$3217$0(1726 ’( 6,1$,6 ( 6,67(0$6ltodi.est.ips.pt/smarques/ss/folhastssrogeriolargo.pdf · no...

(VFROD6XSHULRUGH7HFQRORJLD,QVWLWXWR3ROLWpFQLFRGH6HW~EDO

$3217$0(1726

'(

6,1$,6(6,67(0$6 )ROKDVGH$SRLRjV'LVFLSOLQDVGH 9HUVmRD

6LQDLVH6LVWHPDV±$QR((&H(,,H(,,1

7HRULDGH6LQDLVH6LVWHPDV±$QRGH($&,

(ODERUDGRVSRU5RJpULR/DUJR

6LQDLVH6LVWHPDV2

5RJpULR/DUJR±6HW~EDO 2

,QWURGXomR 6LQDLV

Numa descrição simples pode-se dizer que um sinal é um fenómeno, que acontecendo em qualquer ambiente, pode ser descrito quantitativamente.

Os sinais são funções de uma ou mais variáveis independentes e, tipicamente contêm informação acerca do comportamento ou natureza de um fenómeno físico. ([HPSOR±6RPGHYR]6LQDOXQLGLPHQVLRQDO±IXQomRGHXPDYDULiYHOVLPSOHVRWHPSR ([HPSOR±,PDJHPYtGHRDSUHWRHEUDQFR6LQDOELGLPHQVLRQDO±GHSHQGHGDV

FRRUGHQDGDV[\5HSUHVHQWDDLQWHQVLGDGHHPFDGDSRQWR[\ 6LVWHPDV

Os sistemas são entidades que manipulam ou respondem a um ou mais sinais para realizar uma função, gerando novos sinais. ([HPSOR±7HQVHVHFRUUHQWHVHOpFWULFDVFRPRIXQoHVGRWHPSRVmRH[HPSORVGHVLQDLV

&LUFXLWRV HOpFWULFRV VmR H[HPSORV GH VLVWHPDV 1HVWH FDVR UHVSRQGHP jVWHQVHVHFRUUHQWHVHOpFWULFDV

A abordagem dos sinais e sistemas pode ser feita de várias maneiras, dependendo do

contexto e dos objectivos. Vejamos algumas situações: • Análise de sistemas com vista à sua caracterização e conhecimento. • Desenhar sistemas para processar sinais em certos meios. Por exemplo, o radar

recupera o sinal de eco produzido pelos objectos. • Processar sinais com vista à sua restauração após terem sido sujeitos a um processo de

degradação. Por exemplo nas telecomunicações ou na restauração de imagem recebidas dos satélites.

• Actuar sobre os sistemas com vista a alterar as suas características segundo especificações desejadas. Por exemplo no controlo de processos.

([HPSORVGHVLVWHPDV6LVWHPDVGH&RPXQLFDoHV: São constituídos por três componentes básicos

– Transmissor (modulador) – Canal – Receptor (desmodulador). Existem dois modos principais de comunicação: “Broadcasting” (radiodifusão) – Um

emissor e muitos receptores. Ponto-a-Ponto – Um transmissor e um receptor, (geralmente é um sistema bidireccional).

Nos sistemas de comunicação digitais identificam-se três fases: Amostragem (Sampling) – converte o sinal analógico numa sequência de números. Quantificação – representa cada número (produzido pela amostragem) pelo nível mais

6LQDLVH6LVWHPDV3


próximo de um conjunto finito de níveis discretos de amplitude. (([.: palavra de 16 bits => 216 níveis). Codificação – representa cada amostra quantificada por uma palavra de código de um número finito de símbolos. (Ex.: código binário => símbolos 0´s e 1´s). O receptor executa as operações acima em ordem inversa ( a quantificação é irreversível). 6LVWHPDVGH&RQWUROR: São usados em variadas situações como refinarias, aviões, centrais eléctricas, robôs, etc. (O processo a controlar toma usualmente a designação de “plant”). - Pretende-se obter uma resposta satisfatória e um comportamento robusto. - A resposta é a capacidade de a sua saída acompanhar uma entrada de referência. Toma

a designação de regulação. - A robustez é a exibição de uma boa regulação na presença de perturbações externas.

)LJXUD 1.1 ±(VTXHPDWtSLFRGHXPVLVWHPDGHFRQWUROR. ³5HPRWH 6HQVLQJ´ (Sensores remotos): Processo de aquisição de informação acerca de objectos de interesse sem estar em contacto com eles. São medidas as mudanças que o objecto provoca no ambiente adjacente. Ex.: electromagnéticas: Radar; acústicas: Sonar, etc. 3URFHVVDPHQWRGHVLQDLVELRPpGLFRV: O objectivo é extrair informação de sinais biológicos para melhor compreensão das funções biológicas, ou para diagnóstico e tratamento de doenças. Em muitas situações os sinais biológicos são provocados pela actividade eléctrica de um grande número de células musculares ou células nervosas (neurónios). Como exemplo temos a actividade cardíaca (ECG) e a actividade cerebral (EEG). Na captação de sinais de ECG ou EEG surgem artefactos (biológicos: parte do sinal produzida por acontecimentos estranhos ao fenómeno biológico que nos interessa; ou instrumentais: gerados pelo uso de instrumentos), como por exemplo sinais de actividade muscular. A detecção e supressão dos artefactos é uma das grandes necessidades no processamento destes sinais. 3URFHVVDPHQWRGLJLWDOYHUVXVDQDOyJLFR

No processamento analógico ou em tempo contínuo recorre-se ao uso de elementos analógicos como resistências, condensadores, indutâncias, transístores amplificadores, etc.

No processamento digital ou em tempo discreto usam-se três elementos digitais básicos: adicionadores, multiplicadores e memórias.

As grandes vantagens do processamento digital são: )OH[LELOLGDGH – A mesma máquina digital pode ser adaptada, através de programação, a

diferentes operações no processamento. (No caso analógico seria necessário redesenhar os circuitos).

