3 - refração e reflexão

3

REFLEXÃO E REFRAÇÃO INTRODUÇÃO Neste capítulo iremos estudar dois importantes fenômenos, reflexão e refração de ondas eletromagnéticas na interface de separação de dois meios opticamente diferentes. A partir deles vamos analisar alguns parâmetros físicos importantes, como pôr exemplo, ângulo crítico, reflectância e transmitância de interfaces, bem como a determinação de ângulos de Brewster para diferentes pares de meios e o deslocamento de Goos-Häenchen. 3.1 - Leis de Snell Para estudarmos reflexão e refração de ondas eletromagnéticas, tomemos ondas do tipo harmônico, E=Eosen(k•r-ωt) e consideremos que estejam incidindo em uma interface de separação de dois meios 1 e 2. Duas situações são possíveis: o campo elétrico sendo paralelo ou perpendicular ao plano de incidência, como mostra a fig- (3.1-1 ). Para as duas situações a estudar, vamos considerar que: µ µ µ1 2 0≅ ≅ ( )µ µr r1 2≅ ≅ 1 Em ambos os casos, no entanto, teremos no ponto de incidência três ondas eletromagnéticas dadas pôr: 1 - Onda incidente ⇒ ( )E E ti oi= −•sen k ri ω (3.1-1)

2 - Onda refletida ⇒ ( )E E tr or= −•sen k rr ω (3.1-2)

3 - Onda refratada ⇒ ( )E E tt ot= −•sen k rt ω (3.1-3) Se estamos considerando estas ondas no mesmo instante e no mesmo ponto do espaço, teremos

que as suas fases na superfície, e no ponto de incidência, serão iguais. Logo:

c a s o π E

k

m e io 1

m e io 2

c a s o σ

E

k

m e io 1

m e io 2

Fig.(3.1-1) - Possíveis orientações do campo elétrico em relação à interface de separação entre dois meios opticamente diferentes.

Óptica Aplicada a Problemas de Engenharia

80

k r k r k ri r tt t t• • •− = − = −ω ω ω resultando em: k k ki i r r t tsen sen senθ θ θ= = Considerando o par de ondas incidente e refletidas podemos dizer que ki=kr, pois correspondem a ondas no mesmo meio. Desta forma, temos: sen senθ θi r= ∴ θ θi r= (1a Lei de Snell) No caso das ondas incidente e refratada, ou transmitida, temos que k ki t≠ , pois correspondem a meios diferentes. Então: sensen

θθ

i

t

t

i

o

o

kk

n kn k

nn

= = =2

1

2

1

que escreveremos na forma: n ni t1 2sen senθ θ= (2a Lei de Snell) As eqs. (3.l-4) c (3.l-5) são conhecidas como as leisde Snell para a reflexão c a refração. 3.1.1 - Ângulo Crítico A igualdade expressa na eq.(3.1-5) nos leva a concluir que: caso N1 seja maior do que N2, senθ t será maior do que senθ i , donde θ θt i> . Com isto, não é difícil de percebermos que haverá um ângulo de incidência crítico (θc ) para o qual θ πt = / 2 . Para ângulos θ i maiores do que θc , o valor de θ t será maior do que π / 2 . Ou seja, a onda refratada retorna ao meio da onda incidente. Este efeito é conhecido como refração total e está ilustrado na fig.(3.l-2). O valor do ângulo crítico θc pode ser calculado na eq . (3.1-1 ) fazendo-se senθ t = 1, quando θ θi c= . Com isto:

senθcnn

=⎛⎝⎜

⎞⎠⎟2

1( n n2 1> ) (3.1-6)

Quando θ θi c> , o senθ t é maior do que 1. Isto é um fato, a princípio, sem significado físico. Entretanto, se lembrarmos que é permitido à função seno ter valores maiores do que 1 quando o seu argumento é complexo, podemos tirar algumas conclusões para a situação senθ t > 1. Senão vejamos. Mesmo quando θ θi c> temos:

Reflexão e Refração 81

sen sen sensen

θ θθθt i

i

c

nn

= =1

2 (3.l-7)

