OCTAVO AÑO:

Valor Numérico de una Expresión Algebráica

Se trata de una simple sustitución de números por letras para después hacer los cálculos indicados por la expresión y obtener así un resultado:

Ejemplo:

Dada la expresión:

Respuesta: 1066

Solución:

Sustituimos las letras por los números teniendo en cuenta los signos aritméticos:

9.25 Calcula el valor numérico de:

3a – 2b + 4a + 3b si a = 2 y b = 3

Respuesta: 17

9.26 Calcula el valor numérico de:

Respuesta: 7

9.27 Calcula el valor numérico de:

Respuesta:

9.28 Halla el valor numérico: para a = 3, b = 4 y c = 5

Respuesta:

9.29 Calcula el valor numérico de:

Para p = 5, a = 2, b = 3 y c = 4

Respuesta:

Solución:

Respuesta:

NOVENO AÑO:

CUADRADO DE LA SUMA (DIFERENCIA) DE DOS CANTIDADES

CUADRADO DE LA SUMA DE DOS CANTIDADES: (a+b)2

Analizamos:

(a+b)2 = (a+b) (a+b) = a2+ab+ab+b2 = a2+2ab+b2

De aquí deducimos la regla:

“El cuadrado de la suma de dos cantidades es igual al cuadrado de la primera cantidad más el doble de la primera cantidad por la segunda más el cuadrado de la segunda cantidad”

Ejemplos:

Resolver por simple inspección.

a) (4+a)2 = 42+2(4)a+a2 = 16+8a+a2

b) (6a+4b)2= (6 a)2+2(6 a)(4b)+(4b)2 = 36 a2 +48ab+16b2

c) (4x+6y)2 = (4x)2+2(4x)(6y)+(6y)2 = 16x+48xy+36y2

d) (7+3b)2 = 72+2(7)(3b)+(3b)2 = 49+42b+9b2

e) (0.25x+3y)2 = (0.25x)2+2(0.25x)(3y)+(3y)2 = 0.0625x2+1.5xy+9y2

f) (1/2 a +1/8 b)2 = (1/2 a)2+2(1/2 a)(1/8 b)+(1/8 b)2= 1/4 a2+1/8 ab+1/64

b2

CUADRADO DE LA DIFERENCIA DE DOS CANTIDADES

(a-b)2= (a-b) (a-b)= a2-ab-ab+b2 = a2-2ab+b2

REGLA:

“El cuadrado de la diferencia de dos cantidades es igual al cuadrado de

la primera cantidad menos el doble de la primera por la segunda más el

cuadrado de la segunda”

Ejemplos:

a) (x-5)2= x2-2(x)(5)+52= x2-10x+25

b) (4m2-3n5)2= (4m2)2-2(4m2)(3n5)+(3n5)2= 16m4-24m2n5+9n10

c) (xa+1-xa+2)2= (xa+1)2-2(xa+1)(xa+2)+ (xa+2)2= x2a+2-2x2a+3+x2a+4

DECIMO AÑO:

FUNCIONES MATEMATICAS

En matemática, una función (f) es una relación entre un conjunto dado X (llamado dominio) y otro conjunto de elementos Y (llamado codominio) de forma que a cada elemento x del dominio le corresponde un único elemento f(x) del codominio (los que forman el recorrido, también llamado rango o ámbito).

Ver: Relaciones y funciones

En lenguaje cotidiano o más simple, diremos que las funciones matemáticas equivalen al proceso lógico común que se expresa como “depende de”.

Las funciones matemáticas pueden referirse a situaciones cotidianas, tales como: el costo de una llamada telefónica que depende de su duración, o el costo de enviar una encomienda que depende de su peso.

A modo de ejemplo, ¿cuál sería la regla que relaciona los números de la derecha con los de la izquierda en la siguiente lista?:

1 --------> 1

2 --------> 4

3 --------> 9

4 --------> 16

Los números de la derecha son los cuadrados de los de la izquierda.

