trigo4to(18 - 21)corregido

7/25/2019 Trigo4to(18 - 21)Corregido

1/20

119

Trigonometra

18IdentidadesTrigonomtricasI

sen csc = 1 csc = ; n ; n Z1

sen

tg ctg = 1 ctg = ; n ; n Z2

1tan

cos sec = 1 sec = ; (2n+1) ; n Z1

cos 2

sen2+cos2=1; R

csc2=1 + ctg2

ctg2 =csc2 - 1csc2- ctg2=1;n; nZ

sec2=1 + tg2sec2- tg2=1;(2n+1) nZ

2 tg2 =sec2 - 1

sen2=1 - cos2a

cos2 =1 - sen2

Son las diferentes relaciones de igualdad que se establecen

entre las razones trigonomtricas de una cierta variable;

las cuales se verifican para todo valor admisible de dicha

variable. Entendemos como valor admisible, aquel valor

que toma la variable y que permite que sus razones

trigonomtricas tomen valores definidos. Estas identidades

trigonomtricas se clasifican de la siguiente manera:

I I.T. DE RECPROCAS

IDENTIDADES TRIGONOMTRICAS

II I.T. POR DIVISIN

III I.T. PITAGRICAS.

tg = , (2n+1) ; n Z2

sen cos

ctg = ; n; n Zcos sen

Algunas demostraciones:

Trabajamos en la circunferencia trigonomtrica:i) Ubicamos un arco ""; luego su extremo "M" tendra

por coordenadas (cos; sen) y OM = 1Para el ngulo cannico

AM = rad, tenemos:

csc rad ry

=

csc 1

sen

= sencsc = 1

tambin, decimos:

sec rad rx

=

sec 1

cos= cossec = 1

Adems:

tg rad

tg sencos

= ctg =cossen

tg =sencos

yx

=

y

cos

cos

radsen

A'

B'

A

B

P 0

r=1

M

x

C.T.

y

(cos; sen)x y


2/20

120

4to Secundaria

ii) MPO: OP2+ PM2= OM2

sen2cos2

sen2cos2

cos2sen2

1sen2

+ =

1+ctg2= csc2

cos2cos2

1cos2

+ =

tg2+1= sec2

sen2+cos2 = 1

sen2cos2 1

De la ltima identidad: sen2+ cos2 = 1

dividido entre "cos2" :

dividido entre "sen2" :

Para demostrar la igualdad, tomamos el miembro de la

igualdad ms complicado y lo reducimos hasta que sea

idntico al otro miembro. Adems, uno de los primeros

criterios a aprender y aplicar para reducir expresiones

ser el de colocar la expresin en trminos de senos y

cosenos; para despus con mayor prctica utilizaremos

mtodos alternativos.

1. Demuestra que:sen tg (1 -sen2) sec = sen2

Resolucin:

En la igualdad

sen tg (1 -sen2) sec = sen2

Vea: P = sen tg (1 -sen2) sec

Ojo: 1 -sen2 = cos2

sec = ;tg =

P = sen cos2

1cos

sencos

Reduciendo

P = sen.sen P = sen2 Lqqd

2. Demuestra que:(1 +tg) cos + (1 ctg )sen = 2sen

Resolucin:

En la igualdad, sea:

P = (1 +tg )cos+ (1-cot)sen

sencos

cossen

Ojo: tg = ; ctg=

P = (1 + )cos+ (1- ) sen

sencos

sencos

P = cos +

sen

(cos + sen)cos

(sen -cos)sen

sen

cos

1

cos

P

Quedara:P=Cos+sen + sen - cos

P = 2sen Lqqd

3. Demuestra que:(sen + 2cos)2 + (2sen + cos )2=5 + 8 sencos

Resolucin:


P = (sen+2cos)2+ (2sen+cos)2

Ojo: (a+b)2= a2+2ab+b2

Desarrollando los binomios al cuadrado:P = sen2+4sencos + 4cos2 + 4sen2 + 4sen cos + cos2

Reduciendo trminos semejantes:

P = 5sen2+5cos2 + 8sen cos

P = 5(sen2+cos2) + 8sen cos

1

P = 5 + 8sencos Lqqd

4. Demuestra que:(sec -tg)(1+ sen) (1+ tg2)=sec

Resolucin:


P = (sec- tg)(1+ sen)(1+ tg2)

sec2

P = ( ) (1+sen)sec21

cossencos

-

P = ( ) (1+sen)1 -sen

cos1

cos2

pero: (1 - sen)(1+ sen)=1 -sen2

P = . =cos2cos

1cos2

1cos

P = sec Lqqd


3/20

121

Trigonometra

Rpta:

2

Rpta:

4

Rpta:

1

Rpta:

3Reduce:L = (1 -cos2)csc ctg

Resolucin:

Reduce:

C = (1 -sen2x)(sec2x -1)cscx

Resolucin:

Simplifica:

C = + senx - cosx

Resolucin:

tgx -ctgxsecx -cscx

Simplifica:

L = sen4x -cos4x + cos2x

Resolucin:


4/20

122

4to Secundaria

Rpta:

5

Rpta:

6Simplifica:

C = (msenx + ncosx)2+(nsenx -mcosx)2

Resolucin:

Simplifica:

L = ( 2 senx + 3 cosx)2 + ( 3 senx - 2 cosx)2

Resolucin:

7. Simplifica:

C =(secx +tgx)(1 -senx)(cscx +ctgx)(1 -cosx)

8. Simplifica:

L =1

secx +tgx +

1secx - tgx

9. Simplifica:

C =1

cscx +ctgx +

1cscx - ctgx

10. Simplifica:

L =1

secx +tgx + tgx

11. Simplifica:

C = {(secx +tgx)2-(secx -tgx)2}cosx

12. Simplifica:

L = (csc+ctg)2+(csc-ctg)2 +2


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123

Trigonometra

1. Reduce:

L =ctgsensec2

a) sen b) cos c) csc

d) sec e) 1

2. Reduce:

C =senx cos2x tg2x

a) senx b) sen2x c) sen3x

d) sen4x e) 1

3. Reduce:

L =cossen2ctg2

a) cos b) cos2 c) cos3

d) cos4 e) 1

4. Reduce:

C =secx cscx tgx

a) cos2x b) sec2x c) sen2x

d) csc2x e) 1

5. Reduce:

L =secx cscx ctgx

a) cos2x b) sec2x c) sen2x

d) csc2x e) 1

6. Reduce:

C = (1 -sen2x)secx tg x

a) senx

b) cosx c) ctgxd) cscx e) secx

7. Reduce:

L=(1 -cos2)(csc2-1)sec

a) 1 b) sen c) cos

d) sec e) csc

8. Reduce:

C=(1 +tg2)(1 + sen2)-sec2

a) 1 b) tg2 c) ctg2

d) sen2 e) cos2

9. Reduce:

L=(1 +ctg2)(1 + cos2)-csc2

a) 1 b) tg2 c) ctg2

d) sen2 e) cos2

10. Reduce:

C=tgx(1+ctgx)+ctgx(1- tgx)-tgx

a) 1 b) cosx c) cos2x

d) ctgx e) tgx

11. Reduce:

L= tgx(1+ctg2x)+ctgx(1-tg2x)

a) 0 b) tgx c) 2tgx

d) 2ctgx e) 2

12. Reduce:

C=(1+tg)(sen+ cos)

a) 1

b) sen c) cosd) sec e) csc


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124

4to Secundaria

19IdentidadesTrigonomtricasII

IDENTIDADES TRIGONOMTRICAS AUXILIARESSon relaciones adicionales a las ya conocidas, quepermitirn resolver un determinado problema sin recurrirnecesariamente al pasar a senos y cosenos la expresin. Vana destacar las siguientes relaciones:

sencos

(sen+cos)2=1+2sencos

tg+ctg=seccsc

sen4+cos4=1-2sen2cos2

(sen-cos)2=1 -2sencos


sec2+csc2=sec2.csc2

Cada una de las cuales se verifica en su respectivo campode valores admisibles.

