3 torcao

1

RESISTÊNCIA DOS

MATERIAISCAPITULO

Notas de Aula:

Prof. Gilfran Milfont

As anotações, ábacos, tabelas, fotos e

gráficos contidas neste texto, foram

retiradas dos seguintes livros:

-RESISTÊNCIA DOS MATERIAIS-

Beer, Johnston, DeWolf- Ed. McGraw

Hill-4ª edição-2006

- RESISTÊNCIA DOS MATERIAIS-R.

C. Hibbeler-Ed. PEARSON -5ª edição-

2004

-MECÂNICA DOS MATERIAIS-James

M. Gere-Ed. THOMSON -5ª edição-2003

-MECÂNICA DOS MATERIAIS- Ansel

C. Ugural-Ed. LTC-1ª edição-2009

-MECÂNICA DOS MATERIAIS- Riley,

Sturges, Morris-Ed. LTC-5ª edição-2003

3 Torção

RESISTÊNCIA DOS MATERIAIS AULAS PROF. GILFRAN MILFONT

Momento Torçor em Eixos Circulares

1 - 2

• O sistema da figura é composto de

um gerador e uma turbina,

interligados por um eixo.

• Efeitos da torção :

- Dá origem a tensões de cisalhamento nas diversas seções tranversais do eixo;

- Produz um deslocamento angular de uma seção transversal em relação à outra.

• O eixo transmite o torque para o

gerador e o gerador cria um torque

igual e contrário T’, chamado

Momento Torçor.

• A turbina exerce um torque T no eixo.

2


Torque Interno

1 - 3

dAdFT

• A resultante das tensões de cisalhamento,

geram um torque interno igual e oposto ao

torque externo aplicado,

• Embora a resultante do torque devido às tensões

de cisalhamento seja conhecida, a distribuição

das tensões ainda não o é.

• Diferentemente da distribuição das tensões

normais devido à cargas axiais, a distribuição das

tensões de cisalhamento devido ao torque não

pode ser considerada uniforme.

• A determinação da distribuição das tensões de

cisalhamento é estaticamente indeterminada,

deve-se considerar as deformações do eixo para

a sua solução.


Componentes das Tensões de Cisalhamento

1 - 4

• O torque aplicado na barra circular

produz tensões de cisalhamento nas faces

perpendiculares ao eixo axial.

• A existência destas tensões pode ser

demonstrada, considerando que a barra é feita

de tiras axiais, conforme figura ao lado.

• As condições de equilíbrio requerem a

existência de tensões iguais nas faces dos dois

planos que contêm o eixo da barra.

3


Cisalhamento na Torção

1 - 5

• Considere um elemento no interior de uma seção de

um eixo, submetido a um torque T.

• Desde que a extremidade do elemento permanece

plana, a deformação de cisalhamento é proporcional

ao ângulo de torção.

• Logo:

• Temos então:

máxmáx e g

gf

gcL

c

LL

fg fg ou

Pela lei de Hooke para o cisalhamento:

LG

fg


Cisalhamento na Torção – cont.

dAJOnde 2:

1 - 6

Jc

dAc

dAT máxmáx

2

• Como a soma dos momentos internos causados pela

tensão de cisalhamento deve ser igual ao torque

externo,

• Ficamos então com: emáxJ

T

J

Tc

máxc

00

Logo, se:

Encontramos então, a seguinte relação:

máxmáx

cc

4


Momento Polar de Inércia

1 - 7

a) Eixos Circulares Cheios:

32

22.

2

4

4

0

2

2

2

DJ

ou

cdJ

ddAA

dAJ

c

b) Eixos Circulares Vazados:

)(32

44

ie DDJ

421 cJ

41

422

1 ccJ

41

422

1 ccJ ou


Deformação do Eixo – Ângulo de Torção

1 - 8

• Verifica-se que o ângulo de torção no eixo, é

proporcional ao torque aplicado e ao

comprimento do eixo.

L

T

f

f

• A seção transversal de barras não circulares

submetidas a torção são distorcidas, devidas a

falta de axisimetria.

• Quando submetido a torção, o eixo circular

permanece com a sua seção tranversal plana e

sem distorção.

