volume 1 conjuntos e funções

GELSON IEZZICARLOS MURAKAMI

FUNDAMENTOS DE - 1MATEMATICAELEMENTARCONJUNTOS FUNES

75 Exerccios resolvidos326 Exerccios propostos - com resposta272 Testes de Vestibulares - com resposta

3!\ edio

ATUALEDITORA

Capa

Roberto Franklin RondinoSylvio Ulhoa Cintra FilhoRua Inhambu, 1235 - S. Paulo

Composio e desenhosAM Produes Grficas Ltda.Rua Castro Alves, 135 - S. Paulo

ArtesAtual Editora Ltda.

FotolitosH.O.P. Fotolitos Ltda.Rua Delmira Ferreira, 325 - S. Paulo

Impresso e acabamentoGrfica Ed itora Hamburg Ltda.Rua Apeninos, 294278-1620 - 278-2648 - 279-9776So Paulo - SP - Brasil

CIP-&rasil. CatalogAo-na-Fontecmara Brasileira do Livro, SP

FundBlllentDB dI! matemtlcllI elementar (por] Gel-F977 aon Iezzl (e outros) 5BO Paulo, 'Atul!l1v.l-2, Ed., 1977-

4-6CO-Butores: Carlos HurakBllll, Osvaldo Dolce

e Semuel H!!Izzsn; 8 Butarh dos volumes indi-viduais vada entre 08 4 autores.

Contedo; v.l. Con1untos, funeea.-v.2.Logsrltmos.-v.4. SeQencias, mB~rize8 determlMantes, a1etl!lllB8.-v.5. CClllbln!tor1ll!l, prob!bl-lidsde.-v.6. Complexos, polinomioB, equsoes.

1. Metemtlca (zg grau) 1. Dolce, Osvaldo,1938- lI. II!zzl, Gdson, 1939- IlI. Hl!!lzzan,Sl!IIIlt1el, 1946- 1\1. Hurskeml, C8rl08, 1943-

77-1333 1::00-510

tndice para catlogo sistemtico:1. Ket_tlce 510

Todos os direitos reservados aATUAL EDITORA l TOARua Jos Antnio Coelho, 785Telefones: 71-7795 e 549-1720CEP 04011 - So Paulo - SP - Brasil

'(

APRESENTACO

"Fundamentos de Matemtica Elementar" uma coleo em dez volumeselaborada com a pretenso de dar ao estudante uma viso global da Matemtica,ao nvel da escola de 'P. grau. Desenvolvendo os programas em geral adotados parao curso colegial, os "Fundamentos" visam aos alunos em preparativos para examesvestibulares, aos universitrios que necessitam rever a Matemtica Elementar etambm, como bvio, queles alunos de colegial mais interessados na "rainhadas cincias" .

No desenvolvimento dos inmeros captulos dos livros de "Fundamentos"procuramos seguir uma ordem lgica na apresentao de conceitos e propriedades.Salvo algumas excees bem conhecidas da Matemtica Elementar, as proposiese teoremas esto sempre acompanhados das respectivas demonstraes.

Na estruturao das sries de exerccios, buscamos sempre uma ordenaocrescente de dificuldade. Partimos de problemas simples e tentamos chegar a questesque envolvem outros assuntos j vistos, obrigando o estudante a uma reviso. Aseqncia do texto sugere uma dosagem para teoria e exerccios. Os exercciosresolvidos, apresentados em meio aos propostos, pretendem sempre dar explicaosobre alguma novidade que aparece. No final do volume o aluno pode encontrar aresposta para cada problema proposto e, assim, ter seu reforo positivo ou partir procura do erro cometido.

A ltima parte de cada volume constitUl'da por testes de vestibulares at1.977 selecionados e resolvidos o que pode ser usado para uma reviso da matriaestudada.

Queremos consignar aqu i nossos agradecimentos sinceros ao Prof. Dr. FernandoFurquim de Almeida cujo apoio foi imprescindvel para que pudssemos homenagearnesta coleo alguns dos grandes matemticos, relatando fatos notveis de suasvidas e sua obras.

Finalmente, como h sempre uma enorme distncia entre o anseio dos autorese o valor de sua obra, gostaramos de receber dos colegas professores um{ apre-ciao sobre este trabalho, notadamente os comentrios crticos, os quai's--agra-decemos.

Os autores

,INDICE

CAPiTULO I - NOCOES DE lGICAX Prop~()' . . . . . . . . . . . . . .. l-A1l.''Nega.ao ... . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. 2-A

'1.1.1'. Proposio composta - conectivos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. 3-AIV. -Condicionais . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. 5-AV; Tautologias. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. B-A

VI. Proposies logicamente falsas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. 9-AVII. Relao de implicao 10-A

VIII. Relao de equivalncia ll-AIX. ~tenas abertas. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. l2-AX. Ci! negar proposies . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. l4-A

CAPiTU la 11 - CONJUNTOSI.~njunto, elemento, pertinncia .

11. ~escrio de um conjunto .1I1.(,?)'ljunto unitrio, conjunto vazio .IV. -obnjunto universo .V. ~~juntos iguais .

VI. Subconjuntos .VII.' ~eunio de conjuntos .

VIII. 1.llterseco de conjuntos .IX'.tr0priedades .X;uiferena de conjuntos .

X( ~mplementarde B em A .

CAPI"rUlO 111 - CONJUNTOS NUMJ:RICOSI. CoMunto dos nmeros naturais )) .

11. cqJVunto dos nmeros inteiros . Z. .111. C&r'junto dos nmeros raciona is .. ;..\ .IV. (\onjunto dos nmeros reais ti".:. .V. Ii4trvalos .

VI. Coni\Jnto dos nmeros complexos.

CAPlIU LO IV - RELAOES

I. Par ord enado 59-A11. Sistema cartesiano ortogonal 60-A

111. Produto cartesiano . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. 62-AIV. Relao binria. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. 65-AV. Dom(nio e imagem 68-A

VI. Relao inversa 70-AVII. Propriedades .. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. 71-A

CAPlIU LO V - FU NOESI. Conceito de funo 73-A

11. Definio. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. 74-A111. Notao das funes 77-AIV. Dom(nio e imagem 80-AV. Funes iguais 84-A

APNDICE SOBRE INEQUAES 86-A

CAPlIULO VI - FUNOES DO 19 GRAUI. Funo constante. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. 93-A

11. Funo identidade 94-A111. Funo linear 94-AIV. Funo afim . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. 96-AV. Grfico 96-A

VI. Imagem 100-AVII. Coeficientes da funo afim 101-A

VIII. Zero da funo afim 102-AIX. Funes crescentes e decrescentes 103-AX. Teorema 105-A

XI. Sinal de uma funo 106-AXII. Sinal da funo afim 108-A

XIII. Inequaes simultneas 112-AXIV. Inequaes-produto 113-AXV. Inequaes-quociente 120-A

CAPliULO VII - FUNAO QUADRATICA

I. Defin io 123-A11. Parbola 123-A

111. Concavidade 125-AIV. Forma cannica 125-AV. Zeros 126-A

VI. Mximos e m(nimos 130-AV11. Vrtice da parbola 131-A

VIII. Imagem 133-AIX. Eixo de simetria 136-AX. Grfico " 136-A

XI. Sinal 140-AXII. Inequaes do 2? grau 144-A

X111. Teorema . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 148-AXIV. Comparao de um nmero real com as

ra(zes da equao do 2? grau. . 150-AXV. Sinais das ra(zes da equao do 2

Johann F. C. Gauss(1777 - 1855)

a) 9 *- 5b) 7> 3c) 2 E ;Zd) 3111e) ;Z C O

De plebeu a prncipe

Johann Friederich Carl Gauss nasceu em Brunswick, Alemanha. De fam(liahumilde mas com o incentivo de sua me obteve brilhantismo em sua carreira.

Estudando em sua cidade natal, certo dia quando o professor mandou queos alunos somassem os nmeros de 1 a 100, imediatamente Gauss achou a resposta- 5050 - aparentemente sem clculos. Supe-se que j aI' houvesse descoberto afrmula de uma soma de uma progresso aritmtica.

Gauss foi para Gottingen sempre contando com o aux(lio financeiro do duquede Brunswick, decidindo-se pela Matemtica em 30 de maro de 1796, quando setornou o primeiro a construir um polgono regular de dezessete lados somente como aux(lio de rgua e compasso.

Gauss doutorou-se em 1798, na Universidade de Helmsidt e sua tese foi ademonstrao do "Teorema fundamental da lgebra", provando que toda equaopolinomial f(x)=O tem pelo menos uma ra(z real ou imaginria e para isso baseou-se em consideraes geomtricas.

Deve-se a Gauss a representao grfica dos nmeros complexos pensandonas partes real e imaginria como coordenadas de um plano.

Seu livro "Disquisitiones Arithmeticae" (Pesquisas Aritmticas) o principalresponsvel pelo desenvolvimento e notaes da Teoria dos Nmeros, nele apresen-tando a notao b=c (mod al, para relao de congruncia, que uma relaode equivalncia.

Ainda nesta obra Gauss apresenta a lei da reciprocidade quadrtica classifi-cada por ele como a "jia da aritmtica" e demonstrando o teorema segundo oqual todo inteiro positivo pode ser representado de uma s maneira como produtode primos.

Descreveu uma vez a Matemtica como sendo a rainha das Cincias e a Arit-mtica como a rainha da Matemtica.

No comeo do sc. XI X abandonou a Aritmtica para dedicar-se Astrono-mia, criando um mtodo para acompanhar a rbita dos satlites, usado at hoje,e isto lhe proporcionou em 1807, o cargo de diretor do observatrio de Gottingen,onde passou 40 anos.

Suas pesquisas matemticas continuaram em teoria das funes e Geometriaaplicada teoria de Newton.

Em Geodsia inventou o helitropo, aparelho que transmite sinais por meiode luz refletida e em Eletromagnetismo inventou o magnetmetro bifiliar e otelgrafo eltrico.

Sua nica ambio era o progresso da Matemtica pelo que lutou at omomento em que se conscientizou do fim por sofrer de dilatao cardaca.

Gauss morreu aos 78 anos e considerado o "prncipe da Matemtica".

CAPiTULOl

NOES DE LGICA

I. PROPOSiO

1. Definio

Chama-se proposio ou sentena toda orao declarativa que pode serclassificada de verdadeira ou de falsa.

Observemos que toda proposio apresenta trs caractersticas obrigatrias:

1~) sendo orao, tem sujeito e predicado;2~) declarativa (no exclamativa nem interrogativa)3~) tem um, e somente um, dos dois valores lgicos: ou verdadeira

(V) ou falsa (F).

2. Exemplos

So proposies:

(Nove diferente de cinco)(Sete maior que trs)(Dois um nmero inteiro)(Trs divisor de 11)(O conjunto dos nmeros inteiros est contido no conjunto dosracionais)

Dessas proposies, todas so verdadeiras exceto d.

No so consideradas proposies as frases:

f) 3 5 + 1 (onde falta predicado)g) V2 E O? (que orao interrogativa)h) 3x - 1 = 11 (que no pode ser classificada em verdadeira ou falsa)

l-A

11. NEGAO

3. A partir de uma proposlao p qualquer sempre podemos construiroutra, denominada negao de p e indicada com o smbolo ~p.

Exemplos

a) p: 9 "* 5 b) p: 7 > 3~p: 9 = 5 ~p: 7 ~ 3

c) p: 2EZ d) p: 3 1 11~p: 2gZ ~p: 3111

e) p: ;z.C(}

-p: Zrj.O

4. Para que ~p seja realmente uma proposio devemos ser capazes declassific-Ia em verdadeira (V) ou falsa (F). Para isso vamos postular (decretar)o segu inte cri tr io de classificao:

A.2 Qual a negao de cada uma das seguintes proposies? Que negaes so verdadeiras?

ai 3 7 = 21 b) 3 111 - 71 "* 5cl 3'2+1>4 di 5'7-2~5'6

el (2..)7

A conjunio P q verdadeira sap e q so ambasverdadeiras; se ao menos uma delas for falsa, ento p q falsa.

8. Vamos postular um critrio para decidir o valor lgico (Vou F) de umadisjuno a partir dos valores lgicos (conhecidos) das proposies p e q:

1~) p: 5> Oq: 5 > 1p Y q: 5 > O ou 5> 1

~) p: 3 = 3q: 3 < 3p V q: 3';;; 3

Colocando o conectivo Y entre duas proposies p e q, obtemos umanova proposio, p y q, denominada disjuno das sentenas p e q.

Exemplos

Reexaminando os exemplos anteriores, temos:

1~) p V e q V, ento pq V2~) p V e q F, ento Pq F3~) p F e q V, ento pq F4~) p F e q F, ento pq F

7. Conectivo Y

A disjuno P Y q verdadeira se ao menos urna das proposies p ou q e verdadeira; se p e q so ambas falosas, ento p y q falsa.

p q Pyq

V V VV F VF V VF F F

Revendo os exemplos anteriores, temos:

1~) p V e q V, ento Pyq V2~) p V e q F, ento pyq V3~) p F e q V, ento pyq V4~) p F e q F, ento p yq F

EXERCICIO

A.3 Classificar em verdadeira ou falsa cada uma das seguintes proposies compostas:

a) 3> 1 e 4> 2b) 3> 1 ou 3 = 1c) 2 I 4 ou 2 I (4 + 1)d) 3(5 + 2) = 3 5 + 3 2 e 3 I7e).!. < ~ ou 5111

2 4t) (_1)6 = -1 e 2s < (_2)7g) ...,riS = 6 ou mdc (4, 7) = 2

Este critrio est resumido natabela ao lado, denominada tabela-verdade da proposio p Y q.

p q Pq

V V VV F FF V FF F F

Este critrio est resumido natabela ao lado, onde so e~aminadastodas as possibilidades para p e q.Esta tabela denominada tabela-ver-dade da proposio p q.

