1fase nivel3 gabarito 2010

7/26/2019 1Fase Nivel3 Gabarito 2010

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XXXII Olimpada Brasileira de Matemtica OBMGabarito Nvel 3

XXXII OLIMPADA BRASILEIRA DE MATEMTICAPRIMEIRA FASE NVEL 3 (Ensino Mdio)

GABARITO

GABARITO NVEL 31) E 6) C 11) E 16) D 21) E2) B 7) B 12) C 17) E 22) C3) E 8) D 13) D 18) A 23) B4) E 9) D 14) A 19) C 24) E5) D 10) B 15) D 20) B 25) C

Cada questo da Primeira Fase vale 1 ponto. (Total de pontos no Nvel 3 = 25 pontos). Aguarde a publicao da Nota de Corte de promoo Segunda Fase no site: www.obm.org.br

1. Resposta

( )1241644

4

4

4444

4 22

===

2. Resposta

Qualquer divisor positivo de 358 532 deve ter a forma cba 532 , com a, be cinteiros, 80 a ,

50 b e 30 c . Apenas 120 53245 = dessa forma. Cada um dos outros nmeros possuium fator primo diferente de 2, 3 e 5.

3. Resposta

Somar os nmeros de todas as faces visveis o mesmo que somar todos os nmeros dos dois dados

exceto os dois que esto em faces coladas, ento a soma ser ( ) ba+++ 43212 , onde ae bsoos nmeros nas faces coladas. Essa soma igual a ba20 , que pode assumir qualquer valor entre

12 (a= b= 4) e 18 (a= b= 1), portanto nunca ser 19.

4. Resposta

Quando Ana andar 3/4 da escada, Beatriz ter andado 1/4 da mesma. Isso significa que Ana trs

vezes mais rpida para descer do que Beatriz para subir. Quando Ana andar mais 1/4 da escada e

terminar, Beatriz ter andado mais um tero disso, que 1/12. Assim, Beatriz andou 4/12 da escada,

ento ainda ter que subir 8/12 = 2/3 dela.

5. Resposta

Os tringulos QSR e QTUso semelhantes. Ento, .

22

2/

22

xTU

xx

x

x

TU

QS

QT

SR

TU=

+

==

6. Resposta

Temosxy

xyyx

yxyx

yy

xx

===

1111, mas podemos cancelar a diferena, que

diferente de zero, ento 11

1 =

= xyxy

.


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7. Resposta

Para um nmero ser divisvel por 6, seu algarismo das unidades deve ser par e a soma de seus

algarismos deve ser divisvel por 3. Como a soma dos cinco nmeros 11, que deixa resto 2 ao ser

dividido por 3, conclumos que os dois nmeros que devem ficar de fora devem deixar resto 0 e

resto 2 na diviso por 3, pois h apenas um que deixa resto 1 na diviso por 3. As possibilidades

para os dois algarismos excludos so as seguintes:0 e 2: sem algarismos pares no podemos formar um mltiplo de 6.

0 e 5: podemos formar 132 e 312.

3 e 2: podemos formar 150 e 510.

3 e 5: podemos formar 120, 210 e 102 (012 tem apenas dois algarismos e no serve).

No total, temos 7 nmeros.

8. Resposta

Seja do mdcde todos esses nmeros. A cada 5 nmeros mpares consecutivos h algum divisvel

por 5, e por serem mais de 3 h tambm algum divisvel por 3. Assim sendo, sempre temos o fator

15 nesses nmeros, ento 15d . Como d deve dividir o mdc dos nmeros 97531 e

1917151311 , que igual a 15, ento 15d . Logo, d= 15.

9. Resposta

Prolongue QR at encontrar o segmento XS. Atravs da figura, podemos encontrar o valor do

ngulo externo do polgono, que deve ser 360 dividido pelo nmero de lados n.

273

403604031801403 =

=

==+ n

nee

10. Resposta

Se a afirmao falsa fosse de Cernaldo ou de Dernaldo, significaria que Arnaldo e Bernaldo fizeram

afirmaes verdadeiras. Mas se Bernaldo tivesse todas as cartas vermelhas, s haveria 3 nmeros

disponveis para Arnaldo pegar. Ento, a afirmao falsa s pode ser de Arnaldo ou de Bernaldo.

Se a afirmao falsa foi de Arnaldo, Bernaldo deve ter as 5 cartas vermelhas, ento sobram as 5cartas verdes para Cernaldo. Mas assim no h como Dernaldo possuir 3 cartas de um mesmo

nmero. A afirmao falsa no pode ser de Arnaldo.

Se a afirmao falsa foi de Bernaldo, ento podemos montar a seguinte tabela de cartas e assinalar a

inicial de quem possui cada uma

1 2 3 4 5

Azul A B B D D

Amarelo A B B D D

Verde A C C B D

Vermelho A C C C A


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Assim, s Bernaldo pode ter feito a afirmao falsa.

11. Resposta

Segundo a equao correta, quando y = 0, temos x = -3, e quando x = 0, temos y = 6, assim a reta

deveria passar pelos pontos (-3, 0) e (0, 6). Ao trocar os eixos de lugar, as coordenadas de cada

ponto so trocadas, ento a reta que Esmeralda desenhou passa por (0, -3) e (6, 0).

12. Resposta

Vamos calcular os valores das alternativas na base decimal:

3/1 = 3 5/2 = 2,5 8/3 = 2,66... 13/5 = 2,6 18/7 = 2,57...

Sabemos que 262= 676 e 272= 729. Vamos procurar o algarismo decimal depois da vrgulaxdo

nmero 26,x que faa uma aproximao melhor da raiz de 700.

