2° ano - matrizes

8/18/2019 2° ANO - Matrizes

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Matrizes


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Organizando e analisando dados

O colégio Tales distribui, durante o ano letivo, 100

pontos por matéria. O quadro a seguir mostra ostotais de pontos obtidos por Ana, Carlos e Pedro,em Matemática nos anos de 2006 e 2007.

Ana Carlos Pedro2006 80 75 72,5

2007 76 82,5 78

Quadros como esses ajudam a organizar dados. Ficamais fácil analisá-los, combiná-los com outros.


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Matrizes – Conceitos iniciais

Foi o matemático inglês, James Joseph, Sylvester,

quem usou pela primeira vez esta forma detrabalhar com um conjunto de informações,dispondo-as em linhas e colunas em uma tabela.

A um quadro desse tipo, damos o nome de Matriz.

Cada número que o constitui é um elemento damatriz.

O quadro apresentado é uma matriz 2 x 3, isto é,possui 2 linhas e 3 colunas.


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Representando matrizes

Para nomear matrizes, usamos letras latinas

maiúsculas. Seus elementos ficam dentro deparênteses ou colchetes.

Exemplo

80 75 72,5

76 82,5 78

80 75 72,5

76 85,2 78

ou A =A =


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Representando matrizes

Nossa matriz tem 2 linhas e 3 colunas. Dizemos

que ela é do tipo 2 x 3 (dois por três) ou,simplesmente, uma matriz 2 x 3.

80 75 72,5

76 82,5 78A =

→ 1ª linha

→ 2ª linha

1ª coluna 2ª coluna 3ª coluna

Nossa matriz é indicada por A2x3.


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Representando elementos de uma matriz

De maneira geral, indicamos um elemento de uma

matriz por uma letra minúscula, acompanhada dedois índices, que definem sua posição na matriz.

Um elemento genérico da matriz A é indicado

assim:

aij i indica a linha do elemento

j indica a coluna do elemento


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Representando elementos de uma matriz

Na matriz A exemplificada, temos

80 75 72,5

76 82,5 78

A =

a11 = 80 a12 = 75 a13 = 72,5

a21 = 76 a22 = 82,5 a23 = 78


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Definição de Matriz

Se m e n são dois números naturais positivos,

chama-se matriz do tipo m x n todo quadroformado por m.n números reais, dispostos deforma ordenada em m linhas e n colunas.

Uma matriz genérica Am x n pode ser

representada assim:

amn...am3am2am1

...

a23

a13

...

...

...

.........

a2na22a21

a1na12a11

A =

De forma simplificada, temos A = [aij]m x n


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Exemplo

Na matriz A representada a seguir, cada elemento

aij indica a média, em Matemática, da turma i nobimestre j. Identificar o tipo de matriz e obter amédia da turma 2 no 3.º bimestre e a média daturma 3 no 4.º bimestre.

6,2 8,3 9 7,4

8 7,3 8,7 6,5

7,2 8,1 6,9 7

A =

A3 x 2. a23 = 8,7 a34 = 7


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Matriz definida por seu

termo genérico


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Matriz definida por seu termo genérico

Uma matriz pode ser definida, indicando-se seu

tipo e uma fórmula para o cálculo de cadaelemento aij, em função de i e j.


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Exemplos

Construir a matriz A = (aij)3x2, em que aij = 3i – j.

a32

a31

a22a21

a12a11

A =

aij = 3i – j

a11 = 3.1 – 1 = 2 a12 = 3.1 – 2 = 1

a21 = 3.2 – 1 = 5 a22 = 3.2 – 2 = 4a31 = 3.3 – 1 = 8 a32 = 3.3 – 2 = 7

2 1

5 4

8 7

A =


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Exemplos

Construir a matriz B = (bij)2x2, tal que

b22b21

b12b11B =

b11 = 2.1 + 1 = 3

b12 = 21 = 2

b21 = 2.2 + 1 = 5b22 = 2.2 + 2 = 6

3 2

5 6

B =

bij =2i + j, se i ≥ j

ji , se i < j


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Igualdade de matrizes

Dizemos que duas matrizes A e B são iguais só se

eles são do mesmo tipo e cada elemento de umadelas é igual ao elemento de mesma posição daoutra.

Se alguma das condições anteriores falhar,dizemos que A e B são matrizes diferentes.


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Exemplos

Verificar se as matrizes A e B abaixo são iguais.

2 1

5 4

8 7

A =

2 1

8 4

5 7

B =

As matrizes são do mesmo tipo (3 x 2) e têm osmesmos elementos. Elas são diferentes pois oselementos 5 e 8 ocupam posições diferentes.