5HSHWLELOLGDGH – É possível repetir a mesma operação de uma forma exacta. (Os sistemas analógicos sofrem de variação dos parâmetros).

~-

! " $#$% &

'(

)

ν

6 6

6LQDLVH6LVWHPDV4


6LQDLV

Consoante o fenómeno que representam, os sinais podem surgir sob diversas formas: São representados matematicamente como funções de uma ou mais variáveis

independentes.

)LJXUD±6LQDOGHYR]REWLGRFRPXPPLFURIRQH D SUHVVmR DF~VWLFD pFRQYHUWLGD QXP VLQDOHOpFWULFR

No caso da voz teremos a pressão acústica como função do tempo SW. No caso da imagem vídeo a preto e branco tem-se o brilho como função da posição L[\. No presente trabalho tratar-se-á essencialmente de funções de uma variável, em geral o

tempo.

7LSRVEiVLFRVGHVLQDLV• Sinais em tempo contínuo e tempo discreto - Falando de sinais temporais, podem dividir-se em sinais em tempo contínuo (ou analógicos) em que a variável independente é continua (fig. 2.1) e sinais em tempo discreto (ou simplesmente discretos) em que a variável independente é discreta – o tempo é representado pelo conjunto dos inteiros (fig. 2.2).

)LJXUD±5HSUHVHQWDomRGHXPVLQDOGLVFUHWR(YROXomRGHXP tQGLFH GD EROVD ± FDGDLQWHUYDOR GH WHPSR UHSUHVHQWDXPGLD

• Sinais determinísticos – Sinais com uma representação matemática explicita

([.: 0( ) ( )[ W VHQ Z W= - Sinusóide. Oscilação harmónica.

• Na natureza, muitos fenómenos que não têm uma descrição exacta, são descritos por um modelo matemático aproximado.

([. O movimento de um pêndulo é frequentemente modelado por uma oscilação harmónica. Porém devido à fricção, efeitos não lineares, etc., existem desvios a esses movimentos que podem ser medidos como um erro: HW.

HW [W\W [[W - modelo matemático; \W - movimento real do pêndulo]

6LQDLVH6LVWHPDV5


• Há situações em que, teoricamente, um sinal não pode ser modelado exactamente, nem sequer um modelo aproximado pode ser desenvolvido.

([.: Sinais aleatórios não podem ser modelado por uma equação. Em vez disso podemos escrever os seu atributos através de uma estatística.

• Sinais causais – São sinais que só existem a partir de um certo instante, habitualmente a origem dos tempos. ([.: x(t) = y(t), t≥0 ; 0, t<0. • Sinais não causais não têm um início finito. São sinais não realizáveis – só fazem sentido matematicamente. 6LQDLVHPWHPSRFRQWtQXRVLQDLVDQDOyJLFRV

Encontram-se em todos os ambientes, como sejam a electrónica, as telecomunicações, o controlo de processos, a instrumentação, etc.

A designação “WHPSRFRQWtQXR” deve-se à variável tempo ser contínua (por oposição a tempo discreto). A sua representação matemática é um contínuo de pontos em ambas as variáveis, dependente e independente.

Um sinal diz-se contínuo se for contínuo em todos os pontos. Se isso não se verifica diz-se descontínuo.

Por outro lado se um sinal for descontínuo apenas em ponto isolados diz-seFRQWtQXRSRUWURoRV (piecewise continuous).

)LJXUD±6LQDOFRQWtQXR )LJXUD±6LQDOFRQWtQXRSRUWURoRV

Para sinais em tempo contínuo podem definir-se alguns valores estatísticos no tempo:

i) Média: ∫−∞→=

GWW[7W[ )(2

1lim)( (não confundir com a média

estatística)

ii)Média quadrática: ∫−∞→=

GWW[7W[ 22 )(2

1lim)(

iii)Variância: 2 2 2

( ) ( ) ( ) [ W [ Wσ = ⟨ ⟩ − ⟨ ⟩

iv)Valor RMS (root mean square): ⟩⟨ )(2 W[ (uso frequente em medidas eléctricas)

v)Energia total: ∫−∞→=

GWW[( 2

)(lim

x(t)

6LQDLVH6LVWHPDV6


vi)Potência: ∫−∞→=

GWW[73 2

)(2

1lim (é a média quadrática)

vii)Potência num intervalo finito: [ ] ∫+

= 0

0

2

0: )(

1

GWW[73

viii)Potência RMS: 33 =

([HPSORGHVLQDOGHSRWrQFLD )(.)( 0 θω += WVHQ$W[

Média de [W: ∫−∞→+=⟩⟨

GWW$7W[ )sen(.

2

1lim)( 0 θω = 0 (média nula)

Média quadrática: (É a potência)

∫−∞→+=⟩⟨

GWW$7W[ )(sen

2

1lim)( 0

222 θω = ∫−∞→

+−

GWW7

$)22cos(1(

2

1

2lim 0

2

θω =2

2$

Variância: 2

0)()()(2

2222)(

$W[W[W[ =−⟩⟨=⟩⟨−⟩⟨=σ

Potência num intervalo 0

0

2

ωπ=7 [um período], começando em W :

[ ] [ ]0 0

0

2 22 2

0 0:0 0 00 0

1 1sen ( ) 1 cos(2 2 )

2 2

$ $3 $ W GW W GW7 7ω θ ω θ= + = − + =∫ ∫

(resultado independente da fase, uma vez que se integra num período) 6LQDLVHPWHPSRGLVFUHWRVLQDLVGLVFUHWRV

Os sinais em tempo contínuo surgem naturalmente quando uma forma de onda é captada por um sensor. Por outro lado os sinais em tempo discreto apenas são descritos em instantes de tempo discretos. Em muitas situações são derivados dos sinais em tempo contínuo por amostragem a um ritmo uniforme.