:1, p: 10 nmero primoq: 10 nmero compostop y q: 10 nmero primo ou nmero composto

IV. CONDICIONAIS

4~) p: ~ < 26q: 22 < (_3)sp V q: 34 < 26 ou 22 < (_3)s

Ainda a partir de proposies dadas podemos construir novas proposloesatravs do emprego de outros dois smbolos lgicos chamados condicionais:o condicional se ... ento ... (smbolo: -+) e o condicional ... se e somente se ...(smbolo: +-+)

4-A5-A

9. Condicional _ 11. Condicional *---+

Colocando o condicional -+ entre duas proposies puma nova proposlao, p -+ q, que se l: "se p ento q",necessria para q", "q condio suficiente para p".

Exemplos

e q, obtemos"p condio

Colocando o condicional *---+ entre duas proposies p e q, obtemosuma nova proposio, p

Revendo os exemplos dados, temos:

1?) p V e q V, ento p q V2?) p V e q F, ento p q F3~) p F e q V, ento p q F4?) p F e q F, ento p q V

EXERCICIOS

A.4 Classificar em verdadeira ou falsa cada Uma das proposies abaixo

a) 2 - 1 ~ 1 -->- 5 + 7 = 3 4b) 22 = 4 (_2)2 = 4c) 5 + 7 1 = 10 -->- 33 = 9d) mdc (3, 6) = 1 4 nmero primoe) 2 18 -->- mmc (2. 8) ~ 2f) 6';;; 2 6 - 2 ;;;. O

g) 1. < ~ -->- 3' 7 = 2 55 7

A.5 Admitifldo que p e q so verdadeiras e r falsa, determine o valor (Vou F)de cada proposio abaixo.

a) p -->- rb) p qc) r -->- pd) (p V rl qel p -->- (q -->- rif)p-->-(qVrlg) -p -qh) ~p r

V. TAUTOLOGIAS

13. Seja v uma proposio formada a partir de outras (p, q, r, ... ), medianteemprego de conectivos (Vou 1\) ou de modificador (_) ou de condicionais(-->- ou +-. Dizemos que v uma tautologia ou proposio logicamenteverdadeira .quando v tem o valor lgico V (verdadeira) independentemente dosvalores lgicos de p, q, etc.-Assim a tabela-verdade de uma tautologia v apresenta s V na colunade v.

8-A

Exemplos

1'?) (p 1\ ~p) -->- (q V p) ';Ima tautologia pois

p q ~p p 1\ ~p qV p (p 1\ -p) -+- (q V f)}

V V F F V V:V F F F V V'F V V F V VF F V F F V.

2?) ~ (p 1\ q) (-p V -q) uma tautologia pois

p q pl\q ~(pl\q). ~p -q ~pV~q ~(p I\q)+-+ (_pV _q).....

V V V F F F F VV F F V F V V VF V F V V F V VF F F V V V V V

VI. PROPOSiES LOGICAMENTE FALSAS

14. Seja f uma proposio formada a partir de outras (p, q, r, ...L medianteemprego de conectivos (Vou 1\) ou de modificador (-) ou de condicionais(-->- ou

c) da conjuno relativamente disjuno d) da negao

p /\ (q V rl = (p/\q) V (p/\ rl ~(~p) = pp V (q /\ r) = (p V ql /\ (p V rl ~(p /\ q) = ~pV ~qp/\(pVq) = p ~(p Vq) = ~p/\ ~qp V (p /\ q) = p

onde p, q, r so proposies quaisquer, v uma tautologia e f uma proposiologicamente falsa.

Exemplos

1l?) (V xlix + 1 = 7) que se l:"qualquer que seja o nmero x, temos x + 1

2l?) (Vx)(x 3 = 2x z ) que se l:"para todo nmero x, x 3 = 2xz". (Falsa)

7". (Falsa)

IX. SENTENAS ABERTAS, QUANTI FICADORES

30 ) (Va) ((a + 1)z = a2 + 2a + 1) que se l:"qualquer que seja o nmero a, temos (a + 1)z = aZ + 2a + 1". (Verdadeira)

40 ) (Vy)(yZ + 1 > O) que se l:"para todo nmero y, temos yZ + 1 positivo". (Verdadeira)

25. Algumas vezes utilizamos tambm outro quantificador: ::J I que se l:"existe um nico, "existe um e um s", "existe s um".

o quantificador existencial indicado pelo slmbolo 3 que se l: "existe","existe pelo menos um", "existe um".

24. O quantificador existencial

2l?) (3 x)(x 3 = 2xz) que se l:"existe um nmero x tal que x 3 = 2xz". (Verdadeira)

3l?) (3a)(az + 1 ~ O) que se l:"existe um nmero a tal que aZ + 1 no positivo". (Falsa).

4l?) (31m) (m(m + 1) *' mZ + m) que se l:"existe pelo menos um nmero m tal que mIm + 1) i mZ + m". (Falsa)

(Verdadeira)

Exemplos

1l?) (3 xlIx + 1 = 7) que se l:"existe um nmero x tal que x + 1 = 7".

Exemplos

22. Sentenas que contm variveis so chamadas funes proposicionais ousentenas abertas. Tais sentenas no so proposies pois seu valor lgico(Vou F) discutvel, dependem do valor dado s variveis.

H, entretanto, duas maneiras de transformar sentel)as abertas em pro

posies:

la) atribuir valor s variveis

2a) utilizar quantificadores.

21. H expresses como:

a) x + 1 = 7b) x> 2c) x3 = 2xz

que contm variveis e cujo valor lgico (verdadeira ou falsa) vai depender dovalor atribuldo varivel.

Nos exemplos citados temos:

a) x + 1 = 7 verdadeira se trocarmos x por 6 e falsa para qualquer outrovalor dado a x;

b) x > 2 verdadeira, por exemplo, parac) x3 = 2xz verdadeira se trocarmos x por O (0 3 = 2 OZ) ou 2 (23 = 2 2z )

e falsa para qualquer outro valor dado a x.

o quantificador universal, usado para transformar sentenas abertas emproposies, indicado pelo smbolo V que se l: "qualquer que seja", "paratodo", "para cada"\

2l?) (3Ix)(x 3 = 2xz ) que se l:"existe um s nmero x tal que x 3 = 2x z"

que se l:x tal que x + 2 > 3".

23. o quantificador universal1l?) (3Ix)(x + 1 = 7)lIex iste um s nmero

3l?) L3Ix)(x + 2 > 3)"existe um s nmero

que se l:x tal que x + 7". (Verdadeira)

(Falsa)

(Falsa)

12-A13-A

EXERCCIO Exemplos

Transforme as seguintes sentenas abertas em proposies verdadeiras usando quan-tificadores:

A.7

ai x2 - 5x + 4 = O

c).::L + .::L '" .::L3 4 7

e) -(-x) = x

g) H= x

b) (a + 1)(a - 11 = a2 - 1

di y;;r + 9 '" m + 3

1)5a+4';;11

2h) a - a = a _ 1

a

1?) p: O tringulo ABC isscelesq: o tringulo ABC equilterop V q: o tringulo ABC issceles ou equiltero-(p V q): o tringulo ABC no issceles e no equiltero

2?) p: a = Oq: b = OP V q: a = O ou b = O-(p V q): a", O e b '" O

X. COMO NEGAR PROPOSiES

J vimos o que a negao de uma proposio simples, no item II destecaptulo.

Vamos destacar aqui resultados obtidos no exerccio A.6, os quais cons-tituem processos para negar proposies compostas e condicionais.

26. Negao de uma conjuno

Tendo em vista que ~ (p 1\ q)

3'?) sentena:negao:

4'?) sentena:negao:

(Vx)(~ = x + 1)(3X)(~ =1= x + 1)

Todo losango um quadradoExiste um losango que no quadrado

b) Uma( 3x)(p(x)),nega-se p(x),

sentena quantificada com o negada assim: substitui-seobtendo: (Vx)(-p(x)).

quantificador existencial, do tipoo quantificador pelo universal e

Exemplos

1'?) sentena: (3 x)(x = x)negao: (Vx)(x =1= x)

2'?) sentena: (3 a)(a + 1 ;;;. .1.)2 3

negao: . (va)(a + ..!... < .1.)2 3

3'?) sentena: (3a)(..!... E iR)a

negao: (va)(..!... fJ. IR)a

EXERCICIO

A.S Dizer qual a negao de cada proposio abaixo:

a) rode (2, 3) = 1 ou mme (2, 3) =1= 6

b) ~ = ~ ou 3 10 =1= 6 55 10

e) ~ ;;;. 1 e -3;;;' - 77

d) 22 = 4 .... v'4 = 2e) (_3)2 = 9 .... Y9 =1= -3t) 2';;;; 5 .... 32 ,;;;; 52

g) IVx)(x > 2 .... 3x > 32 )h) (3 x)(...tx" < Oi) Todo nmero inteiro primo Impar

j) Todo tringulo issceles equiltero

k) Existe um losango que no quadrado

I) Existe um nmero cuja raiz quadrada zero

m) Todo tringulo que tem trs ngulos congruentes, tem trs lados congruentes

A.9

16-A

Classificar em V ou F as ne9;:es constru (das no exerc(cio anterior.

Criado um novo paraso

Georg Ferdinand Ludwing Phillip Cantor nasceu em S. Petersburgo, passando amaior parte de sua vida na Alemanha. Seus pais eram cristos de ascendnciajudia, e Georg logo se interessou pelos conceitos de continuidade e infinito daTeologia medieval.

Estudou em Zrich, Gottingen e Berlim, concentrando-se em Filosofia,FIsica e Matemtica.

Possuindo grande imaginao, em 1867 obteve seu doutoramento em Berlim,com uma tese sobre Teoria dos Nmeros.

Muito atrado pela Anlise, sua preocupao estava voltada para a idia de"infinito", que at 1872 foi muito discutida tanto em Teologia como em Matem-tica mas sem se chegar a uma concluso precisa.

Em 1874, Cantor publicou no Journal de Crelle o mais revolucionrio artigoque at mesmo seus editores hesitaram em aceitar: havia' reconhecido a proprie-dade fundamental dos conjuntos infinitos e, ao contrrio de Dedekind, percebeuque nem todos eram iguais, passando a construir uma hierarquia destes conjuntosconforme suas potncias.

Mostrou que o conjunto dos quadrados perfeitos tem a m~ma potnciaque o dos inteiros positivos pois, podem ser postos em correspondncia biunvoca;provou que o conjunto de todas as fraes contvel ou enumervel e que a po-tncia do conjunto dos pontos de um segmento de reta unitrio igual potnciado conjunto dos pontos de um quadrado de lado unitrio.

Alguns destes resultados eram to paradoxais que o prpio Cantor, certa vezescrevendo a Dedekind, disse: "Eu vejo isso, mas no acredito", e pediu ao seuamigo que verificasse a demonstrao. Seus incrveis resultados levaram ao esta-belecimento da Teoria dos Conjuntos como uma disciplina matemtica comple-tamente desenvolvida. de profundos efeitos no ensino.

Georg F. L. P. Cantor(1845 - 1918)

Os matemticos da poca duvidavamda teoria da infinidade completa de Cantor,mas este, juntando as provas, construiutoda uma aritmtica transfinita.

Cantor passou a maior parte de suacarreira na Universidade de Halle, de poucaimportncia, nunca conseguindo realizaruma de suas grandes aspiraes que era ade ser professor na Universidade de Berlim,devido perseguio de Kronecker.

o reconhecimento de suas real izaesmereceram a exclamao de Hilbert: "Nin-gum nos expulsar do paraso que Cantorcriou para ns".

CAPITULO II

CONJUNTOS

Faremos aqui uma revlsao das principais noes da teoria dos conjuntos,naquilo que importa Matemtica Elementar. Em seguida usaremos estas noespara apresentar os principais conjuntos de nmeros.

I. CONJUNTO. ELEMENTO. PERTINENCIA

30. Na teoria dos conjuntos trs noes so aceitas sem definio, isto ,so consideradas noes primitivas:

ta) conjuntob) elementoc) pertinncia entre elemento e conjuntoA noo matemtica de conjunto praticamente a mesma que se usa na

linguagem comum: o mesmo que agrupamento, classe, coleo, sistema. Eisalguns exemplos:

1) conjunto das vogais2) conjunto dos algarismos romanos3) conjunto dos n.meros mpares positivos4) conjunto dos planetas do sistema solar5) conjunto dos nmeros primos positivos6) conjunto dos naipes das cartas de um baralho7) conjunto dos nomes dos meses de 31 dias

Cada membro ou objeto que entra na formao do conjunto chamadoelemento. Assim, nos exemplos anteriores, temos os elementos:

1) a, e, i, o, u2) I, V, X, L, C, D, M3) 1, 3, 5, 7, 9, 11, ...4) Mercrio, Venus, Terra, Marte,5) 2, 3, 5, 7, 11, 13, ...6) paus, ouro, copas, espada7) janeiro, maro, maio, julho, agosto, outubro, dezembro

19-A

No exemplo 3, cada nmero mpar elemento do conjunto dos nmerosmpares, isto , pertence ao conjunto. Em particular, 5 pertence ao conjuntodos nmeros mpares e 2 no pertence.

