UNIVERSIDADE FEDERAL DO RIO GRANDE INSTITUTO DE MATEMTICA, ESTATSTICA E FSICA CLCULO DIFERENCIAL E INTEGRAL UNIDADE 1 Funes Reais de Uma Varivel Objetivos Reconhecer os conjuntos numricos. Operar com intervalos numricos. Reconhecer a representao grfica de uma funo. Manipularfunesalgbricas,exponenciais,logartmicas,hiperblicase trigonomtricas:determinaodedomnio,estudodosinal,clculodezero(s), composio e inverso. Analisar o crescimento e decrescimento de funes exponenciais. Modelar problemas envolvendo funes. Clculo Diferencial e Integral Unidade1 -Funes de uma Varivel 2 UNIDADE 1 - FUNES REAIS DE UMA VARIVEL 1.1Conjuntos Numricos O sistema de nmeros reais contm diversos conjuntos de nmeros: i)Conjunto de nmeros naturais (IN): IN={0, 1, 2, 3, ...} ii)Conjunto dos nmeros inteiros (Z): Z={..., 3, 2, 1, 0, 1, 2, 3, ... } iii)Conjunto dos nmeros racionais (Q) constitudopelosnmerosquepodemserexpressoscomoquocientededoisnmerosinteiros ba, 0 = b . Por exemplo, 213,58,32e 411002525 , 0 = = . Quando expressos sob forma decimal, os racionais so finitos ou so dzimas peridicas. Por exemplo: 1055 0 = , , 100505 0 = , ,625 , 085= ,... 33333 , 031=e... 181818 , 11113= . importantesalientarquetodonmerointeiroracional,poispodeserexpressocomoelemesmo dividido por 1. Por exemplo,155 = , 1875875 = , 12525 = . iv)Conjunto dos nmeros irracionais formado pelos nmeros que no podem ser expressos como quociente de dois inteiros. Por exemplo, dzimas no peridicas, t , 5 7 , 3 , 2 + . A unio dos conjuntos dos nmeros racionais e irracionais d origem ao conjunto dos nmeros reais.

v)Conjunto dos nmeros reais (IR) Esse conjunto constitudo pela unio dos conjuntos dos nmeros racionais e irracionais. 1.2 Intervalos Numricos Oconjuntodosnmerosreaisquepodeserrepresentadonaretarealporumsegmentodereta denominadointervalo.Asdesigualdadespodemserutilizadasparaescrev-los.Porexemplo,ointervalo b x a s sconsiste em todos os nmeros reaisxque esto entreaeb , incluindoaeb . Os nmerosaebso conhecidos como extremos do intervalo. Se os extremos esto includos o intervalo chamado de fechado, caso contrrio, aberto. Observe a tabela 1. Operaes com intervalos numricos Unio AuniodedoisconjuntosAeB,queseindicaporAB,oconjuntoformadopeloselementosque pertencem ao conjunto A ou ao conjunto B, ou seja, AB = {x / x eAoux eB} Exemplo: Seja os conjuntos A= [1, 5[e B= ]2, 6], o conjunto AB representado por: AB = [1, 6] Interseo Ainterseo dedoisconjuntosA eB, que se indica porAB, o conjunto formadopeloselementos que pertencem ao conjunto A e ao conjunto B, ou seja, AB = { x / x eAe x eB}. Exemplo: Seja os conjuntos A= [1, 5[e B= ]2, 6], o conjunto AB representado por: AB = ]2, 5[ Clculo Diferencial e Integral Unidade1 -Funes de uma Varivel 3 Tabela 1: Representao de intervalos numricos Representao por compreensoRepresentao geomtricaRepresentao por intervalo { } b x a | IR x s s eIntervalo fechado | | b , a{ } b x a | IR x < < eIntervalo aberto ( ) | | b , a , b , a{ } b x a | IR x s < eIntervalo aberto esquerda e fechado direita | | ( | b , a , b , a{ } b x a | IR x < s eIntervalo fechado esquerda e aberto direita | | | ) b , a , b , a{ } a x | IR x < eIntervalo Infinito e aberto direita ( ) | | a , , a , { } a x | IR x s eIntervalo Infinito e fechado direita ( | | | a , , a , { } a x | IR x > eIntervalo Infinito e aberto esquerda ( ) | | , a , , a{ } a x | IR x > eIntervalo infinito e fechado esquerda | ) | | , a , , a E1. Para os intervalos numricos A e B definidos a seguir represente-os por compreenso e geometricamente, a seguir determine a interseo e unio. a)A= (-2; 4]e B= [-1; 5) b)A= (-3; 5]e B= [-1; -1] c)A= (0; 3] e B= (4; +) Respostas CompreensoGeometricamenteABAB a) -{ } | 2 4 x IR x e < s -{ } | 1 5 x IR x e s < (-2 ; 5)[-1;4] b) -{ } | 3 5 x IR x e < s -{ } | 1 x IR x e = (-3; 5][-1,-1] c) -{ } | 0 3 x IR x e < s -{ } | 4 x IR x e > (0; 3](4; +)C 1.3 Plano Cartesiano Assimcomoosnmerosreaissoutilizadoscomocoordenadasparapontosdeumareta,paresde nmerosreaispodemserutilizadoscomocoordenadasparapontosdeumplano.Comestepropsitose estabelece um sistema de coordenadas retangulares no plano chamado de plano cartesiano. Desenhamosduasretasperpendicularesnoplano,umahorizontaleoutravertical.Estasretasso chamadas de eixo x e eixo y, respectivamente, e seu ponto de interseco chama-se origem. As coordenadas so assinaladas com a origem como ponto zero em ambos os eixos e a mesma distncia unitria em ambos os eixos. O semi-eixo positivo dos x est direita da origem, semi-eixo negativo dos x est esquerda; semi-eixo positivo dos y est acima da origem e o semi-eixo negativo dos y est abaixo. Clculo Diferencial e Integral Unidade1 -Funes de uma Varivel 4 ConsideremosumpontoPqualquerdoplano.DesenhamosumaretaporPparalelaaoeixodosy,e sejaxacoordenadadopontoemqueacurvacortaoeixodosx.Analogamente,desenhamosumaretaporP paralelaaoeixodosx,esejayacoordenadadopontoemqueessaretacortaoeixodosy.Osnmerosxey assim determinados chamam-se coordenada x (abscissa do ponto) e coordenada y (ordenada do ponto) de P. As coordenadas de P so escritas como um par ordenado (x, y). 1.4 Definio de Funo Em muitas situaes prticas, o valor de uma quantidade pode depender do valor de uma segunda. Por exemplo,ademandadoconsumidorporcombustvel(c)podedependerdeseupreodemercadoatual(p);a quantidadedepoluioatmosfricanumadeterminadareametropolitana(q)podedependerdonmerode carrosnarua(n); o preo dagarrafadevinho (p) podedepender desuaidade(i); o rendimento anual desuas economias(r)dependedataxadejurosoferecidapelobanco(i).Taisrelaespodemserfrequentemente representadas matematicamente por funes. Em cada caso, o valor de uma varivel depende da outra. Umaregraqueassociaacadaelementodeumconjuntoumnicoelementodeoutroconjunto chamada de funo. Os conjuntos podem ser de qualquer tipo e no precisam ser iguais. Designamoscomox avarivelindependente,porqueelalivreparaassumirqualquervalordo domnio.OconjuntoAquecontmx odomniodafuno.Designamosy comoavariveldependente porque seu valor numrico depende do valor de x . O conjunto B que contmy o contradomnio da funo. A imagem da funo est contida no contradomnio e o conjunto de todos os valores deyque correspondem a algum valor dex . Definio: Seja A um dado conjunto de nmeros reais. Uma funo f definida do conjunto A para o conjunto B uma regra, ou lei de correspondncia, que atribui um nico nmero real y de B a cada x de A. ) (x f y =l-se y igual a f de x.