Como

[ ] [ ]cos sen senθ θ θt t ti= − = −1 12 1 2 2 1 2

em face da equação (3.1-7) podemos escrever:

cossensen

θθθt

i

c

i=⎛⎝⎜

⎞⎠⎟ −

⎡

⎣⎢⎢

⎤

⎦⎥⎥

2 1 2

1 (3.1-8)

Apliquemos esses resultados a uma onda incidindo sobre uma superfície de separação entre dois meios com um ângulo maior que o crítico. Tomemos uma onda plana harmônica do tipo

( )E E et oi t= − −•k r ω

para a onda transmitida. Considerando-se que o raio de luz está propagando no plano de incidência, o produto escalar k r⋅ , é dado pôr:

( )k r• + = += k x k z k x zx z t tsen cosθ θ Supondo que z seja a direção perpendicular à superfície de separação dos meios, como está indicado na fig.(3.l-2), podemos escrever: E E e e et o

ikx ikz i tt t= ⋅ ⋅− − +sen cosθ θ ω Substituindo-se nesta expressão a eq.(3.l-8), temos:

θc

θi

Ângulo Crítico

π/2

Fig.(3.1-2) - Ilustração do efeito da reflexão total.


82

E E e e et oikx

kzi tt

i

c= −

⎛

⎝⎜

⎞

⎠⎟ −

⎡

⎣⎢⎢

⎤

⎦⎥⎥

⎧⎨⎪

⎩⎪

⎫⎬⎪

⎭⎪ +sen

sensen

/

θ

θθ

ω

2 1 2

1

(3.1-9) Logo, a onda se propaga ao longo de x, enquanto na direção z ela é atenuada, como no caso de um meio metálico. Assim sendo, no processo da reflexão total, embora haja o retorno da radiação ao meio onde estava se propagando, o campo penetra no outro meio, dando lugar a um campo evanescente. Este evento é análogo ao do tunelamento, verificado no caso de partículas, como os elétrons. Como tal, e possível se pensar em efeitos de tunelamento com luz (ou fótons, se pensarmos nela como partícula). EXEMPLO (3.1-1) - Calcular a penetração de uma onda eletromagnética, sob a condição de reflexo total com um ângulo de incidência maior que o ângulo crítico, para o caso dos meios GaAs-ar. Solução Tomemos os índices de refração dos materiais em questão. Teremos nGaAs=3,5 e nar=1. Consideremos uma onda de comprimento λ=0,85µm. O ângulo critico no caso será:

sen ,θcar

GaAs

nn

= = 0 29 ou θc =16o36’

O valor de cosθ t é agora obtido usando-se a eq.(3.l-8), para a qual consideraremos θ i =30o, sendo, pois, maior que o crítico.

cos ,,

,= ⎛⎝⎜

⎞⎠⎟

−⎛

⎝⎜⎜

⎞

⎠⎟⎟=i 0 50

0 291 1 44

2

Analisando a eq.(3.l-9) vemos que

δθθ

=⎛⎝⎜

⎞⎠⎟ −

1

12

k i

c

sensen

(3.1-10)

mede a penetração da onda no meio menos refringente. Teremos:

δλ

πθθ

µ=⎛⎝⎜

⎞⎠⎟ −

=⋅ ⋅

=

2 1

0 852 314 1 44

0 0962

sensen

,, ,

,i

c

m

Em angstrons, temos δ=940Å. Isto indica que tal radiação, ao sofrer reflexão total penetra algumas centenas de camadas atômicas no material sobre o qual está incidindo. 3.2 - Coeficientes de Reflexão e Refração


Se tomarmos as condições de contorno para os campos E, D, B e H na interface entre os meios 1 e 2, obteremos a relação entre os módulos dos campos incidente, refletido e refratado. As condições são: D e B - as componentes normais são continuas E e H - as componentes tangenciais são continuas. Para z=0 teremos:

( )[ ]ε ε1 2 0E E E noi or ot+ − ⋅ = [ ]k xE k xE k xE ni oi r or t ot+ − ⋅ = 0 [ ]E E E xnoi or+ + = 0

( ) ( )1 1 01 2µ µ

k xE k xE k xE xni oi r or t ot+ −⎡

⎣⎢

⎤

⎦⎥ =

onde usamos as seguintes relações: D E= ε

B H kxE= =µ εµ

k

sendo n um versor normal á superfície de separação dos meios. 3.2.1 - Coeficientes para a Polarização σ. A polarização σ corresponde ao caso em que o campo incidente E é sempre perpendicular a n, como se vê na fig.(3.2-1). Assim sendo, as equações de contorno ficam: E E Eoi or ot+ − = 0