Um elemento de um conjunto pode ser uma letra, um nmero, um nome,etc. importante notar que um conjunto pode ser elemento de outro conjunto.Por "exemplo, o conjunto das selees que disputam um campeonato mundialde futebol um conjunto formado por equipes que, por sua vez, so conjuntosde jogadores.

31. Indicamos um conjunto, em geral, com uma letra maiscula A, B, C, ...e um elemento com uma letra minscula a, b, c, d, x, y, ....

Sejam A um conjunto e x um elemento. Se x pertence ao conjuntoA, escrevemos

xEA

Para indicar que x no elemento do conjunto A escrevemos

x ri. A

33. Quando um conjunto dado pela enumerao de seus elementos devemosindic-lo escrevendo seus elementos entre chaves.

Exemplos

1) conjunto das vogais {a, e, i, o, u}

2) conjunto dos algarismos romanos {I, V, X, L, C, O, M}

3) conjunto dos nomes de meses de 31 dias

{janeiro, maro, maio, julho, agosto, outubro, dezembro}

Esta notao tambm empregada quando o conjunto infinito: escrevemosalguns elementos que evidenciem a lei de formao e em seguida colocamosreticncias.

Exemplos

1) conjunto dos nmeros mpares positivos

{1, 3, 5, 7, 9,11, 13, ... }

2) conjunto dos nmeros primos positivos

{2, 3, 5, 7, 11, 13, ... }

32. habitual representar um conjun-to pelos pontos interiores a uma linhafechada e no entrelaada. Assim, narepresentao ao lado temos:

a E A, b E A e d 1= A.

No caso de usarmos um crculopara representar um conjunto, estaremosusando os assim chamado diagrama deEuler-Venn. C)a. A. . cb

.d

3) conjunto dos mltiplos inteiros de 3

{O, 3, -3, 6, -6, 9, -9, ... }

A mesma notao tambm empregada quando o conjunto finito comgrande nmero de elementos: escrevemos os elementos iniciais, colocamos re-ticncias e indicamos o ltimo elemento.

Exemplos

1) conjunto dos nmeros inteiros de O a 500

{O, 1, 2, 3, ... , SOO}

2) conjunto dos divisores positivos de 100

{1, 2, 5, 10, ... , 100}

11. DESCRiO DE UM CONJUNTO

Utilizamos dois recursos principais para descrever um conjunto e seuselementos: enumeramos (citamos, escrevemos) os elementos do conjunto oudamos uma propriedade caracterstica dos elementos do conjunto.

2o-A

34. Quando queremos descrever um conjunto A por meio de uma proprieda-de caracterstica P de seus elementos x, escrevemos

A = {x I x tem a propriedade P}e lemos: "A o conjunto dos elementos x tal que x tem a propriedade P".

21-A

37. Ouando vamos desenvolver um certo assunto de Matemtica, admitimosa existncia de um conjunto U ao qual pertencem todos os elementos utilizadosno tal assunto. Esse conjunto U recebe o nome de conjunto universo.

Assim, se procuramos as solues reais de uma equao, nosso conjuntouniverso IR (conjunto dos nmeros reais); se estamos resolvendo umproblema cuja soluo vai ser um nmero inteiro, nosso conjunto-universo Z (conjunto dos nmeros inteiros); se estamos resolvendo um problema deGeometria Plana, nosso conjunto-universo um certo plano a,

{o, 1,2,3, .. ,' 500}

3) {x I x inteiro e O.,;; x .,;; 500} pode tambm ser indicado por:

2) {x I x divisor inteiro de 3} uma maneira de indicar o conjunto:

{1. -1, 3, -3}

Exemplos IV. CONJUNTO - UNIVERSO1) {x I x estado da regio sul do Brasi I} uma maneira de indicar

o conjunto:

{Paran, Santa Catarina, Rio Grande do Sul}

111. CONJUNTO UNITRIO. CONJUNTO VAZIO

38. Quase sempre a resposta para algumas questes depende do universo Uem que estamos trabalhando. Consideremos a questo: "qual o conjunto dospontos P que ficam a igual distncia de dois pontos dados A e B, sendoA i' B?"

35. Definio

Chama-se conjunto unitrio aquele que possui um nico elemento.1) Se U a reta AB, o con-

junto procurado formado s por P;A

p

~IB

Exemplos

1) conjunto dos divisores de 1, inteiros e positivos: { 1}

2) conjunto das solues da equao 3x + 1 = 10: {3}

3) conjunto dos estados brasileiros que fazem fronteira com o Uruguai:

{Rio Grande do Sul}

2) Se U um plano contendoA e B, o conjunto procurado areta mediatriz do segmento AB;

p

B

,A

36. Definio

Chama-se conjunto vazio aquele que no possui elemento algum, O smbolousual para o conjunto vazio 0.

Obtemos um conjunto vazio quando descrevemos um conjunto atravs de'Ima propriedade P logicamente falsa.

Exemplos

1){xlxi'x}=02) {x I x mpar e mltiplo de 2}3) {x I x > O e x < O} = 0

3) Se U o espao, o conjuntoprocurado o plano mediador do segmen-to AB (plano perpendicular a ABno seu ponto mdio)..

39. Portanto, quando vamos descrever um conjunto Apropriedade P, essencial fixarmos o conjunto-universo Utrabalhando, escrevendo

A = {x E U I x tem a propriedade p}

atravs de umaem que estamos

22-A 23-A

EXERCfclOS

A.l0 D os elementos dos seguintes conjuntos:

A = {x I x letra da palavra "matemtica"}B = {x I x cor da bandeira brasileira}C ={x Ix nome de estado que comea com "a"}

Soluo

A ~ {m, a, t, e, i, c}B = {branco, azul, amarelo, verde}

C = {amazonas, amap, acre, alagoas}

V. CONJUNTOS IGUAIS

40. Definio

Dois conjuntos A e B so iguais quando todo elemento de A pertencea B e, reciprocamente, todo elemento de B pertence a A. Em smbolos:

1) {a, b, c, d} = {d, c, b, a}

2) {l, 3, 5, 7, 9, ... } = {x I x inteiro, positivo e mpar}

A.ll Descreva atravs de uma propriedade caracter(stica dos elementos cada um dosconjuntos seguintes:

A ~ {O, 2, 4. 6, 8, ... }

B = {O, 1, 2, ''', 9}

C = {brasllia, rio de janeiro, salvador}

Soluo

A = {x Ix inteiro, par e no negativo}B = {x Ix algarismo arbico}C ~ {x I x nome de cidade que j foi capital do Brasil}

Exemplos

A B _ ('v'x)(x EA = X E B)

A.12 Escreva com srmbolos:

aI conjunto dos mltiplos inteiros de 3, entre -10 e +10b) conjunto dos divisores inteiros de 42c) conjunto dos mltiplos inteiros de Od) conjunto das fraes com numerador e denominador compreendidos entre O e 3el conjunto dos nomes das capitais da regio centro-oeste do Brasil

A.13 Descreva por meio de uma propriedade dos elementos

A = {+1, -1, +2, -2, +3, -3. +6, -6} B = {O, -10, -20, -30, -40, ... }

C = {I, 4, 9,16,25,36, ... } O ~ {Lua}

3) {x I 2x + 1 = 5} = {2}

Observemos que na definio de igualdade entre conjuntos no intervma noo de ordem entre os elementos, portanto:

{a, b, c, d} = {d, c, b, a} = {b, a, c, d}

Observemos ainda que a repetio de um elemento na descrio de umconjunto algo absolutamente intil pois, por exemplo:

{a, b, c, d} = {a, a, b, b, b, c, d, d, d, d}

A.14 Ouais dos conjuntos abaixo so unitrios?

A = {x I x < ~ e x > ~ }4 5

C = {x I x inteiro e x' = 3}

A.15 Ouais dos conjuntos abaixo so vazios?

A = {xlo-x ~ O}

B ~ {x I x > ~ e x < ~ }4 5

C = {x Ix divisor de zero}

O = {x I x divisrvel por zero}

24-A

B = {x IO - x = 2}O = {x 12x + 1 = 7}

(para conferir basta usar a definio). Assim, preferimos sempre a notao maissimples.

41. Se A no igual a B, escrevemos A"* B. ~ evidente que A dife-rente de B se existe um elemento de A no pertencente a B ou existe em Bum elemento no pertenctlnte a A.

Exemplo

{a, b, d} "* {a, b, c, d}

25-A

VI. SUBCONJUNTO 44. Vimos anteriormente o conceito de igualdade de conjuntos:A = B -= (\f x)(x E A -= x E B)

A C B -= (\fx)(x E A => X E BI

o smbolo C denominado sinal de incluso.Em smbolos, a definio fica assim:

Se A = {a} os elementos de![J(A) so e {a}, isto :&(A) = {g!, {a}}

Se A = {a, b} os elementos de fJ(A) so 0, {a}, {b} e {a, b},

45. Propriedades da incluso

Sendo A, B e C trs conjuntos arbitrrios, valem as seguintes propriedades:

1~) iz5 C A2~) A C A (reflexiva)3~) (A C B e B C A) => A = B (anti-simtrica)4~) (A C B e B C C) => A C C (transitiva)

A demonstrao dessas propriedades imediata com exceo da 1~ quepassamos a provar. Para todo x, a implicao

xEgJ=>XEA

verdadeira pois x E g! falsa. Ento, por definio de subconjunto, 0 C A.

46. Conjunto das partes

Nesta definio est expl cito que todo elemento de A elemento deB e vice-versa, isto , A C B e B C A, portanto, podemos escrever:

A = B -= (A C B e B C A).

2?)isto :

1?)

Exemplos

Provaremos mais adiante (captulo 111) que se A um conjunto finitocom n elementos, ento fJ(A) tem 2" elementos.

Dado um conjunto A, chama-se conjunto das partes de A - notao&(A) - aquele que formado por todos os subconjuntos de A. Em smbolos:

&(A) = {X I X C A}

fJ(A) = {g!, {a}, {b}, {a, b}}

3?) Se A = {a, b, c} os elementos defJ(A) so 0, {a}, {b}, {c},{a, b}, {a, c} {b, c} e {a, b, c}, isto :

r[iJ(A) = {0, {a}, {b}, {c}, {a, b}, {b, c}, {c, a}! {a, b, c}}A rj. B

88 inteiro e primo}

Exemplos

1) {a, b} C {a, b, c, d}2) {a} C {a, b}3) {a, b} C {a, b}4) {x I x inteiro e par} C {x I x inteiro}

42. Definio

Um conjunto A subconjuntode um conjunto B se, e somente se,todo elemento de A pertence tambma B.

Com a notao A C B indicamosque "A subconjunto de B" ou "Aest contido em B" ou "A parte de B".

Com a notao A '1- B indicamosque "A no est contido em B", isto, a negao de A C B.

evidente que A '7'- B somentese existe ao menos um elemento de Aque no pertence a B.

Assim, por exemplo, temos:

1) {a, b, c} '7'- {b, c, d, e}2) {a, b} z' {c, d, e}3) {x I x intei ro e par} '7'- {)( I x

43. Quando A C B, tambm podemosescrever B:J A que se l "B contm A".

26-A 27-A

EXERCI'CIOS VII. REUNIO DE CONJUNTOS

A.16 Dados A = {', 2.3, 4} e S = {2, 4}, pede-se:

a) escrever com os smbolos da teoria dos conjuntos as seguintes sentenas: 47. Definio

b) classificar as sentenas anteriores em falsa ou verdadeira.

A.17 Sendo A={1,2},B=c2,3}.C=',1,3,4} eV ou F cada sentena abaixo e justificar:

Soluo

ai V pois 1 E A, , E O, 2 E A e 2Eob) F pois lEA e ,risc) F pois 2EB e 2 ri C

. di V pois 2 E B, 2 E O, 3 E B e 3 E Oel F POIS 2EO e 2~Cfi V pois 2EA e 2riC

ox E A ou x E B.

Exemplos

1) {a, b} U {c, d} = {a, b, c, d}2) {a, b} U {a, b, c, d} = La, b, c, d}3) {a, b, c} U {c, d, e} = {a, b, c, d, e}4) ia, b, c} U ~ = {a, b, c}5) r/J U r/J = E {O} h) \2> C {O, {a}}di O E

VIII. INTERSECO DI: CONJUNTOS

49. Definio

51. Coniuntgs djsjuntr

Quando A n B = 0, isto , quando os conjuntos A e B no tmelemento comum, A e B so denominados conjuntos disjuntos.

IX. PROPRIEDADES

A n B = {x I x EA e x E B}

Dados dois conjuntos A e B, chamase interseco de A e B o con-junto formado pelos elementos que pertencem a A e a B.

o conjunto A n B (I-se"Ainter B") formado pelos elementosque pertencem aos dois conjuntos (A eB) simultaneamente.

