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Propostas de resolução

Matemática Dinâmica, 8.º ano – Caderno de Atividades Página 1

Capítulo 1 – Números racionais. Números reais

Ficha 1

Pág. 5

1. 0

90 10 0,5

3

45

2.1. Determinemos as frações irredutíveis equivalentes aos números dados:

3 2 2

25 32 8 22 11 10 1 71 30 3 15; ; ; ; ; ;

32 12 3 14 7 200 5 82 5 2 2 5

Como 5 3 232 2 ; 200 2 5 e 38 2 , então conclui-se que as frações que admitem uma

fração decimal equivalente são:

3 2

25 10 71 30 15; ; ; ;

32 200 82 5 2 5

2.2. Como

2 2 5 7

5 5 5 5 5

25 5 5 5 5 78 1250,781 25

32 2 2 5 102 5

, então

250,781 25

32 .

Como

2

3 3 2 2 2 2 2

10 2 5 1 5 25 250,25

2 5 2 5 2 2 5 102 5

, então

3

100,25

2 5

.

Como 3 2 3 2 3 3 3 3

71 71 71 5 355 355 3550,355

200 2 5 2 5 5 2 5 102 5

, então

710,355

200 .

Como 2 2

30 2 5 3 3 3 2 60,6

5 5 2 102 5 2 5

, então 2

300,6

2 5

.

Como

3

3 3 3 3 3

15 15 15 5 1875 18751,875

8 2 2 5 102 5

, então

151,875

8 .

2.3. ▪ 25

0,781 2532

▪ 3

10 100,25

402 5

25,00000 32 260 0,78125 0040 080 160 00

10,00 40 200 0,25 00



▪ 71

0,355200

▪ 2

30 300,6

502 5

▪ 15

1,8758

Os números que não possuem representação em dízima finita são 32 22

e12 14

.

Reparemos que 2

32 8 22 22 11e

3 14 2 7 73 2

. Como os denominadores admitem

fatores primos distintos de 2 e de 5, então estes números não possuem representação

eme dízima finita. Confirmemos usando o algoritmo da divisão.

O resto parcial 8 repete-se.

O resto parcial 8 repete-se.

2.4. 322, 6

12 . O período é 6 e tem comprimento 1.

221, 571 428

14 . O período é 571 428 e tem comprimento 6.

71,000 200 1100 0,355 01000 000

30,0 50 00 0,6 0

25,00000 32 70 1,875 060 040 00

32,00… 12 080 2,66… 080 08

22,0000000… 14 080 1,5714285… 100 020 060 040 120 080 10



Ficha 1

Pág. 6

3.1. 3 3 2 3

3 3

5 4 5 2 52 32 4 2 3

3

2 3 2 3 3 3

5 27 5 2 5 3 33 5 2 3 5 2 2 5 2

O número que admite representação em dízima finita é 2 3

5 273 5 2

, pois é equivalente ao

número 3

32

cujo denominador admite apenas fatores primos.

3.2. 3

3

5 4 12562 3

Efetuando a divisão, obtém-se:

Logo, 3

3

5 420,8 3

2 3

3

2 3 3 3 3 3 3 3

5 27 5 3 3 3 5 375 3750,375

3 5 2 2 5 2 2 5 102 5

Logo, 2 3

5 270,375

3 5 2

.

3.3. O período da dízima 20,8(3) é 3 e tem comprimento 1.

4.1. Aplicando o algoritmo da divisão, tem-se:

10, 142 857

7 2

0, 285 7147

125,000 6 050 20,833… 020 020 02 …

1,000000 7 030 0,1428571… 020 060 040 050 010 03

2,000000 7 060 0,2857142… 040 050 010 030 020 06



30, 428 571

7 4

0, 571 4287

50, 714 285

7 6

0, 857 1427

Concluindo: 10, 142 857

7 ; 2

0, 285 7147 ; 3

0, 428 5717 ; 4

0, 571 4287 ;

50, 714 285

7 e 6

0, 857 1427

4.2. 10, 142 857

7 → Período: 142 857; comprimento: 6

20, 285 714


30, 428 571


40, 571 428


50, 714 285


60, 857 142


142 + 857 = 999 285 + 714 = 999 428 + 571 = 999

571 + 428 = 999 714 + 285 = 999 857 + 142 = 999

A soma dos números é constante e igual a 999.

3,000000 7 020 0,4285714… 060 040 050 010 030 02

4,000000 7 050 0,57142857… 010 030 020 060 040 050

01

5,000000 7 010 0,7142857… 030 020 060 040 050 01

6,000000 7 040 0,8571428… 050 010 030 020 060 04



4.3.

50, 384 615

13

Como 384 + 615 = 999, mantém-se as características das dízimas anteriores.

5. 3 3270 27 10 3 2 5 2 3 5 ; Portanto, 2

3

3 52 32 3 5

a a

Para qualquer número a múltiplo de 3, conclui-se que o número dado admite

representação em dízima finita.

3 3

3 2 3

3 5 52 3 2 3b b

Assim, os números dados possuem representação em dízima finita para, por exemplo:

1 13 e 6; e

3 9a a b b

Ficha 2

Pág. 7

1.1. 5,2302302... 1,7302302 3,5x y . Logo, 3,5x y .

1.2. 3,5x y x y . Logo, 3,5y x .

1.3. 3 310 10 5230,2302302... 1730,2302302 3500x y . Logo, 3 310 10 3500x y .

2. Passo 1. Período da dízima: 703 Comprimento da dízima: 3

Passo 2. 310 0,8 703 870,3 703

Passo 3. 870,3 703 0,8 703 869,5

Passo 4. 310 870,3 703 0,8 703x x

Passo 5. 3 869,5 4710 870,3 703 0,8 703 999 869,5

999 54x x x x x

Passo 6. Conclusão: 470,8 703

54

5,0000000 13 110 0,3846153… 060 080 060 020 070 050

11



Ficha 2

Pág. 8

3.1. 32 8

0,32100 25

3.2. 1244 311

1,2441000 250

3.3. Seja 1, 2x .

10 12, 2

1110 12, 2 1, 2 9 11

9

x

x x x x

Logo, 111, 2

9 .

3.4. 2, 3 é uma dízima simétrica de 2, (3).

Seja 2, 3x .

21 710 23, 3 2, 3 9 21

9 3x x x x x

Logo, 72, 3

3 .

3.5. Seja 0,1 675x .

310 167,5 675x

3 167,4 1674 3110 167,5675... 0,1675... 999 167,4

999 9990 185x x x x x x

Logo, 310,1 675

185 .

3.6. 2,0 32 é o número simétrico do número 2,0(32). Seja 2,0 32x .

2 201,2 2012 100610 203,2 32 2,0 32 99 201,2

99 990 495x x x x x x

Logo, 10062,0 32

495 .

3.7. Seja 0,0 412x .

310 41,2 412x

3 412 20610 41,2412... 0,0412... 9990 412

9990 4995x x x x x

Logo, 2060,0 412

4995 .



3.8. O número 3,14 9 é simétrico ao número 3,14(9). Seja 3,14 9x .

10 31,4 9x

28,3510 31,4999... 3,1499... 9 28,35 3,15

9x x x x x

Logo, 633,14 9 3,15

20

4.1. a) Seja 15,084 9x .

10 15,084 9x

135,76510 15,84 99 15,084 9 9 135,765 15,085

9x x x x x

Logo, 15,085 = 15,084(9) c.q.m.

b) 0,856 9 é simétrico do número 0,856(9). Seja 0,856 9x .

10 8,56 9x

7,71310 8,56 9 0,856 9 9 7,713 0,857

9x x x x x

Logo, 0,857 0,856 9 c.q.m.

4.2. a) 3,44 3,43 9

b) 10 9, 9

c) 2,46 2,45 9

d) 20,89 20,88 9

5. A afirmação (A) é verdadeira

A afirmação (B) é verdadeira.

A afirmação (C) é falsa, pois o algoritmo da divisão nunca produz uma dízima infinita

periódica de período 9 (dado que estas são iguais a dízimas finitas pelo que se obtém

resto zero no final de um número finito de interações).

6.1. 2 2

5 53 3



6.2. 1, 4 é simétrico de 1,(4).

Considerando 1, 4x , tem-se:

10 14, 4x

1310 14, 4 1, 4 9 13

9x x x x

Em numeral misto, 13 4

19 9

. Logo, 41, 4 1

9 .

Representando o número na reta numérica, tem-se:

6.3. 16 2

27 7

7. A unidade encontra-se dividida em três partes iguais. Logo,

1 4 1 2 1 51 1, 3 ; 0, 3 ; 1 1

3 3 3 3 6 6A B C

Ficha 3

Pág. 9

1.1. 32 2 2 2 8 1.2. 51 1

1.3. 23 3 3 9 1.4. 50 0

1.5. 3 3

3

2 2 85 1255

1.6.

3 3

3

1 1 12 82

1.7. 2 2

1 5 253

2 2 4

1.8. 32 2 2 2 8

1.9. 3

32 2 8



2.1. 02 1 2.2. 0

11

5

2.3.

01

1 12

2.4. 1 110 0,1

10 2.5. 2

2

110 0,01

10 2.6. 3 1

10 0,001100

2.7. 55

1 12

322 2.8.

2 2 2

2

2 3 3 93 2 42

2.9. 3 2 1

11 12 2

2 2

2.10. 1 1

22

2.11. 22

15 25

5 2.12.

1

1 121

2

2.13. 1

15

5

2.14. 1 3 2 2

2

2 2 2 43 3 93

2.15. 2 2 2 2

2

1 7 3 3 92

3 3 7 497

Ficha 3

Pág. 10

3. 11

1 1 1 13

2 2 3 6u ; 2

2

1 1 1 13

2 2 9 18u ; 3

3

1 1 1 13

2 2 27 54u ;

44

1 1 1 13

2 2 81 162u

Logo, os quatro primeiros termos da sucessão são: 16

, 1

18,

154

e 1

162.