La regla es entonces "elevar al cuadrado":

1 --------> 1

2 --------> 4

3 --------> 9

4 --------> 16

x --------> x2.

Para referirse a esta regla podemos usar un nombre, que por lo general es la letra f (de función). Entonces, f es la regla "elevar al cuadrado el número".

Usualmente se emplean dos notaciones:

x --------> x2 o f(x) = x2 .

Así, f(3) significa aplicar la regla f a 3. Al hacerlo resulta 32 = 9.

Entonces f(3) = 9. De igual modo f(2) = 4, f(4) = 16, f(a) = a2, etc.

Veamos algunos ejemplos que constituyen funciones matemáticas.

Ejemplo 1

Correspondencia entre las personas que trabajan en una oficina y su peso expresado en kilos

Conjunto X Conjunto Y

Ángela 55

Pedro 88

Manuel 62

Adrián 88

Roberto 90

Cada persona (perteneciente al conjunto X o dominio) constituye lo que se llama la entrada o variable independiente. Cada peso (perteneciente al conjunto Y o codominio) constituye lo que se llama la salida o variable dependiente. Notemos que una misma persona no puede tener dos pesos distintos. Notemos también que es posible que dos personas diferentes tengan el mismo peso.

Ejemplo 2

Correspondencia entre el conjunto de los números reales (variable independiente) y el mismo conjunto (variable dependiente), definida por la regla "doble del número más 3".

x -------> 2x + 3 o bien f(x) = 2x + 3

Algunos pares de números que se corresponden por medio de esta regla son:

Conjunto X Conjunto YDesarrollo

− 2 − 1 f(−2) = 2(−2) + 3 = −4 + 3 = − 1

− 1 1 f(−1) = 2(−1) + 3 = −2 + 3 = 1

0 3 f(0) = 2(0) + 3 = 0 + 3 = 3

1 5 f(1) = 2(1) + 3 = 2 + 3 = 5

2 7 f(2) = 2(2) + 3 = 4 + 3 = 7

3 9 f(3) = 2(3) + 3 = 6 + 3 = 9

4 11 f(4) = 2(4) + 3 = 8 + 3 = 11

Con estos ejemplos vamos entendiendo la noción de función: como vemos, todos y cada uno de los elementos del primer conjunto (X) están asociados a uno, y sólo a uno, del segundo conjunto (Y). Todos y cada uno significa que no puede quedar un elemento en X sin su correspondiente elemento en Y. A uno y sólo a uno significa que a un mismo elemento en X no le pueden corresponder dos elementos distintos en Y.

Ahora podemos enunciar una definición más formal:

Una función (f) es una regla que asigna a cada elemento x de un conjunto X (dominio) exactamente un elemento, llamado f(x), de un conjunto Y (codominio).

Otra definición equivalente es: sean X e Y dos conjuntos. Una función de X en Y es una regla (o un método) que asigna un (y sólo uno) elemento en Y a cada elemento en X.

Usualmente X e Y son conjuntos de números.

Generalizando, si se tiene una función f, definida de un conjunto A en un conjunto B, se anota

f : A -----> B (o, usando X por A e Y por B f : X -----> Y) o f(x) = x

Recordemos de nuevo que el primer conjunto A se conoce como dominio (Dom) de la función y B es el codominio o conjunto de llegada.

f(x) denota la imagen de x bajo f, mientras que x es la preimagen de f(x).

En el ejemplo 2 anterior el número 3 es la imagen del número 0 bajo f; por su parte, 1 es la preimagen del número 5.

El rango (Rg) o recorrido (Rec) o ámbito (A) es el conjunto de todos los valores posibles de f(x) que se obtienen cuando x varía en todo el dominio de la función.

Ejemplo 3

Suponga que el conjunto A (de salida) es A = {1, 2, 3} y que el conjunto B (de llegada) es B = {0, 4, 6, 8, 10, 12} y que la relación de dependencia o correspondencia entre A y B es "asignar a cada elemento su cuádruplo".

