3a Olimpıada Vicosense de Matematica

Banco de Questoes - Nıvel 2 - 1a Fase OLIMPÍADA VIÇOSENSE DE MATEMÁTICATELIMLIMIMPÍADA VIÇOSENSEIMPÍADA VIÇ SE DE MATMATMAMATMAMAT

1. (Banco OBMEP) Nathalia possui R$50, 00 para comprar copos e pratos. Cada copo custaR$2, 50 e cada prato, R$7, 00. Ela quer comprar, no mınimo, 4 pratos e 6 copos. O que elapode comprar?

2. (Banco OBMEP) Na campanha “Vamos ao teatro”, 5 ingressos podem ser adquiridos pelopreco usual de 3 ingressos. Natanael comprou 5 ingressos nessa campanha. A economia queNatanael fez representa que percentual sobre o preco usual dos ingressos?

3. (Banco OBMEP) Uma cidade ainda nao tem iluminacao eletrica, portanto, nas casas usam-se velas a noite. Na casa de Lucas, usa-se uma vela por noite, sem queima-la totalmente, ecom quatro desses tocos de velas, Lucas fabrica uma nova vela. Durante quantas noites Lucaspodera iluminar sua casa dispondo de 43 velas?

4. (OBM-2012) (Banco OBMEP) Numa certa cidade, 40% de todas as mulheres sao votantese 52% da populacao e de mulheres. Qual e o percentual da populacao formado por mulheresvotantes?

5. (Banco OBMEP) Dizemos que o quadrado4 9 23 5 78 1 6

e um quadrado magico porque a soma

dos numeros de cada linha, de cada coluna e de cada diagonal e sempre a mesma, neste caso asoma e 15.

Complete os cinco numeros que faltam no quadrado-12 -4

04

para seja um quadrado

magico.

6. (Banco OBMEP) Mateus e cliente de um companhia telefonica que oferece o seguinte plano:

• Tarifa mensal fixa de R$18, 00.

• Gratuidade em 10 horas de ligacoes por mes.

• R$0, 03 por cada minuto que exceder as 10 horas.

Em janeiro, Mateus usou seu telefone por 15 horas e 17 minutos, e em fevereiro por 9 horas e55 minutos. Qual a despesa de Mateus com telefone nesses dois meses?

7. (Banco OBMEP) Uma linha de onibus possui 12 paradas numa rua em linha reta. A distanciaentre duas paradas consecutivas e sempre a mesma. Sabe-se que a distancia entre a terceira ea sexta paradas e 3300 metros. Qual e a distancia entre a primeira e a ultima parada?

8. (OBM-2012) Na fase final da OBM, participaram 600 alunos de todo o Brasil. Seguindo atradicao das olimpıadas internacionais, na premiacao sao distribuıdas medalhas de ouro, pratae bronze na proporcao 1 : 2 : 3, respectivamente. Sabe-se que 60% do total de estudantesganhou alguma das 3 medalhas. Quantos alunos ganharam medalha de prata?

1

9. (OBM-2012) No seguinte tabuleiro 2×3 ao lado210

escrevemos um numero inteiro

positivo em cada casa vazia de modo que o produto desses numeros seja igual ao numero jaescrito na sexta casa. Sendo os numeros todos diferentes, de quantas maneiras isto pode serfeito?

10. (OBM-2012) A figura abaixo mostra seis triangulos equilateros com lados de comprimento2 e um hexagono regular de lados de comprimento 1. Qual e a fracao da area total que estapintada?

11. (Banco OBMEP) Determine:

(a) ∗ tal que∗24

− 3

8− 2

3=

1

6; (b)

x− y

xsabendo que

x

y= 2.

12. (Banco OBMEP) Responda as questoes sobre fracoes:

(a) Qual e a ordem crescente correta das fracoes4

3,

4

5,

4

6,

3

5,

6

5e

2

5?

(b) Qual e o valor do produto

(1− 1

2

)×

(1− 1

3

)×

(1− 1

4

)×

(1− 1

5

)?

13. (Banco OBMEP) Na figura dada abaixo, temos dois quadrados. O lado do maior mede a+ be o do menor a. Qual e a area da regiao escura destacada?

14. (Banco OBMEP) Responda as questoes sobre numeros:

(a) A soma de dois numeros naturais e 11. Qual e o maior produto possıvel que se pode obtercom esses numeros?

(b) Qual e o valor de 26 + 26 + 26 + 26 − 44?

(c) Se a, b e c sao numeros inteiros positivos tais que 3a = 4b = 7c, qual e o menor valorpossıvel de a+ b+ c?

2

15. (Banco OBMEP) Elizafa, Guilherme e Henrique jogam baralho. No inıcio, a quantia emdinheiro que eles tinham, na ordem Elizafa : Guilherme : Henrique, estava na proporcao7 : 6 : 5. No final do jogo, na mesma ordem, a proporcao era de 6 : 5 : 4. Se um dos jogadoresganhou 12 reais, qual foi a quantidade de dinheiro com que ficou cada jogador, no final dapartida?

16. (Banco OBMEP) Dez minutos antes de colocar o bolo no forno, coloquei meu gato para forada casa. O bolo deve cozinhar por 35 minutos, portanto coloquei o despertador para tocar 35minutos apos colocar o bolo no forno. De imediato fiz um cafe para mim, o que me tomou 6minutos. Tres minutos antes de acabar de beber o cafe, meu gato entrou em casa. Isso foi 5minutos antes do despertador tocar. O telefone tocou no meio do tempo entre eu acabar defazer o cafe e o gato entrar em casa. Falei ao telefone por 5 minutos e desliguei. Eram, entao,3h59min da tarde.

