(1ª apostila) desenho tÉcnico

SERVIÇO PÚBLICO FEDERAL

INSTITUTO FEDERAL DE EDUCAÇÃO, CIÊNCIA E TECNOLOGIA DO PARÁ

CAMPUS BRAGANÇA

Professor Gustavo da Silva Salles, Curso Técnico em Edificações, Notas de Aula de Desenho Técnico. Página 1

Curso: Técnico em Edificações.

Professor: Gustavo da Silva Salles.

Disciplina: Desenho Técnico.

Carga Horária: 60 h.

Ementa: 1- Desenho Técnico e a Expressão Gráfica: Considerações e Importância do Desenho

Técnico, Normalização, O Quadro de Linhas, Formatos de Papel, Rótulo/Carimbo/Legenda, Margens e Molduras, Dobragem, Caligrafia Técnica.

2- Instrumentos e Materiais de Desenho: Aplicações dos Instrumentos e Materiais de

Desenho (prancheta, lapiseira, borracha, réguas “T” e paralela, esquadros, transferidor, escalímetro, compasso).

3- Desenho Geométrico e Construções Fundamentais:

3.1- Retas Perpendiculares, Paralelas e Convergentes; 3.2- Ângulos, Transporte e Divisão; 3.3- Divisão de Segmentos de Reta; 3.4- Circunferências e Círculos: Conceitos e Classificações, Reestabelecimento do

Centro, Divisão; 3.5- Concordância: Concordância de Retas com Curvas, Concordância de Curvas

com Curvas; 3.6- Triângulos, Quadriláteros e Polígonos.

4- Escalas: Escalas Numéricas e Escalas Gráficas; Escalas de Redução, de Ampliação e

Naturais. 5- Cotagem. 6- Vistas Ortográficas: Projeções de Vistas Ortogonais, Projeções de Sólidos. 7- Perspectivas. 8- Seccionamento.

Bibliografia:

Básica:

o NEIZEL. Desenho Técnico para Construção Civil 01. Editora EPU. o J. DE TOLEDO PIZA; ALMEIDA NETO. Desenho Técnico para Construção

Civil 02. Editora EPU. o MARCHESI JÚNIOR, ISAÍAS. Curso de Desenho Geométrico, Volumes I e II.

São Paulo: Editora Ática 2006. ISBN 85 08 07014 4. Complementar:

o SILVA ARLINDO, CARLOS TAVARES, JOÃO SOUZA E LUIS. Desenho Técnico Moderno. Editora LTC (Grupo GEN).

o VENDITTI, MARCOS VINÍCIUS DOS REIS. Desenho Técnico sem Prancheta com AutoCAD 2010. Editora Visual Books 2010.



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Capítulo 1: Desenho Técnico e a Expressão Gráfica.

Objetivos:

Após estudar este capítulo, o discente deverá estar apto a:

Discernir desenho técnico e desenho artístico.

Reconhecer a necessidade de aprender desenho técnico como forma de

comunicação.

Explicar a necessidade das normas de desenho técnico.

Enunciar as vantagens do desenho assistido por computador.

Escolher adequadamente o formato e a orientação da folha de papel.

Estabelecer as margens e molduras para a folha de desenho.

Dobrar corretamente os desenhos e identificar um desenho através da respectiva

legenda.

Aplicar adequadamente, nos capítulos subsequentes, os tipos e espessuras de linhas

convenientes para cada caso.

Usar adequadamente a escrita normalizada nas informações indicadas nos

desenhos.



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1 – Desenho Técnico e a Expressão Gráfica.

1.1 – Considerações e Importância do Desenho Técnico.

O homem se comunica por vários meios, tendo como os mais importantes a fala, a escrita e o desenho, que constituem a forma mais antiga de registro e comunicação de informação.

Embora tenham sofrido muitas mudanças, ao longo do tempo, em seu modo de representação, nunca foram substituídos por outra forma de comunicação.

A expressão gráfica e o desenho em geral satisfazem aplicações muito diversas e estão presentes em praticamente toda atividade humana.

A comunicação gráfica é tão antiga quanto o homem e tem seu desenvolvimento paralelo ao da tecnologia. Desde a antiguidade o homem se comunica e se expressa através de simbologias diversas. O homem primitivo usava a pintura para retratar aspectos de sua vida cotidiana. O povo egípcio desenvolveu sua escrita baseada em símbolos. A escrita oriental é, também, baseada em símbolos abstratos.

O desenho artístico é uma forma de representar as ideias de quem o fez, através do qual é possível conhecer a história dos povos antigos, sua técnica de representação e, até mesmo, reconstituir sua história.

Quando se deseja transmitir uma imagem sem grande ênfase na quantificação das dimensões do objeto pode-se estar perante um desenho artístico. Entretanto, se o desenho for destinado a descrever com rigor a forma e as dimensões do objeto representado, bem como aspectos relevantes para sua produção, estaremos diante de um desenho técnico, sendo assim chamado por se tratar de um tipo de representação usado por profissionais de uma mesma área: engenharia, arquitetura, marcenaria, serralheria.

O desenho costuma ser menosprezado como uma área dentro da engenharia, entretanto é uma ferramenta imprescindível para o nosso dia-a-dia, quer sejamos engenheiros, arquitetos, médicos ou outro tipo de profissional.

Novos produtos (edificações, móveis, equipamentos) nascem da ideia de um engenheiro, de um arquiteto ou de um técnico, sob a forma de imagens no pensamento, que são materializadas através de desenhos. Estes desenhos são usados para criar, transmitir, guardar e analisar informações. São uma ferramenta de trabalho para tais profissionais, tal qual a batuta para o maestro, sem eles não conseguimos nos expressar completamente.

Não obstante, o aparecimento e o desenvolvimento de outros meios de comunicação, desde o surgimento da escrita, até aos que a evolução tecnológica proporciona a representação de imagens, prevalecem e assumem lugar de destaque no âmbito da comunicação e do registro.

A transmissão de ideias é, a priori, transmitida através de esboços medianamente elaborados e, em fases seguintes, ganham complexidade. À medida que evoluem e ganham forma, podem passar a ter suportes de informática como o CAD (Computer Aided Design – desenho assistido por computador), gerando desenhos mais perfeitos e precisos. Usadas interfaces adequadas entre CAD, CAE (Computer Aided Engineering – engenharia assistida por computador) e CAM (Computer Aided Manufacturing - manufatura assistida por computador), o intervalo de tempo entre a ideia original e o produto final reduz-se consideravelmente, acarretando redução de custos de desenvolvimento.



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1.2 – Normalização.

Para que o desenho técnico seja universalmente entendido sem ambiguidades, é necessário que obedeça a determinadas regras e convenções, de forma que todos os envolvidos neste processo “falem a mesma língua”. Para uniformizar o desenho, existem as normas de desenho técnico, que são um conjunto de regras ou recomendações a serem seguidas, quando da execução ou da leitura de um desenho técnico.

Existem vários organismos, nacionais e internacionais que produzem normas associadas ao desenho técnico. No nível europeu as normas de maior aceitação e aplicação são as Euro-Normas (EN), semelhantes, em geral, às normas ISO (International Organization for Standardization). No continente americano, as normas ANSI (American National Standards Institute) são as normas de aplicação quase exclusiva.

Existem também, em países, organismos ligados à normalização. Em Portugal, IPQ (Instituto Português de Qualidade) produz normas com o prefixo NP. Da mesma forma na Inglaterra é o BSI (British Standards Institute), prefixo BS; na Alemanha DIN (Deutsche Industrien Normen); no Brasil ABNT (Associação Brasileira de Normas de Trabalho), prefixo NB.

1.3 – O Quadro de Linhas.

Tabela 1.1 – O Quadro de Linhas.

1.4 – Formatos de Papel.

Os formatos de papel e sua orientação encontram-se regulamentados nas normas

internacionais ISO 5457 : 1980 e ISO 216 : 1975. As dimensões dos formatos de papel da série A

(tabela 1.2), de acordo com a ISO 216, são indicadas abaixo e tem por base o tamanho A0, cuja

área é de 1 m². O lado maior de cada formato é igual ao lado menor do formato seguinte. O

lado maior do formato seguinte é o dobro do lado menor do formato anterior. Para cada um

dos formatos, a razão dos lados é 2 , que é a mesma razão usada para os caracteres da escrita

normalizada (figura 1.1).

Os diferentes formatos podem ser obtidos a partir do formato A0 por divisão sucessiva.



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Em casos excepcionais, quando é necessário um formato especial de folha, podem ser

usados os formatos alongados, em que o comprimento é o fator multiplicativo indicado na

primeira coluna, multiplicado pelo menor comprimento da folha original (tabela 1.3).

Figura 1.1 – Dimensão relativa dos diferentes formatos da série A.

Tabela 1.2 – Formatos de papel da série A. Tabela 1.3 – Formatos alongados da série A.



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1.5 – Rótulo/Carimbo/Legenda.

Legenda é uma zona que contém um ou mais campos, delimitada por um retângulo,

onde são expostas as informações relativas ao desenho, como a identificação dos

projetistas/desenhistas, da empresa proprietária, o nome do projeto e outros dados (figura 1.2).

A ISO 7200 : 1984 define as dimensões máximas da legenda e as informações facultativas

e obrigatórias que deve conter.

De acordo com a ISO 5457, a legenda deve localizar-se no canto inferior direito da folha

de desenho, dentro da área de trabalho, para as folhas deitadas e em pé, indicadas nas figuras

1.3 e 1.4, respectivamente.

Figura 1.2–Legenda.

Figura 1.3–Posição da legenda – folha deitada.

Figura 1.4–Posição da legenda – folha em pé.



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1.6 – Margens e Molduras.

A área de trabalho em uma folha de desenho é delimitada pela moldura. A moldura é

um retângulo a traço contínuo grosso, de espessura mínima 0,5 mm (ISO 5457). A posição da

moldura na folha é definida pelas dimensões das margens.

As margens são os espaços compreendidos entre a moldura e os limites da folha de

desenho, sendo zonas interditadas, nas quais não é permitido desenhar. As dimensões das

margens são normalizadas e as dimensões mínimas a serem consideradas dependem do formato

do papel, sendo 20 mm, para A0 e A1 e 10 mm, para A2, A3 e A4.

Na maioria dos casos, estes valores são suficientes para que a impressora “agarre” a folha,

mas para alguns dispositivos de impressão estes valores podem ser reduzidos para 10 mm e 7

mm, respectivamente.

A margem para furação deve ter no mínimo 20 mm e localizar-se na margem à

esquerda da legenda.

Todos estes detalhes são exemplificados na figura 1.5.

Figura 1.5 – Margens e Molduras.



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1.7 – Dobragem.

As cópias dos desenhos maiores que A4 devem ser dobradas e colocadas em pastas.

Depois de dobrada, a folha de desenho deve ter as dimensões do formato A4, com a legenda no

canto inferior direito perfeitamente visível, tanto para folhas com desenhos dispostos em pé ou

deitados.

A figura 1.6, ilustra a forma de efetuar os dobramentos dos diversos formatos, de acordo

com a norma NBR 13142.