Demostraciones:

i) Tenemos que: (sen+cos)2=sen2+2sencos+cos2

1

(sen+cos)2= 1+2sencos

Tambin: (sen-cos)2=sen2-2sencos+cos2

(sen-cos)2= 1-2sencos

ii) Tenemos que: tg+ctg= + =

tg+ctg=seccsc

cossen

sen2+cos2cossen

tg+ctg= 1

cossen

Adems: sec2+csc2= + =1

cos21

sen2sen2+cos2cos2sen2

sec2+csc2= sec2+csc2=sec2csc21

cos2sen2

ii) Tenemos que: sen2+cos2=1 (sen2+cos2)2=12

Desarrollando: sen4

+2sen2

cos2

+cos4

=1


1

Tambin: sen

2

+cos

2

=1 (sen

2

+cos

2

)

3

=1

3

Desarrollando: sen6+3sen4cos2+3sen2cos4+cos6=1

Quedara: sen6+3sen2cos2+cos6=1


3sen2cos2(sen2+cos2)

1

1. Demuestra que: (sen+cos+1)(sen+cos-1)tg=2sen2

Resolucin:

En la igualdad, sea:P=(sen+cos+1)(sen+cos-1)tg

Nota la diferencia de cuadrados:P={(sen+cos)2-12}tgP=(1+2sencos-1) P=2sencos.

P=2sen2 Lqqd.

sencos

sencos

2. Demuestra que: 3secxcscx+2tgx+ctgx=5tgx+4ctgx

Resolucin:

En la igualdad, sea:P=3secx cscx+2tgx+ctgx

P=3tgx+3ctgx+2tgx+ctgx

P=5tgx+4ctgx Lqqd.

(tgx+ctgx)


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125

Trigonometra

Arqumedes y Pi

Arqumedes de Siracusa (287 a.C.) marca un antes y

un despus tanto en la bsqueda de una aproximacin

del valor de F como en la comprensin del significadode esta constante. Hacia el 216 a.C. escribi sobre la

medida del crculo, en la que utilizando la reduccin

al absurdo y el mtodo de exhaucin de Eudoxo

llega a calcular sin calculadora! una aproximacin

de un crculo por un polgono de nada menos que

96 lados y concluye que PI est entre 6,336/2.017 y

29.376/9.347, es decir, entre 3,1412989 y 3,1428265 la

mejor aproximacin de su tiempo y una de las mejores

de toda la historia.

3. Demuestra que:(sen4+cos4-1)(sec2+csc2)=-2

Resolucin:

En la igualdad, sea:P=(sen4+cos4-1)(sec2+csc2)

P=(1-2sen2cos2-1)sec2csc2P=-2sen2cos2.sec2csc2

P=-2 Lqqd.11


sec2+csc2=sec2csc2

4. Siendo: sen+cos= 4/3 ; calcula: C=tg+ctg

Nos piden determinar: C=tg+ctg=seccsc= .

C= ...(1)

De la condicin:

sen+cos= 4/3(sen+cos)2=

1+2sencos= sencos=

C=6

1cos

1sen

1sencos

43

43

16

Resolucin:

5. Siendo: sen6+cos6=n ; halla: L=sen4+cos4

De la condicin: sen6+cos6=n 1-3sen2cos2=n

=sen2cos2

Luego, piden: L=sen4+cos4=1-2sen2cos2

L=1-2( )=

L=

1-n3

1-n3

3-2+2n3

2n+1

3

Resolucin:

6. En la igualdad:sec2csc2-sec2=nctg2, determina n.

En la igualdad:

sec2csc2-sec2=nctg2

sec2+csc2-sec2=nctg2 csc2=nctg2

=

Reduciendo:1=ncos2 =n

n=sec2

1sen2

ncos2sen2

Resolucin:

1cos2


8/20

126

4to Secundaria

Rpta:

2

Rpta:

4

Rpta:

1

Rpta:

3Siendo: tgx+ctgx=3;calcula: C=senxcosx

Resolucin:

Siendo: tgx+ctgx=4;

calcula: C=cos2x-cos4x

Resolucin:

Reduce:

C=sec2xcsc2x-csc2x

sec2xcsc2x-sec2x

Resolucin:

Reduce:

L=sec2xcsc2x-ctg2x

1+cos2x

Resolucin:


9/20

127

Trigonometra

Rpta:

5

Rpta:

6Siendo: tgx+ctgx=3 2;

calcula:

L=csc2x+tg2x

Resolucin:

Reduce:

L=sen6x+cos6x-1

cos2x

Resolucin:

7. Sabiendo que: sen+cos= 3/2; calcula:

C=tg+ctg

8. Sabiendo que: sen2x=n+sen4x; determina:

C=tgx+ctgx

9. Sabiendo que: cos2=1/6+cos4; determina:

L=sec2+ctg2

10. Sabiendo que: sen4x+cos4x-1=mtg2x; determina m.

11. Siendo: tg+ctg=4; determina el valor de:

L=sen4tg+cos4ctg

12. Halla m en la igualdad:

(sen+cos)4+(sen-cos)4+ 6=m(1+sen2cos2)