)LJD6LQDOHPWHPSRFRQWtQXR[WE5HSUHVHQWDomRHPWHPSRGLVFUHWR[>Q@

6LQDLVH6LVWHPDV7


Considerando T o intervalo de amostragem e n um inteiro, amostrando [W nos instantes W Q7 resulta uma amostra de valor [Q7. Por conveniência de representação escreve-se:

[>Q@ [Q7Q Então um sinal em tempo discreto é representado por uma sequência de números, ...,x[-2], x[-1], x[0], x[1], x[2],.… Esta sequência de números é referida como uma VpULHWHPSRUDO. &ODVVLILFDomRGHVLQDLV i) Paridade (simetria dos sinais):

Par: [W [W, ∀t Impar: [W [W, ∀t (tem de ser [ )

Decomposição de um sinal nas suas componentes Par e Impar:

[ ])()(2

1)(Par W[W[W[ −+= [ ])()(

2

1)(Impar W[W[W[ −−=

ii) Periodicidade (Período T): Um sinal é periódico se

)()(, 7W[W[W +=∀ (também será periódico para 2T, 3T, etc.: [W [WN7)

Se um sinal não for periódico diz-se aperiódico. Período fundamental T0 – menor valor de T para o qual x(t) é periódico. Os sinais periódicos são não causais (têm de existir desde sempre).

Frequência fundamental (ou natural): 00

1I 7= (Hz), 00

2Z 7π= (Rad./s)

Ex.- Sinusóide: [W $VHQWπ Freq. Fundamental: W0=8 Rad./s Período: T0=2π/8=0.78 s Fase inicial: π/3

Frequência instantânea ZW é a derivada da fase. Ex.: [W $FRVθW ZW GθWGW Por exemplo, no sinal de FM em rádio, a frequência varia continuamente de acordo com o sinal sonoro. Para os sinais discretos define-se periodicidade de forma análoga:

[Q [>Q1@∀Q inteiro, com 1 inteiro positivo.

A frequência angular fundamental é agora dada por: 2

1πΩ = (Rad/s).

6LQDLVH6LVWHPDV8


2SHUDoHV%iVLFDVFRP6LQDLV

As operações para manipular sinais podem ser efectuadas quer na variável dependente quer na variável independente. 2SHUDoHVHIHFWXDGDVQDYDULiYHOGHSHQGHQWH i) Escalamento da amplitude: \W F[W ou \>Q@ F[>Q@ sendo F o factor de escala. ii) Adição: \W [ W[ W ou \>Q@ [ >Q@[ >Q@ para discretos. iii) Multiplicação: \W [ W[ W ou \>Q@ [ >Q@[ >Q@ para discretos.

iv) Diferenciação: ( ) ( )G\ W [ WGW=

v) Integração: ( ) ( )

\ W [ Gτ τ−∞

= ∫

7UDQVIRUPDoHVQDYDULiYHOLQGHSHQGHQWH i) Reflexão em W : [W→[W (Ex.: sinal gravado passado em sentido inverso)

ii) Alteração da escala de tempo: [W→[DW (([.: sinal gravado passado mais rapidamente, se D!)

Para sinais discretos teremos: \>Q@ [>NQ@, N!, com N e Q inteiros. Se k>1 alguns valores do sinal discreto são perdidos como se ilustra no exemplo da

figura abaixo:

iii) Deslocação no tempo (atraso): [W→[WW (([.: sinal de sonar – o eco é recebido

com atraso)

W

-8 -7 -6 -5 -4 -3 -2 -1 0 1 2 3 4 5 6 7 8

! " #$ ! % &"

-4 -3 -2 -1 0 1 2 3 4

6LQDLVH6LVWHPDV9


Regras de precedência nas operações de deslocação e escalamento no tempo: - Em primeiro lugar efectuam-se as operações de deslocamento no tempo, a seguir a

reflexão e só depois a compressão (ou expansão), uma vez que esta ultima provoca uma alteração da escala de tempo (substitui W por DW).

([HPSOR \W [DWE. Primeiro faz-se a operação de deslocamento: YW [WE Depois faz-se então a compressão de escala: \W YDW [DWE 6HTXrQFLDGDVRSHUDoHVSDUD[W⇒

6LQDLVEiVLFRVHPWHPSRFRQWtQXR

Há vários sinais elementares com características tais que assumem um lugar proeminente no estudo de sinais e sistemas. Entre estes estão as exponenciais, as funções salto, impulso, rampa, etc. ([SRQHQFLDOFRPSOH[DHVLQDLVVLQXVRLGDLV

( )

[ W & H= ; &, D : em geral são complexos i) Exponencial real: &, D reais:

Na natureza existem

muitos fenómenos cuja evolução segue uma lei exponencial (crescimento ou decrescimento). São fenómenos cumulativos: Ex.: reacção atómica, amortecimento mecânico , etc.. QRWDH [ & ii) D imaginário puro: D MZ , . Tomando & fica: ( )

[ W H=

Periodicidade: 1 H H H H H += = ⇒ = ⇔

( )

00

1 22

Z7 N 7 Z

ππ=

= ⇒ = , 3HUtRGRIXQGDPHQWDO

cos( ) sen( )H ZW M ZW= + , Soma de funções sinusoidais.

iii) Sinal sinusoidal: )cos()( 0 θ+= WZ$W[

Z (rad./s) : frequência angular, NZ : frequências harmónicas. θ (rad.) : fase na origem, Z = πI , I (Hz) frequência.

00

27 Zπ= : período fundamental.

! " #%$! &' ! ' () ! " ('*%+ , *%+ , *%+ ,

- *.,/* - 01- 23- 43- *5, - 26- 47- *8,9 9 9

6LQDLVH6LVWHPDV10


Relações de Euler: cos( ) sen( )H ZW M ZW= + , sendo:

cos( ) Re .

sen( ) Im .

ZW HZW H

=

=

Também: ( ) ( )1 1cos( ) , sen( )

2 2

ZW H H ZW H HM− −= + = −

iv) Exponencial complexa em geral: ( ) [ W & H= , &, D complexos

0,& _& _H D U MZθ= = +

logo [ ]0( )0 0( ) cos( ) sen( )

[ W & H & H H & H Z W M Z Wθ θ θ+= = = + + + .