Clculo Diferencial e Integral Unidade1 -Funes de uma Varivel 5 1.4.1 Domnio Odomniodeumafunorepresentaumconjuntodevaloresqueavarivelindependentepode assumir a fim de que a funo tenha valores sobre o conjunto dos nmeros reais. 1.4.2 Imagem A imagem de uma funo o conjunto de valores que a varivel dependente recebe quando a varivel independente varia sobre o domnio da funo. 1.4.3Clculo da Funo para um Determinado Valor de x Frequentementeafunoabreviadapelaletray emuitasvezesconvenientefalardafuno ( ) x f y = .Porexemplo,afuno1 22+ = x y refere-sefuno( ) x f paraqual( ) 1 22+ = x x f .Procuraro valor da funo para um determinado valor de x simplesmente substituir o valor x na expresso e obter o valor da( ) x f . Em um grfico ser determinar o valor correspondente de y para o x considerado. Observao:Anecessidadedequeumafunoassocieumesomenteum valordeyparacadavalordexemseudomniocorrespondecondio geomtricadequedoispontosdistintosdogrficonopodempossuira mesmaabscissa. Ou seja, o grficodeumafuno nopodepassar acimaou abaixo de si mesmo. Exemplo1.Considereaequaodescritapor 2 21 y x = equetemgrficodadopelafiguraabaixo.Esta equao pode ser tomada como uma relao funcional? Soluo: Como podeser visto no grficofica claro queparaummesmo ponto x podem existir 2 valores y a ele associado, portanto, no pode ser considerada uma funo a equao acima. Exemplo 2. Considere o grfico dado pela figura abaixo. Este grfico representa uma relao funcional, isto , o grfico de uma funo? Soluo: Como podeser visto no grficofica claro queparaum mesmopontox noexistemmaisdoque1valory aele associado,portanto,ogrficoemquestodeumafuno. Poderiaserditoqueexistem2valoresx paraummesmo valor y ,contudoissoaceitvel,poisarestriona definio de funo no se ter mais de 1 valor y associado a cada valorx . Clculo Diferencial e Integral Unidade1 -Funes de uma Varivel 6 Exemplo 3. Observe o grfico de) (x fe responda: a)Qual o domnio de) (x f ? b)Qual a imagem de) (x f ? c)O valor de( ) 0 f positivo ou negativo? d)O valor de( ) 5 f positivo ou negativo? e)Qual o valor de( ) 4 f ? f)Para quais valores dex ,) (x f nula? g)Para quais valores dex ,) (x f positiva? h)Para quais valores dex ,) (x f negativa? Soluo: a)IR D=b){ } 6 s e = y | IR y Imc)( ) 4 0 = f , portanto, positivo. d)( ) 5 f negativo, est abaixo do eixo x. e)( ) 0 4 = f , o ponto (4,0) onde a curva intercepta o eixo x, esse ponto tambm chamado de raiz da funo. f) ) (x f nula em1 = xe4 = x . g)) (x f positiva para os valores de x que esto no intervalo1 e 4, isto ,{ } 4 1 < < e x | IR x . h)) (x f negativaparaosvaloresdexquesomenoresque1 oumaioresque4,isto, { } 4 1 > < e x , x | IR x . Exemplo 4. Suponha que o custo total em u.m. (unidades monetrias) de unidades produzidas de um certo bem seja dado pela funo( ) 200 500 302 3+ + = q q q q C . Determine: a)o custo para produzir 10 unidades do bem; b)o custo para produzir a dcima unidade desse bem. Soluo:a)Paraencontrarocustoparaproduzir10unidadesdo bem,substitumosq por10nafuno( ) q C ,isto, ( ) ( ) ( ) . m . u C 3200 200 10 500 10 30 0 1 102 3= + + =b)Para encontrar o custo para produzir a dcima unidade desse bem, calculamos a diferena entre o custo de produo de nove e o custo de produo de 10 unidades, isto ,( ) ( ) . m . u C C 201 2999 3200 9 10 = = Exemplo 5. Considere a funo definida por > s < +s s s s + < < e x , x | IR x f){ } 4 2 1 < < < e x , x | IR x g) Sim E11. a)9 = x b) no hc)( ) 1 1 1 + + = + x x fE12. a) ID = IR b) ID = IR 1.5Alguns Tipos de Funes 1.5.1Funo Crescente Uma funo) (x f dita crescente se para todos os pontos 1xe 2x , tais que 2 1x x < ,) ( ) (2 1x f x f < . Clculo Diferencial e Integral Unidade1 -Funes de uma Varivel 9 1.5.2Funo Decrescente Umafuno) (x f ditadecrescenteseparatodosospontos 1x e 2x , tais que 2 1x x < ,) ( ) (2 1x f x f > . 1.5.3Funo Contnua Toda funo cujo grfico constitudo por uma nica curva contnua. As funes polinomiais so contnuas. 1.5.4Funo Descontnua As funes descontnuas so aquelas que no so contnuas. As funes algbricas possuem pontos de descontinuidade nos valores da varivel x que esto fora de seu domnio. 1.5.5Funo Par Uma funo) (x f par se, para todo x no domnio de) (x f ,x pertence tambm ao domnio de) (x fe) ( ) ( x f x f = . Pode-se dizer que elementos opostos tm imagens iguais. O grfico de uma funo par simtrico em relao ao eixo vertical. Exemplo 6. Verifique se as seguintes funes so pares: a) 4) ( x x f = b)( ) x x g cos ) ( = 1.5.6Funo mpar Uma funo) (x f mpar se, para todo x no domnio de) (x f ,x pertence tambm ao domnio de) (x fe) ( ) ( x f x f = . Pode-se dizer que elementos opostos tm imagens opostas. Ogrficodeumafunoparsimtricoemrelaoorigemdo sistema cartesiano. Exemplo 7. Verifique se as seguintes funes so mpares: a) 5) ( x x f = b)( ) x sen x g = ) ( Clculo Diferencial e Integral Unidade1 -Funes de uma Varivel 10 Observao: Simetria 1.5.7Funo Algbrica Uma funo algbrica qualquer funo cuja regra um polinmio ou que pode ser obtida a partir de umpolinmio,poradio,subtrao,multiplicao,divisooupotnciainteiraouracional.Asfunes algbricas incluem: A)as funes polinomiais:Forma geral: nnx a x a x a x a a x p + + + + + = ... ) (3322 1 0 Ex.: 4 2 ) (3+ = x x x f . B)asfunesracionais:Formageral: ) () () (x qx px f = ,onde) (x p e) (x q sofunespolinomiaistalque 0 ) ( = x q . Ex.: 12) (22+=xx xx g . C)as funes envolvendo valor absoluto:4 ) (2 = x x h ;D)funes envolvendo potncias fracionrias:x x k = ) ( , 3) ( x x m = , 3 25) (+=xx ne 24 ) ( x x v = . 1.5.8 Funo Transcendente Toda funo que no algbrica chamada de transcendente. So funes transcendentes as funes trigonomtricas,ashiperblicas,aexponencialealogartmica.Porexemplo,) 1 ( ) ( + = x sen x f , ) 4 log( ) (2+ = x x g , xx h 2 ) ( =e) ( ) ( x senh x m = . 1.6 Funo Polinomial Asfunespolinomiaismaissimplessoaspotnciasdexcomexpoentesinteirosno-negativos nx x x x ,..., , , , 13 2.Seumaquantidadefinitadelasmultiplicadaporconstanteseosresultadossosomados, obtemos um polinmio da forma: nnx a x a x a x a a x p + + + + + = ... ) (3322 1 0. O grau de um polinmio corresponde ao maior expoente dex que aparece nele; se0 =na , o grau de ) (x p n.Porexemplo, 3 25 2 4 6 ) ( x x x x f + = umafunopolinomialdegrau3comcoeficientes 5 , 2 , 4 , 63 2 1 0 = = = = a a a a .Outros exemplos de funes polinomiais so: a) f(x) = 2b) g (x) = 2 x 4c) h (x) = x 3 + 2x 2 x 2 d) m(x) = x 2 6x + 9 Clculo Diferencial e Integral Unidade1 -Funes de uma Varivel 11 1.6.1 Funo Polinomial do primeiro grau Sendodadosdoisnmerosreaisaeb,coma0,chama-sefunopolinomialdo1grauafuno ( ) b ax x f + = ,definidaparatodoxreal.Ocoeficienteachamadodecoeficienteangulareb,decoeficiente linear. -Um funoIR IR f : , onde( ) b ax x f + = , com IR b a e ,e a 0, denominada funo afim. -No caso de a 0 e b = 0, a funo do 1 grau recebe o nome particular de funo linear. -No caso de a = 1 e b = 0, a funo do 1 grau recebe o nome particular de funo identidade.-No caso de a = 0 eIR be , a funo do 1 grau recebe o nome de funo constante. O domnio e a imagem da funo linear correspondem ao conjunto dos nmeros reais (IR). Raiz de uma funo do 1 grau o valor de modo que( ) 0 = x f , ou seja, o ponto em que a reta corta o eixo x. Sinal de uma funo do 1 grau 0 > areta ascendente0 < areta descendente Esboo do grfico Paraesboarogrficodeumafunodoprimeirograu,bastaencontrardoispontosdareta.Como sugesto faa0 = ye0 = xna expresso da funo. Exemplo 8. Dada a equao da funo linear:6 3 = x y , determine: a)seu domnio; b)sua imagem; c)sua raiz; d)os intervalos onde positiva e onde negativa. Esboce seu grfico. Soluo: a)IR ID =b)IR = Imc) A raiz encontrada igualando a funo a zero0 6 3 = x , logo2 = x . d)Ointervaloondeafunopositivaobtido atravs daresoluo da inequao0 6 3 > x , assim2 > x . O intervalo onde a funo negativa obtido atravs da resoluo da inequao0 6 3 < x , assim2 < x . Podemos escrever:( ) 0 > x fpara{ } 2 | > e x IR x e( ) 0 < x fpara{ } 2 | < e x IR x . Clculo Diferencial e Integral Unidade1 -Funes de uma Varivel 12 Exemplo 9. Uma agncia de aluguel de carros cobra como taxa fixa $25, mais $0,60 por quilmetro percorrido. Umasegundaagnciacobracomotaxafixa$30mais,$0,50porquilmetrorodado.Qualaagnciaque oferece melhor negcio? Soluo: AgnciaCusto Fixo ($)Custo por Km($)Equao A250,6x , CA6 0 25+ =B300,5x , CB5 0 30+ = Paraencontrarmosaextensodopercursoemqueasduasagnciascobramomesmovalor,igualamosos valores dos custos ACe BC , isto ,x , x , 5 0 30 6 0 25 + = +e encontramos o valor de x, que Km x 50 = . Analisando as funes, temos: xAgncia AAgncia B 30( ) ( ) 43 30 6 0 25 30 = + = , CA( ) ( ) 45 30 5 0 30 30 = + = , CB 100( ) ( ) 85 100 6 0 25 100 = + = , CA( ) ( ) 80 100 5 0 30 100 = + = , CB Para um percurso de 50Km as duas agncias cobram o mesmo valor.Para um percurso inferior a 50Km, a agncia A cobra menos. Para um percurso superior a 50Km, a agncia B cobra menos. Graficamente, Inequaes Sosentenasabertasqueusamalgumsmbolodedesigualdade,taiscomo:,s,>,=,para relacionar a expresso algbrica do 10 membro com a do 20 membro.Resolver umainequao significa encontrar todos os valores davarivel (ou variveis) que tornam a sentena aberta verdadeira. Esse conjunto de valores denominado conjunto-soluo da sentena aberta. As principais regras utilizadas no trabalho com desigualdades so: i)Se0 > aec b < , entoac ab < . ii)Se0 < aec b < , entoac ab > . iii)Seb a < , entoc b c a + < +para qualquer nmeroc . Exemplo 10. Resolva a inequao, 6(x 1) > 8xconsiderando como conjunto universo o conjunto dos nmeros reais. Soluo:Resolvendo a inequao 6(x 1) > 8x 6(x 1)> 8x 6x 6 > 8x (aplicao da propriedade distributiva) 6x 6 + 6 > 8x + 6(somou-se 6 a ambos os membros) 6x > 8 x +6 Clculo Diferencial e Integral Unidade1 -Funes de uma Varivel 13 6x 8x > 8 x + 6 8x (subtraiu-se 8x de cada membro) 2x > +6 (1) 2x < +6 (1) (multiplicou-se por (1) ambos os membros e INVERTEU-SE o sinal da desigualdade) 2x < 62622 x f : {xeIR| x < 0} 0 ) ( < x f {xe IR | x > 0} 8 4 = x y x = 28IRIR 0 ) ( > x f : {xe IR | x > 2} 0 ) ( < x f {xe IR | x < 2} 2 = y No h2IRy = 20 ) ( , > e x f IR x E15. a)132 4 < x b)33 < xE16. a){ } 0 | < e y IR y b) )` > e31| t IR t c){ } 2 | > e x IR xClculo Diferencial e Integral Unidade1 -Funes de uma Varivel 14 d) )`> e37| x IR x e) )` > e83| x IR x 1.6.2 Funo Quadrtica: a Parbola Definio Umaequaodaformac bx ax y + + =2,onde0 = a ,chamadadefunoquadrticaemx. Dependendo do valor de a, a parbola poder ter uma das formas mostradas abaixo: Em ambos os casos a parbola simtrica em torno de uma reta vertical paralela ao eixo y. Essa reta de simetria corta a parbola em um ponto chamado de vrtice (V). Se0 > a , o vrtice o ponto mais baixo da curva. (a parbola voltada para cima) Se0 < a , o vrtice o ponto mais alto da curva. (a parbola voltada para baixo) Razes de uma funo quadrtica As razes de uma funo quadrtica, para0 = a ,so calculadas atravs de 0 ) ( = x f . Asrazesdeumafunoquadrtica,para0 = a ,isto,02= + + c bx ax esodadasporaac b bx2421 + =e aac b bx2422 = . Em geral, utilizamos ac b 42 = A . Observao: Conforme o valor de A, trs casos podem ocorrer: Se A > 0, ento a funo possui duas razes reais e distintas. Se A = 0, ento a funo possui duas razes reais e iguais. Se A < 0, ento a funo no possui razes reais. Exemplo 11. Determine as razes das seguintes funes: a)( ) 2 22 = x x x f b)( ) 162 = x x g c)( ) 0 32= = x x x h d)( ) 5 22 + = x x x m Resoluo: a)0 2 22= x x( 2 2 1 = = = c , b , a )( ) ( ) ( )( )( ) 212 21 22 1 4 2 22= = x , ento3 1 = x . b)0 162= x Nesse caso, a equao pode ser resolvida diretamente:4 16 162 = = = x x xc)0 32= x xNesse caso, a equao pode ser resolvida diretamente: ( )( )= = = = = 3 0 300 3 0 32x xxx x x xd)0 5 22= + x x ( 5 2 1 = = = c , b , a )( ) ( ) ( )( )( ) 216 21 25 1 4 2 22 = = xNo possui razes reais. eixo Clculo Diferencial e Integral Unidade1 -Funes de uma Varivel 15 Observao: Relaes de Girard : A soma das razes da equao do segundo grau abx x = +2 1 e o produto acx x = 2 1. Interseco com o eixo y A interseco com o eixo y calculada avaliando-se o valor da funo em0 = x ,isto ,corresponde ao ponto( ) ( ) x f x, . Fatorao da funo quadrtica Umpolinmiodotipoc bx ax x f + + =2) ( ,onde0 = a ,escritacomo( ) ( )( )2 1x x x x a x f = , onde 1xe 2xso as razes de) (x f . O vrtice de uma parbola O ponto que representa o vrtice da parbola dado por:|.|

