1

1. Modelos de Sistemas Discretos 1. Modelos de Sistemas Discretos _______________________________________1

1.1. Representación en Variables de Estado ______________________________________________________________________________________ 2 1.1.1. Valor entre muestras _______________________________________________________________________________________________________________4

1.2. Cálculo de las Matrices Discretas ___________________________________________________________________________________________ 5 1.3. Teorema de Cayley-Hamilton ______________________________________________________________________________________________ 6 1.4. Evolución del Estado ____________________________________________________________________________________________________ 12 1.5. Pasaje de Discreto a Continuo_____________________________________________________________________________________________ 13 1.6. Muestreo de Sistemas con Retardo_________________________________________________________________________________________ 16 1.7. Variables de Estados con Otro Bloqueador __________________________________________________________________________________ 21 1.8. Transformaciones de Estados _____________________________________________________________________________________________ 22

1.8.1. Forma Observable ________________________________________________________________________________________________________________23 1.8.2. Forma Controlable _______________________________________________________________________________________________________________25

1.9. Modelos de Entrada Salida _______________________________________________________________________________________________ 26 1.10. Respuesta Impulsional __________________________________________________________________________________________________ 26 1.11. Operador Desplazamiento _______________________________________________________________________________________________ 29 1.12. Función de Transferencia _______________________________________________________________________________________________ 33

1.12.1. Función de Transferencia en Transformada Z__________________________________________________________________________________________41 1.12.2. Discretización de la Función de Transferencia _________________________________________________________________________________________42

1.13. Relación de Polos y Ceros Continuos y Discretos ____________________________________________________________________________ 50 1.14. Sistemas con Función de Transferencia Inversa Inestable_____________________________________________________________________ 54 1.15. Elección del Período de Muestreo_________________________________________________________________________________________ 56

2

1.1. Representación en Variables de Estado La planta a controlar sigue siendo continua.

( ) ( ) ( )( ) ( ) ( )

x t Ax t Bu t

y t Cx t Du t

= +

= + [1.1]

Se lo controla con una señal u reconstruida con un bloqueador de orden cero.

( ) ( ) ( ) ( ) ( )k

k

tA t t A tk t

x t e x t e Bu dτ τ τ− −= + ∫ [1.2]

para el instante siguiente resulta,

( ) ( ) ( ) ( ) ( )111 1

kk k

k

tA t t A tk k k kt

x t x e x t e d Bu tτ τ++ − −+ += = + ∫ [1.3]

Muestreo sincrónico y período de muestreo constante

( ) ( ) ( ) ( ) ( )( ) ( ) ( )

1 1 1, ,k k k k k k k

k k k

x t t t x t t t u t

y t Cx t Du t+ + += Φ + Γ

= +

[1.4]

con

3

( ) ( )

( ) ( )

1

1

1

1

,

,

k k

k

k

A t tk k

t A tk k t

t t e

t t e d Bτ τ

+

+

−+

−+

Φ =

Γ = ∫ [1.5]

Este modelo es exacto solo para el instante de muestreo. Queda expresado como una ecuación en diferencias. Si el período de muestreo se lo llama T, si el sistema es invariante en el tiempo y la

matriz D es nula:

1k k k

k k

x x uy Cx

+ = Φ + Γ =

[1.6]

con

0

AT

T A

e

e d Bτ τ

Φ =

Γ = ∫ [1.7]

4

1.1.1. Valor entre muestras Con la misma ecuación , variando t, se calcula el estado entre muestras. El cálculo del estado entre muestras es como calcular la respuesta al escalón. Entre muestras el sistema está en lazo abierto.

( ) ( ) ( ) ( ) ( )( ) ( )

( )

,

0

, ,

,

,

k

k

k k k k

A t tk

t t Ak

x t t t x t t t u t

t t e

t t e d Bτ τ−

= Φ + Γ

Φ =

Γ = ∫

[1.8]

5

1.2. Cálculo de las Matrices Discretas Una posible forma es mediante desarrollo en serie de la matriz

( )

2 1

0 2! 1 !

i iT A AT A Te d ITi

τ τ+

Ψ = = + + ++∫ [1.9]

resultando

I A

BΦ = + ΨΓ = Ψ

[1.10]

Otra forma es utilizar la Transformada de Laplace ya que

( ){ }11ATe L sI A −−= − [1.11]

