3 Álgebra (13 - 18) corregido

3 Bimestre

nombre o logodel colegio

Libros de colegios en Dvd Trilce, Pamer.. (988961526) Lima - Provincias

ndice

Pg

Captulo 73

Captulo 78

Captulo 83

Captulo 89

Captulo 94

13. Factorizacin en Z I

14. Factorizacin en Z II

15. Ecuaciones de Primer Grado

16. Ecuacin Cuadrtica

17. Planteo de Ecuaciones Lineales


73

lgebra COLEGIO"NOMBRE O LOGO"

13 Factorizacin en Z I

Ejemplo 1:Factoriza: 9x2 - 16

A. DIFERENCIA DE CUADRADOS

MTODO DE LAS IDENTIDADESEste mtodo se basa en los productos notables, es decir, sise nos proporciona un polinomio cuya forma conocemos,podemos escribir la multiplicacin indicada de factores quele dio origen.

a2 - b2 = (a + b)(a - b)

Extraemos la raz cuadrada a ambos trminos.9x2 = 9 x2 = 3x

16 = 4La expresin factorizada ser: 9x2 - 16 = (3x + 4)(3x - 4)

Resolucin:

Ejemplo 2:Factoriza: E = 16x4 - 81

Escribiendo la diferencia de cuadrados dada como lasuma por la diferencia de sus races cuadradas.

E = 16x4 - 81

4x2 9

E = (4x2 + 9)(4x2 - 9)

Resolucin:

El primer factor (4x2 + 9) es primo; pero el segundofactor obtenido (4x2 - 9) no lo es:

E = (4x2 + 9) (4x2 - 9)

2x 3E = (4x2 + 9)(2x + 3)(2x - 3)

B. TRINOMIO CUADRADO PERFECTOExtraemos la raz cuadrada a ambos trminos.

a2 2ab + b2 = (a b)2

a b

2ab

Factoriza:

M = 4x2 + 12x + 9 2x 3

2(2x)(3)

El polinomio M (factorizado) se escribe como el cuadradode la suma de las races.

M = (2x + 3)2

En el siglo XVII para representar los signos (+)y (-) se usaban las letras P de plus para la sumay M de minus para la resta, respectivamente.

Ejemplo 1:


74

COLEGIO 2do Secundaria"NOMBRE O LOGO"

Factoriza:

N = x2 + 10xy + 25y2

x 5y

2(x)(5y) N = (x + 5y)2

Factoriza:

P = m16 - 2m8t2 + t4

m8 t2

2(m8)(t2)

Si el doble del producto de las races de los extremos esnegativo, la expresin factorizada es el cuadrado de ladiferencia de las races.

P = (m8 - t2)2

Cuidado:La expresin (2x + 3)2 equivale a escribir:

(2x + 3)(2x + 3)

C. SUMA Y DIFERENCIA DE CUBOSa3 + b3 = (a + b)(a2 - ab + b2)

a3 - b3 = (a - b)(a2 + ab + b2)

Ejemplo 1:Factoriza: E = a6 + 125

* Raz cbica del 1.er trmino3 a6= a6/3 = a2

* Raz cbica del 2. trmino3 125 = 5

* La suma de estas dos races cbicas constituyen el primerfactor buscado. E = a6 + 125 = (a2 + 5) ( ............ )

* El factor trinomio se calcula as:- Los trminos extremos son los cuadrados de los

trminos del factor binomio.E = a6 + 125 = (a2 + 5)(a4 + ... + 25)

- El trmino central es el producto de los trminos delfactor binomio con el signo cambiado.

E = (a2 + 5)(a4 - 5a2 + 25)

Resolucin:

Ejemplo 2:Factoriza: F = 27x9 - 8y6

* Raz cbica del 1.er trmino.3 27x9 = 3 27 . 3 x9 = 3x3

* Raz cbica del 2. trmino.3 8y6 = 3 8 . 3 y6 = 2y2

E = (3x3 - 2y2) (9x6 + 6x3y2 + 4y4)

Resolucin:

Ejemplo 3:

Ejemplo 2:

1. Factoriza: w5x3 + w5y3 + 3w5xy(x + y)

Resolucin:w5x3 + w5y3 + 3w5xy(x + y)= w5(x3 + y3 + 3xy(x + y)) = w5(x + y)3

2. Factoriza: (x2 + xy)2 - (y2 + xy)2, y seala el factor primo que menos se repite.

Resolucin:(x2 + xy)2 - (y2 + xy)2

= (x2 + xy + y2 + xy)(x2 + xy - (y2 + xy)) = (x2 + 2xy + y2)(x2 - y2) = (x + y)2(x + y)(x - y) = (x + y)3(x - y)

El factor primo que menos se repite es (x - y).3. Factoriza: x2 + y2 - 2xy - z2 y da por respuesta la suma de factores primos.

Resolucin:x2 + y2 - 2xy - z2= (x2 - 2xy + y2) - z2

= (x - y)2 - z2 = (x - y + z)(x - y - z)

Luego la suma de factores primoses (2x + 2y).


75


Rpta:

2

Rpta:

4

Rpta:

1

Rpta:

3Factoriza:m3x2 + m3y2 + 2m3xy

y seala el factor primo que menos se repite.

Resolucin:

Factoriza:x5 + x3y2 + 2x4y

y seala el factor primo que ms se repite.

Resolucin:

Factoriza:(w+2)4x3 + (w+2)4y3+ 3(w+2)4xy(x+y)

y seala la suma de coeficientes de un factor primo.

Resolucin:

Factoriza:x4 - 81

e indica un factor primo.

Resolucin:


76


Rpta:

5

Rpta:

6Factoriza:x2 + y2 - 2xy - z2

y da por respuesta la suma de factores primos.

