1 lógica de 1a ordem introdução na lógica proposicional (lp) um átomo (p, q, r,...) representa...

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Lógica de 1a OrdemIntrodução

Na Lógica Proposicional (LP) um átomo (P, Q, R,...) representa uma sentença declarativa que pode ser V ou F, mas não ambos.

Um átomo é tratado como uma entidade única. Seus atributos e componentes são desprezados

Muitas idéias não podem ser tratadas de maneira tão simples

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Lógica de 1a OrdemIntrodução

Exemplo: Representar na Lógica ProposicionalTodo homem é mortalSócrates é um homemLogo, Sócrates é mortal

Se representarmos por:P: Todo homem é mortal Q: Sócrates é um homem R: Sócrates é mortal

{P, Q} |≠ R

Isso acontece porque os atributos (predicados ou características) de P, Q e R não são considerados

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Lógica de 1a OrdemIntrodução Para provar que esse argumento é válido, é

necessário identificar indivíduos tais como Sócrates, e seus predicados.

Predicados descrevem características ou relacionamentos entre indivíduos (objetos)

A Lógica dos Predicados apresenta mais três conceitos lógicos: termos, predicados e quantificadores.

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Enunciados CategóricosTodo S é P Qualquer que seja x, se x é S, então x é P.

x (S(x) P(x))

Nenhum S é P Qualquer que seja x, se x é S, então x não é P.

x (S(x) ~P(x))

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Enunciados Categóricos Algum S é P

Para pelo menos um x, x é S e x é P.

x (S(x) ^ P(x)) Algum S não é P

Para pelo menos um x, x é S e x não é P.

x (S(x) ^ ~P(x))

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Enunciados Categóricos

Considererando Predicados

M(x): x é mortal H(x): x é um homem

Um individuo: Sócrates

Exemplo Formalizar:

Todo homem é mortalSócrates é um homemLogo, Sócrates é mortal

x (H(x) M(x)) H(sócrates) M(sócrates)

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Exercício: Para formalizar os argumentos que

seguem, Interprete as letras C, R, V e S como:

C está chovendo;R é uma rã;V é verde;S é saltitante;

a – Todas as rãs são verdes. x (R(x) V(x))

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Exercício: b – Nenhuma rã é verde. x (R(x) ~V(x)) c – Algumas rãs são verdes. x (R(x) ^ V(x)) d – Toda coisa é uma rã. x (R(x)) e – Nada é uma rã. x (~R(x)) ou ~x (R(x))

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Exercício 1: f – Qualquer coisa é uma rã verde. x (R(x) ^ V(x)) g – Está chovendo e algumas rãs

estão saltitando. C ^ x (R(x) ^ S(x)) h – Somente rãs são verdes. x (V(x) R (x))

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Exercício 1: i – Algumas rãs verdes não estão

saltitando. x ((R(x) ^ V(x)) ^ ~S(x)) j – Rãs verdes saltitam se, e

somente se , está chovendo. x ((R(x) ^ V(x)) (S(x) C))

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Exercício 2: Para formalizar os argumentos que seguem

considere a interpretação:

Indivíduos: Carlos, João e Maria

Predicados:Mecânico(x) x é mecânicoEnfermeiro(x) x é enfermeiroAma(x, y) x ama y

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Exercício 2:1) Carlos é mecânico Mecânico(Carlos)

2) Carlos e João são mecânicos Mecânico(Carlos) ^ Mecânico(João)

3) Carlos é mecânico ou enfermeiro Mecânico(Carlos) v Enfermeiro(Carlos)

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Exercício 2:4) Se Carlos é mecânico então Carlos não

é enfermeiro Mecânico(Carlos)

~Enfermeiro(Carlos)

5) João ama Maria Ama(João, Maria)

6) João ama a si próprio Ama(João, João)

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Exercício 2:7) Todo mundo ama João x(Ama(x, João))8) Existe alguém que Maria não ama x(~Ama(Maria, x))9) Todo mundo é amado por alguém xy(Ama(y, x))

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Exercício 2:10) Alguém é amado por todos xy(Ama(y,x))11) Existe alguém que ama todo

mundo xy(Ama(x,y))12) Alguém ama alguém xy(Ama(x,y))