Trata-se de sinusóides amortecidas (caso U).

6DOWRXQLWiULR

Assume valor nulo à esquerda de zero e valor unitário à sua direita.

,PSXOVRXQLWiULR'LUDF Sinal definido através de um integral:

( )( ) ( ) e portanto ( )

GX WX W G W GWδ τ τ δ−∞

= =∫

notas: i) u(t) é descontínua na origem, logo não é diferenciável para W . Pode ser interpretada

como o limite de uma função contínua .0 com )( →∆∆ WX ii)Então a função impulso pode ser interpretado como o limite de uma função

( ) com 0W∆∂ ∆ → em que:

iii)tem área unitária. É um rectângulo que se torna mais estreito e alto à medida que ∆→0, mantendo a área unitária.

As funções salto unitário e impulso unitário pertencem à família das funções generalizadas.

><

=0 ,1

0 ,0)( W

WWX

( ) ( )GX WW GWδ ∆∆ =

( ) ( )0

limW Wδ δ ∆∆→=

!

"

∆

#∆ $ % 1

∆

δ ()∆

∆

1 ∆

&' (*)+,*- . &' - )

δ

6LQDLVH6LVWHPDV11


$OJXPDVSURSULHGDGHVGHGWi) – Área unitária: ( ) 1W GWδ

∞

−∞=∫

ii) – Impulso escalado (produto por constante N ⇒ tem área N

iii) – Produto de um impulso por uma função ordinária: (note que δ(t) = 0 para t ≠ 0)

x(t) δ(t) = x(0) δ(t)

x(t) δ(t-t0) = x(t0) δ(t-t0)

0 0 0 0 0 0( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )

1

[ W W W GW [ W W W GW [ W W W GW [ Wδ δ δ∞ ∞ ∞

−∞ −∞ −∞− = − = − =

=∫ ∫ ∫

Isolou-se um ponto da função x(t) em t0. Trata-se da propriedade da amostragem a que se voltará mais tarde.

( ) ( ). .

N W GW N X Wδ−∞

=∫

W

δ

6LQDLVH6LVWHPDV12


5HSUHVHQWDomRGH)RXULHUGRV6LQDLV

Neste capítulo consideramos a representação dos sinais como uma soma pesada de

exponenciais complexas. Deste modo faz-se uma passagem do domínio do tempo para o domínio da frequência, o que permite por em relevo certas características dos sinais.

Outra vantagem surge na análise de sistemas lineares que, ao aplicar-lhe este tipo de sinais, a sua saída será também um sinal deste tipo (soma pesada de exponenciais complexas.

O estudo de sinais e sistemas usando representação sinusoidal é designado por análise de Fourier (Joseph Fourier, 1768-1830). O método de Fourier tem larga aplicação quer no domínio científico quer no domínio da engenharia.

A representação de Fourier a aplicar depende da classe dos sinais. A tabela apresentada

abaixo mostra essa relação:

7DEHOD±5HODoHVHQWUHDVSURSULHGDGHVQRWHPSRGRVVLQDLVHDUHSUHVHQWDomRGH)RXULHUDGHTXDGD

3URSULHGDGHWHPSRUDO 3HULyGLFR 1mR3HULyGLFR

&RQWLQXR 6pULHGH)RXULHU

7UDQVIRUPDGDGH)RXULHU

'LVFUHWR 6pULH'LVFUHWDGH)RXULHU

7UDQVIRUPDGD'LVFUHWDGH)RXULHU

7UDQVIRUPDGDGH)RXULHU6LQDLVQmRSHULyGLFRVHPWHPSRFRQWtQXR Uma apresentação da transformada de Fourier pode ser feita como um limite das series

de Fourier quando o período tende para infinito. A não periodicidade dos sinais implica um contínuo de frequências de -∞ a ∞. Deste modo a representação dos sinais envolve um integral.

Optamos aqui por introduzir directamente a definição de transformada de Fourier:

( ) ( ); MZ [ W H GW∞ −

−∞= ∫ Transformada de Fourier (Eq. de análise)

1

( ) ( )2

[ W ; MZ H GZπ

∞

−∞= ∫ Transformada inversa de Fourier (Eq. de síntese)

Estas duas equações formam o par de Fourier e pode escrever-se: ( ) ( )

[ W ; MZ←→ ;MZ descreve o sinal [W como uma função de frequência Z e designa-se como a sua

representação no domínio da frequência. Para garantir que os integrais existam é necessário garantir a sua convergência.

6LQDLVH6LVWHPDV13


Condições de convergência: Condições para garantir que ;MZ é finito é que [W seja de quadrado integrável (isto é que tenha energia finita):

2( )[ W GW∞

−∞< ∞∫

Uma condição equivalente é estabelecida se [W for absolutamente integrável:

( )[ W GW∞

−∞< ∞∫

e tiver um número finito de descontinuidades e de máximos ou mínimos locais em qualquer intervalo finito, e essas descontinuidades forem finitas.

Muitos dos sinais físicos encontrados na engenharia satisfazem estas condições.

Contudo alguns, como por exemplo o salto unitário, não são absolutamente nem de quadrado integráveis. Porém nestes casos podem definir-se pares de Fourier através do uso de impulsos.

7UDQVIRUPDGDGH)RXULHUGHVLQDLVEiVLFRV

3.2.1. Função exponencial:

a) [W H XWD!

( )

( )00

1( ) ( ) , 0

H; MZ H X W H GW H GW DD MZ D MZ

− +∞ ∞− − − + ∞−∞

= = = − = >+ +∫ ∫

;MZ é uma função complexa. Pode ser representado em módulo e fase:

( ) 1

2 2

1 ( ) ( ) , ( ) , ( )

Z; MZ ; MZ H ; MZ ; MZ WJ DD Z∠ − = = ∠ = − +

[W _;MZ_ )DVHGH;MZ

b) [W H XWD! [W

0 ( ) ( )

0

2 2

( )

1 1 2 , 0

! ! ! ; MZ H H GW H GW H GWD DD MZ D MZ D Z

∞ ∞− − − − +−∞ −∞

= = +

= + = >− + +

∫ ∫ ∫

Neste caso ;MZ é real.