Una tercera opción es utilizar el siguiente teorema

6

1.3. Teorema de Cayley-Hamilton

( ) ( ) 11 1 0det n n

nI A a a aλ λ λ λ λ−−− = ∆ = + + + + [1.12]

una matriz satisface su polinomio característico

1

1 1 0 0n nnA a A a A a−−+ + + + = [1.13]

o lo que es lo mismo

1

1 1 0n n

nA a A a A a−−= − − − − [1.14]

( )2 1, , , ,n nA f I A A A −= [1.15]

pero si se multiplica por A también quedará un función

( )( )

1 21 1 0

1 21 1 1 0 1 0

2 1, , , ,

n nn

nn n

n

A a A a A a A

a a A a A a a A a A

f I A A A

+−

−− −

−

= − − − −

= − − − − − − − −

=

[1.16]

es decir toda potencia de la matriz original se puede expresar como una combinación lineal de ( )2 1, , , , nI A A A − y por lo tanto cualquier polinomio ( )f A .

7

También A satisface polinomios de grado menor a n-1. Esto se cumple cuando el polinomio característico tiene raíces múltiples. En este caso se define el polinomio mínimo que es de menor grado que el característico y depende del tamaño de los bloques de Jordan.

Todo polinomio puede ser expresado como una división de polinomios, de la forma ( ) ( ) ( ) ( )f q hλ λ λ λ= ∆ + [1.17]

pero el primer término es nulo, con lo que queda, calculado en A, lo siguiente ( ) ( )f A h A= [1.18]

este polinomio es de grado n-1. La ecuación [1.17] se cumple para todos los autovalores de A

En el caso del cálculo de ATe se puede considerar como un polinomio de grado infinito y calcularlo en base al polinomio característico de A.

8

Ejemplo 1. Teorema Cayley-Hamilton

Se desea calcular ATe con la matriz

0 112 7

A = −

[1.19]

cuyo polinomio característico es

( ) ( )( )217 12 4 3

12 7I A

λλ λ λ λ λ λ

λ−

∆ = − = = − + = − − − [1.20]

el polinomio a calcular es

( ) Tf eλλ = [1.21]

el polinomio h tendrá orden 1 y será de la forma: ( ) 1 0h λ α λ α= + [1.22]

y se cumple que

( ) ( ) 1 0Tf e hλλ λ α λ α= = = + [1.23]

que calculado para los autovalores de A resulta

9

41 0

31 0

4

3

T

T

e

e

α α

α α

= +

= + [1.24]

de donde se puede deducir el valor de las constantes

4 31

4 30 3 4

T T

T T

e e

e e

α

α

= −

= − + [1.25]

reemplazando

( ) ( )4 3 4 30 1 3 4AT T T T Te I A e e I e e Aα α= + = − + + − [1.26]

( )4 3 4 3

4 3 4 3

3 4

12 4 3

T T T TAT

T T T T

e e e ee

e e e e

− + −=

− − − [1.27]

10

Ejemplo 2. Doble Integrador

( ) ( ) ( )

( ) [ ] ( )

0 1 00 0 1

1 0

x t x t u t

y t x t

= +

=

[1.28]

1 0 0 1

00 1 0 0 0 1

T T Φ = + + =

[1.29]

2

021

TT

dT

ττ

Γ = =

∫ [1.30]

[ ]

2

1

121 1

1 0

k k k

k k

TTx x u

T

y x

+

= +

=

[1.31]

11

Ejemplo 3. Motor

( ) ( ) ( )

( ) [ ] ( )

1 0 11 0 0

0 1

x t x t u t

y t x t

− = +

=

[1.32]

( ) ( )( )

11

1 01 0 0 11

1 11 1 111

s s ssI A

s ss ss s s

−−

+ + − = = = − ++ +

[1.33]

0

1 1

TAT

T

ee

e

−

−

Φ = = −

[1.34]

0

11 1

TT

T

e ed

e T e

τ

ττ

− −

− −

−Γ = = − − +

∫ [1.35]

12

1.4. Evolución del Estado por simplicidad: 1T = , ( ) kx kT x=

muestra inicial: ak

1

22 1 1 1

11

11

a a a

a a a a a a

a a

a a

a

a

a

k k k

k k k k k k

k k k kk k k k

kk k k j

k jj k

x x u

x x u x u u

x x u u

x u

+

+ + + +

− − ++

−− − −

=

= Φ + Γ

= Φ + Γ = Φ +ΦΓ + Γ

= Φ +Φ Γ + + Γ

= Φ + Φ Γ∑

[1.36]

una parte depende de las condiciones iniciales y otra de las entradas

13

1.5. Pasaje de Discreto a Continuo El pasaje inverso no siempre tiene solución

Ejemplo 4. Sistema de primer orden 1 0,5k k kx x u+ = − + [1.37]

