2.8 a derivada como uma função

7/25/2019 2.8 a Derivada Como Uma Funo

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2 Limites e Derivadas


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2.8A Derivada como uma

Funo


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Na seo precedente consideramos a derivada de umafuno f em um nmero fixo a:

Aqui mudamos nosso ponto de vista e deixamos o nmero

a variar. Se substituirmos a na Equao 1 por uma varivel

x, obtemos

A Derivada como uma Funo


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Dado qualquer nmerox para o qual esse limite exista,

atribumos ax o nmero f(x). Assim, podemos considerar f

como a nova funo, chamada derivada de f e definida

pela Equao 2. Sabemos que o valor de f emx, f(x),

podem ser interpretado geometricamente como a

inclinao da reta tangente ao grfico de fno ponto (x, f(x)).

A funo f denominada derivada de f,pois foi "derivada

a partir de fpela operao-limite na Equao 2.

O domnio de f o conjunto {x|f(x) existe} e pode ser

menor que o domnio de f.


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Exemplo 1

O grfico de uma funo f ilustrado na Figura 1. Use-o

para esboar o grfico da derivada f.

Figura 1


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Exemplo 1Soluo

Podemos estimar o valor da derivada para qualquer valor

dextraando a tangente no ponto (x, f(x)) e estimando sua

inclinao. Por exemplo, parax = 5 traamos a tangente

em Pna Figura 2(a) e estimamos sua inclinao comocerca de , ento f(5) 1,5.

Figura 2(a)


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Exemplo 1Soluo

Isso nos permite desenhar o ponto P(5, 1,5) sobre o

grfico de f diretamente abaixo de P. Repetindo esse

procedimento em vrios pontos, obteremos o grfico

ilustrado na Figura 2(b).

Figura 2(b)

continuao


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Exemplo 1Soluo

Observe que as tangentes emA, Be Cso horizontais;

logo, ali a derivada 0 e o grfico de f cruza o eixoxnos

pontosA, B e C, diretamente abaixo deA, Be C. EntreA

e B,as tangentes tm inclinao positiva; logo f(x) positiva ali. Mas entre B e Cas tangentes tm inclinao

negativa; logo, f(x) l negativa.

continuao


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Quandoxestiver prximo de 0, estar prximo a 0,

logo, f(x) = 1/(2 ) muito grande, e isso corresponde a

retas tangentes ngremes prximas de j(x) na Figura 4(a) e

os grandes valores de f(x) logo direita de 0 na Figura

4(b).

Figura 4


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1010


Quandoxfor grande, f(x) ser muito pequena, o que

corresponde ao achatamento das retas tangentes no

extremo direito do grfico de fe assntota horizontal do

grfico de f.


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Outras Notaes


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Outras Notaes

Se usarmos a notao tradicional y= f(x) para indicar que

a varivel independente xe a varivel dependente y,

ento algumas notaes alternativas para a derivada so

as seguintes:

Os smbolos De d/dxso chamados operadores

diferenciais,pois indicam a operao de diferenciao,

que o processo de clculo de uma derivada.


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1313

Outras Notaes

O smbolo dy/dx, introduzido por Leibniz, no deve ser

encarado como um quociente (por ora); trata-se

simplesmente de um sinnimo para f(x). Todavia, essa

notao muito til e proveitosa, especialmente quandousada em conjunto com a notao de incremento.

Podemos reescrever a definio de derivada como


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Outras Notaes

Para indicar o valor de uma derivada dy/dxna notao de

Leibniz em um nmero especfico a, usamos a notao

que um sinnimo para f(a).


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Onde a funo f(x) = |x| diferencivel?

Soluo: Sex> 0, ento |x| =xpodemos escolher h

suficientemente pequeno suficiente para quex+ h> 0 e

portanto |x+ h| =x+ h. Consequentemente, parax> 0,

temos

e, dessa forma, f diferencivel para qualquerx> 0.

Exemplo 5


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1616

Analogamente, parax< 0 temos |x| =xe podemosescolher hsuficientemente pequeno para quex +h< 0, e

assim |x+ h| =(x+ h). Portanto, parax< 0,

e, dessa forma, f diferencivel para qualquerx< 0.

Exemplo 5Soluocontinuao


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1717

Parax= 0 devemos averiguar

Vamos calcular os limites esquerda e direita:



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1818

Uma vez que esses limites so diferentes, f(0)no existe.

Logo, f diferencivel para todox, exceto 0.

Uma frmula para f dada por

e seu grfico est ilustrado na

Figura 5(b).

Exemplo 5Soluo

Figura 5(b)

y= f (x)

continuao


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1919

O fato de que f(0)no existe est refletido

geometricamente no fato de que a curva y= |x| no tem

reta tangente em (0, 0). [Veja a Figura 5(a).]

