1

PFR: Métodos de Discretização

EQE038 – Simulação e Otimização de Processos Químicos

Argimiro R. SecchiPrograma de Engenharia Química – COPPE/UFRJ

Rio de Janeiro, RJ

EQ/UFRJmarço de 2014

2

Modelo Dinâmico de um Reator Tubular

Considerações:

•Propriedades físicas constantes (, , cp);

•Fluido Newtoniano;

•Simetria angular;

•vr = v = 0

3

Classificação dos modelos de acordo com os princípios físico-químicos

Modelo Microscópico

Modelo de Gradientes Múltiplos

Modelo de Máximo Gradiente

Modelo de Macroscópico

4

Modelo Microscópico:

( )( , ) ( ) ( D )li iz i i i

C Cv r t C v C Rt z

( ) ( ) ( ) ( ) ( )( , ) ( ) ( ) ( )l l l t tp p z p v v r

T Tc c v r t c v T k T St z

( ) 2[ ] lv v v v v P v gt

( ) ( )t ti i iv c J C D

( ) ( )t tpc v T q k T

( ) ( )t tv v v

Modelo de turbulência (exemplo simples):

( . ) 0v v v r tz z ( , )

Computational Fluid Dynamic (CFD)

5

Método de resolução recomendado

Volumes Finitos:Consiste na realização de balanços de propriedades em volumes elementares (volumes finitos), ou de forma equivalente na integração sobre o volume elementar da equação diferencial na forma conservativa (ou forma divergente, onde os fluxos aparecem dentro das derivadas).

Uso de softwares de CFD (dinâmica de fluido computacional)

6

Exemplo simples do uso do método dos volumes finitos:Equação da reação-difusão transiente em uma partícula catalítica esférica

2 22

0

0

1 ( , )

0 ; (1, ) 1

( ,0)

r

C Cr C r tt r r r

C C tr

C r C

2 2 2 2e e e

w w w

C Cr dr r r C drt r

reação de primeira ordem

24dV r dr

7

Exemplo simples do uso do método dos volumes finitos

2

22 2

2

3

e

ew

p ewe w

w

C r drC C r dr

r rr dr

2 2

3 3

3 ep

pwe w

dC Cr Cdt rr r

valor médio

e w

E p p W

e wr r r r

C C C CC Cr r r r

2pW W p p E E p

dCA C A C A C C

dt

2

3 33 w

We w w

rAr r r

2 2

3 33 e w

pe we w

r rAr rr r

2

3 33 e

Ee w e

rAr r r

p = 2, ..., N 1

8

Exemplo simples do uso do método dos volumes finitos

0wr

Cr

1

e

e p p

f fr

C C CCr r r

dC AC bdt

Sistema resultante: onde A é matriz tridiagonal

Condições de contorno

( )dC F Cdt

Ou um sistema não-linear para reações de ordem 1:

9

Modelo de Gradientes Múltiplos:

( , ) ( D )i iz i i

C Cv r t C Rt z

( , ) ( )p p z v rT Tc c v r t k T St z

( ) ( )t l D D D ( ) ( )t lk k k ( ) ( )t l

2zz

v P v gt

Condições de Contorno:

zona de reaçãovz, Ci0, T0

z = 0 z = Lz = 0¯ z = 0+ z = L¯ z = L+

10

2

2

1D ( , ) D ( , ) ( , )i i i iz R z i

C C C Cr t r r t v r t Rt z r r r z

0(0, , )( , ) ( ) ( , ) (0, , ) D ( , ) i

z i z i zC r tv r t C t v r t C r t r t

z

Cz

L r ti ( , , ) 0

Cr

z ti ( , , )0 0

Cr

z R ti ( , , ) 0

_( , ,0) ( , )i i inC z r C z r

Sem reação na saída

Simetria

Condição inicial

Parede impermeável

Balanço de massa por componente (removendo a notação de média temporal):

11

Balanço de energia (removendo a notação de média temporal):

