆∆

é chamada taxa de variação média de f(x) entre x1 e x e representa a variação média

(aumento ou diminuição) no valor de f(x) por unidade que se acrescenta a x, entre x1 e x.

Do ponto de vista geométrico a razão xy

∆∆ é dada por

xy

∆∆ = tg 1α onde 1α é o

ângulo que a reta secante ao gráfico de y = f(x) pelos pontos (x1, f(x1)) e (x, f(x)) forma com

o eixo x, medido no sentido anti-horário. O valor tgα é chamado declividade ou coeficiente

angular da reta.

Figura 23. O coeficiente angular de uma reta


Edson de Oliveira

45

3.2 Taxa de variação instantânea ou derivada

Em muitos problemas, não é satisfatório considerar a média de uma taxa de variação,

mas sim uma taxa de variação instantânea, ou seja, a rapidez com que y = f(x) varia em um

dado ponto x1.

Considere a função f(x) = 5 x2. A taxa de variação média entre x1 e x, x1≠ x é:

1

1 )()(xx

xfxfxy

−−

=∆∆ =

1

21

2 55xx

xx−− =

1

21

2 )(5xxxx

−− =

1

11 ))((5xx

xxxx−

+− = )(5 1xx +

Figura 24. Taxa de variação média de uma função

Conforme foi visto acima: xy

∆∆ = tg 1α

Como se quer caracterizar a rapidez com que f(x) varia no ponto x, fixa-se o valor de

x1 e calcula-se a taxa de variação média entre x1 e x, para valores de x cada vez mais

próximos de x1 e distintos de x1.

À medida que x se aproxima de x1, o ponto variável Q(x, f(x) ) se aproxima do

ponto P = (x1, f(x1)). Quando isso acontece, a reta secante por P e Q muda de direção e se

aproxima de uma reta especial que passa pelo ponto P e é chamada de reta tangente ao

gráfico de y = f(x) neste ponto. É geometricamente intuitivo também que a declividade

m1= tgα 1 da reta secante se aproxima da declividade m = tgα da reta tangente.

Figura 25. Reta tangente ao gráfico de uma função


Edson de Oliveira

46

Em outras palavras:

m1 = α→

tgxx 1

lim

Visto que m1 = tgα 1 = 1

1 )()(xx

xfxf−− então tgα 1 =

1

1 )()(lim1 xx

xfxfxx −

−→

.

É também conveniente escrever x como x = x1 + h, h≠ 0. Dessa maneira, se x1 +

h → x1, então h → 0. Daí, pode-se reescrever a expressão acima como:

tgα 1 = h

xfhxf )()( 11 −+

Em muitas aplicações, a razão xy

∆∆ e seu limite não são interpretados como

coeficiente angular de uma reta tangente e sim como taxa de variação. Daí define-se :

Seja y = f(x) uma função e seja x1 ∈ D(f). Admita que exista:

0lim→h h

xfhxf )()( 11 −+

Então este valor é chamado taxa de variação instantânea ou simplesmente taxa de

variação, ou ainda, derivada de f(x) em x1 e é denotado por f ′ (x1) Assim:

f ′ (x1) = 0

lim→h h

xfhxf )()( 11 −+

As notações y′ (x1) ou )( 1xdxdy também são usadas.

Exemplos

1) a) Calcular a derivada da função f(x) = x2 no ponto x = x1 real.

b) Obter f ′ (2) e f ′ (–3)

a) h

xhxh

xfhxf 21

2111 )()()( −+

=−+ =

hxhhxx 2

12

121 2 −++ =

hhxh )2( 1 + = 2x1 + h

Então:

f ′ (x1) = 0

lim→h h

xfhxf )()( 11 −+ = 2x1

b) Para se obter f ′ (2) e f ′ (–3) é só substituir os valores 2 e 3 por x1 na última

expressão. Assim, f ′ (2) = 4 e f ′ (–3) = –6.


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47

2) Em um lago, a pressão p varia com a profundidade x de acordo com a

fórmula p = f(x) = 0,1 x + 1, p em atmosferas e x em metros. Qual é a taxa de variação da

pressão em relação à profundidade quando x = 2 ?

Solução A taxa de variação é a derivada f’ (2). Assim:

hfhf )2()2( −+ =

hh 2,11)2(1,0 −++ =

hh 2,11,02,1 −+ =

hh1,0 = 0,1

ou seja, f ′ (2) = 0,1.

Isso significa que o valor de p aumenta de 0,1 unidade a cada unidade de x, isto é, a

pressão aumenta de 0,1 a cada metro de profundidade.

A taxa de variação é, pois, 0,1 atmosfera/m.

3) Obter a derivada da função y = f(x) = |x| no ponto x = 0.

Solução

hfhf )0)0( −+ =

hhf )( =

hh ||

• para h > 0 tem-se 0

lim→h h

h || = 0

lim→h h

h = 1

• para h < 0 tem-se 0

lim→h h

h || = 0

lim→h h

h− = –1.

Isso quer dizer que, quando x se aproxima de 0 pelo lado direito, encontra-se a reta

tangente t1 de coeficiente angular 1 e, quando x se aproxima de 0 do lado esquerdo, encontra-

se a reta tangente t2 de coeficiente angular –1. Assim, tem-se duas posições limite para a reta

tangente no ponto x = 0. Nesse caso, diz-se que não existe a reta tangente e,

conseqüentemente, não existe a derivada da função y = | x | no ponto x = 0

Figura 26 . A função y = |x| não é derivável em x = 0 onde o gráfico tem um bico Observe que o gráfico da função forma um bico no ponto de abscissa x = 0. Em

geral, funções com esta característica em algum ponto não possuem derivada nesse ponto.


Edson de Oliveira

48

3.3. Função derivada No caso da função f(x) = x2, foi visto que para cada x1 real, f ′ (x1) = 2 x1, isto é, a

derivada depende do valor de x1.

Para cada x número real arbitrário, pode-se considerar a função real f ′ definida por

f ′ (x) = 2x.

De um modo geral, se y = f(x) tem derivada em todos os pontos de um subconjunto

A⊂ D(f), pode-se definir uma função, chamada função derivada de f e indicada por 'f , do

seguinte modo:

'f : A → R

x → f ′ (x) = 0

lim→h h

xfhxf )()( −+

Se y = f(x) tem derivada em cada ponto de seu domínio D(f), então f ′ (x) é uma

função de x de mesmo domínio D(f).

Exemplo

Uma população constituída de 25000 indivíduos cresce de acordo com a

fórmula N(t) = 25000 + 45t2, onde o tempo é medido em dias. Encontrar a taxa de

crescimento da população em qualquer instante t.

Solução Deve-se obter a função derivada N ′ (t). Tem-se então:

htNhtN )()( −+ =

htht )4525000(])(4525000[ 22 +−++ = 90t + 45h

Daí, N ′ (t) = 90t e, por conseguinte, a taxa de crescimento da população num

instante arbitrário t é 90t indivíduos por dia.

3.4. Regras de derivação Nos exemplos acima, foram calculadas derivadas usando a definição. Viu-se, por

exemplo, que, se y = x2, então y′ = 2x.

De uma maneira geral, usando a definição de derivada e o desenvolvimento de (a +

b)n, chamado binômio de Newton, pode-se mostrar que:

( )'nx = n xn-1 se n ∈ N* (derivada da potência)

ou seja, a derivada de xn com relação a x é igual a n vezes a potência (n – 1) de x .


Edson de Oliveira

49

Com o auxílio de logaritmos, consegue-se mostrar que esta fórmula continua

verdadeira para todos os valores reais de n e todos os valores de x que pertencem ao domínio

de y = xn.

Assim:

( )4x ′ = 4x3 , ( )′7x = 7x6

Ainda:

21 )(1 −− −=′=′⎟⎠⎞

⎜⎝⎛ xx

x 32

2 2)(1 −− −=′=′⎟⎠⎞

⎜⎝⎛ xx

x

( ) 21

21

21 −

=′

⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛=′

xxx ( ) 31

32

3 2

32 −

=′

⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛=

′xxx

Se y = f(x) = ax + b é uma função polinomial de 1º grau, então a sua derivada é o

seu coeficiente angular, ou seja:

y = f(x) = ax + b ⇒ )(xfy ′=′ = a (derivada da função polinomial de 1º grau)

De fato,

y′ = f ’ (x) = 0

lim→h h

xfhxf )()( −+ = 0

lim→h h

baxbhxa )()( +−++ = 0

lim→h a

ah = a

Em particular, se f(x) é uma função constante, então a sua derivada é nula, isto é:

y = f(x) = b , b constante ⇒ )(xfy ′=′ = 0 ( derivada da função constante)

Além das regras acima, pode-se estabelecer outras que permitem calcular as

derivadas de funções de forma automática sem recorrer diretamente à definição. Suas

demonstrações são feitas utilizando a definição de derivada e as técnicas de limites e são, em

sua maioria, omitidas aqui.

Sejam as funções f(x) = sen x e g(x) = cos x, onde x é medido em radianos. Então:

(sen x)´ = cos x (cos x)´ = – sen x (funções trigonométricas)


Edson de Oliveira

50

Para a função exponencial e logarítmica, tem-se:

(ex)´ = ex (ax)´ = ax ln a, a > 0 (exponencial)

(ln x)´ = x1 (loga x)´ =

x1 loga e, a > 0, a ≠ 1 (logarítmo)

Admita que as derivadas das funções y = g(x) e y = h(x) sejam conhecidas. Então, a

função y = g(x) + h(x), isto é, a soma de g(x) e h(x) tem derivada:

( )′+ )()( xhxg = (́ ) (́ )g x h x+ ( regra da soma)

Exemplos

1) Se y = sen x – cos x + ex, então y′ = cos x + sen x + ex

2) Se y = 5 x – x3 + ln x, então y′ = 51 x 5

4−

– 3x2 + x1

Para se derivar a função y = x3sen x, tem-se que aplicar a regra para derivar o produto

y = g(x) . h(x) de duas funções y = g(x) e y = h(x), isto é:

( )( ) . ( ) '( ) ( ) ( ) ( )g x h x g x h x g x h x′ ′= + (regra do produto)

Exemplos

1) Obter a derivada da função y = x3 sen x.

y′ = (x3)´ sen x + x3 (sen x)’ = 3x2 sen x + x3 cos x

2) Suponha que os lados u e v de um retângulo variem independentemente com o

tempo, ou seja, u = g(t) e v = h(t), onde u e v são medidos em metros e t em

segundos. Assim, a sua área é uma função do tempo dada por f(t) = g(t) . h(t).

Suponha que num certo instante u = 30 e esteja crescendo à razão de 3 metros

por segundo e, v = 20 e esteja decrescendo à taxa de 4 metros por segundo.

Nesse instante qual é a taxa de variação da área ?

Solução Deve-se obter f ′ (t), ou seja:

f ′ (t) = g′ (t) h(t) + g(t) h′ (t) = 3 . 20 + 30 . (–4) = 60 – 120 = –60

Portanto, a área decresce à razão de 60 m2/s.

Como caso particular da regra do produto, tem-se:


Edson de Oliveira

51

( )′)(xfc = c f ′ (x) , c ∈ R (produto de uma constante por uma função)

De fato, ( )′)(xfc = c′ f(x) + c f ′ (x) = 0 . f(x) + c f ′ (x) = c f ′ (x)

Exemplo

1) Uma mancha de óleo se alastra sempre circularmente. Achar a taxa na qual a área

A da superfície da mancha varia em relação ao raio r, quando r = 150m.

Solução A área é uma função de seu raio dada por A = A(r) = π r2. Quer-se achar

A′ (150). Tem-se:

A′ (r) = π (r2)´ = 2 π r, A′ (150) = 2 .π . 150 = 300 π

Logo, para cada aumento de 1m no raio a área aumenta de 300π m3.

2) Um corpo suspenso em uma mola é deslocado em cinco unidades da posição de

repouso e solto no instante t = 0 para oscilar para cima e para baixo. Sua posição,

num instante t, é dada por s = 5 cos t , onde s é medida em metros. Qual é a sua

velocidade v no instante t = 4π segundos ?

Solução

Tem-se v = s′ (4π ) . Sendo s′ = – 5 sen t, então v = s′ (

4π ) = –

225 .

Portanto, sua velocidade é v = – 2

25 m/s.

Será apresentada a seguir uma regra importante, chamada regra da cadeia. Seja, por

exemplo, a função y = f(x) = 6x – 15 = 3( 2x – 5). Ela pode ser vista como a composta das

funções y = 3u e u = 2x – 5. Tem-se que:

3=dudy , 2=

dxdu , 6=

dxdy

Uma vez que 3. 2 = 6, observa-se que dxdy =

dudy .

dxdu . Isso não é coincidência.

Pensando na derivada como taxa de variação, é razoável esperar que y = f(u) muda três

vezes mais rápido que u e u = g(x) muda duas vezes mais rápido que x e, assim, que y

mude seis vezes mais rápido que x.


Edson de Oliveira

52

De um modo geral, tem-se:

Se y = f(u) e u = g(x) e as derivadas dudy e

dxdu existem, então:

dxdy =

dudy .

dxdu ( regra da cadeia)

onde dudy é calculada em u = g(x).

Também, se y = f(u) e u = g(x) e as derivadas dudy e

dxdu então a função composta

definida por y = f(g(x)) tem derivada dada por:

)('))((')(')('' xgxgfugufy ==

Exemplos

1) A temperatura s em graus Fahrenheit de uma lata de soda limonada, que é posta

para esfriar em uma geladeira é dada como função do tempo por s = 40 + 30 e-2t,

onde t é medido em horas. Achar a taxa a qual está variando a temperatura da

soda limonada no instante t = 3 horas.

