Conjuntos e FunesIvan Eugnio da Cunha1 de Janeiro de 2011

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Contedo Captulo I Conjuntos e Relaes ........................................................................ 51 Noes Elementares Sobre Conjuntos .............................................................. 5 1.1 1.2 1.3 1.4 1.5 1.6 1.7 1.8 1.9 1.10 1.11 Conjunto e elemento ......................................................................................... 5 Pertinncia ........................................................................................................... 5 Representao ..................................................................................................... 5 Conjunto unitrio e vazio ............................................................................... 6 Conjunto universo ............................................................................................. 7 Subconjuntos e igualdade entre conjuntos ............................................ 7 Unio e interseco ........................................................................................... 9 Diferena e complementar ........................................................................... 14 Conjunto das partes e partio de conjuntos ...................................... 18 Diferena simtrica..................................................................................... 20 Generalizaes .............................................................................................. 21

Exerccios I 1..................................................................................................................... 24 2 Pares Ordenados e Produto Cartesiano......................................................... 26 2.1 2.2 Par ordenado ..................................................................................................... 26 Produto cartesiano.......................................................................................... 27

Exerccios I 2..................................................................................................................... 29 3 Noo de Cardinalidade ........................................................................................ 30 3.1 3.2 Cardinalidade de alguns conjuntos finitos ........................................... 30 Alguns exemplos ............................................................................................... 31

Exerccios I 3..................................................................................................................... 34 4 Relaes ....................................................................................................................... 35 4.1 4.2 4.3 4.4 4.5 Plano cartesiano............................................................................................... 36 Relaes binrias ............................................................................................. 37 Funes ................................................................................................................ 40 Relaes de equivalncia.............................................................................. 42 Relaes de ordem total ................................................................................ 45

Exerccios I 4..................................................................................................................... 48

Captulo II Funes e Estruturas ................................................................... 511 Caractersticas Gerais ........................................................................................... 51 1.1 Definio de funo e notao ................................................................... 51

2 1.2 1.3 1.4 Igualdade entre funes................................................................................ 51 Unio de funes .............................................................................................. 53 Imagens e pr-imagens de funes ........................................................... 55

Exerccios II 1 ................................................................................................................... 60 2 Funes Injetoras, Sobrejetoras e Bijetoras ................................................ 62 2.1 Definies ............................................................................................................ 62

2.2 Imagens e pr-imagens de injees, sobrejees e bijees; funo inversa. ................................................................................................................. 64 Exerccios II 2 ................................................................................................................... 66 3 Conjuntos Indexados e Generalizaes .......................................................... 67 3.1 3.2 Conjuntos indexados ...................................................................................... 67 Generalizaes .................................................................................................. 69

Exerccios II 3 ................................................................................................................... 73 4 Produtos Cartesianos: Caso Geral .................................................................... 74 4.1 4.2 O Axioma da Escolha ...................................................................................... 74 Generalizao do produto cartesiano ..................................................... 75

Exerccios II 4 ................................................................................................................... 79 5 Operaes Unrias e Binrias; Estruturas Algbricas Bsicas ........... 80 5.1 5.2 5.3 5.4 5.5 Operaes e Relaes ..................................................................................... 80 Comutatividade, associatividade e distributividade........................ 80 Grupos .................................................................................................................. 82 Anis ...................................................................................................................... 86 Corpos ................................................................................................................... 86

Exerccios II 5 ................................................................................................................... 91 6 Composio de Funes; Mais Sobre Grupos .............................................. 92 6.1 6.2 6.3 6.4 Composio de funes ................................................................................. 92 Morfismos de grupos ...................................................................................... 97 Grupo de permutaes................................................................................... 99 Grupos diedrais .............................................................................................. 101

Exerccios II 6 ................................................................................................................. 106

Captulo III Conjuntos Numricos............................................................... 1081 Conjunto dos Naturais ......................................................................................... 108 1.1 1.2 Axiomas de Peano .......................................................................................... 108 Soma e produto de nmeros naturais ................................................... 110

3 1.3 1.4 1.5 1.6 Relao de ordem em ............................................................................... 112

Potncia de nmeros naturais ................................................................. 116 Somatrio e produtrio ............................................................................... 117 Teorema Binomial de Newton .................................................................. 129