Resolucin:

Factoriza:(x + y)2 + x3 + y3 + 3xy (x + y)

e indica la suma de coeficientes de un factor primo.

Resolucin:

7. Indica un factor primo de:a2(x2 - y2) + b2(x2 - y2) + 2abx2 - 2aby2

8. Indica el nmero de factores primos de:mn4 - 5m2n3 - 4m3n2 + 20m4n

9. Luego de factorizar :x6 + x4c2 + 2x5c - x2c4 - c6 - 2xc5

seala el factor primo que ms se repite.

10. Despus de factorizar, seala el factor comn desegundo grado.

N = kx2 - ky2 + px2 + py2

11. Indica uno de los factores de:4x2 + 9y2 + 24y 16

12. Factoriza y seala el nmero de factores primos:xn+2 + xn + x3 + x2 + x + 1


77


1. Factoriza:wx2 + wy2 - 2 wxy

y seala el factor primo que ms se repite.

a) (x + y)2 b) w c) w2d) x + w e) x + y

2. Factoriza: x2 - 25 e indica un factor primo.

a) x + 1 b) x + 5 c) x + 25d) x - 1 e) x - 25

3. Factoriza: w5x3 + w5y3 + 3w5xy(x + y) y da por respuesta la suma de coeficientes de un

factor primo.

a) 3 b) 4 c) 2d) 1 e) -1

4. Factoriza: (2w - 1)2x3 - (2w - 1)2y3 - 3(2w - 1)2xy(x - y) e indica la suma de coeficientes de un factor

primo.

a) 1 b) 2 c) -1d) Ms de una es correcta e) 0

5. Factoriza: (x2 + xy)2 - (y2 + xy)2 y seala el factor primo que menos se repite.

a) (x + y)2 b) (x + y)3 c) x + yd) (x - y)2 e) x - y

6. Factoriza: z2 - x2 - y2 - 2xy y da por respuesta la suma de factores primos.

a) 2z + 2x b) 2z c) x - yd) 2z - 2y e) z - x

7. Factoriza: a2m + a2n - b2m - b2n e indica el nmero de factores primos.

a) 5 b) 1 c) 4d) 3 e) 2

8. Luego de factorizar : a5 - a2b3 - 3a3b(a - b) - a3b4 + b7 + 3ab5(a - b) seala un factor primo.

a) a + b b) a2 - b c) c + bd) a - b2 e) a2 + b

9. Seala un factor primo de: P = ax + bx - ay - by

a) a - b b) 1 c) x + yd) 2 e) a + b

10. Seala un factor primo de:(x + 1)(y - 2) + 3x(x + 1)

a) (x + 1) b) (y + 2) c) (x - 1)d) 1 e) (y - 2)

11. Seala un factor de:nx + ny + x + y

a) (n - 1) b) (x - y) c) (x + y)d) x e) y

12. Factoriza:N = 36x4 - 16y6

y halla la suma de sus factores primos.

a) 10x2 b) 12x2 c) 6x2d) 8y3 e) 12y3


78


14 Factorizacin en Z IIMTODO DEL ASPA SIMPLE Si un polinomio no tiene las caractersticas de untrinomio cuadrado perfecto, entonces podra ser factorizadopor el mtodo del aspa simple.

Ejemplo 1:

Factoriza: 6x2 + 11x + 4

Descomponemos el trmino 6x2 en dos factores quemultiplicados nos permitan volver a obtener 6x2.

Descomponemos el trmino 4 en dos factores quemultiplicados nos permitan volver a obtener 4.

Es decir: 6x2 + 11x + 4 3x 4 2x 1

Hallamos la suma de los productos en aspa de los cuatrotrminos hallados:

6x2 + 11x + 4 3x 4 8x 2x 1 3x 11x

Como la suma coincide con el trmino central, tomamoslos factores en forma horizontal.

Es decir:

6x2 + 11x + 4 = (3x + 4) (2x + 1) 3x 4 2x 1

Resolucin: Ejemplo 2:

Factoriza: N = 18x4 + 5 + 21x2

Ordenando el polinomio: N = 18x4 + 21x2 + 5

Descomponemos los trminos extremos:

N = 18x4 + 21x2 + 5 6x2 + 5 3x2 + 1

N = (6x2 + 5)(3x2 + 1)

Resolucin:

Nota

Si el polinomio es de unasola variable, entonces debeestar ordenado en cuantoa los exponentes de dichavariable, este orden puede serascendente o descendente.

Fac to r i z a r un po l i nomioe s t r ans fo rmar lo en unamultiplicacin indicada defactores primos.

Recuerda


79


Ejemplo 3:

Factoriza: R = 100x2 + 91xy + 12x2

Cuando los trminos extremos tengan muchos divisores espreferible colocar todas las posibilidades.

R = 100x2 + 91xy + 12y2

25 10 20 50 100 6 4 12 4 10 5 2 1 2 3 1

R = (25x + 4y)(4x + 3y)

Resolucin:

1. Factoriza: x2 - 17x - 60 e indica la suma de sus factores primos.

Resolucin: x2 - 17x - 60 x - 20 -20x (+) x 3 3x

-17xEntonces:x2 - 17x - 60 = (x - 20)(x + 3)

Luego la suma de sus factores primos es:(x + 20) + (x + 3) = 2x - 17

2. Factoriza: x4 - 13x2 + 36 y da por respuesta la suma de los factores primos.

Resolucin:x4 - 13x2 + 36

x2 - 9 x2 - 4

Luego:x4 - 13x2 + 36 = (x2 - 9)(x2 - 4) = (x + 9)+(x- 9)+(x + 2)+(x- 2)