Solução Tem-se que s é uma função composta:

s = 40 + 30 eu, u = –2t

Então:

dtds =

duds .

dtdu = 30 eu . (–2) = – 60e-2t ⇒

dtds (3) = –0,149

ou seja, a taxa de variação da soda limonada é –0,1490 F /h.

2) Dada y = f(x) = 24 +x , obter y′ .

Solução

Tem-se que y = f(x) é a composta das funções y = u 21

e u = 4x + 2.

Assim:

y′ = dudy .

dxdu =

21 u 2

1−

. 4 = u

2 , isto é, y′ = 24

2+x


Edson de Oliveira

53

Uma aplicação importante da regra da cadeia é a derivação de y = )(

1xg

. Ela pode

ser vista como uma função composta das funções y = u1 = u-1 e u = g(x). Daí:

dxdy =

dudy .

dxdu = –1 . u-2 . g′ (x) = – 2

1u

. g′ (x) = – 2)(1xg

. g′ (x)

Portanto:

′

⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛)(

1xg

= – 2)(1xg

. g´ (x) (regra da função recíproca)

Combinando esta fórmula com a regra do produto, pode-se obter a regra do

quociente:

′

⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛)()(

xgxf = 2)(

)().()().(xg

xgxfxgxf ′+′ ( regra do quociente)

De fato:

′

⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛)()(

xgxf =

′

⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛)(

1.)(xg

xf = f ′ (x) . ⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛)(

1xg

+ ( )f x .′

⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛)(

1xg

= f ′ (x) . ⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛)(

1xg

– 2)(1xg

. g′ (x) . ( )f x = 2

( ) ( ) ( )( ) ( )

f x g x f xg x g x′ ′

−

= 2)()().()().(

xgxgxfxgxf ′−′

Exemplos

1) Obter a derivada de y = tg x.

(tg x) ´ = ′

⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛xx

cossen = 2

cos .cos sen .( )cos

x x x senxx

− − = 2 2

2

coscosx sen x

x+ =

x2cos1

isto é, (tg x)´ = x2cos

1 .

2) Uma curva de concentração de droga é dada por C = f(t) = tet

04,0

20 com C em

mg/ml e t em minutos. Obter f ′ (30).


Edson de Oliveira

54

Solução Deve-se calcular f ′ (30) . Tem-se:

f ′ (30) = 204,0

04,004,0

)(.)04,0(.20.20

t

tt

eete − = 204,0

04,0

)()04,01(.20

t

t

ete − = te

t04,0

)04,01(20 −

Portanto, f ′ (30) = –1,2 mg/ml/min.

Finalmente, será determinada a derivada de uma função inversa. Facilmente se

constata que a inversa da função f(x) = 21 x + 1 é a função 1−f (x) = 2x – 2. Calculando as

suas derivadas, tem-se :

f ′ (x) = 21 e ( )′−1f (x) = 2

ou seja, são recíprocas entre si.

Este fato pode ser demonstrado de um modo geral, isto é:

( )′−1f (x) = )(

1xf ′

O resultado fica fácil de ser memorizado mudando-se a notação:

dxdydy

dx 1= ( derivada da função inversa)

Exemplo

Dada y = f(x) = 7x – 5 obter dydx .

Solução dxdy = 7. Daí

dydx =

71 .

Para as funções trigonométricas inversas demonstra-se as seguintes regras:

1) arcsenxy = ⇒ 21

1'x

y−

= , 1|| <x

2) xy arccos= ⇒ 21

1'x

y−

−= , 1|| <x

3) arctgxy = ⇒ 211'x

y+

= , Rx∈


Edson de Oliveira

55

Exemplo

Se 3xarctgy = encontre y’.

)()(1

1' 323 x

dxd

xy ⋅

+= = 6

2

13

xx+

3.5 Derivadas de ordem superior

A derivada f ′ de uma função também é uma função e, como tal, a derivada de f ′

pode ser considerada. Assim, a função f ′ tem uma derivada em x ∈ D( f ′ ) se existe:

0lim→h

h

xfhxf )()( '' −+

Em outras palavras, é a derivada da derivada primeira. A nova função obtida dessa

maneira é chamada derivada segunda da função y = f(x). Procedendo de modo análogo, pode-

se considerar a derivada terceira, quarta, etc. Notações para essas derivadas no ponto x são :

y′′ (x), y′′′ x), y )4( (x), ... , y )(n (x) ou f ′′ (x), f ′′′ (x), f )4( (x), ..., f )(n x)

Exemplos

1) Determinar a derivada de ordem três da função y = f(x) = x23 . Qual é o seu

domínio?

Solução

y′ = 31

32 −

x

y′′ = (–31 ) (

32 ) 3

4−

x = (92− ) 3

4−

x

y′′′ = ( 34− ) (

92− ) 3

7−

x = 278 3

7−

x

As funções y′ , y′′ e y′′′ têm como domínio o conjunto de todos os números

reais exceto x = 0. O domínio da função y = f(x) = x23 é R.


Edson de Oliveira

56

2) Uma certa espécie de tartaruga está ameaçada de extinção em virtude de

comerciantes estarem vendendo seus ovos como afrodisíaco. Após serem

tomadas várias medidas de preservação espera-se que a população de tartarugas

aumente de acordo com a regra N(t) = 2t3 + 3t2 – 4t + 1000, 0 ≤ t ≤ 10,

onde N(t) representa o tamanho da população ao final do ano t. A que razão

estará aumentando a taxa de crescimento da população de tartarugas ao final do

terceiro ano?

Solução Deve-se calcular N ′′ (3). Tem-se:

N ′ (t) = 6t2 + 6t – 4, N ′′ (t) = 12t + 6, N ′′ (3) = 42

Logo, a taxa de crescimento da população de tartarugas estará aumentando à razão de

42 tartarugas/ano/ano.


1. A massa M do oxigênio contido em um tanque varia com o tempo t conforme a

expressão M = 30 – 4t, M em quilogramas e t em horas. Qual é a taxa de variação da massa

em relação ao tempo?

2. O volume de um cone circular reto de raio da base 0,6m depende da altura h.

a) Determinar V em função de h.

b) Determinar a taxa de variação de V em relação a h.

3. Uma caixa de água recebe água à razão de 12 l/min e, ao mesmo tempo há um escoamento

de água à razão constante de 5 l/min. Num dado instante, o volume de água contido na

caixa é 300 l.

a) Qual é o volume de água na caixa t minutos após esse instante?

b) Em quantos litros por minuto está aumentando o volume da caixa?

4. Dada a função y = 3x2 , calcular a taxa de variação média de f(x) entre x1 = 1 e x2 = 3.

5. Um corpo em queda livre, a partir do repouso, percorre em metros a distância D, que varia

com o tempo, em segundos, conforme a fórmula D = 6t2.

a) Qual é a taxa de variação média de D entre os instantes t1 = 2 e t2 = 7?

b) Qual é a taxa de variação de D em relação a t no instante t = 2?


Edson de Oliveira

57

6. Dada a função f(x) = 31 x3 –

25 x2 + 6x + 8.

a) Calcular f ′ (x)

b) Determinar o valor de x para que se tenha f ′ (x) = 0.

7. Um móvel se desloca obedecendo a função horária s = 4t2 + 12t + 25, onde s é dado em

quilômetros e t em horas. Determinar a sua velocidade no instante t = 4.

8. Ao adicionar um bactericida a um meio nutritivo em que havia bactérias crescendo, a

população de bactérias continuou a crescer, mas em seguida, começou a decrescer. O

tamanho da população no instante t, em horas, era dado por P = 105 + 103t – 102t2.

Determinar a taxa de decrescimento da população nos instantes:

a) t = 0 b) t = 4 c) t = 10

9. O volume V = 34π r3 de um balão de forma esférica varia de acordo com o seu raio,

medido em centímetros. Qual é a taxa de variação do volume em relação ao raio quando

r = 40 cm? 10. O numero de galões de água em um tanque, t minutos após o início de seu esvaziamento, é

dado por q(t) = 30( 40 – t )2. A que taxa a água escoará ao final de 15 minutos? 11. A lei de Boyle diz que, a uma temperatura constante, a pressão P e o volume V de um gás

confinado varia segundo a fórmula P = VC , onde C é uma constante. Se, para um

determinado gás, C = 180 e o volume V está aumentando, determinar a taxa de variação

de P em relação a V para um volume V = 15.

12. A lei de Charles para os gases afirma que, a uma pressão constante, o volume V ocupado

por um gás a uma temperatura T, em graus Celsius, é dado pela fórmula V = C ( 1 +

2731 T), C constante. Determinar a taxa de variação de T em relação a V.

13. O volume V de água em um reservatório durante o degelo da primavera é dado pela

fórmula V = 5000( 1 + t)2, onde 0 ≤ t ≤ 3, V medido em m3 e t em meses. A taxa de

variação do volume em relação a t é chamada taxa de fluxo para o reservatório.

a) Obter a taxa de fluxo no instante t = 1,5.

b) Qual é a taxa de fluxo quando o volume é 11250m ?


Edson de Oliveira

58

14. Um determinado tipo de peixe tem seu peso W relacionado com o seu comprimento

através da fórmula W = 10,375 L3, em que W é medido em quilogramas e L em metros.

A taxa de crescimento do comprimento é dtdL = 0,36 – 0,18 L, onde o tempo é medido

em anos. Estimar a taxa de crescimento de um peixe que pesa 20 kg.

15. Quando um prato de metal, de forma circular, é aquecido em um forno, seu raio aumenta a

uma taxa de 0,0125cm/min. A que taxa a área do prato aumenta quando o seu raio é de

40cm?

16. Se um gás for mantido em um cilindro a uma temperatura constante T, a pressão e o

volume estarão relacionados pela fórmula:

P = 2

2

Vbk

kaVkRT

−−

onde k, a, b e R são constantes. Obter dVdP .

17. A posição de uma partícula que se desloca ao longo de uma reta é dada por s = t41+ ,

com s em metros e t em segundos. Determinar a velocidade e a aceleração da partícula no

instante t = 6 segundos.

18. Se um raio de luz de intensidade k é projetado verticalmente para baixo na água, então sua

intensidade I(x) à profundidade de x metros é I(x) = k e-1,4x . A que taxa de intensidade

está variando em relação à profundidade a 3 metros?

19. Um objeto move-se ao longo de uma reta segundo a equação s = 34 2 +t , t ≥ 0. Para

que valores de t sua velocidade é 1m/s?

20. Uma proteína de massa m se decompõe em aminoácidos segundo a fórmula m(t) =

324+t

, onde t é medido em horas.

a) Determinar a taxa de variação média no intervalo [1, 2].

b) Qual é a taxa de variação no instante t = 3 ?

21. Quando um corpo é envolvido por um líquido gelado de temperatura constante K, a

temperatura T do corpo decresce segundo a lei T = K + C e-at, onde K, C e a são

constantes positivas e t o tempo. Obter a taxa de crescimento de T.

22. Partindo de uma quantidade inicial de 60mg, a quantidade de radio existente após t anos é

dada por q = 60 e-0,0004t. A que taxa estará decrescendo o radio daqui a 100 anos?


Edson de Oliveira

59

23. O crescimento do número de bactérias, numa certa cultura, varia com o tempo de

acordo com a lei f(t) = 1500 e0,04t, onde t é medido em horas. A que velocidade está

crescendo o número de bactérias no instante t = 6?

24. Um barco ancorado no mar está indo para cima e para baixo. A distância vertical y, em

pés, entre o fundo do mar e o barco é dada pela função do tempo t, onde t é medido em

minutos, por y = 15 + sen(2π t). Achar a velocidade vertical v do barco no instante t

= 5.

25. Uma partícula se desloca ao longo do eixo x de modo que, no instante t ≥ 0, a sua posição

é dada por s = sen (t2 + 1), s medido em metros e t em segundos. Determinar a velocidade

da partícula nos instante t = 3s.

26. Um biólogo constatou que o crescimento da população de drosófilas com um suprimento

limitado de alimentos poderia ser aproximado pelo modelo exponencial N(t) =

te 16,0391400

−+, onde t denota o número de dias transcorridos desde o começo do

experimento. Qual é a velocidade da variação dessa população no vigésimo dia?

27. Derivação implícita Uma equação f(x, y) = 0, em geral, define y implicitamente como

função de x em algum intervalo. Por exemplo, a equação x y = 2, com x ≠ 0, define a

função y = x2 . A derivada dessa função é y′ = 2

2x− . Uma outra maneira de se obter

essa derivada é pensar em y como função de x na equação x y = 2, derivar ambos os

lados da equação com relação a x e resolver a relação obtida, explicitando y′ . Assim:

x y = 2 ⇒ x′ y + x y′ = 2′ ⇒ y + x y′ = 0 ⇒ x y′ = –y ⇒ y′ = xy−

Para conferir esse resultado como obtido pela derivação direta, lembre que y =x2 .

Daí, y′ = 2

2x− .

Como um outro exemplo, encontrar-se-á y′ se xy – 2x – 3y – 2 = 0. Derivando

ambos os membros em relação a x, tem-se y + x y′ – 2 – 3 y′ = 0 . Explicitando o valor de

y′ , vem:

x y′ – 3 y′ = 2 – y ⇒ (x – 3) y′ = 2 – y

isto é, y’ = 3

2−−

xy , x ≠ 3.