Se x E A n B, isto significaque x pertence a A e tambm xpertence a B. O conectivo e colocadoentre duas condies significa que elasdevem ser obedecidas ao mesmo tempo.

Exemplos

1) {a, b, c} n {b, c, d, e} = { b, c}2) {a, b} n {a, b, c, d} = {a, b}3) {a, b, c} n {a, b, c} = {a, b, c}4) {a, b} n {c, d} = 05) {a, b} n 0 = Z5

50. Propriedades da interseco

00

52. Sendo A, B e C conjuntos quaisquer, valem as seguintes propriedades,que inter-relacionam a reunio e a interseco de conjuntos:

1~) A U (A n B) = A2~) A n (A U B) = A3~) A U (B n C) = (A U B) n (A U C)

(distributiva da reunio em relao interseco)

4~) A n (B U C) = IA n B) U (A n C)(distributiva da interseco em relao reunio).

Demonstremos, por exemplo, a H e a 3~:

A U (A n B) = {x I p(x) V (p{x) 1\ q(x))} = {x I (p(x))} = AA U (B n C) = {x I p{x) V (q(x) 1\ r(x))} = {x I (p{x) V q{x)) 1\ (p(x) V r{x))} =

= {x I p{x) Vq(x)} n {x I p{x) V r(x)} = (A U B) n (A U C)

EXERCICIOS

A.22 Dados os conjuntos A = {a. b. c}. B = {c. d} e C = {c. e}. determinar A U B.A U C. B U C e A U B U C.

A.23 Provar que A C IA U B). "I A.

Soluo

x E A => x E A ou x E BI! uma implicao verdadeira, "I x. portanto: A C (A U B)

Sendo A, B e C conjuntos quaisquer, valem as seguintes propriedades:

1~) A n A = A (idempotente)2~) A n U = A (elemento neutro)3~) A n B = B n A (comutativa)4~) A n (B n C) = (A n B) n C (associativa)

A.24 Classificar em V ou F:

a) 0 C IA U BIc) A E IA U B)

e) B C IA U B)admitindo que A. B e C

bl IA U B) C A

d) IA U B) C IA U BI

f) (A U B) C (A U B U C)

so conjuntos quaisquer.

Como mostramos para a operao de reunio, estas propriedades so tambmdemonstrveis com aux(ljo do exerccio A.5.

3O-A

A.25 Determinar a reunio dos circulas de raio r. contidos num plano a e que tmum ponto comum O E a.

31-A

A.26 Determinar a reunio das retas de um plano Q que so paralelas a uma dada retar de Q.

X. DIFERENA DE CONJUNTOS

A.28 Provar que (A () B) C Ao 'ri A.

A.31 Dados os conjuntos A = {lo 2. 3}. B = {3o 4} e C = {lo 2. 4}o determinaro conjunto X tal que X U B = A U C e X () B = 0.

A.27 Dados os conjuntos A = {a. bo c. d}o B = {b. Co do e} e C = {co e o f}, pede-sedescrever A () Bo A () C. B () C e A () B () C.

@00

@

A - B = {x I x E A e x1=- B}

XI. COMPLEMENTAR DE B EM A

Dados dois conjuntos A e B, taisque B C A, chama-se complementar de8 em relao a A o conjunto A - B,isto , o conjunto dos elementos de Aque no pertencem a jB.

54. Definio

Dados dois conjuntos A e B, cha-ma-se diferena entre A e B o con-junto formado pelos elementos de Aque no pertencem a B.

Com o smbolo

C~ ou A

indicamos o complementar de B em relao a A.

Notemos que C~ s definido para B C A e a temos:

53. Definio

Exemplos

1) {a, b, c} - {b, c, d, e} = {a}

2) {a. b, c} - {b, c} = {a}

3) {a, b} - {c, d, e. f} = {a, b}

4) {a, b} - {a, b, c, d, e} = 0

e) L () Qf) pU Q

c) L () Rd) Q () R

a) L () Pb) R () P

A.32 Determinar o conjunto X tal que

{ao b, Co d} U X = {a, b, Co d, e}o {c, d} U X = {a, c, d, e} e{b. Co d} () X = {c}.

Soluo

ai X U B = {1. 2 0 3. 4} ento os posslveis elementos de X so: 1, 2, 3 e 4.

b) X () B = 0 "* 3 f. X e 4 ri:. XConcluso X = {1. 2}

Soluo

x E (A () B) = (x E A e x E B) = x E A uma implicao verdadeira, 'ri X o portanto (A () B) C A.

A.29 Classificar em V ou F

a) oC (A () B) bl A C (A () B)c) A E (A () BI d) (A () B) C (A () B)

e) (A () B) C B f) (A () B) :) (A () B () C)

admitindo que Ao B e C so conjuntos quaisquer.

A.30 Consideremos os conjuntos:

K = conjunto dos quadrilteros planos

P = {x E K Ix tem lados 2 a 2 paralelos}L = {x E K I x tem 4 lados congruentes}R = {x E K I x tem 4 ngulos retos}Q = {x E K Ix tem 2 lados paralelos e 2 ngulos retos}Pede-se determinar os conjuntos:

A.33 Assinalar no diagrama ao lado, um decada vez, os seguintes conjuntos:

a) A () B () C

b) A () (B U C)c) A U (B () C)

d) A U B U C

32-A 33-A

Exemplos A.35 Provar que (A - B) C A, V A.

admitindo que A e B so conjuntos quaisquer.

Soluo

A implicao x E (A-B) ='(x E A e x ~ BI =>x E A

verdadeira para todo x, ento (A - BI C A.

1) Se A = {a, b, c, d, e} e B = {c, d, e}, ento:

C~ = {a, b}2) Se A = {a, b, c, d} B, ento:

C~ = 03) Se A = {a, b, c, d} e B = >t, ento:

C~ = {a, b, c, d} = A

A.36 Classificar em V ou F as sentenas:

ai (A - BI ..:) >tcl (A- B) C B

bl (A - B) U (A n B) Adi (A-BI C (A U BI

55. Propriedades da complementaoA.37 Dados os conjuntos A ~ {l, 2, 3, 4, 5}, B = {l, 2, 4,6, a} e C = {2, 4, 5, 7},

obter um conjunto X tal que X C A e A - X = B n C.

Sendo B e C subconjuntos de A, valem as seguintes propriedades:

H) C~ n B = 0 e C~ U B = A

2~) C~ 0 eC~ = A

3\1) CAl C~) B

4\1) C~n CI

C~ U C;5~) C~ U CI C~ n C;

A.39 Provar que A - a = A n B onde A e B so conjuntos quaisquer do universo U.

Provemos, por exemplo, a 2\1 e a 4\1:

C~ = {x E A I x ~ A} = 0

CP = {x E A I x ~ 0} = AC ~ n C) = {x E A I x ~ B n C} = {x E A I x ~ B

= {x E A I x ~ B} U {x E A I x ~ C} =

ou x ~ C} =

C~ U C;

A.38 Assinalar no diagrama ao lado, um de\ cada vez, os seguintes conjuntos:

ai - Bbl - A U Bc) li" UAd) A U Be) A n Bf) li" nA

Soluo

A implicao

x E (A - a) = (x E A e x ~ ai = x E A e x E a ==>===> )( E A n a verdadeira, V x, portanto, est provado.

A.40 Classificar em V ou F as segu intes sentenas:

a) (A - BI U (B - A) = (A U BI - (A n B)b) A C B = ( C BI C ( CAIcl (A - B) C ( CAId) (A-BI C ( CBI

EXERCICIOS SUPLEMENTARES

u

EXERCICIOS

A = {a, b, c. d}, B = {c, d. e. f} C {b d },g e = , ,e. g .A.34 Sejam os conjuntosDeterminar:

a) A - Bbl B - A

34-A

cl C - Bd) (A U C) - B

e) A- (B n C)f) (AUB)-(AnCI

A.41 Descrever os elementos dos canju ntos abaixo:

A = {x I x2 - 5x - 6 = O}B = {x I x letra da palavra "exerccio"}C = {x I x2 - 9 = O ou 2x - 1 = 9}D = {x I2x + 1 = O e 2x2 - x - 1 = O}E = {x I x algarismo do nmero 234543}

35-A

A.42 Seja E ~ la, {a}}. Dizer quais das proposies abaixo so verdadeiras.a) a E Eb) {a} E Ec) a C E

d) {a} C Ee) 0E Ef) 0 C E

A.43 Sejam A e 8 dois conjuntos finitos. Provar que

nA U 8" nA + n8 - nA n 8'

o smbolo nX representa o nmero de elementos do conjunto X.

A.44 Em uma escola que tem 415 alunos, 221 estudam Ingls, 163 estudam Francs e 52 estudam ambas as lnguas. Quantos alunos estudam Ingls ou Francs? Quantos alunosno estudam nenhuma das duas?

A.45 Sendo A,8 e C conjuntos finitos, estabelecer uma frmula para calcular nAU 8 ue

A.46 Uma populao consome trs marcas de sabo em p: A, B e C. Feita uma pesquisado mercado, colheram-se os resultados tabelados abaixo:

marca A 8 C Ae8 8ee eeA A,8ee nenhuma das trs

nmero de109 203 162 25 41 28 5 115

consumidores

Pede-se:

a) nmero de pessoas consultadasbl nmero de pessoas que s consomem a marca Ac) nmero de pessoas que no consomem as marcas A ou Cd) nmero de pessoas que consomem ao menos duas marcas.

A.47 Determinar os conjuntos A, 8 e C que satisfazem as segu intes seis condies:

1~) A U 8 U C " {z, x, v, u, t, S, r, q, p}

2a) An 8 {r, s}

3a l 8 n C {s, x}

4~) enA {s, t}

5~) AU C {p, q, r, s, t, u, v, x}

6a) AU 8 {p, q, r, s, t, x, z}

A.4S Em certa comunidade h indivfduos de trs raas: branca, preta e amarela. Sabendo que70% so brancos e 210% no so pretos e 50% so amarelos, pergunta-se:

a) quantos indiv(duos tem a comunidade?b) quantos so os indivfduos amarelos?

36-A

A.49 Dados dois conjuntos A e 8, chama-se diferena simtrica de A com 8 o con-junto A1l8 tal que:

A1l8 " (A - 8) U (8 - A)

Pede-se:

a) determinar {a, b, c, d} II {c. d, e, f, g}b) provar que A1l0" A, para todo Acl provar que AllA" rz5, para todo Ad) provar que A1l8" 811A, para A e 8 quaisquere) assinalar em cada diagrama abaixo o conjunto AtJ.8:

@ooA.50 Desenhar um diagrama de Venn representando quatro conjuntos A, 8, C e D no

vazios de modo que se tenha

A;Z 8, 8;Z A, C :J IA U 81 e D C (A n 81

37-A

CAPTULO III

CONJUNTOS

NUMRICOS

I. CONJUNTOS DOS NMEROS NATURAIS

56. Chama-se conjunto dos nmeros naturais - smbolo PlJ - o conjunto forma-do pelos nmeros O, 1, 2, 3, ...

N = {O, 1,2,3, ...}

57. Neste conjunto so definidas duas operaes fundamentais a adio e a mul-tiplicao, que apresentam as seguintes propriedades:

[A.l) associativa da adio

(a + b) + c = a + (b + c)

para todos, a, b, c E PlJ.

[A.2) comutativa da adio

a+b=b+a

para todos a, b E PlJ.

[A.3) elemento neutro da adio

a + O = a

para todo a E PlJ

[M.1] associativa da multiplicao

(ab)c = a(bc)

para todos a, b, c E PlJ

[M.2) comutativa da multiplicao

ab = ba

para todos a, b E PlJ

39-A

[M.3]elemento neutro da multiplicao

a 1 = apara todo a E IW

[D] Distributiva da multiplicao relativamente adio

a(b + c) = ab + ac

para todos a, b, c E IW

58. Veremos que os prximos conjuntos numricos a serem apresentados soampliaes de IW, isto , contm til, tm uma adio e uma multiplicao com aspropriedades formais j apresentadas e outras mais, que constituem justamente omotivo determinante da ampliao.

Assim, dado um natural a *" O, o simtrico de a no existe em til:-a E N. O resultado disso que o smbolo a - b no tem significado em tilpara todos a, b E IW, isto , em til a subtrao no uma operao. Venceremosesta dificuldade introduzindo um novo conjunto numrico.

[A,4] simtrico ou oposto para a adio

Para todo a E Z. existe -a E 1: tal que

a +. (-a) = O

Devido propriedade [A41. podemos definir em 1: a operao de sub-trao, estabelecendo que a - b = a + (- b) para todos a, b E z..

62. Os nmeros inteiros podem ser representados sobre uma reta orientadaatravs do seguinte procedimento:

a) sobre a reta estabelecemos um sentido positivo e um ponto O (origem)que representa o inteiro O (zero)

o

b) a partir de O, no sentido positivo, marcamos um segmento unitriou *" O cuja extremidade passar a representar o inteiro 1

I U ..o

63. Uma importante noo que devemos ter sobre nmeros inteiros o con-ceito de divisor.

Dizemos que o inteiro a divisor do inteiro b - smbolo a I b - quandoexiste um inteiro c tal que ca = b.

c) para cada inteiro POSitiVO n, a partir de O, marcamos um segmento demedida nu no sentido positivo cuja extremidade representar n e marcamos umsegmento de medida nu no sentido negativo cuja extremidade representar ointeiro - n.