Figura 1.6 – Dobramento de desenhos realizados na posição deitado.



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1.8 - Caligrafia Técnica - Escrita Normalizada.

Toda a informação inscrita em um desenho, sejam algarismos ou outros caracteres, deve ser apresentada em escrita normalizada. Isto é válido, quer para a realização de um esboço a mão livre, quer para a realização de um desenho num sistema de CAD. Com a utilização de CAD, o projetista ou desenhista tem a sua vida facilitada, porque todos os programas contêm estilos de texto normalizados, os quais podem ser facilmente selecionados. A utilização de escrita normalizada tem como objetivos básicos a uniformidade, a legibilidade e a reprodução de desenhos sem perda de qualidade.

Na família de normas ISO 3098 são definidas as características da escrita normalizada. A altura da letra maiúscula (h, na figura 1.7) é a dimensão de referência em relação a

qual são definidas todas as outras dimensões dos caracteres. A gama de alturas normalizadas h é a seguinte: 2,5 - 3,5 - 5 - 7 - 10 - 14 - 20 mm.

Note-se que esta gama corresponde a uma progressão geométrica de razão 2 que é a mesma razão usada nos formatos de papel série A.

Na figura 1.7, é apresentado um exemplo de escrita normalizada, sendo identificadas as

suas características, as quais estão definidas nas tabelas 1.4 e 1.5 para os tipos de letra A e B.

Estes dois tipos de letra correspondem às razões normalizadas d/h de 1/14 e 1/10, que conduzem a um número mínimo de espessuras de linhas. A espessura de linhas é a mesma para letras maiúsculas e minúsculas.

As normas ISO 3098 partes 2 e 3 definem ainda a escrita de caracteres gregos e caracteres especiais da escrita latina, como a acentuação usada na língua portuguesa.

Deve-se observar, para efeito de execução dos caracteres em desenho técnico, o que preconiza a NBR 8402/1994 (figuras 1.8 e 1.9).

ABCDEFGHIJKLMNOPQRSTUVXYZ

1234567890 Abcdefghijklmnopqrstuvxyz

Figura 1.7 – exemplo de escrita normalizada.



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Figura 1.8 – Forma da escrita vertical.

Razão

altura das letras maiúsculas h (14/14)h 2,5 3,5 5 7 10 14 20

altura das letras minúsculas c (10/14)h - 2,5 3,5 5 7 10 14

espaçamento entre caracteres a (2/14/)h 0,35 0,5 0,7 1 1,4 2 2,8

espaço mínimo entre linhas b (20/14)h 3,5 5 7 10 14 20 28

espaço mínimo entre palavras e (6/14)h 1,05 1,5 2,1 3 4,2 6 8,4

espessura das linhas d (1/14)h 0,18 0,25 0,35 0,5 0,7 1 1,40

Razão

altura das letras maiúsculas h (10/10)h 2,5 3,5 5 7 10 14 20

altura das letras minúsculas c (7/10)h - 2,5 3,5 5 7 10 14

espaçamento entre caracteres a (2/10/)h 0,5 0,7 1 1,4 2 2,8 4

espaço mínimo entre linhas b (14/10)h 3,5 5 7 10 14 20 28

espaço mínimo entre palavras e (6/10)h 1,5 2,1 3 4,2 6 8,4 12

espessura das linhas d (1/10)h 0,25 0,35 0,5 0,7 1 1,40 2

Características Dimensões (mm)

Tabela 1.4 Características da letra normalizada tipo A

Tabela 1.5 Características da letra normalizada tipo B

Características Dimensões (mm)



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Figura 1.9 – Forma da escrita inclinada.

Existem, ainda, formas simplificadas de se produzir caligrafia técnica conforme

demonstrado na figura 1.10.

Escolha a altura h das letras maiúsculas.

Divida a altura em três partes iguais, trace a pauta e acrescente 1/3 para baixo.

O corpo das letras minúsculas ocupa 2/3 da altura e a perna ou a haste ocupa 1/3

para cima ou para baixo.

Figura 1.10 – Desenho simplificado da caligrafia técnica.



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Capítulo 2: Instrumentos e Materiais de Desenho.

Objetivos:


Reconhecer os principais materiais de desenho e descrever suas aplicações e

utilidades.



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2 – Instrumentos e Materiais de Desenho.

2.1 – Aplicações dos Instrumentos e Materiais de Desenho.

O projetista ou desenhista precisa de diversos instrumentos e materiais de desenho para o bom desempenho de sua atividade. No comércio são encontrados os mais variados tipos desses materiais, mas o que importa de fato é saber utilizá-los. Dentre os principais, encontram-se a prancheta, a lapiseira, a borracha, as réguas “T” e paralela, os esquadros, o transferidor, o escalímetro e o compasso.

Muitos destes, por serem de uso também escolar, já são velhos conhecidos dos estudantes, entretanto vale descrever suas aplicações e utilidades.

Prancheta: espécie de mesa, composta por cavalete articulável, geralmente de

madeira ou aço, tampo e revestimento plástico, que serve de apoio para a folha de desenho. Trabalha-se com ela associada a um banco giratório de altura ajustável.

Figura 2.1 – Prancheta. Figura 2.2 – Bancos. Figura 2.3 – Prancheta A3.

Lapiseira: utensílio de desenho formado por tubo plástico ou metálico, onde se

armazena e encaixa um pequeno cilindro de polímero ou grafite que se usa como lápis, com a finalidade de desenhar.

Figura 2.4 – Lapiseiras.



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Borracha: são utensílios feitos de polímeros ou outros materiais como o látex, para

apagar traços de desenho.

Figura 2.5 – Borracha de vinil.

Régua “T” e paralela: as réguas “T” e paralela servem para apoiar a lapiseira

durante o traçado de retas paralelas horizontais e, também, apoiam os esquadros durante o traçado de retas verticais e oblíquas.

Figura 2.6 – Réguas “T” e paralela.

Esquadros: instrumento triangular de acrílico, para formar ou medir ângulos e

auxiliar no traçado de linhas perpendiculares. Observe que a hipotenusa do

primeiro tem o mesmo comprimento do cateto do segundo.

Figura 2.7 – Par de esquadros.



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Transferidor: instrumento circular ou semicircular de acrílico, para medir ângulos,

com o limbo dividido em 180° ou 360°.

Figura 2.8 – Transferidor 360°. Figura 2.9 – Transferidor 180°.

Escalímetro: instrumento usado para medição de desenhos em diferentes escalas.

Possui três faces e seis escalas ou graduações.

Figura 2.10 – Escalímetro triangular. Figura 2.11 – Escalímetro de bolso.

Compasso: instrumento para traçar circunferências e marcar medidas.

Figura 2.12 – Compasso técnico com adaptador para lapiseira.



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Capítulo 3: Desenho Geométrico e Construções Fundamentais.

Objetivos:


Reconhecer e executar o traçado de retas perpendiculares, paralelas e

convergentes, através dos principais métodos.

Traçar, dividir e transportar ângulos sobre a folha de desenho.

Dividir precisamente segmentos de reta.

Discernir circunferência e círculo, estabelecendo seus conceitos e classifica-los.

Reestabelecer o centro de um círculo e dividi-lo em n partes, utilizando-se dos

métodos apresentados.

Traçar concordâncias de retas com curva e de curvas com curvas, a partir dos

métodos ensinados.

Traçar, a partir do uso dos utensílios de desenho, triângulos, quadriláteros e

polígonos.



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3 – Desenho Geométrico e Construções Fundamentais. Em Desenho Geométrico, chamamos de fundamentais as construções que servem de base

para outras mais complexas. 3.1 – Retas Perpendiculares, Paralelas e Convergentes. 3.1.1 – Retas Perpendiculares: são aquelas que se interceptam formando quatro

ângulos retos. Podem ocorrer quatro casos. 1º Caso: a perpendicular passa por um ponto pertencente à reta dada. Dados a reta r e o ponto P (P ∈ r), trace uma reta s perpendicular a r no ponto P.

: Com uma abertura qualquer, centramos o compasso no ponto P e marcamos os pontos

auxiliares 1 e 2 na reta r. Aumentando sua abertura, centramos o compasso no ponto 1 e traçamos um arco. Com a

mesma abertura, centramos o compasso no ponto 2 e traçamos outro arco. A intersecção dos dois arcos nos dará o ponto 3.

A reta que passa pelo ponto P e pelo ponto 3 é a reta s procurada.

2º Caso: a perpendicular passa por um ponto não pertencente à reta dada. Dados a reta r e o ponto P (P ∉ r), trace uma reta s perpendicular a r que passe pelo

ponto P.

Construção:

Com uma abertura qualquer, centramos o compasso no ponto P e marcamos os pontos 1 e 2 na reta r.



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Com uma abertura qualquer centramos o compasso nos pontos 1 e 2 e traçamos dois arcos que se interceptam no ponto 3.

A reta que passa pelo ponto P e pelo ponto 3 é a reta procurada.

3º Caso: a perpendicular passa no ponto médio do segmento de reta e, neste caso,

recebe o nome de mediatriz, simbolizada por mtz. Trace a mediatriz do segmento AB=70 mm. Construção: Com abertura maior do que a metade de AB, centramos o compasso em uma das

extremidades do segmento e traçamos um arco. Repetimos o processo na outra extremidade de AB, traçando outro arco. A intersecção dos dois arcos resulta os pontos auxiliares 1 e 2.

A reta que passa pelos pontos 1 e 2 é a mediatriz procurada.



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3.1.2 – Retas Paralelas: são aquelas que não possuem pontos em comum, por não se

interceptarem e manterem, em quaisquer de seus pontos, a mesma distância entre si. Podem ocorrer dois casos.

1º caso: a paralela passa por um ponto dado. Dados a reta r e o ponto P, trace a reta s paralela a r no ponto P.

Construção: 1º Processo: Com uma abertura qualquer, centramos o compasso no ponto P e traçamos um arco que

determine na reta r o ponto auxiliar 1. Com a mesma abertura, centramos o compasso no ponto 1 e traçamos um arco que

determine em r o ponto auxiliar 2. Abrimos o compasso com medida igual à distância de 2 a P. Transportamos essa medida

para o outro arco, a partir do ponto 1, obtendo assim o ponto 3. A reta que passa pelos pontos P e 3 é a reta procurada.

2º Processo: Marcamos um ponto O (centro) em qualquer lugar da reta r. Centramos o compasso em

O e, com abertura até o ponto P, traçamos um arco, que determinará na reta r os pontos auxiliares 1 e 2.

Com o auxílio do compasso, transportamos a distância 2P para o outro arco, a partir do ponto 1, obtendo o ponto 3. A reta que passa pelos pontos P e 3 é a reta procurada.



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3º Processo: Com uma abertura qualquer, centramos o compasso no ponto P e traçamos um arco que

determina na reta r o ponto auxiliar 1. Com a mesma abertura centramos o compasso no ponto 1 e marcamos em r o ponto

auxiliar 2. Ainda com a mesma abertura, centramos o compasso no ponto 2 e marcamos no arco o ponto 3. A reta que passa pelos pontos P e 3 é a reta procurada.

