14 - funções compostas e inversa - 12 pag

7/25/2019 14 - Funes Compostas e Inversa - 12 Pag

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Funcoes composta e inversaMO DULO 1 - AULA 14

Aula 14 Funcoes composta e inversa

Objetivos:

Sao objetivos desta aula possibilitar que voce:

Entenda e trabalhe com o conceito de funcao composta. Possa decidir quando uma funcao possui ou nao inversa. Entenda os conceitos de funcao sobrejetiva, injetiva e bijetiva e de

funcao inversa.

Possa resolver problemas envolvendo funcoes inversas e possa represen-tar graficamente as solucoes.

Funcao composta

Considere fuma funcao do conjuntoAno conjuntoB e g uma funcao

do conjunto B no conjunto C. Entao a funcao h de A em C, h a funcao

composta de f e g, pode ser definida por

h(x) =g(f(x)).

Notacao: h= g f.No diagrama abaixo esta representada a composicao def em g.

A fB gC

gf

Exemplos

(i) Se

h= g f e tal que

1

0

2

a

b

c

d

h

A


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Funcoes composta e inversa

(ii) Suponha Z o conjunto dos numeros inteiros,f: Z Z f(x) =x 2g : Z Z g(x) =x3

entao a funcao composta h : Z Z pode ser calculada porh(x) =g(f(x))

h(x) =g(x 2)h(x) = (x 2)3

Exerccios resolvidos

(i) Sejam as funcoes f: R R e g : R R definidas por f(x) =x2

1 eg(x) =x+ 3.

a) obter a funcao composta h = g f e m= f gb) calcule h(2) e m(3)c) existem valoresxR tais que h(x)=0?

Solucao:

a) h(x) =g(f(x)) =g(x2

1) =x2

1 + 3

h(x) =x2 + 2

m(x) =f(g(x)) =f(x+ 3) = (x + 3)2 1

m(x) =x2 + 6x + 9 1 =x2 + 6x + 8

b) h(2) = 22 + 2 = 4

m(3) = (3)2 + 6(3) + 8

m(3) = 9 18 + 8 = 1c) h(x) = 0x2+2 = 0 (esta equacao nao tem solucao x R). Resposta:

Nao.

(ii) Sejamf: R Re g : R R. Sabendo-se que f(x) = 5 + x2 e que aimagem da funcao f g e o intervalo real [+5, +3], a alternativa querepresenta a imagem da funcao g e:

a) [+

5, +3] b) [2.+ 2]c) [2, +5] d) [5, +2]e) [5, +5]

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Solucao:g f

Im(fog)

R RR3.V5

g(x) = f(g(x)) = 5 + g2(x). Logo 5 5 + g2(x) 355 + g2(x)9Entao 0g2(x)4. Os valores deg(x) que verificam a desigualdadeacima sao2g(x)2.Logo, Im g(x) = [2, 2]. Resposta b).

(iii) Sejam as funcoes f: R R e g : R R definidas por

f(x) =

x2 se x0x se x


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Funcoes sobrejetora, injetora e bijetora

Uma funcao f: A B e sobrejetora se Im(f) = B. Isto para todoelementoyB existe xA tal que f(x) =y.Uma funcao g : AB e injetora (ou injetiva) se elementos diferentes

x1 e x2 do domnio A dao como imagens elementos g(x1) e g(x2) tambem

diferentes. Isto e, vale a propriedade:

x1, x2A, x1=x2g(x1), g(x) Im(g) e g(x1)=g(x2).

Uma funcao f: A

B que tem ambas as propriedades injetora e so-

brejetora, e dita uma funcao bijetora.

Exemplos: Sejam A ={0, 1, 2}, B ={1, 2, 3} e f, g : A B como nosdiagramas abaixo.

A funcao f nao e injetora, nem sobrejetora. A funcao g e bijetora.

