22 Matemática I Aula 3

P Profª. Liliam Benhame ___________________________________________________________________________________________________

PROPORCÃO é uma igualdade entre duas razões.

Propriedade fundamental da proporção

O produto dos extremos é igual ao produto dos meios.

3

4=

6

8→ 3𝑥8 = 4𝑥6

Ex.:Em uma maquete, a altura de um edifício é de 80 cm. Qual a altura real do edifício, sabendo que essa maquete foi feita utilizando-se a escala1 : 20.

Grandezas direta e inversamente proporcionais Se duas grandezas A e B são diretamente proporcionais temos: 𝐴

𝐵= 𝑘( k é a constante de proporcionalidade)

Se duas grandezas A e B são inversamente proporcionais

temos: 𝐴 . 𝐵 = 𝑘( k é a constante de proporcionalidade)

1. (Enem PPL 2018) A resistência elétrica R de um condutor

homogêneo é inversamente proporcional à área S de sua seção transversal.

O gráfico que representa a variação da resistência R do

condutor em função da área S de sua seção transversal é a) b) c)

d) e)

2. (Enem 2010) A relação da resistência elétrica com as

dimensões do condutor foi estudada por um grupo de cientistas por meio de vários experimentos de eletricidade. Eles verificaram que existe proporcionalidade entre: • resistência (R) e comprimento (ℓ), dada a mesma secção transversal (A); • resistência (R) e área da secção transversal (A), dado o mesmo comprimento (ℓ) e • comprimento (ℓ) e área da secção transversal (A), dada a mesma resistência (R). Considerando os resistores como fios, pode-se exemplificar o estudo das grandezas que influem na resistência elétrica utilizando as figuras seguintes:

As figuras mostram que as proporcionalidades existentes entre resistência (R) e comprimento (ℓ), resistência (R) e área da secção transversal (A), e entre comprimento (ℓ) e área da secção transversal (A) são, respectivamente, a) direta, direta e direta. b) direta, direta e inversa. c) direta, inversa e direta. d) inversa, direta e direta. e) inversa, direta e inversa.

3. (Pucrj 2015) Os sócios de uma empresa decidem dividir o

lucro de um determinado período, pelos seus três gerentes, de modo que cada um receba uma parte diretamente proporcional ao seu tempo de serviço.

Sabendo que o lucro que será dividido é de R$ 18.500,00 e

que o tempo de serviço de cada um deles é, respectivamente

5, 7 e 8 anos, podemos afirmar que o mais antigo na

empresa receberá:

a) R$ 4625,00

b) R$ 5125,00

c) R$ 6475,00

d) R$ 7400,00

e) R$ 9250,00

ESTADO DO RIO DE JANEIRO PREFEITURA MUNICIPAL DE MACAÉ SECRETARIA MUNICIPAL DE EDUCAÇÃO PRÉ-VESTIBULAR SOCIAL

A universidade mais perto de você

4. (Enem 2013) Para se construir um contra piso, é comum,

na constituição do concreto, se utilizar cimento, areia e brita, na seguinte proporção: 1 parte de cimento, 4 partes de areia e 2 partes de brita. Para construir o contra piso de uma garagem, uma construtora encomendou um caminhão betoneira com 14m3 de concreto. Qual é o volume de cimento, em m3, na carga de concreto trazido pela betoneira? a) 1,75 b) 2,00 c) 2,33 d) 4,00 e) 8,00

5. (G1 - cftmg 2011) Uma herança de R$60.000,00 foi

dividida entre três filhos A, B e C, de maneira inversamente proporcional às respectivas idades 10, 15 e 18 anos. A quantia, em reais, que o filho B recebeu foi a) 12.000,00 b) 14.000,00 c) 18.000,00 d) 27.000,00

6. (Enem 2019) Para contratar três máquinas que farão o

reparo de vias rurais de um município, a prefeitura elaborou um edital que, entre outras cláusulas, previa: -Cada empresa interessada só pode cadastrar uma única máquina para concorrer ao edital; -O total de recursos destinados para contratar o conjunto das três máquinas é de R$ 31 000,00; -O valor a ser pago a cada empresa será inversamente proporcional à idade de uso da máquina cadastrada pela empresa para o presente edital. As três empresas vencedoras do edital cadastraram máquinas com 2, 3 e 5 anos de idade de uso. Quanto receberá a empresa que cadastrou a máquina com maior idade de uso? a) R$ 3 100,00 b) R$ 6 000,00 c) R$ 6 200,00 d) R$ 15 000,00 e) R$ 15 500,00