5


Ângulo de Torção

1 - 9

• Sabemos que o ângulo de torção e a deformação

de cisalhamento estão relacionadas por:

L

cmáx

fg

• Pela lei de Hooke para o cisalhamento:

JG

Tc

G

máxmáx

g

• Igualando as equações e resolvendo para o

ângulo de torção, encontramos:

JG

TLf

• Se o torque, a seção, o material ou o

comprimento variam ao longo do eixo:

i ii

ii

GJ

LTf


Exemplo 3.1

1 - 10

O eixo BC é ôco com diâmetro interno de

90mm e diâmetro externo de 120mm. Os

eixos AB e CD são cheios e de diâmetro d.

Para o carregamento mostrado, determine:

(a) as tensões de cisalhamento minima e

máxima no eixo BC,

(b) o diâmetro d necessário para os eixos

AB e CD, se a tensão admissível ao

cisalhamento para o material do eixo é de

65 MPa.

6


1 - 11

SOLUÇÃO:

• Corte o eixo através de AB e BC e

aplique as equações de equilíbrio para

encontrar os torques internos:

CDAB

ABx

TT

TM

mkN6

mkN60

mkN20

mkN14mkN60

BC

BCx

T

TM

Exemplo 3.1


1 - 12

• Para o eixo BC, temos:

46

4441

42

m1092.13

045.0060.022

ccJ

MPa2.86

m1092.13

m060.0mkN2046

22max

J

cTBC

MPa7.64

mm60

mm45

MPa2.86

min

min

2

1

max

min

c

c

MPa7.64

MPa2.86

min

max

• Para os eixos AB e BC, temos:

m109.38

mkN665

3

3

2

4

2

max

c

cMPa

c

Tc

J

Tc

mm8.772 cd

Exemplo 3.1

7


Exemplo 3.2

4644

3

10021,1)(32

109,34180

2

mDDJ

rad

L

GJT

GJ

TL

ie

1 - 13

Que valor de momento de torção deve ser

aplicado à extremidade do eixo circular da

figura, de modo a produzir um ângulo de torção

de 20? Adotar G=80 GPa.

SOLUÇÃO:

LOGO:

mKNT

T

.9,1

109,345,1

10021,11080 369


Exemplo 3.3

03

6min

6

9

6

minmin

76,3106,65

1087520

1500

108751080

1070

rad

radmm

mm

r

L

radG

i

g

g

1 - 14

Calcular, para o eixo da figura, o valor do

ângulo de torção que provoca uma tensão de

cisalhamento de 70 MPa na face interna do

eixo. Adotar G=80 GPa.

SOLUÇÃO:

A distribuição das tensões no

eixo se dá como abaixo:

LOGO:

8


Exemplo 3.4

1 - 15

Dois eixos sólidos de aço são

conectados por engrenagens.

Sabendo que o material dos eixos tem

G = 77,2 GPa e tensão admissível ao

cisalhamento de 55 MPa, determine:

(a) o torque máximo T0 que pode ser

aplicado em A,

(b) o correspondente ângulo de

torção em A.

900mm

25mm

19mm

650mm

62mm

22mm


1 - 16

SOLUÇÃO:

• Aplique a equação de equilíbrio da

estática para as engrenagens,

encontrando a relação entre TCD e T0

• Aplique a analise cinemática para as

engrenagens, encontrando a relação

entre as suas rotações

Exemplo 3.4

0

0

82.2

0

22mm0

TT

TFM

TFM

CD

CDC

B

62mm

62mm22mm 62mm

22mm

CB

CCB

CB

CCBB

r

r

rr

ff

fff

ff

82.2

62mm.

22mm.

9


1 - 17

• Encontre o correspondente ângulo de torção

para cada eixo e a rotação da extremidade A

o54,10Af

Exemplo 3.4

• Encontre T0 permitido em função

de cada eixo e escolha o menor:

9,5mm

0,65m

12,5mm

0,9m

59,84N.m0 =>T

max J

cT

CD

CD

max J

x cT

AB

AB

74,07N.m0 =>T

0,009555MPa

4

2

0T

0,0095

0,01258.255Mpa

4

2

0T

0,0125

59,84 N.m0 T

o2.26rad394.0

oo

/

oo

2,2628.8,

28,894,22,82

BABA

CB

fff

ff

942

/Pa1077,20,0095m

0,6m59,84 N.m

AB

ABBA

GJ

LTf

o

42

/

94.2,rad513.0

91077,20,0125

0,9 m59,84822,

CD

CDDC

GJ

LTf

Pa

2,82


Tensões em Planos Ortogonais ao Eixo

1 - 18

• Elementos com faces perpendiculares e

paralelas ao eixo axial, estão submetidas a

cisalhamento puro. Tensões normais e tensões

de cisalhamento são encontradas para outras

orientações.

máxmáx

máxmáx

A

A

A

F

AAF

2

2

245cos2

0

0

45

00

o

• Considere um elemento a 45o do eixo axial,

• Elemento a está sob cisalhamento puro.