Vamos a examinar si esta relación es una función de A en B y determinaremos dominio y recorrido.

Veamos:

A los elementos 1, 2 y 3 del conjunto A les corresponden, respectivamente, los elementos 4, 8 y 12 del conjunto B. Como a cada elemento de A le corresponde un único elemento de Y, la relación de dependencia es una función (función de A en B).

Dominio = {1, 2, 3} Recorrido = {4, 8, 12}

Notar que el recorrido es un subconjunto del codominio B = {0, 4, 6, 8, 10, 12}

Aquí debemos recordar que toda función es una relación, pero no todas las relaciones son funciones. Como ejemplos de relaciones que son funciones y algunas que no lo son, veamos las siguientes:

Si tenemos los conjuntos

A = {1; 2; 3; 4}, B = {1; 2; 3; 4; 5}

Podemos establecer las relaciones

f = { (1; 2); (2; 3); (3; 4); (4; 5) }

g = { (1; 2); (1; 3); (2; 4); (3; 5); (4; 5) }

h = { (1; 1); (2; 2); (3; 3) }:

Está claro que f, g y h son relaciones de A en B, pero sólo f es una función (todos los elementos del conjunto A tiene su correspondiente elemento en b); g no es función ya que (1; 2) y (1; 3) repiten un elemento del dominio (el 1). Tampoco h es una función ya que Dom(h) = {1; 2; 3} ≠A (falta el 4).

Ejemplo 4

Sea X = {−4, −1, 0, 4, 9}, Y = {−4,−3, −2, −1, 0, 1, 2, 3, 4} y que la regla de correspondencia es " asignar a cada elemento de X el resultado de extraer su raíz cuadrada".

Vamos a determinar si esta regla constituye función de X en Y.

Veamos:

A simple vista se aprecia que los números 0, 4, 9 tienen imagen en Y (

), pero a los números −4 y −1 no les corresponden

elementos en Y. Como existen elementos de X que no se corresponden con elementos de Y, esta relación no es función de X en Y.

Dominio y rango de una función

Como ya vimos, el dominio de una función es el conjunto de valores para los cuales la función está definida; es decir, son todos los valores que puede tomar la variable independiente (la x).

Por ejemplo la función f(x) = 3x2 – 5x está definida para todo número real (x puede ser cualquier número real). Así el dominio de esta función es el conjunto de todos los números reales.

En cambio, la función tiene como dominio todos los valores de x para los cuales −1<x < 2, porque aunque pueda tomar cualquier valor real diferente de –2, en su definición determina en qué intervalo está comprendida.

Si el dominio no se específica, debe entenderse que el dominio incluye a todos los números reales para los cuales la función tiene sentido.

En el caso de la función , el dominio de esta función son todos los números reales mayores o iguales a –3, ya que x + 3 debe ser mayor o igual que cero para que exista la raíz cuadrada.

Como resumen, para determinar el dominio de una función, debemos considerar lo siguiente:

Si la función tiene radicales de índice par, el dominio está conformado por todos los números reales para los cuales la cantidad subradical sea mayor o igual a cero.

Si la función es un polinomio; una función de la forma f(x) = a0 + a1x + a2x2 +...+ anxn (donde a0, a1, a2,..., an son constantes y n un entero no negativo), el dominio está conformado por el conjunto de todos los números reales.

Si la función es racional; esto es, si es el cociente de dos polinomios, el dominio está conformado por todos los números reales para los cuales el denominador sea diferente de cero.

El rango (recorrido o ámbito) es el conjunto formado por todas las imágenes; es decir, es el conjunto conformado por todos los valores que puede tomar la variable dependiente; estos valores están determinados además, por el dominio de la función.