4.1. 0 2 1 52 2 1

4 4

4.2. 1 1 1

1 1 3 2 16

2 3 6 6 6

4.3. 1 02014 2014 2014 1

4.4. 1 01

1 1 1 4 1 52 4 2 1 2

2 2 2 22



4.5.

23

2

1 1 1 30 2910 27 3 3

10 10 10 1010

4.6. 2 1 2

1 1 4 9 9 80 711 5 5

3 5 3 16 16 16 16

4.7. 1 1

01 3 3 10 10 3 72 1 1

2 5 10 3 3 3 3

4.8. 3 2 20 1 1 1 1 1 9 8 172 5 2 1 1 3 1

8 8 9 8 9 72 72 72

4.9. 3 5 2 1 12 2 :10 32 : 4 100 400

8 100

4.10. 0 1 2

1 21 1 10,1 0,5 1 10 1 4 13

3 10 2

4.11. 2

21 1 1 12 4 1

16 2 4 4

4.12.

05 105 4

1 11 : 2

2 2

4.13. 2 2 2

2 2 0 21 10 1 1 1 100 990,01 10 6 10 1 1 1 1

100 100 10 100 100 100 100

4.14.

0831001 2

3 12 5

5.1. Para qual y não nulo, tem-se:

2 2 2 22 2 2

2 2 2 2

1 1 1x y x yx x y

y y y y

5.2. Para quaisquer x e y não nulos, tem-se:

1 1

1 1

n n n nn n

n n n n n nn n n

n n n n

x x y yx xx y y x y xx y x

x y x y



5.3. Para quaisquer x e y não nulos, tem-se:

11 11 2 3 2 32 3 1

2 3 2 3 2 3 2 3

1 1 1 1 1 1 1 1 33

3 3 3 33 3 1

x y x yx y

x y x y x y x y

Ficha 4

Pág. 11

1.1. 11

7 4 11 13 3 3

3

1.2. 33

2 3 33 3

1 4 48 3 4

33 3

1.3. 4

10 14 4 15 : 5 5

5

1.4. 1

11 11 1 15 2 5 2 10

10 10

1.5. 3

2 2 1 2 1 31 15 5 5 5 5 5

5 5

1.6. 23 62 2

1.7. 3 3 3 3

2 1 2 93 3 9 2

1.8. 5

3 2 5 12 : 2 2

2

1.9. 2 3 2 3 1

7 2 2 7 2 2 7 7 7 72 7 7 2 7 7 2 2 2 2

1.10. 3 5 2

21 1 12

2 2 2



1.11.

15 1 5 2 5 2 7 72 4 2 2 2 2 2 33 9 3 3 3 3 3 2

1.12.

27 147 7 14 7 211 1

5 5 5 5 55 5

1.13. 4 4 4

4 4 41 1 120 : 20 2 40 ou

2 40 40

1.14. 3 12 3 934 91 1 1 1

0,2 55 5 5 5

1.15. 43

, 0a

a aa

1.16. 13

12

1, 0

aa a

aa

1.17. 2

2 1, 0 e 0xy x y

xy

1.18. 22

2 22 2 2

1 1, 0 e 0

a ab a a b

ba b b

Ficha 4

Pág. 12

2.1. 2 2 2

3 5 2 2 2 21 1 1 12 2 :10 2 :10 :10 400

2 2 10 20

2.2. 100

101 100 101 112 2 2 2 2

2

2.3. 3 3

1 3 3 33 3 2 5 1254 0,1 4 0,1 0,4

5 2 8

2.4. 2 3

01 1 1 1 1 1 11 1

2 2 4 8 4 8 8



2.5. 0

2 21 1 1 72 1 713 3 1 9 8

3 9 9 9 9 9

2.6. 2

3 3 3 0 012 5 5 10 8 4 5 1 32 1 1 32 2 34

2

ou

2

3 2 53 3 3 0 012 5 5 10 2 2 5 1 2 1 1 32 2 2 34

2

2.7.

108 0

10 8 2

4 4 4

1: 3 5

3 : 3 1 3 1 8 1316 221 1

12 2

2.8.

4 42 42 0

2

3 55 1 3

13 5

1 1 030

1 11 1 1 82 2 2 32 22 2 2

2.9.

22 43 3 12100 10 12 10 2

10

1 1 1 1: : 2 : 2 2 : 2 2 4

2 2 22

2.10. 2

3 2 21 1 1 2 1 162 : 2 7 8 2 8 8

7 7 7 7 49 343

2.11. 22 3 4 2 6 4 2 2 2 44

1 1125 : 25 5 5 : 5 5 5 : 5 5 : 5 5

6255

2.12. 2 5 3 4 7

2 2 24

1 1 1 1 1 1 1 1 1 273 : 3 : 3 : 9 3

2 3 2 2 3 2 3 128 1282

3.1. Dado que k < 0, então:

2 30; 0k k (pois é uma potência de base negativa e expoente ímpar)

30; 0k k (pois 3 0k )

22 1

0kk

33

10k

k (pois 3 0k e

3

10

k )



3.2. a) 2 3k k b) 2 2k k c) 3 3k k

d) 3 3k k e) 22

1k

k

f) 55

1k

k

pelo que 55

11

kk

4. 3343 7 , logo 33

1 17

343 7 .

Ficha 5

Pág. 13

1.1. 210 0,01 1.2. 510 100 000 1.3. 410 0,0001

1.4. 110 0,1 1.5. 2 20,01 100 10 000

1.6. 710 10 000 000

2.1. 2 1 0235 2 10 3 10 5 10

2.2. 4 2 1 080 512 8 10 5 10 1 10 2 10

2.3. 6 4 3 2 11 059 870 1 10 5 10 9 10 8 10 7 10

3.1. 0 1 2 38,325 8 10 3 10 2 10 5 10

3.2. 1 2 40,8604 8 10 6 10 4 10

3.3. 2 1 0 1 2 3254,232 2 10 5 10 4 10 2 10 3 10 2 10

3.4. 2 2 2 30,065 10 10 6 10 5 10

3.5. 0 1 3 0 1 32,305 2 10 3 10 5 10 2 10 3 10 5 10

3.6. 1 3 4 1 3 40,2014 2 10 1 10 4 10 2 10 1 10 4 10

4.1. 1 989 100 000 000 000 000 000 000 000 000= 301,9891 10

4.2. Por exemplo, para uma massa de 60 kg, a razão é dada por:

29

30 30

60 6 103,01644 10

1,9891 10 1,9891 10

Assim, a razão é, aproximadamente, 293,016 44 10 .



Ficha 5

Pág. 14

5.1. 200 000 000 000 000 000 joules = 172 10 joules

5.2. Ora, 16 17 172,5 10 2 10 7,9 10 .

De acordo com a tabela:

162,5 10 : magnitude 8

177,9 10 : magnitude 9

Resposta: A magnitude do terramoto de Lisboa situa-se entre 8 e 9 valores.

6.1. Observando o mesmo valor do expoente da potência de base 10, conclui-se que é o átomo

de hidrogénio que tem menor massa.

6.2. 27 26 26 251,67 10 1,15 10 7,95 10 1,79 10

7.1. 4 3 3 1 3 1 33 10 1,2 10 3 10 10 1,2 10 3 10 1,2 10

3 30,3 1,2 10 1,5 10

7.2. 8 6 2 6 6 2 6 69,8 10 4,2 10 9,8 10 10 4,2 10 9,8 10 4,2 10 980 4,2 10

6 2 6 8975,8 10 9,758 10 10 9,758 10

7.3. 2 4 2 4 6 52 10 6 10 2 6 10 10 12 10 1,2 10

7.4. 2 2

53 3

6 10 6 101,5 10

44 10 10

Ficha 6

Pág. 15

1. 1,75; 2,58 3 ; 0,5A B C

2.1. Sabe-se que os catetos e a hipotenusa de um triângulo retângulo isósceles são segmentos

incomensuráveis. Consequentemente, conclui-se, pela construção geométrica, que os pontos A, B

e C são pontos irracionais da reta numérica.

2.2. Pela construção geométrica 2OQ SU .



Assim, 3 1

2; 2; 0 4 2; 2 ; 34 4

A B C D E .

2.3. Como o raio do arco de circunferência é 2OQ , então o comprimento do arco (que é

metade de uma circunferência) é 2 2

22

unidades.

Ficha 6

Pág. 16

3. Por exemplo:

3.1. 3 3.2. 3 3.3. 3.4.

4.1. Como 9

16 4; 4,5; 25 5;2

conclui-se que o número é 207

4.2. 5 e 4.3. 9

16; 3,14; ; 252

5. 0 0 0 0 0

0 1, 0, 1 1 \ 0

6. Por exemplo:

6.1. 23

6.2. 2 6.3. 6.4. 10

7.1. Admitindo que 10 é um número racional, então: 10 , ea

a bb

2 22

2 2 2 22

10 10 10 2 5a a

b a b ab b

Todos os fatores primos de a2 figuram com expoente par na respetiva decomposição,

assim como nos números de b2. Logo, os expoentes dos fatores primos de 2 e de 5 na

decomposição 22 5 b são números ímpares, o que é absurdo, uma vez que

2 22 5 b a .

Conclui-se que 10 não pode ser escrito soba forma de fração, logo trata-se de um

número irracional.



7.2. Admitindo que 2 2 é um número racional, então: 2 2 , ea

a bb

.

2 2 2 22

2 2 2

2 2 2 2

2 2 2

2 2 2 2 2 2 4 2 2 2 2 2 4 2 6

6 64 2 6 2 2

44 4

a a a a

b b b b

a a a b

b b b

Desta forma, 2 seria igual à razão entre dois inteiros o que é absurdo, pois 2 é um

número irracional.