( , , ) 0T L r tz

( ,0, ) 0T z tr

( , ,0) ( , )inT z r T z r

Sem reação na saída

Simetria

Condição inicial

Troca de calor pela parede

2

2

1( , ) ( , ) ( , )p z R p z r AT T T Tc k r t r k r t c v r t H Rt z r r r z

0( , ) (0, , )( , ) ( ) ( , ) (0, , ) z

z zp

k r t T r tv r t T t v r t T r tc z

( , ) ( , , ) ( , , )R wTk R t z R t U T T z R tr

12

Balanço de quantidade de movimento (removendo a notação de média temporal):

(0, ) 0zv tr

_( ,0) ( )z z inv r v r

Simetria

Condição inicial

Parede imóvel

1z zv P vrt z r r r

v R tz ( , ) 0

13

2

2

DDi i i iRL z i

C C C Cr v Rt z r r r z

2

2R

p L p z r AT T k T Tc k r c v H Rt z r r r z

Simplificação adicional:

- coeficientes difusivos efetivos constantes

- velocidade constante

( , , ) 0T L r tz

( ,0, ) 0T z tr

( , ,0) ( , )inT z r T z r

0(0, , )( ) (0, , ) L

z zp

k T r tv T t v T r tc z

( , , ) ( , , )R wTk z R t U T T z R tr

0(0, , )( ) (0, , ) D i

z i z i LC r tv C t v C r t

z

Cz

L r ti ( , , ) 0

Cr

z ti ( , , )0 0

Cr

z R ti ( , , ) 0

_( , ,0) ( , )i i inC z r C z r

2

2

DDi i i iRL z i

C C C Cr v Rt z r r r z

2

2R

p L p z r AT T k T Tc k r c v H Rt z r r r z

14

Métodos de resolução de S.E.D.P.

Para simulação dinâmica o mais indicado é o método das linhas:

- discretização espacial (diferenças finitas, volumes finitos, elementos finitos)

- integração temporal

Exemplo: diferenças finitas na direção axial e colocação ortogonal na radial

1

, , , 1, , , , 1, , 1, , 1,, , , , , ,2

0

2D 4D

2

ni j k i j k i j k i j k i j k i j k

L R k k m k m i j m z i j km

dC C C C C Cu B A C v R

dt z z

1

, 1, , 1, 1, 1,, , , , ,2

0

24

2

nj k j k j k j k j k j k

p L R k k m k m j m p z r A j km

dT T T T T Tc k k u B A T c v H R

dt z z

.( )m k

k mdl uA

du

2

, 2

( )m kk m

d l uBdu

1

0( )

np

mp m pp m

u ul u

u u

2u ronde:

j = 1,2,...,N k = 1,2,...,n1

( , )1

0

( ) ( ) ( )n

n m mm

y u P u l u y

15

,2, 00 ,1,

( )( ) D

2i k i

z i z i k L

C C tv C t v C

z

, 1, , , 0i N k i N kC C

1

0, , ,0

0n

m i j mm

A C

1

1, , ,0

0n

n m i j mm

A C

, , _ , ,i j k i in j kC C

Métodos de resolução de S.E.D.P.Condições de contorno

1, , 0N k N kT T

1

0, ,0

0n

m j mm

A T

, , ,j k in j kT T

2, 00 1,

( )( )

2kL

z z kp

T T tkv T t v Tc z

1

1, , , 10

n

R n m j m w j nm

k A T U T T

j = 1,2,...,N k = 1,2,...,n

Resulta em um sistema de equações algébrico-diferenciais, ou somente diferenciais se as condições de contorno (lineares) forem incorporadas nas equações diferenciais

16

Outro Modelo de Gradientes Múltiplos: (ignorando gradientes radiais)

PFR com dispersão axial2

2Di i iL z i

C C Cv Rt z z

2

2

2p L p z w r A

T T T Uc k c v T T H Rt z z R

0(0, )( ) (0, ) D i

z i z i LC tv C t v C t

z

( , ) 0iC L tz

_( ,0) ( )i i inC z C z

( , ) 0T L tz

( ,0) ( )inT z T z

0(0, )( ) (0, ) L

z zp

k T tv T t v T tc z

0

0

( , , )( , )

R

i

i R

C r z t r drC z t

r dr

0

0

( , , )( , )

R

R

T r z t r drT z t

r dr

17

Métodos de resolução do S.E.D.P.

