Equações Diferenciais – Prof. Ms. Robson Rodrigues

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DATA : ___/____/_00

________PROFESSOR : Robson _____

2ª Lista de Exercícios – Equações Diferenciais de Variáveis Separáveis

Questão 01. Resolva as seguintes equações diferenciais:

a) xcosdx

dy2 f)

b) xydx

dy2 g)

c) kPdt

dP h)

d) yxdx

dy2 , com y(0) = 4 i)

e) . j)

Equações Diferenciais como modelos matemáticos

Questão 02. Suponha que um lago receba uma população inicial de 100 peixes, e que a população P de

peixes satisfaça dali por diante, a seguinte equação diferencial: Pkdt

dP , onde k é uma constante positiva.

Se, após 6 meses, há 169 peixes no lago, quantos peixes haverá daqui a 1 ano?

Questão 03. Suponha que a população de peixes P em um lago seja atacada por uma doença no instante

t = 0, de tal forma que a variação da população a partir desse instante seja dada por Pkdt

dP , onde k é

uma constante positiva. Se havia inicialmente 900 peixes no lago, e só restaram 441 após 6 semanas, quanto

tempo levará até que toda a população de peixes tenha morrido?

Questão 04. Uma cidade tem uma população de 10.000 habitantes. Em 1° de janeiro, 1000 pessoas se

contaminaram com um vírus da gripe; em 1° de abril esse número passou para 2000. Suponha que a taxa de

aumento do número N dos que têm gripe seja proporcional ao número dos que não têm. Quantas pessoas

terão a doença em 1° de outubro?

Questão 05. Quando um bolo é tirado do forno, sua temperatura é de 300 ºF. Três minutos mais tarde, sua

temperatura é de 200 ºF. Quanto tempo levará para o bolo resfriar até a temperatura ambiente de 70 ºF?

Questão 06. A população de uma cidade cresce a uma taxa proporcional à população presente em um

instante t. A população inicial de 500 habitantes cresceu 15% em 10 anos. Qual será a população em 30

anos?

Prof. Ms. Robson Rodrigues

Questão 07. A população de bactérias em uma cultura cresce a uma taxa proporcional ao número de

bactérias presentes no instante t. Após três horas, observou-se a existência de 400 bactérias. Após 10 horas,

2000 bactérias. Qual era o número inicial de bactérias?

Datação por carbono - 14

Por volta de 1950, o químico Willard Libby inventou um método de usar o carbono radioativo como um

meio para determinar a idade aproximada dos fosséis. A teoria da datação por carbono baseia-se no fato de

que o isótopo carbono 14 é produzido na atmosfera pela ação da radiação cósmica sobre o nitrogênio. A

razão da quantidade de Carbono – 14 em relação ao carbono comum na atmosfera parece ser uma constante

e, consequentemente, a quantidade proporcional de isótopo presente em todos os organismos vivos é a

mesma na atmosfera. Quando um organismo morre, a absorção de C – 14, por meio da respiração ou

alimentação, cessa. Assim, comparando a quantidade proporcional de C – 14 presente, digamos, em um

fóssil com a razão constante encontrada na atmosfera, é possível obter uma estimativa razoável da idade do

fóssil. O método baseia –se no conhecimento de que a meia – vida do C – 14 é aproximadamente 5600 anos.

Por seu trabalho Libby ganhou o Prêmio Nobel de química em 1960. O método de Libby tem sido utilizado

para datar móveis de madeira em túmulos egípicios e o tecido do enigmático sudário de Turim que mostra a

imagem em negativo do corpo de um homem crucificado, que muitos acreditam ser de Jesus de Nazaré. Em

1988, o Vaticano deu a permissão para datar o carbono 14 do sudário. Três laboratórios analisaram o tecido e

concluíram que o sudário tinha aproximadamente 660 anos, idade consistente com o aparecimento histórico.

Texto adaptado de Equações Diferenciais com Aplicações em Modelagem

Dennis G. Zill – 2003 – Ed. Thomson - p. 104.

Sudário de Turin

Questão 08. Foi encontrado um osso fossilizado que contém um milésimo da quantidade original de C – 14.

Determine a idade desse fóssil.