Nota: - Em (a) e (b), se D for complexo o resultado é o mesmo. Apenas a condição será

5H^D`! .

0 0.2 0.4 0.6 0.8 10

0.2

0.4

0.6

0.8

1

-5 0 50.1

0.2

0.3

0.4

0.5

-5 0 5-2

-1

0

1

2

6LQDLVH6LVWHPDV14


3.2.2. Impulso de Dirac: [W δW

( ) ( ) 1; MZ W H GWδ

∞ −−∞

= =∫

Notar que δW para W≠ e que H

3.2.3. Função rectangular: 1

1

1, ( )

0,

W 7[ W W 7 <= >

( )

( )

11 1

1

1 1 11 1

1

1( ) ( )

2 1 2 ( ) . ( ) 2

2

; MZ [ W H GW H GW H HMZ

VHQ Z7H H VHQ Z7 7Z M Z Z7

∞ −− −−∞ −

−

= = = − −

= − = =

∫ ∫ 6LQFZ VHQZZ

É uma função da forma ( )VHQ [[ , designada por VLQF[

3.2.4. Função rectangular na frequência:

0

0

1, ( )

0,

Z Z; MZ Z Z <= >

Aplicando a transformada de Fourier inversa:

( )

( )

00 0

0

0 0 0 00

0

1 1 1( ) ( )

2 2 2 .

( )1 1 1 . ( )

2

[ W ; MZ H GZ H GZ H HMWZ VHQ Z WH H VHQ Z WW M W Z W

π π π

π π π

∞ −−∞ −

−

= = = −

= − = =

∫ ∫

Deve salientar-se aqui a dualidade entre as duas funções anteriores: Um rectângulo num domínio corresponde a uma função “sinc” no outro. É uma consequência do princípio da dualidade que se enunciará mais à frente. Nota. A função “sinc”, numa formulação exacta, é definida da seguinte maneira:

( )( )

VHQVLQF πθθπθ

= .

Desta forma as suas passagem por zero verificam-se nos pontos θ = ±1, ±2, etc. 3.2.5. Sinusóides:

0 00 0 0

1sin( ) ( ) [ ( ) ( )]

2

Z W H H Z Z Z ZM Mπ δ δ−= − ←→ − − +

0 00 0 0

1cos( ) ( ) [ ( ) ( )]

2

Z W H H Z Z Z Zπ δ δ−= + ←→ − + +

Como é conhecido as funções sinusoidais contêm uma única frequência. Logo era de esperar que a sua representação em frequência desse conta desse facto. Em ambos os casos obtiveram-se Dirac’s localizados em ±Z (apenas diferindo na fase).

δ !

w0

" # !

-15 -10 -5 0 5 10 15-0.5

0

0.5

1

t-T1

$ !

T1

## %

π

&('*),+-/. # % ! 0

1 #2%

6LQDLVH6LVWHPDV15


7DEHODVGHWUDQVIRUPDGDVGH)RXULHU Com base nas transformadas já encontradas poderíamos organizar uma mini tabela de transformadas de Fourier que seria útil para consulta numa fase posterior:

7DEHOD±7UDQVIRUPDGDGH)RXULHUGHIXQoHVHOHPHQWDUHV

Função temporal x(t)

Transformada de Fourier X(jw)

Notas

H XW 1

( )D MZ+ Rea>0

H 2 2

2

DD Z+

Rea>0

WH XW 2

1

( )D MZ+ Rea>0

δW Delta de Dirac

δWW H[SMZW Delta atrasado

1

( )2

WUHFW 7 1 17 VLQFZ7 Função rectangular

00( )

2

Z VLQF Z Wπ

( )2 0

ZUHFW Z Função rectangular na frequência

VHQZ W 0 0[ ( ) ( )]Z Z Z ZMπ δ δ− − + Função seno

FRVZ W 0 0[ ( ) ( )]Z Z Z Zπ δ δ− + + Função coseno

H[SMZ W πδZZ Exponencial complexa

3URSULHGDGHVGDWUDQVIRUPDGDGH)RXULHU

Usando funções simples cujas transformadas podem ser consultadas em tabelas e recorrendo às propriedades que se enunciam a seguir podem obter-se facilmente as transformadas de funções mais complicadas. i.) Linearidade

Sendo: 7)^[W` ;MZ 7)^\W` <MZ então: T)^D[WE\W` D;MZE<MZ A demonstração é imediata atendendo a que o operador integral é linear.

ii.) Deslocamento no tempo Sendo: 7)^[W` ;MZ então: 7)^[WW ` H[SMZW ;MZ

A demonstração é simples recorrendo a uma mudança de variável: τ WW : 0 0 0( )

0 0 ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) 7) [ W W [ W W H GW [ H G H [ H G H ; MZτ ττ τ τ τ

∞ ∞ ∞− − − −− −−∞ −∞ −∞

− = − = = =∫ ∫ ∫

6LQDLVH6LVWHPDV16


iii.) Deslocação na frequência (Modulação) Sendo: 7)^[W` ;MZ então: 7)^[WH[SMZ W` ;MZZ

O espectro do sinal que se encontrava em redor da origem é deslocado para Z . Fazendo o produto for por sinusóides, recorrendo às fórmulas de Euler obtém-se:

( ) ( )( ) ( )( )0 0 0

1( )s

27) [ W HQ Z W ; M Z Z ; M Z ZM = − − +

( ) ( )( ) ( )( )0 0 0

1( )cos

27) [ W Z W ; M Z Z ; M Z Z = − − +

iv.) Diferenciação e Integração

Sendo: 7)^[W` ;MZ Então: 7)^[W` MZ;MZ e 7)^[ W` MZ ;MZ

Também ( ) ( ) ( )10 ( )

7) [ G ; MZ ; M ZMZτ τ π δ−∞

= +∫

Notas: - Derivar no tempo traduz-se na frequência por um produto por MZ. As altas frequências ficam mais acentuadas (amplificadas).