1

0

2

Af

B

1

2

3

D = AIm = B

1

0

2

A B

1

2

3

D = AIm = B

g

etora, inje-

tora ou bijetora

Sejay =f(x) uma funcao. Considere seu grafico, representado abaixo.

Se as retas paralelas a Ox e passando pelo contradomnio de f encon-

tram o grafico def em pelo menos um ponto, f e sobrejetora.

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Se as retas paralelas a Oxencontram o grafico de f no maximo em um

ponto,f e injetora.y

x0

f

D(f)

CD(f)=Im

Ox e passando pelo contradomnio de f encon-

tram o grafico de f em exatamente um so ponto, f e bijetora.y

x0

f

D(f)

Im(f)

Uma funcao f: A B e uma relacao entre os conjuntos A e B compropriedades especiais. fcomo relacao e um subconjunto deAB. Os paresordenados (x, y) deste subconjunto sao tais que y =f(x).

Por exemplo, se A = {1, 1, 2}, B = {1, 0, 1, 4} e f(x) = x2.Enquanto relacao, f se escreve como f ={(1, 1), (1, 1), (2.4)}. Suponhaque as coordenadas sao trocadas para obter uma nova relacao g .

g={(1, 1), (1, 1), (4, 2)}.Em que condicoes podemos garantir que, apos a inversao, g e ainda uma

funcao (e nao meramente uma relacao?) Nos casos afirmativos g e chamada

funcao inversa de fe geralmente denotada por f1.

Se voce pensar um pouquinho vai chegar a conclusao de que g e uma

nova funcao apenas no caso em que a funcao f for bijetora. Entre outras

palavras, somente as funcoes bijetorasfpossuem uma inversa f1.

Vamos tentar te convencer da validade desta resposta atraves de dia-gramas.


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Caso (I): Se f nao e injetora entao nao existe inversa. Veja um exemplo,

representado no diagrama a seguir, onde

A={a,b,c} e B ={1, 2}A funcao inversa nao pode ser definida para o elemento 1, pois f(a) =

f(b) = 1.

: Se f nao e sobrejetora entao nao existe inversa. Veja um exemplo,

representado no diagrama abaixo, onde

A={a,b,c} e B={1, 2, 3, 4}A funcao inversa nao pode ser definida em 4 B.

f1(4) =?

f: A B, possui a funcao inversa f1 se esomente se f e bijetora.

Sejaf:AB uma funcao bijetora. Entao a funcao inversaf1 : BAtem as seguintes propriedades:

(i) f1 e uma funcao bijetora de B em A.

(ii) D(f1) = Im(f) =B.

(iii) Im(f1) =D(f) =A.

A relacao entre os pares ordenados de f e f1 pode ser expressa simbolica-

mente por

(x, y)f (y, x)f1ou

y = f(x) x= f1(y)

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Exemplos. (i) Qual a funcao inversa da funcao bijetora f : R R definidapor f(x) = 3x + 2?

Solucao: se y=f(x) entao f1(y) =x.

Partindo de y=f(x), y= 3x + 2, procuramos isolar x.

y= 3x + 2 x= y 23

Logo,f1(y) =x =y 2

3Nota: Como a variavel pode indiferentemente ser trocada tambem podemos

escrever

f1(x) =x 2

3

(ii) Qual e a funcao inversa da funcao bijetora em f : R R definida porf(x) =x3?

Solucao: y = f(x) =x3, logo,x= 3

y.

Portantof1(y) =x = 3

y. Ou seja, f1(x) = 3

x.

(iii) Um exemplo importante e o da funcao identidade. I : R R, I(x) =x.Isto e, se escrevermos y = I(x), temos que y = x. A representacao grafica

desta funcao resulta na bissetriz do primeiro quadrante. Veja a figura abaixo.

x2

2

y=x

y

E claro queI1 =I. Isto e, a funcao identidade e sua inversa coincidem.