10/20

128

4to Secundaria

1. Siendo: sen+cos= 7/6 ; calcula: C=sencos

a) 1/2 b) 1/3 c) 2/3

d) 1/6 e) 1/12

2. Siendo: sen-cos= 2/3 ;

calcula: L=sencos

a) 1/3 b) 1/6 c) 1/12

d) 2/3 e) 1/2

3. Siendo: tg+ctg=2 3 ;

calcula: C=tg2+ctg2

a) 4 b) 8 c) 6

d) 10 e) 12

4. Siendo: tg-ctg= 6;

calcula: L=tg2+ctg2

a) 6 b) 4 c) 8

d) 10 e) 12

5. Siendo: tgx+ctgx= 6;

calcula: L=sen2x-sen4x

a) 1/2 b) 1/3 c) 1/6

d) 1/12 e) 1/18

6. Siendo: tgx+ctgx=3;

calcula:

L=senxcos3x+sen3xcosx

a) 1/3 b) 1/6 c) 1/9

d) 1/12 e) 1/18

7. Siendo: tgx+ctgx=2 7; calcula:

C=sec2x+ctg2x

a) 26 b) 27 c) 28

d) 29 e) 30

8. Reduce:

C= sen4x+cos4x-1

sen2x

a) cos2x b) 2cos2x c) -2cos2xd) -cos2x e) -2

9. Siendo: tgx+ctgx=2 2;

calcula:

C=sen4x+cos4x

a) 1/2 b) 1/4 c) 3/4

d) 3/8 e) 1/8

10. Sabiendo que:

sen-cos=1/2;

calcula:

L=tg+ctg

a) 4 b) 4/3 c) 7/3

d) 8/3 e) 3

11. Sabiendo que:

tgx+ctgx = 6;

calcula:

C=sen6

x+cos6

x

a) 1 b) 1/2 c) 1/3

d) 1/6 e) 1/12

12. Sabiendo que:

tg2x+ctg2x =4;

calcula:

L=sen4x+cos4x

a) 1/3 b) 2/3 c) 1/6

d) 5/6 e) 1/2


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129

Trigonometra

20IdentidadesTrigonomtricasdelaSuma y Diferencia de ngulos

I d e n t i d a d e s t r i g o n o m t r i c a s d e l a s u m a ydiferencia de ngulos

Frmulas Bsicas:

Partimos de la C.T. mostrada y ubicamos los arcosay .

I.- PARA LA SUMA:

cos( + )=cos co s -sensen

cos(20+)=cos20cos-sen20sencos(10+x)=cos10cosx-sen10senxcos42cos12-sen42sen12=cos(42+12)

sen(+)=sencos+sencossen(10+)=sen10cos+sencos10sen(40+)=sen40cos+sencos40sen70cos+sencos70=sen(70+)

tg(+)=tg+tg1-tgtg

tg(20+)=

=tg(40+20)tg40+tg201-tg40tg20

tg20+tg1-tg20tg

II.- PARA LA DIFERENCIA:

sen(-)=sencos-sencos

sen(40-x)=sen40cosx-senxcos40sen(-10)=sencos10-sen10cossen43cos6-sen6cos43=sen(43-6)

cos(-)=coscos+sensen cos(-14)=coscos14+sensen14cos(-18)=coscos18+sensen18

cos30cosx+sen30senx=cos(30-x)

tg(-)=tg-tg

1+tgtg

tg(10-)=

=tg(17-10)tg17-tg10

1+tg17tg10

tg10-tg1+tg10tg

Demostracines:

i) d(M; N)= (cos-cos)2+(sen-sen)2

d(M; N)= 2-2coscos-2sensen

ii) construimos el OPM: PM=sen

OP=cos

M(cos; sen)

1

cos-

1

N

(cos; sen)

C.T.

sen

O x

y

P

iii) NPM: MN2=NP2+PM2

=(1+cos)2+sen2

MN2=1+2cos+cos2+sen2 ;

Pero: +(-)=180

cos=-

cos(-

) MN2=2-2cos(-)=d

2-2cos(-)=2-2coscos-2sensen

2(M, N)