\| A =a abV4,2. Observao:Se a > 0, ento V um ponto de mnimo da funo. Se a < 0, ento V um ponto de mximo da funo. Domnio e Imagem da Funo Quadrtica O domnio da funo quadrtica corresponde ao conjunto dos nmeros reais (IR). O conjunto imagem depender do coeficiente a: Se a > 0, ento}4| { } Im{ay IR y fA > e = . Se a < 0, ento}4| { } Im{ay IR y fA s e = . O grfico de uma funo quadrtica O grfico de uma funo quadrtica uma parbola e podemos ter os seguintes casos: 0 > A 0 = A 0 < A0 > a 0 < a Comascoordenadasdovrticeeasrazesdaparbola,podemosesboarogrficodafuno quadrtica. Se necessrio, ainda podemos escolher mais um ponto para que o grfico fique mais preciso. O sinal da funo quadrtica Estudamoso sinal dafunoquadrtica,analisando a variaodosvalores da funo diretamenteno grfico. Clculo Diferencial e Integral Unidade1 -Funes de uma Varivel 16 Valor de A=b24acConclusoFigura A > 0 a > 0 Positivo no Exterior das Raizesa < 0Positivo no Interior das Raizes a > 0a < 0 A = 0 a > 00 no Vertice e Positivo nos demais xa < 0 0 no Vertice e Negativo nos demais x a > 0 a < 0 A < 0 a > 0Sempre Positivoa < 0 Sempre Negativo a > 0 a < 0 Exemplo 12: Para as funes quadrticas2 2 ) (2 = x x x fe 5 2 ) (2 + = x x x g , determine: i)o domnio; ii)suas razes, se houver; iii)seu vrtice;iv)sua imagem; v)os intervalos onde so positivas e os intervalos onde so negativas; vi)sua forma fatorada; vii) seu grfico. Soluo: 2 22 = x x ) x ( f 5 2 ) (2 + = x x x gDomnioR D= R D=Razes ( ( ) 0 = x f ) 0 2 22= x x( 2 2 1 = = = c , b , a ) ( ) ( ) ( )( )( ) 212 21 22 1 4 2 22= = x3 1 = x0 5 22= + x x ( 5 2 1 = = = c , b , a ) ( ) ( ) ( )( )( ) 216 21 25 1 4 2 22 = = xNo possui razes reais. Vrtice|.|

\| A =a abV4,2 ( ) 3 141222 = |.|

\| = , , V( ) ( )( ) 4 11 4161 22 =||.|

\| = , , VImagem} y | IR y { } f Im{ 3 > e = } y | IR y { } g Im{ 4 s e =Intervalos0 > a ,ouseja,aparbolaestvoltadapara cima. ( ) { }( ) { } 3 1 3 1 03 1 3 1 0+ < < e < e >x | R x : x fx , x | R x : x f 0 < a ,ouseja,aparbolaestvoltadapara baixo. ( )( ) R : x fh no : x f00 Forma fatorada ( ) ( ) | | ( ) | | 3 1 3 1 2 22+ = = x x x x x fNo h Grfico Clculo Diferencial e Integral Unidade1 -Funes de uma Varivel 17 Exemplo 13: Um campo retangular deve ser cercado com 500m de cercaaolongodetrsladosetemumrioretocomoquartolado. Sejaxocomprimentodecadaladoperpendicularaorioeyo comprimento de cada lado paralelo ao rio. a)Expresse y em termos de x. b)Expresse a rea A do campo em termos de x. c)Qual a maior rea que pode ser cercada? Soluo: a) Para cercar os lados h 500m de cerca, assim500 = + + x y x .Isolando y, escrevemos y em termos de x: x y 2 500 = . b)Areadoretnguloaltura base rea = ,abasedoretngulox y 2 500 = eaalturax ,portanto, ( )22 500 2 500 x x x x A = = . c) A maior rea cercada corresponde ordenada do vrticeda parbola que descreve a rea. ( )( )( )223125082500002 40 2 4 5004marea Maior == =A = . Inequao do Segundo Grau Exemplo 14. Resolva a inequao x 2 x 6 s 0, considerando como conjunto universo o conjunto dos nmeros reais. Soluo: Resolvendo a inequaox 2 x 6 s 0 Podemosencontrarasrazesdex2x6=0.Entreduasrazesconsecutivas,opolinmiointeiramente positivoounegativo. Isto significa quequandoasrazes reaisdeum polinmio so colocadasem ordem, elas dividem a reta real em intervalos em que o polinmio no tem mudana de sinal. A equaox 2 x 6 tem razes x = 2 e x = 3. Estas razes dividem a reta em trs intervalos: (,2),(2,3) e (3, ). Teste de Sinais: IntervaloVALOR NO INTERVALO Valor do Polinmio Concluso (, 2)x = 36Positivo ( 2,3)x = 06Negativo (3, )x = 46Positivo Resposta: {x eR / 2 s x s 3}. Tambmpodemosresolverutilizandooesboodogrficonafiguraaolado.Pelogrfico,vemosqueo polinmio negativo entre as razes. Logo, S = { x e IR / 2 s x s 3}. E17. Dadas as funes quadrticas: 1) 2 ) (2+ = x x f 2) 3 2 ) (2 + = x x x g 3) x x x h + =2) (4) ( )22 ) ( = x x m a)Determine suas razes (se houver) e seu vrtice.d) Estude seu sinal. b)Obtenha a interseco com o eixo y.e) Esboce seu grfico. c)Explicite seu domnio e sua imagem. -4 -3 -2 -1 0 1 2 3 4-6-4-20246++ Clculo Diferencial e Integral Unidade1 -Funes de uma Varivel 18 E18.Considereafunoreal6 5 ) (2+ = x px x f .Determineovalordepparaqueovalor3sejaraizda funo. E19. Determine o valor de m para que a funo8 2 2 ) (2 = mx x x gtenha duas razes reais iguais. E20. Seja a funoc bx ax x f + + =2) ( , onde a, b e c so constantes e a=0, encontre os valores dos coeficientes a, b e c se3 ) 0 ( = f ,2 ) 1 ( = fe9 ) 2 ( = f . E21.Umterrenoretangulardevesercercadocomdoistiposdecerca.Doisladosopostosterocercasmais grossas, custando $3,00 por metro, enquanto que os outros dois tero cerca comum que custa $2,00 por metro. Estdisponvelparaascercas$600,00.Sejaxocomprimentodecadaladoareceberacercagrossaeycada lado a receber a cerca comum. a)Expresse y em termos de x. b)Encontre uma expresso para a rea A do terreno em termos de x. c)Qual a maior rea que pode ser cercada? E22. Resolva as inequaes, considerando como conjunto universo o conjunto dos nmeros reais:a) 22 1 x x s b)0 21 42> + x x c)9 62 > x x E23. Qual a funo do segundo grau cuja nica raiz 3 e cujo grfico passa pelo ponto) 5 , 2 ( = A ? a)( ) 45 30 52+ + = x x x f b)( )21545452+ = x x x fc)( ) 15 20 52 = x x x fd)( ) 21 102+ + = x x x f e)( ) 92+ = x x f E24. Um fazendeiro tem 100m de cerca para construir um galinheiro retangular. Sex o comprimento de um lado do galinheiro, mostre que a rea cercada A(x)=50xx2. E25. Uma pessoa quer plantar um jardim retangular ao longo de um dos lados da casa, e construir uma cerca nos outrostrsladosdojardim.Expresseareadojardimemfunodeumdeseusladossabendoqueseroutilizados 20 m de cerca. Respostas E17.FunoRazesVrtice0 = x DImSinal 2 ) (2+ = x x fNo h(0, 2) 2 ) 0 ( = f IR{yeIR| y>2}0 ) ( , > e x f IR x3 2 ) (2 + = x x x gx=3, x=1(1, 4)3 ) 0 ( = g IR{yeIR| y>4}0 ) ( > x g : {xeIR| x 1} 0 ) ( < x g : {xeIR| 3 x m : {xeIR|x=2} 0 ) ( < x m : { } E18. p = 1E19. m= 4 E20.3 , 5 , 4 = = = c b aE21.a) 23 300 xy= b)( )23 300 xx A=0 s x s 100 c) 3750m2 E22. a){ }21, 1 | > s e x x IR x b){ } 3 , 7 | > < e x x IR x c){ } 3 | = e x IR xE23. a E25. A(x)=20x 2x2{ } 10 0 | < < e = x IR x D jardim casa x y Clculo Diferencial e Integral Unidade1 -Funes de uma Varivel 19 1.6.3Funo de grau maior que 2 Equao biquadrada Equaesbiquadradassoaquelasquecontmsomenteexpoentespares.Porexemplo, 0 1 5 32 4= x xe0 2 3 72 4= + + x xso equaes biquadradas. A resoluo baseia-se na substituio de 2xporre4x por 2r , transformando a equao de grau 4 emumaequao degrau 2 navarivelr :0 02 2 4= + + = + + c br ar c bx ax . Encontram-se asrazes da equao emr(1r e 2r ) e acham-se os valores dex , calculando as razes de 12r x =e 22r x = . Exemplo 15: Resolva equao0 3 42 4= + x x . Resoluo: Substitui-se 2x porr e 4x por 2r ,obtendo ( ) ( ) ( )( )( ) 1 23 1 4 4 40 3 422 = = + r r r ,ouseja, ===+==124 4324 424 421rrr .Paraencontrarosvaloresdex ,leva-seemcontaque32= x ou 12= x , assim3 = xou1 = x . Portanto as solues so{ } 3 , 1 , 1 , 3 . Equaes polinomiais de grau n Razes racionais de uma equao polinomial Teorema: Todo equao de grau n, com n >1, possui exatamente n razes complexas. Seumafunopolinomial 0 1223311... ) ( a x a x a x a x a x a x fnnnn+ + + + + + + =,0 =na ,de coeficientes inteiros, admite uma raiz racional qp, em que peZ e qeZ+, e ainda p e q so primos entre si, ento p divisor de 0ae q divisor de na . Este teorema pode ser utilizado para encontrar as razes de funes polinomiais. Na prtica, podemos us-lo para achar uma das razes e as outras so razes da equao fatorada so obtidas pelo algoritmo de Briot-Ruffini. Decomposio de uma funo polinomial Todopolinmiodegraun,comn>1, 0 1223311... ) ( a x a x a x a x a x a x fnnnn+ + + + + + =,pode ser decomposto em fatores lineares da forma( )( ) ( )n nx x x x x x a x f = .... ) (2 1 onde n nx x x x , ,..., ,1 2 1 so as razes de) (x f . Exemplo 16: Escreva a forma fatorada das seguintes funes: a)2 2 ) (2 = x x x pb)16 ) (2 = x x q c)14 11 2 ) (2+ = x x x m Resoluo: a)Asrazesde2 2 ) (2 = x x x p so3 1 = x ,entosuaformafatoradaser ( ) | | ( ) | | 3 1 3 1 ) ( + = x x x p . Clculo Diferencial e Integral Unidade1 -Funes de uma Varivel 20 b)As razes de16 ) (2 = x x qso4 = x , ento sua forma fatorada ser( )( ) 4 4 ) ( + = x x x q . c)As razes de14 11 2 ) (2+ = x x x mso )`27, 2 , ento sua forma fatorada ser( ) |.|