Ejemplo

Identificar dominio y rango de la función

Veamos:

Como la función tiene radicales el dominio está conformado por todos los valores para los cuales x – 2 ≥ 0. Esto es, el dominio de la función incluye todos los reales que son mayores o iguales a 2.

El rango es igual al conjunto de los números reales positivos incluyendo el cero; puesto que al reemplazar los valores del dominio se obtienen únicamente valores positivos bajo la función f.

PRIMERO BGU

Tipos de gráficos disponiblesMicrosoft Office Excel 2007 admite muchos tipos de gráficos para ayudarle a mostrar datos de forma comprensible para su audiencia. Cuando crea un gráfico o cambia el tipo de uno existente, puede seleccionar uno de los tipos de gráficos siguientes.

Importante Este artículo describe los tipos de gráfico que puede usar. Para obtener información sobre cómo crear un gráfico, vea Crear un gráfico.

En este artículo

Gráficos de columnas

Gráficos de líneas

Gráficos circulares

Gráficos de barras

Gráficos de área

Gráficos de tipo XY (Dispersión)

Gráficos de cotizaciones

Gráficos de superficie

Gráficos de anillos

Gráficos de burbujas

Gráficos radiales

Otros tipos de gráficos que puede crear en Excel

Gráficos de columnas

Se pueden trazar datos que se organizan en columnas o filas de una hoja de cálculo en un gráfico de columnas. Este tipo de gráfico es útil para mostrar cambios de datos en un período de tiempo o para ilustrar comparaciones entre elementos.

En los gráficos de columnas, las categorías normalmente se organizan en el eje horizontal y los valores en el eje vertical.

Los gráficos de columnas tienen los siguientes subtipos de gráfico:

• Columnas agrupadas y columnas agrupadas en 3D Los gráficos de columnas agrupadas comparan valores entre categorías. Un gráfico de columnas agrupadas muestra valores en rectángulos verticales en 2D. Un gráfico de columnas agrupadas en 3D simplemente muestra los datos con perspectiva 3D; no se usa un tercer eje de valores (eje de profundidad).

Puede utilizar un tipo de gráfico de columna agrupada cuando tiene categorías que representan:

o Rangos de valores (por ejemplo, recuentos de elementos).o Disposiciones de escala específicas (por ejemplo, una escala de Likert

con entradas, como totalmente de acuerdo, de acuerdo, neutral, en desacuerdo, totalmente en desacuerdo).

o Nombres que no se encuentran en ningún orden específico (por ejemplo, nombres de artículos, nombres geográficos o los nombres de personas).

Nota Para presentar datos en un formato 3D con tres ejes (un eje horizontal, uno vertical y uno de profundidad) que se puedan modificar, use en cambio el subtipo de gráfico de columnas 3D.

• Columnas apiladas y columnas apiladas en 3-D Los gráficos de columnas apiladas muestran la relación de elementos individuales con el conjunto, comparando la contribución de cada valor con un total entre categorías. Un gráfico de columnas apiladas muestra los valores en rectángulos apilados verticales en 2D. Un gráfico de columnas apiladas en 3D simplemente muestra los datos con perspectiva 3D; no se usa un tercer eje de valores (eje de profundidad).

Puede utilizar un gráfico de columnas apiladas cuando tiene varias series de datos y desea destacar el total.

• Columnas 100% apiladas y columnas 100% apiladas en 3D Los gráficos de columnas 100% apiladas y columnas 100% apiladas en 3D comparan el porcentaje con que contribuye cada valor a un total de categorías. Un gráfico de columnas 100% apiladas muestra valores en rectángulos verticales 100% apilados en 2D. Un gráfico de columnas 100% apiladas en 3D simplemente muestra los datos con perspectiva 3D; no se usa un tercer eje de valores (eje de profundidad).

Puede utilizar un gráfico de columnas 100% apiladas cuando tenga tres o más series de datos y desee destacar las contribuciones al conjunto, especialmente si el total es el mismo para cada categoría.