Edson de Oliveira

60

28. Calcular y′ se: a) x2 – y2 – x = 1 b) 2x2 + 3x + y2 = 12

29. A área total da superfície de um paralelepípedo retangular com base quadrada de lado

y e altura x é dado por S = 2y2 + 4xy. Se S é constante, calcular dxdy sem explicitar y.

30. A área total de da superfície de um cilindro circular reto de raio r e altura h é dada por

S = 2π r2 + 2π rh. Se S é constante, obter dhdr .

31. No decorrer de uma experiência em um laboratório, derrama-se um líquido sobre uma

lâmina que toma a forma circular cujo raio r aumenta a uma taxa constante de 1,6 m/s.

Qual será a taxa de crescimento da área ocupada pelo líquido quando r = 4m ?

32. O volume de um cubo aumenta a uma taxa de 1200 cm3/min no instante em que suas

arestas têm 20cm de comprimento. A que taxa as arestas variam nesse momento?

33. A área de um triângulo eqüilátero decresce à razão de 4 cm2/min. Determine a taxa na

qual o comprimento do lado está variando quando a área do triângulo é 200 cm2.

34. Esboçar os gráficos das seguintes funções:

a) y = x3 – 3x2 + 3 b) y = 16x2 + 50x + 5 c) y = –x3 + 4x + 6

35. Funções marginais Em Economia e Administração a variação de uma quantidade em

relação a outra pode ser descrita por um conceito médio ou marginal. Se C(x) é a função

custo de produção de x unidades o custo médio mC de produção de uma mercadoria

define-se por xxCCm)(

= . O custo marginal )(xCM é a derivada de C(x), ou seja,

)(xCM = )(' xC . De maneira análoga, se R(x) representa a função receita de vendas de de

x unidades de um produto definem-se xxRRm)(

= (receita média) e )(xRM =

)(' xR (receita marginal).

Considere a função custo total C(x) = x

x 504015 ++ , em reais, na produção de de x

molduras, para 0≥x . Encontre:

a) A função custo marginal;

b) A função custo marginal quando ;50=x

c) O custo para produzir a quadragésima primeira moldura.


Edson de Oliveira

61

Solução

a) )(xCM = )(' xC = 2

5040x

− ;

b) )50(CM = 39,98 reais

c) O valor em reais da produção da .41a moldura é:

=− )40()41( CC 39,97 reais

Observe que as respostas de (b) e (c) diferem de 0,01. Este valor ínfimo ocorre visto

que, sendo )(xCM = )(' xC =h

xChxCh

)()(lim0

−+→

, então )(xCM ≅ h

xChxC )()( −+ para h

pequeno. Desta forma, para h = 1 tem-se )(xCM ≅ ).()1( xCxC −+ Portanto, o custo

marginal é aproximadamente igual à variação do custo ao se produzir uma unidade adicioanal

a partir de x unidades. Daí:

).40()41()40()140()41( CCCCCM −=−+≅

36. O valor em reais do custo total da produção de x unidades de uma certa mercadoria é

xxxC 29340)( ++= . Ache:

a) O custo marginal quando 72 unidades são produzidas;

b) O número de unidades produzidas quando o custo marginal é R$ 5,25.

37. Suponha que um líquido é produzido por um certo processo químico e a função custo, em

reais, de x litros do líquido dada por xxC 46)( += . Determine:

a) o custo marginal quando 18 litros são produzidos;

b) O número de litros produzidos quando o custo marginal é 80 centavos o litro.

38. Dada a função receita xxxR 9902)( 2 +−= obtenha:

a) A receita marginal quando ;50=x

b) A receita média.

39. Obtenha a receita marginal e a receita média:

a) xxR 8)( = b) xxxR 5002)( 2 +−=

40. Regra de L’Hôpital Certos limites cujos valores não são evidentes podem ser obtidos

usando a derivada, de acordo com uma regra especial denominada Regra de L’Hôpital,

que é a seguinte:


Edson de Oliveira

62

Se =→

)(lim0

xfxx

0)(lim0

=→

xgxx

a expressão )()(

xgxf denomina-se forma indeterminada

00 e

se )()(lim

0 xgxf

xx→ existe então:

)()(lim

0 xgxf

xx→ =

)(')('lim

0 xgxf

xx→

Por exemplo, calcule o limite x

e x

x

1lim2

0

−→

.

O limite rtem a forma indeterminada da forma 00 . Assim:

x

e x

x

1lim2

0

−→

= 1

2lim2

0

x

x

e→

= 2.

Calcule os limites:

a) 20

cos1limx

xx

π−→

b) x

xsenx 0lim→

c) x

e x

x

1lim0

−→

d) 2

2

0

1coslimxx

x

−→

e) )1ln(

lim0 +

− −

→ xee xx

x f)

xx

x 2cos1lim

2

0 −→

41. Calcule as derivadas das seguintes funções:

a) xsenxf 7)( = b) xxxf cos6)( = c) xsenxxxf 2)( −=

d) xsen

xxf−

=1

cos)( e) xxf sec)( = f) xxf seccos)( =

g) xgxf cot)( = h) xtgxxxxf 32 sec4)( −= i) 32)(

−−

=xxxf

j) 27ln5)( +−= xxxf k) xxxf ln)( 2= l) xexf x ln)( =

m) 53

75)(xx

xf −= n) 3 2)( xxf = o) 53

2)( xxxf −=

42. Calcule as derivadas das seguintes funções:

a) 4)53()( −= xxf b) 32 )23()( +−= xxxf c) 2

)( xexf =

d) )34ln()( 2 +−= xxxf e) 132 2

)( +−= xxexf f) 2

2)( 3 xxexf +=


Edson de Oliveira

63

g) 374)( 23 +−−= xxxxf h) )4cos()()( 2 xxsenxf = i) xexxf ln)( =

k) 3 942)( +++= xxxf l) )2()( 32 += xsenxxf m) )(ln)( xsenxf =

n) )57(ln)( −= xxf o) ( )43

2 3)( −= xxf p) )3()( xtgxf = 43. Calcule as derivadas das seguintes funções:

a) )53()( −= xarcsenxf b) )3

arccos()( xxf = c) )1()( 2 −= xarctgxf

44. Dada a função 1)47()( 2

2

++

=xxxf obtenha: a) )0('f ; b) )1('f .

45. Dada a função xxsenxf

2cos3)( = obtenha )

6(' πf .

46. Dada a função 3 25ln)( += xxf obtenha )2('f .

47. Obtenha a derivada terceira das seguintes funções:

a) xsenxf 3)( = b) xx eexf −+=)( c) a) xxsenxf 2cos2)( +=

48. Obtenha a equação da reta tangente ao gráfico de f nos pontos de abscissas indicadas.

a) 3)( xxf = , 1−=x b) 3

)( xexf = , 1=x

49. Determine o coeficiente angular da reta tangente ao gráfico de 1543 34 +=−+ xxyy no ponto P(1, –2).

50. Calcule ''y no ponto em que x = 0 e y = 1 dado 1543 34 +=−+ xxyy .

51. Se xxy 45 3 += calcule 'y , ''y e '''y .


1. -4 kg/h 2. a) 0,12π h b) 0,12π m3/m 3. a) V = 300 + 7t b) 7 l/min

4. 12 5. a) 54m/s b) 24m/s 6. a) x2 – 5x + 6 b) x = 2 ou x = 3

7. 44m/s 8. a) 103 bactérias/h b) 2 . 102 bactérias/h c) –103 bactérias/h

9. 6400π cm3/min 10. –1500 galões/min 11. –0,8 12.C

273

13. a) 25000m3/mês b) 15000m3/mês 14. 6,55 m/ano 15. π cm/min

16. 2)( kaVkRT−

− + 3

22Vbk 17. a) v = 0,4m/s b) a = –

1254 m/s2


Edson de Oliveira

64

18. –0,021k u.i./m 19. 0,5 s 20. a) – 65

u.m./h b) –32 u.m./h

21. –aC e-at 22. –0,023 mg/ano23. 76 bactérias/h 24. 2π pés/min

25. –5,03 m/s 26. 15 diosófilas/dia 28. a) 2 1, 02x y

y−

≠ b) 0,2

34≠

−− yy

x

29. yx

y+− xy −≠ 30.

dhdr =

hrr+−

2 31. 12,8 πm2/s

32. 1 cm/min 33. –0,2149 cm/min 36. a) R$ 3,75 b) 8

37. a) R$ 0,47 b) 6,25 litros 38. a) 790 b) 890

39. a) 8; 8 b) -4x + 500; –2x + 500 40. a) 2

2π b) 1 c) 1 d) 0 e) 2 f) 21

41. a) 7 cos x b) 6 cos x – 6 x sen x c) 1 – 2x sen x – x2 cos x

d) xsen−1

1 e) sec x tg x f) –cossec x cotg x g)–cossec2x

h) 8 sec x – 4 x2 sec x tg x – 3 x2 tg x – x3sec x i) 2)3(1

−−

x j) 75

−x

k) x (2 ln x – 1)

l) ex ln x + x

e x

m) 64

3515xx

+− n)

3

2x

o) 3531

xx− 42. a) 3)53(12 −x

b) )23)(32(3 2 +−− xxx c) 2

2 xex d) 34

)2(22 +−

−xx

x e) 132 2

)34( +−− xxex f) xe x 23 3 +

g) 2ln23 13 2

xe xx ++ i) )4()(4)4(cos)cos(2 22 xsenxsenxxx − j) xex

xxx ln2ln1−

k) 3 2)94(3

422

1+

++ xx

l) )2cos(3)2(2 343 +++ xxxsenxx m) cotg x n) 57

7−x

o) 4 2 34

3−x

p) 3 sec2(3x) 43. a) 24309

32 −+− xx

b) 29

1x−

− c) 22

224 +− xx

x

44. a) 56 b) 233 45. 34 46.

365 47. a) – 27 cos 3x b) ex – e-x

c) – 8 cos 2x + 8 sen 2x 48. a) y = 3x + 2 b) y = 3 e x + e – 3 49. 2917−

50. 343300)1,0('';

)34()512(12)24()34(

33

22223 −=

++−+ y

yxyxy

51. x

xy 215' 2 += ; 3

230''x

xy −= ; 52

330'''x

xy +=


Edson de Oliveira

65

Capítulo 4

Aplicações das Derivadas

Neste capítulo desenvolvem-se diversas aplicações cujas ferramentas básicas são as

derivadas. Utiliza-se a derivada primeira e segunda para analisar funções e seus gráficos.

Incluem-se também, técnicas para modelagem e resolução de problemas de otimização, ou

seja, problemas nos quais intervém a procura de máximos ou de mínimos. Por exemplo, ao se

aplicar uma droga a um paciente, busca-se maximizar seu potencial de ação e, ao mesmo

tempo, minimizar possíveis efeitos colaterais. Quando uma epidemia está em curso, as

autoridades tratam de otimizar uma estratégia para detê-la o mais rapidamente possível.

4.1 Crescimento e decrescimento

Verifica-se a seguir como o crescimento e o decrescimento de funções se vincula com

o conceito de derivadas.

Dada uma função y = f(x) derivável em um intervalo J = ]a, b[ tem-se:

• Se y = f(x) admite derivada positiva em todos os pontos de J então, nesses pontos,

a declividade é positiva, isto é, f ′ (x) > 0 e, portanto, a função é crescente.

• Se y = f(x) admite derivada negativa em todos os pontos de J então, nesses pontos,

a declividade é negativa, isto é, f ′ (x) < 0 e, portanto, a função é decrescente.

Figura 26. O sinal da derivada primeira de uma função

informa como a curva sobe ou desce


Edson de Oliveira

66

Exemplos

1) Determinar os intervalos onde f(x) = x2 é crescente e onde é decrescente.

Solução A derivada de f(x) = x2 é f ′ (x) = 2x.

Desde que f ′ (x) = 2x > 0, se x > 0 , e f ′ (x) = 2x < 0, se x < 0, então:

• f é crescente no intervalo ]0, +∞ [

• é decrescente no intervalo ] – ∞ ,0[.

Figura 27. A curva representativa de y = x2 decresce em ] –∞ ,0[

e cresce em ]0, +∞ [

2) O preço de uma certa ação na Bolsa de Valores, em função do tempo t decorrido

após a sua compra por um investidor é dado por:

y = p(t) = 1)4(

1602 ++ t

t , 0≥t

(t em anos, p(t) em reais). Determine os intervalos onde o preço da ação está

aumentando e onde está diminuindo.

Solução

Tem-se:

y′ = 4

2

)4()4(2).160()4(160

tttt

++−+ = 4)4(

)4)(4(160t

tt+

−+ = 3)4()4(160

tt

+−

Daí, conclui-se que, no domínio de p(t), isto é, para t ≥ 2:

y′ > 0 se 0 ≤ t < 4 e y′ < 0 se t > 4

Assim, o preço cresce no intervalo [0, 4[ e decresce no intervalo ]4, +∞ [.

4.2 Encontrando extremos relativos Além de ser útil na determinação dos intervalos onde uma função é crescente ou

decrescente, a primeira derivada também é útil na localização de certos pontos do gráfico

onde a função atinge valores mais altos ou mais baixos que os correspondentes de pontos


Edson de Oliveira

67

localizados em sua proximidade. Os pontos onde localmente a função atinge valores mais

altos, são chamados pontos de máximos relativos e os pontos onde a função atinge valores

mais baixos denominam-se pontos de mínimos relativos.

A figura abaixo mostra alguns pontos com essas propriedades.

