1 Mecnica dos Materiais II EXAME ano lectivo 2004/2005

Problema 1 Considere a viga representada na Fig.1, constituda por duas tbuas de madeira de 20 x 100 mm pregadas a outras duas tbuas de 20 x 125 mm. Sabendo que o espaamento longitudinal entre pregos s = 30 mm e que o esforo transverso (vertical) na seco V = 1 000 N, determine: a) a fora de corte em cada prego b) o valor da mxima tenso de corte no plano da seco da viga.

Fig.1 Problema 2 A cisterna de ao representada na Fig.2 tem um dimetro interno de 3.6 m e a sua parede tem apenas 20 mm de espessura. O cordo de soldadura faz um ngulo = 55 com o eixo longitudinal da cisterna. Sabendo que a diferena de presses entre o interior e o exterior da cisterna 8 bar (800 kPa) determine: a) a tenso normal na direco longitudinal da cisterna b) a tenso normal na direco circunferencial da cisterna c) usando a circunferncia de Mohr, a tenso normal na direco perpendicular ao cordo de

soldadura d) usando a circunferncia de Mohr, a tenso (de corte) tangencial ao cordo de soldadura.

Fig.2

cordo de soldadura

Cotao:a) 3.0 b) 2.0

Cotao:a) 1.0 b) 1.0c) 1.5 d) 1.5

2 Mecnica dos Materiais II EXAME ano lectivo 2004/2005

Problema 3 A coluna de liga de Alumnio representada na Fig.3 tem comprimento L e seco transversal rectangular. A coluna encontra-se encastrada no ponto B e est sujeita a uma carga axial centrada, aplicada em A. Dois encostos restringem a extremidade A, impedindo o movimento num dos planos verticais de simetria da coluna, mas permitindo o movimento no outro plano. a) Determine a relao a/b entre os lados da seco transversal, a que corresponde o dimensionamento mais eficiente relativamente encurvadura. b) Dimensione a seco transversal ptima para a coluna, sabendo que L = 400 mm, E = 70 GPa, P = 30 kN e se exige um factor de segurana F.S. = 2.

Fig. 3 Problema 4 A viga prismtica AB representada na Fig. 4 est simplesmente apoiada e suporta uma carga uniformemente distribuda w por unidade de comprimento. Apresentando os clculos em funo da rigidez flexo da viga (EI), do seu comprimento (L) e da carga distribuda (w), determine: a) a equao da linha elstica b) a flecha mxima da viga c) a energia de deformao elstica, considerando apenas o efeito das tenses normais.

Fig. 4

x

Cotao: a) 2.5 b) 2.5

Cotao: a) 2.0 b) 1.0 c) 2.0

3 FORMULRIO:

I do rectngulo = 3hb12

1 Q = A y

I

QVq =

tI

QVmdio =

t

rp1 =

t2

rp2 =

( )xwdx

ydEI

4

4

= dxIE2

MU

L

0

2

=

( )xVdx

ydEI

3

3

= i = x, y, z 2

ie

i2

r,icL

IEP

,

=

( )xMdx

ydEI

2

2

= A

Ir i2i = ( )2iie

2

r,icrL

E

,

=

4 Problema 1 Considere a viga representada na Fig.1, constituda por duas tbuas de madeira de 20 x 100 mm pregadas a outras duas tbuas de 20 x 125 mm. Sabendo que o espaamento longitudinal entre pregos s = 30 mm e que o esforo transverso (vertical) na seco V = 1 000 N, determine: a) a fora de corte em cada prego b) o valor da mxima tenso de corte no plano da seco da viga.