4º Processo: Traçamos uma reta perpendicular a r em P, obtendo o ponto auxiliar 1. Marcamos na reta r, em qualquer lugar, um ponto auxiliar 2. Nesse ponto, traçamos uma

perpendicular a r. Transportamos a distância P1 para a outra perpendicular, a partir de 2, obtendo o ponto

3. A reta que passa pelos pontos P e 3 é a reta s procurada.

2º Caso: a paralela passa a determinada distância da reta dada.

Trace o par de paralelas r’ e r” distantes 2 cm da reta r.

Construção: Marcamos na reta r dois pontos auxiliares distintos quaisquer 1 e 2. Em cada ponto,

traçamos uma reta perpendicular a r. Nas perpendiculares, a partir de r, marcamos para os dois lados a distância desejada,

neste caso 2 cm, obtendo os pontos 3, 4, 5 e 6. As retas que passam por 3 e 5 e por 4 e 6 são as paralelas r’ e r” procuradas.



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3.1.3 – Retas Convergentes ou Oblíquas: são aquelas que se interceptam formando

ângulos diferentes de 90°. Trace a reta s, oblíqua a r no ponto P, formando o ângulo de 60°. Lembremos que para

marcar sobre um arco um ângulo de 60°, usamos o próprio raio do arco, seja ele qual for.

Construção: Traçamos um arco qualquer de centro P. Com o compasso, transportamos a medida do

raio para o arco, determinando o ponto auxiliar 1. A reta que passa pelos pontos P e 1 é a reta s procurada.

3.2 – Ângulos, Transporte e Divisão.

3.2.1 – Ângulo.

É arco formado pela região interna de duas semirretas de mesma origem. Possui como

elementos o vértice e os lados. O vértice é o ponto de origem das semirretas e os lados são as

próprias semirretas.

São identificados pela notação AÔB, que indica que o ângulo tem vértice O e lados AO e

OB. Sua medida mais empregada é o grau e indica o tamanho da abertura formada entre as

duas semirretas. Tem como submúltiplos o minuto e o segundo, de forma que um grau tem

sessenta minutos (1° = 60’) e, um minuto, sessenta segundos (1’ = 60”).



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3.2.2 – Transporte.

Quando tomamos uma medida angular de uma construção geométrica com o auxílio do

compasso e a aplicamos sobre outra, estamos transportando tal medida. Resumidamente,

transporte é a mudança de lugar de determinado ente geométrico por meio do compasso. Tal

processo é extremamente útil para realizarmos operações com ângulos (adição, subtração,

multiplicação e divisão).

Transporte o ângulo α para a semirreta com origem em V’.

Construção:

Com uma abertura qualquer, centramos o compasso em V e traçamos um arco,

determinando os pontos auxiliares 1 e 2, nos lados de α. Com mesma abertura e centro em V’,

definimos o ponto 1’ na semirreta. Tomamos a distância de 1 a 2 em α e a transportamos para o

outro arco a partir de 1’, obtendo o ponto 2’.

Traçando a semirreta com origem em V’ e que passa por 2’, obtemos o ângulo

transportado α .

3.2.3 – Divisão.

Neste tópico trabalharemos com casos em que o divisor é múltiplo de dois, para que

possamos aplicar o processo das bissetrizes.



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Dado o ângulo α, divida-o em quatro partes congruentes.

Construção:

Traçamos a bissetriz de α, dividindo-o em duas partes iguais. Traçando a bissetriz de cada

parte, dividimos o ângulo em quatro partes congruentes.

Para traçar a bissetriz de α, centre o compasso em V com abertura qualquer e trace um

arco obtendo os pontos auxiliares 1 e 2. Centre em 1, trace um arco e repita o processo em 2 de

modo que eles se encontrem no ponto 3. A semirreta obtida ao traçarmos de V e passando por 3

é a bissetriz de α.

Para obtermos a bissetriz de cada parte, traçamos arcos a partir dos centros em 1 e 3 e, 2

e 3, obtendo 4 e 5. As semirretas traçadas de V que passam por 4 e 5 são as bissetrizes

procuradas.

3.3 – Divisão de Segmentos de Reta.

Neste tópico, faremos a divisão de segmentos de reta, através do processo das mediatrizes

e do geral.

1º Processo: Processo das Mediatrizes. Embora seja o mais simples, só pode ser aplicado quando o divisor for múltiplo de 2.



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Dado AB, divida-o em quatro partes congruentes.

Construção:

A mediatriz de AB divide-o em duas partes congruentes. As mediatrizes dessas duas

partes (AC e CB) resultam a divisão pedida.

2º Processo: Processo Geral. Embora seja o mais trabalhoso, permite dividir um segmento de reta em qualquer

número de partes.

Dado AB, divida-o em cinco partes congruentes.

Construção:

Em uma das extremidades do segmento traçamos um ângulo qualquer. Transportamos esse ângulo para a outra extremidade do segmento, com sentido oposto de crescimento.



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Nos lados dos ângulos traçados, marcamos com o compasso unidades congruentes entre si de qualquer tamanho, em quantidade igual ao divisor pedido (5).

Unindo todas as unidades marcadas, em sequência, obtemos um feixe de paralelas que

interceptam o segmento dividindo-o nas partes pedidas.

3.4 – Circunferências e Círculos.

3.4.1 – Conceitos e Classificações.

Conceitos:

Circunferência: é o conjunto de todos os pontos de um plano que estão a mesma

distância de um ponto dado, denominado centro. Círculo: é a reunião da circunferência com sua região interna.

Raio: é a distância do centro a qualquer ponto da circunferência.

Corda: é o segmento de reta que tem suas extremidades na circunferência.

Diâmetro: é a maior corda de uma circunferência, pois passa por seu centro.

Arco: é a parte da circunferência limitada por dois pontos.

Semicircunferência: é a metade da circunferência.



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Classificações:

As circunferências podes ser classificadas, quanto a sua posição relativa a outra circunferência, como tangentes, externas, secantes, internas e concêntricas.

Tangentes: quando se tocarem de forma que possuam um único ponto em comum,

podendo ser tangentes internas ou externas. A condição para tangência é que a distância entre os centros das duas circunferências seja equivalente à soma das medidas de seus raios.

d OC = r1 + r2 d OC = r1 - r2

Externas: quando não se tocarem, não possuindo, assim, pontos em comum. A

condição para que isso ocorra é que a distância entre os centros das circunferências deve ser maior que a soma das medidas de seus raios.



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d OC > r1 + r2 Secantes: quando possuem dois pontos em comum. A condição para que isso aconteça é

que a distância entre os centros das circunferências deve ser menor que a soma das medidas de seus raios.

d CO < r1 + r2

Internas: quando não possuem nenhum ponto em comum, mas uma está dentro da

outra. A condição para que isso ocorra é que a distância entre os centros das circunferências deve ser equivalente à diferença entre as medidas de seus raios.

d OC < r1 - r2

Concêntricas: quando possuem o centro em comum. Nesse caso, a distância entre os

centro é nula.

d CO = 0



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Trace a circunferência que passa pelos pontos A, B e C.

Construção:

Traçamos os segmentos definidos pelos pontos dados e suas respectivas mediatrizes. As três mediatrizes interceptam-se no ponto O, que é o centro da circunferência,

entretanto duas mediatrizes já são suficientes para determinar O.

3.4.2 – Reestabelecimento do Centro.

Determine o centro da circunferência abaixo.

Construção:

Marcamos três pontos quaisquer na circunferência. Traçamos duas cordas definidas por esses pontos e suas respectivas mediatrizes. O ponto onde essas mediatrizes se interceptam é o ponto procurado.



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Determine o centro do arco e complete-o de modo a formar uma circunferência.

Construção:

Marcamos um ponto qualquer (C) no arco. Traçamos duas cordas definidas por esses

pontos e suas respectivas mediatrizes. A intersecção das mediatrizes é o centro O procurado.

Centramos o compasso em O, abrimos até A ou B e completamos a circunferência.

3.4.3 – Divisão da Circunferência.

Divisão da Circunferência em Partes Congruentes com Auxílio do Compasso.

Para dividirmos uma circunferência em partes iguais, utilizamos o conceito de ângulo central.



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Uma circunferência corresponde a 360°. Se a dividirmos em partes iguais (arcos), as cordas definidas também serão congruentes entre si.

Em uma circunferência de 2 cm de raio, construa um triângulo equilátero.

Construção:

Traçamos a circunferência com o raio dado e marcamos nela um ponto auxiliar A qualquer.

Com abertura igual ao raio, centramos o compasso em A e marcamos 60° para cada lado, obtendo os pontos B e C.

Traçando o segmento BC, obtemos l3 , que corresponde ao lado do triângulo equilátero. Centrando em B, transportamos BC na circunferência, obtendo o ponto D. O triângulo BDC é o triângulo pedido.

Divida uma circunferência de 2 cm de raio em quatro partes congruentes e, em seguida,

trace um quadrilátero regular.

Construção:

Traçada a circunferência, desenhamos dois diâmetros perpendiculares entre si, obtendo os pontos A, B, C e D. Unindo os pontos, definimos o quadrilátero pedido.



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Construa o hexágono regular inscrito numa circunferência de 2 cm de raio.

Construção:

O próprio raio permite marcar sobre a circunferência um ângulo de 60°. Transportando a medida do raio, seis vezes consecutivas, obtemos seis ângulos centrais de 60° e seis cordas congruentes, que definem o hexágono regular.

Construa o octógono regular inscrito numa circunferência de 20 mm de raio.

Construção:

Traçamos dois diâmetros perpendiculares, definindo os pontos A, B, C e D. Traçando as bissetrizes dos ângulos formados pelos dois diâmetros, obtemos os pontos E, F, G e H, que dividem a circunferência em oito partes congruentes e determinam as oito cordas que formam o octógono.

Casos Particulares da Divisão da Circunferência.

Para dividir uma circunferência em cinco partes congruentes, é necessário construir um ângulo central de 72°. Contudo, esse Ângulo é de difícil construção com o compasso. Para casos como esse, existem processos particulares que permitem obter a divisão mais facilmente.



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Divida a circunferência em cinco partes congruentes e, em seguida, trace o pentágono regular.

Construção:

Traçamos dois diâmetros perpendiculares, definindo os pontos A, B, C e D na circunferência. Em um dos raios, traçamos a mediatriz, obtendo o ponto E.

Centramos o compasso em E e, com abertura até uma extremidade do outro diâmetro

(A ou B), traçamos um arco que determina o ponto F no diâmetro CD. O segmento FB (ou FA) corresponde ao lado do pentágono regular (l5).

Transportamos esse segmento para a circunferência consecutivamente, obtendo os pontos G, H, I e J, que definem as cinco partes congruentes. Unindo esses pontos, obtemos o pentágono pedido.

Trace o decágono inscrito em uma circunferência de raio 20 mm.