(a) A que horas coloquei meu gato para fora?

(b) O despertador tocou quantos minutos depois de colocar o gato para fora?

(c) Por quanto tempo o gato ja estava fora de casa quando o telefone tocou?

17. (Banco OBMEP) Resolva as questoes sobre fracoes:

(a) Calcule as diferencas: 1− 1

2,1

2− 1

3,1

3− 1

4,1

4− 1

5e1

5− 1

6.

(b) Deduza do item (a) o valor da soma:1

2+

1

6+

1

12+

1

20+

1

30.

(c) Calcule a soma:1

2+

1

6+

1

12+

1

20+

1

30+

1

42+ · · ·++

1

999.000.

18. (OBM-2006) Na figura abaixo, AB = AC, AE = AD e o angulo BAD mede 30o. Entao oangulo x mede:

B D C

E

A

30°

x

19. (Banco OBMEP) A razao entre o numero de homens e o de mulheres na cidade de CampoVerde e de 2/3. A idade media dos homens e 37 anos e a das mulheres e 42 anos. Qual e aidade media dos habitantes de Campo Verde?

20. (Banco OBMEP) Determine:

(a) O valor de 2− 2{2− 2

[2− 2(4− 2)

]}.

(b) O valor de m3 sabendo que m e um numero natural tal que 3m = 81.

(c) Se a− 1 = b+ 2 = c− 3 = d+ 4, qual e o maior dentre os numeros a, b, c e d?

3

21. Uma discoteca tem luzes azuis, verdes e amarelas. Diariamente, as 21horas, todas as lampadassao acesas simultaneamente. A partir daı, a cada 140 segundos, as luzes azuis sao apagadas,se estiverem acesas e acesas se estiverem apagadas; o mesmo se da com as luzes verdes, a cada36 segundos e com as amarelas, a cada 45 segundos. Que lampadas estarao acesas as 21 horase 50 minutos?

22. (Banco OBMEP) O sımbolo ⊙ representa uma operacao especial com numeros inteiros pos-itivos. Veja alguns exemplos 2⊙ 4 = 10, 3⊙ 8 = 27, 4⊙ 27 = 112, 5⊙ 1 = 10.

(a) Deduza a formula que define a operacao ⊙, ou seja, qual e expressao de a ⊙ b paraquaisquer numeros inteiros positivos a e b.

(b) Determine quanto vale 4⊙ (8⊙ 7).

23. (Banco OBMEP) Na figura abaixo A, B, C, D, E, F , G e H sao os fios de apoio que umaaranha usa para construir sua teia.

A aranha continua seu trabalho. Sobre qual fio de apoio estara o numero 118 ?

24. (Banco OBMEP) Calcule:

(a) 1.6782 − 1.6772; (b) 1.0012 + 1.0002; (c) 19.9992; (d) 2.0012 + 2.0022 + 2.0032.

25. (OBM-2011) O pai de Thiago comprou um terreno retangular de 120 metros de comprimentopor 80 metros de largura. Devido a leis ambientais, ele deve plantar arvores em 20% do terreno.Ele faz isso plantando-as em duas faixas de mesma largura nas laterais do terreno, conformemostra a figura abaixo. Qual e essa largura?

4

26. (Banco OBMEP) Solaine esta planejando participar do Triatlon-Brasil que consta de 800m de nado, seguido de 20 km de bicicleta e, finalmente, 4 km de corrida. Solaine corre a umavelocidade constante que e o triplo da velocidade com que nada e pedala 2,5 vezes mais rapidodo que corre. Para terminar a prova em, no maximo, 1 hora e 20 minutos, qual deve ser suavelocidade mınima em cada uma das tres modalidades?

27. (OBM-2011) No Planeta Nerdia, existem tres especies de nerds: ET-nerds, UFO-nerds eOVNI-nerds. A primeira mente quando chove e diz a verdade quando nao chove; a segundasempre mente; a terceira sempre diz a verdade. Certo dia Bruberson, um nerd muito camarada,se encontra com quatro nerds. E eles falam:

X: “Hoje esta chovendo.”

Y : “O nerd que acabou de falar esta mentindo.”

Z: “Hoje nao esta chovendo.”

W : “O primeiro nerd mentiu ou eu sou um ET-nerds.”

Com quantos ET-nerds Bruberson falou no maximo?

28. Se x e y sao numeros reais tais que x3 + y3 = 5(x + y), x2 + y2 = 4 e x + y = 0, determine ovalor de x · y.

29. (Banco OBMEP) Para qualquer numero positivo x, dizemos que x + 1 ex

x+ 1sao filhos

de x e que os dois sao irmaos. Por exemplo,3

2e1

3sao irmaos pois sao filhos de

1

2; de fato,

3

2=

1

2+ 1 e

1

3=

12

1 + 12

.

(a) Encontre um irmao de5

7.

(b) Um numero pode ser filho de dois numeros positivos diferentes? Por que?

(c) Mostre que1

2.008e descendente de 1, isto e, ele e filho de um filho de um filho ... de um

filho de 1.

30. (Banco OBMEP) Determine:

(a) A maior raiz da equacao (x− 37)2 − 169 = 0.

(b) Os valores de x que satisfazem a desigualdade1

x− 2< 4.

(c) A metade do numero 212 + 3× 210.

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