Ficha 7

Pág. 17

1.1. 100 10 1.2. 0,01 0,1 1.3. 1 19 3

1.4. 0,09 0,3 1.5. 03 8 9 5 2 3 1 0

1.6. 3100 100 10 10 36 26 13216 6 6

36 6 6 6 336

1.7. 1

13 12 3 12 2 36 2 6 2 4

2

1.8. 3

3 33

108 1080,001 0,1 0,1 3 2,9

44

2.1. 2 24 2 22 2 2 2 2 2 2 4 2

2.2. 2 3 3 3 3 2 1 3 3 4 3

2.3. 2 1 2 2 2 2

2.4. 1

3 3 2 22

2

2.5. 2 22 2 2 2 2 2 4 2 2 2 2 2 4 4 2 2 6 4 2

2.6. 3 3 3

33 3 3

11 2 2 1 1 18 211 16 16 8



2.7. 22 1 2 2 2 2 2

2.8. 3 3 3 32 2 3 3 3 2 3 23 3 33 4 40 200 9 16 2 5 2 5 25 2 5 2 5

3 23 5 2 5

2.9. 2 2

2 1 2 2 1 2 1 2 2 1 2 2 2 2 1 2 2 2

22 3 2 2 3 2 2 2 3 2 4

2.10. 22 227 75 2 1 3 3 3 5 2 1 2 1

23 3 5 3 2 2 2 1 2 3 2 2 2 1 2 3 2 2 3

Ficha 7

Pág. 18

3. Como 3 3 164 4, 0,009 0,3, 0,1

100, então o número irracional é 1,5 .

Opção correta: (B)

4.1. A área do retângulo é dada pelo produto 1

4 2 22

.

21 1 14 2 2 4 2 4 2 4 2 4 2 8 2 2

2 2 2

Resposta: A área do retângulo é 8 2 2 cm2.

4.2. O perímetro do retângulo é dado por:

1 12 4 2 2 2 8 2 2 2 2 10 2 1

2 2

Resposta: O perímetro do retângulo é 10 2 1 cm.

5.1.



5.2.

5.3.

6.1. 1 1 1 3 33

33 3 3

6.2. 1 1 1 5 5 5

2 52 5 102 5 2 5 5

6.3. 21 3 1 3 1 3 3 3 1 2 3 3 4 2 3 2 2 3

6.4.

1

2 2

1 3 21 3 23 2

3 2 3 2 3 2 3 3 2 2 3 2

3 23 2

3 2

Ficha 8

Pág. 19

1.1. 7 53 3 1.2.

7 34 4

1.3. 7 73 4

1.4. 3 22 3 1.5.

50,75

3 1.6.

1 72

3 3

1.7. 5

2,512 1.8. 0,123 0,123 01 1.9. 2,3 42 2,342 41



1.10. 10,33 4

3 1.11. 3,9 4 1.12. 5,25 9 5,26

2. 94 443 94 444 1 1

194 444 94 444 94 444 94 444

94 444 94 445 1 11

94 445 94 445 94 445 94 445

Dado que 1 1

94 444 94 445 , então

1 11 1

94 444 94 445 .

Portanto, 94 443 94 44494 444 94 445

, pelo que o Alexandre não tem razão.

3. A sequência é crescente, pois 1 2 3 4 52 3 4 5 6 .

Ficha 8

Pág. 20

4.1. Não se pode concluir que o João é mais alto que o Afonso. Por exemplo:

João: 1,34 m 1,34 > 1,32

Marta: 1,32 m 1,35 > 1,32

Afonso: 1,35 m 1,35 > 1,34

4.2. a) Sim, pois o IMC (José) > IMC (Luísa) > IMC (Ricardo).

b) Opção correta: (C)

25 > 20,08; 20,0(8) > 20,08; 21,001 > 20,08; 20,0(7) > 20,08

5. 2, 013 2,013013 013... ; 2, 013 2,013014 015

2,013014015... 2, 013 1,9 0,100 523 1,005 23 1,00523 3 ,

ou seja, d e f c a b .

6.1. 20, 6

3 . O número inteiro mais próximo é 1 .

6.2. 2 2 3,1414213562... . O número inteiro mais próximo é 3.

6.3. 3,141592654... . O número inteiro mais próximo é 3 .



6.4. 2, 39 . O número inteiro mais próximo é 2 .

6.5. Comecemos por transformar cada uma das dízimas na fração correspondente.

Seja 4, 3x .

10 43, 3

3910 43, 3 4, 3 9 39

9

x

x x x x

Seja 2, 4y .

10 24, 4

2210 24, 4 2, 4 9 22

9

y

y y y y

Logo, 39 22 174, 3 2, 4

9 9 9 .

Transformando 179

em dízima, obtém-se:

171, 8

9

Concluindo, 4, 3 2, 4 1, 8 . O número inteiro mais próximo é 2 .

6.6. 2

5 5 5 5 5 5 11,180... , logo o número inteiro mais próximo é 11 .

6.7. 1 2 7 6 130, 619 047

3 7 21 21 21 , logo o número inteiro mais próximo é 1 .

6.8. 5 1 5 1

1,618...2 2 2

, logo o número inteiro mais próximo é 2.

7. Pretende-se um número, tal que:

104,410(4100) 104,410410041000...a

Dado que 104,4(9) 104,410410041000... ; 104,41042 104,410(4100) e

104,(410) 104,410(4100) , então o único número compreendido entre os números

dados é 104,410410041003

Opção correta: (C)

17,00 7 80 1,88… 080 08



Avaliação 1

Pág. 21

1. Os números 3

5 12 7 21,5; ; ; e

9 40 72 5

são números racionais.

1,5 é uma dízima finita e admite uma representação em fração decimal.

50, 5

9 é uma dízima infinita periódica de período 5.

12 3 30,3

40 10 2 5

admite representação em fração decimal e correspondente

dízima finita.

2

3 3 2 3 3 3 3

7 7 5 7 25 175 1752 5 2 5 5 2 5 102 5

admite representação em fração decimal e

correspondente dízima finita.

20, 285 714

7 é uma dízima infinita periódica de período 285 714.

1.1. 3

12 71,5 ; ;

40 2 5

1.2.

3

12 71,5; ;

40 2 5

1.3.

2; 5

7

1.4. 2 5

;7 9

1.5. 5

2.1. A dízima é infinita periódica, pois representa um número racional.

2.2. Opção correta: (D)

3. Não, pois 356 356777 3 7 37

o que significa que não pode ser representada por uma fração

decimal, Consequentemente, não admite representação em dízima finita.

4.1. Seja 0, 45x .

2

2

10 45, 45

45 510 45, 45 0, 45 99 45

99 11

x

x x x x x

Logo, 50, 45

11 .



4.2. Seja 0, 1078x .

410 1078, 1078

1078 9810 000 1078, 1078 0, 1078 9999 1078

9999 909

x

x x x x x

Logo, 980, 1078

909 .

4.3. Seja 2,3 402x .

310 2340,2 402

2337,91000 23402,2402402... 2,3402402 999 2337,9

99923 379 77939990 3330

x

x x x x

x x

Logo, 77932,3 402

3330 .

4.4. Seja 25,56 9x .

10 255,69 9

230,13 23 013 255710 255,6999... 25,5699... 9 230,13

9 900 100

x

x x x x x x

Logo, 255725,56 9

100 .

5. 0, 32 e 0, 123a b

0,3232323232…

+ 0,1231231231…

0,4463554463… Logo, 0, 32 0, 123 0, 446 355a b .

O período da dízima é 446 355 e tem de comprimento 6.

Avaliação 1

Pág. 22

6.1. 0

2 1 1 1 1 1 1 16 172 1 1

4 4 4 4 16 16 16 16



6.2. 2 32

1 1 1 1 1 1 1 1 1073 0,001 0,1

9 3 3 3 3 27 10 2703

6.3.

3

2 3 2 1

1 111 1

1 1 1 1 5 1: 5 5 : 5 5 25 1 245 5 5 5 1 51 1 1 5 5 56 : 62 3 : 2 3 :6 6

6.4.

4 32 2 8 8 8 82

2

2 3 1 3 2 3 1 9 2 2 1 1: : : 1 1 1

3 2 9 3 2 25 9 3 3 25 255

1 50 1 49

225 25 25 25

6.5. 4 4 4 4 4 4

4 43 3 1 3 1 3 1 1:10 : : 10 3

10 10 10 10 10 10 3 81

6.6. 1010 103

31 3 1 3 1 1 3 1 12 : : :

2 4 8 8 2 8 8 8 8

103 3 3 8 111 1

8 8 8 8 8

7.1. A menor bactéria conhecida (Chlamydia) tem, aproximadamente, 42 10 mm de

comprimento e a maior bactéria conhecida (Epulopiscium) tem, aproximadamente, 16 10

mm de comprimento.

7.2. 42 10 mm corresponde a 4 4

13

2 10 2 10m m 2 10 m

0,001 1 10

.

16 10 mm corresponde a 1 1

23

26 10 6 10m m 6 10 m

0,001 1 10

8.1.

1 3 332 2

2

125 3 1 5 375 150 5 5 3 5 2 3

10 5 100,09 0,3

5 3 5 3

5 5 5 6 5 5 5 5 6 125 5 5 630,3 10 10

10

8.2. 22

3 3 2 3 23 8 50 16 40 2 2 5 4 2 5 2 5 2 4 2 10

2 10 5 2



9.

10.1. 1

3 3,1258

2

2161, 7 3,160 493 827...

9

223, 142 857

7 377

3,141 6120

3553,141 592 92...

113

2239

1,7 72 3,142 561 983...22

3,141 592 654...

Atendendo aos números, obtemos:

2 21 355 377 39 22 16

38 113 120 22 7 9

10.2. O número .



Capítulo 2 – Teorema de Pitágoras

Ficha 9

Pág. 23

1.1. Os triângulos [ADC], [BCD] e [ABC] são semelhantes, logo BC BD

AB BC� .