Construção: Aplicamos o processo de divisão em cinco partes até encontrarmos o ponto F. O segmento FO corresponde a l10. Transportamos esse segmento consecutivamente na

circunferência, obtendo os pontos que a dividem em dez partes iguais. Unindo esses pontos, obtemos o decágono pedido.



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Trace o heptágono inscrito em uma circunferência de raio 20 mm.

Construção: Aplicamos o processo para obtenção do segmento l3, definindo os pontos auxiliares A, B e

C. Unindo o centro O ao ponto A, dividimos l3 em duas partes iguais. O segmento MB (ou MC) corresponde a l7.

Transportamos l7 na circunferência sete vezes consecutivamente, determinando os pontos que a dividem em sete partes iguais. Unindo esses pontos, obtemos o heptágono regular pedido.

Trace o eneágono regular inscrito em uma circunferência de raio 2 cm.

Construção: Traçamos dois diâmetros perpendiculares entre si e prolongamos um deles em qualquer

direção. Centramos o compasso em uma das extremidades do outro diâmetro, marcamos um arco

de 60° na circunferência, no mesmo lado em que prolongamos o diâmetro, definindo o ponto E. Centramos o compasso em D, com abertura até E e traçamos um arco que intercepta o

prolongamento do diâmetro AB, definindo o ponto F. Com a mesma abertura e centro em F, traçamos um arco que intercepta AB no ponto G.

O segmento AG corresponde a l9.



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Processo Geral para Divisão da Circunferência ou Processo de Rinaldini.

Este processo permite dividir a circunferência em qualquer número de partes, sendo utilizado, geralmente, para o traçado de polígonos com mais de dez lados.

Construa o tetradecágono regular inscrito na circunferência de raio 2 cm. Construção: Traçamos um diâmetro qualquer, definindo na circunferência os pontos A e B. Com

abertura igual ao diâmetro, centramos o compasso nesses pontos e traçamos dois arcos que determinam os pontos auxiliares C e C’.

Dividimos o diâmetro em número de partes correspondente à metade do número de lados do polígono, neste caso, sete.

Com origem em C e C’, traçamos semirretas que passam por essas divisões do diâmetro e interceptam a circunferência, obtendo catorze arcos congruentes.

Unindo esses pontos de intersecção, encontramos o tetradecágono pedido.



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Construa o pentadecágono regular inscrito na circunferência de raio 2 cm. Construção: Seguimos os passos do exercício anterior, atentando para a divisão da meia unidade.

3.5 – Concordância.

Dizemos que há concordância entre linhas quando uma mudança de direção é feita de forma harmoniosa. Quando isso não ocorre, dizemos que houve discrepância. O traçado de concordância é aplicado em montanhas-russas de parque de diversões, projetos de rodovias e ferrovias, dentre outras.

As condições de concordância são as mesmas de tangência.

Tangência entre reta e circunferência.

Uma reta e uma circunferência são tangentes entre si quando possuem somente um ponto em comum. Neste ponto de tangência, o raio é sempre perpendicular à reta tangente.



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Tangência entre duas circunferências. Duas circunferências são tangentes entre si quando possuem um único ponto em

comum. O centro das duas circunferências e o ponto de tangência sempre são colineares. 3.5.1 – Concordância de Retas com Curvas.

Concordância entre semirreta e arco.

Uma semirreta e um arco de circunferência são concordantes entre si quando possuem um ponto em comum. Neste ponto de concordância, o raio do arco concordante é sempre perpendicular à semirreta concordante.

Trace uma semirreta concordante com o arco AB na extremidade A.

Construção:

Traçamos o raio no ponto onde será feita a concordância (ponto A). Traçamos a perpendicular ao raio no ponto A. Essa perpendicular, de origem em A, é a semirreta procurada.



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Trace os arcos de 2 cm de raio concordantes com a semirreta na sua origem A.

Construção:

No ponto de origem da semirreta (ponto A), traçamos uma reta perpendicular. Na perpendicular, marcamos o raio dado, obtendo o centro dos arcos.

Com o compasso centrado em O1 e aberto até A, traçamos um arco no sentido horário. Repetimos o processo centrando o compasso em O2 e traçamos um arco no sentido antihorário.

Trace um arco que seja concordante com a semirreta na extremidade A e que passe pelo

ponto P.



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Construção:

Traçamos a perpendicular à semirreta em A. Em seguida, traçamos a mediatriz entre A e P. O ponto onde a mediatriz intercepta a perpendicular é o centro procurado.

Com o compasso centrado em O e aberto até A, traçamos o arco AP.

Concordância de duas semirretas através de arcos.

1º Caso: as duas semirretas são paralelas, têm o mesmo nível e o mesmo sentido

de crescimento.

Trace o arco concordante entre as semirretas abaixo, nos pontos A e B.

Construção:

Traçamos a perpendicular nas origens. Marcamos o ponto médio entre A e B, que será o centro do arco. Traçamos o arco concordante com as duas semirretas.



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2º Caso: as duas semirretas são paralelas, têm o mesmo nível, porém apresentam

sentidos opostos de crescimento.

Trace o arco concordante entre as semirretas abaixo, nos pontos A e B.

Construção:

Traçamos a perpendicular nas origens. Em qualquer lugar da perpendicular, marcamos um ponto auxiliar C. Marcando na perpendicular os pontos médios de AC e BC, encontramos os centros O1 e O2.

Centrando o compasso em O1 e O2, traçamos os arcos que fazem a concordância de A com B, passando por C.

Observe que a posição de do ponto C na perpendicular não altera o traçado, mas o formato final da figura obtida.

3º Caso: as duas semirretas não são paralelas, não têm o mesmo nível, mas

apresentam mesmo sentido de crescimento.

Trace os arcos concordantes com origem em A e B, que ligam as semirretas dadas.



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Construção:

Traçamos na extremidade de cada uma das semirretas (pontos de concordância) a reta perpendicular. As duas perpendiculares interceptam-se no centro O1.

Centramos o compasso em O1 e, através de arco concordante, levamos a extremidade de uma das semirretas até a reta da condição da outra semirreta, deixando as duas de mesmo nível e mesmo sentido de crescimento (ponto C).

O ponto médio entre A e C é o centro O2 completando a concordância.

4º Caso: as duas semirretas não são paralelas, não têm o mesmo nível e têm

sentidos opostos de crescimento.

Trace os arcos concordantes com origem em A e B, que ligam as semirretas dadas.

Construção: Procedemos de modo análogo ao caso anterior. Traçamos as retas de nível (retas de

condição de concordância) de cada semirreta, as quais vão se interceptar no centro O1. Centramos o compasso em O1 e, com abertura até A, traçamos o primeiro arco,

determinando o ponto C na reta de condição de B. A mediatriz entre B e C dá o centro O2. Completamos a concordância.



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3.5.2 – Concordância de Curvas com Curvas.

Concordância entre dois arcos.

Dois arcos são concordantes quando têm um só ponto em comum. O centro dos dois arcos e o ponto de concordância são sempre colineares.

Trace os dois arcos de 1,5 cm de raio, concordantes com o arco AB no ponto A.

Construção:

Traçamos a reta suporte da condição de concordância, definida pelos pontos O1 e A. Nessa reta, marcamos, a partir de A, para os dois lados, os centros O2 e O3.

Com o compasso centrado em O2 e aberto até A, traçamos o arco no sentido horário. Com o compasso centrado em O3, fazemos o mesmo para obter o arco no sentido antihorário.

Trace um arco que seja concordante com o arco AB em sua extremidade A e que passe pelo ponto P.

Construção:

Traçamos a reta da condição de concordância definida pelos pontos O1 e A. Em seguida, traçamos a mediatriz entre P e A. O ponto onde a mediatriz intercepta a reta de condição de concordância é o centro procurado.

Com o compasso centrado em O2 e aberto até A, traçamos o arco AP.



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3.6 – Triângulos, Quadriláteros e Polígonos.

3.6.1 – Triângulo.

É o polígono de três lados. Resulta da interligação de três segmentos de reta consecutivos não colineares.

Notações nos Triângulos.

Vértices: pontos de intersecção dos lados. São identificados por letras latinas

maiúsculas. Os vértices localizados nas extremidades de um lado são chamados vértices adjacentes e o outro é o vértice oposto.

Lados: segmentos de reta que unem os vértices. São identificados por letras latinas

minúsculas, correspondentes às letras dos vértices opostos a esses lados. Ângulos internos: resultam da intersecção de seus lados. São identificados pela

própria letra do vértice acrescida de um acento circunflexo ou por uma letra maiúscula do alfabeto grego também acrescida de um acento circunflexo, mantendo com seus respectivos vértices a correspondência de ordem alfabética.

Classificação de Triângulos.

Os triângulos são classificados de acordo com o comprimento dos lados e de acordo com a abertura dos ângulos internos.



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O triângulo retângulo é aquele que possui um ângulo reto e seus lados recebem nomes próprios. Catetos são os lados do ângulo reto e hipotenusa é lado oposto ao ângulo reto.

Condições de Existência de um Triângulo.

1ª condição: a soma das medidas dos dois lados menores deve ser maior que a medida

do lado maior. 2ª condição: a soma dos ângulos internos de um triângulo é igual a 180°.

Construa um triângulo escaleno ABC, conhecendo seus três lados: AB = 6 cm, BC = 6,5 cm

e AC = 4,5 cm. Construção:

Traçamos o lado base do triângulo (a = 6,5 cm) e colocamos os vértices adjacentes (B e C). Para achar o ponto A, com abertura do compasso igual ao lado b (4,5 cm), centramos

em C e traçamos um arco; com abertura do compasso igual ao lado c (6,0 cm), centramos em B e traçamos um arco; a intersecção dos arcos traçados determina o ponto A procurado.

Traçamos AB e AC, completando o triângulo. Reforçamos o resultado e identificamos os vértices e os lados do triângulo.



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Construa o triângulo ABC, conhecendo os lados BC = 5,5 cm e BA = 4,0 cm e o ângulo B =

45°. Construção:

Traçamos o lado a e marcamos os vértices adjacentes B e C. Para encontrar o ponto A, com auxílio do transferidor, traçamos o ângulo de 45° com

vértice em B; no lado do ângulo traçado, marcamos a medida do lado BA = 4,0 cm, obtendo o vértice A procurado.

Para obter o triângulo, basta traçar o lado AC. Reforçamos o resultado final e identificamos os vértices e os lados.

Construa um triângulo ABC, conhecendo a = 6,5 cm, b = 3,0 cm e sabendo que a e b são

catetos. Construção:

Traçamos um ângulo reto de vértice C. Nos lados desse ângulo, marcamos as medidas dadas para os lados a e b. Unindo os pontos A e B, temos a hipotenusa c, completando o triângulo ABC.



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Dados os pontos A e B e a reta r, construa o triângulo isósceles ABC, sabendo que BC pertence à reta r.

Construção:

1ª solução: considerando-se AB = BC.

Se BC pertence à reta r, basta transportar com o compasso a distância AB para a reta r a partir de B. Encontramos então o ponto C e podemos traçar os lados do triângulo.

2ª solução: considerando-se AB = AC.