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Exemplos

Calcular x, y, z e t para que ocorra a igualdade.

2x –1

y + 1 3

4 x + z

5 t – y=

2x = 4

y + 1 = 5

x + z = –1

t – y = 3

2x = 22 x = 2

y = 4

2 + z = –1 z = –3

t – 4 = 3 t = 7


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Algumas matrizes

especiais


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Matriz Linha e matriz Coluna

Uma matriz que tem apenas uma linha é chamada

de matriz linha. Uma matriz que tem somenteuma coluna é denominada de matriz coluna.

Exemplos

–1 2 5 É uma matriz linha 1 x 3.

3

6 É uma matriz coluna 2 x 1.


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Matriz Transposta

Veja como podemos apresentar os dados

referente à tabela da introdução de matrizes.

Ana Carlos Pedro

2006 80 75 72,52007 76 82,5 78

2006 2007

Ana 80 76

Carlos 75 82,5Pedro 72,5 78

80 75 72,576 82,5 78

A =

7872,5

82,575

7680

B =


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Matriz Transposta

Se A é uma matriz do tipo m x n, chama-se

transposta de A (simbolicamente At

), a matriz dotipo n x m, obtida de A, trocando-se de posiçãolinhas com colunas, de forma que

A = (aij)m x n At

= (a ji)n x m

2 –1 1

3 0 –5A =

–51

0–1

32At =


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Matriz Nula

Uma matriz que tem os seus elementos iguais a

zero é chamada matriz nula. Existe uma matriznula de cada tipo. A matriz nula pode ser indicadapor Om x n.

0 0 0

0 0 0É uma matriz nula 2 x 3.O =

0 0

0 0O = É uma matriz nula 2 x 2.


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Exemplo

Encontre os valores de x e y, para que a matriz M

abaixo seja nula.

x2 – 1 x2 – x – 2

x2 – y2 x + yM =

x2 – 1 = 0

x2 – x – 2 = 0

x2 – y2 = 0

x + y = 0

x = ±1

x = –1 ou x = 2

x = –1 e y = 1

x = –y


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Matriz Oposta

Chama-se oposta de uma matriz A a matriz

representada por –A, cujos elementos são osopostos dos elementos de mesma posição em A.

0 3

–2 5A oposta da matriz A = , é a matriz

–A =0 –3

2 –5


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Matrizes quadradas


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Matriz quadrada

Chama-se matriz quadrada toda matriz em que o

número de linhas é igual ao de colunas. O númerode linhas (ou colunas) é a ordem da matriz.

0 3

–2 5

3 0 –3

7 2 –5

1 4 0

é matriz quadrada de ordem 2.

é matriz quadrada de ordem 3.


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a11 a12 a13

a21 a22 a23

a31 a32 a33

Matriz quadrada

Numa matriz quadrada A =[aij], de ordem n,

chama-se

Diagonal principal o conjunto dos elementos aij em que i = j;

Diagonal secundária o conjunto dos elementos aij em que i + j = n + 1;

Diagonal secundária (i + j = 4)

Diagonal principal (i = j)


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Matriz Identidade

Chama-se matriz identidade de ordem n a matriz

quadrada indicada In tal que. Os elementos da diagonal principal são todos

iguais a 1;

Todos os outros elementos são iguais a 0;

1 0

0 1

1 0 0

0 1 0

0 0 1

é matriz identidade de ordem 2.

é matriz identidade de ordem 3.

I2 =

I3 =


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Matriz Diagonal

Toda matriz quadrada em que todos os elementos

fora da diagonal principal são iguais a zero échamada matriz diagonal.

Chama-se traço de uma matriz quadrada a somados elementos de sua diagonal principal.

3 0

0 –5

½ 0 0

0 0 0

0 0 2

M = N =

Traço de M é –2. Traço de N é 3/2.


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Exemplo

Calcule o traço da matriz quadrada A abaixo,

sabendo que ela é matriz diagonal.

x – 2y x – y + 6

x + 2y x + yA =

x + 2y = 0

x – y + 6 = 0

x = –4

x + 2y = 0

2x – 2y + 12 = 0x (2)+

3x + 12 = 0

e y = 2

O traço da matriz é: x – 2y + x + y = 2x – y = –10


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Matriz Simétrica

Toda matriz quadrada que é igual a sua

transposta é chamada matriz simétrica.