0,5aTe = − [1.38]

no tiene solución real El modelo discreto es más general que el continuo

0

AT

T A

e

e d Bτ τ

Φ =

Γ = ∫ [1.39]

de donde se desprende

( ) ( ) ( )

( ) ( )

d tA t t A

dtd t

t Bdt

Φ= Φ = Φ

Γ= Φ

[1.40]

14

matricialmente

( ) ( ) ( ) ( )

0 00 0A Bt t t td

dt I IΦ Γ Φ Γ

=

[1.41]

Se puede resolver esta ecuación para t=T .

( ) ( ) exp

0 00A BT T

TI

Φ Γ =

[1.42]

Si el sistema discreto no tiene autovalores reales negativos se puede calcular:

( ) ( )1 ln0 0 0A B t t

T IΦ Γ

=

[1.43]

15

Ejemplo 5. Oscilador Armónico Sistema continuo no único

( ) ( ) ( )0 0

0x t x t u t

ββ β

= + −

[1.44]

2 0,1,i iTπβ α= + = [1.45]

( ) ( )( ) ( )

( )( )1

cos sen 1 cossen cos senk k k

T T Tx x u

T T Tα α αα α α+

− = + −

[1.46]

El cálculo inverso tiene infinitas soluciones Esto pasa generalmente cuando Φ tiene autovalores complejos Pero existe una única solución en n n Tω β ω π≤ ≤ = que es el entorno de la frecuencia

de Nyquist.

16

1.6. Muestreo de Sistemas con Retardo ( ) ( ) ( )dx t Ax t Bu t t= + − [1.47]

Retardo menor al muestreo dt T< :

( )( ) ( ) ( )( ) ( )( )1 11k T A k TAT

dkTx k T e x kT e Bu t dτ τ τ

+ + −+ = + −∫ [1.48]

( )( ) ( )( ) ( )( ) ( )( ) ( )( )( ) ( )

( )( ) ( )

1 11 1 1

1 0

1

1

d

d

k T kT t k TA k T A k T A k TdkT kT kT t

e Bu t d e Bd u k T e Bd u kT

u k T u kT

τ τ ττ τ τ τ+ + ++ − + − + −

+− = − +

= Γ − + Γ

∫ ∫ ∫

[1.49]

( )( ) ( ) ( ) ( )( )0 11 1x k T x kT u kT u k T+ = Φ + Γ + Γ − [1.50]

( )

1 0

0 0

dd

d

AT

tA T t A

T t A

e

e e d B

e d B

τ

τ

τ

τ

−

−

Φ =

Γ =

Γ =

∫∫

[1.51]

se puede usar una representación de estado

17

( )( )( )

( )( )( ) ( )1 01

10 0 1x k T x kT

u kTu k Tu kT

+ Φ Γ Γ = + −

[1.52]

hay r nuevas variables ( )( )1u k T−

El sistema continuo tiene dimensión infinita, en cambio el discreto no. Para almacenar el retardo es necesario guardar los valores anteriores de las entradas.

18

Ejemplo 6. Doble Integrador con Retardo

10 1

AT Te

Φ = =

[1.53]

( ) ( )2

1 0

1 220 1

ddddtA T t ddA

d d

tt t TT te e d B

t t

τ τ− −− Γ = = =

∫ [1.54]

( )2

0 0 2d

dT t A

d

T te d B

T t

τ τ−

− Γ = =

− ∫ [1.55]

( )( )( )

( )( )

( )( )

( )

( )

2

1 2 210 1

10 0 0 1

ddd

d d

T ttT t Tx k T x kT

t T t u kTu k Tu kT

− − + = + − −

[1.56]

19

Retardo mayor al muestreo ( )1d dt d T t′= − + :

( )( ) ( ) ( )( ) ( )( )0 11 1x k T x kT u k d T u k d T+ = Φ + Γ − + + Γ − [1.57]

( )( )( )( )

( )( )( )

( )( )( )

( )( )( )( )

( )