( )ε θ ε θ1 2 0E E i Eoi or ot t− − =cos cos Estas duas equações nos permitem obter as seguintes relações:

r EE

n i nn i n

or

oi

t

tσ

σ

θ θθ θ

=⎛⎝⎜

⎞⎠⎟ =

−+

1 2

1 2

cos coscos cos

(3.2-1)

θi θr

θt

Ei Er

Et

Bi Br

Bt

Fig.(3.2-1) - Representação dos vetores E e B para o caso σ.


84

t EE

n in i n

ot

oi tσ

σ

θθ θ

=⎛⎝⎜

⎞⎠⎟ =

+2 1

1 2

coscos cos

(3.2-2)

A eq.(3.2-1) nos dá o coeficiente de polarização e a eq.(3.2-2) o coeficiente de transmissão, ambos da polarizaçãoσ. Nestas equações usamos a relação ε1/2=n. 3.2.2 - Coeficientes para a Polarização π Neste outro caso, E e n estão no mesmo plano, o de incidência, como se vê na fig.(3.2.2). Para ele as condições de contorno serão: ( )E E Eoi or i ot t− − =cos cosθ θ 0

( )ε ε1 2 0E E Eoi or ot− − = levando aos coeficientes de reflexão e transmissão da polarização π:

r EE

n nn n

or

oi

t i

t iπ

π

θ θθ θ

=⎛⎝⎜

⎞⎠⎟ =

−+

1 2

1 2

cos coscos cos

(3.2-3)

t EE

nn n

ot

oi

i

t tπ

π

θθ θ

=⎛⎝⎜

⎞⎠⎟ =

+2 1

1 2

coscos cos

(3.2-4)

Obsevando-se as eqs.(3.2-1) e (3.2-3), percebemos que os coeficientes de reflexão podem ser negativos, enquanto os de transmissão não. Disto se apreende que as ondas refletidas podem sofrer uma inversão no sentido de orientação, enquanto as transmitidas nunca sofrerão tal inversão. EXEMPLO (3.2-1) - Calcular os coeficientes de reflexão, considerando que a radiação incide, sobre a interface de separação dos dois meios ópticos, sob a condição de reflexão total.

Solução No caso da reflexão total temos cosθ t dado pela eq.(3.1-8). Substituindo-a nas eqs. (3.2-1) e (3.2-3) temos:

θi θr

θt

Bi Br

Bt

Ei Er

Et

Fig.(3.2-2) - Representação dos vetores E e B para o caso π.


ri n

n

i nn

i i

i i

σ

θ θ

θ θ

=

− −⎛⎝⎜

⎞⎠⎟

+ −⎛⎝⎜

⎞⎠⎟

cos sen

cos sen

2 2

1

2

2 2

1

2 e r

n n i i nn

n n i i nn

i i

i i

π

θ θ

θ θ

=

−⎛⎝⎜

⎞⎠⎟

+⎛⎝⎜

⎞⎠⎟

22

12 2 2

1

2

22

12 2 2

1

2

cos sen

cos sen

Temos, portanto, que rσ e rπ são do tipo (a-ib)/(a+ib). Com isto, não é difícil perceber que R r r r= = ⋅2 ∗ é igual a 1 para ambas as polarizações. 3.2.4 - Reflectância, Transmitância Refletividade e Transmissividade

O módulo ao quadrado do coeficiente de reflexão (⎪r⎪2) é designado pôr reflectância (R), e o módulo ao quadrado do coeficiente de transmissão (⎪t⎪2) pôr transmitância (T). Caso não haja absorção ou geração de luz na interface entre dois meios, podemos concluir que a quantidade de energia incidente, pôr unidade de área e tempo, deve ser igual à refletida mais a transmitida.