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Exercício 3: EXPRESSÕES TEXTUAISMOSTRANDO FORMAS LÓGICA E SIMBÓLICA:um quantificador e predicados monádicos

Não existem marcianos (M(x) x é marciano)

(não existe x tal que x seja um marciano)

x M(x)

( ou para todo x, x não é um marciano) x ( M(x))

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Exercício 3: EXPRESSÕES TEXTUAISMOSTRANDO FORMAS LÓGICA E SIMBÓLICA:um quantificador e predicados monádicos Nem todos são sábios (S(x) x é

sábio)

(para nem todo x, x é sábio ) x S(x)

(ou existe um x tal que x não é sábio)x ( S(x))

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Os morcegos são mamíferos (C(x) x é morcego; M(x) x é um mamífero)

(para todo x, se x é um morcego, x é um mamífero)

x (C(x) M(x))

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Exercício 3: EXPRESSÕES TEXTUAISMOSTRANDO FORMAS LÓGICA E SIMBÓLICA:um quantificador e predicados monádicos Os cavalheiros não são sempre ricos

(para nem todo x, se x é um cavalheiro então x é rico)

x (C(x) R(x))

(ou, existe um x tal que x é um cavalheiro e x não é rico)

x (C(x) R(x))

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Somente os médicos podem cobrar por tratamento clínico

(para todo x, se x pode cobrar por tratamento clínico, então x é médico)

x (C(x) M(x))

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Os carros são seguros somente se tiverem bons freios

(para todo x, se x é um carro, então x é seguro somente se tiver bons freios)

x [ C(x) (S(x) F(x)) ]

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Exercício 3: EXPRESSÕES TEXTUAISMOSTRANDO FORMAS LÓGICA E SIMBÓLICA:mais de um quantificador e predicados monádicos Alguns são espertos, outros não

(existe x tal que x é esperto, e existe y tal que y não é esperto)

x E(x) y ( E(y))

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Exercício 3: EXPRESSÕES TEXTUAISMOSTRANDO FORMAS LÓGICA E SIMBÓLICA:mais de um quantificador e predicados monádicos Existem políticos honestos e

desonestos

(existe x tal que x é político e x é honesto, e existe y tal que y é político e y não é honesto)

x (P(x) H(x)) y (P(y) H(y))

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Exercício 3: EXPRESSÕES TEXTUAISMOSTRANDO FORMAS LÓGICA E SIMBÓLICA:Relações

Todos têm pai (F(x,y) : x é pai de y)

(para todo x existe y tal que y é pai de x)

x y F(y,x)

Todas as pessoas têm pai

(para todo x, se x é uma pessoa, existe y tal que y é pai de x)

x (P(x) y F(x,y))

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Exercício 3: EXPRESSÕES TEXTUAISMOSTRANDO FORMAS LÓGICA E SIMBÓLICA:Relações Existe um ancestral comum a todas as

pessoas

(existe um x tal que para todo y, se y é uma pessoa, x é ancestral de y)

x y (P(y) A(x,y))

(ou, para todo y, se y é uma pessoa, existe um x tal que x é ancestral de y)

y (P(y) x A(x,y))

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Exercício 3: EXPRESSÕES TEXTUAISMOSTRANDO FORMAS LÓGICA E SIMBÓLICA:Relações estabelecendo regras de parentesco Genro

se x é casado com a filha de y, então x é genro de y;

ou, mais precisamente: se existir z tal que x seja casado com z, e z seja filha de y, então x é genro de y

x y [ z (C(x,z) F(z,y)) G(x,y) ]

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Exercício 3: EXPRESSÕES TEXTUAISMOSTRANDO FORMAS LÓGICA E SIMBÓLICA:Relações estabelecendo regras de parentesco

Avô

se x é pai do pai de y, então x é avô de y

x y [ z (P(x,z) P(z,y)) A(x,y) ]

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Exercício 3: EXPRESSÕES TEXTUAISMOSTRANDO FORMAS LÓGICA E SIMBÓLICA:Relações estabelecendo regras de parentesco

Irmão

se o pai de x for também pai de y, x é irmão de y

x y [ z (P(z,x) P(z,y)) I(x,y) ]

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Cuidados na Formalização:1) Variáveis diferentes não classificam

necessariamente objetos diferentes.