Figura 28. Existência de extremos relativos (i) e (ii) e ausência de extremos relativos (iii)

• No caso (i), f(x) atinge um valor máximo em x1 e, assim, x1 é um ponto de

máximo relativo.

• No caso (ii), f(x) atinge um valor mínimo em x2 e, assim, x2 é um ponto de

mínimo relativo.

• No caso (iii), a tangente atravessa o gráfico e o ponto x3 não é nem ponto de

máximo nem de mínimo relativo.

Como primeiro passo na procura de extremos relativos de uma função, considere uma

função y = f(x) derivável em um intervalo ]a, b[ que contém o ponto x = c, no qual f tem um

mínimo relativo.

Figura 29. Retas tangentes mostrando o sinal da derivada nas

proximidades de um ponto de mínimo relativo


Edson de Oliveira

68

Observe que a inclinação da reta tangente ao gráfico de f deve mudar de negativa

para positiva quando é passada do lado esquerdo para o lado direito de x = c e, assim, no

ponto x = c, a reta tangente deve ser horizontal e, conseqüentemente, f ′ (c) = 0.

De modo semelhante, se f tem um ponto de máximo em x = c, então f ′ (c) = 0.

Esta análise fornece uma característica importante dos extremos relativos de uma

função derivável.

Em todo ponto x = c em que f tem um extremo relativo, deve-se ter f ′ (c) = 0.

Observe que, se x é um ponto que satisfaz a condição f ′ (c) = 0, não necessariamente

f tem um extremo relativo nesse ponto.

Por exemplo, a função y = x3 tem derivada y′ = 3x2 e f ′ (0) = 0. No entanto, f não

tem extremo relativo em x = 0.

Figura 30. A função y = x3 é derivável quando x = 0 mas não possui

um extremo nesse ponto

Considere a função y = f(x) = |x|. Ela não é derivável no ponto x = 0, porém, a função

possui um mínimo relativo nesse ponto.

Referiu-se a um ponto x ∈ D(f) que possa ser um extremo relativo como um ponto

crítico, isto é:

Um ponto crítico de uma função é qualquer x ∈D(f) tal que f ′ (x) = 0 ou f ′ (x) não

existe.

A Figura 31 apresenta o gráfico de uma função que possui pontos críticos em

x = x1, x2, x3 e x4. Observe que f ′ (x1) = f ′ (x2) = f ′ (x3) = 0 e f ′ (x4) não existe. Além

disso f tem um máximo relativo em x1 e x4 e um mínimo relativo em x3 ; o ponto x2 não dá

origem a extremo relativo.


Edson de Oliveira

69

Figura 31. Algumas possibilidades para pontos críticos de uma função contínua

4.3 Concavidade

O crescimento da bactéria E. Coli em uma cultura pode ser representado pela

equação:

y = f(t) = 100 + 90t – 9t2, 0 ≤ t ≤ 10

t expresso em dias e y = f(t) mede o volume de microorganismos no instante t.

Tem-se f ′ (t) = 90 – 18t. Daí f ′ (t) = 0 se t = 5. O gráfico de f(t) está esboçado a

seguir.

Figura 32. O gráfico da função f(t) = 100 + 90t – 9t2 é côncavo para baixo

Analisando as taxas de variação de f(t) para t nas proximidades de t = 5, desde que a

inclinação da reta tangente ao gráfico mede a taxa de variação neste ponto conclui-se que:

• À esquerda de t = 5, quando t aumenta, a taxa de variação do número de

microorganismos diminui;

• À direita de t = 5, quando t aumenta, a taxa de variação do número de

microorganismos aumenta.

Observe que o gráfico da curva se situa sempre abaixo de suas retas tangentes. Neste

caso, diz-se que ela é côncava para baixo.


Edson de Oliveira

70

No caso em que a curva se situa sempre acima de suas retas tangentes, diz-se que ela

é côncava para cima. Dessa maneira, pode-se caracterizar a concavidade de uma curva do

seguinte modo. Seja f derivável no intervalo ]a, b[. Então:

• f é côncava para cima em ]a, b[ se f ′ é crescente em ]a, b[;

• f é côncava para baixo em ]a, b[ se f ′ é decrescente em ]a, b[.

Se uma função f tem derivada segunda pode-se utilizá-la para determinar os

intervalos de concavidade da função. Lembre que f ′′ (x) mede a taxa de variação da

inclinação f ′ (x) da reta tangente ao gráfico de f no ponto (x , f(x)). Logo, se f ′′ (x) > 0 em

um intervalo ]a, b[, então as inclinações das retas tangentes ao gráfico de f são crescentes

em ]a, b[ e daí f é côncava para cima em ]a, b[.

Analogamente, se f ′ (x) < 0 em ]a, b[, então f é côncava para baixo em ]a, b[. Isso

pode ser resumido no seguinte:

• se f ′′ (x) > 0 para todo x ∈ ]a, b[, então f é côncava para cima em ]a, b[;

• se f ′′ (x) < 0 para todo x ∈ ]a, b[, então f é côncava para baixo em ]a, b[.

Pode ocorrer que o valor da derivada f ′′ (x) passe, por exemplo, de decrescente em

um intervalo ]a, c[ para crescente em um intervalo adjacente ]c, b[, como na Figura 33. Neste

caso, diz-se que em x = c a função f possui um ponto de inflexão.

Figura 33. Ponto de inflexão

Assim :

Em um ponto de inflexão, tem-se f ′′ (x) = 0 e f ′′ muda de sinal.

4.4 – Teste da derivada segunda

Será visto a seguir como a derivada segunda f ′′de uma função f pode ser usada para

determinar se um ponto crítico é um extremo de f.


Edson de Oliveira

71

Figura 34. A concavidade do gráfico informa sobre máximos e mínimos relativos

A função f, cujo gráfico está esboçado na Figura 34, tem um máximo relativo em x =

x1. Observe que o gráfico de f é côncavo para baixo nas proximidades deste ponto.

A função f tem um mínimo relativo em x = x2 e a sua concavidade nas proximidades

deste ponto é para cima.

Conforme se viu anteriormente, uma função é côncava para baixo num ponto x =

c se f ′′ (c) < 0 e é côncava para cima se f ′′ (c) > 0. Isso nos leva a enunciar o seguinte

resultado, conhecido como o teste da derivada segunda.

Teste da derivada segunda Uma função y = f(x) atinge um valor máximo em x =

c se f ′′ (c) < 0 e atinge um valor mínimo em x = c se f ′′ (c) > 0.

Exemplo

Um estudo de eficiência conduzido por uma indústria fabricante de aferidores de

pressão mostrou que o número de unidades montadas por um trabalhador médio, t horas após

começar o seu serviço às 7 horas da manhã, é dado por:

N(t) = – t3 + 5t2 + 13 t, 0 ≤ t ≤ 5

A que horas durante o turno da manhã o desempenho do trabalhador médio está no

pico de sua eficiência ?

Solução Calculando N ′ (t) e igualando a zero:

N ′ (t) = –3t2 + 10t + 13 = 0 ⇒ t = 133

( ponto crítico)

Calculando N ′′ (t), tem-se N ′′ (t) = – 6t + 10.

Como N ′′ (133

) = –16 < 0 no ponto crítico, tem-se um máximo. Logo, o pico da

eficiência ocorre 4h 20min após o início de seu horário de trabalho, ou seja, às 11h 20min.


Edson de Oliveira

72

4.5 Esboço do gráfico de uma função

Os conhecimentos anteriores acerca de pontos críticos (extremos e pontos de

inflexão) são ferramentas muito úteis para o traçado de gráficos. Embora hoje em dia a

maioria dos gráficos sejam traçados com o auxílio do computador, o esboço de gráficos é

muito útil como forma de solidificar o entendimento dos conceitos básicos do presente

capítulo. Para o traçado do gráfico de uma função y = f(x) pode-se adotar os seguintes

procedimentos.

1) Se existir a derivada primeira f ′ (x), identificar os pontos x tais que f ′ (x) = 0.

Nos intervalos em que f ′ (x) > 0, tem-se que f(x) é estritamente crescente; onde

f ′ (x) < 0, tem-se que f(x) é estritamente decrescente.

2) Se existir a derivada segunda f ′′ (x), identifica-se os pontos em que f ′′ (x) = 0.

Nos intervalos em que f ′′ (x) > 0, a concavidade do gráfico de y = f(x) está

voltada para cima; onde f ′′ (x) < 0, a concavidade do gráfico de y = f(x) está

voltada para baixo. Nos pontos de abscissas x em que f ′′ (x) = 0, se a função

y = f ′′ (x) mudar de sinal, tem-se um ponto de inflexão.

Pelo teste da derivada segunda, se f ′ (x) = 0 e f ′′ (x) > 0, então (x, f(x)) é um

ponto de mínimo relativo; se f ′ (x) = 0 e f ′′ (x) < 0, então (x, f(x)) é um ponto de

máximo relativo.

3) Calcula-se f(x) nos pontos críticos e nos pontos de inflexão.

Exemplo

Esboçar o gráfico de y = f(x) = x3 – 12x – 20.

Solução Calcula-se f ′ (x) e iguala-se a zero:

f ′ (x) = 3x2 – 12 = 0 ⇒ x = 2 ou x = – 2 ( pontos críticos)

Esboçando o gráfico de f ′ (x) = 3x2 – 12 tem-se:

Figura 35. Gráfico da derivada f ′ (x) = 3x2 – 12 da função y = x3 – 12x – 20


Edson de Oliveira

73

Portanto:

• f ′ (x) > 0 se x < –2 ou x > 2. Logo, no intervalo ] –∞ ,–2[ ou ]2, ∞ [ a função é

crescente.

• f ′ (x) < 0 se -2 < x < 2. Logo, no intervalo ] –2,2[ a função é decrescente.

Calcula-se f ′′ (x):

f ′′ (x) = 0 ⇒ 6x = 0 ⇒ x = 0

Tem-se que f ′′ (x) < 0 se x < 0 e f ′′ (x) > 0 se x > 0. Logo, o gráfico de f tem a

concavidade voltada para baixo se x < 0 e tem a concavidade voltada para cima se x > 0.

Como f ′′ muda de sinal no ponto x = 0, tem-se que x = 0 é um ponto de inflexão.

Nos pontos críticos, tem-se:

f ′′ (2) = 12 > 0; então x = 2 corresponde a um ponto de mínimo relativo.

f ′′ (–2) = –12 < 0; então x = –2 corresponde a um ponto de máximo relativo.

Calculando f(x) :

i) nos pontos críticos: f(2) = –36 e f(–2) = –4

ii) no ponto de inflexão, f(0) = –20

Um esboço do gráfico de f(x) está a seguir.

Figura 36. Gráfico da função y = f(x) = x3 – 12x – 20

4.5.1 Observação

Muitas vezes pode ocorrer que, ao tender x para 0x , o valor )(xf de uma função

aumente indefinidamente, ou decresça indefinidamente. É o caso da função x

xf 1)( = nas

proximidades de 0=x . Esses casos conduzem a limites que envolvam infinito, que serão

tratados no capítulo 5.


Edson de Oliveira

74

4.6 Problemas de otimização

São muito usuais problemas práticos modelados por meio de alguma função y =

f(x), para os quais se deve determinar em que condições a variável x assume o valor

máximo ou o valor mínimo. Observe alguns exemplos.

1) Custo mínimo de uma construção Deseja-se construir na Universidade uma

sala destinada a exames e testes, com pé direito 3 m e uma área interna igual a

60 m2. A sala deverá ser retangular, com três paredes revestidas com azulejos

brancos e a última consistindo em uma divisória de vidro. O custo do metro

quadrado da divisória é 3 vezes o custo da parede azulejada e o custo desta é 200

reais o metro quadrado.

Obter as dimensões da sala de modo a minimizar o custo da construção.

Solução Seja x o comprimento da divisória de vidro (e da parede oposta), y o

comprimento de cada parede lateral em metros.

A área da superfície azulejada é 3x + 6y e, portanto, o seu custo é 200 (3x + 6y). Por

outro lado, sendo 3 . 200 = 600 reais o custo do m2 da divisória de vidro, seu custo será

600. 3. x = 1800x. Assim, o custo total da sala será dado por:

C = 200(3x + 6y) + 1800x = 2400x + 1200y

Como a área interna vale x . y = 60, tem-se que y = x

60 de onde segue que:

C = 2400x + 1200 x

60 = 2400x + x

72000

Determina-se os pontos críticos, ou seja, os valores para os quais C′= 0. Então:

C′ = 0 ⇒ 2400 – 2

72000x

= 0 ⇒ x2 = 2400

72000 ⇒ x = 30

A raiz negativa deve ser descartada, pois x > 0 ( x é medida de lado).

Calculando a derivada segunda da função C(x), vem que C′′ = 3

144000x

, de onde

segue que C′′ ( 30 ) > 0.


Edson de Oliveira

75

Assim, x = 30 trata-se de um ponto de mínimo relativo. Agora, x = 30

implica y =306 .

Portanto, as dimensões da sala que minimizam o custo são 30 m e 306 m.

2) Minimização de distâncias Um navio A está a 65 km a leste do navio B e está

viajando para o sul a 15 km/h, enquanto o navio B está indo para o leste a uma velocidade de

10 km/h. Se os navios continuam seus cursos respectivos determinar a menor distância entre

eles e quando isto irá ocorrer.

Solução

Depois de t horas, A percorre 15t km e B percorre 10t km.