Tomando-se os vetores de Poynting escrevemos: S S Si i r r t tcos cos cosθ θ θ= + Donde: SS

SS

r

i

t

i

t

i

+ =coscos

θθ

1

Como: S c E B c Ei i i i= =2

12

12ε ε

S c E B c Er r r r= =2

12

12ε ε

S c E B c Et t t t= =2

22

22ε ε

segue

SS

E

Er

i

r

i

= = ℜ2

2

coscos

coscos

coscos

θθ

θθ

ε

ε

θθ

t

i

t

i

t

i

t

i

t

i

t

i

SS

E

E

nn

E

E= =

⎛⎝⎜

⎞⎠⎟ = ℑ2

2

12

2

1

2 2

2 (3.2-7)


86

Observamos que ℜ é igual à reflectância já calculada enquanto ℑ difere da transmitância em face do fator (n2/n1)2(cosθt/θi). Chamaremos ℑ de transmissividade e ℜ de refletividade. EXEMPLO (3.2-3) - Calcular a refletividade e a transmissividade nas interfaces entre: ar-água, ar-quartzo, ar-GaAs e água-quartzo. Supor um ângulo de incidência de 30o

Solução A solução do problema requer o conhecimento dos índices de refração dos meios. Eles foram dados no exemplo anterior. Para uma incidência com um ângulo de 30o os ângulos de transmissão, referentes a cada par de substâncias, serão calculados usando-se a já conhecida segunda lei de Snell. Com ela obteremos: ar-água sen30o=1,33senθt ∴ senθt=0,38 θt=22o5’ ar-quartzo sen30o=1,55senθt ∴ senθt=0,33 θt=19o28’ ar-GaAs sen30o=1,5senθt ∴ senθt=0,14 θt=8o13’ água-quartzo 1,33sen30o=1,55senθt ∴ senθt=0,44 θt=26o19’ De posse dos ângulos de transmissão, calculemos os coeficientes de reflexão, de transmissão, bem como a refletividade e transmissividade para as interfaces em discussão. Para isto, tomemos as eqs.(3.2-1) e (3.2-2) com as quais obtemos, para uma onda de polarização σ, os resultados dados na tab.(3.2-1).

Meios r t R T ℜ ℑ

ar-água -0,17 0,83 0,03 0,68 0,03 0,97

ar-quartzo -0,24 0,76 0,06 0,58 0,06 0,94

ar-GaAs -0,60 0,40 0,36 0,16 0,36 0,64

água-quartzo -0,08 0,92 0,01 0,85 0,01 0,99 Tab.(3.2-1) - Valores de coeficientes de reflexão e transmissão, reflectância e transmitância para interfaces

entre diversos meios e uma onda com polarização σ. Invertendo a ordem dos meios, teremos: água-ar 1,33sen30o=senθt ∴ senθt=0,67 θt=41o41’ quartzo-ar 1,5sen30o=senθt ∴ senθt=0,75 θt=48o35’


GaAs-ar 3,5sen30o=senθt ∴ senθt=1,75 reflexão total quartzo-água 1,5sen30o=senθ t ∴ senθt=0,56 θt=34o19’ Os resultados obtidos estão na tab.(3.2-2) dada abaixo. Como se pode ver, a inversão dos meios levou o coeficiente de reflexão r a ser positivo para todos os casos calculados. Particularmente no caso do par GaAs-ar, vemos que ele corresponde à reflexão total e com isto r=R=ℜ=1. Como já calculamos no ex.(3.1-1), o ângulo critico para GaAs-ar é de 16°36'. Portanto, θ=30°corresponde a uma incidência acima do ângulo crítico e a reflexão será total.

Isso explica, também, porque a intensidade de luz emitida por um led é reduzida. A luz gerada no interior do dispositivo, é emitida em todas as direções, já que a emissão é espontânea e não estimulada. Desta forma, apenas o feixe de luz com abertura numérica determinada pelo ângulo crítico, um ângulo de aproximadamente 33 graus, poderá sair do dispositivo. O restante sofrerá reflexão total, retornando para o interior do led.

r t R T ℜ ℑ

água-ar 0,21 1,21 0,05 1,47 0,05 0,95

quartzo-ar 0,33 1,33 0,11 1,76 0,11 0,89

GaAs-ar 1 0 1 0 1 0

quartzo-água 0,08 1,08 0,01 1,17 0,01 0,99

Tab. (3.2-2) - Valores de coeficientes de reflexão e transmissão, reflectância e transmitância para interfaces entre diversos meios e uma onda com polarização π.