\| =272 2 ) ( x x x m . Algoritmo de Briot-Ruffini O algoritmo de Briot-Ruffini consiste de um dispositivo prtico para efetuar a diviso de um polinmio) (x ppor um binmioa x . Considere 0 1223311... ) ( a x a x a x a x a x a x pnnnn+ + + + + + =,pode-sedescreveresse dispositivo pelos seguintes passos: 1.Dispem-se todos os coeficientes de) (x pna chave: na1 na ... 1a0a 2.Coloca-se esquerda a raiz dea x . ana1 na ... 1a0a 3.Baixa-se o primeiro coeficiente na .ana1 na ... 1a0a | na 4.Multiplica-se pela raizae soma-se o resultado ao segundo coeficiente de) (x p , que 1 na : ana1 na ... 1a0ana a nana a +1 na... 5.Repetimos a ltima seqncia para os coeficientes restantes. Exemplo 17: Determine as razes das seguintes funes: a) ( ) x x x x f 14 52 3 + = b)( ) 83+ = x x g c) ( ) 21 5 13 32 3+ + = x x x x h Soluo: a)Avarivelx podeser colocada em evidncia:( ) 0 14 52= + x x x , assim resolve-se = +=0 14 502x xx. Asrazesdaequao0 14 52= + x x socalculadaspor ( )( )214 1 4 25 5 = x , 2729 5281 5= =( = =xxx .Logo as razes de0 14 52 3= + x x xso { } 2 , 0 , 7 . b)A fim de calcular as razes de0 83= + x , seguem-se os seguintes passos: Passo 1: Encontrar pelo menos uma raiz para equao 0 83= + x . Clculo Diferencial e Integral Unidade1 -Funes de uma Varivel 21 288 0 833 3 = = = = +x xx x Passo 2: Escrever a expresso83+ x em sua forma de polinmio completo: x3 + 8 = x3 + 0x2 + 0x + 8 Passo 3: Colocar os coeficientes do polinmio completo e a raiz encontrada no passo 1 numa tabela. 1008 2 Passo 4: Repetir o primeiro coeficiente na terceira linha de sua respectiva coluna. 1008 2 1 Passo5:Multiplicaroprimeirocoeficientedaterceiralinhapelaraiz,colocaroresultadonasegundalinha, somar este valor com o segundo coeficiente da primeira linha, colocando o resultado final na terceira linha. 1008 22 12 Passo 6: Repetir o passo 5 com os demais coeficientes da primeira linha at encontrar zero na terceira linha. 10081008 2242248 1241240 Passo7:Escreveraexpressoinicialemsuaformafatoradautilizandoasuaraizeopolinmiocomos coeficientes da terceira linha. x3 + 8 = (x + 2)(x2 2x + 4) Passo 8: Por definio, f (x) = 0 x3 + 8 = (x + 2) (x2 2x + 4) = 0 (I) x + 2 = 0 ou(II) x2 2x + 4 = 0 A expresso (I) resulta x = 2e a expresso (II) resulta em duas razes complexas. Ou seja, x = 2 a nica raiz real. c)Com o intuito de obter as razes de0 21 5 13 32 3= + + x x x , seguem-se os seguintes passos: Passo 1:Determinar uma raiz de0 21 5 13 32 3= + + x x xPode-se usar o algoritmo de Briot Ruffini: divide-se21 5 13 32 3+ + x x xpor1 + x , se o resultado for nulo,1 raiz do polinmio dado. 313521 131621 316210 Como o resultado foi nulo, 1 raiz de0 21 5 13 32 3= + + x x x . Passo2:Escreveraexpressoinicialemsuaformafatoradautilizandoasuaraizeopolinmiocomos coeficientes da terceira linha:( )( ) 21 16 3 1 21 5 13 32 2 3+ + = + + x x x x x x . Passo 3: Resolve-se0 21 16 32= + x x . Clculo Diferencial e Integral Unidade1 -Funes de uma Varivel 22 ( )( )3762 16362 1662 1664 163 221 3 4 256 16===+=(== =xxxLogo, as razes de0 21 5 13 32 3= + + x x xso )` 3 ,37, 1 . Observaes: -Ao aplicar o mtodo de B.R. o polinmio resultado ser de um grau inferior ao polinmio inicial; - possvel utilizar o mtodo de B.R. para fatorar qualquer polinmio, basta conhecer pelo menos uma raiz do polinmio a ser fatorado. E26. Resolva as equaes, no conjunto dos nmeros reais: a) 127324 31 = + x xb) 31 23132 =++ x x xc)0 ,323222== + xxx E27. Para quais valores dek , a equao0 3 2 7 32= + k x xadmite razes reais e idnticas? E28.Determine,sehouver,asoutrasrazesreaisdaequao0 4 6 22 3 4= + x x x x ,sabendoqueduas razes so2 e 1. E29.Umadasrazesdaequao0 9 ) 9 ( ) 1 (2 3= + + + + + x m x m x 1.Determinemparaqueasoutras razes sejam iguais. E30. Qual o nmero de razes reais da equao( )( ) 0 1 12 2= x x ? E31. Determine as razes reais das equaes:a)0 4 42 3= + x x xb)0 15 2 16 22 3 4= + + x x x x E32. Divida4 4 ) (2 3+ = x x x x ppor2 ) ( = x x d . E33. Fatore, utilizando o mtodo de Briot Ruffini:a) x3 7x2 + 15x 9 b) x3 + x2 2x E34. Marque com um X a alternativa correta: I.O valor dem para que a equao023 72=|.|

\| + mx xtenha uma raiz nula : a) 7b) 6c) 0d) 6e) nenhuma das alternativas anteriores II.A diferena entre a maior e a menor raiz da equao0 36 132 4= + x x: a) 3b) 4c) 5d) 6e) nenhuma das alternativas anteriores III.Sendo2 2 32 3 + = x x x Ae1 = x Bdois polinmios, temos quea)A divisvel porB .d) O resto da diviso deA porB igual a1 + x . b)A no divisvel porB .e) nenhuma das alternativas anteriores c) O resto da diviso deA porB igual a1 x . Respostas E26. a) )`53b) IRc){ }E27. 2413 E28.no hE29.{ } 6 E30. So 4 razes,{ } 1 , 1 , 1 , 1 .E31.a){ } 2 , 1 , 2 b){ } 5 , 1 , 1 , 3 E32.( )( ) 2 1 + x xE33.a)( )( )( ) 3 3 1 x x x b)( )( ) 2 1 + x x xE34. I. bII. dIII. a Clculo Diferencial e Integral Unidade1 -Funes de uma Varivel 23 1.7Funes Definidas por Intervalos Em algumas situaes mais de uma frmula necessria para definir uma funo.Por exemplo, em uma empresa de fotografias o custo das cpias digitais definido pela tabela abaixo. Nmero de cpiasPreo (R$)Funo( ) x PAt 100,70( ) x x P 7 , 0 =De 11 a 1000,60( ) x x P 6 , 0 =De 101 a 2000,50( ) x x P 5 , 0 =Acima de 2000,48( ) x x P 48 , 0 = Nesse caso, a situao pode ser descrita por uma funo definida por 4 intervalos que pode ser escrita como( )>s s s ss < = =0 ,0 ,x xx xx x f . Oseudomniooconjuntodosnmerosreaisesuaimagemo intervalo| ) , 0 . O grfico da funo est ao representado na figura ao lado. Exemplo 18: Esboce o grfico das seguintes funes a)( ) 3 = x x f b)( ) 42 = x x f Soluo: a) b) Clculo Diferencial e Integral Unidade1 -Funes de uma Varivel 24 E35. Resolva os itens abaixo: 1.Considere a funo( ) 5 62+ + = x x x f . a)Determine seu domnio. b)Escreva a funo definida por partes. c)Calcule) 1 ( f . d)Esboce seu grfico. 2.Responda s perguntas abaixo utilizando a funox y x f + = = 1 ) ( :a)Qual a funo de x que descrita por) (2x f ?b) Qual a funo de x que descrita por)1(2xf ? Respostas 1. a) D=IRb)( ) < < > s + += + + =1 5 , 5 61 , 5 , 5 65 6222x x xx x x xx x x f c)12 ) 1 ( = f 2. d)( ) x x x f + = + = 1 12 2e) x x xf111112 2+ = + = |.|

\|d) 1.8Funes Racionais Resoluo de Inequaes Produto e Quociente Inequaes produto (ou quociente) so sentenas abertas que relacionam produto(s) (ou um quociente) no 10 membro e o valor zero (0) no 20 membro. Ou seja, dada duas (ou mais) funes denominamos inequao produto as desigualdades do tipo: 0 ) ( ... ) ( ) (2 1> x f x f x fn 0 ) ( ... ) ( ) (2 1< x f x f x fn 0 ) ( ... ) ( ) (2 1> x f x f x fn0 ) ( ... ) ( ) (2 1s x f x f x fn Dadas duas funes, f(x) e g(x), inequaes quociente so as desigualdades do tipo: 0) () (>x gx f 0) () (x gx f 0) () (sx gx f Pararesolvermosumainequaoproduto(ouquociente)devemosfazeroestudodesinaisdecada funodo1membroseparadamente,transportarosresultadosparaumquadro,efetuaroproduto(e/ou quociente) dos sinais e, a seguir, determinar o(s) conjunto(s) que satisfaz(em) a desigualdade dada. Clculo Diferencial e Integral Unidade1 -Funes de uma Varivel 25 Exemplo19:Resolvaas seguintes inequaes, considerando como conjunto universoo conjunto dosnmeros reais: a) (x 1) (2 x + 1) (2 x) < 0 b)0162>+ xx xc) 211222 >++xxd) 0) 4 )( 1 3 (s+ xx x Soluo: a) Resolvendo a inequao (x 1) (2 x + 1) (2 x) < 0 Observequecadafatorrepresentaumafunodo1grau,assimdevemosresolv-losdeterminando sua raiz e posteriormente fazendo a anlise de sinais, para transportarmos os resultados para o quadro de sinais. f1(x) = x 1 raiz: x = 1 a = 1: funo crescente f2(x) = 2x + 1 raiz: x = - a = 2: funo crescente f3(x) = 2 x raiz: x = 2a = -1: funo decrescente Lembre que as razes devem ser colocadas em ordem crescente e como queremos valores menores que ( < < e 2 121x ou x / R x b) Resolvendo a inequao0162>+ xx x Nestainequaoquocienteonumeradorrepresentaumafunodo2grau,quepararesolv-la faremos o estudo de sinais, atravs do esboo grfico. J o numerador representa uma funo do 1 grau, ento teremos: f (x) = x2 x 6 razes: x = -2 e x = 3 a = 1: concavidade para cima g(x) = x + 1 raiz: x = -1 a = 1: funo crescente Comoqueremosvaloresmaioresqueouiguaisa(>)zero,teremosintervalosfechadosparao numerador, mas aberto para o denominador, uma vez que no h diviso por zero! Assim teremos o quadro: 1 2-+ -12 Clculo Diferencial e Integral Unidade1 -Funes de uma Varivel 26 x 2 x 6++ x + 1++ Quociente++ Soluo:| ) | ) + , , 3 1 2 ou{ } 3 1 2 > < s e x ou x / R x c)Resolvendo a inequao 211222 >++xx Pararesolvermosesse tipo deinequao devemosdeterminar umainequao quociente (e/ouproduto) equivalente, cujo 2 membro seja zero (0). Para isso, colocamos todas as fraes no 1 membro da desigualdade, calculamos o m.m.c. dos denominadores e efetuamos as operaes necessrias, obteremos a seguinte inequao: 02 21 202 21 4 2 201 21 1 2 2 1 2021122221122222> + +> + + + > + + +> +++ >++xx xxx x x x) x () x .( . ) x )( x (xxxx Comoqueremosvaloresmaioresqueouiguaisa(>)zero,teremosparaonumeradorumintervalo fechado, mas aberto para o denominador, uma vez que no h diviso por zero! Assim teremos o quadro: x2 + 2x +1+++ 2x 2+ Quociente+ d)Resolvendo a inequao 0) 4 )( 1 3 (s+ xx x Nessa inequao aparece as duas operaes conjuntas o produto e o quociente. Para resolv-la iremos, como nos exemplos anteriores, analisar o sinal dos termos separadamente e, posteriormente, construir o quadro de sinais. f1(x) = 3x 1 raiz: x = 1/3 a = -1: funo decrescente f2(x) = x+4 raiz: x = 4 a = 3: funo crescente -+-2- 1 3 -+-11 Soluo: { } | ) + , 1 1ou { } 1 1 / = > e x ou x IR x Observe que obtemos uma desigualdade semelhante a do item anterior. f (x) = x2 + 2x +1 razes: x = -1 a = 1: concavidade para cima g(x) = 2x 2 raiz: x = 1a = 2: funo crescente Clculo Diferencial e Integral Unidade1 -Funes de uma Varivel 27 f3(x) =xraiz: x = 0a = 1: funo crescente Comoqueremosvaloresmenoresqueouiguaisa(s)zero,teremosparaonumeradorintervalos fechados,masabertoparaodenominador,umavezquenohdivisoporzero!Assimteremososeguinte quadro: 3x 1++ x+4+++ x +++ ().(+):() + ().(+):(+) (+).(+):(+) + (+).():(+) Soluo: | ) +