Figura 32. Desenho para a minimização de distâncias

Assim, do Teorema de Pitágoras decorre:

222 )15()1065( ttd +−=

Seja 2du = ; então:

22 225)1065( ttu +−= ⇒ ttu 450)10).(1065(2' +−−= = 1300650 −t

0'=u ⇒ t = 2

0650'' >=u ⇒ t = 2 é ponto de mínimo. Logo, quando t = 2 tem-se:

=2d 13152925 =⇒ d km

Por conseguinte, os navios estarão mais próximos um do outro 2 horas após e a uma

distância de 1315 km.

3) Caixa de volume máximo Quadrados são cortados de uma placa de papelão

retangular medindo 16 cm de largura por 30 cm de comprimento, e uma caixa sem tampa é

construída virando os lados para cima (Figura 33). Determinar o comprimento x dos lados dos

quadrados que devem ser cortados para a produção de uma caixa de volume máximo.


Edson de Oliveira

76

Solução

Denota-se o volume da caixa sem tampa por V. De acordo com a Figura 33 vê-se que

a altura da caixa é de x centímetros, a largura é 16 – 2x centímetros e o comprimento 30 – 2x

centímetros.

Figura 33 – Caixa sem tampa recortando-se os cantos

Desta maneira:

xxxxxxV 480924)230()216( 23 +−=−−= , 40 ≤≤ x

Daí:

48018412' 2 +−= xxV

As soluções de 0'=V são 3

10=x e x = 12; desde que a função V possui somente um

ponto crítico 3

10=x no intervalo ]0, 4[, o máximo absoluto desejado para o volume V é o

maior de seus valores quando x = 0, 3

10=x ou x = 4. Por conseguinte o volume máximo é

aproximadamente 725,93 cm3, obtido cortando-se quadrados cujos lados medem 3

10=x cm.

4) Projetando uma lata de estanho Solicitou-se para projetar uma lata de estanho

com a forma de cilindro reto (sem tampa) com 8 cm3 de volume. Que dimensões exigirão

menos material?

Solução

Seja h a altura da lata cilíndrica e r o raio da base circular. Então:

hr 28 π= ou 2

8r

hπ

=

A área da superfície lateral é hrπ2 e a área da base é 2rπ . Portanto, a área total da

lata S solicitada é dada por:


Edson de Oliveira

77

=S hrπ2 + 2rπ = ⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛2

82r

rπ

π + 2rπ = 216 rr

π+ , r > 0

Daí:

rr

S π216' 2 +−= para r > 0

A solução de 0'=S é 38π

=r ; logo, 38π

=r é o único ponto crítico para S. Visto

que:

π232'' 3 +=r

S

e, para 38π

=r , tem-se ''S = π6 > 0 então S atinge um mínimo absoluto quando 38π

=r cm

e 2

8r

hπ

= = 3

2π

cm.

5) Maximizando o lucro Uma questão fundamental para um produtor é a

maximização do lucro. O lucro )(xL é a diferença:

)()()( xCxRxL −=

onde )(xR é a receita total pela venda de uma quantidade x de bens e )(xC é o custo total para

a produzir a quantidade x.

Para achar os pontos críticos de L calcula-se as raízes da derivada:

)(')(')(' xCxRxL −= = 0

Assim:

)(')(' xCxR =

ou seja, as derivadas de )(xR e )(xC são iguais.

Portanto:

O máximo(ou mínimo) lucro ocorre quando o custo marginal é igual à receita

marginal.

Como exemplo, ache a quantidade que maximiza o lucro se a receita total e o custo

total são dados por 2003,05)( xxxR −= e xxC 1,1300)( += em que x é a quantidade e

10000 ≤≤ x unidades. Qual nível de produção dá o lucro mínimo?

Solução

A receita marginal é igual ao custo marginal se:


Edson de Oliveira

78

)(')(' xCxR = ⇒ 1,1006,05 =− x ⇒ 650006,09,3

==x

Desde que:

3009,3003,0)()()( 2 −+−=−= xxxCxRxL

Vem que 50,967)650( =L reais.

Analisa-se em seguida os extremos 0=x e 1000=x :

0=x ⇒ 300)0( −=L

1000=x ⇒ 600)1000( =L

Portanto, se obtém o lucro máximo quando RMCM = o que ocorre na produção de

650 unidades e o lucro mínimo (um prejuízo) ocorre quando 0=x e, neste caso, o único

custo é 300 reais (custo fixo) e não há receita visto que .0)0( =R

2) Concentração aquosa no corpo humano O maior constituinte do corpo

humano é a água, que é muito eficiente na dissolução de sais devido ao fato de

suas moléculas combinarem-se com íons, dando origem a íons hidratados. A

presença de íons de hidrogênio em uma solução aquosa ( H+ e OH- ) é tal que, a

uma temperatura constante de 250, tem-se:

[H+] . [OH-] = 10-14

Para que concentração de [H+], a soma [H+] + [OH-] é minima?

Solução Seja [H+] = x , [OH-] = y e S = x + y. Como x y = 10-14, então

tem-se y = x

1410−

. Assim:

S = x + x

1410−

e daí S ′ = 1 – 2

1410x

−

. Igualando essa derivada a zero, segue:

S ′ = 0 ⇒ 2

1410x

−

= 1 ⇒ x2 = 10-14 ⇒ x = 10-7

Calculando a derivada segunda da função S encontra-se S ′′ = 3

1410.2x

−

. Visto que

S ′′ (10-7) = 2 . 107 > 0 conclui-se que a soma é mínima para x = 10-7.

Portanto, [H+] + [OH-] é mínima quando a concentração [H+] = 10-7.


Edson de Oliveira

79


1. A massa M do oxigênio contido em um tanque varia com o tempo t conforme a

expressão M = 30 – 4t, M em quilogramas e t em horas. Qual é a taxa de variação da massa

em relação ao tempo?

2. O volume de um cone circular reto de raio da base 0,6m depende da altura h.

a) Determinar V em função de h.

b) Determinar a taxa de variação de V em relação a h.

3. Uma caixa de água recebe água à razão de 12 l/min e, ao mesmo tempo há um escoamento

de água à razão constante de 5 l/min. Num dado instante, o volume de água contido na

caixa é 300 l.

a) Qual é o volume de água na caixa t minutos após esse instante?

b) Em quantos litros por minuto está aumentando o volume da caixa?

4. Dada a função y = 3x2 , calcular a taxa de variação média de f(x) entre x1 = 1 e x2 = 3.

5. Um corpo em queda livre, a partir do repouso, percorre em metros a distância D, que varia

com o tempo, em segundos, conforme a fórmula D = 6t2.

a) Qual é a taxa de variação média de D entre os instantes t1 = 2 e t2 = 7?

b) Qual é a taxa de variação de D em relação a t no instante t = 2?

6. Dada a função f(x) = 31 x3 –

25 x2 + 6x + 8.

a) Calcular f ′ (x)

b) Determinar o valor de x para que se tenha f ′ (x) = 0.

7. Esboçar os gráficos das seguintes funções:

a) y = x3 – 3x2 + 3 b) y = 16x2 + 50x + 5 c) y = –x3 + 4x + 6

8. Um móvel se desloca obedecendo a função horária s = 4t2 + 12t + 25, onde s é dado em

quilômetros e t em horas. Determinar a sua velocidade no instante t = 4.

9. Ao adicionar um bactericida a um meio nutritivo em que havia bactérias crescendo, a

população de bactérias continuou a crescer, mas em seguida, começou a decrescer. O

tamanho da população no instante t, em horas, era dado por P = 105 + 103t – 102t2.

Determinar a taxa de decrescimento da população nos instantes:

a) t = 0 b) t = 4 c) t = 10


Edson de Oliveira

80

10. O volume V = 34π r3 de um balão de forma esférica varia de acordo com o seu raio,

medido em centímetros. Qual é a taxa de variação do volume em relação ao raio quando

r = 40cm?

11. O número de galões de água em um tanque, t minutos após o início de seu esvaziamento, é

dado por q(t) = 30( 40 – t )2. A que taxa a água escoará ao final de 15 minutos?

12. A lei de Boyle diz que, a uma temperatura constante, a pressão P e o volume V de um

gás confinado varia segundo a fórmula P = VC , onde C é uma constante. Se, para um

determinado gás, C = 180 e o volume V está aumentando, determinar a taxa de variação

de P em relação a V para um volume V = 15.

13. A lei de Charles para os gases afirma que, a uma pressão constante, o volume V ocupado

por um gás a uma temperatura T, em graus Celsius, é expresso através da fórmula

V = C ( 1 + 2731 T), C constante. Determinar a taxa de variação de T em relação a V.

14. O volume V de água em um reservatório durante o degelo da primavera é dado pela

fórmula V = 5000( 1 + t)2, onde 0 ≤ t ≤ 3, V medido em m3 e t em meses. A taxa de

variação do volume em relação a t é chamada taxa de fluxo para o reservatório.

a) Obter a taxa de fluxo no instante t = 1,5.

b) Qual é a taxa de fluxo quando o volume é 11250m ?

15. Um determinado tipo de peixe tem seu peso W relacionado com o seu comprimento

através da fórmula W = 10,375 L3, em que W é medido em quilogramas e L em metros.

A taxa de crescimento do comprimento é dtdL = 0,36 – 0,18 L, onde o tempo é medido

em anos. Estimar a taxa de crescimento do peso de um peixe de 20 kg.

16. Quando um prato de metal, de forma circular, é aquecido em um forno, seu raio aumenta

a uma taxa de 0,0125cm/min. A que taxa a área do prato aumenta quando o seu raio é de

40cm?

17. Se um gás for mantido em um cilindro a uma temperatura constante T, a pressão e o

volume estarão relacionados pela fórmula:

P = 2

2

Vbk

kaVkRT

−−

onde k, a, b e R são constantes. Obter dVdP .


Edson de Oliveira

81

18. A posição de uma partícula que se desloca ao longo de uma reta é dada por s = t41+ ,

com s em metros e t em segundos. Determinar a velocidade e a aceleração da partícula no

instante t = 6 segundos.

19. Se um raio de luz de intensidade k é projetado verticalmente para baixo na água, então

sua intensidade I(x) à profundidade de x metros é I(x) = k e-1,4x . A que taxa de

intensidade está variando em relação à profundidade a 3 metros?

20. Um objeto move-se ao longo de uma reta segundo a equação s = 34 2 +t , t ≥ 0. Para

que valores de t sua velocidade é 1m/s?

21. Uma proteína de massa m se decompõe em aminoácidos segundo a função m(t) = 3

24+t

,

em que t é medido em horas.

a) Determinar a taxa de variação média no intervalo [1, 2].

b) Qual é a taxa de variação no instante t = 3 ?

22. Quando um corpo é envolvido por um líquido gelado de temperatura constante K, a

temperatura T do corpo decresce segundo a lei T = K + C e-at, onde K, C e a são

constantes positivas e t o tempo. Obter a taxa de crescimento de T.

23. Partindo de uma quantidade inicial de 60mg, a quantidade de radio existente após t anos é

dada por q = 60 e-0,0004t. A que taxa estará decrescendo o radio daqui a 100 anos?

24. O crescimento do número de bactérias numa certa cultura obedece a fórmula

f(t) = 1500 e0,04t, em que t é medido em horas. A que velocidade está crescendo o número

de bactérias no instante t = 6?

25. Um barco ancorado no mar está indo para cima e para baixo. A distância vertical y, em

pés, entre o fundo do mar e o barco é dada pela função do tempo t, onde t é medido em

minutos, por y = 15 + sen(2π t). Achar a velocidade vertical v do barco no instante

t = 5 min.

26. Uma partícula se desloca ao longo do eixo x de modo que, no instante t ≥ 0, a sua

posição é dada por s = sen (t2 + 1), s medido em metros e t em segundos. Determinar a

velocidade da partícula nos instante t = 3s.

27. Um biólogo constatou que o crescimento da população de drosófilas com um suprimento

limitado de alimentos poderia ser aproximado pelo modelo exponencial N(t) =

te 16,0391400

−+, onde t denota o número de dias transcorridos desde o começo do

experimento. Qual é a velocidade da variação dessa população no vigésimo dia?


Edson de Oliveira

82

28. Derivação implícita Uma equação f(x, y) = 0, em geral, define y implicitamente como

função de x em algum intervalo. Por exemplo, a equação x y = 2, com x ≠ 0, define a

função y = x2 . A derivada dessa função é y′ = 2

2x− . Uma outra maneira de se obter

essa derivada é pensar em y como função de x na equação x y = 2, derivar ambos os

lados da equação com relação a x e resolver a relação obtida, explicitando y′ . Assim:

x y = 2 ⇒ x′ y + x y′ = 2′ ⇒ y + x y′ = 0 ⇒ x y′ = –y ⇒ y′ = xy−

Para conferir esse resultado como obtido pela derivação direta, lembre que y =x2 .

Daí, y′ = 2

2x− .

Como um outro exemplo, encontrar-se-á y′ se xy – 2x – 3y – 2 = 0. Derivando

ambos os membros em relação a x, tem-se y + x y′ – 2 – 3 y′ = 0 . Explicitando o valor de

y′ , vem:

y + x y′ – 2 – 3 y′ = 0 ⇒ x y′ – 3 y′ = 2 – y ⇒ (x – 3) y′ = 2 – y

isto é, y’ = 3

2−−

xy , x ≠ 3.

29. Calcular y′ se: a) x2 – y2 – x = 1 b) 2x2 + 3x + y2 = 12

30. A área total da superfície de um paralelepípedo retangular com base quadrada de lado

y e altura x é dado por S = 2y2 + 4xy. Se S é constante, calcular dxdy sem explicitar y.