Exerccios III 1 ............................................................................................................... 133 2 Conjuntos Finitos e Infinitos; Aritmtica de Cardinais ........................ 136 2.1 2.2 2.3 2.4 2.5 2.6 2.7 2.8 Conjuntos finitos ............................................................................................ 136 Conjuntos infinitos........................................................................................ 140 Conjuntos enumerveis............................................................................... 142 Equipotncia de conjuntos ........................................................................ 144 Nmeros cardinais ........................................................................................ 145 Ordenao de nmeros cardinais ........................................................... 146 Cardinais finitos ............................................................................................. 151 Aritmtica de cardinais ............................................................................... 153

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Captulo I Conjuntos e RelaesA noo de conjunto uma das mais fundamentais da matemtica, pois (quase) toda a matemtica construda com base no conceito de conjunto e suas propriedades. Nessa parte do texto sero apresentados alguns rudimentos da Teoria Ingnua dos Conjuntos e o que se denominam relaes binrias, que desempenham papel significativo na matemtica (inclusive na construo de conjuntos).

1 Noes Elementares Sobre Conjuntos1.1 Conjunto e elemento As noes de conjunto e elemento so primitivas, ou seja, no so definidas, mas temos uma noo intuitiva. Um conjunto, intuitivamente, um agrupamento de objetos (de qualquer natureza), esses chamados de elementos. Para a representao, se usa comumente letras maisculas para indicar conjuntos (por exemplo, conjunto ) e letras minsculas para indicar elementos (por exemplo, elemento ). 1.2 Pertinncia Outra noo primitiva a de pertinncia, que faz a relao entre elementos e conjuntos. Para indicar que um elemento pertence a um conjunto, se usa o smbolo . Por exemplo, dado um conjunto , para indicar que um elemento pertence a , se escreve . Tambm se pode indicar que um determinado elemento no pertence a um dado conjunto . Para isso, usa-se a indicao e, assim, se escreve para indicar que no pertence. interessante notar que, como um elemento de um conjunto pode ser qualquer objeto, pode-se ter que um conjunto pertena a outro. Ou seja, podemos ter conjuntos cujos elementos tambm so conjuntos. Normalmente esses conjuntos, quando explicitado que se trata de conjuntos formados de conjuntos, so chamados de famlias de conjuntos ou colees de conjuntos. 1.3 Representao A representao de um conjunto pode ser feita de diversas maneiras. Uma forma que, em vezes, conveniente consiste em simplesmente explicitar os elementos do conjunto. Ou seja, sendo um conjunto e , e seus elementos (por exemplo), escrever: = , ,

A utilizao de chaves ao incio e fim da listagem de elementos, alm da utilizao de vrgula para a separao desses, uma conveno e ser adotada nesse texto.

6 Quando o conjunto infinito, pode-se representar na forma de listagem, mas apresentando alguns elementos que tornem evidente qual conjunto se est tratando e acrescentando reticncias no final da listagem. Por exemplo, podemos escrever o conjunto dos naturais como sendo = 1,2,3,4, . Mas as reticncias tambm podem ser usadas em conjuntos finitos, bastando que, aps as reticncias, se indique o ltimo elemento. Por exemplo, o conjunto dos quinhentos primeiros nmeros naturais pode ser dado por = 1,2,3, ,500 .

Outra forma de representar um conjunto destacando alguma propriedade que caracterize esse. Ou seja, sendo um conjunto e uma propriedade exclusiva dos elementos desse conjunto, representar por: = |

L-se Conjunto dos elementos tal que possui a propriedade (a barra vertical, |, lida como tal que). interessante ressaltar que a propriedade pode, na verdade, ser uma combinao de propriedades. Por exemplo, podemos dizer que o conjunto formado pelos nmeros naturais pares menores que 100 ( = | < 100 ) Uma terceira forma de representar um conjunto atravs do diagrama de Euler-Venn. Essa representao consiste em representar o conjunto como sendo um crculo onde se coloca o elemento dentro do crculo para dizer que ele pertence ao conjunto ou fora, caso o elemento no pertena ao conjunto. No exemplo abaixo, os elementos e pertencem ao conjunto ( , ) enquanto o no pertence ( ):

.

Uma ltima observao a ser feita que a notao , 1.4 Conjunto unitrio e vazio

significa

e

Definio 1.4.1: Um conjunto dito unitrio se possui um nico elemento. Ou seja, se unitrio e , , ento = . unitrio. A saber, o conjunto soluo, , = .

Exemplo 1.4.1: O conjunto formado pelas solues da equao 2 + 3 = 0

Definio 1.4.2: O conjunto vazio aquele que no possui elementos.