Basta transportar a distância AB para a reta r a partir de A, obtendo o ponto C. Traçamos, então, os lados do triângulo.

Construa o triângulo equilátero ABC de 107 mm de perímetro.

Construção:

Dividimos graficamente o perímetro em três partes congruentes. Usando a medida encontrada (1/3 de 107 mm), construímos o triângulo equilátero ABC.



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Construa o triângulo ABC de 112 mm de perímetro, sabendo que a medida de seus lados obedece à proporção de 2 : 2 : 3.

Construção:

Dividimos graficamente o perímetro na proporção dada (2 + 2 + 3 = 7). Construímos o triângulo ABC com as medidas na proporção indicada.

Pontos Singulares de um Triângulo.

Incentro (I): é o ponto de intersecção das bissetrizes internas de um triângulo. O incentro

é o centro da circunferência interna (circunferência inscrita) ao triângulo, tangente aos seus três lados.

Determine o encentro do triângulo ABC e trace a circunferência inscrita nele.

Construção:

Traçamos as bissetrizes internas do triângulo ABC. Duas bissetrizes são suficientes para determiná-lo.

Depois traçamos as perpendiculares a cada lado do triângulo (uma já é o suficiente), passando pelo incentro, para obter os pontos de tangência da circunferência: Ta, Tb e Tc.

Centramos o compasso em I, com abertura até Ta (ou Tb, ou Tc) e traçamos a circunferência.



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Baricentro (G): é o ponto de intersecção das três medianas do triângulo. Mediana é o

segmento de reta que une o vértice ao ponto médio de seu lado oposto. O baricentro divide cada mediana em duas partes proporcionais. A parte maior, do vértice a G, mede 2/3 do total e a parte menor, de G ao ponto médio, mede 1/3.

Determine o baricentro do Triângulo ABC. Construção:

Traçamos a mediatriz de cada lado do triângulo para determinar os pontos médios. Unindo cada ponto médio ao vértice oposto, obtemos as medianas do triângulo. A

intersecção das medianas nos dá o baricentro.

Ortocentro (H): é o ponto de intersecção das três alturas do triângulo. Altura do

triângulo é o segmento de reta que une perpendicularmente o vértice ao seu lado oposto. Determine o ortocentro do Triângulo ABC.

Construção:

Traçamos as alturas de cada lado do triângulo (duas são suficientes), a intersecção delas nos dá o ortocentro.



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Quanto ao ortocentro, há dois casos especiais.

1º caso: quando o triângulo é retângulo, o ortocentro coincide com o vértice do ângulo

reto e duas alturas coincidem com os catetos.

2º caso: quando o triângulo é obtusângulo, o ortocentro é externo ao triângulo e, para

encontra-lo, precisamos prolongar as alturas.

Circuncentro (O): é o ponto de intersecção das três mediatrizes dos lados do triângulo.

Mediatriz do lado de um triângulo é a reta que passa perpendicularmente ao lado em seu ponto médio. O circuncentro é o centro da circunferência externa (circunferência circunscrita) ao triângulo tangente aos seus três vértices.

Trace a circunferência circunscrita ao triângulo ABC.

Construção:

Traçamos as mediatrizes dos lados do triângulo para determinar o circuncentro. Duas são suficientes. Centramos o compasso em O, com abertura até um dos vértices e traçamos a circunferência circunscrita.



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3.6.2 – Quadrilátero.

É o polígono de quatro lados. A soma dos ângulos internos de um quadrilátero é sempre

360°.

Elementos de um quadrilátero.

Classificação dos Quadriláteros.

Trapezóides: são quadriláteros que não apresentam nenhum paralelismo entre seus

lados. Quadriláteros paralelogrâmicos: são quadriláteros cujos lados opostos são paralelos

entre si. Temos como exemplos o quadrado, o retângulo, o losango e o paralelogramo. Trapézio: são quadriláteros que possuem apenas dois lados paralelos entre si, chamados

de bases (maior e menor). Os lados não paralelos são chamados de transversais. A distância entre os lados paralelos é chamada de altura (h).

Algumas Propriedades dos Quadriláteros Paralelogrâmicos.

Nos quadriláteros paralelogrâmicos, as diagonais sempre se cruzam em seus pontos médios.

Nos quadriláteros paralelogrâmicos, em que os quatro lados são iguais (quadrado e losango), as diagonais são mediatrizes uma da outra, ou seja, cruzam-se em seus pontos médios formando ângulos de 90°.

Nos quadriláteros paralelogrâmicos, em que apenas os lados opostos são iguais (retângulo e paralelogramo), as diagonais são medianas uma da outra, ou seja, cruzam-se em seus pontos médios formando ângulos diferentes de 90°.

Quadrado: possui lados congruentes, quatro ângulos retos e duas diagonais e

mediatrizes entre si.



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Retângulo: possui lados opostos congruentes, quatro ângulos retos, duas diagonais e

medianas entre si.

Losango: possui quatro lados congruentes, ângulos opostos congruentes (dois agudos e

dois obtusos) e duas diagonais diferentes e mediatrizes entre si.

Paralelogramo: possui lados opostos congruentes, ângulos opostos congruentes (dois

agudos e dois obtusos) e duas diagonais diferentes e medianas entre si.

Construa o quadrilátero ABCD, sabendo que AB = 6,0; BC = 5,5; CD = 4,0; DA = 5,0; e AC =

8 cm.

Construção:

Traçamos a base (lado AB). Centramos o compasso em B e, com abertura igual a BC, traçamos um arco. Com abertura igual a AC, centramos o compasso em A e traçamos outro arco. A intersecção dos dois arcos determina o vértice C. Temos, então, os lados AB e BC.

Com abertura igual a AD, centramos o compasso em A e traçamos um arco. Fazemos o mesmo a partir de C, com abertura igual a CD. A intersecção dos dois arcos nos dá o vértice D. Unindo os quatro vértices, temos o quadrilátero pedido.



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Construa o quadrilátero ABCD, sabendo que AB = 70 mm; AC = 65 mm; BD = 75 mm; A =

75°; e B = 60°.

Construção:

Traçamos a base (lado AB) e em suas extremidades, os ângulos A e B. Com abertura igual a AC, centramos o compasso em A e traçamos um arco que interceptará o lado do ângulo B no vértice C. Centrando o compasso em B, com abertura igual a BD, traçamos um arco que interceptará o lado do ângulo A no vértice D. Unindo os quatro vértices, temos o quadrilátero pedido.

Construa o quadrado de perímetro x.

Construção:

Dividimos o perímetro em quatro partes congruentes para encontrar a medida do lado do quadrado.

Definindo os vértices A, B, C e D, construímos o quadrado.



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Construa o quadrado de 8,0 cm de diagonal.

Construção:

Construímos um ângulo de 90° com um lado na horizontal (base do quadrado). Traçamos a bissetriz do ângulo e nela marcamos a medida da diagonal dada. Pelo vértice C, traçamos uma perpendicular ao lado do ângulo, obtendo o vértice B e o lado do quadrado. Transportando a medida do lado, obtemos o vértice D.

Construa o retângulo de 117 mm de perímetro sabendo que o lado maior mede o dobro do lado menor.

Construção:

Dividimos o perímetro na proporção pedida. Já temos a medida dos dois lados. Traçamos o ângulo reto e nele marcamos os lados AB e

AD. Centramos o compasso em D e, com abertura igual a AB, traçamos um arco. Com

abertura igual a AD, fazemos o mesmo em B. A intersecção dos dois arcos nos dá o vértice C. Unindo os quatro vértices, temos o retângulo pedido.



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Construa o retângulo ABCD sabendo que a diagonal AC mede 7,0 cm e forma ângulo de 30° com um dos lados.

Construção:

Marcamos o vértice A em uma reta suporte e, a partir dele, traçamos o ângulo de 30°. No lado do ângulo, marcamos a diagonal AC.

Pelo vértice C, traçamos uma perpendicular ao lado do ângulo que intercepte a reta suporte definindo o vértice B e a medida dos lados do retângulo.

Construa o losango de diagonais 27 e 49 mm.

Construção:

Traçamos uma das diagonais (AC) e sua mediatriz, na qual marcamos, a partir do ponto médio, metade da outra diagonal para cada lado. Determinamos, assim, os vértices B e D e podemos traçar o losango pedido.

Para encontrar a metade da outra diagonal (BD), fazemos uma construção auxiliar e transportamos a medida encontrada.

Construa o paralelogramo ABCD, sabendo que os ângulos internos agudos medem 60° e

que a diagonal AC mede 70 mm e forma ângulo de 15° com um dos lados. Construção:

Traçamos um ângulo de 60°, de vértice A, determinando a posição de dois lados do paralelogramo.



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Traçamos o ângulo de 15° e marcamos a diagonal AC. Obtendo o vértice C. Passando por C, traçamos uma paralela à base, que interceptará o lado do ângulo determinando o vértice D. Desse modo, encontramos os lados do polígono, CD e AD. Transportando a medida CD, encontramos o vértice B. Unindo os quatro vértices, obtemos o paralelogramo pedido.

3.6.3 – Polígonos Regulares.

No tópico Circunferências, construímos polígonos regulares a partir da divisão da circunferência em partes congruentes. Neste tópico, o faremos a partir da medida do lado.

Processo do Ângulo Externo.

Podemos construir o polígono regular a partir da medida de seu lado, utilizando o processo do ângulo externo. Entendamos como ângulo externo, o ângulo determinado por um lado e pelo prolongamento do lado consecutivo. Seu valor é obtido dividindo-se 360° pelo número de lados do polígono.



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Construa o octógono de 2 cm de lado.

Construção:

Traçamos uma reta suporte e marcamos o lado fornecido. Em suas extremidades construímos o ângulo externo, neste caso, 360°: 4 = 45°.

No lado do ângulo, marcamos a medida do lado do octógono e transportamos a medida do ângulo externo, determinando outro lado. Repetimos esse processo até completar o polígono pedido.

Construa o pentágono regular de 2,5 cm de lado.

Construção:

O processo é semelhante ao do exemplo anterior, entretanto precisamos de uma construção auxiliar para determinar o ângulo externo de 72°, impossível de ser construído com o compasso.

Para obtê-lo, dividimos a circunferência em cinco partes congruentes. Determinado o ângulo, o transportamos para a construção principal.

Finalmente, seguimos o mesmo processo do exemplo anterior para a obtenção do polígono.



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Polígonos e Figuras Estrelados.

Ao dividir uma circunferência em partes iguais, podemos gerar diferentes figuras, dependendo da ordem em que unimos os pontos de divisão, como pode ser observado abaixo.

Na primeira circunferência, ligamos os pontos consecutivamente, um a um, obtendo um

polígono regular (no caso, octógono). Na segunda, os pontos foram unidos alternadamente, dois a dois, resultando uma figura

estrelada. Na terceira, os pontos foram unidos três a três, originando um polígono estrelado. Na figura estrelada ao unir os pontos dois a dois, voltamos ao ponto de partida deixando

pontos sobrando. Repetimos a ordem de ligação para estes pontos até unir todos. A forma final resulta da sobreposição de polígonos (no caso, dois).