Ex.: xy ama(x, y)

Afirma não somente que qualquer pessoa ama uma outra pessoa, como também que qualquer pessoa ama a si própria.

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Cuidados na Formalização:

2) O nome de variáveis não faz diferença para o significado.

Ex.: xy ama(y, x) equivale a yx ama(x, y) equivale a zw ama(w,z)

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3) Quando dois ou mais quantificadores justapõem-se numa mesma parte da fórmula, uma variável diferente deve ser usada para cada quantificador.

Ex.: xx ama(x, x) não é correto xy ama(y, x) é correto

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4) A mesma variável usada em vários quantificadores, não designa necessariamente o mesmo objeto em cada caso.

Ex.: x ama(josé, x) ^ x ama(carlos, x)

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5) A ordem dos quantificadores consecutivos afeta o significado somente quando os quantificadores são diferentes. Ex.:

xy ama(x,y) e yx ama(x,y)tem significados distintos

xy ama(x,y) e yx ama(x,y)significam a mesma coisa

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6) Os advérbios só, somente e apenas tem significados diferentes dependendo do local em que aparecem na sentença. Representam uma implicação e o conseqüente sempre aparece depois do advérbio.

Sentença Significado

João ama apenas Maria Apenas João ama Maria

João apenas ama Maria

Se João ama alguma coisa, essa coisa é Maria

Se João tem alguma relação com Maria, essa relação é amor

Se alguma coisa ama Maria, essa coisa é João

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Cuidados na Formalização: 6.1) Exemplos usando esses adverbios: Apenas cachorros perseguem gatos x(G(x) y( P(y,x) C(y)))

ou xy((G(x) ^ P(y,x)) C(y)) Cachorros perseguem apenas gatos x y((C(x) ^ P(x,y)) G(y)) Só os diamantes brilham x (B(x) D(x)) Diamantes só brilham x (D(x) B(x))

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Regras de Inferência para a Lógica de 1ª Ordem As regras do Sistema Formal, S1,

para a lógica proposicional também são usadas para a lógica de 1ª ordem:

Exemplo: Provar o argumento:

{~F(a) v x F(x), x F(x) P} ├ F(a) P

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Prova: {~F(a) v x F(x), x F(x) P} ├ F(a) P

1. ~F(a) v x F(x) P2. x F(x) P P3. | F(a) H p/ PC4. |x F(x) 1 e 3 SD5. |P 2 e 4 MP6. F(a) P 3 - 5 PC

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Regras de Inferência para a Lógica de 1ª Ordem A Lógica de 1a Ordem herda todas

as regras da Lógica Proposicional e adicionalmente tem regras específicas para a Introdução e a Eliminação dos quantificadores Universal e Existencial.

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Eliminação Universal (EU) De uma fórmula quantificada

universalmente x , podemos inferir uma fórmula ’ da forma [x/a] , que resulta da substituição de todas as ocorrências de x em pela constante a

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Eliminação Universal (EU) Exemplo Provar que:

{x (H(x) M(x)), H(s)} |- M(s)

1.x (H(x) M(x)) P2. H(s) P3. H(s) M(s) 1 EU4. M(s) 2, 3 MP

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Eliminação Universal (EU) Esta regra estabelece que o que é

verdade para qualquer indivíduo deve ser verdade para um indivíduo particular

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Eliminação Universal (EU)Ex: {~F(a)} |- ~x F(x)

1. ~F(a) P2. |x F(x) H p/RAA3. | F(a) 2 EU4. | F(a) ^ ~F(a) 1, 2 ^I5. ~x F(a) 2 – 4 RAA

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Eliminação Universal (EU)Ex: {xyF(x,y)} |- F(a,a)

1. xyF(x,y) P3. yF(a,y) 1 EU4. F(a,a) 2 EU

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Introdução Universal (IU) Para uma fórmula contendo uma

constante ‘a’ , podemos inferir uma fórmula da forma x `, onde ` é com a variável x substituindo todas as ocorrências da constante ‘a’ , [a/x] Restrições: ‘a’ não ocorre nas premissas ‘a’ não ocorre em qualquer hipótese

vigente na linha em que ocorre ‘x’ não ocorre em .