Método das linhas:

- discretização espacial (D.F., V.F., colocação ortogonal em elementos finitos)

- integração temporal

Exemplo: diferenças finitas na direção axial

, , 1 , , 1 , 1 , 1,2

2D

2i j i j i j i j i j i j

L z i j

dC C C C C Cv R

dt z z

1 1 1 1,2

2 22

j j j j j jp L p z w j r A j

dT T T T T T Uc k c v T T H Rdt z z R

j = 1,2,...,N

,2 00 ,1

( )( ) D

2i i

z i z i L

C C tv C t v C

z

, 1 , 0i N i NC C

, _ ,i j i in jC C

1 0N NT T

,j in jT T

2 00 1

( )( )2

Lz z

p

T T tkv T t v Tc z

18

Modelo de Gradiente Máximo: (ignorando dispersão axial)

PFR sem dispersão axial

i iz i

C Cv Rt z

2p p z w r A

T T Uc c v T T H Rt z R

0(0, ) ( )i iC t C t

_( ,0) ( )i i inC z C z

( ,0) ( )inT z T z

0(0, ) ( )T t T t

Resulta em um sistema de equações diferenciais ordinárias ao aplicar o método das linhas

19

Modelo de Macroscópico:

0 ( )ii z i z i

dCV C t v S C v S R Vdt

0 ( ) ( )p p z p z t w r AdTc V c v S T t c v S T U A T T H R Vdt

_(0)i i inC C

(0) inT T

0

0

( , )( )

L

i

i L

C z t S dzC t

S dz

0

0

( , )( )

L

L

T z t S dzT t

S dz

Resulta em um sistema de equações diferenciais ordinárias

20

Esquema da aplicação do MCO ao EMSO

Simulador EMSO

Rotina de cálculo das raízes e matrizes

• Contornos• Pontos Internos

• Alfa e Beta

• Raízes de Jacobi• Matriz A e B

Plugin

DD as Plugin (Type=“OCFEM”, Boundary="BOTH”, InternalPoints=5 alfa=1, beta=1)

Plugin: ocfem_emso.dll

21

Reator de leito fixo com dispersão axial(reação de ordem m)

2

2

1 my y y Da yx Pe x

Condições de contorno:

0

1 1 ( ,0)x

y yPe x

1

0x

yx

( ,0) 1y ou

Condição inicial:

(0, ) 0y x

22

Exemplo: adicionar o Plugin ocfem_emso.dll e executar os flowsheets dos arquivos FDM_ss.mso, OCM_ss.mso e OCFEM_ss.mso e comparar os resultados das discretizações. Fazer o mesmo para o caso transiente nos arquivos FDM_din.mso e OCM_din.mso.

Sistema de Equações Diferenciais Parciais– Método das Linhas com D.F. e Colocação Ortogonal –

23

Comparando os Resultados

MCO pelo EMSONúmero de pontos internos: 5

y(x=1) = 0.151475 (erro de 0.038%)

1 1 Método das Diferenças FinitasNúmero de pontos internos: 6000

y(x=1) = 0.15155 (erro de 0.087%)

y(x=1) = 0.151418 (exato)

24

Estudo de Caso• Produção de anidrido acético em reator PFR adiabático

– O anidrido acético, em especial, é um dos mais importantes produtos químicos, e freqüentemente é preparado pela reação de um ácido acético com um composto chamado ceteno, obtido a partir do aquecimento da acetona a 700-770oC.