• Columnas 3D Los gráficos de columnas 3D utilizan tres ejes que se pueden modificar (un eje horizontal, un eje vertical y un eje de profundidad) y comparan puntos de datos en los ejes horizontal y de profundidad.

Puede utilizar un gráfico de columnas 3D cuando desee comparar del mismo modo datos entre categorías y entre series, ya que este tipo de gráfico muestra categorías a lo largo de los ejes horizontal y de profundidad, mientras que el eje vertical muestra los valores.

• Cilindro, cono y pirámide Los gráficos de cilindros, conos y pirámides están disponibles en los mismos tipos de gráficos agrupados, apilados, 100% apilados y en 3D proporcionados para gráficos de columnas rectangulares, y muestran y comparan datos de la misma manera. La única diferencia es que estos tipos de gráficos muestran formas de cilindro, cono y pirámide en lugar de rectángulos.

Sugerencia Para crear un gráfico de columnas, vea Presentar datos en un gráfico de columnas.

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Gráficos de líneas

Se pueden trazar datos que se organizan en columnas o filas de una hoja de cálculo en un gráfico de líneas. Los gráficos de línea pueden mostrar datos continuos en el tiempo, establecidos frente a una escala común y, por tanto, son ideales para mostrar tendencias en datos a intervalos iguales. En un gráfico de líneas, los datos de categoría se distribuyen uniformemente en el eje horizontal y todos los datos de valor se distribuyen uniformemente en el eje vertical.

Use un gráfico de líneas si las etiquetas de categorías son texto, y representan valores que están separados uniformemente entre sí, por ejemplo meses, trimestres o ejercicios fiscales. Este tipo de gráfico es válido especialmente si hay más de una serie. Si sólo hay una, se recomienda utilizar un gráfico de categorías. Utilice también un gráfico de líneas si tiene etiquetas numéricas con valores separados uniformemente entre sí, especialmente años. Si tiene más de diez etiquetas numéricas, utilice en su lugar un gráfico de dispersión.

Los gráficos de líneas tienen los siguientes subtipos de gráfico:

• Línea y línea con marcadores Ya sea que se muestren con marcadores (para indicar valores de datos individuales) o sin ellos, los gráficos de líneas son útiles para mostrar tendencias en el tiempo o categorías ordenadas, especialmente cuando hay muchos puntos de datos y el orden en que se presentan es importante. Si hay muchas categorías o los valores son aproximados, utilice un gráfico de líneas sin marcadores.

• Línea apilada y línea apilada con marcadores Ya sea que se muestren con marcadores (para indicar valores de datos individuales) o sin ellos, los gráficos de líneas apiladas permiten mostrar la tendencia de la contribución que hace cada valor a lo largo del tiempo o categorías ordenadas; pero como no es fácil ver que las líneas están apiladas, tal vez convenga usar otro tipo de gráfico de líneas o un gráfico de áreas apiladas.

• Línea 100% apilada y línea 100% apilada con marcadores Ya sea que se muestren con marcadores (para indicar valores de datos individuales) o sin ellos, los gráficos de líneas 100% apiladas son útiles para mostrar la tendencia del porcentaje con que cada valor contribuye en el tiempo o categorías ordenadas. Si hay muchas categorías o los valores son aproximados, use un gráfico de líneas 100% apiladas sin marcadores.

Sugerencia Para obtener una mejor presentación de este tipo de datos, puede utilizar en su lugar un gráfico de áreas 100% apiladas.

• Líneas 3D Los gráficos de líneas 3D muestran cada fila o columna de datos como una cinta de opciones 3D. Un gráfico de líneas 3D tiene ejes horizontal, vertical y de profundidad que puede modificar.

Sugerencia Para crear un gráfico de líneas, vea Presentar los datos en un gráfico de dispersión o en un gráfico de líneas.