1 01 0 0

1 0 0 0 0

20 0 0 010 0 0 0 1

x k T x kTu k d Tu k d T I

u kTu k TIu k T

Iu k Tu kT

+ Φ Γ Γ −− + = + −− −

[1.58]

hay d.r nuevas variables

20

Ejemplo 7. Máquina de Papel ( ) ( ) ( )2,5x t x t u t= + − [1.59]

1T = , 3d = , 0,5dt′ =

1 0,37e−Φ = = [1.60]

0,50,5 0,5 1

1 00,24e e d e eτ τ− − − −Γ = = − =∫ [1.61]

0,5 0,5

0 01 0,39e d eτ τ− −Γ = = − =∫ [1.62]

1

2 3

1 2

1

0,37 0,24 0,39 0 00 0 1 0 00 0 0 1 00 0 0 0 1

k k

k kk

k k

k k

x xu u

uu uu u

+

− −

− −

−

= +

[1.63]

21

1.7. Variables de Estados con Otro Bloqueador El BOC es el más barato y más común En sistemas hidráulicos no se usa porque genera cambios bruscos de presión. Cambios en el bloqueador implican cambios en Γ , no en Φ

Ejemplo 8. Doble Integrador con Bloqueador Diferente

Bloqueador

0

uk

T/2T

αuk

βuk

10 1

AT Te

Φ = =

[1.64]

( ) ( )

2 22

0 2

312 4 4

T TA T A TT

T Te Bd e Bd

T Tτ τ α β

α τ β τα β

− − +Γ = + = +

∫ ∫ [1.65]

( )2

0 0 2d

dT t A

d

T te d B

T t

τ τ−

− Γ = =

− ∫ [1.66]

22

1.8. Transformaciones de Estados k kx Tx= [1.67]

T matriz no singular.

11 1

1

k k k k k k

k k

k k k k k

k k

x Tx T x T u T T x T u

x u

y Cx Du CT x Du

Cx Du

−+ +

−

= = Φ + Γ = Φ + Γ

= Φ + Γ

= + = + = +

[1.68]

La ecuación característica [ ]det 0Iλ −Φ = [1.69]

se mantiene invariante

[ ]

[ ]

1 1 1det det det det det

det

I TT T T T I T

I

λ λ λ

λ

− − − −Φ = − Φ = −Φ = −Φ

[1.70]

23

1.8.1. Forma Observable ecuación característica

[ ] 11det 0n n

nI a aλ λ λ −−Φ = + + + = [1.71]

si se construye la matriz

1n

CC

O

C −

Φ = Φ

[1.72]

y resulta no singular, se puede encontrar el nuevo estado de la forma,

[ ]

1 1

2 2

1

1 1

1 0 00 1 0

0 0 10 0 0

1 0 0

k k k

n n

n n

k k

a ba b

x x ua ba b

y x

+

− −

− − = + − −

=

[1.73]

24

fácil encontrar la relación entre variables de estado y relación entrada salida.

25

1.8.2. Forma Controlable Se construye la matriz

2 1n nCo − − = Γ ΦΓ Φ Γ Φ Γ [1.74]

Si resulta no singular, se puede encontrar el nuevo estado de la forma,

[ ]

1 2 1

1

1 2

11 0 0 0 00 1 0 0 0

0 0 1 0 0

n n

k k k

k n k

a a a a

x x u

y b b b x

−

+

− − − − = +

=

[1.75]

26

1.9. Modelos de Entrada Salida Modelo interno: Variables de estado Modelo Externo: Función de Transferencia (Entrada Salida) Como en los sistemas continuos, los discretos pueden expresarse en base a la respuesta

impulsional. 1.10. Respuesta Impulsional

Entrada y salida de un sistema discreto son secuencias de números que, en un intervalo finito de muestras, serán secuencias finitas.

Expresadas en forma de vectores resultan

[ ][ ]

0 1

0 1

TN

TN

U u u

Y y y−

−

=

= [1.76]

Un modelo lineal que relacione salida con entrada se puede escribir 0Y HU Y= + [1.77]

siendo H una matriz de N N× e 0Y las condiciones iniciales.

si Y es causal, H es triangular inferior En este caso

27

( ) 00

,k

k m km

y h k m u y=

= +∑ [1.78]

h es la respuesta impulsional, función de peso o secuencia de ponderación Es fácil medir inyectando una entrada de amplitud 1 y duración una muestra.