No polígono estrelado, ao unir os pontos na ordem dada, passamos por todos eles, não

sobrando nenhum quando voltamos ao ponto de origem. A forma final é um único polígono.



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É possível definir a figura antes de traçá-la, pois existe uma relação entre a ordem de ligação dos pontos e o número de divisões da circunferência, observe:

sempre que a ordem for um a um, obtemos um polígono regular; sempre que a ordem for um divisor do número de partes em que a circunferência

foi dividida, ou tiver com ele um divisor comum, obtemos uma figura estrelada; sempre que a ordem e o número de partes em que a circunferência foi dividida

forem números primos entre si, obtemos um polígono estrelado. Se dividirmos uma circunferência em dez partes congruentes e a ordem de ligação for:

um a um: decágono (polígono regular); dois a dois: figura estrelada (2 é divisor de 10); três a três: polígono estrelado (3 e 10 são primos entre si);

quatro a quatro: figura estrelada (4 e 10 aceitam um divisor comum).



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Capítulo 4: Escalas.

Objetivos:


Escolher adequadamente a escala do desenho.

Diferenciar escala numérica e escala gráfica e utilizá-las convenientemente.



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4 – Escalas.

4.1 - Escalas Numéricas e Escalas Gráficas.

Sempre que possível, as peças devem ser representadas em tamanho real. Entretanto, na prática, verifica-se que nem sempre isso é possível. Desenhar uma maçaneta em tamanho real, sobre uma folha de papel A4 (210 x 297 mm), é uma tarefa bastante simples, mas não seria possível fazer o mesmo com uma edificação, far-se-iam necessárias muitas folhas com e referido formato.

Para uma edificação, deve-se utilizar um formato de papel adequado e escalas de conversão das dimensões reais para as dimensões de representação.

As escalas a serem usadas nos desenhos estão normalizadas e devem ser indicadas na zona da legenda reservada para tal.

Caso os desenhos possuam mais de uma escala, todas devem ser indicadas em legenda ou próximo de seus respectivos desenhos.

As normas que regem as escalas a serem utilizadas nos desenhos são a NBR 8195 e ISO 5455 : 2002.

4.1.1 – Escalas Numéricas.

Escala: é a relação entre a dimensão do objeto representado no papel e a

dimensão real do mesmo. E = D/R , D medida no desenho; e R medida real do objeto.

Escala de redução: ocorre quando a dimensão do objeto no desenho é menor

que sua dimensão real. Escala de ampliação: ocorre quando a dimensão do objeto no desenho é maior

do que sua dimensão real.

Escala real ou natural: ocorre quando a dimensão do objeto no desenho é igual

a sua dimensão real. As escalas normalizadas recomendadas para cada objetivo são apresentadas na tabela

4.1.

Tabela 4.1 – Escalas Normalizadas.



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4.1.2 – Escalas Gráficas.

É a representação gráfica, ou seja, através de desenho, da escala numérica. A escala gráfica correspondente a 1:50 (lê-se um para cinquenta) é representada por

segmentos iguais de 2 cm, pois 1 m ÷ 50 = 0,02 m = 2 cm, conforme figura 4.1.

Figura 4.1 – Escala gráfica correspondente a escala numérica 1:50.

O primeiro segmento à esquerda é dividido em dez partes iguais, para permitir a leitura de dimensões com grandezas que possuam uma única casa decimal.

Na arquitetura e na engenharia civil, as escalas utilizadas são, por razões óbvias, as de redução.

Nos projetos de arquitetura, as escalas mais utilizadas são 1:50 e 1:100, para representações em planta baixa e, 1:20 ou 1:25, nos detalhes.

Exercícios.

1. Uma rua está desenhada com 12 mm de largura e mede 24 m. Qual a escala do

desenho?

E = D/R = 12 mm/24 m = 12 mm / 24000 mm = 1/2000 ou 1:2000.

2. Uma sala mede 6,20 x 3,80 m. Em um desenho feito na escala 1:50, quais serão as

medidas em centímetros

E = D/R 1/50 = D/6,20 D = 0,124 m = 12,4 cm.

E = D/R 1/50 = D/3,80 D = 0,076 m = 7,6 cm.



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Capítulo 5: Cotagem.

Objetivos:


Usar a cotagem para indicar a forma e a localização dos elementos de uma peça.

Selecionar criteriosamente as cotas a serem inscritas no desenho, tendo em conta as

funções da peça e os processos de fabricação.

Escolher adequadamente a vista onde a cota deve ser inscrita, assim como sua

orientação.

Cotar desenhos com representações e aplicações diversas, tais como: vistas

múltiplas r desenhos de conjunto e perspectivas.

Aplicar as técnicas da cotagem a peças de geometria e complexidade diversas, de

modo a garantir a legibilidade, simplicidade e clareza do desenho.



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5 - Cotagem.

5.1 - Introdução.

Representar corretamente os pormenores da forma geométrica de objetos ou peças em desenho, obedecendo a técnicas e convenções, não se faz suficiente para a fabricação do produto. Além disso, é necessário informar com exatidão as dimensões e posição de seus elementos, informação a que se denomina de cotagem.

Saber cotar significa muito mais que simplesmente colocar as dimensões nos desenhos. A cotagem requer conhecimento das normas, técnicas e princípios a ela associados, além dos processos de fabricação e das funções da peça ou dos elementos que a constituem. Uma cotagem incorreta ou ambígua pode causar grandes prejuízos na fabricação do produto.

5.2 – Aspectos Gerais da Cotagem.

A cotagem requer a aprendizagem de um conjunto de regras e princípios, os quais, cumpridos, permitem uma fácil e correta interpretação da peça, sendo imprescindíveis para sua definição, fabricação e controle. A aprendizagem da cotagem pode ser subdividida em três aspectos fundamentais:

elementos da cotagem; seleção das cotas a serem inscritas nos desenhos, levando em consideração a

função dos elementos ou das peças e o processo de fabricação; posicionamento das cotas de modo a definirem rigorosamente os objetos cotados,

facilitando a sua leitura e interpretação.

5.3 – Elementos da Cotagem.

Os elementos da cotagem, necessários para a inscrição das cotas nos desenhos, são representados na figura 5.1.

Cotas: são números que indicam as dimensões lineares ou angulares do elemento. A

unidade das cotas lineares é o milímetro, usada nos países que adotaram o Sistema Internacional de Unidades (SI). A unidade das cotas angulares é o grau (°), independente da unidade usada nas cotas lineares.

Linhas de chamada: são linhas de traço contínuo fino, normalmente perpendiculares à

linha de cota, que a ultrapassam ligeiramente, e que tem origem no elemento a cotar. Linhas de Cota: são linhas retas ou arcos, normalmente com setas nas extremidades, a

traço contínuo fino, paralelas ao contorno do elemento cuja dimensão define. Setas: as setas ou flechas são as terminações das linhas de cota. De acordo com a ISO 129:

1985, as terminações usadas são conforme figura 5.2. Em Engenharia Civil são os traços ou os

pontos. Símbolos: figuras ou símbolos complementares de cotagem que permitem identificar

diretamente a forma de alguns elementos, melhorando a interpretação do desenho, conforme figura 5.3.



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Fig. 5.1 – Elementos da cotagem. Fig. 5.2 – Terminações da linha de cota. Fig. 5.3 – Símbolos complementares.

5.4 – Inscrição das Cotas nos Desenhos.

A inscrição das cotas nos desenhos obedece a um conjunto de regras que visam facilitar a leitura e a interpretação do desenho. Veja abaixo alguns exemplos dessas regras.

1. As cotas indicadas nos desenhos são sempre as cotas reais do objeto, independente da escala usada no desenho.

2. Tal como para a representação em geral, os elementos da cotagem devem ser apresentados em preto.

3. As cotas devem ser apresentadas em caracteres com dimensão adequada a sua legibilidade. Os algarismos das cotas devem, obrigatoriamente, ter sempre a mesma dimensão num desenho.

4. Não deve ser omitida nenhuma cota necessária para a definição da peça. 5. Os elementos devem ser cotados preferencialmente na vista que dá mais informação

em relação a sua forma ou a sua localização. 6. Devem ser evitados, sempre que possível, cruzamento de linhas de cota entre si ou

com outro tipo de linhas, sobretudo linhas de chamada ou arestas. 7. As cotas devem ser localizadas fora do contorno das peças. Entretanto, por questões

de clareza e legibilidade, estas podem ser colocadas no interior das vistas, como em cotagem de furos.

8. As cotas devem ser localizadas o mais próximo possível do detalhe a cotar, embora respeitando todas as regras e recomendações anteriores, conforme figura 5.4.

9. Cada elemento deve ser cotado apenas uma vez, independente do número de vistas da peça.

10. As cotas devem ser posicionadas sobre a linha de cota, paralelas a esta e, preferencialmente, no ponto médio da linha.

11. Os algarismos da cota não devem ser separados ou sobrepostos por nenhum outro detalhe do desenho.

12. Em um desenho devem ser sempre utilizadas as mesmas unidades, em geral milímetros, não sendo indicadas nas cotas, mas em campo específico da legenda. Outras unidades utilizadas devem ser obrigatoriamente indicadas.

13. Quando o espaço necessário para a cota não é suficiente sequer para colocar pontos, a cota pode ser posicionada abaixo da linha de cota e ligada a ela através de uma pequena linha de referência.



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Fig. 5.4 – Algumas regras para linhas de cota.

5.4 – Orientação das Cotas.

As cotas devem ser orientadas sempre em relação à legenda da folha de desenho, de tal modo que sejam lidas em duas direções perpendiculares entre si, a partir do canto inferior direito da folha (figura 5.5).

Fig. 5.5 – Orientação das cotas em relação à legenda.



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Capítulo 6: Vistas Ortográficas.

Objetivos:


Distinguir os vários tipos de projeções existentes.

Efetuar a representação gráfica numa folha de papel usando projeções ortogonais.

Escolher os tipos de representação que melhor se aplicam ao sólido em questão.



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6 - Vistas Ortográficas: Projeções de Vistas Ortogonais e Projeções de Sólidos.

Introdução.

A representação de objetos em desenho técnico é efetuada através de um sistema apropriado de projeções. É necessário que a representação gráfica de um objeto seja clara, simples e convencional, de modo que a linguagem utilizada seja facilmente compreendida pelos técnicos que terão de utilizá-la.

O objetivo primordial do desenho técnico é definir a forma e a dimensão de um determinado objeto. Para isso, sua leitura deve ser isenta de ambiguidades e proporcionar ao leitor todos os dados necessários para a sua fabricação, sendo o desenho o elo entre a concepção e a fabricação.

6.1 - Projeções de Vistas Ortogonais.

Projeção é a representação de um objeto em um plano. É obtida através da incidência de retas sobre os vértices do objeto, no caso da ortogonal, perpendiculares ao plano de projeção, que são chamadas de projetantes ou raios visuais. Por analogia, essas retas comportam-se como raios de luz incidindo sobre o objeto, perpendicularmente ao plano de projeção, projetando-o sobre ele, produzindo uma imagem (vista) em verdadeira grandeza.