Fig.1 RESOLUO:

( )( ) ( )( ) 6633311322 100871058281000085012

114001250

12

1hb

12

1hb

12

1I === xx ...... I = 21.5 x 10-6 m4

a) A= (0.125)(0.020) = 0.0025 m2

1y = 0.050 + 0.010 = 0.060 m

Q1 = A 1y = (0.0025 m2) (0.060 m) = 0.00015 m3

( )( )( )46-3

1

m10 21.5

m 0.00015N1000

I

QVq

x== = 6 976 N/m

q . s = 2 Fprego

Fprego = 2

q s =

( ) ( )2

m0300mN6976 ./ = 104.6 N

b) Q2 = Q1 + 2 x (0.050)(0.020)(0.025) = = 0.00015 m3 + 0.00005 m3 = 0.00020 m3 t = 2 x (0.020) = 0.040 m

( )( )( )( )m0400m10 21.5 m 0.00020N1000tIQV 46-3

2

.max

x== = 232.6 kPa

A

1y

25 mm50 mm

5 Problema 2 A cisterna de ao representada na Fig.2 tem um dimetro interno de 3.6 m e a sua parede tem apenas 20 mm de espessura. O cordo de soldadura faz um ngulo = 55 com o eixo longitudinal da cisterna. Sabendo que a diferena de presses entre o interior e o exterior da cisterna 8 bar (800 kPa) determine: a) a tenso normal na direco longitudinal da cisterna b) a tenso normal na direco circunferencial da cisterna c) usando a circunferncia de Mohr, a tenso normal na direco perpendicular ao cordo de

soldadura d) usando a circunferncia de Mohr, a tenso (de corte) tangencial ao cordo de soldadura.

Fig.2 RESOLUO:

a) a tenso normal na direco longitudinal ( 2 ) dada por: ( ) ( )

( ) MPa36m02002m81Pa10800

t2

rp 32 =

==.

.

b) a tenso normal na direco circunferencial ( 1 ) dada por: ( ) ( )

( ) MPa72m0200m81Pa10800

t

rp 31 ===

.

.

cordo de soldadura

6

A construo de Mohr para o estado plano de tenso representado nas figuras (a), (b) e (c) a seguinte: O ponto A representa a tenso 2 = 36 MPa na direco x ( = 0); e o ponto B representa a tenso

1 = 72 MPa na direco y ( = 90). O centro C da circunferncia corresponde a um valor de tenso de

2

7236 + = 54 MPa.

O raio R da circunferncia : 2

MPa36MPa72 =R = 18 MPa.

Partindo do ponto A e rodando, no sentido anti-horrio, de um ngulo 2 = 70 encontra-se o ponto D, o qual representa as tenses (normal e de corte) na direco x1 ( = 35) que perpendicular ao cordo de soldadura. Em seguida, podem calcular-se: c) a tenso normal na direco perpendicular ao cordo de soldadura:

1x = 54 MPa R cos 70 = 54 MPa (18 MPa) (cos 70) = 47.8 MPa d) a tenso tangencial na direco paralela ao cordo de soldadura:

11yx = R sen 70 = (18 MPa) (sen 70) = 16.9 MPa

7 Problema 3 A coluna de liga de Alumnio representada na Fig.3 tem comprimento L e seco transversal rectangular. A coluna encontra-se encastrada no ponto B e est sujeita a uma carga axial centrada, aplicada em A. Dois encostos restringem a extremidade A, impedindo o movimento num dos planos verticais de simetria da coluna, mas permitindo o movimento no outro plano. a) Determine a relao a/b entre os lados da seco transversal, a que corresponde o dimensionamento mais eficiente relativamente encurvadura. b) Dimensione a seco transversal ptima para a coluna, sabendo que L = 400 mm, E = 70 GPa, P = 30 kN e se exige um factor de segurana F.S. = 2.

Fig. 3

Fig. 3 RESOLUO: Encurvadura no plano xy: Le = 0.7 L

O raio de girao rz da seco transversal obtm-se a partir de: 12A

Ir

23121

2 a

ba

abzz ===

pelo que: 12

ra

z = , e a esbelteza da coluna relativamente encurvadura no plano xy pois:

12

70

re

a

L.L

z

,z = (1) Encurvadura no plano xz: Le = 2 L

O raio de girao rz da seco transversal obtm-se a partir de: 12A

Ir

23121

2 b

ba

bayy ===

pelo que: 12

rb

y = , e a esbelteza da coluna relativamente encurvadura no plano xz pois:

12

2

re

/bLL

y

y, = (2) a) O dimensionamento mais eficiente aquele para o qual as tenses crticas correspondentes aos

dois modos possveis de encurvadura so iguais. Atendendo equao: ( )2iie2

r,icrL

E

,

= , conclui-se que esta situao ocorre se os dois valores (1) e (2) obtidos para a esbelteza forem iguais. Assim,

y

y,

z

z, LL

rree =

12

2

12

70

/bL

a

L. = 2

70.

b

a = = 0.35

x

8 b) Usando os dados do problema, L = 400 mm; E = 70 GPa; P = 30 kN e F.S. = 2, pode escrever-se:

Pcr = (F.S.) x P = 2 x 30 kN = 60 kN tomando a = 0.35 b, tem-se A = a b = 0.35 b2 e

2cr

cr350

N00060

A

P

b.==

fazendo L = 0.400 m na Eq.(2), vem 12

2

re

/bLL

y

y, = = ( )12

m402

/b.

= 2.7713/b

Substituindo os valores de E, rLe e cr na equao: ( )2e2

crrL

E= , obtm-se:

2350

N00060

b. =

( )( )2

292

77132

mN1070

/ b.

b = 0.0288 m = 28.8 mm

a = 0.35 b a = 0.35 x 28.8 mm = 10.08 mm

9 Problema 4 A viga prismtica AB representada na Fig. 4 est simplesmente apoiada e suporta uma carga uniformemente distribuda w por unidade de comprimento.

Apresentando os clculos em funo da rigidez flexo da viga (EI), do seu comprimento (L) e da carga distribuda (w), determine: a) a equao da linha elstica b) a flecha mxima da viga c) a energia de deformao elstica, considerando apenas o efeito das tenses normais.

RESOLUO: a)

( )xdx

ydEI

4

4

w= (1)

( ) 133

CxxVdx

ydEI +== w (2)

( ) 21222

CxCx2

1xM

dx

ydEI ++== w (3) Usando a eq.(3) e a condio de fronteira: M = 0 para x = 0, obtm-se C2 = 0.

Usando a eq.(3) e a condio de fronteira: M = 0 para x = L, obtm-se C1 = 2

1 w L.

Transpondo os valores de C1 e C2 para a eq.(3) e integrando duas vezes, obtm-se:

( ) x2

1x

2

1xM

dx

ydEI 2

2

2

Lww +== (4)

323 Cx

4

1x

6

1

dx

dyEI ++= Lww (5)

4334 CxCx

12

1x

24

1yEI +++= Lww (6)

Fig. 4

10 Como as condies de fronteira impem que y = 0 em ambas as extremidades da viga, fazendo x = 0 e y = 0 na eq.(6) obtm-se C4 = 0; e fazendo x = L e y = 0 na eq.(6) obtm-se:

LLwLw 344 C

12

1

24

10 ++= 33

24

1C Lw=

Transpondo os valores de C3 e C4 para a eq.(6), obtm-se a equao da linha elstica:

x24

1x

12

1x

24

1yEI 334 LwLww +=

( )xx2xEI24

y 334 LLw +=

b) O valor da flecha mxima da viga obtm-se fazendo x = 2

L na equao da linha elstica:

+=

282

16EI24y

444 LLLwmax

+=

16

8

16

4

16EI24y

444 LLLwmax

=

16

5

EI24y

4Lwmax

EI384

5y

4Lwmax =

c) Para uma viga sujeita a um momento varivel:

dxIE2

MU

L

0

2

= Para a situao da viga da Fig.4, o momento flector dado pela eq.(4):

( ) ( )22 xx2

xL2

1x

2

1xM =+= Lwww

Ento,

( ) == LL Lw0 222

0

2

dxxx2EI2

1dx

IE2

MU = ( ) +L Lw 0 43222 dxxxL2xEI8 =

=

+

542

3EI8

5552 LLLw =

+

30

6

30

15

30

10

EI8

52 Lw =

EI240

52 Lw