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Introdução Universal (IU) Exemplo: {x (F(x) ^ G(x))} ├ x F(x) ^ x G(x)

1. x (F(x) ^ G(x)) P2. F(a) ^ G(a) 1 p/ EU3. F(a) 2 p/ Ê4. G(a) 2 p/ Ê5. x F(x) 3 p/ IU6. x G(x) 4 p/ IU7. x F(x) ^ x G(x) 5 e 6 Î

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Introdução Universal (IU) Esta regra estabelece que se

pudermos provar algo a respeito de uma indivíduo b sem fazer suposição que distinga b de um outro indivíduo, então o que tivermos provado para b estará provado para todos.

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Introdução Universal (IU) Restrições:1) A constante ‘a’ não deve ocorrer em

qualquer premissa. 1. P(a) P 2. x P(x) 1 p/ IU

derivação é incorreta !

“Da premissa que ‘a’ é primo, não implica que todos os números são primos”

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Introdução Universal (IU) Restrições:2) A constante ‘a’ não deve ocorrer em

qualquer hipótese vigente numa linha em que ocorre:1. x (P(x) C(x)) P2. P(a) C(a) 1 EU3. | P(a) H p/PC4. | C(a) 2, 3 MP5. | x C(x) 4 IU6. P(a) x C(x) 3, 5 PC

Derivação incorreta ! (Suponha P: é Políto; C é corrupto)

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Introdução Universal (IU) Restrições:Derivação incorreta! Da premissa de que “todos os políticos

são corruptos, não se segue que, se João é político todos são corruptos.

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Introdução Existencial (IE): Dada uma fórmula contendo

uma constante ‘a’, podemos inferir uma fórmula da forma x`, onde ` é obtida de pela substituição de uma ou mais ocorrências de ‘a’ em pela variável x, [a/x].

Restrição: x não ocorre em .

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Introdução Existencial (IE):

Ex.: {x (F(x) v G(x))} ├ x (F(x) v G(x))

1. x (F(x) v G(x)) P2. F(a) v G(a) 1 p/ EU3. x (F(x) v G(x)) 2 p/ IE

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Introdução Existencial (IE): A regra IE estabelece duas pressuposições:

1) Todas as constantes referem-se a indivíduos existentesExemplo:M (a) Apolo é mitológico x M(x)

2) Existe pelo menos um indivíduo

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Eliminação Existencial (EE): Dada uma fórmula quantificada

existencialmente x e uma derivação de alguma conclusão a partir de uma hipótese da forma [x/a], podemos descartar a hipótese e reafirmar .

Restrições: ‘a’ não ocorre em , ‘a’ não ocorre em ‘a’ não ocorre em qualquer premissa ‘a’ não ocorre em qualquer hipótese vigente

na linha em que EE é aplicada.

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Eliminação Existencial (EE): Exemplo: { x (F(x) ^ G(x)) } ├ x F(x)

1. x (F(x) ^ G(x)) P2. | F(a) ^ G(a) H3. | F(a) 2 ^E4. | x F(x) 3 IE5. x F(x) 1 e 2-4 EE

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Essa regra requer cuidados:1) A constante ‘a’ não deve ocorrer em :

1. x A(x, x) P2. | A(a, a) H P/EU3. | xA(a, x) 2 IE4. xA(a, x) 1e 2-3 EE

Derivação incorreta!“Da premissa que alguém ama a si próprio não se segue que Ana ama alguém” (x A(a, x)).

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Essa regra requer cuidados:2) A constante ‘a’ não pode ocorrer em :

1. xy F(y, x) P2. y F(y, a) 1 EU3. | F(a, a) H p/ EU4. | x F(x, x) 3 IE5. x F(x, x) 2e 3e 4 EE

Derivação incorreta!

“Da premissa que todos tem um pai (xy F(y, x)) não se segue que alguém é pai de si mesmo.”