O resu Itado este:-4 -3 -2 -1 O 2 3 4

I I I I I I ~

11. CONJUNTO DOS NMEROS INTEIROS

59. Chama-se conjunto dos nmeros inteiros - smbolo Z - o seguinte conjunto:

,z = { , -3, -2, -1, O, 1, 2, 3, ...}

60. No conjunto Z. distinguimos trs subconjuntos notveis:

-l+ = {O, 1, 2, 3, ...} = t.I

u u u u u u u u

(chamado conjunto dos inteiros no negativos)

-l_ = {O, -1, -2, -3, ...}

(chamado conjunto dos inteiros no positivos)

,Z* = {... , -3, -2, -1, 1, 2, 3, ... }

(chamado conjunto dos inteiros no nulos)

61. No conjunto ,z so definidas tambm as operaes de adio e multiplicaoque apresentam, alm de [A1l. [A21. [A3]. [Mll. [M2], [M3] e D, a proprie-dade:

4O-A

Exemplos

1) 2 I 122) 3 I -183) -5 I 204) -2 I -145) 4 I O6) O I O

poispoispoispoispoispois

62=12(-6) 3 = -18(-4) (-5) = 207(-2) -1404 O1 O O

b)

41-A

64. Quando a divisor de b dizemos que "b divisvel por a" ou "b mltiplo de a".

Para um inteiro a qualquer, indicamos com Ora) o conjunto de seus di-visores e com M(a) o conjunto de seus mltiplos.

111. CONJUNTO DOS NMEROS RACIONAISExemplos

1) 0(2) {1, -1, 2, -2} M(2) = {O, 2, 4, 6, ... }

2) 0(-3) {1, -1, 3, -3} M(-3) = {O, 3, 6, 9, ... }

3) 0(0) =;z M(O) = {O}

65. Dizemos que um nmero inteiro p primo quando p *- O, 1 e -1 eO(p) = {1, -1, p, -p}.

66. Dado um nmero inteiro q *- 1 e -1, o inverso de q no existe emz: ~ rf Z. Porisso no podemos definir em ;Z a operao de diviso, dando

q

significado ao smbolo p Vamos superar esta dificuldade introduzindo os nme-q

ros racionais.

67. Chama-se conjunto dos nmeros racionais - smbolo lIl- o conjunto dos

pares ordenados (ou fraes) ~, onde a E Z e b E Z*, para os quais

adotam-se as seguintes definies:

Exemplos

2, -2, 3, -3, 5, -5, 7 e -7 so primos.

EXERCCIOS

A.51 Quais das proposies abaixo so verdadeiras?(j) igualdade: ~=~ad=bc

b d

Descrever os seguintes conjuntos: 0(6), 0(-18), 0(-24) n 0(16), M(4), M(10)M(-9) n M(6),

A.52

a) O E 1\1

d) 1\1 U R._ = 71

g) (-4) (-5) E R.+

b) (2 - 3) E 1\1

e) R.+ n R._ = 25h) O E 7l

c) 1\1 Cz.

f) 1-3)2 E 7l

i) (5-11)E7l

e

(i i)

(iii)

adio:

a c acmultiplicao: b' d = bd

A.53 Quais dos seguintes elementos de ;Z no so primos: 12, -13, O, 5, 31, -1, 2, -4, 1,49 e 53?

A.54 Sendo a e b dois nmeros inteiros, pergunta-se:

a) D(a) e D(b) podem ser disjuntos?b) Que nome se d a um inteiro m tal que D(a) n Dlb) = Dlm)?c) Quando Dia) n D(b) = {1, -1}, qual a relao existente entred) Em que caso ocorre Mia) C M(b)?e) Em que caso ocorre M(a) n Mlb) = M(ab)?f) Que nome se d a um inteiro n tal que M(a) n M(b) Mln)?

Determinar os seguintes nmeros inteiros:

III conjunto dos racionais no positivos

soaeb

a uma frao irredu-

b6

no :10

o denominador. Seb o numerador eaab'

lIl* conjunto dos racionais no nulos

Na frao

o f_23 7 -'do,tive!. Assim, as raoes 3' 7" e 15 sao Irre utlvelS mas

primos entre si, isto , se mdc(a, b) = 1, dizemos

68. No conjunto dos racionais destacamos os subconjuntos:

lIl+ conjunto dos racionais no negativos

69.

a e b?

b) mdc(-4, 6)

d) mmc(2,3)f) mmc(-6, -14)

a) mdc(2,3)c) mdc(-6, -14)

e) mmc 1-4, 6)

A.55

42-A 43-A

70. Consideremos o conjunto ([1' formado pelos nmeros racionais com de-

nominador unitrio: ([1' = {~ I x E Z}. Temos:

a b

A.57 Colocar na forma de uma frao irredutlvel os seguintes nmeros racionais: 0,4;0,444. ..; 0,32; 0,323232,.,; 54,2; 5,423423423,

A.59 Mostrar que se ri e r2 so racionais e ri < r2, ento existe um racional rtal que ri < r < r2'

15 11 18 1 47A.58 Colocar em ordem crescente os nmeros racionais seguintes: 16' 12' 19' '48

2e 3'

.J2 = 1,4142136 ...rr = 3.1415926, ..a = 1,010010001 ...

Outro recurso para construo de irracionais usar o fato de que se a a r

irracional e r racional no nulo, ento: a + r, a r. r e a so todosirracionais.

chamados nmeros irracionais.

Se quisermos outros nmeros irracionais, poderemos obt-los, por exemplo,atravs da expresso ...;p onde p primo e positivo. So irracionais:.,[3, v'5. ...[7, etc.

3-2, -"2' -1,

6e 2'

A.60 Representar sobre uma reta orientada os nmeros racionais seguintes:

IV. CONJUNTO DOS NMEROS REAIS

Exemplos

.J2 + 1, 3../1 .,[3 ---, 2' v'5 so irracionais.

~ racional. Por exemplo, V2 fi m o que provado facilmente assim:

e um nmero naturalconjunto dos reais no negativosconjunto dos reais no positivosconjunto dos reais no nlilos.

Alm de m, destacamos em IR trs outros subconjuntos75.nem sempren ;;. 2.

seja tal queab

ab

admitamos que a frao irredutvel(i)

Dado um nmero racional73.

lii) ~ = ...[2 = a2 = 2b2 = a2 par = a par(iii) fazendo a = 2m. com m E z., temos:a2 = 2b2 ==> (2m)2 = 2b2 =- b2 2m2 ==> b2 par =- b par

e isto absurdo pois ITldc (a, b) = 1.

Vamos agora in\roduzir um conjunto numrico que contm o. e onde aradiciao pode ser definida.

76. As operaes de adio e multiplicao em IA gozam das mesmas pro-priedades vistas para o conjunto m. Em IR tambm definida a operaode subtrao e em IR* definida a diviso, Com a introduo dos nmerosirracionais, a radiciao uma operao em IR+. isto , v-; E IR para todoa E IR+.

77. J vimos que os nmeros inteiros podem ser representados por pontos deuma reta

Analogamente, os nmeros racionais no inteiros tambm podem. Se qui-

I ,1 bsermos, por exemp o, representar o numero '2 so re a reta, marcamos a par-1

tir de O um segmento de medida 2"u no sentido positivo. A extremidade desse

74. Chama-se conjunto dos nmeros reais IR - aquele formado por todos ospmeros com representao decimal, isto , as decimais exatas ou peribdicas(que so nmeros racionais) e as decimais no exatas e no peridicas (chamadaslJmeros irracionais).

Assim, todo racional nmero real.

o.elAe, alm dos racionais, esto em IR nmeros como:

-4I

-3I

-2I

-1I

1I I

u

2I

3I

4I

5I

46-A 47-A

-2 -1 O 2 3I I I I I I I I I I I

segmento representa

nmeros racionais.-3I

12' Na figura abaixo representamos sobre a reta vrios

A.63 Mostrar que J4 + 2 v'3 o 1 + v'3.A.64 Mostrar que existem a e b raeionaistaisque V18-8V2 o a + bV2.

A.65 Dados dois nmeros x e y reais e positivos, chama-se mdia aritmtica de x com

V o real a ""~ e chama-se mdia geomtrica o real 9 o;; ..J;;;. Mostrar2

que a;;;' g para todos x, y E IR+.

Quando representamos tambm sobre a reta os nmeros irracionais, cadaponto da reta passa a representar necessariamente um nmero racional ou irra-cional (portanto, real), isto , os reais preenchem completamente a reta.

-3 -2 -, O 1 2 3I ~l I I

I I I ti II I I I ..

o. -~ -t , , 9 11 Jr2 -"2 "2 4 "4-.../3 ,.fi

Esta reta, que representa IR, chamada reta real ou reta numrica.

A.66 Representar sobre a reta real, cada um dos seguintes conjuntos:

A o {x E IR I , ",;; x ",;; 2}B ~ {x E IR I O < x < 3}C ~ {x E IR I x ",;; O ou x > 2}D = {x E IR 1-' .< x < O ou x;;;' 3}

V. INTERVALOS

78. Na reta real os nmeros esto orde-nados. Um nmero a menor que qualquer nmero x colocado sua direita emaior que qualquer nmero x sua esquerda.

EXERCfclOS

a

--,---~-~/ ',-;~=--,----::--,-{xEIRlxa}

79. Dados dois nmeros reais a e b, com a < b, definimos:

a) intervalo aberto de extremos a e b o conjunto

] a, b [ = {x ~ IR I a < x < b}que tambm pode ser indicado por a - b.

A.61 Ouais das proposies abaixo so verdadeiras?

a) 3 E IR

aI ~ E IR-Ill

gl (V2 - 3 v'3) E IR - III

b) N C IR

e) v'4 E IR-Illh) 3V2 E IR-m

v'5

c) 7L. C IR

f) V4 E IR-mi) 3y'2 E m

572

b) intervalo fechado de extremos a e b o conjunto

[a, b] = {x E IR I a ",;; x ",;; b}

que tambm pode ser indicado por af---lb.

c) intervalo fechado esquerda (ou aberto direita) de extremos a e b o conjunto

[a, b [ = {x E IR I a ",;; x < b}A.62 Provar que se a, b, c, d so racionais, p primo positivo e a + b-V-;;- o c + d-V-;;-,

ento a = c e b = d.

Soluo

a+b~oe+d~ (b-dly';;"oe-a

Como c - a racional, a ltima igualdade s6 subsiste quando (b - di V; E O,isto , se b - d = O. Neste caso, c - a = O, provando a tese.

4S-A

que tambm pode ser indicado por af--b.

d) intervalo fechado direita (ou aberto esquerda) de extremos a e b o conjunto

] a, b] = {x E R I a < x ",;; b}que tambm pode ser indicado por a ---; b.

49-A

80. Os nmeros reais a e b so denominados, respectivamente, extremo in-ferior e extremo superior do intervalo.

EXERCCIOS

~.67 Descrever, conforme a notao da teoria dos conjuntos, os seguintes intervalos:

81. Exemplos [-1.3]. [0.2[. ]-3.4[. ]-00. S[ e [1. + 00[.

83. Os intervalos tm uma representao geomtrica sobre a reta real como segue:

..

...

..

..1 30111 Ili 1111 li Ili 11111111 li 111111111110

1 401111111111111111111111111111111111111111111111111111110

e A U B c [O. 4]

o 30111111111111111111111111111111111111111111111111111111o

O 40'"11111111111111111111111111111111111111111111111111111111111111111111111

A

ai [0.2] n [1.3]

bl [0.2) n ]1. 3[

cl ]-1. ~[ n )0. ~[

di )-00.2) n [O. + oo[

9e) [-1. + oo[ n [-'2,21

t) [1.2] n [O. 3] n [-1, 4)

B

Soluo

A U B

A n B

ento A n B ~ [1. 3]

A n B e A U B sendo A o [O. 3) e B o [1. 4]

~.68 Utilizando a representao grfica dos intervalos sobre a reta real, determinar

~.69 Descrever os seguintes conjuntos:

1 1 .]- 3' v'2] = {x E IR I - 3 < x .;;; v'2} intervalo fechado direita.

19) ]2, 5[ = {x E IR I 2 < x < 5} intervalo aberto29) [-1, 4] = {x E IR I -1 .;;; x .;;; 4} intervalo fechado

[i, 7 [ = {x E IR I ~.;;; x < 7} intervalo fechado esquerda39)49)

82. Tambm consideramos intervalos lineares os "intervalos infinitos" assimdefinidos:

a) ]- 00, a [ = {x E IR I x < a}que podemos tambm indicar por - 00 -- a.

b) ]- 00, a] = {x E IR I x .;;; a}que tambm podemos indicar por - 00-----1 a.

c) ] a, + 00 [ = {x E IR I x > a}que tambm podemos indicar por a-- + 00.

d) [a, + 00 [ = {x E IR I x ;;;. a}que tambm podemos indicar por a I--- + 00.

e) ]-00, + co[ = IRque tambm podemos indicar por -00 -- + 00.

b---------..~llIl1llllll-l+III11I1II+lIl++llIlllllrl!II-1+lIllllllrl!lIll1l11llllli!+lllllo---------1,,-

a b---------cllIIlIl+llI++IIIIllIl-l+II11'IIIIllIl++IIIl1II1IllIll+IIIIllIlIKIIIlIIIIIllIIt_--------1,,_

ai [- 1. 3] U [O. 4]

bl ]-2. 1] U ]0. S[

c) [-1. 3] U [3. S]1 3 1

d) h-, O[ U ]-'2' - '4)

~.70 Determinar os seguintes conjuntos:

...