Para más de una entrada h es una matriz Para sistemas invariantes en el tiempo

( ) ( ),h k m h k m= − [1.79]

Se puede calcular h a partir de variables de estado

0

0

0

11

kk k k j

k k jj k

y C x C u−

− − −

=

= Φ + Φ Γ∑ [1.80]

Para un impulso

1

0 11k k

kh

C k−

<= Φ Γ ≥

[1.81]

28

La respuesta impulsional no varía con transformaciones

( ) ( )

( )

11 1 1

1 1 1 1

kkk

k kk

h C CT T T T

CT T T T C h

−− − −

− − − −

= Φ Γ = Φ Γ

= Φ Γ = Φ Γ = [1.82]

29

1.11. Operador Desplazamiento

Es el equivalente discreto al operador diferencial dp dt=

La secuencia debe ir desde −∞ a +∞ El muestreo es 1T =

- Operador Adelanto 1k kqf f += [1.83]

- Operador Retardo

1

1k kq f f−−= [1.84]

Para análisis de estabilidad conviene Operador Adelanto Para causalidad, Retardo Las operaciones con ecuaciones en diferencias se reducen a operaciones algebraicas Es fácil confundirlo con la Transformada en Z así como se confunde s con p. No son exactamente iguales. Es útil para manejar ecuaciones en diferencias grandes.

30

Sea el sistema

1 1 0a a a b bk n k n n k k n n k

a b

y a y a y b u b u

n n+ + − ++ + + = + +

> [1.85]

( ) ( )1 11 0 1

a a b b

a b

n n n nn k n kq a q a y b q b q b u− −+ + + = + + + [1.86]

( )( )

11

10 1

a a

a

b b

b

n nn

n nn

A q q a q a

B q b q b q b

−

−

= + + +

= + + + [1.87]

( ) ( )k kA q y B q u= [1.88]

expresado en función del operador retardo 1 1 0a a b bk k n k n k d n k d ny a y a y b u b u− − − − −+ + + = + + [1.89]

con a bd n n= − exceso de polos

polinomio recíproco

( ) ( )1* 111 a a a

a

n n nnA q a q a q q A q− −= + + + = [1.90]

[1.89] se puede escribir

( ) ( )* 1 * 1k k dA q y B q u− −

−= [1.91]

31

Cuidado: **A no necesariamente es A, por ejemplo

( )( )( )

* 1

**

1

1

A q q

A q qq

A q

−

=

= =

=

[1.92]

- Propiedades Multiplicación: funciona División: no siempre

32

Ejemplo 9. División con Operador Desplazamiento

( )1 1k k k

k k

y ay u a

q a y u+ − = <

− = [1.93]

valor inicial 0y

11 1

0 00 1

k kk k j k j

k j k jj j

y a y a u a y a u−

− − −−

= =

= + = +∑ ∑ [1.94]

Si la división funciona, se puede escribir

1

1

11k k k

qy u uq a aq

−

−= =− −

[1.95]

Esto es la convergencia de la serie

( )1 1 2 2 1

1

1 jk k k j

j

y q aq a q u a u∞

− − − −−

=

= + + + = ∑ [1.96]

[1.96] y [1.94] excepto que las entradas y salidas sean nulas para instantes negativos

33

1.12. Función de Transferencia 1k k k kx qx x u+ = = Φ + Γ [1.97]

( ) k kqI x u−Φ = Γ [1.98]

( ){ }1k k k ky Cx Du C qI D u−= + = −Φ Γ+ [1.99]

Función de Transferencia

( ) ( ) 1H q C qI D−= −Φ Γ + [1.100]

expresada en operador retardo

( ) ( ) ( )1* 1 1 1H q C I q q D H q−− − −= − Φ Γ + = [1.101]

34

Para sistemas UEUS (SISO)

( ) ( ) ( )( )

1 B qH q C qI D

A q−= −Φ Γ + = [1.102]

Si el sistema es de orden n, y A y B no tiene factores comunes, A es de grado n A es el polinomio característico del sistema lo que implica que el sistema se puede

escribir: 1 1 0a a b bk k n k n k d n k d ny a y a y b u b u− − − − −+ + + = + + [1.103]

generalmente 0 0b =

35

Ejemplo 10. Función de Transferencia del Doble Integrador

( ) [ ] ( )( )

( )

1

2

1 2

1 2

1 1 0,5 0,5 11 0

0 1 1 1

0,51 2

q qH q

q q

q qq q

−

− −

− −

− − + = = − −

+=

− +

[1.104]