Exemplo 5Soluo

Figura 5(a)

y= f(x) = |x|

continuao


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2020

Tanto a continuidade como a diferenciabilidade so

propriedades desejveis em uma funo. O seguinte

teorema mostra como essas propriedades esto

relacionadas.

Observao:A recproca do Teorema 4 falsa, isto , h

funes que so contnuas, mas no so diferenciveis.

Outras Notaes


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Como uma Funo Pode No

Ser Diferencivel?


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2222

Vimos que a funo y= |x| do Exemplo 5 no diferencivel em 0, e a Figura 5(a) mostra que emx= 0 a

curva muda abruptamente de direo.

Em geral, se o grfico de umafuno ftiver uma quina ou uma

dobra, ento o grfico de fno ter

tangente nesse ponto e fno ser

diferencivel ali. (Ao tentarcalcular f(a), vamos descobrir que

os limites esquerda e direita so diferentes).

Como uma Funo Pode No Ser

Diferencivel?

Figura 5(a)

y= f(x) = |x|


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2323

O Teorema 4 nos d outra forma de uma funo deixar de

ter uma derivada. Ele afirma que se no for contnua em a,

ento fno diferencivel em a. Ento, em qualquer

descontinuidade (por exemplo, uma descontinuidade de

salto) fdeixa de ser diferencivel.

Uma terceira possibilidade surge quando a curva tem uma

reta tangente vertical quandox= a; isto , f contnua

em ae


Diferencivel?


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2424

Isso significa que a reta tangente fica cada vez mais

ngreme quandox a.A Figura 6 mostra uma forma de

isso acontecer, e a Figura 7(c), outra.

Figura 6


Diferencivel?

Figura 7(c)

Uma tangente vertical


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2525

A Figura 7 ilustra as trs possibilidades discutidas.

Figura 7

Trs maneiras de fno ser diferencivel em a


Diferencivel?


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Derivadas de Ordem Superior


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2727

Se ffor uma funo diferencivel, ento sua derivada f

tambm uma funo, de modo que f pode ter sua

prpria derivada, denotada por (f) = f. Esta nova funo

f chamada de segunda derivada de f pois a derivada

de ordem dois de f.

Usando a notao de Leibniz, escrevemos a segunda

derivada de y= f

(x) como



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2828

Se f(x) =x3x, encontre e interprete f(x).

Soluo:A primeira derivada de f(x) =x3x f(x) = 3x21.

Assim, a segunda derivada

Exemplo 6


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2929

Os grficos de f, f e f so mostrados na Figura 10.

Exemplo 6Soluo

Figura 10

continuao

.


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3030

Podemos interpretar f(x) como a inclinao da curva

y= f(x) no ponto (x, f(x)). Em outras palavras, a taxa de

variao da inclinao da curva original y= f(x).

Observe pela Figura 10 que f(x) negativa quando

y= f(x) tem inclinao negativa e positiva quando y= f(x)

tem inclinao positiva. Assim, os grficos servem como

verificao de nossos clculos.



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3131

Em geral, podemos interpretar uma segunda derivada

como uma taxa de variao de uma taxa de variao. O

exemplo mais familiar disso a acelerao, que definida

desta maneira:

Se s= s(t) for a funo posio de um objeto que se move

em uma reta, sabemos que sua primeira derivada

representa a velocidade v

(t) do objeto como uma funodo tempo:

v(t) = s(t) =



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3232

A taxa instantnea de variao da velocidade com relao

ao tempo chamada acelerao a(t)do objeto. Assim, a

funo acelerao a derivada da funo velocidade e,

portanto, a segunda derivada da funo posio:

a(t) = v(t) = s(t)

ou, na notao de Leibniz,



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3333

A terceira derivada f(ou derivada de terceira ordem) a

derivada da segunda derivada: f = (f). Assim, f(x) pode

ser interpretada como a inclinao da curva y= f(x) ou

como a taxa de variao f(x). Se y= f(x), ento as

notaes alternativas so



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3434

O processo pode continuar. A quarta derivadaj (ou

derivada de quarta ordem) usualmente denotada por f(4).

Em geral, a n-sima derivada de f denotada porf(n)e

obtida a partir de f,derivado n vezes. Se y= f(x),

escrevemos


.


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3535

Podemos interpretar fisicamente a terceira derivada no

caso em que a funo a funo posio s =s(t) de um

objeto que se move ao longo de uma reta. Como s = (s)

= a, a terceira derivada da funo posio a derivada da

funo acelerao e chamadajerk:



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Assim, ojerkj a taxa de variao da acelerao. O

nome adequado (jerk, em portugus, significa solavanco,

sacudida), pois um jerk grande significa uma variao

sbita na acelerao, o que causa um movimento abruptoem um veculo.


2.8 a derivada como uma função

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