1 –3 5

–3 2 –1

5 –1 6

N =

A é simétrica A = At

Exemplo


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Exemplo

Obtenha m, n, e p, para que seja simétrica a

matriz.3 m + n 2

–1 1 5

m – 2n p + 2 0

P =

m + n = –1

m – 2n = 2

m + n = –1

m – 2n = 2

p + 2 = 5

2m + 2n = –2

m – 2n = 2+

3m = 0m = 0 e n = –1 p = 3


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Matriz Anti-Simétrica

Toda matriz quadrada que é igual à oposta de sua

transposta é chamada matriz anti-simétrica.

0 3 –5

–3 0 –1

5 1 0

N =

A é anti-simétrica A = –At

Exemplo


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Exemplo

Complete a matriz para que ela seja anti-

simétrica.

.... .... 5

–2 .... 3

.... .... ....

Q =

0

0

0

2

–5 –3


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3 1

0 –5

Matriz triangular

Toda matriz quadrada na qual são nulos todos os

elementos situados num mesmo lado da diagonalprincipal.

½ 7 3

0 –2 1

0 0 2

A = B =

Exemplos


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Operações elementares

com Matrizes


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Operações com Matrizes

Em certos casos surge a necessidade de efetuar

operações com matrizes.

Adição;

Subtração;

Multiplicação de uma constante real por umamatriz;

Multiplicação.


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Adição de Matrizes

Uma empresa fabrica dois produtos A e B, que

podem ser acondicionados nas embalagens E 1, E 2 eE 3, com 12, 24 ou 30 unidades, respectivamente. Osquadros abaixo mostram os custos de fabricação doproduto e da embalagem, em cada caso.

A B

E1 60 80

E2 100 130E3 120 160

A B

E1 2 3

E2 3 4E3 4 6

Custo do produto (R$) Custo da embalagem (R$)


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O fabricante quer vender o produto com lucro de

50% sobre o custo do produto, mas não quer obterlucro no custo da embalagem. Qual será o preço devenda dos produtos A e B.

60 80

100 130

120 160

P =

2 3

3 4

4 6

E =

O preço de venda é obtido efetuando-se aoperação: 1,5 . P + E


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V = 1,5 . P + E

60 80100 130

120 160

P =2 33 4

4 6

E =

1,5 . P =

1,5.1601,5.120

1,5.1001,5.60

1,5.1301,5.80

=

240180

15390

195120

1,5 . P + E =

90 120

153 195

180 240

+ 2 33 4

4 6

=

246184

15692

199123


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Veja como seriam os preços de venda dos dois

produtos nas três possíveis embalagens.

A B

E1 92 123

E2 153 199

E3 184 246

Preço de venda (R$)


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Sendo A e B matrizes de mesmo tipo e k uma

constante real, definem-se as seguintesoperações:

Adição de matrizes: A + B é a matriz em quecada elemento é a soma dos elementos de

mesma posição em A e B.

Subtração de matrizes: A – B = A + ( –B), é asoma de A com a oposta de B.

Multiplicação de um número por uma matriz: kA é a matriz obtida multiplicando-se, por k , cadaum dos elementos de A.


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Exemplo

Dada as matrizes abaixo obter a matriz 3M – 2N + I2.

–2 1

3 2

2 0

3 4N =M =

3.M =3.23.33.13.–2 = –6 3

9 6

–2.M = –2.4–2.3

–2.0–2.2

=

–4 0

–6 –8


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Exemplo

Dada as matrizes abaixo obter a matriz 3M – 2N + I2.

–2 1

3 2

2 0

3 4N =M =

3M –2N + I2 = 3.M + (–2.N) + I2 =

–6 3

9 6

–4 0

–6 –8

1 0

0 1 –13

3–9= + + =


44/75

Equações matriciais


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Exemplo

Resolver a equação 3X – A = 2B, onde

–5 0

–1 4

1 –3

2 1B =A =

A matriz X deve ser do mesmo tipo de A e B.

x y

z tX =

3.X – A = 2B x yz t

–5 0–1 4

1 –32 1

3. – = 2.


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Exemplo

3.X – A = 2B

3x 3y

3z 3t

5 0

1 –4

2 –6

4 2+ =

3t – 43z + 1

3y3x + 5 2 –6

4 2=

3x + 5 = 2

3y = –6

3z + 1

= 43t – 4 = 2

x = –1

y = –2

z = 1t = 2

–1 –2

1 2

X =


47/75

Exemplo


–5 0

–1 4

1 –3

2 1B =A =

Equações como essa podem ser resolvidas, também, como

se fossem equações algébricas. Veja.