31. A área total de da superfície de um cilindro circular reto de raio r e altura h é dada

por S = 2π r2 + 2π rh. Se S é constante, obter dhdr .

32. No decorrer de uma experiência em um laboratório, derrama-se um líquido sobre uma

lâmina que toma a forma circular cujo raio r aumenta a uma taxa constante de 1,6 m/s.

Qual será a taxa de crescimento da área ocupada pelo líquido quando r = 4m ?

33. O volume de um cubo aumenta a uma taxa de 1200 cm3/min no instante em que suas

arestas têm 20cm de comprimento. A que taxa as arestas variam nesse momento?


Edson de Oliveira

83

34. Uma firma que fabrica camisa estima que o custo total C(x), em reais, para fabricar x

camisas é dado pela equação 30

3100)(2xxxC ++= . Numa semana o rendimento total R(x),

em reais, é dado por 250

25)(2xxxR += em que x é o número de camisas vendidas.

a) Considerando que o número x de camisas vendidas numa semana é igual ao número

de camisas fabricadas, escrever uma equação para o lucro mensal L(x);

b) Obter o lucro maximal semanal.

35. A demanda ( relação entre o preço e a quantidade produzida) por entradas num parque de

diversões é dada por xxp 02,070)( −= onde p é o preço da entrada e x o número de

pessoas que freqüentam esse parque.

a) Sendo a receita )()( xpxxR = que valor de x maximiza a receita?

b) Que preço deve ser cobrado para maximizar a receita?

c) Qual a receita máxima?

36. A equação de demanda de um certo produto é 40005,0)( +−= xxp . Obtenha a quantidade

com que o produtor deve trabalhar para que tenha lucro máximo sabendo que o custo é

dado por 201,025)( xxxC ++= .

37. Uma firma estima que o custo total C(x), em reais, para fabricar x unidades de um

determinado produto é dado pela equação 30

3100)(2xxxC ++= . Numa semana o

rendimento total )(xR , em reais, é dado pela lei 250

25)(2xxxR += , em que x é o número

de unidades vendidas.

a) Considerando que o número de unidades vendidas numa semana seja o mesmo

número de unidades fabricadas, escreva uma equação para o lucro semanal L(x);

b) Obtenha o lucro máximo semanal.

38. O custo total C da produção de certa encomenda é dado por 24240090000)( xxxC +−=

onde x é o número de unidades produzidas.

a) Encontre o custo marginal quando são produzidas 400 unidades;

b) Determinar quando o custo total é mínimo.

39. Dentre todos os retângulos de mesma hipotenusa h = 10 obter o de área máxima.

40. Um pedaço de arame de comprimento 40 cm é dobrado no formato de um retângulo.

Quais as dimensões do retângulo de área máxima?


Edson de Oliveira

84

41. Um fazendeiro tem 10m de grade para cercar três lados de um galinheiro de forma

retangular, o quarto sendo um muro já existente.Obter as dimensões para que a área ds

galinhas seja a maior possível.

42. Luiz tem 1000 metros de grade com os quais deseja construir um cercado retangular para

seu cachorrro. Quais as dimensões do cercado retangular de área máxima?

43. Um reservatório de água com a forma de um prisma reto de base quadrangular tem

volume 10m3. O custo do material usado na construção é R$ 100,00 o metro quadrado.

Que dimensões do reservatório minimizarão o custo?

44. Uma lata de forma cilíndrica circular reto deve ser construída para conter um volume fixo

de um certo líquido. Mostre que para minimizar a quantidade de material usado, a altura

do lado deve ser igual ao diâmetro da base.


1) -4 kg/h 2) a) V = 0,12π h b) 0,12π m3/m 3) a) V = 300 + 7t b) 7 l/min

4) 12 5) a) 54m/s b) 24m/s 6) a) x2 – 5x + 6 b) x = 2 ou x = 3

8) 44m/s 9) a) 103 bactérias/h b) 2 . 102 bactérias/h c) –103 bactérias/h

10) 6400π cm3/cm 11) –1500 galões/min 12) –0,8 13)C

273

14. a) 25000m3/mês b) 15000m3/mês 15) 6,55 m/ano 16) π cm/min

17) 2)( kaVkRT−

− + 3

22Vbk 18) a) v = 0,4m/s b) a = –

1254 m/s2 19) –0,021k u.i./m

20) 0,5 s 21) a) – 65

u.m./h b) –32 u.m./h 22) –aC e-at 23) –0,023 mg/ano

24) 76 bactérias/h 25) 2π pés/min 26) –5,03 m/s 27) 15 diosófilas/dia

29) a) 2 1, 02x y

y−

≠ b) 0,2

34≠

−− yy

x 30) yx

y+− 31)

dhdr =

hrr+−

2 32) 12,8 πm2/s

33. 1 m/s 34. a) =)(xL (– 250

252xx + ) – (

303100

2xx ++ ) = 1002237511 2 −+− xx b) 375

35. a) x = 1750, b) 35 reais c) 61 250 reais 36. R$ 3 316,70

37. a) 1007502222)( 2 −−= xxxL b) R$ 4025,00, na produção de 375 unidades por semana

38. a) 800 b) quando se produz 30 unidades 39. Catetos iguais a 25 m e área 25m2

40. quadrado de lado 10 cm 41. 2,5m por 5m 42. quadrado de lado 250 m

43. base e alturas iguais a 3 10 m


Edson de Oliveira

85

Capítulo 5

Limites infinitos; Teorema da Média; Funções Hiperbólicas

Analisa-se abaixo os gráficos de funções com comportamento diferenciado quando x

se torna arbitrariamente grande ou se aproxima de algum ponto fora do domínio. Entre as

ferramentas empregadas estão as assíntotas horizontal e vertical. Essa análise conduz à

definição de limite infinito.

Este capítulo trata também do Teorem do Valor Médio que estabelece a taxa de

variação de uma função, ao longo de um intervalo, com a taxa instantânea de variação

(derivada) de uma função em um certo ponto do intervalo.

5.1 Limites quando x tende ao infinito

Considere a função x

xf 1)( = definida para todos os reais não nulos. Observe na

Tabela 4 o comportamento da função quando a variável x assume valores cada vez mais

próximos de 0.

Tabela 4 – Comportamento da função x

xf 1)( = para valores de x próximos de 0

x tende a 0 assumindo valores negativos

x -0,5 -0,2 -0,1 -0,01 -0,001 -0,0001

f(x) -2 -5 -10 -100 -1000 -10000

x tende a 0 assumindo valores positivos

x 0,5 0,2 0, 1 0,01 0,001 0,0001

f(x) 2 5 10 100 1000 10000

A tabela indica que quando x tende a 0, por valores positivos as imagens f(x) se tornam

cada vez maiores, superando qualquer valor fixado. Diz-se então que o limite de f(x), quando

x tende a zero, pela direita, é infinito (ou mais infinito) e escreve-se:

+∞==+→→ x

xfxx

1lim)(lim00

ou simplesmente ∞


Edson de Oliveira

86

Quando x tende a 0, por valores negativos as imagens f(x) se tornam cada vez menores,

ficando abaixo de qualquer valor fixado. Diz-se, neste caso, que o limite de f(x) quando x

tende a zero, pela esquerda, é menos infinito e escreve-se:

−∞==−

→→ xxf

xx

1lim)(lim00

Deve-se salientar que ∞+ e ∞− não são números reais. Deste modo, afirmações

como ∞=→

)(lim0

xfxx

e −∞=→

)(lim0

xfxx

não representam limites no sentido estrito da

definição. A notação ∞=→

)(lim0

xfxx

é apenas uma maneira abreviada de dizer que f(x)

aumenta além de qualquer cota fixada, quando x se aproxima de 0x . Ao se trabalhar com os

símbolos ∞+ e ∞− deve-se tomar muito cuidado em não tratá-los como números reais visto

que, se assim for feito podem surgir diversas contradições. Por exemplo, se ∞ 0 = 1 então ∞ 0

= 20 e daí, ∞ = 2, o que é uma contradição.

Se f(x) tende a +∞ ou –,∞ quando x rende a 0x , por um ou ambos os lados, diz-se

que x = 0x é uma assíntota vertical de f(x) . Assim, x = 0 é uma assíntota vertical da função

xxf 1)( = , conforme se vê no gráfico da Figura 36.

Figura 36. O eixo x é uma assíntota vertical de x

xf 1)( =

5.2 Limites finitos quando x ±∞→

Observe o gráfico da função x

xf 1)( = estabelecido na Figura 36. Quando x é positivo

e fica cada vez maior, x

xf 1)( = se aproxima cada vez mais de zero. Simbolicamente:

01lim)(lim ==∞→∞→ x

xfxx


Edson de Oliveira

87

Quando x é negativo e decresce ilimitadamente, o valor dex

xf 1)( = também

aproxima de zero. Simbolicamente:

01lim)(lim ==−∞→−∞→ x

xfxx

Generalizando, Lxfx

=∞→

)(lim significa que |)(| Lxf − se torna arbitrariamente

pequeno quando se toma x suficientemente grande. Da mesma forma Lxfx

=−∞→

)(lim significa

que |)(| Lxf − se torna arbitrariamente pequeno quando se toma x negativo com

|| x suficientemente grande.

A reta y = L é uma assíntota horizontal do gráfico da função y = f(x) se:

Lxfx

=∞→

)(lim ou Lxfx

=−∞→

)(lim

De maneira análoga tem-se as definições evidentes de:

i) +∞=+∞→

)(lim xfx

ii) −∞=+∞→

)(lim xfx

iii) +∞=−∞→

)(lim xfx

iv) −∞=−∞→

)(lim xfx

Exemplos

1) Considere a função 354)(

−+

=xxxf .

Como o ponto de descontinuidade é 3=x tem-se:

+∞=+→

)(lim3

xfx

, −∞=−→

)(lim3

xfx

e, daí, 3=x é uma assíntota vertical de )(xf .

Ainda, visto que:

4)(lim =+∞→

xfx

= )(lim xfx −∞→

então a reta 4=y é uma assíntota horizontal de )(xf .

2) Esboce o gráfico da função 6332)(

−+

=xxxf .

Como a função não está definida para 2=x , o domínio de f é [,2][2,] ∞+∪∞− .

Portanto, analisa-se o comportamento de f separadamente nesses dois intervalos.

Calculando-se 'f e ''f encontra-se:


Edson de Oliveira

88

2)63(21)('−−

=x

xf , 3)63(126)(''−

=x

xf

O denominador de )(' xf é positivo, logo, 0)(' <xf para todo 2≠x . Desta maneira

)(xf é decrescente para todo 2≠x e não possui pontos críticos.

Por outro lado, 0)('' >xf para todo 2>x e 0)('' <xf para 2<x . Por conseguinte,

o gráfico de f é côncavo para cima se 2>x e côncavo para baixo se 2<x . Apesar de

)('' xf mudar de sinal em 2=x não se rotula 2=x de ponto de inflexão porque 2 não

pertence ao domínio de f.

Procura-se agora as assíntotas da função. Desde que 32)(lim =

±∞→xf

x então

32

=y é uma

assíntota horizontal.

A reta 2=x é uma assíntota vertical porque )(xf tem laterais infinitos quando x

tende a 2:

+∞=+→

)(lim2

xfx

, −∞=−→

)(lim2

xfx

A curva representativa de )(xf intercepta o eixo x no ponto de abscissa 23

−=x , ou

seja, no ponto )0,23(− pois:

230320

63320 −=⇒=+⇒=

−+

⇒= xxxxy

Intercepta o eixo y no ponto de ordenada 21

−=y , isto é, no ponto )21,0( − .

Lembrando que )(xf é decrescente e côncavo para baixo se para todo 2<x e decrescente e

côncavo para cima se se 2>x , o gráfico tem a forma da Figura 37.

Figura 37. Gráfico da função 6332)(

−+

=xxxf


Edson de Oliveira

89

5.3 Observação

Se n é um número inteiro e positivo tem-se:

a) 01lim =±∞→ nx x

b) +∞=+∞→

n

xxlim

b) ⎩⎨⎧

∞−∞+

=−∞→ ímparénse

parénsexn

x ,,

lim

5.4 Funções polinomiais e racionais quando x tende ao infinito

Para estudar o comportamento de uma função polinomial e de uma função racional

quando ±∞→x , utiliza-se o seguinte:

)(lim 01

1 axaxa nn

nnx

+++ −−±∞→

L = nnx

xa±∞→

lim )0( ≠na

Para compreender o resultado, coloque nn xa em evidência:

01

1 axaxa nn

nn +++ −

− L = nn xa ⎟⎟

⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛+++ −

nnn

n

xaa

xaa 011 L

Quando ±∞→x todos os termos entre parêntesis, exceto 1, tendem a zero. Desta

forma, quem decide o valor do limite é o termo nn xa .

Por conseguinte, no caso de funções racionais 0

11

01

1)(bxbxbaxaxa

xq mm

mm

nn

nn

+++

+++= −

−

−−

L

L :

0

11

01

1limbxbxbaxaxa

mm

mm

nn

nn

x +++

+++−

−

−−

±∞→ L

L = m

m

nn

x xbxa

±∞→lim =

m

n

ba

m

n

x xx

±∞→lim

Assim, no caso de funções racionais quem decide o valor do limite da função )(xq é o

termo mm

nn

xbxa

.

Exemplos

1. −∞→x

lim (2 )73 23 +− xx = −∞→x

lim 2 3x = 2 −∞→x

lim 3x = – ∞

2.