30 30 30

1850 30 50

BC BD BDBD

AB BC

��

Assim, 18 mBD� .

1.2. Atendendo ao Teorema de Pitágoras, tem-se que 2 2 230 18 h� �

Como:

2 2 2 2 2 2 2

2

30 18 30 18 900 324

576 576 24

h h h

h h

� � � � � � � � �

� � � � �

então a altura é 24 m.

2.

Quadrado B Quadrado C Quadrado A Quadrado B + C

Triângulo T1 9 4 13 13

Triângulo T2 16 1 17 17

Num triângulo retângulo, a medida da área do quadrado construído sobre a hipotenusa é

igual à soma das áreas dos quadrados construídos sobre os catetos.

Ficha 9

Pág. 24

3.1. 9 16 25a � � � . O valor de a é 25.

3.2. 56,25 20,25 36b � � � . O valor de b é 36.

3.3. 2 225 10 625 100 525c c c� � � � � � � . O valor de c é 525.

4.1. 23 9� ; 24 16� . O quadrado do lado 3 cm tem 9 cm2 de área; o quadrado de lado 4 cm

tem 16 cm2 de área.



4.2. A área é dada pela soma das áreas dos quadrados anteriores. Assim,

� �2 29 16 cm 25 cm� � . A área do quadrado é 25 cm2.

4.3. Pela alínea anterior: 25 5� cm, logo a hipotenusa tem 5 cm de comprimento.

5.1. Por hipótese, o polígono [EFGH] é um quadrado. Assim, os triângulos [ABF], [DAE], [DHC]

e [BCG] são retângulos em F, E, H e G, respetivamente.

Logo, a área de cada um destes triângulos é dada pela expressão 2

b c� unidades

quadradas.

5.2. a) EF AF AE b c� � � � . Logo, a área do quadrado [EFGH] é � �2

b c� unidades quadradas.

b) A área do quadrado é dada pela soma das áreas dos triângulos e do quadrado [EFGH].

Das questões anteriores, resulta que:

� ��

2 2 2

2 2 2 2 2 2

4 2 22

2 2 2

ABCD

b cA b c b c b c bc b bc cb c bc

b bc bc c bc b c bc bc b c

��

� � � � � � � � � � �

Logo, a área do quadrado [EFGH] é 2 2b c� unidades quadradas.

Dado que a medida do comprimento do lado do quadrado [ABCD] é a, então, também, a

área do quadrado é a2. Logo, podemos concluir que 2 2 2a b c� � .

Ficha 10

Pág. 25

1. Verifiquemos se as medidas dos lados do triângulo obedecem ao recíproco do Teorema de

Pitágoras.

Triângulo [ABC]:

2 2 23,7 3,5 1,9 13,69 12,25 3,61 13,69 15,86� � � � � � � (proposição falsa)

O triângulo [ABC] não é retângulo.

Triângulo [DEF]:

2 2 24,8 3,5 3 23,04 12,25 9 23,04 21,25� � � � � � � (proposição falsa)

O triângulo [DEF] não é retângulo.

Triângulo [IGH]:

2 2 22,5 1,5 2 6,25 2,25 4 6,25 6,25� � � � � � � (proposição verdadeira)

O triângulo [IGH] é retângulo (em I).



2.1. Consideremos o triângulo [PQR] e as medidas dos seus lados. Verifiquemos se as

medidas obedecem ao recíproco do Teorema de Pitágoras.

2 2 21 0,6 0,8 1 0,36 0,64 1 1� � � � � � � (proposição verdadeira)

Logo, as paredes são perpendiculares.

2.2. Verifiquemos se as medidas dos lados do triângulo [SIR] obedecem ao recíproco do

Teorema de Pitágoras.

� � � �

� ��

� �

2 22 2 2 2 2 2 22 2

22 2 2 2 2 22 2

1

SI IR RS SI nQR nPR SI n QR n PR

SI n QR PR SI n PQ SI nPQ

� � � � � � � � �

� � � � � � �

(1) O triângulo [PQR] é retângulo em R.

Ficha 10

Pág. 26

3.1. Atendendo ao recíproco do Teorema de Pitágoras, tem-se: 2 2 2

AB BC AC� �

� � � �22 2 2 2 2 22 3 4 2 5 6 16 4 5 36 36AB BC AC� � � � � � � � � � � � (verdadeiro)

Confirma-se que o triângulo [PQR] é retângulo em R.

3.2. A área da região colorida a vermelho pode ser obtida pela diferença entre as áreas do

semicírculo e do triângulo [ABC].

23 2 5 4 9

4 52 2 2

A��

� � � ��

Portanto, a área colorida a vermelho é dada por 9

4 52� ��

� �

unidades quadradas.

4. (A) Se 2 2 2a b c� � , o triângulo [ABC] é retângulo em A pelo recíproco do Teorema de

Pitágoras. Logo, a afirmação é verdadeira.

(B) Se 2 2 2a b c� � , o triângulo [ABC] é acutângulo e não obtusângulo, pelo que a

afirmação é falsa.

(C) Se 2 2 2a b c� � , o triângulo [ABC] é obtusângulo, então 2 2 2a b c� � , pelo que o

triângulo é obtusângulo. A afirmação é verdadeira.

(D) Se 2 2 2a b c� � , então 2

b c� representa a área, em unidades quadradas, do triângulo

retângulo [ABC]. Portanto, a afirmação é verdadeira.



5.1. Aplicando o recíproco do Teorema de Pitágoras, tem-se:

2 2 27 49; 6 36 e 5 25� � �

2 25 6 61� � . Como 2 2 27 6 5� � , então o triângulo é acutângulo.

5.2. � �2

5 2 25 2 50� � � ; � � � �2 2

3 2 9 2 18 e 3 3 9 3 27� � � � � �

Como � � � � � �2 2 2

5 2 3 2 3 3� � , então o triângulo é obtusângulo.

6. Aplicando o Teorema de Pitágoras ao triângulo [ABC], tem-se:

� �2 2 2

2 BC BC AC� � � .

22 2 2 2 2 2 1 5

4 55 5 55

AC ACBC BC AC BC AC BC BC BC AC AC� � � � � � � � � � �

Portanto, se 5

5BC AC� , então [ABCD] é um retângulo, uma vez que AB // DC e [AB] e

[CD] são geometricamente iguais.

Ficha 11

Pág. 27

1. Aplicando o Teorema de Pitágoras ao triângulo da figura, tem-se: 2 2 224 32NM � �

2 2 2

0576 1024 1600 1600 1600 40

NMNM NM NM NM NM

�

� � � � � � � � � �

O canguru teria de dar 40 saltos.

2. Determinemos as distâncias a que se encontram cada um dos pontos 1 e 2 do ponto 3.

Ponto 1: 30 15 450� � km; ponto 2: 40 15 600� � km

Aplicando o Teorema de Pitágoras ao triângulo da figura obtém-se:

2 2 2 2 2

0450 600 202 500 360 000 562 500 562 500 750

xx x x x x

�

� � � � � � � � � � �

O ponto 1 e 2 distam entre si 750 km.

Ficha 11

Pág. 28

3.1. Aplicando o Teorema de Pitágoras ao triângulo [ABC], tem-se: 2 2 2

AC AB BC� � .

Como 4 2AC � cm e AB BC� , resulta que:

� �2 2 2 2 2

4 2 16 2 2 16AB AB AB AB� � � � � � � . Logo, a área do quadrado é 16 cm2.



3.2. Como o triângulo [AED] é equilátero e 4AD� cm, então o perímetro do triângulo é

� �3 4� cm, ou seja, 12 cm.

3.3. Seja M o ponto médio de [AD] e [EM] a altura do triângulo [AED] relativamente à base [AD].

Assim, 1

22

AM AD� � � .

Aplicando o Teorema de Pitágoras ao triângulo [AEM] para calcular EM , temos que:

2 2 22 2

04 2 16 4 12 12 2 3

EMEM EM EM EM EM

�

� � � � � � � � � � �

Assim, � �

4 2 34 3

2 2AED

AD EMA

� �� cm2.

4. Ligação A a C e C a B

Aplicando o Teorema de Pitágoras, tem-se: 2 2 24,8 2,5AC � � .

Como 2 2 22 2

04,8 2,5 23,04 6,25 29,29 29,29

ACAC AC AC AC

�

� � � � � � � � �

Portanto, 2929 2929

29,29 10 10 10100 10

AC BC� � � � � � � .

Nesta ligação gasta-se 2929

1010

� m de fio.

Ligação A a C e C a B

Aplicando o Teorema de Pitágoras ao triângulo [CBD], tem-se: 2 2 210 4,8BD � � .

Como 2 2 22 2

010 4,8 100 23,04 123,04 123,04

BDBD BD BD BD

�

� � � � � � � � �

Portanto, 12 30412 304

2,5 123,04 2,5 2,5100 10

AD BD� � � � � � � .

Nesta ligação gasta-se 12 304

2,510

� m de fio.

Ligação A a E e E a B

Aplicando o Teorema de Pitágoras ao triângulo [ADE], tem-se: 2 2 2

AE AD ED� � .

Como 2 2 22 2

02,5 10 6,25 100 106,25 106,25

AEAE AE AE AE

�

� � � � � � � � �

Portanto, 10 62510 625

106,25 4,8 4,8 4,8100 10

AE EB� � � � � � � .

Nesta ligação gasta-se 10 625

4,810

� m de fio.



Como 12 304

2,510

� < 2929

1010

� < 10 625

4,810

� .

A ligação de A a D e de D a B, ou seja, a segunda ligação, é aquela que gasta menos fio.

5.1. Aplicando o Teorema de Pitágoras ao triângulo [ABC], tem-se: 2 2 2

BC AB AC� � .

2 2 2 2 2 22 2

05 3 25 9 16 16 4

ACBC AB AC AC AC AC AC AC

�

� � � � � � � � � � � � � �

Portanto, 4AC � cm.