\|, , 4310 ou { } 4 3 0 / > s < e x ou x IR x Funes Racionais A funo) (x fdefinida por ) () () (x qx px f = , onde) (x pe) (x qso funes polinomiais e) (x qno uma funo constante nula, denominada uma funo racional. A funo racional geral o quociente de polinmios: mmnnx b x b x b x b bx a x a x a x a ax f+ + + + ++ + + + +=......) (3322 1 03322 1 0. Por exemplo, 1) (2+=xxx f22) (+=xxx gxx x h1) ( + =1 26 4) (22 3+ ++ + =x xx x xx l so funes racionais. O domnio de uma funo racional definida por ) () () (x qx px f =consiste de todos os valores de x para os quais0 ) ( = x q . Ou seja, o domnio das funes racionais o conjunto dos nmeros reais exceto aquele(s) valor(es) que anula(m) o denominador, pois no existe diviso por zero! Pode-se observar que se) (x fe) (x gso funes racionais, ento as funes) ( ) ( x g x f S + = ,) ( ) ( x g x f P = ,) ( ) ( x g x f D = e ) () (x gx fQ = tambmsero.Isto,asoma,oproduto,adiferenaeo quociente de funes racionais so ainda funes racionais. Exemplo 20:Determine o domnio de3 25) (+=xxx f. Soluo: 2x + 3 = 0x = 32Dom f =x R x e = `)/32 Exemplo 21: Para afuno 99) (2+=xx f , determine: a)seu domnio;c) sua interseco com o eixo y; b)suas razes; d) os intervalos em que a funo positiva e os intervalos onde ela negativa. -+0 1/3 4 Clculo Diferencial e Integral Unidade1 -Funes de uma Varivel 28 Soluo: a)-/ = = == + 9 9 0 92 2x x x , logo no h problema de existncia, ento Dom f = IRb)0 9 ) 9 ( 0 9 09922=+ ==+xx (impossvel!), logo no h raiz real. c)1999 09) 0 (2= =+= fd)positiva:0992>+ x.Como( ) 91= x f e( ) 922+ = x x f sopositivas,ento 99) (2+=xx f serpositiva para todo x e IR. . No h intervalo onde a funo seja negativa. 1.9 Funes Algbricas com Potncias Racionais O domnio das funes algbricas que apresentam expoente fracionrio pode ser analisado conforme a tabela abaixo: NumeradorExemploDenominadorExemplo Raiz de ndice par Radicandotem quesermaiorou igualazero.Ou seja,deve-se resolveruma inequao. 2 ) ( + = x x fx + 2 > 0 x > -2 Dom f = [2, +) Radicando tem que ser maior que zero. Ouseja,deve-se resolveruma inequao. 2) (+=xxx fx + 2 > 0 x > -2 Dom f = (2, +) Raiz de ndice mpar Radicandopode assumirqualquer valordoconjunto dos reais. 32 ) ( + = x x f Dom f = IR Radicandono podeseriguala zero 32) (+=xxx fx + 2 = 0 x = -2 Dom f = IR {2} Exemplo 22:Determine o domnio de ) 2 )( 5 (6) (+ =x xx f Soluo: Determinarodomniodestafunosignificaestabelecercondiesdeexistnciaparaestaraiz quadrada. Isto , o radicando deve ser maior ou igual a zero, portanto: 0) 2 )( 5 (6>+ x x. Observe que temos 3 funes e as duas operaes conjuntas o produto e o quociente. Para resolv-la iremos analisar o sinal das funes separadamente e, posteriormente, construir o quadro de sinais. f1(x) = 6 raiz: no tem f2(x) = 5 x raiz: x = 5 f. constantea = 1: funo decrescente f3(x) =x + 2raiz: x = -2a = 1: funo crescente Como queremos valores maiores que ou iguais a (>) zero, poderamos ter para o numerador intervalos fechados,contudoafunonotemraiz,assimtodosintervalosseroabertos.Aseguirtemosoquadrode sinais: -2 + 5 + Clculo Diferencial e Integral Unidade1 -Funes de uma Varivel 29 6 5 x++ x + 2++ Prod. e Quoc. ():(+) () + ():(+)(+) ():() (+) + Exemplo 23: Para afuno 42) (2+ =xxx g , determine: a)seu domnio; b)suas razes; c)sua interseco com o eixo y; d)os intervalos em que a funo positiva e os intervalos onde ela negativa. Soluo: a)x2 + 4 > 0.Note que a funo sempre positiva, logo no apresenta problema de inexistncia.Dg = IR.. b)( ) 0 0 2 4 . 0 2 04222== + = =+ x x x xxx (raiz) c)0204 00 . 2) 0 (2= =+ = g(corte em y) d)positiva:042) (2>+ =xxx g :Notequef1(x)=2xpositiva,quandox0ef2(x)=42+ x sempre positiva (como vimos no item a). Logo o quociente ser negativo para :} 0 | { > e x IR x E36. Determine o domnio das funes abaixo no conjunto dos nmeros reais: a)( )1 2 312+ +=x xxx f b)( )2342xx xx f +=c)( )2342xx xx f +=d) ( )2342xx xx f +=e)( )92 323 + =xx xx ff)( )224 xx xx f+=g)( )xxxx f32 21++= h)( )212+=xxx f i)) 7 2 )( 4 ( ) ( = x x x f E37. Encontre o conjunto-soluo de cada uma das seguintes inequaes: a)0 ) 3 )( 1 2 )( 1 4 ( > + + x x x b) ( ) 0 12> x x c)04 25>+ xx d) 042s xx e)042>+ xxf)113s xg) 122211 >++x xxxxh)0) 5 )( 1 2 () 14 7 )( 12 (< + +x xx x -+-25 Soluo:( ) ( ) + , , 5 2 ou{ } 5 2 > < e x ou x / R x Clculo Diferencial e Integral Unidade1 -Funes de uma Varivel 30 E38. Seja a funo definida pela equao xy11+ = .Responda: a)Qual o seu domnio? b)Os pontos A=) 2 , 1 ( , B= ) 1 , 2 ( , C=) 2 , 1 ( , D=)25, 2 ( e E= )27, 3 (pertencem ao grfico da funo? E39. Para cada uma das funes abaixo, determine: i) 167) (2+=xxx fii) 34) (22+=xxx g iii) xx x h1) ( = iv)x xx k12 12) (2 =v) x xx m+=21) ( a)seu domnio; b)suas razes; c)sua interseco com o eixo y; d)os intervalos em que a funo positiva e os intervalos onde ela negativa. E40. Dadas as seguintes funes algbricas: i)6 3 ) ( + = x x f ii) ( )2 =xxx g iii)( )22 4 ) ( + = x x h iv) xx k=51) (v)xxx m+=11) ( Determine: a)seu domnio; b)suas razes; c)sua interseo com o eixo y; d)os intervalos em que a funo positiva e os intervalos onde ela negativa. Respostas E36. a){ } 1 | > e = x IR x ID b){ } 2 2 | < < e = x IR x ID c){ } 2 1 | < s e = x IR x ID d){ } 2 1 2 | < s v < e = x x IR x IDe) ID = IR {-3, 3} f)} 2 , 2 { = IR IDg) (,2) (2, 2)h) IR i) (,4] [7/2, +) E37.a) { xe IR | x < 3, 1/2 < x < 1/4}d) {xe IR | x < 2,0 s x < 2} g) {xe IR | 1 < x < 2} b) {xe IR | x > 1}e) {xe IR | x > 0}h) {xe IR | 12 < x < 1/2, 2 < x 1} E38. a) D={xe IR| x=0} b) Apenas o ponto C pertence ao grfico da funo. E39. FunoDomnioRazesInterseco c/y Intervalo positivoIntervalo negativo ( ) x f IR{4, 4}(7,0) |.|

\|167, 0 { } 4 , 4 7 | > < < e x x IR x { } 4 4 , 7 | < < < e x x IR x ( ) x g IR (0,0)(0,0)IR-{0} No h ( ) x h IR {0}(1,0), (1,0)No h{ } 1 , 0 1 | > < < e x x IR x { } 1 0 , 1 | < < < e x x IR x( ) x k IR {0}(1,0)No h{ } 0 , 1 | = < e x x IR x } 1 | { > e x IR x( ) x m IR{0,1}No hNo h} 0 , 1 | { > < e x x IR x} 0 1 | { < < e x IR x Clculo Diferencial e Integral Unidade1 -Funes de uma Varivel 31 E40.FunoDomnioRazesInterseco c/yInt. positivoInt. negativo ( ) x f { 2 | > e x IR x }(2,0) ( ) 6 , 0} 2 | { > e x IR x No h ( ) x g {2 , 0 | > s e x x IR x}(0,0)(0,0){2 , 0 | > < e x x IR x}No h ( ) x h { 0 4 | s s e x IR x } (0,0) (4,0), (0,0){ 0 4 | < < e x IR x }No h ( ) x k { } 5 | < e x IR x No h ||.|

\|55, 0 todo domnioNo h ( ) x m { 1 1 | < s e x IR x }(1,0)(0,1){ 1 1 | < < e x IR x }No h 1.10 Funes Transcendentes Observao: Reviso de Potenciao Considerando0 , > b a , ento para todos os reaisxey : a) y x y xa a a+= b) y xyxaaa=c)( )pxxpa a =d)( )x x xb a b a = e) xxxbaba= |.|

\| f) yx yxa a = 1.10.1 Funo Exponencial Definio. Uma funo exponencial qualquer funo na qual a regra especifica a varivel independente como um expoente. Uma funo exponencial bsica tem a forma xa x f = ) ( , onde1 , 0 = > a a . Exemplos: xx g |.|