Nos piden: (x + 9)+(x - 9)+(x + 2)+(x - 2) = 4x

3. Luego de factorizar: (x + 2)2(x - 1)2 - (x2 + x + 10) indica el factor primo cuadrtico.

Resolucin:(x + 2)2(x - 1)2 - (x2 + x + 10)= [(x+2)(x-1)]2 - ((x+2)(x-1) + 12)= [(x+2)(x-1)]2 - [(x+2)(x-1)] - 12 aspa simple= ((x + 2)(x- 1)- 4)((x + 2)(x- 1) + 3)= (x2 + x - 2 - 4)(x2 + x - 2 + 3)= (x2 + x - 6)(x2 + x + 1) aspa simple

= (x + 3)(x - 2)(x2 + x + 1)

Luego el factor primo cuadrtico es:(x2 + x + 1)

4. Factoriza: x2 + 4x - 21 e indica la suma de factores primos.

Resolucin: x2 + 4x - 21

= (x + 7)(x - 3)

Luego la suma de factores primoses:

(x + 7) + (x - 3) = 2x + 4

5. Factoriza: x2 + 10x + 21 e indica la suma de factores primos.

Resolucin: x2 + 10x + 21

= (x + 7)(x + 3)

Luego la suma de factores primoses:(x + 7) + (x + 3) = 2x + 10


80


Rpta:

2

Rpta:

4

Rpta:

1

Rpta:

3Factoriza:x2 + 10 x + 21

e indica la suma de factores primos.

Resolucin:

Determina la suma de coeficientes de un factorprimo de: x2 - 10x + 21

Resolucin:

Factoriza:x2 - 17x - 60

e indica la suma de factores primos.

Resolucin:

Factoriza:x2 + 19x + 60

e indica el trmino independiente de un factorprimo.

Resolucin:


81


Rpta:

5

Rpta:

6Factoriza y relaciona: Polinomio Factor primoa) 2x2 + 5x + 3 ( ) x - 1b) 2x2 + 7x + 3 ( ) 2x - 1c) 2x2 - 5x + 3 ( ) 2x + 3d) 2x2 - 7x + 3 ( ) x + 3

Resolucin:

Factoriza:15x2 + 11x - 12

y seala la suma de coeficientes de un factorprimo.

Resolucin:

7. Determina la suma de coeficientes de un factorprimo de 18x2 + 7x - 25.

8. Luego de factorizar:I. (x2 - 3x)2 - (-2x + 6)2II. (2x2 + 8x)2 - (x2 + 5x + 12)2

Seala el valor de verdad de las siguientesproposiciones:

a) I tiene ms factores primos. ( )b) II tiene ms factores primos. ( )c) I tiene 2 factores primos. ( )d) II tiene 3 factores primos. ( )e) I tiene 4 factores primos. ( )

9. Factoriza:(x + y + z) (x + y + z + 2w) - 8w2

luego indica la suma de coeficientes de un factorprimo.

10. Factoriza:64x12y3 - 68x8y7 + 4x4y11

11. Factoriza:15x - 19xy + 6y2 - 11y + 19x - 10

e indica la suma de los coeficientes de y de cadauno de sus factores.

12. Indica la suma de los trminos independientes decada uno de los factores de:

6x2 + 12 + 10y2 - 23y - 16xy + 17x


82


1. Luego de factorizar:x2 + 6x + 5

seala un factor primo.

a) x + 2 b) x + 7 c) x + 3d) x + 1 e) x + 6

2. Factoriza: x2 - 4x - 21 e indica la suma de coeficientes de un factor

primo.

a) 3 b) 4 c) -7d) -2 e) -4

3. Luego de factorizar: x2 + 32x + 60 indica el trmino independiente de un factor

primo.

a) 15 b) 10 c) 2d) 3 e) 1

4. Luego de factorizar: x2 - 16x + 60 seala la suma de factores primos.

a) x - 6 b) 2x + 16 c) x - 10e) x + 32 e) 2x - 16

5. Factoriza: x2 - 17x + 60 e indica la suma de factores primos.

a) 2x - 17 b) x - 3 c) x - 17d) x - 12 e) 2x - 5

6. Factoriza: x2 + 59x - 60 e indica un factor primo.

a) x + 59 b) x - 1 c) x + 3d) x - 60 e) x + 10

7. Factoriza y relaciona: Polinomio Factor primo

a) 2x2 + 5x - 3 ( ) 2x - 1b) 2x2 - x - 3 ( ) x - 3c) 2x2 - 5x - 3 ( ) x + 1d) 2x2 + x - 3 ( ) 2x + 3

8. Factoriza: 20x2 - 6x + 36 y seala la suma de coeficientes de un factor

primo.

a) -1 b) 1 c) 12d) 22 e) -22

9. Factoriza: x4 - 13x2 + 36 y da por respuesta la suma de factores primos.

a) 2x + 5 b) 2x2 c) 4x2d) 3x e) 4x

10. Luego de factorizar: (x + 2)2(x - 1)2 - (x2 + x + 10) indica el factor primo cuadrtico.

a) x2 - x + 1 b) x2 + x + 1 c) 2x2 + 1d) x2 + 1 e) x2 + 2

11. Factoriza:10x2 - 13x - 3

a) 2x - 3 b) 2x c) 5x + 3d) 2x - 5 e) 5x - 3

12. Factoriza:x2 - 6acx + a2(9c2 - 4a2)

a) x + a b) x - a c) ad) x + 5a e) x


83


15 Ecuaciones de Primer GradoI. CLASIFICACIN DE LAS IGUALDADES

II. ECUACIN POLINOMIAL Forma general:

a0xn + a1xn-1 + a2xn-2 + ... + an = 0; a 0

Donde:

* a0; a1; a2; ... ; an: Coeficientes numricos * x : Incgnita * n N

* Si:

n = 1: a0x + a1 = 0 Ecuacin de 1.er grado

* Si:

n = 2: a0x2+ a1x + a2= 0 Ecuacin de 2. grado

Ejemplos:

Absoluta (Identidad)Siempre cumple.Ejemplo:

7 = 7

Relativa (Ecuacin)Se cumple en algunos casos.Ejemplo:x + 4 = 73 E s te v a lo r s e l l ama solucin porque verifica la igualdad.