- Pelo contrário, integrar no tempo tem como consequência um acentuar das baixas frequências (divisão por MZ). Este efeito era de esperar pois integrar um sinal significa obter a uma média no intervalo. v.) Escalonamento no tempo e em frequência

Sendo: 7)^[W` ;MZ Então: ( ) 1 MZ7) [ DW ;D D

= , D real não nulo.

Fazendo D , também se obtém: 7)^[W` ;MZ

Se D! temos uma compressão na escala de tempo de que resulta um expansão na frequência e vice-versa. vi.) Conjugado

Sendo: 7)^[W` ;MZ então: 7)^[ W` ; MZ, Note-se que :

( ) ( )

( ) ( )

**

*

( ) *

trocando por fica:

( ) * * , c.q.d.

; MZ [ W H GW [ W H GWZ Z

; MZ [ W H GW 7) [ W

∞ ∞−−∞ −∞

∞ −−∞

= =

− = =

∫ ∫

∫

- Propriedade do conjugado simétrico:

Se [W for real então [ W [W, logo tem-se: ; MZ ;MZ. Ù;MZ ; MZ. Como consequência verifica-se que |X(jw)| é uma função par e Fase[X(jw)] é impar:

X(-jw)= |X(-jw)|ejΦ(-w) e X*(jw)= |X*(jw)|e-jΦ(w)

6LQDLVH6LVWHPDV17


Sendo ;MZ ; MZ ⇒ |X(jw)|= |X*(-jw)| e Φ(-jw) = -Φ(jw) De igual modo se vê que 5H^;MZ` é par e ,P^;MZ` é impar.

([HPSOR: Função real: [W H XWD!⇒ 1( ); MZ D MZ=

+

portanto: 1

( ) *( ); MZ ; MZD MZ− = =−

, como se esperava.

- Consequências da propriedade do conjugado simétrico (a) [W real e par então também ;MZ é real e par: [W=[W⇒;MZ=;MZ (b) [W real e impar então ;MZ é imaginária pura e par:

[W=[W⇒ ;MZ=;MZ e ;MZ Im>;MZ@ (c) Separando [W nas suas componentes par e impar, atendendo a (a) e (b), teremos: [W [ W[ W logo 7)^[W` 7)^[ W`7)^[ W` Pelo que: 7)^[ W` Re>;MZ@ e 7)^[ W` Im[X(jw)] ([HPSOR: Função real e par: [W H D!,

[W 3DU>H XW@ ^>H XWH XW@` , 1( )

7) H X W D MZ− =

+

logo | |2 2

1 22 [ ( )] 2 Re[ ]

D7) 3DU H X W 7) HD MZ D Z− −= = =

+ + c.q.d

vii.) Princípio da dualidade

Sendo: 7)^[W` ;MZ então: 7)^;W` π[MZ Este resultado já tinha aparecido quando se calcularam as transformadas das funções

rectangulares no tempo e na frequência. Uma das suas utilidades surge quando se pretende obter transformadas de funções

temporais que têm um aspecto semelhante a transformadas conhecidas.

([HPSOR: Calcular 2

2

17) W

+

. Sabemos que: | |2

2 D)7 H D Z− =

+.

A nossa função no tempo assemelha-se a esta transformada com D , isto é:

| |2

2

1

7) H Z− =

+.

Pelo princípio da dualidade obtém-se: 2

22

1

7) HW π − = +

viii.) Convolução

Definição da convolução de x(t) com h(t): ( )* ( ) ( ) ( )

[ W K W [ K W Gτ τ τ−∞

= −∫

Esta propriedade estabelece que : 7)^[W KW` ;MZ+MZ

6LQDLVH6LVWHPDV18


É muito importante nas telecomunicações quando se estuda a resposta de sistemas. ix.) Relação de Parseval

Estabelece que a energia do sinal [W pode ser calculada a partir da sua transformada:

2 21( ) ( )

2[ W GW ; Z GZ

π∞ ∞

−∞ −∞=∫ ∫

7DEHOD±3URSULHGDGHVGDWUDQVIRUPDGDGH)RXULHU

Função temporal x(t)

Transformada de Fourier X(jw)

Notas

a1[W a2\W a1;MZ+a2<MZ Linearidade

[WW H[SMZW ;MZ Deslocamento no tempo

[aW

aa

1 MZ; Escalamento no tempo

[ W ; MZ Conjugação

[W ;MZ Reflexão no tempo

)0 [WH ;MZZ Modulação

( )

G [ WGW MZ ;MZ Derivação

W[W GZMZG;M )( Derivação na frequência

( )[ Gτ τ

−∞∫ )()0()( ZM;MZ

MZ; δπ+ Integração

;W π[MZ Dualidade

[W \W ;MZ<MZ Convolução no tempo

[W\W 1

2π;MZ <MZ Convolução na frequência

2

( )[ W GW∞

−∞∫ 21

( )2

; Z GZπ

∞

−∞∫ Relação de Parseval

6LQDLVH6LVWHPDV19


$PRVWUDJHPGHVLQDLVHPWHPSRFRQWtQXR

Nesta secção usaremos a transformada de Fourier para analisar os efeitos da amostragem uniforme de sinais em tempo contínuo.

Seja [W um sinal em tempo contínuo de que se pretendem extrair amostras uniformemente espaçadas. Já anteriormente vimos que a forma de obter uma amostra do sinal era através do seu produto por um impulso. Neste caso a forma de obter a sequência de amostras leva ao uso de um sequência de impulsos. Designando o sinal amostrado por [δW poderemos esquematizar o processo das amostragem na figura seguinte:

( ) ( )

S W W Q7δ∞

=−∞= −∑ - Trem de 'LUDFV.