Na tab.(3.2-3) a seguir são dados os resultados para uma onda de polarização π, estando os meios na mesma ordem usada para os cálculos da Tab.(3.2- 1).

r t R T ℜ ℑ

ar-água -0,11 0,83 0,01 0,69 0,01 0,99

ar-quartzo -0,16 0,77 0,03 0,60 0,03 0,97

ar-GaAs -0,51 0,43 0,26 0,19 0,26 0,74

água-quartzo -0,04 0,92 0,002 0,85 0,002 0,998

Tab.(3.2-3) - Valores de coeficientes de reflexão e transmissão, reflectância e transmitância para interfaces entre diversos meios e uma onda com polarização π propagando no sentido inverso ao da Tab.(3.2-2).

r rn nn nσ π= =

−+

1 2

1 2

logo:


88

I - rσ =−+

=1 00 0 221 00 0 22

0 61, ,, ,

,

II - ( )

rii

iiσ =

−+

=− −

+= −

1 00 9 711 00 9 71

1 00 9 71 2 9 711 00 9 71

0 80 0 202

2

, ,, ,

, , . ,, ,

, ,

cujas refletâncias são: I - ℜ = =r 2 0 37, Portanto, 37% da intensidade da radiação incidente é refletida. II - ℜ = =r 2 1 00, Logo, 100% da intensidade da radiação incidente é refletida. Isto corresponde a reflexão total. EXEMPLO (3.2-5) - Calcule os coeficientes de reflexão e transmissão para o conjunto SiO2-ar, em função do ângulo de incidência. Dados nSiO

2=1,5; nar= 1,0.

Solução Caso σ: Os coeficientes de reflexão e transmissão são dados pelas equações (3.2- 1) e (3.2-2), e no caso ficam:

r i t

i tσ

θ θθ θ

=−+

1 5 1 01 5 1 0, cos , cos, cos , cos

t i

i tσ

θθ θ

=+

31 5 3

cos, cos cos

(3.2-8)

Tomando a 2a lei de Snell (eq.(3.1-5)) que nos dá a relação entre o ângulo de incidência e de refração, temos senθi=1,5senθt. Utilizando a identidade trigonométrica cos2θ+sen2θ= 1, temos:

cos , cos,

θ θt i= − ⋅15 11 5

2 2

Substituindo esta identidade nos coeficientes de reflexão e transmissão, temos:

r i i

i iσ

θ θ

θ θ=

− −

+ −

1 5 1 5

1 5 1 5

2 2 2

2 2 2

, cos , sen

, cos , sen t i

i iσ

θ

θ θ=

+ −

7 0

1 5 1 52 2 2

, cos

, cos , sen (3.2-9)

Caso π: Substituindo a identidade (3.2-9) nas equaçõcs (3.2-3) e (3.2-4), encontramos os coeficientes de reflexão e transmissão para o caso π, que são:


r i i

i iπ

θ θ

θ θ=

− −

− +

15

1 5

2 2

2 2

, sen cos

, sen cos t t

i iπ

θ

θ θ=

− +

7 0

1 52 2

, cos

, sen cos

As eqs.(3.2-8) e (3.2-9) estão graficadas na fig.(3.2-4). Como se vê, a reflectância vai a zero para a polarização π, quando o ângulo de incidência corresponde ao ângulo de Brewster, que no caso é igual a 32,8o. Para valores de ângulos de incidência acima de 42,1o, temos o efeito da reflexão total.

Caso os meios sejam invertidos, passando a luz do meio de menor para maior índice de refração, os resultados passam a ser aqueles apresentados na fig.(3.2-5). Como se vê não há mais o efeito da reflexão total.

0 10 20 30 40 500 ,0

0 ,2

0 ,4

0 ,6

0 ,8

1 ,0

πσ

T R A N S M IT Â N C IA

R E F L E C T Â N C IA

REF

LEXÃ

O T

OTA

L

θΒ

n 1=1,5n 2=1,0

Â n g u lo d e in c id ên cia θ i Fig.(3.2-4) - Refletância e Transmitância com o ângulo de incidência, para o par SiO2-ar, estando indicada na figura a região em que há reflexão total.

3 - refração e reflexão

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