Ejemplo 11. Función de Transferencia del Doble Integrador con Retardo 0,5dt seg=

( ) ( ) ( )

[ ]( )( )

( )( )

1 10 1

1

2 1

2 1 2 3

2 1 22

1 1 0,125 0,37511 00 1 0,5 0,51

0,125 6 1 0,125 61 22 1

H q C qI q

q qq qq

q q q q qq qq q q

− −

−

−

− − −

− −

= −Φ Γ + Γ

− + = − +−

+ + + += =

− +− +

[1.105]

36

Ejemplo 12. Sistema en Forma Canónica Observable

[ ]

1 11

2 2

10

1 0

k k k

k k

a bx x u

a b

y x

+

− = + − =

[1.106]

( ) [ ]1

1 1 1 22

2 2 1 2

11 0

q a b b q bH qa q b q a q a

−+ += = + +

[1.107]

37

- Propiedades

( )H q es independiente de transformaciones

( ) ( ) ( )( )

( )( ) ( )

11 1 1 1

11 1

11 1

1

H q C qI CT qTT T T T

CT T qI T T

CT T qI T T

C qI H q

−− − − −

−− −

−− −

−

= −Φ Γ = − Φ Γ

= −Φ Γ

= −Φ Γ

= −Φ Γ =

[1.108]

- Polos y Ceros Polos: raíces del denominador de H Ceros: raíces del numerador de H

- Orden del Sistema cantidad de estados o cantidad de polos

38

- Algunas Funciones de Transferencia Equivalencia entre la función de transferencia continua y el sistema muestreado con

bloqueador de orden cero

( )G s ( ) 1 22

1 2

b q bH qq a q a

+=

+ +

1s

1

Tq −

2

1s

( )( )

2

2

12 1T q

q+

−

sTe− 1q−

as a+

1 aT

aT

eq e

−

−

−−

( )a

s s a+ ( ) ( )

( )2

1 11 1

1

aT aT aT

aT aT

aT e q e aTea a

q e q e

− − −

− −

− + + − −

− + +

39

( )

2

2a

s a+ ( )( ) ( )

2 2

1 1 12

aT aT aT

aT aT

e aT q e e aTq e q e

− − −

− −

− + + + −

− +

( )( )ab

s a s b+ +

( ) ( ) ( ) ( )

( ) ( )2

1 1 1 1aT bT bT aT aT bT

a b TaT bT

b e a e a e e b e eq

b a b a

q e e q e

− − − − − −

− +− −

− − − − − −+

− − − + +

( )( )s c

s a s b+

+ +

( ) ( )( )

( ) ( )

( ) ( )2

1 1bT aTbT aT

a b T aT bT

a b TaT bT

c e c ee e c b c c ab a q e e e

b a ab b a b a a b

q e e q e

− −− −

− + − −

− +− −

− −− + − − − + + +

− − −

− + +

20

2 20 02s

ωζω ω+ +

( ) ( )

( ) ( )( )

0

0 0

0

0

2 201 0 02

0

2 2 202 0 02

0

21 0

22

1 cos 1 sen 11

sen 1 cos 11

2 cos 1

T

T T

T

T

b e T T

b e e T T

a e T

a e

ζω

ζω ζω

ζω

ζω

ζωω ζ ω ζω ζ

ζω ω ζ ω ζω ζ

ω ζ

−

− −

−

−

= − − + − −

= + − − −

−

= − −

=

40

2 20 02

ss ζω ω+ +

( )

( )

0

0

0

21 02

0

2 1

21 0

22

1 sen 11

2 cos 1

T

T

T

b e T

b b

a e T

a e

ζω

ζω

ζω

ω ζω ζ

ω ζ

−

−

−

= −−

= −

= − −

=

41

1.12.1. Función de Transferencia en Transformada Z Ejemplo 13. Rampa ky kT= [1.109]

( )( )

1 2 220 2

1TzY z Tz T z

z− −= + + + =

− [1.110]

Usando Variables de Estado

1k k k

k k

x x uy Cx+ = Φ + Γ=

[1.111]

aplicando Transformada en Z

1 00 0 0 0

k k k kk k k k

k k k k

z x z z x x z x z u∞ ∞ ∞ ∞

− − − −+

= = = =

= − = Φ + Γ

∑ ∑ ∑ ∑ [1.112]

( )( ) ( ) ( )0z X z x X z U z− = Φ + Γ [1.113]