3.X – A = 2B 3.X = A + 2B X = 1

3

A + 2B = –5 0–1 4

2 –64 2

+ =63

–6–3

(A + 2B)


48/75

Exemplo


–5 0

–1 4

1 –3

2 1B =A =

Equações como essa podem ser resolvidas, também, como

se fossem equações algébricas. Veja.

3.X – A = 2B 3.X = A + 2B X = (A + 2B) 1

3

X = =–3 –63 6

1 3 21

–2–1


49/75

Propriedades da adição

de matrizes

P i d d d di ã d i


50/75

Propriedades da adição de matrizes

Suponha que A, B e C sejam matrizes de mesmo tipo

e que O seja a matriz nula de mesmo tipo daquelas.Valem, para a adição, as seguintes propriedades:

Associativa: (A + B) + C = A + (B + C)

Comutativa: A + B = B + A Existência do elemento neutro, a matriz O, tal

que A + O = O + A = A

Existência do elemento oposto de A, a matriz –A

tal que A + (–A) = O. (A + B)t = At + Bt


51/75

Multiplicação de

matrizes

M lti li ã d M t i


52/75

Multiplicação de Matrizes

O colégio Tales e o colégio Platão distribuem em

cada bimestre letivo, um total de 10 pontos pormatéria. No entanto, os pesos em cada bimestrediferem nos dois colégios. Veja o quadro a seguir

1º B 2º B 3º B 4º B

Tales 1 2 3 4

Platão

2 2 3 3

Peso por bimestre em cada colégio

M lti li ã d M t i


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Dois alunos das duas escolas, que eram amigos,

resolveram comparar a soma dos pontos obtidos emMatemática no seu colégio com a que teriam obtido,caso estudasse no outro colégio.

André Pedro

1º B 6 9

2º B 5 8

3º B 7 64º B 8 5

Nota de cada aluno por bimestre

M lti li ã d M t i


54/75


Veja o total de pontos que cada um teria feito,

estudando no colégio Tales.André Pedro

1º B 6 9

2º B 5 8

3º B 7 64º B 8 5


Tales

1 2 3 4

Platão 2 2 3 3

André: 1.6 + 2.5 + 3.7 + 4.8 = 6 + 10 + 21 + 32 = 69

Pedro: 1.9 + 2.8 + 3.6 + 4.5 = 9 + 16 + 18 + 20 = 63

M lti li ã d M t i


55/75


Veja o total de pontos que cada um teria feito,

estudando no colégio Platão.André Pedro

1º B 6 9

2º B 5 8

3º B 7 64º B 8 5


Tales

1 2 3 4

Platão 2 2 3 3

André: 2.6 + 2.5 + 3.7 + 3.8 = 12 + 10 + 21 + 24 = 67

Pedro: 2.9 + 2.8 + 3.6 + 3.5 = 18 + 16 + 18 + 15 = 67



56/75


O quadro a seguir sintetiza os resultados.

André Pedro

Tales 69 63

Platão 67 67

Pontos de cada aluno por colégio



57/75

1 2 3 4

2 2 3 3

6 9

5 8

7 6

8 5


Vemos escrever, agora, as matrizes A, B e C,

associadas aos três quadros anteriores.

Matriz dos pesos: A =

Matriz das notas: B =

Matriz dos pontos: C = 69 63

67 67

c12 = 1.9 + 2.8 + 3.6 + 4.5

c12

= 9 + 16 + 18 + 20

c12

= 63

C = A.B

Multiplicação de Matrizes Definição


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Multiplicação de Matrizes - Definição

Sob certas condições, definem-se a multiplicação

de matrizes. Dadas duas matrizes A e B

Existe o produto AB (ou A.B) se, e somente se, onúmero de colunas de A (1ª matriz) é igual ao

número de linhas de B (2ª matriz);

Existindo a matriz AB, ela tem o número de linhasde A (1ª matriz) e o número de colunas de B (2ª

matriz).

Multiplicação de Matrizes Definição


59/75

A é matriz m x n

Multiplicação de Matrizes - Definição

Observe o esquema.

B é matriz n x p

iguais existe AB

AB é do tipo m x p

Exemplos


60/75

Exemplos

Dado as matrizes A e B abaixo, mostrar que é

definido e obter o produto AB.