Observacoes Importantes

(i) Um exame do grafico abaixo nos leva a conclusao que os pontos (x, y)

e (y, x) do plano, abaixo representados, sao simetricos com relacao a reta

y = x.

yx0

x

y

(y,x)

(x,y) y=x


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Lembrando a relacao

(x, y)

f

(y, x)

f1

podemos concluir que, no plano, os pontos que representam uma funcao e

sua inversa sao simetricos em relacao a reta y = x. Isto e, os graficos que

representam f e f1 sao simetricos em relacao a reta bissetriz do 1o e 4o

quadrante.

(ii) Sejamf:AB e a funcao inversaf1 :BA. Entaoff1 :BBe f1 f: AA sao funcoes identidade. De fato

y=f(x) x= f1(y),

implica quef f1(y) =f(x) =y

e entao f f1 = Id.Tambem

f1 f(x) =f1(y) =xe entao f1 f = Id.Exemplo:

Seja a funcao f em R definida por f(x) = 2x

3. Construir num mesmo

plano cartesiano os graficos def e f1.

Solucao:

f(x) = 2x 3x y

-1 -5

0 -3

1 -1

2 13 3

4 5

f1 (x) =x+ 3

2

x y

-5 -1

-3 0

-1 1

1 23 3

5 4

yf y=x

x

f-1

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Exerccios - Serie A

1. Dadosf(x) =x2

1, g(x) = 2x. Determine:

a) f g(x) b) f f(x) c) g f(x) d) g g(x).

2. (UFF 96 - 2afase) Sendofa funcao real definida porf(x) =x26x+8,para todos os valoresx >3. Determine o valor de f1(3).

3. (UNI-RIO 97 - 1a fase) A funcao inversa da funcao bijetora f: R{4} R {2}definida por f(x) =2x 3

x + 4 e:

a) f1(x) = x+ 42x + 3

b) f1(x) = x 42x 3 c) f

1(x) =4x+ 32 x

d) f1(x) =4x+ 3

x 2 e) f1(x) =

4x + 3

x+ 2

4. (UFF 2001) Dada a funcao real de variavel real f, definida por

f(x) =x+ 1

x 1 , x= 1:

a) determine (f f)(x) b) escreva uma expressao para f1(x).

5. (UFRS - 81) SeP(x) =x3 3x2 + 2x, entao{x R |P(x)> 0} e:a) (0,1) b) (1,2) c) (, 2)(2, ) d) (0, 1)(2, ) e) (, 0)(1, 2).

6. Se f(x) = 3x, entao f(x+ 1) f(x) e:a) 3 b) f(x) c) 2f(x) d) 3f(x) e) 4f(x)

7. (FUVEST SP) Se f: R R e da forma f(x) = ax+b e verifica

f[f(x)] =x+ 1, para todo real, entao a e bvalem, respectivamente:a) 1 e

1

2 b)1 e 1

2 c) 1 e 2 d) 1 e2 e) 1 e 1

8. (FATEC SP) Seja a funcao f tal que f: (R {2}) R, ondef(x) =

x 2x+ 2

O numero realx que satisfaz f(f(x)) =1 e:a)4 b)2 c) 2 d) 4 e) n.d.a.

9. Determine o domnio de cada funcao:

I)f(x) =|x| II)f(x) = x2 4 III)f(x) = 1/x IV)f(x) =x/x


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10. Nos graficos abaixo determine D(f) e Im(f)

0

y

x

I)

f

1

y

x

II)

f

1

12

-5 1

2

-1

3

f(x + 1) =3x+ 5

2x+ 1 (x=1/2), o domnio de f(x) e o conjunto dos

numeros reaisxtais que:

a) x= 1/2 b)x=1/2 c)x=5/3 d)x= 5/3 e) x=3/5

Exerccios - Serie B

1. Sejam as funcoes reaisg(x) = 2x 2 e (f g)(x) =x2 2x. Determinea expressao de f.

2. (UFF 96 - 2afase) Dadas as funcoes reais de variavel realfeg definidas

por f(x) =x2

4x + 3, com x2 e g(x) = 2 + 1 + x, com x 1,determine:

a) (g f)(x) b) f1(120)