5.2. Seja AD x� . Logo, 4CD AC AD x� � � � .

Usando a proporção, vem: 3

4 5x

x�

�

.

� �3 12 3

5 4 3 5 12 3 5 3 12 8 124 5 8 2

xx x x x x x x x x

x� � � � � � � � � � � � � � � � �

�

Portanto, 32

AD � cm e 52

CD � cm.

6.

7. Comecemos por representar os pontos de abcissa 1 5� e 1 6� , tendo em conta que

� �2

2 2 22 1 5 e 5 1 6� � � � .

Ficha 12

Pág. 29

1. Aplicando o Teorema de Pitágoras obtém-se: 2 2 240 29 y� � .

2 2 2 2 2

040 29 1600 841 2441 2441

yy y y y

�

� � � � � � � � �

Como 49 2441 50� � , então o comprimento mínimo é igual a 50 cm.



2. Planificação do sólido:

9 3,6 3,6 0,3 16,2 0,3 15,90MP � � � � � � � m

Assim, como A se situa no meio da face, 1,8AP � m. Portanto, aplicando o Teorema de

Pitágoras ao triângulo [AMP] vem: 2 2 2

AM MP AP� � .

2 2 22 2

0

4

15,90 1,8 252,81 3,4 256,05 256,05

25 60525 60510010

AMAM AM AM AM

AM AM

�

� � � � � � � � � �

� � � �

A aranha deve percorrer 25 605

100 m para capturar a aranha, ou seja, aproximadamente

16 m.

Ficha 12

Pág. 30

3. Aplicando o Teorema de Pitágoras ao triângulo [OCD] obtém-se: 2 2 2

CD OD OC� � .

� �22 2 2 2 2

2 2

0

8

8 2 4 4

2

OD

CD OD OC OD OD

OD OD OD

OD

�

� � � � � �

� � � � � � �

� �

Assim, a área colorida é:

22 2 2 2

2 2 62 2

A��

� � � � ��

Logo, a medida da área da parte colorida é � �2 6�� cm2.



4.1.

4.2. a) Atendendo ao Teorema de Tales, temos que: AC BC

CD EC� . Assim,

432

BC

EC� (1).

Determinemos BC aplicando o Teorema de Pitágoras ao triângulo [ABC].

2 2 22 2

05 4 25 16 41 41

BCBC BC BC BC

�

� � � � � � � � �

Logo, de (1), vem que: 4 41 3 3

4 41 413 2 82

EC ECEC

� � � � � .

Conclui-se que 3

418

EC � cm.

b) Atendendo ao Teorema de Tales, temos que: AC AB

CD DE� .

Assim, 4 5 15 15

43 2 82

DE DEDE

� � � � �

Conclui-se que 158

DE � cm.

5. Aplicando o Teorema de Pitágoras, obtém-se: 2 2 21,5 1,5c � �

2 2 2 22

450 4501,5 1,5 4,50 4,50

101015 3

2 210 2

c c c c c

c c

� � � � � � � � � � �

� � � � �

A rampa tem 3

22

m, ou seja, aproximadamente, 2,12 m.

6. Determinemos a medida do raio da base.

Pelo Teorema de Pitágoras, 2 2 210 8r� � , onde r representa a medida do raio.

Como 2 2 2 2 2 2

010 8 100 64 100 64 36 6

rr r r r r

�

� � � � � � � � � � � �



Assim, o volume do sólido é dado por:

2 21 4 46 8 6 8 36 8 288 384

3 3 3V ��

O sólido tem 384�cm3 de volume.

Avaliação 2

Pág. 31

1. A medida da área do quadrado [DIJH] é igual à medida da área do triângulo [HDE].

A medida da área do quadrado [ELMD] é igual à medida da área do polígono [HGFEK].

Portanto, a medida da área do quadrado [EFGH] é igual à soma das medidas das áreas do

quadrado e do triângulo [HDE].

Como a medida da área do triângulo [HDE] é igual à medida da área do quadrado [DIJH],

então 2 2 2c a b� � .

2.1. Usando o Teorema de Pitágoras no triângulo [MEF], vem: 2 2 2

ME MF FE� � .

2 2 2 2 2 21 4ME MF FE ME� � � � � , pois eMF EB FE AB� �

2

2

0

1 16

17

17ME

ME

ME

ME�

� � �

� �

� �

Portanto, 17ME � cm.

2.2. A área da região sombreada é igual à diferença entre as áreas dos quadrados [ABC] e do

triângulo [AEM].

� � � �

2colorida

2 44 16 16 4 12

2 2ABCD AEM

AM EFA A A

� ��

A área da região sombreada é 12 cm2.

3.1. Como as regiões têm a mesma área, então:

� �1,2 1

0,5 1,2 12 3

x��

Resolvendo a equação na incógnita x, resulta que:

� �1,2 1 1,2

0,5 1,2 1 0,4 1,2 1,6 1,6 1,2 0,42 3 4

x xx x x

� ��

O valor de x é 0,4.

3.2. Área do triângulo: � �1 1,2 0,4 0,8

0,42 2

� ��



Área de cada trapézio: 1,2 0,4 1,6

0,5 0,5 0,42 2�

� � � �

Cada parte da bandeira tem de área 0,4 unidades quadradas.

Avaliação 2

Pág. 32

4. Usando o recíproco do Teorema de Pitágoras, vem: 2 2 230 900; 28 784; 21 441� � �

Como 2 2 230 28 21� � , resulta que o triângulo não é retângulo.

� �2

2 218 x x� � , pois DE DH� .

5. Como � �2

2 2 2 2 2

0

1818 18 2 9 9 3

2 xx x x x x x x

�

� � � � � � � � � � � � , então o

comprimento do lado do quadrado é � �2 3 6� � cm. Assim, � �

26 36ABCD

A � � .

A área do quadrado mede 36 cm2.

6.1. Aplicando o Teorema de Pitágoras ao triângulo [JKH], temos que: 2 2 2

KJ HK HJ� �

2 22 2

0

125 12,5 2,5 12,5 12,5 5

10 2KJKJ KJ KJ KJ KJ

�

� � � � � � � � � �

Como 1 1 1 22 22 2� � � , então

5 22

KJ � cm.

6.2. Como 5KL IJ� � cm, então o quadrilátero [IJKL] é um retângulo.

Assim, � �

125 25 25

10 2IJKLA � � cm2.

Logo, a área do quadrilátero é 25 2

2 cm2.

7. Vamos aplicar o Teorema de Pitágoras a cada um dos triângulos retângulos e determinar

os valores das respetivas medidas dos comprimentos das hipotenusas.

Abcissa do ponto A:

2 2 2 2 220

1125 11253 1,5 9 2,25 11,25 11,25

1010dd d d d d d

�

� � � � � � � � � � � � �

Como 3 2 2 21125 5 3 5 3 5� � � � � , resulta que:

2 21125 5 3 5 5 3 5 3

510 10 10 2

� � � ��

Portanto, 3

2 52

A� � .



Abcissa do ponto B:

2 2 2 2 2

03 2 9 4 13 13

dd d d d

�

� � � � � � � � �

Portanto, 2 3B � � � .

Abcissa do ponto C:

2 2 2 2 2

02 1 4 1 5 5

dd d d d

�

� � � � � � � � �

Como a abcissa do ponto C é negativa, então 5C � � .



Capítulo 3 – Vetores, translações e isometrias

Ficha 13

Pág. 33

1. (A) Os segmentos orientados [A, B] e [C, D] têm a mesma direção e sentidos opostos.

(B) Os segmentos orientados [A, B] e [C, D] têm a mesma direção e o mesmo sentido.

(C) Os segmentos orientados [A, B] e [C, D] não têm a mesma direção.

(D) Os segmentos orientados [A, B] e [C, D] não têm a mesma direção.

2.1. a) Podem definir-se oito segmentos orientados: [A, D], [D, A], [A, B], [B, A], [B, C], [C, B],

[C, D] e [D, C].

b) Podem definir-se os oito segmentos orientados representados na questão anterior e

ainda mais quatro: [A, C], [C, A], [B, D], [B, A] e [D, B]. Assim, podem-se definir no total

12 segmentos orientados.

2.2. a) Podem definir-se quatro vetores distintos: AB , BC , BA e CB

� �pois , , eAB DC BC AD BA CD CB DA� � � � ).

b) Podem definir-se os quatro vetores referidos na questão anterior e ainda os vetores:

AC e CA , BD e DB . Assim, podem definir-se oito vetores distintos.

Ficha 13

Pág. 34

3.

4. Por exemplo:

4.1. BA e AB

4.2. DO e CO

4.3. AA e CC



Ficha 14

Pág. 35

1.1. � �4, 3P 1.2. � �3, 1P

1.3. � �5, 2P � 1.4. � �7, 1D

1.5. � �5, 2P 1.6. � �2, 2P

1.7. � �5, 3P � 1.8. � �1, 1P �

2.1. 3 2.2. 5

2.3. 14 2.4. 2

2.5. 14 2.6. 12

2.7. 9 2.8. 8

Ficha 14

Pág. 36

3.1. a) Ponto I b) Ponto R

c) Ponto P d) Ponto X

e) Segmento [PW] e) Segmento [OL]

f) Segmento [OL] g) Segmento [VL]

h) Triângulo [LVO]

3.2. Dado que a área do quadrado [GHNM] é igual a 1, conclui-se de imediato que a área do

triângulo [GIN] também é igual a 1.

A área do triângulo [DIG] é igual a 2 1

22�� unidades quadradas.

Conclui-se, portanto, que a área do triângulo [DNG] é igual a (1 + 2) unidades quadradas,

ou seja, 3 unidades quadradas.



4.