–3 1 0

2 4 –2

–1 2

3 5

–2 6

B =A =

A é matriz 2 x 3

B é matriz 3 x 2

iguais existe AB

AB é do tipo 2 x 2

x11 x12

x21 x22AB =

Exemplo


61/75

Exemplo



–3 1 0

2 4 –2

–1 2

3 5

–2 6

B =A =

Cálculo de x11:

x11 = –3.(–1) + 1.3 + 0.(–2) = 3 + 3 + 0 = 6

Cálculo de x12:

x12 = –3.2 + 1.5 + 0.6 = –6 + 5 + 0 = –1

Exemplo


62/75

Exemplo



–3 1 0

2 4 –2

–1 2

3 5

–2 6

B =A =

Cálculo de x21:

x21 = 2.(–1) + 4.3 + (–2).(–2) = –2 + 12 + 4 = 14

Cálculo de x22:

x22 = 2.2 + 4.5 + –2 .6 = 4 + 20 – 12 = 12

Exemplo


63/75

Exemplo



–3 1 0

2 4 –2

–1 2

3 5

–2 6

B =A =

Conclusão:

x11 x12

x21 x22AB =

6 –1

14 12 =

Observação


64/75

Observação

Observe que no caso das matrizes A2x3 e B3x2 do

exemplo anterior, existe o produto BA que é do tipo3 x 3.

Ainda que, em certos casos, tanto AB como BA sejamdefinidos, em geral AB ≠ BA.

Se existirem tanto AB quanto BA e, além disso,AB = BA, dizemos que A e B comutam.

Se A é uma matriz quadrada, existe o produto AA,que também pode ser indicado por A2.


65/75

Propriedades damultiplicação de matrizes

Propriedades da multiplicação de matrizes


66/75

Propriedades da multiplicação de matrizes

Suponha que A, B e C sejam matrizes de mesmo tipoe que O seja a matriz nula de mesmo tipo daquelas.Valem, para a adição, as seguintes propriedades:

Associativa: A(BC) = A(BC)

Distributiva: A(B + C) = AB +AC e

(B + C)A = BA + CA

Seja Am x n, A.In = Im.A

(AB)t = Bt.At


67/75

Equações que envolvemproduto de matizes

Exemplo


68/75

Exemplo

Dado as matrizes A e B abaixo, resolver a equação

matricial AX = B.2 –1

1 1

5

4B =A =

Vamos analisar primeiro de que tipo é a matriz X.

A é matriz 2 x 2

X é matriz m x n

existe AX m = 2

AX é do tipo 2 x n

x

y AX2 x n = B2 x 1 n = 1 X =

Exemplo


69/75

2x – y = 5

x + y = 4

Exemplo

Dado as matrizes A e B abaixo, resolver a equação

matricial AX = B.2 –1

1 1

5

4B =A =

x

y

AX = B

.2 –1

1 1

5

4=

x + y

2x – y

4

5=

x = 3

y = 1

3

1 X =


70/75

Inversa de uma

matriz quadrada

Inversa de uma matriz quadrada


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Dadas as matrizes A e B abaixo, vamos obter os

produtos AB e BA.

AB =

1 1

2 3A =

3 –1

–2 1B =

1

12 3

3

–1–2 1

. =–2 + 3–1 + 1

6 – 63 – 2

=10

01

BA = 3 –1

–2 1

1 1

2 3

. =

–2 + 3

3 – 3

–2 + 2

3 – 2 =

1

0

0

1

Note que AB = BA = I2, matriz identidade de ordem 2.



72/75


AB = BA = I2, matriz identidade de ordem 2.

Dizemos que:

A é a inversa de B (A = B–1);

B é a inversa de A (B = A–1).



73/75


Dizemos que uma matriz quadrada A, de ordem n, éinvertível se, e somente se, existir uma matriz B talque AB = BA = In. No caso a matriz B é chamada deinversa de A e é representada por A–1. Portanto

AA–1 = A–1A = In

Exemplo


74/75

Exemplo

Mostrar que a matriz A abaixo é invertível e obter

sua inversa. 2 –5

1 –3A =

Caso exista, A–1 ela será de ordem 2.a b

c d

A–1 =

AA–1 = I2 2 –5

1 –3.

a b

c d

1 0

0 1=

b – 3d

2b – 5d

a – 3c

2a – 5c =

1 0

0 1

Exemplo


75/75

Exemplo

Mostrar que a matriz A abaixo é invertível e obter

sua inversa. 2 –5

1 –3A =

Resolvendo os sistemas encontramos a = 3, b = –5,c = 1 e d = –2. Logo

2a – 5c = 1

a – 3c = 0

e2b – 5d = 0

b – 3d = 1

a b

c dA–1 =

3 –5

1 –2=

2° ano - matrizes

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