Modelo, Observador e Plano de Projeção.

A projeção ortográfica é uma forma de representar graficamente objetos tridimensionais em superfícies planas, de modo a transmitir suas características com precisão e demonstrar sua verdadeira grandeza.

Para entendermos bem como é feita a projeção ortográfica precisamos conhecer três elementos: o modelo, o observador e o plano de projeção.

Modelo.

É o objeto a ser representado em projeção ortográfica. Qualquer objeto pode ser tomado como modelo: uma figura geométrica, um sólido geométrico, uma peça de máquina ou mesmo um conjunto de peças.

Observador.

É a pessoa que vê, analisa, imagina ou desenha o modelo. Para representar o modelo em projeção ortográfica, o observador deve analisá-lo cuidadosamente em várias posições: de frente, de cima e de lado.



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Em projeção ortográfica devemos imaginar o observador localizado a uma distância infinita do modelo. Por essa razão, apenas a direção de onde o observador está vendo o modelo será indicada por uma seta, como mostra a ilustração abaixo.

Plano de Projeção.

É a superfície onde se projeta o modelo. A tela de cinema é um bom exemplo de plano de projeção.

Os planos de projeção podem ocupar várias posições no espaço. Em desenho técnico usamos dois planos básicos para representar as projeções de modelos: um plano vertical e um plano horizontal que se cortam perpendicularmente.

SPVS - semiplano vertical superior SPVI - semiplano vertical inferior

SPHA - semiplano horizontal anterior SPVP - semiplano horizontal posterior

Esses dois planos, perpendiculares entre si, dividem o espaço em quatro regiões chamadas diedros.

Cada diedro é a região limitada por dois semiplanos perpendiculares entre si. Os diedros são numerados no sentido anti-horário, isto é, no sentido contrário ao do movimento dos ponteiros do relógio.

O método de representação de objetos em dois semiplanos perpendiculares entre si,

criado por Gaspar Monge, é também conhecido como método mongeano. Atualmente, a maioria dos países que utilizam o método mongeano adota a projeção ortográfica no 1º diedro. No Brasil, a ABNT recomenda a representação no 1º diedro.

Entretanto, alguns países, como por exemplo, os Estados Unidos e o Canadá, representam seus desenhos técnicos no 3º diedro.



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Para simplificar o entendimento da projeção ortográfica passaremos a representar apenas o 1º diedro, o que é normalizado pela ABNT.

Chamaremos o semiplano vertical superior de plano vertical. O semiplano horizontal anterior passará a ser chamado de plano horizontal.

6.2 - Projeções de Sólidos.

Em projeções de vistas ortogonais, foi mostrada a representação do objeto e suas dimensões, em verdadeira grandeza, em um único plano. Entretanto, para a fabricação de peças complexas, construção de edificações, dentre outras atividades fabris, precisamos conhecer todos os seus elementos.

Por essa razão, em desenho técnico, quando tomamos sólidos geométricos ou objetos tridimensionais como modelos, precisamos representar sua projeção ortográfica em mais de um plano de projeção.

No Brasil, onde se adota a representação no primeiro diedro, além do plano vertical e do plano horizontal, adota-se um terceiro plano, o lateral, que é simultaneamente perpendicular aos dois primeiros planos.

Projeção Ortográfica do Prisma Retangular no 1º Diedro.

Para entendermos melhor a projeção ortográfica de um modelo em três planos de projeção, acompanhemos primeiro, a demonstração de um sólido geométrico - o prisma retangular - em cada um dos planos, separadamente.

Vista frontal.

Imaginemos um prisma retangular paralelo a um plano de projeção vertical visto de frente por um observador, na direção indicada pela seta, como mostra a figura seguinte.



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Este prisma é limitado externamente por seis faces retangulares: duas são paralelas ao plano de projeção (ABCD e EFGH); quatro são perpendiculares ao plano de projeção (ADEH, BCFG, CDEF e ABGH).

Traçando linhas projetantes a partir de todos os vértices do prisma, obteremos a projeção ortográfica do prisma no plano vertical. Essa projeção é um retângulo idêntico às faces paralelas ao plano de projeção.

Imaginemos que o modelo foi retirado e veremos, no plano vertical, apenas a projeção ortográfica do prisma visto de frente. A projeção ortográfica do prisma visto de frente no plano vertical dá origem à vista ortográfica chamada de vista frontal.

Vista superior.

A vista frontal não nos dá a ideia exata das formas do prisma. Para isso necessitamos de outras vistas, que podem ser obtidas por meio da projeção do prisma em outros planos do 1º diedro.

Imagine, então, a projeção ortográfica do mesmo prisma visto de cima por um observador na direção indicada pela seta, como aparece na próxima figura.

A projeção do prisma visto de cima no plano horizontal é um retângulo idêntico às faces ABGH e CDEF, que são paralelas ao plano de projeção horizontal. Removendo o modelo, veremos no plano horizontal apenas a projeção ortográfica do prisma visto de cima. A projeção do prisma visto de cima no plano horizontal determina a vista ortográfica chamada de vista superior.

Vista lateral.

Para completar a ideia do modelo, além das vistas frontal e superior uma terceira vista é importante: a vista lateral esquerda.

Procedendo de modo análogo aos das vistas anteriores, sua projeção ortográfica resulta um retângulo idêntico às faces ADEH e BCFG, paralelas ao plano lateral.



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Retirando o modelo, veremos no plano lateral a projeção ortográfica do prisma visto de lado, isto é, a vista lateral esquerda.

Rebatimento dos planos de projeção.

Agora, que já sabemos como determinar a projeção do prisma retangular separadamente em cada plano, fica mais fácil entendermos as projeções do prisma em três planos simultaneamente, como mostra a figura seguinte.

As linhas estreitas que partem perpendicularmente dos vértices do modelo até os planos de projeção são as linhas projetantes.

As demais linhas estreitas que ligam as projeções nos três planos são chamadas linhas projetantes auxiliares. Estas linhas ajudam a relacionar os elementos do modelo nas diferentes vistas.

Imaginemos que o modelo tenha sido retirado e vejamos na figura a seguir como ficam apenas as suas projeções nos três planos.



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Mas, em desenho técnico, as vistas devem ser mostradas em um único plano. Para tanto, usamos um recurso que consiste no rebatimento dos planos de projeção horizontal e lateral. Vejamos como isso é feito no 1º diedro:

o plano vertical, onde se projeta a vista frontal, deve ser imaginado sempre numa posição fixa;

para rebater o plano horizontal, imaginemos que ele sofra uma rotação de 90º para baixo, em torno do eixo de interseção com o plano vertical (Figura a e Figura b). O eixo de interseção é a aresta comum aos dois semiplanos;

para rebater o plano de projeção lateral imaginemos que ele sofra uma rotação de 90º, para a direita, em torno do eixo de interseção com o plano vertical (Figura c e Figura d).

Temos, agora, os três planos de projeção: vertical, horizontal e lateral, representados num único plano, em perspectiva isométrica, como mostra a Figura d.

Observemos agora como ficam os planos rebatidos vistos de frente.

Em desenho técnico, não se representam as linhas de interseção dos planos. Apenas os

contornos das projeções são mostrados. As linhas projetantes auxiliares também são apagadas. Finalmente, vejamos como fica a representação, em projeção ortográfica, do prisma

retangular que tomamos como modelo:



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a projeção A, representada no plano vertical, chama-se projeção vertical ou vista frontal;

a projeção B, representada no plano horizontal, chama-se projeção horizontal ou vista superior;

a projeção C, que se encontra no plano lateral, chama-se projeção lateral ou vista lateral esquerda.

Tipos de Projeções Geométricas Planas (PGP).



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Capítulo 7: Perspectivas.

Objetivos:


Descrever as diferenças, vantagens e desvantagens existentes entre a representação em vistas múltiplas, projeções oblíquas, perspectivas e projeções.

Representar os planos inclinados e círculos em perspectivas isométricas.

Desenhar rigorosamente a perspectiva ou projeção oblíqua de qualquer objeto.

Desenhar a perspectiva de um objeto partindo de sua representação em vistas múltiplas.

Esboçar à mão livre a perspectiva de um objeto.



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7 - Perspectivas.

Introdução.

A perspectiva é uma representação gráfica de extrema utilidade para uma visão espacial de qualquer objeto, pois o mostra como realmente ele é visto, dando a ilusão de profundidade. É particularmente usada em folhetos de divulgação de produtos e em publicidade. Atualmente, atendendo à facilidade de sua obtenção, usando sistemas CAD 3D, a perspectiva deve acompanhar os desenhos em vistas múltiplas, pois sua inclusão facilita a compreensão da peça.

Em desenho técnico, por vezes pretende-se que a representação gráfica forneça uma imagem tanto quanto possível idêntica à que é obtida pelo observador na realidade. Quando tal situação ocorre, escolhe-se um ponto de vista para observação e utiliza-se a perspectiva mais conveniente. Contudo, as perspectivas geralmente não permitem uma boa representação dos detalhes de uma peça, por este motivo, para fabricação, são ainda necessários desenhos de montagem, para maior clareza.

Algumas vezes, para facilitar a leitura do desenho, utiliza-se a perspectiva, que consiste em representar a peça dando ideia imediata de seu volume. Este tipo de representação tem, de fato, uma forma parecida com a de sua fotografia, mais ou menos distorcida, conforme o tipo de projeção.

A perspectiva é, portanto, um desenho simples de interpretar, entretanto nem sempre de fácil realização.

Projeção Paralela ou Cilíndrica – “Perspectiva Rápida”.

Um objeto está em perspectiva paralela quando suas arestas formam feixes de paralelas. Esta representação, por resultar de projetantes paralelas, corresponde a uma situação irreal (observador a uma distância infinita do plano de projeção), mas inequívoca do ponto de vista técnico.

Estes modos de representação que permitem uma visualização global dos objetos, e a que corresponde apenas uma projeção e, consequentemente, um único plano de projeção, são comumente designados de perspectivas rápidas.

Esta designação deve-se à relativa facilidade e “rapidez” com que se obtêm, face à morosidade da perspectiva rigorosa (projeção central).

Perspectiva Oblíqua (Cavaleira, Gabinete e Militar).

Tipo de projeção paralela em que o objeto é representado com uma face frontal e há apenas uma direção para a representação da profundidade. Um de seus tipos foi designado militar, pois foi uma perspectiva bastante utilizada para simular situações de topografia de terreno em mapas destinados a fins de tal estratégia.

Este tipo de perspectiva é obtido das projeções de três eixos, que representam dois ângulos de 135° e um de 90°, em que as alturas e as larguras são marcadas em verdadeira

http://pt.wikipedia.org/wiki/Estrat%C3%A9gia_militar



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grandeza, enquanto a profundidade é afetada por um coeficiente de redução (r) que pode assumir valores de 1; 0,75; 0,6; 0,5; ou 0,4.