IndeterminadaTiene infinitas solucionesEjemplo: x + y = 7 3 4 1 6 0 7

-5 12

IGUALDAD

son algunosvalores queverif ican laigualdad

CompatibleTiene solucin.Ejemplo:

x2 + x - 2 = 0es compatible porquex = 1 es solucin.

IncompatibleNo tiene solucin.Ejemplo:

x2 = -4No exis te ningnnmero rea l queverifique la igualdad.

DeterminadaTiene finitas solucionesEjemplo:

x2 = 49sus soluciones son dosexactamente:

x = 7 ; x = -7


84


III. ECUACIN DE PRIMER GRADO Forma general:

ax + b = 0; a 0Donde:* a y b son coeficientes numricos.* x es la incgnita.

Resolucin: Consiste en determinar el conjunto solucin

De la forma general: ax + b = 0 ; a 0 ax = -b x = -b/a

Luego la solucin es -b/a y el conjunto solucin (C.S.) es:C. S. = {-b/a}

IV. ECUACIN PARAMTRICA DE PRIMERGRADO

Ecuacin de la forma:Ax = B

Donde:* A y B son parmetros (constantes representadas por

letras).* x es la incgnita.

* (m + 1) x = m* 2x = 4 Esta ltima ecuacin no es paramtrica porque 2 y 4

no son parmetros.

Ejemplo:

V. DISCUSIN DE LA ECUACIN PARAMTRICA De la forma:

Ax = B

* Si A 0 y B es cualquier nmero. La ecuacin es compatible determinada.* Si A = 0 y B = 0 La ecuacin es compatible

indeterminada.

* Si A 0 y B = 0La ecuacin es incompatible.

Recuerda

* La raz de un polinomio es el valor que al serreemplazado en l lo anula.

Ejemplo:

En : x2 - 7x + 12 Si x = 4 42 - (7) (4) + 12 = 0 El polinomio se anula. Luego, x = 4 es raz de

x2 - 7x + 12.

* Un polinomio, de una sola variable, tienetantas races como lo indique su grado(consecuencia del Teorema Fundamental dellgebra).

Polinomio de Grado 1: Tiene 1 raz. Polinomio de Grado 2: Tiene 2 races. Polinomio de Grado 3: Tiene 3 races.

Resolucin:(2x - 9) - 2 = (3x + 4) . 3 4x - 18 = 9x + 12

-18 - 12 = 9x - 4x-30 = 5x

-30/5 = x x = -6

2. Resuelve:2x - 93

3x + 42=

Resolucin:

1. Resuelve: 2x + 7 - 2(x - 1) = 3(x + 3)

2x + 7 - 2(x - 1) = 3(x + 3) 2x + 7 - 2x + 2 = 3x + 9 9 = 3x + 9 9 - 9 = 3x 0 = 3x 0/3 = x

x = 0


85


Resolucin:

3. Resuelve:x2

x4- x = - 9

x2

x4- x - = -9

Resolucin:x2 - 25 = x2 - 6x + 9 - 16

6x = 9 - 16 + 25 6x = 18 x = 18/6 x = 3

5. Resuelve: (x + 5)(x - 5) = (x - 3)2 - 16

Resolucin:2(x2 - 8x + 16) - (x2 + 6x + 9) =x2 + 2x - 32x2 - 16x + 32 - x2 - 6x - 9 = x2+ 2x - 3

x2 - 22x + 23 = x2 + 2x - 3-22x + 23 = 2x - 3

-24x = -26 x = -26/-24 x = 13/12

4. Resuelve: 2(x - 4)2 - (x + 3)2 = (x - 1)(x + 3)

2x - 4x - x4

-3x4

-(9)4-3

= -9 = -9

-3x = (-9)4 x =

x = 12

Federico Villarreal,insigne hombre peruano,n a c i e n T c um e(Lambayeque) el 31 deagosto de 1850. Sus padresfueron Ruperto Villarrealy Manuela Villarreal.

El primer trabajo deinvestigacin realizadopor Villarreal, a la edad de 23 aos, segnpropias declaraciones, fue su mtodo de elevar unpolinomio a una potencia cualquiera. En general,estn de acuerdo sus bigrafos en considerar estetrabajo como el descubrimiento capital del sabioy uno de los que le ha dado mayor prestigio comomatemtico.

Otros trabajos de investigacin son susestudios sobre los efectos de refraccin, sobre eldisco de los astros, su clasificacin de las curvasde tercer orden, sus estudios sobre los volmenesde poliedros regulares, su mtodo de integracinpor traspasos y sus trabajos acerca de la teora de laflexin de las vigas y la resistencia de las columnas.Todo ellos representan sus ms importantescontribuciones al lgebra, la geometra, el clculoinfinitesimal y la resistencia de materiales. En elcampo de la geografa matemtica se han hechoclsicos sus trabajos acerca de la determinacin demeridianos, de coordenadas y altitudes, as comoen la astronoma, sus esfuerzos por difundir en elPer las hiptesis de Wronski.