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Essa regra requer cuidados: Exercício: Considere os predicados:

Q(x,y): x quebra y; P(x,y): x paga y; V(x): x varre o chão;

e as seguintes premissas: x y (Q(x, y)) P(x,y)) x y (Q(x, y)) V(josé)) x (Q(x, lâmpada))

Partindo da hipótese que quem quebrou a lâmpada foi joão, é correto deduzir que:a) joão pagará a lâmpada?b) josé varrerá o chão?

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Exemplo de prova da validade de um argumento.

1. x (H(x) M(x)) P 2. H(sócrates) P3. H(socrates) M(sócrates) 1, EU4. M(sócrates) 2,3 MP

Todo homem é mortalSócrates é um homemLogo, Sócrates é Mortal

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Exemplo de uma prova de teorema. ├ ~(x F(x) ^ x ~F(x))

1. |x F(x) ^ x ~F(x) H p/ RAA2. |x F(x) 1 ^E3. |x ~F(x) 1 ^E4. ||~F(a) H p/EE5. ||F(a) 2 EU6. ||P ^ ~P 4,5 CONTRAD7. |P ^ ~P 3 E 4-6 EE8. ~(x F(x) ^ x ~F(x)) 1-7 RAA

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Exercícios: Prove {x(F(x) G(x)), xF(x)} ├ xG(x)1. x(F(x) G(x)) P2. xF(x) P3. |F(a) H p/EE4. |F(a) G(a) 1 EU5. |G(a) 3,4 MP6. |xG(x) 5 IE7. xG(x) 2,3-6 EE

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Exercícios: Prove {x(F(x) v G(x))} ├ xF(x) v xG(x)1. x(F(x) v G(x)) P2. |F(a) v G(a) H p/EE3. ||F(a) H p/PC4. ||xF(x) 3 IE5. ||xF(x) v xG(x) 4 vI6. |F(a) xF(x) v xG(x) 3-5 PC7. ||G(a) H p/PC8. ||xG(x) 7 IE9. ||xF(x) v xG(x) 8 vI10.| G(a) (xF(x) v xG(x)) 7-9 PC11.| xF(x) v xG(x) 2,6,10 vE12. xF(x) v xG(x) 1,2-11 EE

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Exercícios: Prove {x(F(x) (G(x) v H(x)), x~G(x)} ├ x(F(x) H(x))

1. x(F(x) (G(x) v H(x)) P2. x~G(x) P3. F(a) (G(a) v H(a)) 1 EU4. ~G(a) 2 EU5. |F(a) H p/PC6. |G(a) v H(a) 3,5 MP7. |H(a) 4,6 SD8. F(a) H(a) 5-7 PC9. x(F(x) H(x)) 8 IU

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Exercícios: Prove {xF(a,x), xy(F(x,y) G(y,x))} ├ xG(x,a)

1. xF(a,x) P2. xy(F(x,y) G(y,x)) P3. F(a,b) 1 EU4. y(F(a,y) G(y,a)) 2 EU5. F(a,b) G(b,a) 4 EU6. G(b,a) 3,5 MP7. xG(x,a) 6 IU

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Exercícios: Prove xy L(x,y)├ x y L(y,x)

1. xy L(x,y) P2. |y L(a,y) H p/EE3. |L(a,b) 2 EU4. |y L(y,b) 3 IU5. |x y L(y,x) 4 IU6. x y L(y,x) 1,2-5 EE

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Exercícios: Prove x(F(x) ~G(x)) ├ ~x (F(x) ^ G(x))

1. x(F(x) ~G(x)) P2. |x (F(x) ^ G(x)) H p/RAA3. ||F(a) ^ G(a) H p/EE4. ||F(a) ~G(a) 1 EU5. ||F(a) 3 ^E6. ||~G(a) 4,5 MP7. ||G(a) 3 ^E8. ||P ^ ~P 6,7 CONTRAD9. |P ^ ~P 2,3-8 EE10. ~x (F(x) ^ G(x)) 2-9 RAA

1 lógica de 1a ordem introdução na lógica proposicional (lp) um átomo (p, q, r,...) representa...

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