\|=21) ( , xx h= 4 ) (e 22 ) (xx m= . O domnio de uma funo exponencial bsica o conjunto de todos os nmeros reais. E41. Resolva os seguintes problemas: 1)Seonmerodebactriasemumaculturadadapelafrmula 43 250 ) (tt Q = ,sabendoquetmedido em dias, estime: a)a populao inicial; R: 250 b)a populao aps 4 dias;R: 750 c)a populao aps 12 dias.R: 6.750 2) Em um municpio, aps uma pesquisa de opinio, constatou-se que o nmero de eleitores dos candidatos A e Bvariavaemfunodotempot ,emanos,deacordocomasseguintesfunes( )tt A 6 , 1 10 2 ) (5 = e ( )tt B 4 , 0 10 4 ) (5 = . Considere as estimativas corretas e que0 = trefere-se ao 10 de janeiro de 2009. a)Calcule o nmero de eleitores dos candidatos A e B em 10 de janeiro de 2009.R: 5 510 4 ; 10 2 b)Determine em quantos meses os candidatos tero o mesmo nmero de eleitores.R: 6 meses 3) Num perodo prolongado de seca, a variao da quantidade de gua de certo reservatrio dada pela funo tq t q1 , 002 ) (= ,onde 0q aquantidadeinicialdeguanoreservatrioe) (t q aquantidadedeguano reservatrio apstmeses. Em quantos meses a quantidade de gua se reduzir metade do que era no incio? R: 10 meses Clculo Diferencial e Integral Unidade1 -Funes de uma Varivel 32 Propriedades da Funo Exponencial xa x f = ) ( Caso 1: Supondo1 > a . A funo xa x f = ) ( , se1 > a , chamada de funo de crescimento exponencial. crescente: se 2 1x x < , ento 2 1x xa a < . Assume valores positivos, ou seja:0 ) ( > x fsempre. Se0 = x ,1 ) 0 ( = f . Comportamento de) (x fquando+ x : + ) (x f . Comportamento de) (x fquando x : +0 ) (x f . Caso 2: Supondo1 0 < < a . Afuno xa x f = ) ( ,se1 0 < < a ,chamadade funo de decrescimento exponencial. decrescente: se 2 1x x < , ento 2 1x xa a > . Assume valores positivos, ou seja:0 ) ( > x fsempre. Se0 = x ,1 ) 0 ( = f . Comportamento de) (x fquando+ x : +0 ) (x f . Comportamento de) (x fquando x : + ) (x fE42. Para cada funo dada, complete as tabelas abaixo e esboce seus grficos: a) xx f 2 ) ( =b) xx g= 2 ) ( Funo xx f 2 ) ( =xxx f 2 ) ( = Domnio 2 Imagem 1 Comportamento quando+ x 0 Comportamento quando x1 2 Funo xx g= 2 ) (xxx g= 2 ) ( Domnio 2 Imagem 1 Comportamento quando+ x 0 Comportamento quando x1 2 Clculo Diferencial e Integral Unidade1 -Funes de uma Varivel 33 Respostas E42. a) Funo xx f 2 ) ( = DomnioIR ImagemIR* Comportamento quando+ x+ Comportamento quando x0+ b) Funo xx g= 2 ) ( DomnioIR ImagemIR* Comportamento quando+ x0+ Comportamento quando x+ Exemplo 24: Considere a funo xa x f ) 6 2 ( ) ( = , determine os valores deapara os quais: a)( ) x fseja uma funo crescente.b)( ) x fseja uma funo decrescente. Resoluo: a) A fim de que( ) x fseja uma funo crescente) 6 2 ( adeve ser maior que 1, ento resolve-se a inequao 277 2 1 6 2 > > > a a a . b) A fim de que( ) x fseja uma funo decrescente) 6 2 ( adeve pertencer ao intervalo (0,1), ento resolve-se a inequao273 7 2 6 1 6 2 0 < < < < < < a a a . Observao: O Nmeroe Onmeroe chamadodebaseexponencialnatural.irracionaletemvaloraproximadode ... 59045 7182818284 , 2 , que foi obtido atravs de nnn|.|

\| + 11 lim . Clculo Diferencial e Integral Unidade1 -Funes de uma Varivel 34 n 1101001.00010.000100.0001.000.000 nn|.|

\| +1122,593742462,704813832,716923932,718145932,718268242,71828047 medida que n , a quantidade nn|.|

\| +11no cresce para alm de quaisquer valores, mas parece se aproximar de um valor especfico. Exemplo 25: Considere a funo x xxe e x x f 3 ) (2 = , determine: a)seu domnio;b) suas razes, se houver;c) o valor de( ) 0 f . Resoluo: a) O domnio de( ) x f IR. b)Asrazesde( ) x f correspondemaosvaloresdex taisque( ) 0 = x f ,entoresolve-seaequao 0 32= x xxe e x . Coloca-se o termo xxeem evidncia:0 ) 3 ( = x x ex. Logo, as razes so {0, 3}. c)Ovalorde( ) 0 f encontradosubstituindox por0naexpressode( ) x f ,isto, 0 0 3 0 ) 0 (0 0 2= = e e f . E43. Simplifique a expresso: ( ) ( )( )22 2x xx x x xe ee e e e + +. E44. Encontre os zeros da funo x xxe e x x f + = 2 ) (2. E45. Os registros de sade pblica indicam quet semanas aps o incio de uma gripe virtica, conhecida pelo nome de influenza, aproximadamente tet Q2 , 119 120) (+=mil pessoas tero contrado a doena. a)Quantas pessoas tinham a doena quando ela comeou a se espalhar? b)Quantas pessoas tinham contrado a doena aps o fim da segunda semana? c)Se a tendncia continuasse, aproximadamente quantas pessoas ao todo teriam contrado a doena? Respostas E43. ( )24x xe e+E44.0 = xou2 = xE45.a) 1.000 indivduosb) 7.343 indivduosc) 20.000 indivduos 1.10.2 Funes Hiperblicas Certascombinaesdefunesexponenciaisqueestorelacionadas comumahiprboleaproximadamentedamesmaformacomqueasfunes trigonomtricasestorelacionadascomocrculoprovaramserimportantesem MatemticaAplicada.Essasfunessochamadasfuneshiperblicasesuas semelhanascomasfunestrigonomtricassoenfatizadaschamando-asde seno hiperblico, cosseno hiperblico e tangente hiperblica, e assim por diante e so definidas por: Clculo Diferencial e Integral Unidade1 -Funes de uma Varivel 35 2) (x xe ex senh= 2) cosh(x xe ex+=) cosh() () (xx senhx tgh = . Essas funes descrevem o movimento de ondas em slidos elsticos e a forma de fios suspensos na rede eltrica. A curva representada pelo fio dafigura ao lado aparenta a forma de uma parbola. No entanto, possvel mostrar que a equao correspondente |.|

\|=axx f cosh ) (paraR ae . Essa curva recebe o nome de catenria. Exemplo 26: Para a funo 2) ( ) (x xe ex senh x f= = , determine: a)seu domnio; b)suas razes; c)o intervalo onde positiva e onde negativa; d)o comportamento para x . Observe o quadro abaixo: Propriedades) ( ) ( x senh x f = ) cosh( ) ( x x f =) ( ) ( x tgh x f =DomnioIRIRIR Razes0 = x No h0 = xIntervalo onde0 ) ( > x f ) , 0 (+ IR) , 0 (+Intervalo onde0 ) ( < x f ) 0 , ( No h) 0 , (Comportamento para + x ++1 = yComportamento para x +1 = yGrfico E46. Utilizando o fato que 2) (x xe ex senh=e 2) cosh(x xe ex+= , demonstre as seguintes identidades: a)1 ) ( ) ( cosh2 2= x senh xb)) cosh( ) ( 2 ) 2 ( x x senh x senh =c)) ( ) ( cosh ) 2 cosh(2 2x senh x x + =d)) cosh( ) ( x x senh ex+ = Observaes: 1. Logaritmos O logaritmo de um nmero real e positivo N, na base b, positiva e diferente de 1, o nmero x ao qual se deve elevar b para se obter N. Por exemplo, o nmero que se deve elevar 2 para se obter 32 5; portanto, 5 o logaritmo de 32 na base 2. Clculo Diferencial e Integral Unidade1 -Funes de uma Varivel 36 Forma LogartmicaForma Exponencial x Nb= log N bx= b = base do logaritmo N = logaritmando x = logaritmo b = base da potncia N = potncia x = expoente O sistema de logaritmos decimais, ou de base 10, indica-se por N10logouN log . O sistema de logaritmos naturais, ou de base e, indica-se porlogeN ou ln N. 2.Conseqncias da Definio P N P N l N bm b bbNmb b bb= = - = -= - = - = -log oglog1 log0 1 log blog 3. Propriedade Operacionais dos Logaritmos P N NP log log ) log( + = Ologaritmodeumprodutoigualsomadoslogaritmosdeseus fatores. P NPNlog log log = |.|

\| Ologaritmodeumquocienteigualdiferenaentreologaritmodo dividendo e o logaritmo do divisor. N p Nplog log =O logaritmo de uma potncia o produto do expoente pelo logaritmo da base da potncia. NpNplog1log =Ologaritmo de uma raiz deradicando positivo igual ao logaritmo do radicando dividido pelo ndice do radical. E47. Reescreva as expresses: a)( )( ) b x a x 3 log3b) 4 32logz yxx E48. Escreva cada uma das seguintes expresses como um logaritmo: a)) ln( 4 ) ln( 8 ) ln( 2 z y x + b) hx h x ) ln( ) ln( +c)) 1 ln( ) 1 ( ) ln( x x x x Respostas E47. a)( ) ( ) b x a x + +3 3log log 1 b)z yx xlog 4 log 3 2 E48. a) ||.|