Numa transla��o… Verdadeira Falsa

a imagem de um segmento de reta é sempre um

segmento de reta paralelo ao primeiro. X


segmento de reta de igual comprimento. X

a distância de qualquer ponto à sua origem é sempre

igual ao comprimento do vetor associado à translação. X

a imagem de um ângulo é sempre um ângulo de igual

amplitude e sentido contrário. X

obtém-se sempre uma redução. X

Ficha 15

Pág. 37

1. Dado que � �AB BC AC , então:

2.1. 2.2.

2.3. 2.4.



Ficha 15

Pág. 38

3.1. AB BC AC� � 3.2. AB BC CD AC CD AD� � � � �

3.3. AE ED AD� � 3.4. � �AB BE ED AE ED AD� � � � �

3.5. � �ED AD EA� � � 3.6. � �A AC CE A AE E� � � � �

4.1. � �AB

T K L� 4.2. � �KB

T F E�

4.3. � �AL

T B E� 4.4. � �� KB CL

T T K G�

4.5. � �� BC CBT T L L� 4.6. � ��

BC DC CLT T T K H�

4.7. � �� BL

T BC LE� 4.8. � �� DE

T AD JE�

4.9. � �� BC

T KLGH LEFG� 4.10. � �� BB

T JBLH JBLH�

5. (A) Pela propriedade comutativa, a afirmação é verdadeira.

(B) Se u for um vetor não nulo, � � �u v

T P . Portanto, a afirmação é falsa.

(C) A afirmação é falsa atendendo à comutatividade da adição de vetores.

(D) A afirmação é falsa. Por exemplo, basta considerar quatro pontos colineares

equidistantes.

Ficha 16

Pág. 39

1.1. a 1.3.



1.4. Independentemente da ordem da aplicação da translação e da reflexão, obtém-se a

mesma imagem da figura original.

Ficha 16

Pág. 40

2.1. Figura G 2.2. Vetor � �ouDC CD�

2.3. Figura F 2.2. Figura I

3.

4.

Numa reflex�o deslizante… Verdadeira Falsa

qualquer ponto do eixo de reflexão é transformado em si

próprio. X


segmento de reta com a mesma direção e com o mesmo

comprimento.

X

a imagem de um ângulo é sempre um ângulo de igual

amplitude e o mesmo sentido. X

obtém-se uma figura geometricamente igual. X

Ficha 17

Pág. 41

1.1. Translação 1.2. Rotação

1.3. Reflexão axial 1.4. Reflexão axial

2.1. Reflexão axial 2.2. Translação



2.3. Reflexão axial 2.4. Reflexão deslizante

2.5. Reflexão deslizante

Ficha 17

Pág. 42

3.1. Reflexão axial 3.2. Translação

3.3. Translação 3.4. Rotação

4.

Propriedades Translação Reflexão

axial

Reflexão

deslizante Rotação

As imagens das retas, semirretas e

ângulos são, respetivamente, retas,

semirretas e ângulos.

X X X X

Preserva a amplitude dos ângulos. X X X X

Preserva o sentido de um angulo

orientado. X X

Transforma um angulo orientado num

ângulo orientado com sentido

contrário.

X X

Preserva a direção e o sentido dos

segmentos orientados. X X X

5.



Ficha 18

Pág. 43

1.

A figura A tem um eixo de simetria. A figura B tem quatro eixos de reflexão e quatro simetrias de rotação de centro O e amplitudes 0º, 90º, 180º e 270º.

A figura D tem três eixos de simetria e três simetrias de rotação de centro O e amplitudes 0º, 120º e 240º.

A figura E tem dois eixos de simetria e duas simetrias de rotação de centro O e amplitudes 0º e 180º.

A figura F tem cinco eixos de simetria e cinco simetrias de rotação de centro O e amplitudes 0º, 72º, 144º, 216º e 288º.

A figura C não tem eixos de simetria.



2.1. A figura tem três eixos de simetria que passam pelos vértices do triângulo central.

2.2. A figura tem três simetrias de rotação de centro no centro do hexágono e amplitudes 0º,

120º e 240º e tem três simetrias de reflexão.

Ficha 18

Pág. 44

3. R1: Cinco simetrias de rotação e cinco simetrias de reflexão

R2: Quatro simetrias de rotação

4. Figura 2: Infinidade de simetrias de rotação

Figura 4: Seis simetrias de rotação

5.1. Simetrias de translação

5.2. Simetrias de reflexão deslizante

Avaliação 3

Pág. 45

1.1. Por exemplo:

a) KF e PL b) [K, M] e [T, P] c) [L, N] e [R, T]

d) LG e NI e) BG e LW f) VW e TS

1.2. a) � �LM

T L M� b) � �RS

T P Q� c) � �LH

T M I�

d) � �� QR NM

T T H H� e) PQ SN PL� � f) 0RS JI� �

g) � �FH ML LG FC� � � h) � �FH ML LG FC� � � i) QR LQ RW� � �

j) � �4 0PT IJ� ��

1.3. a) Translação de vetor AB ou reflexão axial de eixo MC

b) Reflexão deslizante de eixo KO e vetor VX

c) Translação de vetor MO

d) Translação de vetor BM

e) Translação de vetor PR ou reflexão axial de eixo CW

f) Translação de vetor RC



Avaliação 3

Pág. 46

2.1. Peixe 2 2.2. � �PQ

T A E� e � �PQ

T B F�

2.3. Peixe 4 2.4. Peixe 4

3.1. 3.2.

3.3. Translação de vetor u v� , tal que:

4. R1: 6 simetrias de rotação

R2: 12 simetrias de rotação

Proposta de Teste Intermédio 1

Pág. 47

1. Opção correta: e 17�

1 61

5 5� é um número racional

3 27 3� é um número racional

� �101

9, 1811

� é um número racional que pode ser representado por uma dízima infinita

periódica de período 18.

2. Opção correta: 32 330�

, porque 3 3 2 22 3 2 3 2 2 230 3 2 5 2 5 5� � �

� � �

� � �



13

é igual à dízima infinita 0,(3) de período igual a 3.

1223

não pode ser exprimido por uma fração decimal já que o denominador é um número

primo diferente de 2 e 5.

2� é um número irracional.

3. Opção correta: 1

� �

11 2 12 2 1

2 2 2

1 1 1 10,1 10 1 1

1010 10 10

��

� ��

� � � � � � ��

4. Opção correta: Maior que 1

22

11 1k

k

��

Como 2

10

k� , para qualquer k � , não nulo. Logo,

2

11 1

k� � .

5.

Proposta de Teste Intermédio 1

Pág. 48

1.1. Representando 2,(4) em fração:

Seja ��2, 4x � .

� �10 24, 4x �

� � � �22 4

10 24, 4 2, 4 9 22 29 9

x x x x� � � � � � � �

Representemos os números do conjunto A na reta numérica:



1.2. a) 3 � b) � �2, 4 � c) 10�

d) 45

� � e) 3 � f) 12

��

2.1. Usando o Teorema de Pitágoras no triângulo [EFG], vem: 2 2 22 1EG � �

Como 2 2 22 2

02 1 4 1 5 5

EGEG EG EG EG

�

� � � � � � � � �

então 3 5B � � .

2.2. 5BC EG� � , por hipótese.

Assim, 2 5AB � � unidades, portanto, � � � �2 5 5 2 5 5ABCD

A � � � � � .

Por outro lado:

� � � �2 2 5 2 5 4 2 5 2 5 4 4 5ABCD

P � � � � � � � � � � .

A medida do perímetro do retângulo é � �4 4 5� unidades e a da área é � �2 5 5�

unidades quadradas.

3.1. BA AC BC� �

3.2. 2 2 22 2

03 3 9 9 18 18 3 2

ABAB AB AB AB AB

�

� � � � � � � � � � �

2 2 22 2

04 4 16 16 32 32 4 2

ACAC AC AC AC AC

�

� � � � � � � � � � �

2 2 22 2

01 7 1 49 50 50 5 2

ABBC BC BC BC BC

�

� � � � � � � � � � �

Portanto, 3 2AB � , 4 2AC � e 5 2BC � .

3.3. Pelo recíproco do Teorema de Pitágoras, tem-se:

� �2

5 2 25 2 50� � � ; � �2

4 2 16 2 32� � � ; � �2

3 2 9 2 18� � �

Como 50 = 2 + 18, conclui-se que o triângulo [ABC] é retângulo em A.



4.1. A rosácea tem oito simetrias de rotação.

4.2. A rosácea tem 16 simetrias de reflexão axial.



Capítulo 4 – Gráficos de funções afins

Ficha 19

Pág. 49

1. As funções f, g e h são funções lineares, pelo que os seus gráficos cartesianos são retas

que passam na origem do referencial.

2.1. 2.2.

2.3. 2.4. �� 1 5 1 5f f� ��



2.5. � � � � 2l x m x x� ��

2.6. � � � �3 2n n� � � . Como n é uma função linear, então é da forma � � ,n x ax a� � . Como

� � � �3 2 0a a a� � � � � � � , então � � 0n x � .

2.7. � � ��2 0 2f f� � . Como f é uma função, então é da forma � � ,f x ax a� � . Portanto,

2 0 2 2 2 1a a a a� � � � � � � . Logo, � �f x x� .

Ficha 19

Pág. 50

3. O gráfico cartesiano é uma reta que passa na origem do referencial. A expressão algébrica

de uma função linear é da forma � �f x ax� .



11

3f� �

��

, então 1

313

a � � . Logo, � � 3f x x� .

� �3 2g � � , então 2 23 3

a � ��

�

. Logo, � �23

g x x�� .

� �3

22

h � �� , então

332

2 4a

�

� �

�

. Logo, � �34

h x x� .

31,5

2i� ��

, então

31,5 2 1

3 32 2

a � � ��

� �

. Logo, � �i x x�� .

