1 sumário função de utilidade em ir n isoquanta (em ir 2 )

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Sumário

• Função de utilidade em IRn

• Isoquanta (em IR2)

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Função de utilidade

• O valor dos BS resulta de satisfazerem as nossas necessidades

• Já estudamos o caso de um BS

• Agora vamos estender a análise a n BS

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• Vamos supor que existe um cabaz genérico A de BS.

• O cabaz A contêm a quantidade ai do BS i

A = (a1, a2, a3, …, an)

• Em termos matemáticos, teremosA IRn

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• O individuo atribui um valor ao cabaz

U = u(a1, a2, a3, …, an)

• Em termos matemáticos, temos uma função real de várias variáveis reais

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• Na maioria das situações, não é necessário que a função de utilidade seja perfeitamente conhecida.

• e.g., a função de utilidade é u(q) = k+2q

Ex(q) = u(q) – q.p = k+2q – q.p

Max(Ex) 0.5/(q) – p = 0

q = 0.25/p2

• Não é necessário conhecer o valor de k

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• Apenas é necessário que a função de utilidade ordene as preferências do agente económico, a.e.

• Denomina-se por utilidade ordinal.

• Se precisamos do valor exacto, temos a utilidade cardinal que é importante na teoria do risco (van Newman - Mortensen)

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Comparabilidade

• Seja o cabaz A e o cabaz B1) O a.e. é capaz de comparar A com B

Ou A é melhor que BA B

Ou A é pior que BA B

Ou A é equivalente a BA ~ B

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Comparabilidade

• Normalmente são usados os símbolos

para dizer que é preferível,

para dizer que é pior e

~ para dizer que é indiferente.

Fonte “MT Extra”

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Comparabilidade

• Um cabaz é um conjunto de bens com determinadas quantidades.

• Cabaz A: cinco quilos de arroz, dois de massa e 1 litro de azeite

• Cabaz B: dois quilos de arroz, um de massa e 2 litros de azeite

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Comparabilidade

Se A é melhor que B, então B é pior que A

A B B A

Se A é pior que B, então B é melhor que A

A B B A

Se A é equivalente a B, então B é equivalente a A

A ~ B B ~ A

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Comparabilidade

• Se A é melhor que B, então

u(A) > u(B)

• Se A é pior que B, então

u(A) < u(B)

• Se A é equivalente a B, então

u(A) = u(B)

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Transitividade

• Se A é melhor que B e se B é melhor que C, então A é melhor que C

(A B e B C) A C

• Se A é melhor que B e se B é indiferente a C, então A é melhor que C

(A B e B ~ C) A C

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Transitividade

• Se A é indiferente a B e se B é indiferente a C, então A é indiferente a C

(A ~ B e B ~ C) A ~ C

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Transitividade

• e.g.1.

• Sendo “A melhor que B” e “B indiferente a C”, como se compara A com C?(AB) e (B~C) (A??C)

(AB), (B~C) e (D~E) (A??E)

(EF) e (FG) (E??G)

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Transitividade

• e.g.1.

• (A B) e (B~C) (A C)(A B), (B~C) e (D~E) Não se sabe

(E F) e (F G) Não se sabe

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Insaciabilidade

• Seja A e B de forma que

aj > bj e ai = bi, i≠j

(existe igual quantidade de todos os BS e maior quantidade de um dos BS)

• Então, A B u(A) > u(B)

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Insaciabilidade

• e.g.2:

• Cabaz A: cinco quilos de arroz, dois de massa e 1 litro de azeite

• Cabaz B: cinco quilos de arroz, dois de massa e 2 litros de azeite

• A??B

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Insaciabilidade

• A função de utilidade é crescente com a quantidade de cada um dos BS

Mantendo constante as quantidades dos outros BS e o tudo o resto.

Niai

Au,...,2,1,0

)(

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Insaciabilidade

• Mas cresce a velocidade decrescentee.g., quando eu passo as férias de 7 dias para

8 dias, a minha utilidade aumenta 10utils.

quando eu passo as férias de 14 dias para 15 dias, a minha utilidade aumenta 5 utils.