..a b

--------01111111111111111111111111111111111110'--------1...a b1IIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIItIlllllllllUIo

la. b [[a. b]

[a. b[

la. b]

]- 00, a] 1I111111111111111111111111111111111111111111~

la. + oo[ a---------olllllllllllllIlIIIIIIIIIIIIIIIIIlIlIlIlIUlllllllHllllIlIl111111111111111...71 Sendo A [O. S [ e B )1. 3 [. determinar C~

50-A 51-A

VI. CONJUNTO DOS NMEROS COMPLEXOS

84. Em IR. a radiciao uma operao, isto , va E IR. qualquer queseja o real a no negativo. Assim, por exemplo, .,f2, V'5, .era, sj3! e6~ _, .V 7T sao numeros reais.

Desde que o ndice da raiz seja mpar, os radicais da forma ~,onde a E IR., tambm representam nmeros reais. o caso, por exemplo, de

if=1, Z! -32 e Z!"=3Se o radicando negativo e o ndice da raiz par, entretanto, o radical

v::a no representa elemento de IR. Por exemplo, v'""=l no real, pois:v'""=l = x===>- 1 = x2

e isto impossvel pois se ,x E A, ento x2

;;;. O.

85. Resolveremos definitivamente o problema de dar significado ao smbolo

va, para todo nmero a, introduzindo no volume F desta coleo o conjunto

29) Dada relaon3 3n2 7n

3, definida todoa y +- - - + para6 2 3

n E IW *, temos:

1 = y13 3. 12 7 . 1

+ 3 =-1+9-14+18

2n -- +-- ---6 2 3 6

2= Y23 3. 22 7 2

+ 3-8 + 36 - 28 + 18

3n = --+ -- ---6 2 3 6

33 3. 32 7 3 -27 + 81 - 42 + 185n 3= y --+-----+3

6 2 3 6

n=4=y=43 3" 42 7 4

3 =~64+ 144-56+ 18

= 7-- +-- --- +6 2 3 6

Poderamos tirar a concluso precipitada: "y nmero primo, 'ri n EEsta induo tambm falsa pois:

29) Se k E 11I, k ;;. no e P(k) verdadeira, ento P(k + 1) tambm verdadeira.

29) Admitamos que P(k), com k E N*, seja verdadeira:

1 + 3 + 5 + ... + (2k - 1) '" k2 (hiptese da induo)

e provemos que decorre a validade de P(k + 1), isto :

+ 3 + 5 + ... + (2k - 1) t [2(k + 1) - 1] (k + 1}2

",

(n E IW*)

19) Verifiquemos que P( 1) verdadeira

n = 1 = 1 = 12

90. Provemos, por exemplo, que:

1 + 3 + 5 + ... + (2n - 1) = n2

89. Para provarmos que a relao vlida para todo n E IW* empregamos oprincpio da induo finita (P.I.F.) cujo enunciado segue:

Uma proposio P(n), aplicvel aos nmeros naturais n, verdadeira

para todo n E 11I, n ;;. no, quando:

19) P(no) verdadeira, isto , a propriedade vlida para n = no, e

8-125 + 225 - 70'; 18

653 3. 52 7" 5

n = 5 ~ y = --+ -- - -- + 36 2 3

(n E N*)

88. ~ necessrio, portanto, dispor de um mtodo com base lgica que permitadecidir sobre a validade ou no de uma induo vulgar.

Consideremos, por exemplo, a igualdade:

1 + 3 + 5 +. .. + (2 n - 1) = n2

Temos:

1 + 3 + 5 + ... + (2k - 1) + (2k + 1) = k2 + (2k + 1)\ J ~

r +k2 + 2k + 1

Vamos verificar se ela verdadeira:

n = 10 ~ 1 + 3 + 5 + ... + 19 = 100 = 102 (V)

que expressa a propriedade: "a soma dos n primeiros nmeros mpares positivos, 2 "e n.

n 2 == + 3 = 4 22 (V)

n = 3 =- + 3 + 5 9 = ~ (V)A.73

A.76 13 + 23 + 33 + + 3 ~ [n(n + 11]2 'ri E."... n 2' n '"

EXERCCIOS

Demonstrar usando o prind~a induo finita.n(n+ 1)~

A.72 1 + 2 + 3+... + n = --2-' n E 1lJ*

n(4 + 3n)

A.74 20 + 21 + 22 + ... 2n-1 - 'ri n E 1\1'

,4.75 2 2 2 2 _ n(n + 11 (2n + 1) '"' E."r- 1+2+3+ ... +n- (6 .v n '"

(V)1==n

Mesmo que continuemos o trabalho fazendo a verificao at n = 1 000000no estar provado que a frmula vale para todo n natural, pois poder existirum n > 1 000000 em que a frmula falha.

54-A 56-A

A.77 a I 132n - 11. V n E W A.8S o nmero de diagonais de um polgono convexo de n lados do nln - 31-2-'Soluc

10) Pll) verdadeira pois a I 132 - 1129) Admitamos que Plkl, k E ~', seja verdadeira

a I 132k - 11 (hiptese da induole provemos que 8 I (32(k + 1) - 11:

Soluo

10) P(3) verdadeira pois:

n = 3 == d3

= 3(3 - 3) = O2

e isto verdade porque um tringulo no tem diagonais.

ento

291 Supondo vlida a frmula para um polfgono de k lados Ik;:;' 31:

dk -- klk2-3) Ihiptese da induo)

provemos que ela vale para um polgono de k + 1 lados:

_ Ik + 1I[(k + 11 - 3] = (k + 11 (k - 2)dk + 1 - 2 2

A.79 2 I (n 2 + nl, V n E ~.

6ln(n + llln + 21,Vn E~.A.78

A.80 3 I In3 + 2n), V n E ~.

A.81 (1 + 11 (1 + ~) 11 + ~I . 11 + 2. 1n

n + 1, V n E W

Quando passamos de um polgono com k vrtices para um de I:< + 1 vrtices, acres-centando mais um vrtice, ocorre o seguinte:

(i) todas as diagonais do primeiro polfgono continuam sendo diagonais do segundo;(ji) um lado do primeiro se 'transforma em diagonal do segundG;(Hi) no segundo h k - 2 novas diagonais las que partem do novo vrtice).Vejamos, por exemplo, a passagem de um quadriltero para um pentgono

Soluo

19) PI1I verdadeira pois 2 1 ;:;, 1 + 1

20 1 Admitamos que P(k), k E ~', seja verdadeira:

A.83 1 2 + 2 3 + 3. 4 +

c-c

8.8

D

AVnEWn In + 1) (n + 2)3

n : 1 ,V n E ~.

+ n(n + 11

1+ ---n(n + 11

+ -- +3-4

A.84 2n ;:;, n + 1, V n E ~.

1 1A.82 N + 2.3

21k + 11 = 2k + 2 ;:;, Ik + 11 + 2 > (k + 11 + 1

A.85 2n > n, V n E ~

e provemos que 2(k + 11 ;:;, (k + 11 + 1

Temos:

klk-3) k2 -3k+2k-2dk+ 1 = dk + 1 + Ik - 2) = --2- + k - 1 = 2

(k + 11 Ik - 2)2

so diagonais ~ AC e BD continuam diagonais---- AD se transforma em diagonal

EB e EC so diagonais

AC e BDAD lado

Ento:

(hiptese da induol2k ;:;, k +

4+ n 3 >.':'.- V n E ~'.

4

A.89 A soma das medidas dos ngulos internos de um pol(gono convexo de n lados Sn = (n - 2) 1800 .

A.87 (1 + aln ;:;, 1 + na,V n E ~', V a E IR, a;:;' -1A.90 Se A um conjunto finito com n elementos, ento 'syIA), conjunto das partes

de A, tem 2n elementos.

56-A 57-A

Desvendado mistrio da continuidadeCAPTULO IV

-RELAOES

Julius W. R. Dedekind(1831 - 1916)

mas isto ficaria fora do nvel deste curso.

I. PAR ORDENADO

dc e b(c, dI ala, bl

Em Matemtica existem situaes, onde h necessidade de distinguir doispares pela ordem dos elementos. Por exemplo, no sistema de equaes

{X+ Y =3

x ~ Y =. 1

x = 2 e Y = 1 sol uo ao passo que x = 1 e Y = 2 no soluo.Se representssemos por um conjunto teramos: {2, l} seria soluo e {1, 2} .no seria soluo. H uma contradio, pois sendo {2, l} = {1, 2}, o mesmo con-junto e no soluo. Por causa disso dizemos que a soluo o par ordenado(2, 1) onde fica subentendido que o primeiro elemento 2 refere-se a incgnitax e o segundo elemento 1 refere-se a incgnita y.

(a, b) = {{a}, {a, b}}

91. Chama-se par todo conjunto formado por dois elementos. Assim {1, 2},{3, -l}, {a, b} indicam pares. Lembrando do conceito de igualdade de con-juntos, observamos que inverter a ordem dos elementos no produz um novo par:

{1,2} = {2, 1}, {3, -l} = H, 3}, {a, b} = {b, a}.

(*) Poderamos definir par ordenado como Kuratowski fez:

92. Admitiremos a noo de par ordenado como conceito primitivo (. I. Para ca.da elemento a e cada elemento b, admitiremos a existncia de um terceiroelemento (a, b) que denominamos par ordenado de modo que se tenha

Julius Wilhelm Richar Dedekind foi um dos quatro filhos de uma familia luterana deBraunschweig, Alemanha. Entrou em Gttingen aos dezenove anos e aos vinte e dois obteve seudoutoramento com uma tese sobre Clculo, elogiada at por Gauss. Foi aluno de Dirichlet ededicou-se ao ensino secundrio em Brunswick at os ltimos anos de sua vida.

Preocupado com a natureza das funes e dos nmeros, concentrou~se no problemados nmeros irracionais desde 1858 quando dava aulas de Clculo, publicando seu livro maisclebre, "A Continuidade e os Nmeros Irracionais".

Uma de suas grandes dvidas era sobre o que h na reta geomtrica contnua que adistingue dos nmeros racionais, pois, Galileu e Leibniz haviam conclUl'do que entre dois'pontos quaisquer sempre existe um terceiro e, assim, 05 nmeros racionais formam umconjunto denso mas no cont(nuo.

Relendo. Dedekind observou que a essncia da continuidade da reta no est ligada densidade mas natureza da diviso da reta em duas partes, que chamou classes, atravs de umnico ponto sobre a reta. A essa qiviso da reta chamou "schnitt" ou "corte" , que passaria a sero apoio da Anlise, pois com essa observao "o segredo da continuidade seria revelado".

Dedekind viu tambm que os pontos de uma reta podem ser postos em correspondnciabiunvoca com os nmeros reais, o Que conseguiu ampliando .~ conjunto dos racionais. Estaconcluso conhecida por ns como Axioma de Cantor-Dedekind.

Mais uma de suas observaes foi sobre oteorema fundamental dos Iimites, achando quepara obter-se uma demonstrao rigorosa desteconceito era necessrio desenvolv-lo somente atra-vs da Aritmtica, sem interferncia de mtodosgeomtricos embora estes tenham sido respons-veis por seus brilhantes resultados"

Em 1879 foi o primeiro a dar uma definioexpli'cita de corpo numrico como sendo uma co-leo de nmeros Que formam um grupo abel ia no(comutativo) em relao adio e multiplicao,no qual a multiplicao distributiva em relao adio. Este conceito, que foi fundamental para odesenvolvimento da lgebra, tambm responsvelpelo teorema dos inteiros algbricos, bem comointroduziu na Aritmtica o conceito de "ideal".

Dedekind viveu tantos anos depois de Suaclebre introduo dos "cortes" que a famosaeditora Tebner deu como data de sua morte, 4 desetembro de 1899. Isto divertiu Dedekind queviveu mais doze anos e escreveu ao editor quepassara a data em questo em conversa estimulan-te"com seu amigo Georg Cantor.

58-A59-A

11. SISTEMA CARTESIANO ORTOGONAL 95. Teorema

c) coordenadas de P so os nmeros reais xp e yp, geralmente indi-cados na forma de um par ordenado (xp, yp) onde xp o primeiro termo.

d) eixo das abscissas o eixo x (ou Ox)

e) eixo das ordenadas o eixo y (ou Oy)

f) sistema de eixos cartesiano ortogonal (ou ortonormal ou retangular) o sistema xOy

g) origem do sistema o ponto O

94. Exemplo

hI plano cartesiano o plano Ci

b) ordenada de P o nmero real yp representado por P2(X p, yp), existem PI E x e

representa y p' conforme vimos

Iv'p

E

l

r~. , ;-,

I"

Ir

ri'

ordenado de nmeros reaisP1 representa x p e P2

A.92 Assinalar no plano cartesiano os pontos: A(2, -3), BIO, -4), C(-4, -5), 01-1, OI,

1 5ElO, 5), F15, 4), G(3, O), H(-3, 2),11 2 '2)'

A.91 Dar as coordenadas de cada ponto do plano cartesiano abaixo.

