UNIVERSIDADE FEDERAL DO RIO GRANDE DO NORTE

ESCOLA DE CIÊNCIAS E TECNOLOGIA

MODELAGEM INTEGRADA

PROFESSOR SÉRGIO LUIZ - sergioluiz.pesquisa@gmail.com

LISTA DE EXERCÍCIOS 01 – SISTEMAS TRANSLACIONAIS E ROTACIONAIS

– Sistemas translacionais

1. Determine o sistema e a constante elástica equivalentes de cada configuração abaixo.

a) b)

c) d)

2. Determine a constante elástica equivalente do sistema ao lado no sentido de P.

3. Determine uma expressão geral para a constante

elástica equivalente de n molas associadas em: Série,

paralelo e inclinado.

4. Calcule a rigidez equivalente do sistema massa-mola-polias, desprezando as massas das polias e dos cabos, bem como as perdas por atritos, para o sistema abaixo.

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2 Lista de exercícios 01 – Sistemas translacionais e rotacionais – Profº Sérgio Luiz – 2013.2

5. A caçamba de um caminhão de bombeiro está localizada numa extremidade de uma lança telescópica como mostrado na figura abaixo. A caçamba e o bombeiro pesam juntos 2000 N.

Encontre a rigidez equivalente do lança na vertical, sabendo que a rigidez da parte 1, 2 e 3,

valem respectivamente 14x107N/m, 7x10

7 N/m e 3,5x10

7 N/m.

6. Um tambor de içamento equipado com um cabo de aço é montado na extremidade de uma viga em balanço, como mostrado abaixo. A viga em balanço pode ser substituída por uma

mola na vertical de constante kv, e o cabo possui características elásticas (kc), determine a

constante elástica equivalente.

7. A lança AB de um guindaste é feito de uma barra de aço uniforme e possui uma

rigidez k1. Um peso W é suspenso pelo cabo CDBEF, que é feito de aço (k2),

enquanto o guindaste permanece estacionário. Desprezando o efeito do cabo

CDEB, determine a constante elástica equivalente (Keq) do sistema na direção

vertical em função de k1 e k2.

8. O tripé mostrado na figura abaixo é usado para montar um sistema eletrônico que determina a

distância entre dois pontos no espaço. As hastes de apoio do tripé estão localizadas simetricamente

em relação ao ponto médio do eixo vertical e cada uma faz um ângulo α com a vertical. Se cada

haste de apoio tiver um comprimento l e rigidez axial k, determine a rigidez equivalente do tripé do

tripé no sentido vertical.

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3 Lista de exercícios 01 – Sistemas translacionais e rotacionais – Profº Sérgio Luiz – 2013.2

9. Uma máquina de 500 kg está montada sobre uma viga de aço simplesmente apoiada cujo

modelo simplificado é uma mola apoiada no piso cuja constante elástica é 12,36 x 107 N/m.

Uma mola é acoplada entre o vão central da viga e o piso com o objetivo de diminuir a

deflexão vertical da viga. Determine a constante k da mola para que a deflexão seja: a) 25%,

b) 50% e c) 75% da deflexão original.

10. A figura abaixo mostra o sistema de suspensão de um vagão ferroviário de carga com um

arranjo de molas em paralelo. Determine a constante elástica equivalente da suspensão se

cada uma das molas das duas molas helicoidais for fabricada em aço de módulo de

elasticidade transversal G = 80x109 N/m

2, tiver cinco espiras efetivas, diâmetro médio do

enrolamento D = 20 cm, e diâmetro do arame d = 2 cm.

G = Módulo de elasticidade transversal;

d = diâmetro do arame;

n = número de espiras;

D = diâmetro do enrolamento

11. Quatro barras rígidas idênticas – cada uma de comprimento a – estão conectadas a uma

mola de rigidez k para formar uma estrutura que deve suportar uma carga vertical P, como

mostrado nas figuras abaixo. Determine a constante elástica equivalente do sistema (keq)

para cada caso, desprezando as massas das barras e o atrito nas junções (considere

pequenas oscilações).

a) b)

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4 Lista de exercícios 01 – Sistemas translacionais e rotacionais – Profº Sérgio Luiz – 2013.2

12. Determine a equação do movimento do sistema massa-mola-amortecedor abaixo

considerando que não houve deflexão estática.

13. Uma fresadora de precisão está apoiada em quatro suportes isoladores de choque como mostrado abaixo. A elasticidade e o amortecimento de cada isolador de choque podem ser

modelados como uma mola e um amortecedor. Determine a constante elástica equivalente,

keq, e a constante de amortecimento equivalente, beq, do suporte da máquina ferramente em

termos das constates elásticas (ki) e das constantes de amortecimento (bi) dos apoios.

14. Uma locomotiva de 2 toneladas de massa que está viajando a uma velocidade de v = 10 m/s é parada no final da via férrea por um sistema mola-amortecedor, como mostrado abaixo. Se

a rigidez da mola for k= 40 N/mm e a constante de amortecimento for b = 20 Ns/mm,

determine: a) O deslocamento máximo da locomotiva após alcançar as molas e amortecedor.

b) O tempo que leva para atingir o deslocamento máximo.

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5 Lista de exercícios 01 – Sistemas translacionais e rotacionais – Profº Sérgio Luiz – 2013.2

15. O martelo de uma prensa mecânica realiza um movimento periódico para

conformar chapas de aço no formato da bigorna. Determine e resolva a equação

do movimento do sistema esquematizado abaixo.

[dica: Suponha inicialmente que a bigorna e a fundação sejam um único componente representado pela massa m,

e que tenha um 1 GDL. O solo funciona como mola (rigidez k) e amortece parte da impacto do martelo (b).]

- Sistemas Rotacionais

1. Um pêndulo de torção sofre uma rotação amortecida devido a um fluido viscoso, com

coeficiente de amortecimento B, em contato com o disco de momento de inércia J0.

Determine a equação de movimento angular, sabendo que o eixo do pêndulo possui

características torcionais K.

2. A figura abaixo mostra um tipo de acoplamento bastante usado (embreagem seca, por exemplo), o qual consiste em n molas helicoidais de rigidez k, colocadas a uma distância r

dos eixos acoplados. Calcule a rigidez total do acoplamento.

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6 Lista de exercícios 01 – Sistemas translacionais e rotacionais – Profº Sérgio Luiz – 2013.2

3. Deduza o modelo matemático da figura abaixo. Ela é formada de duas engrenagens, a maior delas (N1, J1 e r1) conectada a um eixo que possui uma constante torcional KT. Na

engrenagem menor (N2, J2 e r2) atua um torque resistivo τ(t) = τ sen(ωt).

4. Considere o sistema mostrado abaixo, onde o torque na entrada é fornecido por um motor, e um jogo de engrenagens (n 1 – eixo do motor e n2 – eixo da carga) faz a transmissão para a

carga. Encontre a relação entre os torques do motor e da carga, considerando J = 0 nas

engrenagens.

5. Considere a inércia das engrenagens no exercício anterior. Determine a equação do movimento.