• Elemento c está submetido a tração em duas

de suas faces e a compressão nas outras duas.

10


Falhas Sob Torção

1 - 19

• Materiais dúcteis geralmente

falham por cisalhamento. Materiais

frágeis são mais suceptiveis a falhas

por tensão normal.

• Quando submetidos a torção, os

materiais dúcteis rompem no plano

onde ocorre a tensão de

cisalhamento máxima, isto é, o

plano perpendicular ao eixo axial.

• Quando submetidos a torção, os

materiais frágeis ropem em um

plano que forma 45o com eixo axial,

isto é, o plano onde ocorre a tensão

normal máxima.


Eixos Estaticamente Indeterminados

1 - 20

• São aqueles, onde o número de incógnitas a

encontrar é maior que o número de equações da

estática aplicáveis.

• Ex: Dado o eixo da figura, desejamos determinar

os torque reativos em A e B.

ABBA T

JL

JLT

GJ

LT

GJ

LT

12

21

2

2

1

121 0 fff

• Dividindo o eixo em duas partes, as quais

precisam ter compatibilidade de deformações,

• Da análise do diagrama de corpo livre do eixo:

T BA TT

TJLJL

JLTB

2112

21

• Substituindo na equação de equilíbrio,

T12

21 AA TJL

JLT

TJLJL

JLTA

2112

12 e

11


Projeto de Eixos de Transmissão

1 - 21

• O projeto de eixos de

transmissão (árvores) baseia-se

na Potência transmitida e na

Velocidade de rotação do eixo

• O torque aplicado é uma função

da potência e da velocidade de

rotação,

f

PPT

fTTP

2

2

• A seção do eixo é encontrada,

igualando-se a tensão máxima à tensão

admissível do material,

• O projetista precisa selecionar o

material e calcular

adequadamente a seção do eixo,

sem que exceda a tensão

admisível do material e o ângulo

de torção máximo permitido para

a aplicação.

• O ângulo de torção deve ser

verificado pela expressão:

JG

TLf

Eixo ôco2

Eixo cheio2

máx

41

42

22

máx

3

máx

Tcc

cc

J

Tc

c

J

J

Tc


Concentração de Tensões

1 - 22

• A equação da tensão de cisalhamento,

supõe a seção circular uniforme, sem

descontinuidades.

J

Tcmáx

J

TcKmáx

• Nestes casos, deve-se multiplicar a

tensão pelo fator de concentração de

tensões:

• A utilização de acoplamentos, engrenagens,

polias, etc., acopladas através de chavetas,

ou no caso de descontinuidades na seção,

causam concentrações de tensão.

• Para eixos com rasgo para chavetas:

K=1,25

12


Deformações Plásticas Em Eixos

máxcg

g

1 - 23

• Na região elástica do material: J

Tcmax

• A deformação de cisalhamento γ varia linearmente

com a distância ρ ao centro da seção, independente

das propriedades do material. Podemos então,

continuar utilizando a relação:

• Se a tensão de escoamento é atingida ou se o material

tem uma cuva tensão-deformação não linear (material

frágil), a expressão anterior não pode ser usada.

cc

ddT0

2

0

22

• A integral do momento causado pela distribuição

interna das tensões de cisalhamento é igual ao torque

externo aplicado,

AAdAdFT ...


Eixos de Material Elastoplástico

1 - 24

f

g YL

Y

• O máximo torque elástico é:

YYY cc

JT 3

21

c

L YY

gf

e

• A medida que o torque aumenta, uma região plástica

( ) se desenvolve no eixo, com ( )Y YY

3

3

41

34

3

3

413

32 11

cT

ccT Y

YY

Y

3

3

41

34 1

f

fYYTT

• Se , o torque atinge o seu valor

máximo,

0Y

plástico torque TT YP 34

Material Elastoplástico

13


Tensões Residuais

1 - 25

• Uma região plástica é desenvolvida em um eixo, quando

submetido a um torque suficientemente grande.