Dado o parP2 E Y tais queno item 77.Se construirmos x' /I x por P2 e y' li y por P1 , essas retas vo concorrerem P. Assim, a todo par (xp , yp) corresponde um nico ponto P, P E Ci.

Esquema: (xp, Ypl ------4 (P I , P2) ----> P

EXERCCIOS

Demonstrao

2? Parte

1? Parte

As definies dadas anteriormente indicam que a todo ponto P, P E Ci,corresponde um nico par de pontos (P I , P2 ) sobre os eixos x e y res-pectivamente e, portanto, um nico par ordenado de nmeros reais (xp, yp)tais que xp e yp so representados por P1 e P2 , respectivamente.

Esquema: P ------4 (P I , P2 ) -+ (xp, ypl

Entre o conjunto dos pontos P do plano cartesiano e o conjunto dospares ordenados (xp, yp) de nmeros reais existe uma correspondncia biunvo-

ca.

Tv

~ - - - .

B

y Co

,

y'Ci

YP2 P x'

hO P 1 x

e

dois eixos x e yO, os quais deter-

Vamos localizar os pontos

93. Consideremosperpendiculares emminam o plano Ci.

Dado um ponto P qualquer, 'P E Ci.conduzamos por ele duas retas:

Nestas condies definimos:

a) abscissa de P o nmero real xp representado por PI

x' li x e y' li y

Denominemos PI a interseco dex com y' e P2 a interseco de y comx'.

A(2, O), B(O, -3), C(2, 5). D(-3, 4)

5 9E(-7, -3), F(4, -5), G( 2' 2)

5 9H(-2' -2)

no plano cartesiano lembrando que, nopar ordenado, o primeiro nmero repre-senta a abscissa e o segundo a ordenadado ponto.

60-A 61-A

96. Definio

111. PRODUTO CARTESIANO

Sejam A e B dois conjuntos no vazios. Denominamos produto cartesianode A por B o conjunto A X B cujos elementos so todos pares ordenados(x, y) onde o primeiro elemento pertence a A e o segundo elemento pertence a B.

A X B = {(x, y) I x E A e y E B}

o smbolo A X B I-se "A cartesiano B" ou "produto cartesiano de A por B".

Se A ou B for o conjunto vazio, definimos o produto cartesiano de Apor B como sendo o conjunto vazio. .

, I

,I I

I

:,,I

!x

3

39) Se A = {x E IR I 1 ,;;;; x < 3} ve B = {2} ento temos A X B = {(x,2) I x E A}.2 -----

A representao grfica de A X B dcomo resu Itado o conjunto de pontosdo segmento paralelo ao eixo dos x dafigura ao lado.

49) Se A = {x E R I 1 ,;;;; x ,;;;; 3} e B = {x E IR I 1 ,,;;; x ,;;;; 5} te-mos A X B = {(x, y) E R 2 I 1 ,;;;; x ,;;;; 3 e 1 ,;;;; y ,;;;; 5} representado gra-ficamente no plano cartesiano pelo conjunto de pontos de um retngulo. Note-mos que B X A = {(x, y) E R 2 I 1 ,;;;; x ,;;;; 5 e 1 ,;;;; Y ,;;;; 3} representa-do por um retngulo distinto do anterior.AXcp=0

AXB

97. Exemplosv5 -------r-----,

v BXA

19) Se A = {1, 2, 3} e B = {1, 2} temos

A X B = {(1, 1), (1, 2), (2, 1). (2,2), (3, 1), (3, 2)}

e 3 - -- - --,...----------,-

B X A = {(1, 1). (1,2), (1,3), (2,1), (2,2). (2,3)}

e as representaes no plano cartesiano so as seguintes:

29) Se A = {2, 3} ento o conjunto A X A (que tambm pode serindicado por A2 e l-se "A dois")

A X A = {(2, 2), (2,3), (3, 2), (3,3)}

2 3

2 ------.~11!!-t!~c?!.~l;l, 2)

I I I

______ ~~1_,_ ~ ~_~~~.-1j--~~, 1), I

: I, :, ,I I

-r----+---+--+----

EXERCICIOS IV. RELAO BINRIA

bl B X A

ai A X B

representar pelos elementos e pelo grfico cartesiano os seguintes produtos:

x..

B

432

A

6 - - - - - - - 0- - -(1)- - -~--, , I

,5 -------~---t---t--

, ,I '

4 - - - - - - -(1)- - -~- -0-: :

3 ---- --- --t---G-~-+--, , ,

,2 --------8--+---+--, ,, ,

, :

99. Consideremos os conjuntos A = {2, 3, 4}

e B = {2, 3, 4, 5, 6}, O produto cartesianode A por B o conjunto

A X B = {(x, y) I x E A e y E B}

formado por 3 5 = 15 elementos represen-tados na figura ao lado, Se agora considerarmoso conjunto de pares ordenados (x, y) de

A X B tais que x I y (l-se: x divisor de

Y), teremos

R = {(x, y) E A X B I xly}

= {(2, 2), (2, 4), (2, 6), (3, 3), (3, 6), (4, 4)}

que chamado relao entre os elementosde A e de B ou, mais simplesmente, uma rela-o binria de A em B.

O conjunto R est contido em A X Be formado por pares (x, y) em que o ele-mento x de A "associado" ao elemento y deB mediante um certo critrio de "relaciona-

mento" ou "correspondncia".

Ser bastante ti I a representao da rela-

o por meio de flechas, como na figura ao lado.

c) A X C

f) c2

cl B X Cf) C2

represente pelos elemen-9,

C~{-1,O,2}

A C B C C. Estabelecer as relaes de in-B, A X C, B X A, B X B, B X C, C X A,

e

bl B X Ael B2

bl A X Ce) A2

Bc{-2,1}

{11,21, (4,2)} C A2

A2

Dados os conjuntos

A c {x E IR 11

Y, ; , ~ :6 ----.---.---t--\:!J-- .. --

: : : I !5 l __ .l __ cb __ .l L_

1 , 'V I I

4 -)--4--~--~---L; : : ; :

3 ~_~--l_--~--.L_W I T I t

I I I I II I ti'

2 + __ +__ +__-+- _-t -I I I II I ' I I

---~--+--~--~--~-I ti, I

" ,:: :

Utilizaremos as seguintes nomenclaturas j consagradas

A = conjunto de partida da relao RB = conjunto de chegada ou contra-domnio da relao R.

Quando o par (x, y) pertence a relao R, escrevemos x R y (l-se: ".erre y")

Ix, yl E R ~ x R y

e se o par (x, y) no pertence a relao R escrevemos x f y (l-se: "x noerre y") 2 3 4 5 x

A B

Ix, yl ! R ~ x" y R39) Se A = {-1, O, 1, 2} quais so os elementos da relao

{(x, y) E A2 I x2 = y2}?

Fazendo a representao grfica notamos que

R = l(O, O), (1,1), (1, -1), (-1, -1), (-1,1). (2,2)}

pe-

BA

e B = {y E IR I 1 .;;; y .;;; 2}R = {(x, y) E A X B I y = x}

y

----~-----e: ', ', ,

, 2-~-----

,,,

---1- ---($)---+, ,, ,, ,, ,

-1 : : 1 : 2 x, ', "I -1 1 I

(D----- ---0---+-

49) Se A = {x E IR I 1 .;;; x .;;; 3}de-se a representao cartesiana de A X B e

101. Exemplos

19) Se A = {1, 2, 3, 4, 5} e B = {1, 2, 3, 4} quais so os elementos darelao R = {(x, y) I x < y} de A em B?

Os elementos de R so todos os pares ordenados de A X B nos quais oprimeiro elemento menor que o segundo, isto , so os pares formados pela"associao de cada elemento x E A com cada elemento de y E B tal quex < y".

Temos ento yAXB

y

R = {(1, 2), (1,3), (1,4), (2,3), (2,4), (3,4)}

29) Se A = {1, 2, 3, 4, 5} e B = {1, 2, 3, 4, 5, 6}, quais so os elemen-tos da relao binria R de A em B assim definida: x R y ~ y = x + 27

Fazem parte da relao todos os pares ordenados (x, y) tais que x E A,y E B e y = x + 2.

, ,

2 -~--------D~~, ,: :, ,, '

Utilizando as representaes grficas 3 x 3 x

66-A 67-A

EXERCICIOS 103. Exemplos

A.l00 Pede-se:

qual

x1_____

D~

A

x3

R {(2, 2). (2, 4) (2, 6), (3, 3), (3, 6). (4, 4)}O ; {2, 3, 4} Im ; {2, 3, 4, 6}

A.l05 Estabelecer o domnio e a imagem das relaes binrias do exerccio A.100.

Utilizando a representao cartesiana

A.l04 Estabelecer o domnio e a imagem das seguintes relaes:

a) {Il, 1), 11,3),12, 4)} b) {1-2, 4),1-1,1), (3, -71, (2, 1)}

c) {12, 1), 11, -3), 15, .,j2 d) {Il +..;2, ..;2), 11 -.J3, 1)}{

1 53}e) (3, 2'), ("2' -1),1"2' O)

EXERCICIOS

temos D ;{xE IR 11 ~x~2} e Im; {yE IR I 2~y~4}

B

2?) Se A; {x E IR I 1 ~ x ~ 3} e B; {y E IR I 1 ~ y ~ 4}. o domnio e a imagem da relao R; {(x, y) E A X B I y ; 2x}?

1?) Se A; {D, 2, 3, 4} e B; {1, 2, 3, 4, 5, 6} qual o domnioe a imagem da relao R; {(x, y) E A X B I Y mltiplo de x}?

Utilizando o esquema das flechas fcil perceber que O o conjunto doselementos de A dos quais partem flechase que Im o conjunto dos elementos deB aos quais chegam flechas, portanto:

b) x S y x2 = ydI x V y x + y > 2

a) x R y x + y = 2c) x T y Ixl = Iylel x W y Ix - yl2 = 1

102. Definio

Seja R uma relao de A em B.

Chama-se dominio de R o conjunto D de todos os primeiros elementosdos pares ordenados pertencente a R,

x E O ~ 3y, Y E B I (x, y) E R' I

Il enumerar pares ordenados111 representar por meio de flechas

111) fazer o grfico cartesiano

das relaes binrias de A = {-2, -1, 0,1, 2} em B = {-3, -2, -1,1,2,3, 4} de-finidas por:

V. pOMfNIO E IMAGEM

A.103 Dado o conjunto A = {m E Z I -7 ~ m < 7}. Construir O grfico cartesiano darelao binria R em A definida por:

x R y x2 + y2 = 25.

A.l0l Dado o conjunto A = {1, 2, 3, 4, 5, 6}. Enu merar os pares ordenados e constru iro grfico cartesiano da relao R em A dada por:

R = {Ix, yl E A2 I mdc Ix, y) = 2}

A.l02 Seja o conjunto A = {1, 2, 3, 4, 5, 6}. Construir o grfico cartesiano da relaoR em A definida por:

x R y

A.l07 Se R a relao binria de A ~ {x E IR I 1 ,;; x';; 6} em B {y E IR I 1 ,;; y ,;; 4definida por

xRy=x~2y

Pede-se:

a) a representao cartesiana de A X Bb) a representao cartesiana de Rc) o domnio e a imagem de R

A.l0S Se R e S so as relaes binrias de A ~ {x E;Z I -2 ,;; x ,;; 5} emB ~ {y E;z I -2 ,;; y ,;; 3} definidas por:

x R y = 2 divide Ix - y)x S y = Ix - 1)2 ~ Iy - 2)2 A B B A

Pedem-se:

a) as representaes cartesianas de R e de Sb) o domnio e a imagem 'de R e de Scl R n S.

temos R

e R-I

{(2, 3), (2, 5), (2, 7), (3, 5), (3, 7), (4, 5), (4, 7), (5, 7l.f{(3, 2), (5,2), (7, 2), (5, 3), (7, 3), (5, 4), (7, 4), (7, 5)}

VI. RELAAo INVERSA

2?) Se A = {x C IR I 1 ,;; x ,;; 4} e B = {y E IR I 2 ,;; y ,;; 8} re-presentar no plano cartesiano as relaes R {(x, y) E A X B I y = 2x} esua inversa R-I .

y

. '-----~-

---_ ..~-

104. Defi nio

Dada uma relao binria R de A em B, consideremos o conjunto

w ' = {(V, x) E B X A I (x, y) E R}Como R-I subconjunto de B X A, ento R-I uma relao binria de

B em A qual daremos o nome de relao inversa de R.

Iy, xl E R-I = (x, y) E. R

8

2

4

VII. PROPRIEDAQES

x

4

2 8 x

Decorre dessa definio que R-I o conjunto dos pares ordenados obtidosa partir dos pares ordenados de R invertendo-se a ordem dos termos em cada par.

So evidentes as seguintes propriedades

la) D(W' ) = Im(R)

Isto , o domnio de R-I igual imagem de R.