– Etapa importante é o craqueamento em fase vapor de acetona para ceteno e metano:

– A segunda etapa é a reação do ceteno com ácido acético.

Ref: G. V. Jeffreys, A Problem in Chemical Engineering Design: The Manufacture of Acetic Anhydride, 2nd ed. (London: Institution of Chemical Engineers, 1964)

3 3 2 4CH COCH CH CO CH

2 3 3CH CO CH COOH CH CO O

25

34222exp 34.34kT

• Definição do problema – A primeira etapa da produção é realizada através de uma reação

na fase vapor de acetona em um reator tubular (PFR) adiabático.

onde A = acetona; B = ceteno e C = metano

– A reação é de 1a ordem em relação à cetona na reação de craqueamento, com constante de Arrhenius dada por:

• k – segundos• T – Kelvin

CBA

Estudo de Caso

26

• Descrição do Processo – Geometria do reator

• um reator tubular adiabático contínuo;• contém um banco de 1000 tubos de 1 in sch. 40 correspondendo uma seção

transversal de 0,557 m2;• com comprimento total de 2,28 m;

– Condições de operação• temperatura da carga 762oC (1035 K);• pressão de operação de 1,6 atm• vazão de 8000 kg/h (137,9 kmol/h);

– Composição• Acetona (ACETONE), Ceteno (KETENE) e Metano (METHANE)• alimentação de acetona pura

– Cinética• ocorre uma reação de primeira ordem, • fator pré-exponencial (k0): 8,2 x 1014 s-1

• energia de ativação (E/R): 34222 K• calor da reação de -80,77 kJ/mol

Estudo de Caso

27

Exemplo: executar o FlowSheet do arquivo PFR_Adiabatico.mso e construir os perfis de temperatura e composição no estado estacionário. Mostrar também a evolução do perfil de temperatura da condição inicial até o estado estacionário. Discutir o tipo e a qualidade da discretização usada neste exemplo.

Estudo de Caso– Produção de anidrido acético –

28

Exercícios1) Resolver o problema da reação-difusão em uma partícula catalítica esférica, descrito por:

2) Apresentar os resultados do exemplo do slide 27.

2 2 1/ 22

1y y yr yt r r r

0

0r

yr

1( , ) 1

ry t r

0( , ) 0

ty t r

2 (módulo de Thiele)

29

Bibliografia• Himmelblau, D. M. & Bischoff, K. B., "Process Analysis and Simulation - Deterministic Systems", John Wiley & Sons, 1968.• Finlayson, B. A., "The Method of Weighted Residuals and Variational Principles with Application in Fluid Mechanics, Heat and Mass Transfer", Academic Press, 1972.• Villadsen, J. & Michelsen, M. L., "Solution of Differential Equation Models by Polynomial Approximation", Prentice-Hall, 1978.• Davis, M. E., "Numerical Methods and Modeling for Chemical Engineers", John Wiley & Sons, 1984.• Denn, M., "Process Modeling", Longman, New York, 1986.• Luyben, W. L., "Process Modeling, Simulation, and Control for Chemical Engineers", McGraw-Hill, 1990.• Silebi, C.A. & Schiesser, W.E., “Dynamic Modeling of Transport Process Systems”, Academic Press, Inc., 1992.• Biscaia Jr., E.C. “Método de Resíduos Ponderados com Aplicação em Simulação de Processos”, XV CNMAC, 1992• Ogunnaike, B.A. & Ray, W.H., “Process Dynamics, Modeling, and Control”, Oxford Univ. Press, New York, 1994.• Rice, R.G. & Do, D.D., “Applied Mathematics and Modeling for Chemical Engineers”, John Wiley & Sons, 1995.• Maliska, C.R. “Transferência de Calor e Mecânica dos Fluidos Computacional”, 1995.• Bequette, B.W., “Process Dynamics: Modeling, Analysis, and Simulation”, Prentice Hall, 1998.• Fogler, H.S., “Elementos de Engenharia de Reações Químicas”, Prentice Hall, 1999.