1


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130

4to Secundaria

Ordenando: cos(-)=coscos+sensen

Hacemos: =-cos(-(-))=coscos(-)+sensen(-)

cos(+)=coscos-sensen

cos(-)=cossen(-)=-sen

Si hacemos: = +

cos(+ +)=coscos( +)-sensen( +)

cos( ++)=cos(-sen)-sen(cos)

-sen(+)=-sencos-sencos

2

2

2

2

sen(+)=sencos+sencos

2

cos( +)=-sen

sen( +)=cos

22

Hacemos: =- sen(+(-))=sencos(-)+sen(-)cos

sen(-)=sencos-sencos

Sabemos: tg(+)= =sen(+)cos(+)

sencos+sencoscoscos-sensen

Dividimos entre coscos:

tg(+)=sencoscoscos

coscos

coscos

sencoscoscos

sensen

coscos

+

-

Reduciendo:

tg(+)=tg+tg1-tgtg

Hacemos: =- tg(+(-))= ; tg(-)=-tg

tg+tg(-)1-tgtg(-)

tg(-)=tg-tg

1+tgtg

Resolucin:

1) Demuestra que:

=tgx+tgysen(x+y)cosxcosy


P= =

P= +

P=tgx+tgy

sen(x+y)cosxcosy

senxcosy+senycosxcosxcosy

senxcosy

cosxcosy

senycosx

cosxcosy

Resolucin:

2) Demuestra que:

=ctgx-tgycos(x+y)senxcosy


P= =

P= -

P=ctgx-tgy

cos(x+y)senxcosy

cosxcosy-senxsenysenxcosy

cosxcosysenxcosy

senxsenysenxcosy

Resolucin:

3) Demuestra que:sen(x+)sen(x-)=sen2x-sen2


P=sen(x+)sen(x-)P=(senxcos+sencosx) (senxcos-sencosx)P=sen2xcos2-sen2cos2xP=sen2x(1-sen2)-sen2(1-sen2x)

Desarrollando:

P=sen2x-sen2xsen2-sen2+sen2sen2x

P=sen2x-sen2

Resolucin:

4) Reduce:

C= + +

Analizando el primer trmino:

= -

=tg-tgLuego, por analoga, en la expresin:

C=tg-tg+tg-tg+tg-tg

C=0

sen(-)coscos

sencoscoscos

sencoscoscos

Resolucin:

5) Sabiendo que: +=45; tg=2/3, calcula: tg

Como: +=45 =45-Luego: tg=tg(45-)

tg=

tg= =

tg=1/5

tg45-tg1+tg45tg

23

1 -

2

3

1+1.

135

3

sen(-)coscos

sen(-)coscos

sen(-)coscos


13/20

131

Trigonometra

Rpta:

2

Rpta:

4

Rpta:

1

Rpta:

3Calcula: sen 52.

Resolucin:

Calcula: cos 22.

Resolucin:

Reduce:C= 2cos(x-/4)-senx

Resolucin:

Si: tg20=m; determina:

L=tg55-tg35

Resolucin:


14/20

132

4to Secundaria

Rpta:

5

Rpta:

6Determina el valor de:

C=tg2

tg46-tg44

Resolucin:

Si: x+y=/4; determina:

L= 1tgx+tgy

- 1ctgx+ctgy

Resolucin:

11. Calcula:

L=(1+ 3tg20)(1+ 3tg40)

12. Del grfico, calcula tg

4 1B C

A D

E

10. Calcula el valor de:

C = tg50+tg10+ 3tg50tg10(1+tg20)(1+tg25)