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Gráficos circulares

En un gráfico circular se pueden representar datos contenidos en una columna o una fila de una hoja de cálculo. Los gráficos circulares muestran el tamaño de los elementos de una puntos de datos, en proporción a la suma de los elementos. Los puntos de datos de un gráfico circular se muestran como porcentajes del total del gráfico circular.

Piense en utilizar un gráfico circular cuando:

• Sólo tenga una serie de datos que desee trazar.• Ninguno de los valores que desea trazar son negativos.

• Casi ninguno de los valores que desea trazar son valores cero.

• No tiene más de siete categorías.

• Las categorías representan partes de todo el gráfico circular.

Los gráficos circulares tienen los siguientes subtipos de gráfico:

• Circular y circular en 3D Los gráficos circulares muestran la contribución de cada valor a un total con un formato 2D o 3D. Puede extraer manualmente sectores de un gráfico circular para destacarlos.

• Circular con subgráfico circular y circular con subgráfico de barras Los gráficos circulares con subgráfico circular o subgráfico de barras son gráficos circulares con valores definidos por el usuario que se extraen del gráfico circular principal y se combinan en un gráfico secundario, circular o de barras apiladas. Estos tipos de gráficos son útiles cuando desea que los sectores pequeños del gráfico circular principal se distingan más fácilmente.

• Circular seccionado y circular seccionado en 3D Los gráficos circulares seccionados muestran la contribución de cada valor a un total, al mismo tiempo que destacan valores individuales. Los gráficos circulares seccionados se pueden mostrar en formato 3D. Puede cambiar la configuración de la división en secciones para cada sector por separado y para todos ellos, pero no puede mover manualmente los sectores de un gráfico circular seccionado. Si desea extraer los sectores manualmente, utilice un gráfico circular o un gráfico circular 3D.

Sugerencia Para crear un gráfico circular, vea Presentar los datos en un gráfico circular.

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Gráficos de barras

Se pueden trazar datos que se organizan en columnas o filas de una hoja de cálculo en un gráfico de barras. Los gráficos de barras muestran comparaciones entre elementos individuales.

Piense en utilizar un gráfico de barras cuando:

• Las etiquetas de eje son largas.

• Los valores que se muestran son duraciones.

Los gráficos de barras tienen los siguientes subtipos de gráfico:

• Barra agrupada y barra agrupada en 3D Los gráficos de barras agrupadas comparan valores entre categorías. En un gráfico de barras agrupadas, las categorías se suelen organizar a lo largo del eje vertical, mientras que los valores lo hacen a lo largo del horizontal. Un gráfico de barras agrupadas en 3D muestra rectángulos horizontales en formato 3D; no presenta los datos en tres ejes.

• Barra apilada y barra apilada en 3D Los gráficos de barras apiladas muestran la relación de elementos individuales con el conjunto. Un gráfico de barras apiladas en 3D muestra rectángulos horizontales en formato 3D; no presenta los datos en tres ejes.

• Barras 100% apiladas y barras 100% apiladas en 3D Este tipo de gráfico compara el porcentaje con que cada valor contribuye a un total entre categorías. Un gráfico de barras 100% apiladas en 3D muestra rectángulos horizontales en formato 3D; no presenta los datos en tres ejes.

• Cilindro, cono y pirámide horizontales Estos gráficos están disponibles en los mismos tipos de gráficos agrupados, apilados y 100% apilados que se proporcionan para los gráficos de barras rectangulares. Muestran y comparan los datos de la misma forma. La única diferencia es que estos tipos de gráfico muestran formas cilíndricas, cónicas y piramidales en lugar de rectángulos horizontales.

Sugerencia Para crear un gráfico de barras, vea Presentar datos en un gráfico de barras.

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Gráficos de área

Se pueden trazar datos que se organizan en columnas o filas de una hoja de cálculo en un gráfico de área. Los gráficos de área destacan la magnitud del cambio en el tiempo y se pueden utilizar para llamar la atención hacia el valor total en una tendencia. Por ejemplo, se pueden trazar los datos que representan el beneficio en el tiempo en un gráfico de área para destacar el beneficio total.