7. (Uerj 2011)

A definição apresentada pelo personagem não está correta, pois, de fato, duas grandezas são inversamente proporcionais quando, ao se multiplicar o valor de uma delas por um número positivo, o valor da outra é dividido por esse mesmo número. Admita que a nota em matemática e a altura do personagem da tirinha sejam duas grandezas, x e y, inversamente

proporcionais. A relação entre x e y pode ser representada por:

a) 2

3y

x b)

5y

x .

c) 2

yx 1

d) 2x 4

y3

8. (Enem 2011) A resistência das vigas de dado comprimento

é diretamente proporcional à largura (b) e ao quadrado da altura (d), conforme a figura. A constante de proporcionalidade kvaria de acordo com o material utilizado na sua construção.

Considerando-se S como a resistência, a representação algébrica que exprime essa relação é

a) S k b d b) 2S b d c)

2S k b d

d) 2

k bS

d

e)

2k dS

b

9. (Enem 2012) A resistência mecânica S de uma viga de

madeira, em forma de um paralelepípedo retângulo, é diretamente proporcional à sua largura (b) e ao quadrado de sua altura (d) e inversamente proporcional ao quadrado da distância entre os suportes da viga, que coincide com o seu comprimento (x), conforme ilustra a figura. A constante de proporcionalidade k é chamada de resistência da viga.

A expressão que traduz a resistência S dessa viga de madeira é

a)

2

2

k.b.dS

x b)

2

k.b.dS

x c)

2k.b.dS

x

d)

2k.b .dS

x e)

k.b.2dS

2x

10. (Enem 2013) Muitos processos fisiológicos e bioquímicos,

tais como batimentos cardíacos e taxa de respiração, apresentam escalas construídas a partir da relação entre superfície e massa (ou volume) do animal. Uma dessas escalas, por exemplo, considera que ”o cubo da área S da superfície de um mamífero é proporcional ao quadrado de sua massa M“. Isso é equivalente a dizer que, para uma constante k >0, a área S pode ser escrita em função de M por meio da expressão:

a) S k M b)

1

3S k M c)

1 1

3 3S k M

d)

1 2

3 3S k M e)

123S k M

11. (Enem PPL 2015) Sabe-se que o valor cobrado na conta de

energia elétrica correspondente ao uso de cada eletrodoméstico é diretamente proporcional à potência utilizada pelo aparelho, medida em watts (W), e também ao tempo que esse aparelho permanece ligado durante o mês. Certo consumidor possui um

chuveiro elétrico com potência máxima de 3.600 W e um

televisor com potência máxima de 100 W. Em certo mês, a

família do consumidor utilizou esse chuveiro elétrico durante um tempo total de 5 horas e esse televisor durante um tempo total de 60 horas, ambos em suas potências máximas.

Qual a razão entre o valor cobrado pelo uso do chuveiro e o valor cobrado pelo uso do televisor?

a) 1:1.200

b) 1:12

c) 3 :1

d) 36 :1

e) 432 :1

12. (Enem 2018) De acordo com a Lei Universal da

Gravitação, proposta por Isaac Newton, a intensidade da força

gravitacional F que a Terra exerce sobre um satélite em órbita circular é proporcional à massa m do satélite e inversamente

proporcional ao quadrado do raio r da órbita, ou seja,2

kmF

r

No plano cartesiano, três satélites, A, B e C, estão

representados, cada um, por um ponto (m; r) cujas

coordenadas são, respectivamente, a massa do satélite e o raio da sua órbita em torno da Terra.

0

Com base nas posições relativas dos pontos no gráfico, deseja-

se comparar as intensidades A BF , F e CF da força

gravitacional que a Terra exerce sobre os satélites A, B e C,

respectivamente. As intensidades A BF , F e CF expressas no

gráfico satisfazem a relação

a) C A BF F F

b) A B CF F F

c) A B CF F F

d) A C BF F F

e) C A BF F F