86


Rpta:

2

Rpta:

4

Rpta:

1

Rpta:

3Halle el valor de la incognita y verifique suigualdad:

9x + 11 = -10 + 12x

Resolucin:

Halle el valor de la incognita y verifique suigualdad:

x - (2x + 1) = 8 - (3x + 3)

Resolucin:

Resuelve:

Resolucin:

Halle el valor de la incognita y verifique suigualdad:

2x + 7 - 2(x - 1) = 3(x + 3)

Resolucin:

2x - 93

3x + 42=


87


Rpta:

5

Rpta:

6Resuelve:

Resolucin:

Resuelve:

Resolucin:

7. Resuelve:

8. Resuelve:2(x - 4)2 - (x + 3)2 = (x - 1)(x + 3)

9. De la ecuacin:

con respecto a x podemos afirmar que:

a) Es un nmero imparb) Es un mltiplo de 3c) Es un nmero primod) Es un cuadrado perfectoe) Es un nmero irracional

10. Luego de resolver la ecuacin:

el valor de "x" es:

11. Resuelve:

12. Resuelve:

x2 +

34 = x +

14

12 + x -

x6 =

13 + 16 -

2x9

x + 12 - 6 +

1 - x5 =

710

3x - 44(7x+9)15 =45 6 +

x + 103(

x + aa - b +

x - aa + b =

x + ba + b +

2(x - b)a - b

x2

x3

15+ =

12

13

x5+

= x + 41232(x + 5) +

23(x + 6)


88


1. Halle el valor de la incgnita y verifique suigualdad:

4x + 1 = 21

a) 1 b) 2 c) 3d) 4 e) 5


5x = 8x - 15

a) 3 b) 4 c) 5d) 6 e) 7


21 - 6x = 27 - 8x

a) 1 b) 2 c) 3d) 4 e) 5


8x - 4 + 3x = 7x + x + 14

a) 6 b) 8 c) 5d) 3 e) 7


2x - (-2x + 2) = 22

a) 6 b) 5 c) 4d) 3 e) 2


x + 3 (x - 4) = 4

a) 2 b) 4 c) 6d) -3 e) 2/3

7. Resuelve: 3(x - 1) - 4(5 - x) = 2(6 + x)

a) 7 b) 8 c) -6d) -4 e) -2

8. Resuelve:

a) 3/2 b) 5/3 c) 4/9d) 5 e) 7

9. Resuelve:

a) 12 b) 8 c) -6d) -8 e) 9

10. Resuelve:

a) 35/3 b) 35/2 c) 17/2d) 2/3 e) 3/4

11. Resuelve:(13x - 4)(x+2)=(3x+1)(5x - 3) - (2x2+5)

a) 1 b) 0 c) -1d) -2 e) 1/2

12. Resuelve:

a) 20 b) 15 c) 30d) 35 e) 40

x + 12

2x - 13=

x2 - x =

x4 - 9

2x3 - 8 =

x6 +

34

5x - 8x - 1

7x - 4x + 2=


89


16 Ecuacin Cuadrticaax2 + bx + c = 0 a 0; 2 races

1. FORMA GENERAL

FORMA DE RESOLUCIN1. Aspa simple

x2 + 5x + 6 = 0 x 3 x 2

(x + 3)(x + 2) = 0x + 3 = 0 x + 2 = 0

x = -3 x = -2

Recuerda

Si A . B = 0, se cumple: A = 0 B = 0

2. FRMULA GENERAL

x = -b b2 - 4ac

2a

x2 - 2x - 4 = 0 a = 1 ; b = -2 y c = -4

Reemplazando:

x =

x =

x1 = 1 + 5 x2 = 1 - 5

-(-2) (-2)2 - 4(1)(-4)2(1)

2 2 52

3. PROPIEDADES DE LAS RACES

* Producto

x1 . x2 =

=

=

x1 . x2 =

(-b)2 - ( 24a2

-b + 2a(

b2 - b2 + 4ac4a2

4ac4a2=

ca=

-b - 2a(

ca

* Diferenciax1 - x2 =

a

* Suma

x1 + x2 =

=

=

x1 + x2 =

-b + 2a

-b + - b - 2a

-2b2a

-ba=

-b - 2a+

-ba

4. NATURALEZA DE LAS RACES = b2 - 4ac

Si> 0 : Races reales y diferentes= 0 : Races reales e iguales< 0 : Races complejas y conjugadas


90


Recuerda

EcuacionesEquivalentes

= bnam =

cp

si poseen las mismasraces; se cumple:

ax2 + bx + c = 0 ; a 0mx2 + nx + p = 0 ; m 0

se desprende

x1 =1x2

Races Recprocaso Inversas

x1 . x2 = 1x1 + x2 = 0

se desprende

x1 = -x2

Races Simtricasu Opuestas

Resolucin:

2. Halla el discriminante de: x2 + 3x + 1 = 0

Recuerda: = b2 - 4ac : discriminante

En el problema: a = 1, b = 3 y c = 1

Luego: = (3)2 - 4(1)(1) = 5

Resolucin:

3. Halla la menor solucin de: x2 + 3x + 1 = 0

Por la frmula general:

x =

Para el problema: a = 1, b = 3 yc = 1

Luego: x =

=

Entonces la menor solucin es:

-b b2 - 4ac2a

-(3) (3)2 - 4(1)(1)2(1)

-(3) 52

-(3) - 52

Resolucin:

4. Calcula la suma y el producto de las soluciones de: 3x2 + 7x + 5 = 0

Por la propiedad de las races:x1 + x2 = -b/a x1 . x2 = c/a

Para el problema: a = 3, b = 7 yc = 5

Luego: x1 + x2 = -7/3 x1 . x2 = 5/3

Resolucin:

1. Si la ecuacin: (4 - K)x2 + 2Kx + 2 = 0; K > 0 tiene races iguales, halla 2K + 1.

Si las races son iguales, entonces eldiscriminante es igual a cero:

= b2 - 4ac = 0 b2 = 4ac

Para el problema: a = 4 - K, b =2K y c = 2

(2K)2 = 4(4 - K)(2) 4K2 = 4(8 - 2K) K2 = 8 - 2K

K2 + 2K - 8 = 0 (K + 4)(K - 2) = 0

como K > 0, entonces K = 2.