Verifica-se que o prolongamento do eixo C coincide com o traçado da bissetriz do ângulo formado pelos outros dois e determina uma linha de 45°. A esta inclinação chamamos ângulo de fuga, que pode assumir valores de 45°, 30° e 60°, contudo a relação entre ângulo de fuga e coeficiente de redução mais utilizada é 45° e 0,5.

Perspectiva Ortogonal: Axonométrica (Trimétrica, Isométrica e Dimétrica).

Tipo de projeção paralela em que o objeto é representado com uma aresta frontal e há duas direções para a representação da profundidade.

Semanticamente, entendamos axonometria (do grego: axônio=eixo, metron=medida) como a representação de objetos em perspectiva através da sua projeção perpendicular a um plano.

Podemos dividir a axonometria ou a perspectiva axonométrica em três categorias: isometria, dimetria ou trimetria.

A isometria é a situação onde os três eixos (x, y, z) estão separados por 120°. A dimetria dá-se quando temos dois ângulos iguais. E a trimetria, por sua vez, dá-se quando as distâncias entre os eixos possuem ângulos distintos. A trimetria também é conhecida como anisometria, pois as medidas das unidades dos três eixos possuem diferentes escalas entre si.

Dentre as projeções axonométricas, a isométrica é a mais utilizada, principalmente por não necessitar de coeficiente de redução e os ângulos de fuga serem ambos de 30°, permitindo assim obtermos perspectivas verdadeiramente rápidas.

No entanto, é a que apresenta visualmente maior distorção em relação ao modelo real, e assim, caso pretendamos obter uma perspectiva mais próxima do modo que vemos o objeto real, devemos optar pro uma projeção em dimetria.

Projeção Central.

Tipo de projeção em que o objeto é representado com suas arestas convergentes para determinados pontos, chamados pontos de fuga.

As projeções centrais ou cônicas são principalmente usadas em desenho de arquitetura. A norma ISO 10.209-2: 1993 designa essas projeções como perspectivas.

Estas perspectivas têm a vantagem de mostrar o objeto conforme ele aparece aos olhos do observador, mas apresentam a desvantagem de não nos informar sobre suas dimensões, haja vista que nenhuma dimensão estará em verdadeira grandeza.

Alguns programas de CAD 3D permitem a representação em projeção central mediante a definição de localização do observador (câmera), direção de observação e ângulo de visão. A combinação destes três parâmetros, tal como em fotografia, faz variar a distorção dos objetos em perspectiva.



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Um caso particular e muito importante deste tipo é a perspectiva explodida, muito usada em desenhos de montagem de conjuntos, uma vez que dá uma boa ideia da forma e da ordem segundo a qual se montam as peças. Muitas vezes, evita o uso de cortes para mostrar detalhes interiores do conjunto, já que, nesta representação, todas as peças estão visíveis.

Marcação de Ângulos.

Os ângulos não podem ser marcados em perspectiva por não serem representados em verdadeira grandeza nos planos isométricos. Devem ser transformados em medidas de catetos, pois estas podem ser representadas em verdadeira grandeza ao longo das linhas isométricas.

Linhas Invisíveis e Linhas de Eixo.

Em geral, não representamos linhas invisíveis em perspectivas, exceto quando são estritamente necessárias para a compreensão da peça representada. Quando isso ocorre, a representação é feita com linhas tracejadas.

Da mesma forma, linhas de eixo devem ser evitadas em perspectiva, exceto quando é necessário cotar o centro de um furo, devemos então representa-lo com um par de linhas de eixo, tal como em vistas múltiplas, e o seu eixo longitudinal.

Desenho de Perspectivas Isométricas Rápidas.

Em desenho técnico, é comum representar perspectivas por meio de esboços, que são desenhos feitos rapidamente à mão livre. Os esboços são muito úteis quando se deseja transmitir, de imediato, a ideia de um objeto.

Para o traçado de perspectivas isométricas rápidas, objeto principal de nosso estudo, além do uso dos materiais de desenho técnico adequados, faremos uso do papel reticulado isométrico, que contém linhas em forma de malha de módulo quadrangular, formando entre si ângulos de 120°.

A construção de uma peça em perspectiva isométrica, partindo da sua representação em vistas múltiplas, é relativamente simples. Basta desenhar o paralelepípedo envolvente e depois as distâncias relativas entre os diversos detalhes existentes, medindo sempre estas distâncias ao longo das direções isométricas.



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Trace a perspectiva isométrica do prisma retangular (paralelepípedo) abaixo, utilizando o papel reticulado, sabendo que c, l e h medem 6, 2 e 4 unidades, respectivamente.

Construção:

O traçado da perspectiva será demonstrado em cinco fases apresentadas separadamente. Na prática, porém, elas são traçadas em um mesmo desenho. Aqui, essas fases estão representadas nas figuras da esquerda. Você deve repetir as instruções no reticulado da direita. Assim, você verificará se compreendeu bem os procedimentos e, ao mesmo tempo, poderá praticar o traçado. Em cada nova fase você deve repetir todos os procedimentos anteriores.

1ª fase - Trace levemente, à mão livre, os eixos isométricos e indique o comprimento, a

largura e a altura sobre cada eixo, tomando como base as medidas aproximadas do prisma representado na figura anterior.

2ª fase - A partir dos pontos onde você marcou o comprimento e a altura, trace duas

linhas isométricas que se cruzam. Assim ficará determinada a face da frente do modelo.



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3ª fase - Trace agora duas linhas isométricas que se cruzam a partir dos pontos onde

você marcou o comprimento e a largura. Assim ficará determinada a face superior do modelo.

4ª fase - E, finalmente, você encontrará a face lateral do modelo. Para tanto, basta

traçar duas linhas isométricas a partir dos pontos onde você indicou a largura e a altura.

5ª fase (conclusão) - Apague os excessos das linhas de construção, isto é, das linhas e dos

eixos isométricos que serviram de base para a representação do modelo. Depois, é só reforçar os contornos da figura e está concluído o traçado da perspectiva isométrica do prisma retangular.

Trace a perspectiva isométrica do prisma abaixo, utilizando papel reticulado, conforme modelo.



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Construção:

A forma do prisma com elementos paralelos deriva do prisma retangular. Por isso, o traçado da perspectiva do prisma com elementos paralelos parte da perspectiva do prisma retangular ou prisma auxiliar.

Para facilitar o estudo, este traçado também será apresentado em cinco fases. Mas lembre-se de que, na prática, toda a sequência de fases ocorre sobre o mesmo desenho.

1ª fase - Esboce a perspectiva isométrica do prisma auxiliar utilizando as medidas

aproximadas do comprimento, largura e altura do prisma com rebaixo. Aproveite o reticulado da direita para praticar.

2ª fase - Na face da frente, marque o comprimento e a profundidade do rebaixo e trace

as linhas isométricas que o determinam.

3ª fase - Trace as linhas isométricas que determinam a largura do rebaixo. Note que a

largura do rebaixo coincide com a largura do modelo.



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4ª fase - Complete o traçado do rebaixo.

5ª fase (conclusão) - Finalmente, apague as linhas de construção e reforce os contornos do modelo.

Traçado de Figuras com Cantos Arredondados.

Represente a perspectiva isométrica da figura do esboço, sabendo que as concordâncias têm 1,5 m de raio.

Construção:

Representamos o sólido como um todo em seu comprimento, largura e altura, sem nos preocuparmos com as concordâncias.



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A partir de cada vértice, marcamos os raios dados e traçamos retas perpendiculares às arestas por esses pontos. A intersecção dessas retas, duas a duas, define o centro dos arcos concordantes.

Traçamos as arestas que representam a altura, completando o desenho.

Perspectiva Isométrica da Circunferência.

Represente em perspectiva isométrica uma circunferência com 3,0 cm de raio.

Construção:

Traçamos a circunferência e dois diâmetros perpendiculares, determinando os pontos A, B, C e D. Por esses pontos, traçamos quatro retas tangentes à circunferência, obtendo um quadrado circunscrito de vértices E, F, G e H.

Representamos esse quadrado EFGH em perspectiva isométrica e marcamos os pontos médios desses lados em perspectiva (A, B, C e D).

Traçamos a diagonal maior do quadrado (a que une os ângulos agudos) e unimos um dos vértices (E) aos pontos médios dos lados opostos (B e C), obtendo dois pontos de intersecção na diagonal (O3 e O4), que são os centros dos arcos menores.

Os pontos E e G são os centros O1 e O2 dos arcos maiores. Os pontos A, B, C e D são os pontos de concordância desses arcos.



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Perspectiva Isométrica do Cilindro.

Represente em perspectiva isométrica um cilindro de 3,0 cm de raio e 4,0 cm de altura.

Construção:

Traçamos o prisma de 4,0 cm de altura e 6,0 cm de lado (2R).

Nas bases representamos a perspectiva isométrica das duas circunferências, conforme exercício anterior. Traçamos as arestas que representam a altura, completando o cilindro pedido.

Desenho de Perspectivas Cônicas Rápidas.

Faremos apenas um estudo superficial dessa forma de representação, visando apenas diferenciá-las das demais. Por isso, não nos preocuparemos com medidas precisas, pois para marca-las corretamente, precisaríamos de estudo mais detalhado.

Temos como elementos principais de uma perspectiva cônica o(s) ponto(s) de fuga e a linha do horizonte.

A linha do horizonte é a linha imaginária onde o céu parece encontrar-se com a terra. Consideramos a linha do horizonte sempre no nível dos olhos do observador.

O ponto de fuga é o ponto para qual convergem as arestas laterais de profundidade e que pertence à linha do horizonte.



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Perspectiva Cônica com um Ponto de Fuga.

Ocorre quando neste tipo de projeção as arestas laterais do objeto representado convergem para um só ponto de fuga. Só há paralelismo entre as linhas verticais e horizontais (linhas que formam a face frontal).

Um objeto pode assumir algumas posições em relação ao ponto de fuga e à linha do horizonte: acima da linha do horizonte, no nível da linha ou abaixo dela.



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Perspectiva Cônica com dois Pontos de Fuga.

Ocorre quando neste tipo de projeção as arestas laterais do objeto representado convergem para dois pontos de fuga. Em vez de uma face frontal, temos uma aresta frontal, com a qual as demais linhas verticais são paralelas.

Do mesmo modo que no tipo anterior, pode apresentar diferentes formas de perspectiva, de acordo com sua posição em relação à linha do horizonte.



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Capítulo 8: Seccionamento.

Objetivos:


Usar a cotagem para indicar a forma e a localização dos elementos de uma peça.

Selecionar criteriosamente as cotas a serem inscritas no desenho, tendo em conta as

funções da peça e os processos de fabricação.

Escolher adequadamente a vista onde a cota deve ser inscrita, assim como sua

orientação.

Cotar desenhos com representações e aplicações diversas, tais como: vistas

múltiplas r desenhos de conjunto e perspectivas.

Aplicar as técnicas da cotagem a peças de geometria e complexidade diversas, de

modo a garantir a legibilidade, simplicidade e clareza do desenho.



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(1ª apostila) desenho tÉcnico

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