9. Del grfico, calcula tg.

A D

B C2

3

5

8. Si: sen(x+)=3sen(x-) Calcula: C=tgxctg

7. Del grfico, calcula tg

B

E C

DA

2 5

3


15/20

133

Trigonometra

1. Siendo yngulos agudos tales que: tg=1/3;tg=1/4. Calcula: sen(+)

a) 1/ 170 b) 2/ 170 c) 3/ 170d) 6/ 170 e) 7/ 170

2. Siendo y ngulos agudos tales que:tg=2; tg=4. Calcula: sen(-)

a) 1/ 85 b) 2/ 85 c) 3/ 85

d) 4/ 85 e) 5/ 85

3. Determina el valor de:

C=sen32cos5+sen5cos32

a) 0,2 b) 0,3 c) 0,6d) 0,7 e) 0,8


L=sen40cos5+sen5cos40

a) 1 b) 2 c) 3/2d) 2/2 e) 1/2

5. Reduce:

C=sen(x+)cosxcos

-tg

a) tgx b) tg c) 2tgxd) ctgx e) 1-tg

6. Reduce:

L= sen(x-y)cosxcosy

+ sen(y-z)cosycosz

a) tgy b) 2tgy c) tgzd) tgx+tgz e) tgx-tgz

7. Siendo un ngulo agudo, tal que: tg=3;calcula: cos(45-)

a) 0,2 b) 0,4 c) 0,6d) 0,8 e) 0,75

8. Siendo un ngulo agudo, tal que: ctg=4;calcula: cos(45+)

a) 1/ 34 b) 2/ 34 c) 3/ 34d) 4/ 34 e) 5/ 34

9. Determina el valor de:C=cos24cos21-sen24sen21

a) 1/2 b) 3/2 c) 3/5d) 4/5 e) 2/2


L= cos70cos4+sen70sen4cos60cos6-sen60sen6

a) 1 b) 2 c) 1/2d) -1/2 e) -1

11. Reduce:

C=[cos(x-)senxcos

-tg] [ cos(x+)sencosx-ctg]

a) 1 b) -1 c) tg2xd) -tg2x e) -ctg2x

12. Simplifica:

L=(cos(x+)cosxcos

-1) ( cos(x-)senxsen-1)

a) 1 b) -1 c) tg2xtg2

d) -tg

2

xtg

2

e)-

ctg

2

xctg

2


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134

4to Secundaria

21 IdentidadesTrigonomtricasdel ngulo Doble

IDENTIDADES TRIGONOMTRICAS DEL NGULODOBLE

Demostraciones:

Frmulas Bsicas (2)

sen2=2sencos sen4=2sen2cos2 sen40=2sen20cos20

2sen10cos10=sen20

2sen3xcos3x=sen6x

sen2=2sencos cos2=cos2-sen2 tg2=2tg

1-tg2

cos2=cos2-sen2 cos4=cos22-sen22 cos80=cos240-sen240

cos224-sen224=cos48

cos24x-sen24x=cos8x

tg2=

tg20=

=tg802tg40

1-tg240

2tg101-tg210

2tg1-tg2

Si hacemos: ==En(1): sen(+)=sencos+sencos

En(2): cos(+)=coscos-sensen

En(3): tg(+)= tg+tg1-tgtg

sen2=2sencos

cos2=cos2-sen2

tg2=2tg

1-tg2

ii.- Ampliando nuestros horizontes vamos a realizar unademostracin geomtrica. Partimos de la C.T. mostradadonde ubicamos y 2, as:

y

SR

O T x

N sen2

Msen

cos

cos2

1

sencos

cos2

2

sen2

sencos

2

Q

OQN: QN=sen OQ=cos

OTQ: TQ=OQ.sen

TQ=sencos

OT=OQ.cos

T=coscos=cos2

NRQ: NR=QN.sen

NR=sensen=sen2

QR=QN.cosQR=sencos

OSN: OS=sen2 NS=cos2

Pero: OS=TQ+QR

NS=SR-NR

OT

cos2=cos2-sen2

sen2=2sencos

i- Una demostracin sencilla, es partiendo de la frmulabsica:

sen(+)=sencos+sencos ...(1) cos(+)=coscos-sensen ...(2)

tg(+)= ...(3)tg+tg1-tgtg


17/20

135

Trigonometra

Propiedades:

Demostracines:

i- Tenemos: (sen cos)2=sen2 2sencos+cos2sen2

ii- Tambin: 1-cos2=1-(cos2-sen2) 1-cos2=1-cos2+sen2

Ahora: 1+cos2=1+(cos2-sen2) 1+cos2=1-sen2+cos2

(sencos)2=1sen2

1

1-cos2=2sen2

sen2

cos2

1+cos2=2cos2

Resolucin:

1) Demuestra que: sen2(1+tg2)=2tg

En la igualdad, sea:P=sen2(1+tg2) P=sen2sec2

sec2 P=2sencos.