−∞→xlim (– 3 )1144 +− xx = )3(lim 4x

x−

−∞→ = – 3 4lim x

x −∞→ = –∞


Edson de Oliveira

90

3. 623548lim 47

37

+−−+

+∞→ xxxx

x = 7

7

38lim

xx

x +∞→ =

38lim

+∞→x =

38

4. 1211

2543lim 25

23

+−+−+

+∞→ xxxxx

x = 5

3

113lim

xx

x +∞→ =

113

2

1limxx +∞→

= 0

5. 7610

1439lim 3

24

−−+−−

−∞→ xxxxx

x = 3

4

109lim

xx

x −∞→ =

109 x

x +∞→lim = +∞

5.5 Exercícios resolvidos

1) Analise o comportamento da função 4

1)( 2 −−

=xxxf próximo do ponto x = 2 .

Solução

Se x→2 então 11→−x 0≠ e 042 →−x . Os gráficos do numerador 1)( −= xxn e

do denominador 4)( 2 −= xxd estão esboçados na Figura 38.

Figura 38 – (i) Gráfico da função 1)( −= xxn ; (ii) Gráfico da função 4)( 2 −= xxd

Próximo de 2=x o numerador )(xn se mantém sempre positivo porém, isto nçao

acontece com o denominador )(xd . Tem-se 0)( >xd se 2>x e 0)( <xd se 2<x .

Logo:

+∞=−−

=+→ 4

1lim 22 xx

x e −∞=

−−

=−→ 4

1lim 22 xx

x

2) Analise o comportamento da função 22 )4(1)(

−−

=x

xxg nas proximidades de x = 2 .

Solução

No exercício 1 o numerador se mantém positivo para todo x próximo de 2. Aqui, o

denominador também se mantém positivo já que é uma potência par. Assim, o sinal de )(xg é

positivo para todo x nas proximidades de 2, tanto pela esquerda como pela direita. Portanto:

+∞=−−

=→ 222 )4(

1limx

xx


Edson de Oliveira

91

3) Esboçar o gráfico de y = f(x) = x3 – x2 – x + 1.

Solução Calcula-se f ′ (x) e iguala-se a zero:

f ′ (x) = 3x2 – 2x – 1 = 0 ⇒ x = –

31 ou x = 1 ( pontos críticos)

Portanto:

• f ′ (x) < 0 se –31 < x < 1. Logo, no intervalo ] –

31 , 1[ a função é decrescente.

• f ′ (x) > 0 se x < –31 ou x > 1. Assim, no intervalo ] –∞ ,–2[ ou ]2, ∞ [ a função

é crescente.

Calcula-se f ′′ (x):

f ′′ (x) = 0 ⇒ 6x – 2 = 0 ⇒ x = 31

Tem-se que f ′′ (x) < 0 se x < 31 e f ′′ (x) > 0 se x >

31 . Assim, o gráfico de f tem a

concavidade voltada para baixo se x < 31 e tem a concavidade para cima se x >

31 .

Como f ′′ muda de sinal no ponto x = 31 , tem-se que este é um ponto de inflexão.

Nos pontos críticos, tem-se:

f ′′ (–31 ) = –4 < 0; então x = –

31 corresponde a um ponto de máximo relativo.

f ′′ (1) = 4 > 0; então x = 1 corresponde a um ponto de mínimo relativo.

Calculando f(x) :

iii) nos pontos críticos: f(–31 ) =

2732 e f(1) = 0;

iv) no ponto de inflexão, f(31 ) =

2716

Um esboço do gráfico de f(x) está a seguir.

Figura 39. Gráfico da função y = f(x) = x3 – x2 – x + 1


Edson de Oliveira

92

5.6 O limite exponencial fundamental e os juros capitalizados continuamente

Considere a função x

xxf ⎟

⎠⎞

⎜⎝⎛ +=

11)( que comparece em curvas de crescimento, em

geral. Quando +∞→x a função 01→

x, porém, tal fração somada a 1 e o resultado elevado a

x não tem um valor de convergência evidente.

Observe a Tabela 4:

TABELA 4. Algumas aproximações x

xxf ⎟

⎠⎞

⎜⎝⎛ +=

11)(

x x

x⎟⎠⎞

⎜⎝⎛ +

11

102 2,70481 103 2,716924 104 2,718146 105 2,718268 106 2,718280

Pode-se provar que quando +∞→x o valor de x

x⎟⎠⎞

⎜⎝⎛ +

11 se aproxima do número

irracional e = 2,718281828... , ou seja:

ex

x

x=⎟

⎠⎞

⎜⎝⎛ +

+∞→

11lim

Considere a seguinte fórmula que dá o montante, valor em reais acumulado após t

anos, se C reais são investidos a uma taxa de i, acumulada k vezes ao ano:

tk

kiCM ⎟⎠⎞

⎜⎝⎛ += 1

Imagine uma situação na qual o lucro se acumula continuamente, ou seja, se considera

a fórmula em que o número de períodos lucrativos por ano cresce indefinidamente.

Tem-se então a fórmula:

tk

k kiCM ⎟⎠⎞

⎜⎝⎛ +=

+∞→1lim

chamada de montante capitalizado continuamente. Fazendo hk

i 1= tem-se hik = e como

+∞→k é equivalente a +∞→h , vem:


Edson de Oliveira

93

tk

k ki⎟⎠⎞

⎜⎝⎛ +

+∞→1lim =

thi

h h⎟⎠⎞

⎜⎝⎛ +

+∞→

11lim = tih

h h ⎥⎥⎦

⎤

⎢⎢⎣

⎡⎟⎠⎞

⎜⎝⎛ +

+∞→

11lim = tie

Por conseguinte, tieCM = .

De um modo geral, se C é capitalizado continuamente a uma taxa proporcional a uma

taxa i anual, pelo prazo de t anos, o montante é expresso pela função contínua:

tieCM =

Exemplo

Calcule o montante de uma aplicação de 10 000,00 a juros compostos à taxa de 9%

ao ano pelo prazo de 2 anos.

Solução

Sendo i = 0,09 e os juros capitalizados anualmente, então o montante será:

00,88111)09,01(00010 2 =+=M

Se os juros forem capitalizados semestralmente a uma taxa proporcional a 9% ao ano,

a taxa semestral será %5,4%29

= ao semestre e, por consegunite, o montante será:

18,92511)045,01(00010 4 =+=M

Se os juros forem mensalmente a uma taxa proporcional a 9% ao ano, a taxa mensal

será %75,0%129

= ao mês e, portanto, o montante será:

13,96411)0075,01(10000 24 =+=M

5.7 Teorema do Valor Médio (TVM)

Viu-se anteriormente que )(' xf é uma taxa de variação que responde quanto ao

crescimento de )(xf . Assim, )(xf está crescendo quando )(' xf > 0 e decrescendo quando

)(' xf < 0. Na demonstração deste fato utiliza-se um resultado teórico muito importante do

Cálculo, denominado Teorema do Valor Médio (TVM) que enuncia-se a seguir. Uma prova

do mesmo encontra-se em ROGAWSKI ( 2008, p.196, v.1.).


Edson de Oliveira

94

5.7.1 Teorema (TVM) Suponha f contínua no intervalo fechado [a, b] e derivável em ]a, b[. Então existe

pelo menos um ponto [,] bac∈ de modo que:

ab

afbfcf−−

=)()()('

5.7.2 Interpretação geométrica do TVM Considere os pontos ))(,( afaP e ))(,( bfbQ no gráfico de f , conforme ilustrado na

Figura 38.

Se 'f existe em todo o intervalo aberto ]a, b[ então existe pelo menos um valor

[,] bac∈ tal que pelo ponto ))(,( cfcV do gráfico a reta tangente t é paralela à secante s por

P e Q , isto é:

coeficiente angular de r = coeficiente angular de s

Figura 38. O TVM sob um ponto de vista geométrico

Portanto, o significado geométrico do TVM estabelece-se da seguinte maneira: dada

uma secante ao gráfico de uma função derivável é sempre possível encontrar um ponto do

gráfico situado entre os dois pontos de interseção da secante com a curva representativa de

)(xf e tal que a a reta tangente nesse ponto seja paralela à secante.

5.7.3 Teorema de Rolle

Um caso particular do Teorema do Valor Médio, em que )()( bfaf = denomina-se

Teorema de Rolle em homenagem ao matemático francês Michel Rolle (1652-1719).

Teorema Seja f contínua no intervalo fechado [a, b] e derivável em ]a, b[ e

)()( bfaf = . Existe pelo menos um ponto [,] bac∈ de modo que 0)(' =cf .

Para uma demonstração ver ROGAWSKI ( 2008, p.186, v.1.).


Edson de Oliveira

95

5.7.4 Consequências matemáticas

1) Se 0)(' =xf em todos os pontos de um intervalo I, então f é constante em I.

Prova

Quaisquer que sejam 1x e 2x em I, com 21 xx < pelo TVM vem:

)('()(

12

)12 cfxx

xfxf=

−

−

para algum c entre 1x e 2x . Como )(' cf = 0 ao longo de I, decorre que )12 ()( xfxf − = 0, ou

seja, )()( 21 xfxf = , de onde decorre o resultado.

2) Se )(')(' xgxf = em todos os pontos de um intervalo I, então existe uma constante

C tal que Cxgxf += )()( para qualquer x em I.

Prova

Em cada Ix∈ a derivada da função diferença gfh −= é:

)(')(')(' xgxfxh −=

Daí, =)(' xh 0 para todo Ix∈ e, por conseguinte segue de (1) que Cxh =)( em I.

Consequentemente, Cxgxf =− )()( e, então, Cxgxf += )()( em I.

5.7.5 Uma interpretação física do TVM

Interprete o número ab

afbf−− )()( como variação média de f em [a, b] e )(' cf como

uma variação instantânea. O Teorema do Valor Médio diz que a variação instantânea em

algum ponto deve ser igual à variação média ao lonfo de todo o intervalo. Assim, se um carro

acelerando a partir do repouso leva meia hora para percorrer 35 km, sua velocidade média

no intervalo de segundos é de 705,0

35= km/h. Em algum momento durante a aceleração, o

velocímetro deverá marcar exatamente 70 km/h.

5.8 Funções hiperbólicas

As funções hiperbólicas são combinações especiais das funções xe e xe− e aparecem,

frequentemente, em problemas de matemática aplicada, engenharia e física.


Edson de Oliveira

96

5.8.1 Definições A função seno hiperbólico, designada por senh x, e a função cosseno hiperbólico,

designada por cosh x, definem-se através das seguintes expressões:

2

xx eexsenh−−

= ; 2

coshxx eex

−+=

para todo x real.

5.8.2 Gráficos

O gráfico de y = cosh x, pode ser obtido mediante o processo denominado adição de

ordenadas. Para tanto, esboçam-se os gráficos de 2

xey = e 2

xey−

= e encontram-se a

ordenadas do gráfico de y = cosh x somando-se as ordenadas dos pontos dos outros dois

gráficos. De maneira similar obtém-se o gráfico de y = senh x adicionando as ordenadas dos

gráficos de 2

xey = e 2

xey−

−= .

Figura 39. (i) gráfico de y = cosh x; (ii) gráfico de y = senh x

É evidente pela Figura 39 que a imagem de cosh é o intervalo ]1, ∞ [ e a imagem de

senh é R.

Observe-se que a função cosseno hiperbólico é usada para descrever a forma de um

cabo ou corrente flexível cujos extremos encontram-se fixados numa mesma altura.

Figura 40 – Catenátia axay cosh=


Edson de Oliveira

97

Embora o cabo aparente uma forma parabólica, este não é o caso. Com a introdução de

um sistema de coordenadas pode-se verificar que a equação cartesiana da corrente satisfaz

uma lei do tipo axay cosh= em que a é um número real cujo gráfico denomina-se catenária.

5.8.3. Identidade básica Diversas identidades análogas às verificadas para as funções trigonométricas são

satisfeitas também pelas funções cosseno hiperbólico e seno hiperbólico. Por exemplo:

1cosh 22 =− xsenhx

De fato:

=− xsenhx 22cosh2

2 ⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛ + − xx ee – 2

2 ⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛ − −xx ee = 4

)2()2( 2222 xxxx eeee −− +−−++

= 4

)22 2222 xxxx eeee −− −+−++ = 144=

5.8.4 Outras funções hiperbólicas

Pode-se definir outras funções hiperbólicas em termos do cosseno hiperbólico e do

seno hiperbólico. Note-se que cada uma delas satisfaz uma relação similar à que satisfaz sua

correspondente função trigonométrica.

Define-se como abaixo as funções tangente, cotangente, secante e cossecante

hiperbólicas, designadas por tgh , cotgh, sech e cossech.

xx

xx

eeee

xxsenhxtgh −

−

+−

==cosh

0,coshcot ≠−+

== −

−

xeeee

xsenhxxgh xx

xx

0,21seccos ≠−

==−

xeexsenh

xhxx

xx eexxh −+

==2

cosh1sec

A Figura 41 apresenta um esboço do gráfico de y = tghx. Observe que x = 1 e x = –1

são assíntotas horizontais. Os traçados dos gráficos das demais funções são deixados como

exercício.