3. Dada a funcao f(x) =

9 x2, para qualquer numero real x, tal que|x| 3, tem-se:

a)f(3x) = 3f(x) b)f(0) =f(3) c)f1(x) =f

1

x

, sex= 0

d) f(x) =f(x) e) f(x 3) =f(x) f(3)

4. (CE.SESP-81) Seja f: N Z, a funcao definida por

f(0) = 2

f(1) = 5

f(n + 1) = 2f(n) f(n 1)

o valor de f(5) e:

a) 17 b) 6 c) 5 d) 4 e) 10

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5. (MACK SP) Sendof(x 1) = 2x + 3 uma funcao de Rem R, a funcaoinversa f1(x) e igual a:

a) (3x+1) 21 b) (x5) 21 c) 2x+2 d) x 32

e) (x+3) 21

6. (CESGRANRIO) Considere as funcoes

f: R R g : R Rx2x+ b xx2

onde b e uma constante. Conhecendo-se a composta

g

f: R

R

xg(f(x)) = 4x2 12x + 9podemos afirmar que b e um elemento do conjunto:

a) (4, 0) b) (0,2) c) (2,4) d) (4, +) e) (, 4)

7. Considere a funcao f: N N definida por:

f(x) =

x

2, se x e par

x+ 1

2 , se x e mpar

onde N e o conjunto dos numeros naturais. Assinale a alternativa

verdadeira:

a) A funcao f e injetora.

b) A funcao f nao e sobrejetora.

c) A funcao f e bijetora.

d) A funcao f e injetora e nao e sobrejetora.

e) A funcao f e sobrejetora e nao e injetora.

8. O domnio da funcao y =

x+ 1

x2 3x + 2 e o conjunto:

a){x R | 1x 2}

b){x R | 1x1 x2}

c){x R |x 1 x2}

d)

{x

R

| 1

x

1

}e)


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f: (0; +) (0;+) a funcao dada porf(x) =

1

x2 e f1 a funcao inversa de f. O valor de f1(4) e:

a) 1/4 b) 1/2 c) 1 d) 2 e) 4

10. (UFMG-80) Seja f(x) = 1

x2 + 1Se x= 0, uma expressao paraf(1/x)

e:

a) x2 + 1 b) x2 + 1

x2 c)

x2

x2 + 1 d)

1

x2+ x e)

1

x2 + 1

11. Considere a funcaoF(x) =|x2 1|definida em R. SeFF representaa funcao composta de F com F, entao:

a) (F F)(x) =x|x2 1|, x Rb) y R |(F F)y= yc) F F e injetorad) (F F)(x) = 0 apenas para 2 valores reais de xe) todas as anteriores sao falsas.

Gabarito

Serie A

1. a) f g(x) = 4x2 1 b) f f(x) = x4 2x2 c) g f(x) = 2x2 2d) g g(x) = 4x 2. 5 3. c) 4. a) (f f)(x) = x b) f1(x) = x+ 1

x 15. d) 6. c) 7. a) 8. c) 9. I) R, II){x R| x 2 e x 2},III) R, IV) R+ 10. I)D(f) = [5, 1], Im(f) = [0, 12] II)D(f) = [0, 3],Im(f) = [1, 2] 11. a)

Serie B

1. f(x) = 1

4x2 1 2. a) (g f)(x) =x b) 13 3. d) 4. a) 5. b)

6. a) 7. e) 8. a) 9. b) 10. c) 11. e)

Auto-avaliacao

Antes de passar a aula seguinte, voce deve resolver todos os exerccios

da Serie A. A Serie B fica como exerccio de aprofundamento.

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