105. Exemplos

R

70-A

10) Se A = {2, 3, 4, 5} e B = {1, 3, 5, 7} quais so os elementos de{(x. y) E A X B I x < y} e de W ' ?Utilizando o esquema das flechas

2~) Im(R-I ) = D(R)

isto , a imagem de R-I igual ao domnio de R.

3a) (R-I)-I = Risto , a relao inversa de R -I a relao R.

71-A

EXERCfclOS

A.109 Enumerar os elementos de R-I, relao inversa de R, nos seguintes casos:

ai R = {(l, 2),13,1),12, 31}

b) R = {(l, -1),12, -1), (3, -1). (-2, 1)}c) R = {(-3, -2), 11,3), 1-2, -31, 13, 1)}

A.l10 Enumerar os elementos e esboar os grficos de R e R-I, . relaes binrias emA = {x E rIJ 1 x , lO}, nos seguintes casos:

ai R = {(x, y) E A2 1 x + Y = s}b) R = {Ix, y) E A2 I x + 2y = lO}cl R = {Ix, yl E A2 I y = (x - 31 2 + I}d) R = {Ix, y) E A2 I y = 2 X}

CAPTULO V

-FUNOES

I. CONCEITO DE FUNO

e as seguintes relaes binrias de A em B:

106, Vamos considerar, por exemplo, os conjuntos

A = {O, 1, 2, 3} e B = {-1, O, 1, 2, 3}

A.lll Dados os conjuntos A = {x E IR 11 ,x, 6}. B = {y E IR 12, y, lO} e as seguin-tes relaes binrias:

ai R = {Ix, y) E A X B I x = y}bl S = {(x,y)EAXB I y = 2x}c) T = {Ix, yl E A X B I y = x + 2}

d) V = {Ix, v) E A X B Ix+y=7}

pedese o grfico cartesiano dessas relaes e das respectivas relaes inversas.R = {(x, V) E A X BS = {(x, V) E A X BT = {(x, V) E A X BV = {(x, V) E A X BW = {(x, V) E A X B

V = x + 1}V2 = x2 }

V = x}Iv (x-l)2-1}I V = 2}

Analisando cada uma das relaes temos:

a) R = {(O, 1), (1, 2), (2,3)}

Para cada elemento x E A, comexceo do 3, existe um s elementoV E B tal que (x, V) E R.

Para o elemento 3 E A, no exis-te V E B tal que (3, y) E R.

b) S = {(O, O), (1, 1), (1, ~1),(2, 2), (3, 3)}

Para cada elemento x E A, comexceo do 1, existe um s elementoV E B tal que (x, V) E S. Para o elemento 1 E A existem dois elementos deB, o 1 e o -1 tais que (1, 1) E S e(1, -1) E S.

72-A 73-A

As relaes T, V, W, que apresentam a particularidade: "para todo x E Aexiste um s y E B tal que (x, y) pertence a relao", recebem o nome deaplicao de A em B ou funo definida em A com imagens em B.

f no funo.

109. Podemos verificar atravs da representao cartesiana da relao f de A em

B se f ou no funo: basta verificarmos se a reta paralela.ao eixo y conduzida pelo ponto (x, O), onde x E A, encontra sempre ogrfico de f em um sponto.

@:-----o----- - --A -----. BI no lu no

~---a-----

A "- - B

1?) se existir um elemento de Ado qual no parta flecha alguma ou

2?1 se existir um elemento de A

"""do qual partam duas ou mais flechas

108. Vejamos agora com o auxlio do esquema das flechas, que condies devesatisfazer uma relao f de A em B para ser aplicao (ou funo).

1?) necessrio que todo elemento x E A participe de pelo menos um par(x, Xl E f, isto , todo elemento de A deve servir como ponto de partida de fle-aJiJ.---.-- .. - -..'

2?) necessrio que cada elemento x E A participe de apenas um nico par(x, y) E f, isto , cada elemento de A deve servir como ponto de partida de um~nica flecha.

Uma relao f, no aplicao (ou funo) se no satisfazer uma das condices acima isto ,

110. Exemplos

d) V = {(O, O), (1, -1), (2, O), (3, 3)}

c) T = {(O, O), (1, 1), (2, 2), (3, 3)}

Para todo elemento x E A, semexceo, existe um s elemento y E Btal que (x, y) E V.

e) W = {(O, 2), (1,2), (2, 2), (3, 2)}

Para todo elemento x E A, semexceo, existe um s elemento y E Btal que (x, y) E W.

Para todo elemento x E A, semexceo, existe um s elemento y E Btal que (x, y) E T.

11. DEFINI(

107, Dados dois conjuntos A e Bi '), no vazios, uma relao f de A em Brecebe o nome de aplicao de A em B ou funo definida em A com imagensem B se, e somente se, para todo x E A existe um s y E B tal que (x, y) E f.

1?) A relao f de A em IR, com

A ~ {x E IR I ..1 < x < 3},representada ao lado funo, pois todareta vertical conduzida pelos pontos deabscissa x E A encontra sempre o gr-fico de f num s ponto. x

f aplicao de A em B (\Ix E A, 31 y E B I (x, yl E f)

(li) Em todo o nosso estudo de funes, fica estabelecido que A e 8 so conjuntos forma-dos de nmeros reais, isto , A e B contidos em IR.

2?) A relao f de A em IR repre-sentada ao lado, onde

A = {x E IR I -2 < x < 2}no funo, pois h retas verticais queencontram o grfico de f em dois pon-tos.

-2 2 x

74-A 75-A

A.114 Quais das relaes de IR em IR cujos grficos aparecem abaixo, so funes? Justificar.3?) A relao f de A em IR, re-presentada ao lado, onde

A ~ {x E IR I O .;; x .;; 4}

no funo de A em IR pois a retavertical conduzida pelo ponto (1, O) noencontra o grfico de f. Observemos quef funo de B em IR onde

B ~ {x E IR I 2 .;; x .;; 4}.

y

2 3 x

aiI"

1..-

1/1..-

1..-

1.11.1

1.1 xG

1.1

bly

...1-...I\. x,...

r--,...

c)

Iv

I, 1/I' 1..-

I' 1/ xI' 1/

EXERC(CIOS

fiIv

x

e)

Iv

V

I~ x1/

1.)

di

Iv

1\ I1-.1\ 1I

1\x

B(blABlalA

A.112 Estabelecer se cada um dos esquemas das relaes abaixo define ou no uma funode A = {-1. 0,1, 2} em B = {-2, -1, 0,1,2, 3}. Justificar.

R

A.113 Quais dos esquemas abaixo definem uma funo de A = {O, 1. 2} em B = {-1, 0, 1, 2}? 111. NOTAO DAS FUNES

111. Toda funo uma relao binria de A em B, portanto, toda funo um conjunto de pares ordenados.

Geralmente, existe uma sentena aberta y ~ f(x) que expressa a lei me-diante a qual, dado x E A, determina-se y E B tal que (x, y) E f, entof ~ {(x, y) I x E A, y E B e y = f(x)}.

Isto significa que, dados os conjuntos A e B, a funo f tem a lei decorre~pondncia y = f(x).

Para indicarmos uma funo f, definida em A com imagens em B se-gundo a lei de correspondncia y = f(x), usaremos uma das seguintes notaes

f: A - Bx ...---- f(x) ou

A -.!..,. Bx ..-.. f(x)

76-A 77-A

112. ExemplosEXERCICIOS

19) f: A __ B

x ~ 2x

uma funo que associa a cada x de A um y de B tal que y; 2x.

A.115 Oual a notao das seguintes funes de IR em IR?

a) f associa cada nmero real ao seu opostob) 9 associa cada n.nl"ero real ao seu cubod h associa cada nmero real ao seu quadrado menos 1d) k associa cada nmero real ao nmero 2

29) f: IR ~ IRx f------* x2

uma funo que leva a cada x de IR um y de IR tal que y ~ x2

39) f: IR+ ~ IRx ~ y-;

A.116 Oual a notao das seguintes funes?

aI f funo de

A.121 Seja a funo f de IR - {1} em IR definida por Hxl -~ Oual o elemento- x - 1 . Notemos, que, feita a representao cartesiana da funo f, temos:do domlnio que tem imagem 27

A.122 Ouais so os valores do domlnio da funo real definida por f(x) = x2 - 5x + 9 queproduzem imagem igual a 37

Dominio

(O) O conjunto das abscissas dos pontos tais que as retas verticais condu-zidas por esses pontos interceptam o grfico de f, isto , o conjunto formadopor todas as abscissas dos pontos do grfico de f.

IV. OOMfNIO E IMAGEM

Imagem

(I m) o conjunto das ordenadas dos pontos tais que as retas horizontaisconduzidas por esses pontos interceptam o grfico de f, isto , o conjunto for-mado por todas as ordenadas dos pontos do grfico de f.

115. Definio 116. Exemplos

Considerando que toda funo f de A em B uma relao binria, entof tem um dominio e uma imagem.

Chamamos de dominio o conjunto O dos elementos x E A para os quaisexiste y E B tal que (x, y) E f. Como, pela definio de funo, todo elementode A tem essa propriedade, temos nas funes:

domrnio = conjunto de partida

y

x

-2 o x

para os quais O {x E IR -2 .;;; x .;;; 1} O = {x E IR -2 .;;; x .;;; 3}

Im {y E IR O';;; y .;;; 4} Im = {y E IR -1 .;;; y .;;; 4}

3?) y 4?) y

er----. .L......-, , : :, : 1 : :,

x -2 -1 2 x

-2

O {x E IR I x *- O} O {x E IR I -2 < x < 2}Im {y E IR I -2 < y < O Im {1, 2}

ou 1 < y < 2}

81-A

contra-domfnio

Im C B

domfnio

8o-A

isto ,0= A.

Chamamos de imagem o conjunto Im dos elementos y E Bexiste x E A tal que (x, y) E f, portanto:

imagem subconjunto do contradomrnio

isto ,

117. As funes que apresentam maior interesse na Matemtica so as fune~numricas, isto , aquelas em que o domnio A e o contradomnio B so subcon-juntos de R. As funes numricas so tambm chamadas funes reais de vari-

vel real.

Observemos que uma funo f fica completamente definida quando sodados o seu domnio D, o seu contradomnio e a lei de correspondencia y= f(x).

Quando nos referirmos funo f e dermos apenas a sentena abertay = f(x) que a define, subentendemos que D o conjunto dos nmeros reais xcujas imagens pela aplicao f so nmeros reais, isto :

x E D

A.125 Considerando que os grficos abaixo so grficos de funes, estabelecer o domni(e a imagem.

i?) As funes f(x) ~ fi e g(x)fi ~ Ixl, vxE IR.

3 - 1 ~ 2 e g(3) ~

120. Exemplos

2

1 - 1--~O1 + 1

4 - 12 + 1

9 - 1

3+1

x2 - 1X+1

Ixl de R em R so iguais, pois

e g(2)

{-2,-1,O,l,2} entoasfunesde A

o e g(l)

x - 1 e g(x)

- 1

2 - 1

x 3 === f(3)

x ~ 2 === f(2)

f(x)

x ~ 1 = f(l)

so iguais, pois

1?) Se A ~ {1, 2, 3} e B

em B definidas por:) lvf-I--

f-7~ 1/ '/ l/V V 1/

x

I ly1/1'\

1/ 1\

i\ 11 x

I'l..I

d

eI- r-r-r-

y

KJ'\

I'. xI'\.

I',

\ Y ! I'f-1--1----+-1-

I-

I--

,x

L_~__

a

b

~7 Sejam as funes f, 9 e h de IR em IR definidas por flx) x3 g(yl ~ y3 e. h( z) = z3. Quais delas so iguais entre si?

c I y

!"\1/ I'

lI'I'\.

x

I y

x

3 1} em IR. definidas por:/

V. FUNES IGUAIS

A.126 Dar o domnio das seguintes funes reais:

ai f(xl = 3x + 2 bl g(x)1

x - 1x + 2

c) h(x) =x2 - 4

d) p(x) = .,;x-:l

e) q(x)1 v;:;2

=~

t) r(x) =x - 2

gl s(xl=~ h) t(xl =1

ulxl =lf;+2 ~2x + 3

i)x - 3

119. Definio

A

Duas funes, f de A em B e 9 de C em D so iguais se, e somente se,C, B ~ D e f(x) ~ g(x) para todo x E A.

f: IR ----> IR Jo.o-.--+. + 1

e g: IR - {1}

---> IRf-----+ .2 - 1

- 1

so iguais? Justificar.

84-A (85-A

APl:NDICE SOBRE INEQUAES

Vamos ver aqui algumas tcnicas teis para os prximos captulos.

121. Definio

Sejam as funes f(x) e g(x) cujos domnios so respectivamente Dl C IRe D2 C IR. Chamamos inequao na incgnita x, a qualquer uma das sentenasabertas, abaixo:

f(x) > g(x)f(x) < g(x)f( x) ;;. g( x)f(x} ,,;;; g(x}

Exemplos

, 1~) 2x - 4 > x uma inequao onde f(x) ; 2x - 4 e g(x); x.

2c:') 3x - 5 < 2 uma inequao onde f(x) ; 3x - 5 e g(x); 2.

123. Soluo

o nmero real Xo soluo da inequao f(x) > g(

volume 1 conjuntos e funções

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