\|84 2lnyz xb) hxh11 ln |.|

\| + c) ( )||.|

\|11lnxxxx 1.10.3 Funo Logartmica Denomina-se funo logartmica de base b,a funofde IR*+ emIRdada por( ) x x fblog =(com 1 = b ,0 > be 0 > x ) -Quando1 > b , temos uma funo logartmica crescente. -Quando1 0 < 0. Condio de Existncia b = 1 b> 0 N > 0 Clculo Diferencial e Integral Unidade1 -Funes de uma Varivel 37 Imagem de Funes Logartmicas: A imagem de uma funo logartmica dada por( ) x x fblog = , (com1 = b , 0 > be 0 > x ) sempre o conjunto dos nmeros reais. Grfico da Funo Logartmica( ) ( ) x x fblog =Caso 1: Supondo1 > b . Domnio:{ } 0 > e = x | IR x DA funo ( ) ( ) x x fblog = , se1 > b , uma funo crescente. 0 ) ( > x f :{ } 1 > e x | IR x0 < ) x ( f :{ } 1 0 < < e x | IR xSe1 = x ,( ) 0 1 = f . Comportamento de) (x fquando+ x : + ) (x f . Comportamento de) (x fquando +0 x : ) (x f . Caso 2: Supondo1 0 < < b . Domnio:{ } 0 > e = x | IR x D A funo( ) ( ) x x fblog = , se1 0 < < b , uma funo decrescente. 0 ) ( > x f :{ } 1 0 < < e x | IR x0 < ) x ( f :{ } 1 > e x | IR xSe1 = x ,( ) 0 1 = f . Comportamento de) (x fquando+ x : ) (x f . Comportamento de) (x fquando +0 x : + ) (x f Exemplo 27: Considere as seguintes funes 2105log) (|.|\|+=xxxx f ,( ) 2 4 log ) (5 = xx g ,( )2 2log ) ( x x x x h + + =e( ) 12 log ) (7 =xx m a)Determine o domnio de) (x f ; b)Encontre as razes de) (x g ; c)Obtenha o valor de( ) 10 h ; d)Os valores dexpara os quais) (x m uma funo crescente. Soluo: a)Odomniocorrespondeaoconjuntosdosvaloresqueavarivelx podeassumir.Comonopodehaver divisoporzero: = = += = 10 0 102 0 2x xx x.Ologaritmandodeveserpositivo,logo,resolve-seainequao 0105>+xx. Logo,{ } 2 , 5 10 | = < < e = x x IR x D . 000 Clculo Diferencial e Integral Unidade1 -Funes de uma Varivel 38 b)Asrazesde) (x g soencontradasresolvendo-seaequao( ) 0 2 4 log 0 ) (5= = xx g ,ouseja,( ) ( )== = =735 4 2 4 log25xxxx. A nica raiz ser{ } 7 , pois3 = xno est no domnio de) (x g . c)Ovalorde( ) 10 h encontrado,substituindo-sex por10 naexpressodafuno ( ) ( ) 2 ) 10 ( 2 10 10 ) 10 ( 10 log 10 10 ) 10 (2 2= + + = + + = h h h . d) A funo) (x mser crescente se sua base for maior que 1. Assim, resolve-se a inequao1 7 > x , ou seja, 8 > x . A funo) (x mser crescente se8 > x . E49. Calcule o valor de K sabendo que( ) ( ) ( ) 1 , 0 log 5 log2164 log 310 5 4+ = K . E50. Sabendo que0 > ae1 = a , qual o valor da expresso( ) ( ) ( ) a aa a alog 4 1 log log 35 + ? E51. Sendo253= xe272= y , calcule o mdulo de 3423y x . E52. Resolva as seguintes equaes: a)103 5= xe h)( ) 5 4 3 log2= xb) 3 320 5 +=x x i)( ) ( ) 2 4 log 2 log3 3= + x xc)6 2 6 2 = x xj)3 ) 1 ln( ) ln( 2 = + x xd)( ) 81 3 =xxk)1133= |.|\|+xxlog e)( )8124= xxl)0 6323= x log x logf)1 312 72=+ x xm)( ) | | 0 1 2 1 = + + x log logg) 211641+= |.|\|xxn) ( )( )423=+x logx log E53. Resolva 16 - 0,5 + 81 - 0,25. E54. Calcule A = x + y em que xe yso respectivamente, as solues das equaes exponenciais: y y x27 9 e128 23= =. E55. Dadolog , , log , ,b b2 0 693 3 1099 7 1946 ~ ~ ~e logb, utilize as propriedades dos logaritmos para obter um valor aproximado para as seguintes expresses:a)logb6 b)logb727 E56. Resolva as seguintes equaes logartmicas: a)log(z 3) = 2 b)log(x + 4) log(x) = log(x + 2) c)3 log25x= 10 d)log (x2)= 6 e)ln (x + 5) = ln (x 1) ln (x + 1) f)( ) ( ) ( ) x x x 8 log 8 log log323 3= +g)( ) ( ) 3 6 log 8 log2 2= + x xh)1 log ) 1 log( + = + x x i)log (x+1) +2 = log (4x2 - 500) j)2log(x) = log(4) + log(3x)E57.Considere as funes( ) x x fx =7 log ) (3,( ) 4 4 log ) (251+ = x x x ge ( )xb x h 8 3 ) ( =a)Determine o domnio de) (x f ; Clculo Diferencial e Integral Unidade1 -Funes de uma Varivel 39 b)Encontre as razes de) (x g ; c)Calcule os valores debpara que) (x hseja uma funo crescente. Respostas E49. 4 31/ E50. 13E51. 45 E52.a) ( ))` +53 10 ln b) ( ) ( )( ) ( ) )`+5 2020 3 5 3ln lnln ln c) ( )( ) )`+215 3lnln d){ } 2 2, e){ } 3 1,f){ } 4 3,g){ } 1 h)12 = xi)10 3 + = xj) 243 6 3e e ex+ +=k){ } 3l){ } 27 , 9 / 1m){ } 0n){ } 10 E53. a) 7/12E54. 43E55.a) 1,792b)351 , 1 E56. a) {103}b) )`+ 217 1 c) )`523 10 d) {103} e) { } f) {4} g){ }h) {1/9} i) {30} j) {12} E57. a)( ) ( ) 7 , 4 4 , 3, b){ } 3 , 1c){ } 3 | > e b R b 1.10.4 Funes Trigonomtricas Observaes: Trigonometria 1. Crculo Orientado Um crculo pode ser percorrido em dois sentidos. Quando um deles escolhido e denominado positivo, dizemos que o crculo est orientado. Tradicionalmente, escolhemos o sentido anti-horrio e fixamos no crculo unitrio orientado um ponto A, chamado origem dos arcos. Definimos medida algbrica de um arco AB deste crculo como o comprimento deste arco, associado a um sinal positivo se o sentido de A para B for anti-horrio, e negativo em caso contrrio. Neste segundo momento, estenderemos as razes trigonomtricas abordadas nos itens anteriores para o crculo trigonomtrico, cujo raio mede 1u.c. (uma unidade de comprimento) Analogamente,cos = AB. Como ABBCa co c = =. .. .tan e AABC AABC ~ AAED (por AAA) Ento AEEDABBC= .Portanto,tan = ED , pois AE = 1 u.c. (raio) Sendo assim, podemos identificar as razes trigonomtricas como projees do ngulo sobre os eixos. Sabendo-se que,ACBChipo c = =.. .senE comoAC = 1 u.c. (raio)Ento podemos afirmar quesen = BC, desconsiderando a unidade de comprimento, pois estamos trabalhandocomrazesentregrandezasdemesma unidade. Clculo Diferencial e Integral Unidade1 -Funes de uma Varivel 40 2. Quadrantes e Sinais das Razes Trigonomtricas 3. Reduo ao primeiro quadrante Reduzirumarcodadoaoprimeiroquadrantedeterminarumarcodoprimeiroquadrantecujas funes trigonomtricas sejam iguais em valor absoluto s do arco dado. Quadrante IQuadrante IIQuadrante IIIQuadrante IV u u =Ru t u =Rt u u =Ru t u = 2R Exemplo 28:Calcule:a)( ) 120 sen b)( ) 225 cos c)( ) 300 tan Soluo:a)120umngulonosegundoquadrante,parareduzi-loaoprimeiro,fazemos180120=60e ( )2160 = sen , como no segundo quadrante, a funo seno tambm positiva,( )21120 = sen . b)225umngulonoterceiroquadrante,parareduzi-loaoprimeiro,fazemos225180=45e ( )2245 cos = , como no terceiro quadrante, a funo cosseno tambm negativa,( )22225 cos = . c)300umngulonoquartoquadrante,parareduzi-loaoprimeiro,fazemos360300=60e ( ) 3 60 tan = , como no quarto quadrante, a funo tangente tambm negativa,( ) 3 300 tan = . 4. Relaes Trigonomtricas Trs verses equivalentes da equao12 2= + y x : 1.1 cos2 2= + sen2.1 sec2 2+ = tg3.1 2 2+ = g cot ec cos Efeito da substituio de u por u; 4.( ) ( ) sen sen = 5.( ) ( ) cos cos = 6.( ) ( ) tg tg = sen cos 180 270 90 360 0 tan III IIIIV IIIIIIIV sen (x)++-- cos (x)+--+ tg (x)+-+- cotg (x)+-+- sec (x)+--+ cosec (x)++-- Clculo Diferencial e Integral Unidade1 -Funes de uma Varivel 41 Frmulas de adio e subtrao 7.( ) ( ) ( ) ( ) ( ) o o o sen sen sen cos cos = 8.( ) ( ) ( ) ( ) ( ) o o o sen sen cos cos cos = 9.( )( ) ( )( )( ) oootg tgtg tg tg 1= Frmulas do ngulo duplo 10.( ) ( ) ( ) sen sen cos 2 2 = u11.( ) ( ) ( ) sen 2 2cos 2 cos = u12.( )( )( ) tg tg2 tg212= Frmulas do ngulo metade 13.( )( )22 cos 1cos2u += 14.( )( )22 cos 12u = sen Exemplo 29: Calcule o seno de 105. Soluo: sen (105) = sen (60 + 45) = sen (60) cos (45) + sen (45) cos (60) = 32.22 + 22.12 = 6 24+. E58. Os arcos a e b do primeiro quadrante so tais que sen(a) = 35 e sen(b) = 1213. Calcular cos (a + b). E59. Se sen a = 45 e cos b = 35, sendo a do segundo quadrante e b do primeiro quadrante, calcular sen (a b). E60. Se( )31= a sen , calcular) 2 ( a sene) 2 cos( a , sabendo queapertence ao primeiro quadrante. E61. Calcule: a) sen (15) cos (15)b)3 sen (15)+ cos (15) c) ( )( )ootgtg15 115 1+ Respostas E58. 16/65 E59. 24/25E60. 92 4) 2 ( = a sen , 97) 2 cos( = a E61. a) b)2 c)3 AS FUNES TRIGONOMTRICAS Os fenmenos que se repetem periodicamente, como temperatura, parte do dia com luz, ordenao das folhas de uma planta, etc., podem ser modelados por funes trigonomtricas.Osgrficosdasfunestrigonomtricasbsicasdescrevemessescomportamentosepodemser gerados a partir de um crculo de raio unitrio. Funes Seno e Cosseno Note que sen(x + 2t) = sen(x) e cos(x + 2t) = cos(x). Diz-se neste caso que as funes seno e cosseno so peridicas, com perodo de 360o ou 2t rad. Clculo Diferencial e Integral Unidade1 -Funes de uma Varivel 42 Grficos das Funes Seno e Cosseno Seno ( ) x sen y = Cosseno( ) x cos y =DomnioIRIR Imagem[1,1][1,1] Perodot 2 t 2Simetriamparpar Grfico Modelo Senoidal Conhecendooselementosprincipaisdeumfenmeno cclicopodemosconstruirummodelomatemtico correspondente,desdequeogrficoseja,aproximadamente, senoidal. O modelo senoidal mais geral dado por: ( ) M X xPsen A y +|.|\| =02t,ondeA(amplitude)ametadeda distnciaentreosvaloresmximosemnimos,ouseja, 2y yAmn mx =; P (perodo) o tempo necessrio para a oscilao evoluir um ciclo completo; X0 corresponde aoinciodaondapadro;M(nvelmdio)obtidopelamdiaaritmticadosvaloresmximoemnimoda funo, ou seja, 2y yMmn mx +=. Omesmopodeserfeitocomafunoy=cos(x)obtendo-se( ) M X xPA y +|.