1 2( ) ,

S W H Z7 7π∞

=−∞= =∑ - Representação de SW em série de Fourier.

A transformada de Fourier de SW pode ser facilmente obtida a partir da representação

em série de Fourier:

( )2( )

3 MZ Z NZ7

π δ∞

=−∞= −∑ , notar que: ( )2

H Z NZπδ←→ −

Designando por [δW o sinal amostrado de [W teremos:

( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )

[ W [ W S W [ W W Q7 [ Q7 W Q7δ δ δ∞ ∞

=−∞ =−∞= = − = −∑ ∑

Pela propriedade da convolução na frequência obtém-se:

( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )1 1 2 1* *

2 2

[ W S W ; MZ 3 MZ ; MZ Z NZ ; MZ MNZ7 7

π δπ π

∞ ∞

=−∞ =−∞←→ = − = −∑ ∑

Este resultado mostra que na representação em frequência do sinal amostrado

(espectro) se obtém o espectro original do sinal centrado na origem e réplicas suas espaçadas de Z e seus múltiplos como se pode ver na figura abaixo.

)LJ±(VTXHPDGDDPRVWUDJHPQRWHPSRHHPIUHTXrQFLD

[SW

[W [δW0 Ts t

p(t) 1

t

0

x(t)

t

xδ(t)

0 Ts

-wm 0 wm

W

X(jw) 1

P(jw)

2π/Ts

W

Ws 2Ws -Ws -2Ws 0 t

p(t) 1

0 Ts

wm 0 wm

W

Xδ(jw)

Ws 2Ws -Ws -2Ws

1/Ts

Ws+wm Ws-wm

6LQDLVH6LVWHPDV20


w

TsHT(jw)

ws

2

-ws

2

Notas: – Foi necessário impor que [W fosse de banda limitada (não tivesse componentes de

frequência superiores a uma frequência máxima Z ). – Para posterior recuperação do sinal original é necessário que as réplicas de ;MZ

não se sobreponham. Para isso teremos de impor a condição Z !Z .

7HRUHPDGD$PRVWUDJHP

Seja ( ) ( )[ W ; MZ←→ um sinal de banda limitada, isto é ;MZ = para _Z_!Z . Se

Z !Z (com Z π7 ) for a frequência de amostragem, então [W será representada de forma única pelas suas amostras [Q7 Q ±±.

O valor limite mínimo de Z =Z designa-se ULWPRGHDPRVWUDJHPGH1\TXLVW.

5HFRQVWUXomRGRVLQDOTemos para o sinal amostrado que: ( ) ( )1

; MZ ; MZ MNZ7δ

∞

=−∞= −∑

;δMZ para N será ;MZ. Se eliminarmos todas as réplicas para N≠ obtemos o sinal original. Isto consegue-se multiplicando ;δMZ por um filtro cuja função +MZ seja um rectângulo:

( ),

2

0, 2

Z7 Z+ MZ ZZ

<= >

;MZ ;δMZ+ MZ

Na ausência de aliasing, isto é nas condições do teorema da amostragem (ws>2wm) a recuperação do sinal pode esquematizar-se na figura seguinte:

)LJ±(VTXHPDGDUHFRQVWUXomRGRVLQDODPRVWUDGR

wm 0 wm

W

Xδ(jw)

Ws 2Ws -Ws -2Ws

1/Ts

Ws+wm Ws-wm

-wm 0 wm

W

X(jw) 1

w

Ts HT(jw)

-ws

2

ws

2

Filtro HT(jw)

[δW ;δMZ

[W ;MZ

6LQDLVH6LVWHPDV21


6LVWHPDV

Um sistema pode ser visto como qualquer processo que resulte na transformação de sinais. Terá um VLQDOGHHQWUDGD e um VLQDOGHVDtGD, que se relaciona com o de entrada através da IXQomR GR VLVWHPD. A função do sistema descreve-lo-á, sendo a responsável pelas modificações que os sinais de entrada sofrerão.6LVWHPDVHPWHPSRFRQWtQXR

Os sistemas em tempo contínuo transformam sinais em tempo contínuo noutros sinais também em tempo contínuo na sua saída.

[W\W : sinais em tempo contínuo.

$VVRFLDomRGHVLVWHPDV

Se existirem vários sistemas, eles podem estar associados para desempenhar as suas funções. Por exemplo:

i) – Associação paralela: a acção de ambos os sistemas adiciona-se.

ii) – Associação série: a acção dos sistemas sobrepõe-se.

iii) – Exemplo. Realização da função: )()(2)( 2 W[W[W\ +=

3URSULHGDGHVGRVVLVWHPDV 6LVWHPDFRPHVHPPHPyULD

Num sistema sem memória, a saída depende apenas da sua entrada nesse instante. Exemplo.: Circuito eléctrico resistivo.

Num sistema com memória, a saída depende da entrada actual e das suas saídas anteriores (ou entradas anteriores). Exemplo.: Circuito eléctrico com

condensadores: 01

v (t) ( )

L GF τ τ−∞

= ∫

Y

[W \W

Σ

!" #$%& #'!#"(

)%*$" *$#

+, & -. , & -Σ

" */ 0)%*$" *$*

6LQDLVH6LVWHPDV22


,QYHUWLELOLGDGH6LVWHPD,QYHUVR

Um sistema diz-se invertível se, observando as suas saídas pudermos determinar as suas entradas. (Entradas distintas conduzem a saídas distintas)

O sistema inverso será aquele que colocado em série com o sistema original produz uma saída igual à entrada. ([HPSOR: Sistema: y(t)=2x(t) ⇒

Sistema inverso: ( )

( ) ( )2

\ W] W [ W= =

&DXVDOLGDGH

Num sistema causal a saída depende apenas da entrada no presente e no passado. São sistemas não antecipativos (a sua saída actual não depende de valores futuros da entrada). ([: Num automóvel, o seu movimento não antecipa acções futuras do seu condutor. ([: y(t)=x(t+1). Não é causal. A saída y(t) depende de valores futuros da entrada. 6LVWHPDVVHPPHPyULDVHUmRFDXVDLV"

Em certas aplicações, o facto de um sistema ser não causal é aceitável. Por exemplo o processamento de sinais previamente gravados, ou sistemas que tratem sinais que não dependam do tempo (imagem, etc.) (VWDELOLGDGH

Numa ideia intuitiva de estabilidade, um sistema estável é aquele em que pequenas variações na entrada conduzem a respostas que não divergem.