Luego nos piden: 2K + 1 = 5


91


Rpta:

2

Rpta:

4

Rpta:

1

Rpta:

3Resuelve y relaciona:

a) x2 - 5x + 4 = 0 ( ) x1 = -2 x2 = 1b) x2+ 5x + 4 = 0 ( ) x1 = 2 x2 = -1c) x2+ x - 2 = 0 ( ) x1= -4 x2 = -1d) x2 - x - 2 = 0 ( ) x1 = 1 x2 = 4

Resolucin:

Halla la menor solucin de:x2 + 3x + 1 = 0

Resolucin:

Sin resolver, seala la ecuacin que tienesoluciones reales y diferentes.a) x2 + 6x + 9 = 0b) 4x2 + 4x + 1 = 0c) 3x2 + 2x + 1 = 0d) 2x2 + 3x - 1 = 0e) 3x2 - 2x + 2 = 0

Resolucin:

Luego de calcular la suma y el producto de lassoluciones de: 7x2 - 3x - 4 = 0; seala el menorresultado.a) -3/7 b) 4/7 c) -4/7d) 3/7 e) -4/3

Resolucin:


92


Rpta:

5

Rpta:

6Sin resolver, seala la ecuacin que tienesoluciones iguales.a) x2 + x + 1 = 0b) 5x2 + 2x - 3 = 0c) x2 - x + 1 = 0d) 4x2 - 8x + 3 = 0e) 9x2 + 12x + 4 = 0

Resolucin:

Si , halla /; donde y son solucionesde:

(x - 1)2 = (2x + 2)2

Resolucin:

7. Si:mx2 - (m - 5)x + 1 = 0

halla m, adems x1 x2 = x1 + x2, donde x1 y x2son soluciones de la ecuacin inicial.

8. Si x = -3 es una solucin de: 9x2 + (5n + 1)x - 3 = 0 halla la suma del valor de n y la otra raz.

9. Si x1 y x2 son soluciones de x2 - 4x + 2 = 0,calcula:

x1 + x2 + x1x2 + x12 + x22

10. Si una solucin de la ecuacin: x2 - 6x + b = 0 es el doble de la otra, halla b2.

11. Resuelve:(5x - 2)2 - (3x + 1)2 = x2 + 60

12. Resuelve:x25

x2- =

310


93


1. Seala el conjunto solucin de: x2 - 6x + 5 = 0

a) {-1 ; 5} b) {1 ; 3} c) {1 ; -5}d) {1 ; 5} e) {-1 ; -5}


a) 8 b) 9 c) 4d) 5 e) 3


a) 4 b) 8 c) 16d) 2 e) 1

4. Halla una solucin de: 2x2 - 2x - 3 = 0

a) (2 + 7)/2 b) 2 - 7c) (2 - 7)/2d) (1 + 7)/2 e) 2 + 7

5. Calcula la suma y el producto de las soluciones de: 3x2 + 7x + 5 = 0 y da por respuesta uno de estos resultados.

a) 5/3 b) 7/3 c) 5/7d) -5/3 e) -7/3

6. Calcula la suma y el producto de las soluciones de: 2x2 + 5x - 9 = 0 e indica el mayor resultado.

a) -5/2 b) 5/2 c) 9/2d) -9/2 e) 9/5

7. Calcula la suma y el producto de las soluciones de: 4x2 - 5x + 7 = 0 y luego uno de estos resultados es:

a) -5/4 b) -7/4 c) 4/7d) 7/4 e) 4/5

8. Si una solucin de la ecuacin: mx2 - 3mx + 5 = 0 es cinco veces la otra, halla m.

a) 3 b) 2 c) 4d) 5 e) 1

9. Si la ecuacin: (4 - k)x2 + 2kx + 2 = 0; k > 0 tiene raices iguales, halla 2k + 1

a) 2 b) 4 c) 7d) 5 e) 3

10. Halla el menor valor de k para que la ecuacin (4k + 8)x2 - 4kx + 1 = 0 tenga races iguales.

a) -2 b) -4 c) -1d) -3 e) 2

11. Resuelve:6x2 = x + 222

a) {-6, 7/3} b) {-3, 7/6} c) {-4, 7/8}d) {-6, 7/6} e) {-6, 37/6}

12. Resuelve:8x + 5 = 36x2

a) {1, 3/2} b) {1/2, -5/18}c) {1/2, 2/3}d) {-5/18, 1/18} e) N. A.


94


17 Planteo de Ecuaciones Lineales

Resolucin:

1. Se tiene S/. 114 en 33 monedas de a S/. 5 y de a S/. 2.Halla la suma de cifras del nmero de monedas de a S/.2 que se tiene.

Sea:x : nmero de monedas de S/. 2y : nmero de monedas de S/. 5

Luego: x + y = 33 ... (1)

2x + 5y = 144 ... (2)

Hacemos (2) - 2x(1):2x + 5y - 2(x + y) = 144 - 2(33) 3y = 78 y = 26 x = 7Nos piden: x = 7

suma de cifras: 7

Resolucin:

2. Un nmero es disminuido en 3, a este resultado se ledivide entre 5 y a este ltimo se le agreg 2 obteniendocomo resultado 4. Calcula dicho nmero.