1002,56761026

22 x

x

x

++=

+

Vamos escolher x tal que 5,2x fique prximo de 23. Usamos, por exemplo, x= 4, assim ficamos

com a aproximao 9696,664,296,6964,26 22 == . Com essa aproximao de 7 , que tem dois

dgitos depois da vrgula, j possvel concluir que 8/3 o nmero mais prximo de 7 .

13. Resposta

Os tringulos BNM e BAC so semelhantes pelo caso LAL, ento os segmentos AC e NM soparalelos. Assim, os ngulos NMP e MPC devem ser iguais, e como MPC igual a 90, temos que

NMP tambm igual a 90.

14. RespostaIremos representar os trs tringulos com as letras da bssola: O, N,L. Para desenhar qualquer lado de um

tringulo, somos obrigados a desenhar todos os outros lados. A princpio devemos escolher uma ordem para

desenhar os tringulos. Podemos fazer isso de 6 maneiras que correspondem as permutaes possveis das

letras O,Ne L. Podemos desenhar cada tringulo de duas maneiras a partir do ponto central, logo o total de

maneiras de desenharmos a figura 6 2 2 2 = 48.


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15. Resposta

As faces destacadas, partilham um vrtice com a face marcada com 1, portanto no podem ser

iguais a 1. Assim, observando o vrtice P, Y = 1. Logo as casas marcadas com * so 2 e 5, em

alguma ordem, e, observando o vrtice Q,X= 1.

Por fim, no vrticeR, ,4W de modo queZ= 4.

16. Resposta

Como 0a e 0b , ento 110 2333


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19. Resposta

Seja M o ponto mdio de BC como ,2=BX

CX BCCX

3

2= e ,

3

1BCBX= de modo que

.2

1

6

1

3

1

2

1BXBCBCBCBXBMXM ====

Assim, ,2==XM

BX

AZ

BZde modo que .

3

2

2

13

1

~ ===

BC

BC

BM

BX

MA

XZBMABXZ

Logo os lados deXYZ so iguais a3

2das medianas deABC. Assim,XYZe o tringulo cujos lados

so congruentes s medianas de ABC so semelhantes de razo3

2e a razo entre suas reas

.94

32

2

=

20. Resposta

Seja s(A) a soma dos produtos dos elementos de cada subconjunto de A. Para cada escolha de um

produtoxsem o fator 10 existe outro produto com o fator 10, que 10x, assim podemos dizer que

s({1;2;...;10}) = s({1;2;...;9}) + 10 s({1;2;...;9}) = 11 s({1;2;...;9}). De forma anloga, temos que

s({1;2;...;9}) = s({1;2;...;8}) + 9 s({1;2;...;8}) = 10 s({1;2;...;8}), e assim por diante.

Assim, s(A) = 11 s({1;2;...;9}) = 11 10 s({1;2;...;8}) = ... = 11 10 ... 3 s({1}) = 11!.

21. Resposta

Observe as seguintes desigualdades:

( ) ( ) 66332010320132010201201020102010 1010.101005.10241005.22010 =>== 804020102010 10100002010 =<

Podemos concluir que 8040log6633


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Agora, observe as seqncias 12, 22, 32, 42, ... e 101, 102, 103, 104, ... . A segunda sequncia possui

razo 10 entre termos consecutivos, enquanto que na primeira a razo no mximo 4, assim

podemos afirmar que 210 NN > para todo inteiro positivoN. Ento:

( )( )( ) ( )( ) ( ) nn nnnnnnnn 22 log1.2).1(...)2.(3)1.(2.1)!( >=

Essas desigualdades se devem a ( ) nkkn + .1 para todo ktal que nk1 e

( ) ( ) nnm nnnnm 222 loglog10 >>>

22. RespostaNenhum dos inteiros em questo uma potncia de um primoppois caso contrrio todos os outros inteiros

teriam o fatorpem comum e isso no permitido. Logo dpossui pelo menos dois fatores primos distintos.

Alm disso, um dos nmeros a, b, c, d mpar; caso contrrio mdc (a, b, c, d) = 2. Assim, como o menornmero mpar com dois fatores primos distintos 15, .15d Para d= 15, temos como exemplo a= 6, b= 10, i= 12 e d= 15.

23. Resposta

Pela desigualdade das mdias aritmtica e geomtrica, temos que ++ 3 22

3

2xy

yyx

( )4222

3

2 23 23 2 +

xyxyxyyx

, com possibilidade de igualdade sex= 1 ey= 2.

24. Resposta

O ngulo RPQ agudo se, e somente se, P est fora da circunferncia com dimetro RQ. Aprobabilidade pedida a razo entre a rea da regio externa circunferncia (e interna ao

quadrado) e a rea total do quadrado. Sendo 2r o valor do lado do quadrado, a probabilidade

( )

( ) 81

2

2/2

2

22 =

r

rr.

25. Resposta

Observe que 381849221 22 == , portanto s nos resta verificar se possvel obter os inteiros 1

e 2. Se 221 22 =nm , precisamos ter m e n com a mesma paridade. Se ambos forem pares, o

resultado ser divisvel por 4. Se ambos forem mpares, o resultado tambm ser divisvel por 4,

pois ( ) ( ) 20448484121221 2222 ++=++ bbaaba , portanto nunca poder ser 2. Se

173121 2222 +== nmnm , teramos que 12 +n mltiplo de 3, mas nenhum nmero dessa

forma mltiplo de 3:

1913 22 +=+= knkn

269113 22 ++=++= kknkn

5129123 22 ++=++= kknkn

Isso nos permite dizer que o menor valor positivo 3.

1fase nivel3 gabarito 2010

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