4.1. � � 2 2 4 2 8p x x x� � � � �

4.2. ��2 2 2 8 4 8 12p � � � � � � ; � �4 2 4 8 8 8 16p � � � � � � ; � �10 2 10 8 20 8 28p � � � � � �

� �16 2 16 8 32 8 40p � � � � � �

Completando a tabela, temos que:

x 2 4 10 16

p(x) 12 16 28 40

4.3. Resolvendo a equação � � 88p x � , tem-se:

� �80

88 2 8 88 2 88 8 2 80 402

p x x x x x x� � � � � � � � � � � � �

Logo, para 40x � , temos que � � 88p x � cm.

4.4. � � 4a x x� . A função a é de proporcionalidade direta, pois � �

4, 0a x

xx

� � .

4.5.



4.6. Pelas questões 4.1. e 4.4.

� � � �8

2 8 4 2 4 8 2 8 42

p x a x x x x x x x x�

� � � � � � ��

�

O retângulo apresenta a medida do perímetro igual à medida para 4x � . Para este valor, o

retângulo é um quadrado de lado 4 cm.

Ficha 20

Pág. 51

1.1. A reta r representa uma função linear, pois é não vertical e passa pela origem, do

referencial.

1.2. Como o ponto de coordenadas (2, 1) pertence à reta, então a função é definida pela

expressão 12

x .

1.3.

1.4. Sendo f a função cujo gráfico é representado no referencial cartesiano pela reta r, então

� � � �g x f x b� � .

Como 2b� , então � �1

22

g x x� � .

1.5. Se a reta t é paralela às retas r e s, então têm o mesmo declive. Portanto, uma equação da

reta t é da forma 12

y x b� � .

Como o ponto de coordenadas � �3, 2� pertence à reta t, então:

1 3 3 72 3 2 2

2 2 2 2b b b b� � � � � � � � � ��

Logo, uma equação da reta t é 1 72 2

y x� � .



1.6.

Ficha 20

Pág. 52

2. A reta r é não vertical e passa pela origem do referencial, pelo que tem de equação

,y ax a� � .

Como o ponto de coordenadas (1, 3) pertence à reta r, vem 3 1 3a a� � � � .

Logo, uma equação da reta r é 3y x� .

Como as retas s e t são paralelas à reta r, então têm o mesmo declive da reta r, ou seja,

3a � .

Como o ponto de coordenadas (0, 4) pertence à reta t, uma equação da reta 3 4y x� � e

como o ponto (3, 0) pertence à reta s, então uma equação da reta é 3y x b� � .

0 3 3 9b b� � � � ��

Portanto, uma equação da reta s é 3 9y x� � .

A reta u passa pela origem do referencial e pelo ponto de coordenadas � �5, 2� , logo

2 25 5

a�

� �� .

Uma equação da reta u é 25

y x�� .

Como a reta v é paralela à reta u, então tem o mesmo declive, ou seja, 25

a �� . A reta

interseta o eixo Oy no ponto de coordenadas (0, 4). Portanto, uma equação da reta v é

24

5y x�� .

Em síntese:

2 2: 3 ; : 3 9; : 3 4; : ; : 4

5 5r y x s y x t y x u y x v y x� � � � � ��



3.1. a) � �1 1 1

0 2 0 02 2 2

g � � � � � �� b) � � � �1 1 8 1 9

2 2 2 42 2 2 2 2

g � � � � � ��

c) 3 3 1 1 6 1 5

2 32 2 2 2 2 2 2

g� �

� � � � � � � ��

d) 2 2 1 1

2 22 2 2 2

g� �

� � � � ��

3.2.

3.3. Vejamos que as coordenadas do ponto não satisfazem a equação 1

22

y x� � .

1 1 1 1 1 1 32 1

2 2 2 2 2 2 2� �

� � � � � ��

(proposição falsa)

Confirma-se, assim, que o ponto de coordenadas 1 1

,2 2

� ��

não pertence ao gráfico de g.

4.1. O preço, em euros, de uma viagem de táxi de 10 km num serviço diurno é dado por:

� � � � �

ba de ada p eço/

3 25 0 45 10 3,25 4,5 7,75

A viagem custa 7,75 €.

4.2. Seja x o número de km e y o respetivo custo, em euros, da viagem de táxi.

Serviço diurno: 0,45 3,25y x� �

Serviço noturno: 0,54 3,90y x� �

Ficha 21

Pág. 53

1.1. A reta vertical não representa uma função, pois ao mesmo objeto, 2� , corresponde uma

infinidade de ordenadas.

1.2. Por exemplo: � �� 2, 0 , 2, 1 e 2, 10� � � .

1.3. Como os pontos da reta têm de abcissa 2� , uma equação da reta r é 2x �� .

1.4. � � � � � �3, 2 , 3, 4 e 5, 4P Q R



1.5. a) Os pontos P e Q definem uma reta vertical, dado que têm a mesma abcissa.

b) Os pontos Q e R definem uma reta horizontal, dado que têm a mesma ordenada.

1.6. Reta PQ: 3x � ; reta QR: 4y �

Ficha 21

Pág. 54

2.1. � �

1 0 11

0 1 1a

� � ��

� � 2.2.

1 2 1 14 3 7 7

a� �

� � �

� � �

2.3. 2 2 0

02 1 2 1

a�

� � �

� �

. Esta conclusão é imediata, uma vez que os pontos têm a mesma

ordenada, pelo que definem uma reta horizontal.

2.4.

1 32 32 2

0 1 1 2a

� �

� � ��

� �

3. A função g é uma função linear, pois o seu gráfico cartesiano é uma reta não vertical que

passa na origem do referencial e no ponto de coordenadas (3, 1).

Portanto, � �13

g x x� .

O gráfico da função f é uma reta não vertical que passa nos pontos de coordenadas (0, 2)

e (3, 1). A equação da reta é da forma y ax b� � , onde:

1 2 1 13 0 3 3

a� �

� � ��

�

e 2b� .

Logo, a função f é definida pela expressão � �1

23

f x x�� .

4.1. Justifiquemos que o gráfico I não representa o gráfico da função f.

� � � �1 1

2 1 1 1 2 02 2

f� �

� � � � ��

O ponto de coordenadas 1

, 02� �

� ��

pertence à reta. Portanto, a reta não representa o gráfico

da função f.

� � � � � � � �1 2 1 1 2 1 1 0f � � � � � � � � � �

O ponto de coordenadas � �1, 0� pertence à reta. Portanto, a reta não representa o gráfico

da função f.



4.2. a) Os ponto de coordenadas � �0, 1� e 1

, 02� �

� ��

pertencem à reta.

Determinemos o declive da reta:

� �0 1 12

1 10

2 2

a� �

� � �

�

Como a reta interseta o eixo das ordenadas no ponto de coordenadas � �0, 1� , então

uma equação da reta é 2 1y x� � .

b) Os ponto de coordenadas � �2, 1� e � �1, 0� pertencem à reta.

Determinemos o declive da reta: � �

0 1 1 11

1 2 1 2 1a

� � ��

� � � � �

Determinemos a ordenada na origem, b:

y ax b� � e como 1a�� , então y x b�� .

Como o ponto de coordenadas � �1, 0� pertence à reta, então 1y x�� .

4.3. A função f é uma função afim cujo gráfico é uma reta de declive –2 e ordenada na origem

1� .

�� 1 2 1 1 2 1 3f � � � � ��

Portanto, o ponto de coordenadas � �1, 3� pertence à reta que representa o gráfico de f.

4.4. Se a reta é paralela à reta que representa o gráfico de f, então tem o mesmo declive que

esta.

Assim, uma equação da reta é 2y x b�� .

Como o ponto de coordenadas � �2, 1� pertence à reta, resulta que:

� � ��1 2 2 1 4 3b b b� � � � � � ��

Portanto, uma equação da reta é �� 2 3y x



Ficha 22

Pág. 55

1. O gráfico D é aquele que pode representar a função que dá a massa b de ar no balão, t

segundos após o primeiro instante que a Joana começa a inspirar o ar.

Exclui-se o gráfico A pois a Joana precisa de inspirar várias vezes.

Exclui-se o gráfico B pois a Joana quando inspira mantém o pipo do balão apertado

evitando, assim, que o ar saia do balão.

O gráfico C exclui-se, pois, inicialmente, a Joana começa por inspirar o ar para encher o

balão.

2.1. Estabelecendo uma regra de três simples, obtém-se:

Consumo de gasolina (l) N.º de quilómetros

6,5 ------------------------------- 100

40 -------------------------------- x 40 100

6156,5

x�

� � km

Resposta: A Marta poderá percorrer, aproximadamente, 615 km.

2.2. No instante inicial, x = 0, a quantidade, em litros, de combustível no depósito do automóvel

é 40.

Como o consumo médio é constante e igual a 6,5 l por cada 100 km, então

� � 40 0,065 , 0g x x x� � � .

Graficamente:



Ficha 22

Pág. 56

3.

A reta r contém os pontos de coordenadas (2, 0) e (0, 2). Determinemos o seu declive:

2 0 21

0 2 2a

��

� �

Assim, uma equação da reta é 2y x�� .

4.1. A função f é uma função de proporcionalidade direta, pois o quociente � �

, 0f x

xx

� , é

constante e igual a 0,03.

4.2. A função g não é uma função de proporcionalidade direta, pois o preço por cada fotocópia

não é constante, ou seja, o quociente � �

, 0g x

xx

� , não é constante.

4.3. Seja x (sendo �1x ) o número de fotocópias a cores.

Se � �20, 0,10x g x x� � ; se � �20, 0,08x g x x� � .

Podemos escrever:

� �0,10 , 1 20

0,08 , 20

x xg x

x x

� ��

��

4.4. � � � �10 0,03 10 0,3, 30 0,08 30 2,4f g� � � � � �

O Tó pagou 2,70 euros pelas fotocópias.

Avaliação 4

Pág. 57

1.1. �� 8 3 8 24, 10 3 10 30f f� � � � � �



1.2. �� 5 2 5 3 2 5 6 30 10f f� � � � � � � �

1.3. �� 2 8 3 2 3 8 6 24 30 e 10 30f f f� � � � � � � � � . Logo, �� 2 8 10f f f� � .