Al mostrar la suma de los valores trazados, un gráfico de área también muestra la relación de las partes con un todo.

Los gráficos de área tienen los siguientes subtipos de gráfico:

• Áreas en 2D y 3D Tanto si se presentan en 2D como en 3D, los gráficos de áreas muestran la tendencia de los valores en el tiempo u otros datos de categoría. Los gráficos de áreas 3D usan tres ejes (horizontal, vertical y profundidad) que se pueden modificar. Como norma, considere la posibilidad de utilizar un gráfico de líneas en lugar de un gráfico de áreas no apilado, ya que los datos de una serie pueden quedar ocultos por los de otra.

• Áreas apiladas y áreas apiladas en 3D Los gráficos de áreas apiladas muestran la tendencia de la contribución de cada valor a lo largo del tiempo u otros datos de categoría. Un gráfico de áreas apiladas en 3D se presenta de la misma forma, aunque utiliza una perspectiva 3D. Una perspectiva 3D no es un verdadero gráfico 3D: no se emplea un tercer eje de valores (eje de profundidad).

• Áreas 100% apiladas y áreas 100% apiladas en 3D Los gráficos de áreas 100% apiladas muestran la tendencia del porcentaje con que cada valor contribuye a lo largo del tiempo u otros datos de categoría. Un gráfico de áreas 100% apiladas en 3D se presenta de la misma forma, pero utiliza una perspectiva 3D. Una perspectiva 3D no es un verdadero gráfico 3D: no se emplea un tercer eje de valores (eje de profundidad).

Sugerencia Para crear un gráfico de áreas, vea Presentar datos en un gráfico de áreas.

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Gráficos de tipo XY (Dispersión)

Se pueden trazar datos que se organizan en columnas y filas de una hoja de cálculo en un gráfico de tipo XY (dispersión). Los gráficos de dispersión muestran la relación entre los valores numéricos de varias series de datos o trazan dos grupos de números como una serie de coordenadas XY.

Un gráfico de dispersión tiene dos ejes de valores y muestra un conjunto de datos numéricos en el eje horizontal (eje X) y otro en el eje vertical (eje Y). Combina estos valores en puntos de datos únicos y los muestra en intervalos irregulares o agrupaciones. Los gráficos de dispersión se utilizan por lo general para mostrar y comparar valores numéricos, por ejemplo datos científicos, estadísticos y de ingeniería.

Piense en utilizar un gráfico de dispersión cuando:

• Desea cambiar la escala del eje horizontal.• Desea convertir dicho eje en una escala logarítmica.

• Los espacios entre los valores del eje horizontal no son uniformes.

• Hay muchos puntos de datos en el eje horizontal.

• Desea mostrar eficazmente datos de hoja de cálculo que incluyen pares o conjuntos de valores agrupados y ajustar las escalas independientes de un gráfico de dispersión para revelar más información acerca de los valores agrupados.

• Desea mostrar similitudes entre grandes conjuntos de datos en lugar de diferencias entre puntos de datos.

• Desea comparar muchos puntos de datos sin tener en cuenta el tiempo; cuantos más datos incluya en un gráfico de dispersión, mejores serán las comparaciones que podrá realizar.

Para organizar los datos de una hoja de cálculo para un gráfico de dispersión, debería colocar los valores de X en una fila o columna y, a continuación, escribir los valores y correspondientes en las filas o columnas adyacentes.

SEGUNDO BGU:

La circunferencia es una curva plana y cerrada donde todos sus puntos están a igual distancia del centro.

Una circunferencia es el lugar geométrico de los puntos de un plano que equidistan de otro punto fijo y coplanario llamado centro en una cantidad constante llamada radio.

La circunferencia sólo posee longitud. Se distingue del círculo en que éste es el lugar geométrico de los puntos contenidos en una circunferencia determinada; es decir, la circunferencia es el perímetro del círculo cuya superficie contiene.