3HTXHQDV SHUWXUEDoHVQDHQWUDGD !SHTXHQDVSHUWXUEDoHV QD VDtGDVH DV SHUWXUEDoHV HP[W FHVVDUHP UHJUHVVD jVLWXDomRRULJLQDO

6H KRXYHU XPD SHUWXUEDomRHP[WQmRKDYHUiUHJUHVVRjVLWXDomRRULJLQDO

Numa definição mais rigorosa, num sistema estável entradas limitadas provocam

saídas limitadas: |x(t)| ≤ A ⇒ |y(t)| ≤ B ; A,B: constantes reais positivas.

,QYDULkQFLDQRWHPSR

Um sistema é invariante no tempo se uma deslocação no tempo do sinal de entrada causa uma deslocação do sinal de saída:

x(t) ⇒ y(t); x(t-t0) ⇒ y(t-t0)

([: y(t) = 2 sen(x(t)) , então atrasando a entrada teremos: y(t-t0) = 2 sen(x(t-t0)) ([: y(t) = t.x(t) . Será invariante? Usando dois sinais x1 e x2, as respectivas saídas serão y1,y2 :

x1(t) = x(t) y1(t) = t.x1(t) = t.x(t) x2(t) = x(t-t0) y2(t) = t.x2(t) = t.x(t-t0)

6LVWHPD,QVWiYHO6LVWHPD(VWiYHO

[W ! " ! #%$ !

[W & ' ( ) * ' ( ) + , ' ( )& ' ( ) +.-%, ' ( ) * ' ( ) + & ' ( )/.-

6LQDLVH6LVWHPDV23


vemos que y2(t) ≠ y1(t-t0), pois y1(t-t0) = (t-t0).x(t-t0) , portanto o sistema é não invariante (isto é variante no tempo). /LQHDULGDGH

Sistemas lineares possuem a propriedade da sobreposição (adição e produto por constante). Se uma entrada consiste na soma pesada de vários sinais, então a saída será a soma pesada das respostas do sistema a cada um desses sinais.

x1 ⇒ y1; x2 ⇒ y2; x3 = a1x1+a2x2 ⇒ y3 = a1y1+a2y2 Em particular, em sistemas lineares, para entradas nulas temos saídas nulas.

([: y(t) = 2x(t)+3, será linear ou não? Note-se que apesar de ser representado por uma recta, não é linear (não passa na origem(x=0,y=3)). Este sistema poderia designar-se como incrementalmente linear: ∆x → ∆y

6LQDLVH6LVWHPDV24


(UUDWDGDVIROKDVGH6LQDLVH6LVWHPDV (9HUVmR)Pag.9, - 2.5.1 – iv):

logo [ ]0( )0 0( ) cos( ) sen( )

[ W & H & H H & H Z W M Z Wθ θ θ+= = = + + + .

Pag.12, - 3.2.1-b):

0 ( ) ( )

0

2 2

( )

1 1 2 , 0

; MZ H H GW H GW H GWD DD MZ D MZ D Z

∞ ∞− − − − +−∞ −∞

= = +

= + = >− + +

∫ ∫ ∫

Pag.13, - 3.2.2): ( ) ( ) 1; MZ W H GWδ

∞ −−∞

= =∫

Pag.14, última linha: 0 0 0( )

0 0 ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) 7) [ W W [ W W H GW [ H G H [ H G H ; MZτ ττ τ τ τ

∞ ∞ ∞− − − −− −−∞ −∞ −∞

− = − = = =∫ ∫ ∫

Pag.15, -3.4 - iv): ( ) ( ) ( )10 ( )

7) [ G ; MZ ; M ZMZτ τ π δ

−∞= +∫

Pag.16, -3.4 - viii): ( )* ( ) ( ) ( )

[ W K W [ K W Gτ τ τ−∞

= −∫

Pag.16, -3.4 - ix): 2 21

( ) ( )2

[ W GW ; Z GZπ

∞ ∞

−∞ −∞=∫ ∫

Pag.22, -5.2.1: σD! , logo: σ!D (ROC)

Pag.23, -5.2.4: 2 20 0

( ) ( )2

H H Z; V VHQ ZW H GW H GWM V Z

−∞ ∞− −−= = =+∫ ∫

Pag.22, -5.5.1:

( ) ( ) ( ) ( )1 2

1 2

...

$ $ $Q; V V S V S V S= + + +− − −

Ak é o resíduo de ;V no pólo S ! .

( ) ( )

( ) "# #

$&%

1 V$ V S ' V =

= − Das tabelas de transformadas: '()*,+ -

--

$$ H V S←→−

Pag.27, Exemplo2:

( )( )

( )( ) ( ) ( )( )

( )

2

3 2 221

1

22 2

42

1

2 21 1 1

2 2 2 2

2 2 2 2 2 2 2 21 2

2 2

..

.

VG G% V V GVGV V V

V V V V V VV V

=−=−

=−

− + = = = + + − + + + + + = − +

Pag.28, 1RWD:

2 5( ) (0) (0) 3 ( ) 3 (0) 2 ( )6 ; 6 6[ [ 6; 6 [ ; 6 6′− − + − + = ⇔ ( ) 666;66 5

1)(232 +−−=++

$3217$0(1726 ’( 6,1$,6 ( 6,67(0$6ltodi.est.ips.pt/smarques/ss/folhastssrogeriolargo.pdf · no...

Documents