( ) ( ) ( )10X z zI zx U z−= −Φ + Γ [1.114]

( ) ( ) ( ) ( )1 10Y z C zI zx C zI U z− −= −Φ + −Φ Γ [1.115]

donde

42

( ) ( ) 1H z C zI −= −Φ Γ [1.116]

1.12.2. Discretización de la Función de Transferencia Conociendo ( )G s ¿Cómo calcular ( )H z ?

Sistema con BOC La respuesta al escalón de un sistema es

( ) ( )G sY s

s= [1.117]

La Transformada en Z de la respuesta al escalón es

( ) ( ) ( )( )( )1Y z Z y Z L Y s−= = [1.118]

Para obtener la Función de Transferencia se divide por la Transformada en Z de la entrada, el escalón en este caso.

( ) ( ) ( )11H z z Y z−= − [1.119]

43

Pasos

1- Antitransformar ( )G ss

2- Calcular la Transformada en Z (de una tabla)

3- Multiplicar por ( )11 z−−

44

- Tabla de Transformadas en Z La siguiente Tabla muestra algunas Transformadas en Z. Cuidado: aplicarla de acuerdo

al procedimiento anterior.

f ( )L f ( )Z f

1(escalón) 1s

1

zz −

kT 2

1s

( )21Tz

z −

( )212

kT 3

1s

( )

( )

2

3

12 1

T z zz

+

−

kT

e τ−

1 sττ+

Tz

z e τ−

−

45

1kT

e τ−

− ( )1

1s sτ+

( )

1

1

T

T

z e

z z e

τ

τ

−

−

−

− −

( )sen kTω 2 2sωω+

( )( )( )2

sen2 cos 1z T

z z Tωω− +

La fórmula general es:

( ) ( )1 1Rei

ii

s T

s Ts

eH z s G sz e s

−= − ∑ [1.120]

donde is son los polos de ( )G s

46

Ejemplo 14. Motor Controlado Por Armadura

1 i

e e

p(t) = (t) (t)k i (t) = (t)k i

φφ

[1.121]

1 e e i

p i

p(t) = (t) (t)k k i ip(t) = (t)k i

[1.122]

f.c.e.m

m b m bd (t)(t) = (t) = u k k dtθ

ω [1.123]

circuito de armadura

ii ii i m

d (t)i(t) = (t) + + (t)u i ur L dt [1.124]

( )i i ii b(s) = + s (s) + s (s)U kr L I Θ [1.125]

carga: 2

m 2

(t) d (t)d(t) = J + B pdtdt

θ θ [1.126]

o sea

47

( )2ip (s) = J + s B (s)k sI Θ [1.127]

Función de Transferencia

( ) ( )p

2i i i i i b p

(s) kG(s) = = (s) s J + J + B s + B + U s k kL r L r

Θ

[1.128]

para 0iL ≈

( )M

Mi

(s) KG(s) = = (s) s 1 + s U T

Θ [1.129]

con

pM

i b p

k = K B + k kr [1.130]

iM

i b p

Jr = T B + k kr [1.131]

Discretización con Bloqueador de orden 0:

48

( )

M

M M

M

M

KK TG(s)

1s 1 + s T s + s T

= =

[1.132]

Función de Transferencia Discreta:

( ) ( ) ( )( )

M

-1 -1 MsT -1

G(s) G(s) 2 sT -1polos poloss s

M

KG(s) TG(z) = 1 - Res = 1 - Res z z 1s 1 - e z + s 1 - s e z

T

∑ ∑

[1.133]

Cálculo de los residuos:

ReMM

MMT1 - -1- TT

k Ts = 1 - e z

[1.134]

49

( ) ( ) ( ) ( )0

0

Re

M M M sT -1

M M M2

2sT sT-1 -10 sT -1

M MM

K K K- - T e z1 d T T Ts 1 1 2 - 1 ! ds 1 + s 1 - + s 1 - e ez z + s 1 - e zT TT

= = +

[1.135]

finalmente

( )( )

( ) ( ) ( ) ( )( ) ( )

M M

M

T T2 - --1 -1 -1 -1 -1T TM M M-1

M M-1M 2 TsT -1 -1 -1 - -1 -1

T

1 - - 1 - 1 - + T 1 - e eK T z T z z z zT T T zG(z) = 1 - - + z K 1 - 1 - e z z 1 - z 1 - 1 - e z z

=

[1.136]

( )( )( ) ( )

M M

M

T T- --1 -1T TM M M M M

T- -1 -1T

T - + + - T + e eK z T T T T zG(z) =

1 - 1 - e z z

[1.137]

50

1.13. Relación de Polos y Ceros Continuos y Discretos

Dado que ATeΦ = , los autovalores de Φ y de A se relacionan

( ) ( )i A Ti eλλ Φ = [1.138]

Plano S Plano Z

ωN

−ωN

Plano S Plano Z

ωN

−ωN

Plano S Plano Z

π/Τ

−π/Τ

3π/Τ

−3π/Τ

la transformación es sTz e= . Otra forma de ver la aliasing.