Niai

Au,...,2,1,0

)(2

2

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Curva da indiferença

• Vamos reduzir a nossa análise a cabazes com 2 BS

• Teremos U = u(a1,a2)

• A representação gráfica faz-se com isolinhas

• e.g. 3/2

13/1

121 .),( aaaau

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• Uma isolinha dá as combinações de a1 e a2 que resulta num determinado valor para a função, e.g., u:

2/11

2/3

2

3/11

3/22

3/22

3/11 .

a

ua

a

uauaa

22


0

1

2

3

4

5

6

7

8

9

10

0 2 4 6 8 10

u = 1

u = 3

u = 5

a1

a2

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• A utilidade de todos os cabazes que formam uma isolinha é igual

O a.e. é indiferente entre quaisquer dois cabazes que pertençam à mesma isolinha:

Se u(A) = u(B) então A ~ B

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• Em termos genéricos, como será a forma de uma isolinha de BS normais?

• Dois cabazes da mesma isolinha não podem ter mais (quadrante I) nem menos (quadrante III) de todos os BS.

• Para cada ponto, tem que vir do quadrante II e ir para o quadrante IV

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• Se os bens forem em parte complementares e em parte substitutos, então a função utilidade será côncava.

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Curvas de indiferença

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• Os azuis são piores e os vermelhos são melhores que A– Se do ponto A andarmos para a esquerda,

mantém-se a quantidade do BS2 e diminui a quantidade do BS1

– Se do ponto A andarmos para baixo, mantém-se a quantidade do BS1 e diminui a quantidade do BS2

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• Motivado pela insaciabilidade e pela transitividade

• A curva de indiferença é descendente

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• Sendo que existe o cabaz A

• E que por A passa a curva de indiferença IA

• Sendo que existe o cabaz B à direita da IA

• Então, o cabaz B é melhor que qualquer cabaz que pertença à IA.

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• Sendo que por B passa a curva de indiferença IB

• Então, qualquer cabaz de IB é melhor que qualquer outro cabaz de IA

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• Sendo A B e A ~ Ci e B ~ Dj

• Então, i,j, Ci < Dj

• Isto traduz que

• As curvas à direita são ‘melhores’

• Curvas diferentes, nunca se cruzam

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• O que seria preciso para que as curvas de indiferença se pudessem cruzar?

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• A B porque a1>b1 e a2>b2• B ~ C porque estão sobre a mesma curva

de indiferença• Então, pela transitividade, A C• Mas C A porque c1<a1 e c2>a2! (não

pode ser)

• As preferências não poderiam ser transitivas

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Inclinação da curva de ind.

• O que traduzirá a inclinação da curva de indiferença?

• Já vimos uma curva parecida:

• A FPP.

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• A fronteira das possibilidades de produção

• Traduz quanto eu obtenho do bem 2 quando abdico de produzir uma unidade do bem 1

• Mantendo a quantidade de recurso constante

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• A curva da indiferença é equivalente

• Traduz quanto eu necessito de ter a mais do bem 2 para poder abdicar de consumir uma unidade do bem 1

• Mantendo-me numa situação equivalente– O mesmo grau de satisfação

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• Eu posso consumir menos do BS1

• E manter-me indiferente se consumir mais do BS2

• Sendo a inclinação i = (b2–a2)/(b1–a1)

• Por cada unidade do BS1 que eu deixo de consumir, terei que consumir mais |i| unidades do BS2.

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• e.g., os cabazes A = (10,15) e B=(13, 9) encontram-se na mesma c. de indiferença.

• Quanto terei que aumentar o consumo do BS2 se quiser diminuir o consumo do BS1 numa unidade e ficar indiferente?

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Taxa Marg. de substituição

• A inclinação é (9-15)/(13-10) = -2

• Terei que aumentar o consumo do BS2 em 2 unidades

• Esta inclinação denomina-se de taxa marginal de substituição

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• S os bens são parcialmente substitutos e parcialmente complementares.

• Então a curvatura das curvas de indiferença é para cima/direita

• Traduz que a curva é convexa

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• Em parte, a convexidade também traduz que o consumidor vai ficando com a ‘barriguinha cheia’:– Quanto mais tem menos valor dá a ter mais

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