7 Mais comumente, o conjunto definido acima representado pelo smbolo , mas tambm pode ser representado por . Esse conjunto pode aparecer quando a propriedade dada ao conjunto logicamente falsa. Por exemplo, o conjunto dos nmeros reais tais que ( = | ) o conjunto vazio, pois nenhum nmero real satisfaz essa condio. 1.5 Conjunto universo Em geral, no desenvolver de certos assuntos em matemtica, admite-se a existncia de um conjunto universo (genericamente representado por ). Tal o conjunto ao qual pertencem todos os elementos envolvidos no assunto. Por exemplo, se a soluo que se procura para um problema um nmero real, o conjunto universo adotado o dos nmeros reais (tal situao ser muito comum nesse texto). 1.6 Subconjuntos e igualdade entre conjuntos Definio 1.6.1: Um conjunto dito ser subconjunto de um conjunto se todos os elementos de forem tambm elementos de . Ou seja, para todo , (o smbolo se l implica). Com mesmo significado tambm se diz que est includo em ou que parte de . Representamos a implicao dada simplesmente escrevendo . Tambm comum a utilizao da notao , que ser esclarecida logo abaixo.

Uma forma equivalente de apresentar essa definio dizendo que uma incluso prpria quando, para todo , , mas existe algum tal que , onde o smbolo significa no implica. Ou seja, existe algum que pertence a , mas no a .

Definio 1.6.2: Se , mas existe algum tal que e , a incluso prpria (podemos reescrever isso como | , onde se l existe algum). Diz-se, ento, que um subconjunto prprio de (ou parte prpria de ).

Definio 1.6.3: O caso oposto, quando se tem e todos os elementos de pertencem a , ou seja, para todo , , o que define a igualdade entre dois conjuntos (o smbolo uma composio da implicao com a e pode ser lido como equivalente, se, e somente se, ou condio necessria e suficiente). Quando a condio , para todo , satisfeita, se escreve = .

Agora se pode entender as duas notaes usadas: em alguns textos, se usa a notao exclusivamente quando um subconjunto prprio de e quando se admite a possibilidade de = ( uma notao anloga ao de nos nmeros reais quando se quer dizer que menor ou igual a ). Mas aqui usaremos a notao mesmo que exista a possibilidade de = . Quando for subconjunto prprio de , exclusivamente, tal fato ser explicitado. Abaixo est a representao diagramtica do que foi discutido.

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Observao: Na esquerda, est, na verdade, representada a incluso prpria e na direita a igualdade entre conjuntos. De forma geral, quando , pode ocorrer uma (e, claro, apenas uma) das duas situaes. Exemplo 1.6.1: Sendo o conjunto = , , , 1,2,3 e , pois cada elemento de tambm elemento de . = 1, , 3 , temos

Exerccio 1.6.1: Dado = , , e = , , , mostre que = . Veja que, de forma geral, a igualdade entre conjuntos no depende da ordem em que so listados os elementos. = Exerccio 1.6.2: Se um conjunto dado por = , , e dado por , , , , , , , podemos dizer que = ? SUGESTO: Use a Definio 1.6.3.

Existem tambm as relaes de negao referentes s definies apresentadas. Dizemos que um conjunto no subconjunto do conjunto , e denotamos isso por , quando existe algum tal que . Perceba que isso a negao da afirmao para todo . No estamos dizendo que nenhum elemento de pertena a , mas sim que, para algum , . Ou seja, deve existir algum elemento de que no pertence a . Uma observao geral que, muito comumente, se se tem um smbolo para representar uma afirmao (como o para indicar implicao), a negao dada pelo mesmo smbolo acrescentando um corte (como j ocorreu vrias vezes nesse texto e, para completar o exemplo, representamos no implica por ).

Para a igualdade, dizer que um conjunto diferente de um conjunto (denotamos ) equivalente a dizer que existe algum elemento de que no pertence a ou que existe algum elemento de que no pertence a . Aqui temos a situao onde h um ou inclusivo. Isso quer dizer que no necessariamente uma ou

9 (exclusivo) outra afirmao deva ser verdadeira. Se ambas as afirmaes forem verdadeiras tambm se diz que diferente de (como intuitivo). Tambm possvel ver que isso a negao da definio de igualdade apresentada. o mesmo que dizer que, para algum , . Perceba que a dupla implicao a composio de duas implicaes ( e ) e, dessa forma, basta que uma das implicaes seja falsa para a dupla implicao ser falsa. Assim, se , uma das seguintes situaes acontece: 1) Para algum , e, para todo , 1.6.2, essa seria uma incluso prpria de em ) 2) Para algum , e, para todo , 1.6.2, essa seria uma incluso prpria de em ) 3) Para algum , e, para algum , so subconjuntos um do outro). = (pela definio (pela definio (nem nem

Exemplo 1.6.2: Sendo = , , , 1 e 1 . Tambm se tem que 2 , mas 2 . Teorema 1.6.1:

, , ,2 ,

, pois 1 , mas

Listemos algumas propriedades da incluso em forma de teoremas. Usaremos conjuntos arbitrrios , e .