|\| =02cost. Mas observe que as funes seno e cosseno apenas diferem pelo ngulo de fase (o valor de x onde se tem incio a onda senide padro, ou seja, cos x = sen (x + t/2)). Exemplo 30: Encontre uma possvel equao para o grfico ao lado. Soluo: V-se que a curva est prxima de um seno.Sua amplitude 32622 82y yAmn mx= ===. O nvel mdio 521022 82y yMmn mx= =+=+=.O perodo P = 2t. O incio da onda padro d-se quandoX0 = 0.Assim temos ( ) ( ) 5 3 5 022. 32.0+ = + |.|\| = + |.|\| = senx x sen M X xPsen A ytt t. 2.5t 2t 1.5t 1t 0.5t 0 0.5t 1t 1.5t 2t02468yxClculo Diferencial e Integral Unidade1 -Funes de uma Varivel 43 Exemplo 31: Utilizando cosseno, encontre a expresso analtica do grfico representado abaixo: Soluo: Pensando em seno, tomamos x0 = t16. Ento f (x) = 3 sen (8x +t/2)+1. Exemplo 32: Esboce o grfico de: a)( )24xsen y = b)( )32t + = x cos y . Soluo: a)( )24xsen y = ( )32t + = x cos yDomnioIRIR A41 K 2 1/ 1 0x 03 / tC 02 Perodo( ) t t 4 2 1 2 = / / t 2Imagem[4,4][3,3] Grfico Caractersticas da tangente e cotangente Tangente Cotangente Domnio }2) 1 2 ( | {t+ = e k x IR x} | { t k x IR x = eImagemIRIR Perodot tSimetriamparmpar Grfico A = 3 P = t/4 x0 = 0 M = 1Logo f (x) = 3. cos 240tt( ) x |\|.||+ 1f (x) = 3 cos (8x) + 11t 0.5t 0 0.5t 1t-4-2024yxClculo Diferencial e Integral Unidade1 -Funes de uma Varivel 44 Caractersticas da secante e cossecante SecanteCossecante Domnio }2) 1 2 ( | {t+ = e k x IR x} | { t k x IR x = eImagem} 1 , 1 | { > s e y y IR y } 1 , 1 | { > s e y y IR yPerodo2t2t SimetriaParmpar Grfico E62. Um observador v um prdio, construdo em um terreno plano, sob um ngulo de 60. Afastando-se mais 30 metros, passa a ver o prdio sob um ngulo de 45. Qual a altura do prdio? E63. Dois prdios esto a 50 metros de distncia um do outro. Do telhado do prdio mais baixo que est a 40 metrosdocho, o ngulo deelevao aotelhadodo prdio maisalto de45. Qual aaltura do prdio mais alto? E64.UmaviolevantavoemumpontoB,esobefazendoumnguloconstantede15comahorizontal.A quealturaestarequaladistnciapercorridaquandopassarexatamentesobreumaigrejasituadaa2kmdo ponto de partida. E65. Um foguete lanado a 200 m/s, segundo um ngulo de inclinao de 60o Determinar a altura do foguete aps 4s, supondo uma trajetria retilnea e velocidade constante. E66. Encontre o domnio das funes: a)) 1 2 cos(2 = x y b))] 1 [log(2 = x sen y E67.Encontreaexpressoanalticadafunocorrespondenteacadagrfico,utilizandoomodelo ( ) M X xPsen A y + |.|\| =02tou ( ) M X xPA y + |.|\| =02cost.Aseguir,determineodomnio,imagem, perodo e amplitude. a) b) 1.5t 1t 0.5t 00.5t 1t 1.5t-4-202yx3-32.5t 2t 1.5t 1t 0.5t 0.5t 1t 1.5t 2t 2.5tx-3-2-10yClculo Diferencial e Integral Unidade1 -Funes de uma Varivel 45 c) d) E68.Encontreogrficodafunocorrespondenteacadaexpressoanalticaabaixo.Aseguir,determineo domnio, imagem, perodo e amplitude. a)2 ) ( 2 ) ( + = x sen x fb)1 ) 4 cos( 3 ) ( = x x g c))22 ( ) (t+ = x sen x hd)) cos( 3 ) ( x x m + = Respostas E62. 1 33 30E63. 90m E64. 536 m e 2077m E65. 3 400E66.a) IR b){ } 1 , 1 | > < e x x IR x E67. a)( ) x sen 2 3 b)2 ) ( x sen c)352+ |.|\|x sen d)|.|\|x201cos 10 E68. a) b) c) d) 5t 2.5t02.5t 5t-101234yx60t40t 20t 20t 40t 60t-10-50510 yx5 5 1012345 5 104321125 5 101.00.50.51.05 5 102.53.03.54.0Clculo Diferencial e Integral Unidade1 -Funes de uma Varivel 46 1.11 lgebra de Funes 1.11.1 Adio, Subtrao, Produto e Diviso de Funes Combinaes algbricas de funes podem ser obtidas de diversas maneiras. Dadasduasfunesf eg ,asoperaessoma,diferena,produtoequocientepodemser definidas como: OperaoDefinioDomnio Soma ) ( ) ( ) )( ( x g x f x g f + = +O conjunto de todos os valores de x quepertencemaosdomniosdefeg . (interseco dos domnios) Diferena ) ( ) ( ) )( ( x g x f x g f = ) ( ) ( ) )( ( x f x g x f g = O conjunto de todos os valores de x quepertencemaosdomniosdefeg . (interseco dos domnios) Produto ) ( ) ( ) )( ( x g x f x g f = O conjunto de todos os valores de x quepertencemaosdomniosdefeg . (interseco dos domnios) Quociente ) () () )( (x gx fxgf=O conjunto de todos os valores de x quepertencemaosdomniosdefeg , com0 ) ( = x g. Quociente ) () () )( (x fx gxfg=O conjunto de todos os valores de x quepertencemaosdomniosdefef , com0 ) ( = x f . Exemplo 33: Dadas as funes( )912+=xxx fe( ) x x g + =3 , encontre: a)) )( ( x g f +b)) )( ( x g f c)) )( ( x g f d)) )( ( xgf Encontre o domnio de cada uma das funes obtidas. Soluo: a)( )( )( )( )926 8 399 3 139122 3222 += + + += + ++= +xx x xxx x xxxxx g f{ } 3 | = e = x R x Db)( )( ) ( )( )( )928 10 399 3 139122 3222+ + = + += + += xx x xxx x xxxxx g f{ } 3 | = e = x R x Dc)( )( ) ( )( )( )93 493 1391222 2 + += + += + |.|\|+= xx xxx xxxxx g f{ } 3 | = e = x R x Dd)( )( ) ( )( ) x xxx xxxxxxgf+ += |.|\|+ |.|\|+=+|.|\|+=||.|\|3 9131913912 22{ } 3 | = e = x R x D Clculo Diferencial e Integral Unidade1 -Funes de uma Varivel 47 1.11.2 Composio de Funes Afunocompostag f deduasfunes) (x f e) (x g definidapor:( )( ) ( ) ( ) x g f x g f = .O domnio da funo composta( )( ) x g f corresponde ao conjunto de todos os valores de x no domnio de) (x gquepertencemaodomniode) (x f .Aimagemde( )( ) x g f oconjuntodetodososnmerosdaforma ( ) ( ) x g fconstruda medida que x percorre o domnio deg f . Exemplo 34: Dadas as funes1 3 ) ( = x x f ,21 ) ( x x g =e 3) ( x x h = . Encontre: a)( )( ) x g f b)( )( ) x f g c)( )( ) 2 g f d)( )( ) 2 f g e)( )( ) x f f f)( ) ( )( ) x h g f + g)( )( ) x h f g f + Soluo: a)( )( ) ( ) ( ) ( )23 2 1 3 x x g f x g f = = =2x 1 b)( )( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) 2 3 3 6 9 1 6 9 1 12 2 2+ = + = + = = = x x x x x x x f g x f g 1 3x c)( )( ) ( ) ( ) ( ) 10 2 3 2 2 22 = = = g f g f d)( )( ) ( ) ( ) ( ) 24 2 6 2 9 2 22 = + = = f g f g e)( )( ) ( ) ( ) ( ) 4 9 1 3 = = = x x f f x f f 1 3x f)( ) ( )( ) ( )( ) ( ) ( )3 23 3 2 1 3 x x x h g f x h g f + = + = + = +3 2x x 1 g)( )( ) ( )( ) ( ) 1 3 3 1 3 3 2 ) (2 3 3 2+ = + = + = + x x x x x h f x g f x h f g f Exemplo 35: Sejam as funes fe g definidas por f(x) = x + 2 e g(x) = 3x 2. Expresse cada as funes abaixo atravs das composies de funes escolhidas entre f e/ou g. a) h(x) = 3x + 4 b) i(x) = 3xc) j(x) = x + 4 Soluo: a)( )( ) ( ) ( ) 4 3 2 6 3 2 ) ( 3 + = + = + = = x x x f g x f g 2 x b)( )( ) ( ) ( ) x x g f x g f 3 2 = + = = 2 3x c)( )( ) ( ) ( ) 4 2 + = + + = = x x f f x f f 2 x Observaes: 1.A composio de duas funes no comutativa:( )( ) ( )( ) x f g x g f = . 2.A propriedade distributiva no se aplica composio de funes:( ) h f g f h g f + = + . 1.11.3 Funo Inversa Tipos fundamentais de funes Funo Injetora Uma funo f definidadeAem Binjetorasecadaelemento de B imagemde um nico elementodeA. Funo Sobrejetora Umafuno f definida de A em B sobrejetora setodoselementos de B so imagem. Clculo Diferencial e Integral Unidade1 -Funes de uma Varivel 48 Funo Bijetora Uma funo f definida deA em B bijetora quando aomesmotempofor injetora e sobrejetora. Funo Inversa Sejafumafunobijetora definida de A em B, com xeA eyeB,sendo(x,y)ef. Chamaremosdefuno inversadef,eindicaremos porf-1,oconjuntodospares ordenados(y,x)ef-1com yeB e xeA. Observao 1: S pode existir uma inversa de f. Observao 2: Como para cada valor de y no domnio de uma funo injetora f existe exatamente um x, tal que ) (x f y = , uma reta horizontalc y =pode cruzar o grfico de uma funo injetora no mximo uma vez. Logo se uma reta horizontal cruzar um grfico mais de uma vez, o grfico no representa uma funo injetora. Definio de funo inversa Comocadapontodeumafunobijetoravemapenasdeumpontodeseudomnio,umafuno bijetorapodeserinvertidademodoquemandedevoltacadavalorassumidoaopontodoqualeleveio.A funo definida pela inversa de uma funo bijetora) (x f a inversa de) (x f . O smbolo para a funo inversa de) (x f) (1x f . Duas funes) (x fe) (x gso inversas uma da outra se e somente se( ) ( ) x x g f =e( ) ( ) x x f g = . Exemplo 36: Mostre que as funesx x f 3 ) ( =e 3) (xx g =so inversas. Soluo: Comox x g f = |.|\| =3x3 )) ( (ex x f g = =3)) ( (3x, ento as funes so inversas. Processo algbrico para o clculo da funo inversa Exemplo 37: Determine a funo inversa da funo|.|\|=+=23 com3 25xxxySoluo: Passo 1: trocar x por y: 3 25+=yyx Passo 2: isolar y: ( )( ) inversa funo a 21com 1 25 35 3 1 25 3 2 5 3 2 5 3 23 25|.|\|=+=+ = + = + = + = +=xxxy x x yx y xy y x xy y y xyyx E69. Sejam definidas as funes3 ) ( = x x fe4 ) (2+ = x x g . Determine: a)) 4 )( ( g f b)) 2 )( ( g f c)) 4 )( ( f g d)) 2 )( ( f g E70.Sejamasfunesf,gehdefinidasporx x f 4 ) ( = ,3 ) ( = x x g ex x h = ) ( .Expressecadaumadas funes abaixo atravs das composies de funes escolhidas entre f, g e h. a)x x F 4 ) ( = b)3 ) ( = x x G c)12 4 ) ( = x x H d)6 ) ( = x x Je)x x K 4 ) ( = Clculo Diferencial e Integral Unidade1 -Funes de uma Varivel 49 E71. Sendo( ) 10 2 = x x fe( ) 1002 = x x g , calcule x para que tenha g(f(x)) = 0. E72. Deterrmine, se existir, a funo inversa das funes seguintes, de IRem IR, definidas por: a) 232 + = x y b) 32 +=xy c)1 ) (2+ = x x f ,0 > xd)( ) 221== xxy e)( ) 021== xxxy f) 3x y =g)1 4 = x y h)92 = x y i)( )23 4 + + = x y Respostas E69. a) 17b) 5c) 5d) 5 E70. a)) )( ( x h f b)) )( ( x g h c)) )( ( x g f d)) )( ( x g g e)) )( ( x f h E71. 0, 10 E72. a) 43 2 =xyb) 2 3 = x yc)1 , 1 > = x x y d)0 ,2 1=+= xxxy e)21,1 21== xxy f) 3x y = g)41) (1+=xx fh) 9 , 9 ) (1 > + =x x x f i)4 , 4 3 > = x x y