Sea N el nmero, luego: + 2 = 4

= 2

N - 3 = 10 N = 13

N - 35

N - 35

Leonardo de Pisa(1170 - 1241)

Ms conocido por Fibonacci, que significahijo de Bonaccio.Coetneo de Ricardo Coraznde Len, fue sin duda el ms grande entre losmatemticos europeos de la Edad Media. Se aficiona las matemticas siendo un chiquillo, tras uncurso de aritmtica posicional hind que su padre,Bonaccio, director de la Oficina de Aduanas enuna factora mercantil italiana asentada en Bougie,Argelia, le hizo seguir. La ms conocida de sus obras,Liber abaci (1202) (literalmente, Libro del baco),era en realidad un amplio tratado del sistemade numeracin indoarbigo, en el que presentalos signos hindes y el 0 (quod arabice zephirumappellatur), y el mtodo de regula falsi paraecuaciones de primer grado. Mas sus razonamientosno parecieron causar demasiada impresin a losmercaderes italianos de la poca.


95


Resolucin:

4. El permetro de un rectngulo es 56 m. Si el largo sedisminuye en 2 m y el ancho aumenta en 2 m, la figurase convierte en un cuadrado. Halla el lado mayor dedicho rectngulo.

2(x + y) = 56 x + y = 28 ... (1)

Luego:

xy

x - 2

y + 2 cuadrado

x - 2 = y + 2 x - y = 4 ... (2)

El lado mayor:sumamos (1) + (2): x = x = 16

28 + 42

Resolucin:

5. Si A le da S/. 12 a B, ambas tendrn igual cantidadde dinero y si B le da S/. 2 a A, A tendr el triplede lo que le queda a B. Cunto tiene B?

A - 12 = B + 12 A - B = 24 ... (1)

El llamado alfabeto secreto de Leonardo era unapeculiaridad de este genio. Consista en escribir aligual que los orientales de derecha a izquierda, peroadems inclua distintos signos creados por l. Frente a esta escritura, varios expertos afirmabanque la manera tan peculiar de escribir era debido aque era zurdo y que tena algn problema de parlisisen su mano derecha. Otros expertos aseguran, queescriba de ese modo para esquivar a los inquisidoresde la poca. Finalmente, la tercera teora explicaque la causa poda ser el temor de que los planoso explicaciones de sus inventos y mquinas fueranrobados. Da Vinci tomaba muchas precauciones?, segndicen los expertos, su letra es muy fcil de leer, perohay que estar familiarizado con la caligrafa gtica dela poca y adems hay que ser ingenioso e invertir laimagen de la escritura con un espejo, esto har msfactible leer cualquier documento. Los estudios concluyen que la forma de escribirno era una extravagancia, sino una manifestacin deoriginalidad y que en realidad era un sistema, digamostaquigrfico, para poder escribir con mayor rapidezsobre todo tipo de temas. Los principales manuscritos de este genio seencuentran en la Biblioteca Nacional de Pars, enla Biblioteca Ambrosiana de Miln, en el Museobritnico y en algunas instituciones ms. Sus escritosson un bien preciado para todos indudablemente.

Resolucin:

3. Si un saco de cemento pesa x kg, dos sacos pesan2y - 1 kg y 3 sacos pesan juntos x + y kg. Cuntopesan 4 sacos juntos?

Sabemos: 1 saco = x ... (1) 2 sacos = 2x = 2y - 1 ... (2)

3 sacos = 3x = x + y ... (3) 4 sacos = 4x = ? ... (4)

De (3): y = 2x

reemplazando en (2):y = 2y - 1 y = 1

luego en (4):4x = 2(2x) = 2(y) = 2

3(B - 2) = A + 2 3B - A = 8 ... (2)

Sumamos (1) + (2): 2B = 32 B = 16 A = 40Luego B tiene: S/. 16


96


Rpta:

2

Rpta:

4

Rpta:

1

Rpta:

3Seis kg de caf; y 5 kg de azcar costaron S/.2,27;y 5 kg de caf ms 4 kg de azcar a los mismosprecios costaron S/.1,88. Halla el precio delkilogramo de caf.

Resolucin:

Se tiene S/. 114 en 33 monedas de a S/. 5 y de aS/. 2. Halla la suma de las cifras del nmero demonedas de a S/. 2 que se tiene.

Resolucin:

Si un pen trabaja los lunes inclusive, lograahorrar S/. 8 semanales. La semana que notrabaja el da lunes, tiene que retirar S/. 4 de susahorros. Si durante 16 semanas logra ahorrar S/.56, cuntos lunes dej de trabajar en estas 16semanas?

Resolucin:

La suma de tres nmeros es 160. Un cuarto de lasuma del mayor y del mediano equivale al menordisminuido en 20, y si a 1/2 de la diferencia entreel mayor y el menor se le suma el nmero medioel resultado es 57. Halla la diferencia entre elmayor y el menor.

Resolucin:


97


Rpta:

5

Rpta:

6La suma de los inversos multiplicativos de dosnmeros es 5 y la mitad de uno de ellos msla tercera parte del otro es igual al doble delproducto de dichos nmeros. Halla la diferenciaentre el mayor y el menor.

Resolucin:

Una persona tiene una poza cuya capacidad es490 litros. Para que la poza est llena cuandola persona est metida en el agua, es preciso24 cubos de agua. Si la persona tuviese doblevolumen, haran falta 4 cubos menos. Halla lacapacidad del cubo.

Resolucin:

7. Un padre le dice a su hijo: Hace 8 aos tu edadera 1/7 de la ma. Si dentro de 6 aos ser los14/5; la edad actual del hijo es:

8. Se tiene dos nmeros enteros, tal que el dobledel mayor menos el menor resulta 7 y la suma deambos multiplicada por 3 equivale a 15. Calculala diferencia de ambos.

9. Mario tiene S/.1950 en billetes de S/.100 y deS/.50. Si en total tiene 24 billetes, determinacuntos billetes son de S/. 100.