• Na curva T-f , o eixo é descarregado ao longo de uma

linha reta, ficando no final com um ângulo residual,

surgindo no final as tensões residuais..

• Quando o torque é removido, a redução da tensão e da

deformação se dá ao longo de uma linha reta, paralela a

reta inicial do carregamento.

• As tensões residuais são encontradas pelo pricípio da

superposição

0 dA

J

Tcm


Exemplo 3.08/3.09

1 - 26

Um eixo circular maciço é sumetido

a um torque T=4,60 KN.m em cada

uma de suas extremidades. Adotando

o material do eixo como sendo

elastoplástico, com e

G=77GPa determine:

(a) o raio do núcleo elástico,

(b) O ângulo de torção.

Após a remoção do torque,

determine:

(c) O ângulo de torção permanente,

(d) A distribuição das tensões

residuais.

MPa150Y

14


1 - 27

SOLUÇÃO:

a) Resolva a Eq. (3.32) e encontre

o raio do núcleo elástico

31

3413

3

41

34

Y

YYY

T

T

ccTT

mkN68.3

m1025

m10614Pa10150

m10614

m1025

3

496

49

3

214

21

Y

YY

YY

T

c

JT

J

cT

cJ

630.068.3

6.434

31

c

Y

mm8.15Y

• b) Resolva a Eq. (3.36) para o ângulo

de torção:

o33

3

49-

3

8.50rad103.148630.0

rad104.93

rad104.93

Pa1077m10614

m2.1N1068.3

f

f

f

ff

f

f

Y

YY

Y

YY

Y

JG

LT

cc

o50.8f

Exemplo 3.08/3.09


1 - 28

TL

• c) Utilize a Eq. (3.16) para o

ângulo de torção no

descarregamento. O ângulo de

torção permanente é a diferença

entre o âgulo no carregamento e

o no descarregamento:

o

33

3

949

3

1.81

rad108.116103.148

rad108.116

Pa1077m1014.6

m2.1mN106.4

ff

f

pφ

JG

o81.1pf

• d) Utilize o método da superposição

de efeitos para encontrar as tensões

residuais

MPa3.187

m10614

m1025mN106.449-

33

max

J

Tc

Exemplo 3.08/3.09

15


Torção em Barras Não Circulares

1 - 29

• Para altos valores de a/b, a tensão de

cisalhamento máxima e o ângulo de

torção podem ser calculados pelas eq.

Anteriores, desde que a seção seja

aberta.

Gabc

TL

abc

T3

22

1

max f

• Para seções retangulares uniformes,

• As fórmulas anteriormente vistas, são

válidas para eixos circulares.

• Seções planas de barras não circulares

não permanecem planas durante a torção

e a distribuição da tensão e da

deformação não é linear.


Eixos Vazados de Paredes Finas

1 - 30

• Somando as forças na direção x em AB,

a tensão de cisalhamento varia inversamente

com a espessura.

de cisalhamentofluxo

0

DD

qttt

xtxtF

BBAA

BBAAx

tA

T

qAdAqdMT

dAqpdsqdstpdFpdM

2

22

2

0

0

• O torque e a tensão de cisalhamento são

calculados conforme abaixo:

t

ds

GA

TL24

f

• O ângulo de torção é calculado por:

16


Exemplo 3.10

1 - 31

Um tubo de aluminio de seção

retangular de 60 x 100mm, fabricado

por extrusão, é submetido a um torque

3 KN.m. Determine a tensão de

cisalhamento em cada uma das quatro

paredes, com:

(a) espessura uniforme de 4mm.

(b) espessura de parede de 3mm em AB

e AC e espessura de 5mm em CD e BD.

4mm

4mm

100mm

60mm

100mm

60mm3mm

5mm


1 - 32

SOLUÇÃO:

• Determine o fluxo de cisalhamento

através das paredes do tubo:

• A tensão de cisalhamento para cada

espessura de paredes é o fluxo de

cisalhamento pela espessura.

a) Para espessura uniforme de

paredes,

m

mKN

t

q3-104

/02,279

MPa8,69

b) Para espessura de paredes

variável

m

mKNACAB 3103

/02,279

MPaBCAB 0,93

MPaCDBC 8,55

Exemplo 3.10

96mm

56mmt=4mm

t=4mm

m

KN

A

Tq

mA

02,27910376,52

103

2

10376,510)5696(

3

3

236

m

mKNCDBD 3105

/02,279

3 torcao

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