51

Ejemplo 15. Sistema de Segundo Orden 20

2 20 02s

ωζω ω+ +

[1.139]

los polos en Z son las raíces de 2

1 2 0z a z a+ + = [1.140]

con

( )0

0

21 0

22

2 cos 1T

T

a e T

a e

ζω

ζω

ω ζ−

−

= − −

= [1.141]

los polos varían con T

52

- Ceros Es más difícil relacionar los ceros continuos con los discretos Para pequeños períodos de muestreo se cumple

isiz e≈ [1.142]

El sistema continuo tiene 1d r= − ceros en infinito donde r es el exceso de polos. Para pequeños períodos de muestreo, los ceros coinciden con las raíces del polinomio

de la tabla siguiente:

r Polinomio Raíces

1 1 - 2 1z + 1− 3 2 4 1z z+ + -3.73 -0.27

4 3 211 11 1z z z+ + + -9.90 -1 -0.10

5 4 3 226 66 26 1z z z z+ + + + -23.20 -2.32 -0.43 -0.04

53

Ejemplo 16. Sistema continuo sin Ceros

( )( )2

1 2s s+ + [1.143]

discretizando el cero se ubica

( ) ( )( ) ( )2 2

2

1 2 1

2 1 1

T T T T

T T

e e e ez

e e

− − − −

− −

− − −=

− − − [1.144]

cuando el período de muestreo se hace pequeño 1 3z T≈ − + [1.145]

De acuerdo a la tabla 2r = 1 0rZ z= + = [1.146]

54

1.14. Sistemas con Función de Transferencia Inversa Inestable Un sistema continuo con función de transferencia racional y con ceros en el semiplano

positivo es llamado de fase no mínima. Lo mismo pasa con los sistemas discretos con ceros fuera del círculo unidad. El retardo no hace que los sistemas discretos sean de fase no mínima. Es por eso que se habla de sistemas con función de transferencia inversa inestable Un sistema continuo con inversa estable puede transformarse en discreto con inversa

inestable o viceversa.

55

Ejemplo 17. Sistema Continuo con Inversa Inestable

( ) ( )( )( )

6 12 3

sG s

s s−

=+ +

[1.147]

discretizando el cero se ubica 2 3 5

2 3

8 91 9 8

T T T

T T

e e eze e

− − −

− −

− += −

− + [1.148]

para 1,25T ≈ , 1z ≈ − y para período de muestreo mayores la inversa es siempre estable.

56

1.15. Elección del Período de Muestreo Recordar: sistema muestreado es más deficiente que el continuo. La elección del período de muestreo depende: comportamiento requerido dinámica propia del sistema perturbaciones actuadores sensores cómo fue modelado Período de muestreo muy grande

imposibilita la reconstrucción Mucho tiempo en lazo abierto

Período de Muestreo muy corto Incrementa la carga del computador Introduce errores numéricos

57

Si el sistema tiene retardo 1 1

4 8 dT t≈ − [1.149]

Una buena medida es expresar el muestreo en función del tiempo de crecimiento rT introduciendo

rr

TNT

= [1.150]

es el número de muestras en el tiempo de crecimiento. Para una senoide pura, de acuerdo al teorema de Shannon, 0,32rN ≈

Este es el límite inferior, pero la reconstrucción de Shannon es complicada Para un sistema de primer orden, el tiempo de crecimiento es la constante de tiempo.

Suena lógico elegir 2 4rN ≈ −

Para un sistema de segundo orden, el tiempo de crecimiento es

tan

0

1rT e

ϕϕ

ω= cosξ ϕ= [1.151]

También se elige 2 4rN ≈ −

58

Dependiendo del tipo de proceso Caudal 1seg Presión 5 seg Nivel 10 seg Temperatura 20 seg