Edson de Oliveira

98

Figura 41. Gráfico da tangente hiperbólica

5.8.5 Outras identidades

Estabelece-se em seguida algumas identidades satisfeitas pelas funções hiperbólicas

que são similares àquelas satisfeitas pelas funções trigonométricas. Pode-se estabelecer uma

série de outras. Diversas encontram-se na lista de exercícios propostos.

xgh

xtghcot

1=

xhxtgh 22 sec1 =−

xhxgh 22 seccos1cot =−

A primeira fórmula segue diretamente das definições de y = tgh x e y = cotgh x. Para

a justificativa da segunda divide-se ambos os membros da identidade básica

1cosh 22 =− xsenhx por cosh2 e utiliza-se as definições de tghx cotgh x:

1cosh 22 =− xsenhx ⇒ xx

xsenh22

2

cosh1

cosh1 =− ⇒ xhxtgh 22 sec1 =−

De modo análogo justifica-se a terceira fórmula.

5.8.6 Fórmulas de derivadas

As funções hiperbólicas senh x e cosh x são deriváveis como soma e quocientes de

funções deriváveis. Assim:

xxsenhdxd cosh= ; xsenhx

dxd

=cosh

Com efeito:

xsenhdxd =

'

2 ⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛ − −xx ee = xee xx

cosh2

=+ −


Edson de Oliveira

99

xdxd cosh =

'

2 ⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛ + −xx ee = xsenhee xx

=− −

2

Também:

xtghdxd = xh2sec

Para a a sua demonstração utiliza-se a regra do quociente como segue:

xtghdxd = ⎟⎟

⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛xxsenh

dxd

cosh= xh

xxxsenhx 2

22

22

seccosh

1cosh

cosh==

−

São deixadas como exercícios as justificativas das seguintes fórmulas;

xghdxd cot = xech2cos−

xhdxd sec = xtghxhsec−

xhdxd seccos = xghxh cotseccos−

5.9 Funções hiperbólicas inversas

Observando o gráfico do seno hiperbólico, esboçado na Figura 39 (ii), vê-se que se

trata de uma função crescente de x, e daí, possui uma inversa denotada por xsenharc .

Para todo x real o valor de xsenharc é o número real cujo seno hiperbólico é x.

Simbolicamente:

Rxyxsenhxsenharcy ∈=⇔= ,

O gráfico xsenharcy = está esboçado na Figura 42.

Figura 42. Gráfico da função seno hiperbólico inversa

Para definir as inversas das demais funções hiperbólicas é necessário restringir seus

domínios a intervalos convenientes. Por exemplo, xy cosh= não possui uma inversa em R

pois, para cada 1>y existem dois valores de x tal que yx =cosh . Porém, sua restrição a


Edson de Oliveira

100

valores não negativos de x possui uma inversa designada por xarcy cosh= satisfazendo

para todo 0≥y :

yxxarcy =⇔= coshcosh

O domínio da função é o intervalo [,1[ ∞+ e a imagem é [,0[ ∞+ O seu gráfico está

esboçado na Figura 43.

Figura 43. Gráfico da função cosseno hiperbólico inversa

Para as demais funções hiperbólicas inversas, os domínios e imagens estão

especificados a seguir:

xtgharcy = ; 1|| <x ; [∞+<<∞− y

xgharcy cot= ; 1|| >x ; 0≠y

xharcy sec= ; 1||0 <≤ x ; 0≥y

xharcy seccos= ; 0|| ≠x ; 0≠y

5.10 Funções hiperbólicas inversas e suas derivadas

Apresentam-se a seguir as derivadas da funções hiperbólicas inversas.

1

1'2 +

=⇒=x

yxsenharcy ; todo x

;1

1'cosh2 −

=⇒=x

yxarcy 1>x

211'x

yxtgharcy−

=⇒= ; 1|| <x

211'cotx

yxgharcy−

=⇒= ; 1|| >x

21

1'secxx

yxharcy−

−=⇒= ; 10 << x

21||

1'seccosxx

yxharcy+

−=⇒= ; 0≠x


Edson de Oliveira

101

Exemplos

Calcule as derivadas da funções:

a) )3()( xsentgharcxf = b) )5cosh()( 2 xsenarcxxf =

Solução

a) ( ) )3sec(3)3(cos)3cos(33

)3(11)()3()( 2

'2

' xxxxsen

xsenxfxsentgharcxf ==

−=⇒=

b) )5cosh()( 2 xsenarcxxf = =⇒ )(' xf125

5)5cosh(22

2

−+

x

xxsenarcx

5.11 Exercícios propostos 1. Determine o limite de cada função quando: i) +∞→x e ii) −∞→x .

a) 51278)(−−

=xxxf b)

8391)( 2

3

+−

=x

xxf c)2734)(

2

−+

=xxxf

d)xx

xxxf24

12)( 3

3

−+−−

= e) 42

3)( 2 −++−

=xx

xxf f) 856

)( 2

3

+−−

=xx

xxf

2. Esboce o gráfico das funções descritas e indique as equações e os gráficos das assíntotas.

a) 3

1)(−

=x

xf b) 32)(

++

=xxxf c)

45)( 2 −

=x

xf

d) x

xxf 2)(2 −

= (Observe que x

x 22 − = x

x 2− )

3. Encontre as assíntotas verticais e horizontais do gráfico de f.

a) 9

1)( 2 −=

xxf b)

45)( 2

2

+=

xxxf c)

657)( 2 +−

=xx

xf d) 3223)( 2

2

−+++

=xxxxxf


a) 20

72limxx

x

+→

b) 8

1lim8 −→ xx

c) 22 )2(

1lim−→ xx

d) 23 )3(

42limx

xx −

−→


a) x

x x

211lim ⎟⎠⎞

⎜⎝⎛ +

+∞→ b)

x

x x

231lim ⎟⎠⎞

⎜⎝⎛ +

+∞→ c)

431limx

x x⎟⎠⎞

⎜⎝⎛ +

+∞→ d)

xx

x

)1ln(lim0

+→

6) Obtenha o montante de uma aplicação de 5000 reais a juros compostos capitalizados

continuamente:

a) anualmente b) semestralmente c) mensalmente

a uma taxa proporcional a 15% ao ano, durante 5 anos.


Edson de Oliveira

102

7. A que taxa de juros compostos continuamente um capital de R$ 2 000,00 produz um

montante de R$ 2 280,00 em 2 meses?

8. Suponha que se queira investir dinheiro em um certificado bancário para pagar a educação

de um filho estimado em R$ 120 000,00 em 10 anos. Quanto é necessário aplicar se o

investimento rende juros anuais de 9% compostos trimestralmente?

9. Uma cidade tem atualmente 3 000 habitantes e esse número cresce a uma taxa de 2% ao

ano. Qual será a população dessa cidade daqui a 10 anos?

10) Regra de L’Hôpital A regra enunciada no exercício 40 do capítulo 2 também se aplica

quando ∞→x , isto é:

Se =∞→

)(lim xfx

∞=→

)(lim0

xgxx

a expressão )()(

xgxf denomina-se forma indeterminada

∞∞

e se )()(lim

xgxf

x ∞→ existe então:

)()(lim

xgxf

x ∞→ =

)(')('lim

xgxf

x ∞→

No cálculo de limites deparamos frequentemente com outros tipos de expressões

indeterminadas ( sem significado), como: ∞−∞ , 0.∞ , 0∞ , ∞1 . Nesses casos procura-se

transformar o limite a formas mais convenientes, cujos resultados são conhecidos.

Calcule os seguintes limites:

a) xx ex3

lim∞→

b) x

xex −

∞→

2lim c) xx exlnlim

∞→ d)

15lim 2

2

−−

∞→ xx

x

11. Se 19

)(2

+=xxf mostra que f verifica as hipóteses do TVM no intervalo [– 1, 6] e

determine um número c ∈]–1, 6[ que satisfaça a conclusão do teorema.

12. Idem para a função 58)( 2 −−= xxxf para x no intervalo [1, 4].

13. Achar c como no Teorema de Rolle para 1)( 2 += xxf em que Rf →− ]1,1[: .

14. Idem para a função 1

2)( 2 +=

xxxf em que Rf →]3,

31[: .

15. Mostre que a função xsenxf =)( , π20 ≤≤ x tem uma raiz real entre 2π e

23π .

(Use o Teorema de Rolle)

16. Verifique as fórmulas:

a) xhxgh 22 seccos1cot =− b) xtghxtgh −=− )(

c) xxsenhxsenh cosh22 = d) xsenhxx 22cosh2cosh −=


Edson de Oliveira

103

17. As fórmulas de adição satisfeitas pelo seno e cosseno têm análogas hiperbólicas:

ysenhxyxsenhyxsenh coshcosh)( +=+

ysenhxsenhyxyx +=+ coshcosh)(cosh

Demonstre estas identidades.

18. Mostre as seguintes fórmulas de derivadas:

a) ( )'cot xgh = xech2cos− b) ( )'sec xh = xtghxhsec−

c) ( )'cos xech = xghxech cotcos−

19. Calcule )(' xf para as seguintes funções:

a) )54cosh()( 2 += xxf b) xtghxsenhxf =)( c) )(lncosh)( xxf =

d) )85()( += xtghxf e) xtghxxf 2)( = f) )(cos)( xsenhxf =

20. Obtenha )(' xf para as seguintes funções:

a) )7()( xtgharcxf = b) )2()( xsenharcxf = c) )34(cosh)( 22 += xarcxxf


1.a) 32;

32 b) ∞+∞− ; c) ∞−∞+ ; d)

21;

21 −− e) 0; 0 f) ∞+∞− ;

3. a) x = 3, x = –3; y = 0 b) não tem assíntota vertical; y = 5 c) x = 2, x = 3; y = 0

d) x = –3, x = 1; y = 1 4. a) ∞+ b) não existe c) ∞+ d) ∞−

5 .a) 2e b) 6e c) 45

e d) 1 6. a) R$7 604,38 b) 7 716,51 c) 7 819,72

7. 6,77 a.m. 8. R$ 44 438,41 9. 3 657 10. a) 0 b) 0 c) 0 d) 1

11. c = 1 12. 7 13. c = 0 14. c = 1

19. a) )(' xf = )54(8 2 +xsenhx b) )(' xf = xhxtghxsenh sec+ c) )(' xf = )(ln1 xsenhx

d) )85(sec5)( 2' += xhxf = f) )(cos)(' xsenhsenxxf −=

20. a) )3(sec3)(' xhxf = b) 14

2)(2

'

+=

xxf c)

1168)(

4

'

−=

xxxf

a) b) c) d) 2.


Edson de Oliveira

104

Referências Bibliográficas

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EDUSP, 1978.

BEZERRA, M. J. Matemática para o ensino médio. São Paulo: Scipione, 2001.

BONGIOVANNI, D. Matemática e Vida. São Paulo: Ática, 1993. v.1. HUGHES –

HALLETT et. al. Cálculo e aplicações, São Paulo: Edgard Blucher, 1999.

IEZZI, G. et. al. Matemática: Ciência e aplicações. São Paulo: Atual, 2001. v.1, 2.

LEITHOLD, L. Matemática aplicada à Economia e Administração. São Paulo: Harbra, 2001.

MORETTIN, Pedro A.; HAZZAN, Samuel; BUSSAB, Wilton de O. Cálculo: funções de uma

e várias variáveis. São Paulo: Saraiva, 2003.

ROGAWSKI, Jon. Cálculo. Porto Alegre: Bookman, 2009. v.1.

THOMAS, G. B. Cálculo. São Paulo: Addison Wesley, 2003. v.1


Edson de Oliveira

105

Apêndice I - Tabela de Derivadas

1) 0'=⇒= ycy

2) ayaxy =⇒= ' 3) '.'. ukyuky =⇒= 4) ''' vuyvuy +=⇒+=

5) )'.()'.('. uvvuyvuy +=⇒=

6) y = vu ⇒ y ' = ( ) ( )

2

'.'.v

vuuv −

7) y = u α , ( )0≠α ')..(' 1 uuy −=⇒ αα

8) y ( ) '.ln.'1,0 uaayaaa uu =⇒≠≥= 9) '.' ueyey uu =⇒= 10) e

uuyuy aa log''log =⇒=

11)

uuyuy ''ln =⇒=

12) )'.ln.()'..(' 1 vuuuuvyuy vvv +=⇒= − ( u > 0) 13) '.cos'sen uuyuy =⇒= 14) '.sen'cos uuyuy −=⇒= 15) '.sec' 2 uuytguy =⇒= 16) '.cos'cot 2 uuecyguy −=⇒=

17) '..sec'sec utguuyuy =⇒= 18) '.cot.seccos'seccos uguuyuy −=⇒=

19) 21

''arcsenu

uyuy−

=⇒=

20) 21

''arccosu

uyuy−

−=⇒=

21) ( )21''u

uyarctguy+

=⇒=

22) ( )21''cot

uuyguarcy

+−

=⇒=

23) 1,1

''1,sec2

≥−

=⇒≥= uuuuyuuarcy

24) 1,1

''1,arccos2

≥−

−=⇒≥= u

uuuyuecuy

25) '.cosh'senh uuyuy =⇒= 26) '.senh'cosh uuyuy =⇒= 27) '.sec' 2 uuhytghuy =⇒= 28) '.cos'cot 2 uuechyghuy −=⇒= 29) )'.).((sec'sec utghuhuyhuy −=⇒= 30) )'.).(cotsec(cos'seccos ughuhuyhuy −=⇒=

31)1

''arcsen2 +

=⇒=u

uyhuy

32) 1,1

''arccos2

>−

−=⇒= u

uuyhuy

33) 21''u

uyuarctghy−

=⇒= , | u | < 1

34) 21''cotu

uyugharcy−

=⇒= , | u | > 1

35) 21

''secuu

uyuharcy−

=⇒= , 0 < u < 1

36) 21

''seccosuu

uyuharcy−

=⇒= , 0≠u

40061316 apostila calculo1 final jul 2010

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