Demonstrao: A demonstrao anti-intuitiva, pois parte de uma propriedade lgica no muito comum. Pela definio, equivalente a para todo . Assim, devemos mostrar que essa implicao verdadeira quando = . Ou seja, mostrar que, para todo , . De fato a implicao verdadeira, pois falso para todo (afinal, o conjunto vazio no possui elementos), mas pode ser verdadeiro ou falso. Isso fica mais claro quando escrevemos, de forma equivalente, que, para todo , (tal implicao, de forma geral, intuitiva, pois, se , um elemento que no pertena a no pode pertencer a ). Como se pode ver, a implicao verdadeira. Isso mostra que qualquer conjunto possui como subconjunto o conjunto vazio. QED (propriedade reflexiva) e e ) ) A=B (anti-simetria)

Teorema 1.6.4: (

Teorema 1.6.3: (

Teorema 1.6.2:

(transitividade)

Exerccio 1.6.3: Demonstre esses ltimos trs teoremas.

1.7 Unio e interseco Para os conjuntos, so, inicialmente, definidas duas operaes: unio e interseco.

10 Definio 1.7.1: Dado um conjunto universo notao indica que e ), a unio entre e definida por: = | e sendo , , denotada por (essa ,

Uma observao que deve ser feita que o ou dessa definio inclusivo. Isso quer dizer que, se pertence a e simultaneamente, ele ainda pertence unio. Ou seja, no se exclui os casos em que ambas as afirmaes so verdadeiras (a de que e a de que ).

Definio 1.7.2: Dado um conjunto universo interseco entre e , denotada por , definida por: = |

e sendo

,

, a

Deve-se perceber que, nesse caso, o elemento deve, para ser um elemento da interseco, pertencer simultaneamente a ambos os conjuntos.

Abaixo so apresentadas as principais propriedades dessas operaes. Tambm so apresentadas algumas representaes na forma de diagramas de Euler-Venn, para tornar algumas propriedades mais claras. Teorema 1.7.1: A unio e interseco so comutativas. Ou seja, = Demonstrao: Tomando a definio: = | = | = =

e

QED

Teorema 1.7.2: A unio e a interseco possuem propriedade associativa. Ou seja, ) = )e ) = ) quaisquer que sejam , , .

11 Demonstrao: Pela definio: ) = = = =

| | |

)

QED

Teorema 1.7.3: A unio e a interseco so operaes fechadas. Ou seja, o conjunto resultante ainda um subconjunto do conjunto universo. De forma equivalente, , ).

Demonstrao: O resultado imediato, pois todos os elementos dos conjuntos usados pertencem ao conjunto universo. Dessa forma, os elementos do conjunto dado pela unio ou interseco de subconjuntos de ainda sero elementos de . QED Teorema 1.7.4: A unio e interseco so operaes idempotentes. Ou seja, = e = . Demonstrao: Pela definio: = | = | =

QED

Teorema 1.7.5: As seguintes equivalncias so verdadeiras: Demonstrao: Pela definio de incluso, para todo , . Dessa forma = | = | = . Reciprocamente, se = , suponhamos por absurdo que no seja subconjunto de . Assim, existe pertencente a tal que no pertence a , mas isso leva a um absurdo, pois = | = | . Ou seja, o mencionado tem que pertencer a . QED = =

Teorema 1.7.6: Dados verdadeiras:

e

quaisquer, as seguintes afirmaes so

12 , ,

Demonstrao: Basta mostrar que , pois os conjuntos so arbitrrios. Pela definio, = | . Dessa forma, para todo , , que, pela definio de subconjunto, o mesmo que dizer que . QED Teorema 1.7.7: O conjunto vazio o elemento neutro da unio e o elemento nulo da interseco. Ou seja, = e = . Tambm se tem que o conjunto universo o elemento neutro da interseco, ou, de forma equivalente, = .