10. La edad de Vivi dentro de 8 aos ser el doble dela edad que tuvo hace 8 aos. Cul es su edadactual?

11. Si se multiplica el menor y mayor de tres nmerospares consecutivos se obtiene un nmero que es96 unidades menos que el producto del mayor y elsegundo nmero de los tres mencionados. Halla elmayor de ellos.

12. Si al doble de un nmero le aumentas cincounidades, obtendrs como resultado el mismonmero disminuido en cuatro unidades. Cul esel nmero?


|EDICIONES E IMPRESIONESDEMATERIALES EDUCATIVOS

23Buscanos en : : EducativosPucp

IMPRESIONES LSER: SECUNDARIA (s/.0.04 x pgina)Cursos 1 Secundaria 2 Secundaria 3 Secundaria 4 Secundaria 5 Secundaria

# Pginas Costo # Pginas Costo # Pginas Costo # Pginas Costo # Pginas CostoAritmtica 137 5.48 129 5.16 120 4.8 116 4.64 124 4.96lgebra 133 5.32 147 5.88 185 7.4 216 8.64 190 7.6Geometra 127 5.08 151 6.04 138 5.52 203 8.12 157 6.28Trigonometra 108 4.32 124 4.96 124 4.96 147 5.88 105 4.2Raz. Matemtico 97 3.88 94 3.76 116 4.64 136 5.44 148 5.92Fsica 123 4.92 154 6.16 143 5.72 161 6.44 155 6.2Qumica 148 5.92 118 4.72 115 4.6 151 6.04 173 6.92Biologa 146 5.84 272 10.88 312 12.48 344 13.76 368 14.72Lenguaje 200 8 175 7 187 7.48 193 7.72 157 6.28Literatura 146 5.84 163 6.52 185 7.4 160 6.4 209 8.36Raz. Verbal 103 4.12 97 3.88 98 3.92 102 4.08 106 4.24Historia del Per 165 6.6 277 11.08 157 6.28 198 7.92 238 9.52Historia Universal 93 3.72 91 3.64 145 5.8 124 4.96 199 7.96Geografa 142 5.68 157 6.28 130 5.2 298 11.92 222 8.88

74.72 85.96 86.2 101.96 102.04

Contamos con otros materiales para que desarrolles tus guas educativas de:INICIAL PRIMARIA SECUNDARIA EBA ACADEMIAAnual, Semestral, Trimestral y Bimestral

Llamanos somos especialistas.Cel: 988-961526(Movistar)

953-289553 (Claro)Correos: [email protected]

Av. Bolivia 384 Cercado de Lima

Tambin contamos con impresin acolores, consultar precios.Si cuentas con tu material y deseasimprimirlo, descuento especial.


98


1. Si a los dos trminos de una fraccin se aade 3,el valor de la fraccin es 1/2. Si a los dos trminosse les resta 1, el valor de la fraccin es 1/3. Hallael denominador de la fraccin.

a) 4 b) 5 c) 12d) 15 e) 13

2. Si A le da S/. 12 a B, ambas tendrn igualcantidad de dinero y si B le da A S/. 2, Atendr el triple de lo que le queda a B. Cuntotiene B?

a) S/. 5 b) S/. 10 c) S/. 7d) S/. 8 e) S/. 16

3. Hace 8 aos la edad de A era el triple que la deB, y dentro de 4 aos, la edad de B ser los 5/9de la edad de A. Halla el producto de las cifrasde la edad de A.

a) 11 b) 12 c) 10d) 5 e) 6

4. El permetro de un rectngulo es 56 m. Si el largose disminuye en 2 m y el ancho se aumenta en2 m, la figura se convierte en un cuadrado. Hallael lado mayor de dicho rectngulo.

a) 18 m b) 25 m c) 16 md) 20 m e) 24 m

5. En 5 horas A camina 4 km ms que B en 4horas, y A en 7 horas camina 2 km ms que Ben 6 horas. Cuntos kilmetros camina B encada hora?

a) 9 b) 8 c) 7d) 6 e) 5

6. Un padre le dice a su hijo: Hace 6 aos tu edadera 1/3 de la ma y dentro de 9 aos ser los 2/5.La edad actual del hijo es:

a) 52 aos b) 51 aos c) 49 aosd) 48 aos e) 40 aos

7. Si un ladrillo pesa x kg; dos ladrillos pesan juntos2y - 1 kg y tres ladrillos pesan juntos x + y kg,cunto pesan cuatro ladrillos juntos?

a) 2 kg b) 1 kg c) 3 kgd) 4 kg e) 5 kg

8. Encuentra un nmero tal que dividido entre 3 dapor residuo 1, dividido entre 5 da por residuo 4 yel cociente de la primera divisin excede en 11unidades al de la segunda.

a) 91 b) 36 c) 76d) 74 e) 79

9. En una familia el padre gana 21,00 pesos por horay la madre 19,00 pesos. Despus de 25 das elpadre que ha trabajado 4 horas ms por da quela madre ha recibido 2 350 pesos ms que ella.Cuntas horas de trabajo por da ha tenido elpadre?

a) 5 b) 6 c) 7d) 8 e) 9

10. Un nmero es disminuido en 5, A este resultadose le divide entre 3 y a este ltimo se le agreg4 obteniendo como resultado 9. Calcula dichonmero.

a) 20 b) 3 c) 5d) 7 e) 13

11. La mitad de un nmero es igual a la tercera partede otro. Cules son dichos nmeros si su suma esigual a 10?

a) 4 y 6 b) 2 y 8 c) 1 y 9d) 3 y 7 e) 5 y 5

12. Halla dos nmeros sabiendo que uno excede enocho unidades al otro y que el menor aumentadoen sus 3/5 es cinco unidades menos que el mayor.

a) 5 y 13 b) 9 y 17 c) 6 y 14d) 4 y 6 e) 7 y 15


3 Álgebra (13 - 18) corregido

Documents