P=2

P=2tg

1cos2

sencos

tg

Resolucin:

2) Demuestra que:

=tg


P= 1-cos2+sen21+cos2+sen2

1-cos2+sen21+cos2+sen2

2sen2+2sencos2cos2+2sencos

2sen+(sen+cos)

2cos(cos+sen)

Resolucin:

3) Demuestra que:cos4-sen4=cos2


P=cos4-sen4=(cos2)2-(sen2)2

P=(cos2+sen2)(cos2-sen2)

P=cos2cos21

Resolucin:

4) Sabiendo que: sen-cos=1/3; calcula: sen2

De la condicin:

sen-cos=1/3 (sen-cos)2=(1/3)2

1-sen2=1/9

sen2=8/9

(sen10+cos10)2=1+sen20

(sen3x-cos3x)2=1-sen6x

(sen2+cos2)2=

1+sen4x=(sen2x+cos2x)2

1-sen40=

1-cos20=2sen210 1-cos4=2sen22

1-cos6= 2sen218=1-cos36 2sen23x=

1+cos20=2cos210 1+cos8=2cos24

1+cos4= 2cos240=1+cos80 2cos27=

(sen cos)2=1 sen2 1-cos2=2sen2 1+cos2=2cos2

=

Factorizando:

P=

P=tg

Resolucin:

5) Reduce: C=sencoscos2cos4

En la expresin:C=sencoscos2cos42C=2sencoscos2cos4

2C=sen2cos2cos4

4C=2sen2cos2cos4

4C=sen4cos4

8C=2sen4cos4

8C=sen8

C=

sen2

sen4

sen8

sen88


18/20

136

4to Secundaria

Rpta:

2

Rpta:

4

Rpta:

1

Rpta:

3 Calcula:

C=[(sen+cos)2-1]tg

Resolucin:

Reduce:

C =1+cos2+sen2

sen+cos

Resolucin:

Reduce:

C=1-cos2-sen2sen-cos

Resolucin:

Calcula:

L=[(sen-cos)2-1]ctg

Resolucin:


19/20

137

Trigonometra

Rpta:

5

Rpta:

6Reduce:

C=ctg-tg

cos2

Resolucin:

Calcula:

L=(ctg+tg)cos2

Resolucin:

7. Si: msenx-ncosx=0; halla:

C=msen2x-ncos2x

8. Siendo: 3senx-4cosx=0; determina:

L=4sen2x+3cos2x

9. Si: sen+cos= 1+tg y adems que: cos4=asec2-btg2 Calcula: ab

10. Reduce:

C=csc2+ctg2

11. Reduce:

L=csc2-ctg2

12. Reduce:

C=csc20+csc40+csc80+ctg80


20/20

4to Secundaria

1. Siendo un ngulo, tal que: tg=4; calculasen2.

a) 4/17 b) 6/17 c) 8/17

d) 10/17 e) 16/17

2. Siendo un ngulo, tal que: ctg=6; calcula

sen2.

a) 3/37 b) 4/37 c) 6/37

d) 12/37 e) 18/37

3. Reduce:

C=sen2(tg+ctg)

a) 1 b) 2 c) 3

d) 4 e) 1/2

4. Reduce:

L=sen22(sec2+csc2)

a) 1 b) 2 c) 3

d) 4 e) 16

5. Siendo: sen+cos= 5/4

calcula sen2.

a) 1/2 b) 1/3 c) 1/4

d) 1/6 e) 1/8

6. Siendo: sen-cos= 4/5

calcula sen2.

a) 1/2 b) 1/3 c) 1/4

d) 1/5 e) 1/10

7. Reduce:

C=sencoscos2; =/24

a) 20 b) 2-1 c) 2-2

d) 2-3 e) 2-4

8. Reduce:

L=sencoscos2cos4; =/48

a) 20 b) 2-1 c) 2-2

d) 2-3 e) 2-4

9. Reduce:

L=1-cos2+sen21+cos2+sen2

a) tg b) tg2 c) ctg

d) ctg2 e) seccsc

10. Si: tg2tg=m-1; determina m.

a) sec b) cos c) cos2

d) sec2 e) sen2

11. Si: tg2ctg=n+1; determina n.

a) sec b) cos c) sec2

d) cos2 e) sen2

12. Si: ctg-tg=mcos2; halla m.

a) sen2 b) 2sen2 c) csc2

d) 2csc2 e) 2

trigo4to(18 - 21)corregido

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