1.4. 1 1 3

32 2 2

f� �

� � ��

e 3 3 9

34 4 4

f� � � ��

1.5. 1 3 3 9 6 9 32 4 2 4 4 4 4

f f� � � �

� � � � � � ��

1 3 1 3 3 9 33

2 4 2 4 2 4 4f� � � ��

� � � �

Conclui-se que 1 3 1 32 4 2 4

f f f� � � � � �

� � � ��

.

1.6. � � � �1 2 1 2 1 23 3 3f x x x x x x� � � � �

� � � �1 2 1 23 3f x f x x x� � �

Logo, � � � � � �1 2 1 2f x x f x f x� � � , quaisquer que sejam os números reais x1 e x2.

2.1. a) As retas a e e.

b) A reta b.

c) Todas as retas representam funções afins. As retas c e d representam funções afins não

lineares nem constantes.

2.2. Determinemos uma equação da reta c:

Os pontos de coordenadas (4, 0) e (0, 4) pertencem à reta. Logo, uma equação da reta c é

4y x�� .

Determinemos uma equação da reta e:

Como a reta passa pela origem do referencial, então a sua equação é da forma y ax� .

Os pontos de coordenadas � �1, 1� pertencem à reta e, então: 1

11

a�

� � . Logo, uma

equação da reta e é: y x�� .

As retas têm o mesmo declive, pelo que são paralelas.

2.3. Determinemos os declives das retas:

2: 2

1a a � �



Como os pontos de coordendas (3, 0) e � �0, 3� pertencem à reta d, resulta que

3 0 31

0 3 3a

� � ��

� �

.

Como as retas têm declives distintos, então as retas não são paralelas.

Avaliação 4

Pág. 58

3. Opção correta: (B)

(A): ��5 11 15 11 4

3 3 22 2 2 2 2

f � � � � � � � ; � � � �5 11 25 11 14

5 5 7 32 2 2 2 2

f � � � � � � � ��

Exclui-se a opção (A).

(B): � �5 19 15 19 4

3 3 22 2 2 2 2

f� �

� � � � ��

; � �5 19 25 19 6

5 5 32 2 2 2 2

f� �

� � � � ��

(C) � �2 16 6 16 10

3 3 55 2 5 2 2

f� �

� � � � ��

� � � �2 11 11 10 11 21

5 5 2 35 2 2 5 5 5

f� �

� � � � ��

Exclui-se a opção (C).

(D) � � � �2 6 6 55 49

3 3 11 11 25 5 5 5 5

f� �

� � � � ��

Exclui-se a opção (D).

4.1. a) Determinemos o declive da reta AB:

� �3 2 3 2 5

2 0 2 2a

� � ��

� � �

Como o ponto A pertence à reta e tem coordenadas � �0, 2� , uma equação da reta é

52

2y x�� .

b) Determinemos o declive da reta AC:

� �3 2 3 2

51 0 1

a� � �

� � ��

� � �

A equação da reta é da forma 5y x b�� .

Como o ponto � �0, 2A � pertence à reta, então as suas coordendas satisfazem a

equação anterior, ou seja, 2 5 0 2b b� �� .

Logo, uma equação da reta AC é 5 2y x�� .

c) Como os pontos � �2, 3B � e � �1, 3C � têm a mesma ordenada, então pertencem a uma

reta horizontal de equação 3y � .



4.2.

4.3. Dado que a reta s é paralela à reta AB, então tem declive 52

� .

Como a reta s passa pelo ponto de coordenadas � �2, 2 , estes satisfazem a equação

52

y x b�� .

5 5 4 5 22 2 2 2

2 2 2b b b

��

Portanto, uma equação da reta s é 5 4 5 22 2

y x�

�� .

5.1. Tarifa 1: � � 7,50f x x� ; tarifa 2: � � 6 18g x x� �

5.2.

5.3. Na tarifa 1, o consumidor pagará: � �6 7,50 6 45f � � �

Na tarifa 2, o consumidor pagará: ��6 6 6 18 36 18 54f � � � � � �

Na tarifa 1 o consumidor pagará 45 euros, enquanto que na tarifa 2 pagará 54 euros.



5.4. Determinemos o número de caixas que se consegue comprar com 70 euros.

Tarifa 1: � � ��70

70 7,50 70 9, 37,50

f x x x x� � � � � � �

Tarifa 2: � � � �52

70 6 18 70 6 70 18 6 52 8, 66

f x x x x x x� � � � � � � � � � � � �

Portanto, um consumidor com 70 euros consegue comprar no máximo nove caixas de fruta

na tarifa 1 e oito caixas de fruta na tarifa 2.

5.5. 18

7,50 6 18 7,50 6 18 1,50 18 121,50

x x x x x x x� � � � � � � � � � �

� �12 90f � , portanto, para nove caixas o consumidor pagará 90 euros em ambas as tarifas

como se pode confirmar no gráfico cartesiano seguinte.



Capítulo 5 – Monómios e polinómios. Equações incompletas do 2.º grau

Ficha 23

Pág. 59

1.

Monómio Parte numérica

ou coeficiente

Fatores

numéricos Parte literal

Monómio

simétrico Grau do monómio

x� 1� 1� x x 1

22axy� 2a� 2 e a� 2xy 22axy 3

23x yxa 3a 3 e a 3x y 33ax y� 4

2 32abcy z 2abc 2, , ea b c 2 3y z 2 32abcy z� 5

3 2 312

ax y z� 12

a� 1

e2

a� 3 2 3x y z 3 2 312

ax y z 8

47

a 47

a 4

e7

a Não tem 47

a� 0

2 2 335

a bx y 235

a b 23, e

5a b 2 3x y 2 2 33

5a bx y� 5

3 23z y xyz� 3� 3� 3 4xy z 3 23z y xyz 8

3ac� 3ac� 3, ea c� Não tem 3ac 0

Ficha 23

Pág. 60

2. Dois monómios, não nulos, são semelhantes quando têm a mesma parte literal. Por

exemplo: � �2 2 25

e 0 , e2

ax y a a x y x y� � � são monómios semelhantes ao monómio

232ax y�

.



3.1.

Monómios 2 320zx y x 212

axyz y 3c

� 2 2y xz� 4 2 3 3z x y x �

Forma canónica 3 320x y z 2 212

axy z 3c

� 2 2xy z� 5 3 4x y z �

Monómios 2 2axy z 3 35 4x y z� � 2 212

y xz a

Forma canónica 2 2axy z 3 320x y z 2 212

axy z

3.2. Monómios semelhantes:

2 320zx y x e 3 35 4x y z� �

212

axyz y ; 2 2y xz� e 2 2axy z

3.3. Monómios iguais:

2 320zx y x e 3 35 4x y z� �

212

axyz y e 2 212

y xz a

4.1. 3 2 4 21 13 3

abx yxz abx yz� �� ; 2 3 3 53 3xy xxzy x y z�

4.2. � �

241 1 1 1 1 1 1

1 2 1 23 2 3 4 3 2 6

ab ab ab ab� �

� � � � ��

� � � � � �3 5 1 1 1

3 1 2 3 1 32 3 32 482 2 2

� � � � � � � � � � � � � ��

Ficha 24

Pág. 61

1.1. � �2 2 2 2 2 22 2 2 1 3x y yx x y x y x y x y� � � � � �

1.2. � �3 2 3 2 3 2 3 23 3 1 2x y z x y z x y z x y z� � � � � ��

1.3. � � � � � �3 3 3 3ou 1abx ax ab a x a b x� � � � �

1.4. 3 2 2 3 3 2 3 2 3 2 3 21 1 1 74 4 4

2 2 2 2x y z y x z x y z x y z x y z x y z

� ��

� �



1.5. 0abc abc� � �

1.6. � � � �� 3 3 3 3 3 32 2 2 2 1 0 1xy xy xy xy xy xy� � � � � � � � � �

1.7. � �2 3 2 2 3 2 2 3 2ax y z bx y z a b x y z� � �

1.8. � � � �2 3 4 4 3 2 3 4 2 3 4 2 2 3 4 2 3 42 4 4 5a x z az ax a x z a x z a a x z a x z� � � � � � �

1.9. � �axy bxy cxy a b c xy� � � � �

1.10. � � � �2 2 2 2 2 2 2 23 3 3 3 33 3 33 8 5 2 2 5 2 8 6 2 2 6 2 2xy xy xy xy xy xy xy xy� � � � � � � � �

2.1. � � � �� 2 2 2 ou 2 1abtx txa abtx atx ab a tx a b tx� � ��

2.2. � �2

2 2 2 2 22 2 3xy xy xy xy xy� ��

2.3. 3 2 3 2 3 2 3 2 3 21 1 1 9 103 3

3 3 3 3 3ax y ax y a a x y a x y ax y

� � � ��

� � � �

2.4. � �4 2 3 4 2 3 4 2 3 4 2 3 4 2 32 12 2 12 10t x y t x y t x y t x y t x y� � � ��

2.5. 2 4 6txy txy txy� � ��

2.6. � � � �� 2 5 4 2 5 4 2 2 5 4 5 4oua bx y ab x y a b ab x y ab a b x y� � � �

Ficha 24

Pág. 62

3.1. A área do retângulo da figura é dada pelo monómio 4xy .

3.2. a) Para 2 e 1,5x y� � , o retângulo tem 2 unidades de largura e 4 1,5� unidades de

comprimento, ou seja, 6 unidades de comprimento. A área é dada pelo produto 2 6 12� �

unidades quadradas.

b) Para 2 e 1,5x y� � , a expressão 4xy toma o valor 4 2 1,5 12� � � . A área do retângulo

para os valores dados é 12 unidades quadradas.

c) Obteve-se o mesmo valor para a área quando se substituiu as indeterminadas pelos

números dados.

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