Puede ser considerada como una elipse de excentricidad nula, o una elipse cuyos semiejes son iguales, o los focos coinciden. También se puede describir como la sección, perpendicular al eje, de una superficie cónica o cilíndrica, o como un polígono regular de infinitos lados, cuya apotema coincide con su radio.

La intersección de un plano con una superficie esférica puede ser: o bien el conjunto vacío (plano exterior); o bien un solo punto (plano tangente); o bien una circunferencia, si el plano secante pasa por el centro, se llama ecuador1

La circunferencia de centro en el origen de coordenadas y radio 1 se denomina circunferencia unidad o circunferencia goniométrica.23456

Propiedades de la circunferencia

Secantes, cuerdas y tangentes.

La mediatriz de una cuerda pasa por el centro de la circunferencia.

Existen varios puntos, rectas y segmentos, singulares en la circunferencia:

• Centro , es el punto interior equidistante de todos los puntos de la circunferencia;• Radio . Es el segmento que une el centro de la circunferencia con un punto cualquiera

de la misma. El radio mide la mitad del diámetro.El radio es igual a la longitud de la circunferencia dividida entre 2π.

• Diámetro . El diámetro de una circunferencia es el segmento que une dos puntos de la circunferencia y pasa por el centro. El diámetro mide el doble del radio. El diámetro es igual a la longitud de la circunferencia dividida entre π;

• Cuerda . La cuerda es un segmento que une dos puntos de la circunferencia. El diámetro es la cuerda de longitud máxima.

• Recta secante . Es la línea que corta a la circunferencia en dos puntos.

• Recta tangente . Es la línea que toca a la circunferencia en un sólo punto.

• Punto de Tangencia es el punto de contacto de la recta tangente con la circunferencia.

• Arco . El arco de la circunferencia es cada una de las partes en que una cuerda divide a la circunferencia. Un arco de circunferencia se denota con el símbolo sobre las letras de los puntos extremos del arco.

• Semicircunferencia , cada uno de los dos arcos delimitados por los extremos de un diámetro.

Diámetros conjugados

Par de diámetros conjugados en una elipse

Dos diámetros de una sección cónica se denominan conjugados cuando toda cuerda paralela a uno de ellos es bisecada por el otro. Por ejemplo, dos diámetros de la circunferencia perpendiculares entre sí son mutuamente conjugados. En una elipse dos diámetros son conjugados si y sólo si la tangente a la elipse en el extremo de un diámetro es paralela a la tangente al segundo extremo.

Punto interior

Es un punto en el plano de la circunferencia, cuya distancia al centro de la circunferencia es menor que el radio. El conjunto de todos los puntos interiores se llama interior de la circunferencia. Respecto al círculo, claramente, se distinguen el interior, el exterior y la frontera, que es precisamente la respectiva circunferencia.7

Posiciones relativas

La circunferencia y un punto

Un punto en el plano puede ser:

• Exterior a la circunferencia, si la distancia del centro al punto es mayor que la longitud del radio.

• Perteneciente a la circunferencia, si la distancia del centro al punto es igual a la longitud del radio.

• Interior a la circunferencia, si la distancia del centro al punto es menor a la longitud del radio.

La circunferencia y la recta

Una recta, respecto de una circunferencia, puede ser:

• Exterior, si no tienen ningún punto en común con ella y la distancia del centro a la recta es mayor que la longitud del radio.

• Tangente, si la toca en un punto (el punto de tangencia o tangente) y la distancia del centro a la recta es igual a la longitud del radio. Una recta tangente a una circunferencia es perpendicular al radio que une el punto de tangencia con el centro.

• Secante, si tiene dos puntos comunes, es decir, si la corta en dos puntos distintos y la distancia del centro a la recta es menor a la longitud del radio.

• Segmento circular, es el conjunto de puntos de la región circular comprendida entre una cuerda y el arco correspondiente