Demonstrao: Usemos alguns resultados j demonstrados. Qualquer que seja , (Teorema 1.6.1) e, pelo Teorema 1.7.5, = , demonstrando o resultado. QED

Teorema 1.7.8: A unio distributiva em relao interseco e a interseco distributiva em relao unio. Isso quer dizer que, quaisquer que sejam , , , )= ) )e )= ) ). Demonstrao: Pela definio: )= = = = = | | | ) | ) ) | | ) )

QED

13

Por fim, listemos as propriedades apresentadas: 1) 2) 3) 4) 5) 6) 7) 8)

= e = (comutativa) ) = )e ) = ) (associativa) , ) (fecho) = e = (idempotncia) = = , e , = , = e = (elementos neutros e nulos). )= ) )e )= ) ) (distributiva)

Essas propriedades so bsicas e importante que se tenha familiaridade com elas. Exerccio 1.7.1: Os teoremas acima foram demonstrados apenas para a unio. Faa as demonstraes que faltam (referentes interseco). Faa tambm a representao dessas propriedades na forma de diagramas de Euler-Venn quando no for uma propriedade imediata. Exerccio 1.7.2: Demonstre os seguintes apresentados acima: ) = e ) = . corolrios dos teoremas

Definio 1.7.3: Se e so conjuntos quaisquer e = , e so ditos conjuntos disjuntos. Quando isso ocorre, a unio chamada de unio disjunta. No decorrer do texto ser dito algumas vezes que certas unies so disjuntas, mas no se estar, em geral, acrescentando uma propriedade unio e sim ressaltando a propriedade referida acima.

14 Exerccio 1.7.3: Mostre que a definio acima para conjuntos disjuntos equivalente a e so disjuntos se, e somente se, para todo , . Justifique porque no necessrio impor que, para todo , . Definio 1.8.1: Dados , ( o conjunto universo), a diferena entre e , denotada por (l-se menos ) ou \ , o conjunto dado por: = | 1.8 Diferena e complementar

Essa definio concorda com a noo intuitiva de diferena, pois se est subtraindo de os elementos que pertencem a . Mas se deve perceber que os elementos de que no pertencem a no interferem na diferena. Por exemplo, se = 1,2,3,4 e = 3,4,5,6,7,8 , = 1,2 . Teorema 1.8.1: Dado um conjunto universo e , , )= ) | ) , tem-se que:

Demonstrao: = = = =

| | | ) )

)=

QED

|

15 Corolrio: )=

Teorema 1.8.2: Dado

um conjunto universo e , , )= ) | )

, tem-se que:

Demonstrao: = = = =

| | | ) )

)=

) |

QED

A parte que pode ser confusa na demonstrao a passagem da segunda para a terceira linha. Perceba que no pertencer interseco significa que ele no pertence a e simultaneamente. A condio nos diz que, lembrando que se trata de um ou inclusivo, ou pertence a , mas no a , ou pertence a , mas no a , ou no pertence nem a nem a . De forma mais sucinta, dado um , existem as trs possibilidades seguintes: , ou . Isso o mesmo que dizer que o elemento no pertence interseco (que a nica possibilidade que no pode acontecer, a saber, ). Corolrio: Teorema 1.8.3: conjunto universo. Teorema 1.8.4: conjunto universo. )= ) = ) ), com , , e sendo o

)

=

)

), com , ,

e

sendo o

Exerccio 1.8.1: Demonstre esses dois ltimos teoremas. Faa tambm as representaes diagramticas.

16 Exerccio 1.8.2: Mostre que )= .

Definio 1.8.2: Se , o conjunto em relao a . Tal conjunto denotado por: =

chamado de complemento de

A noo de complemento s faz sentido se um conjunto for parte de outro, como se pode ver na condio de que . Vemos que o complemento o conjunto de todos os elementos de que no pertencem a (diagrama abaixo).

Quando se tem um conjunto universo e se quer o complementar de um conjunto em relao a , a notao usada : Algumas propriedades elementares da complementao so apresentadas abaixo tomando , . Existem as propriedades que podem ser generalizadas e isso ser feito mais adiante. Demonstrao: = Teorema 1.8.5: ) ) =e = | ) = | que = =

Perceba que a concluso foi devida ao fato de no poder existir pertena a e, ao mesmo tempo, no pertena a . Exerccio 1.8.3: Demonstre que =e = = | ) = . =

|

=

QED

Demonstrao:

Teorema 1.8.6:

Demonstrao: = =

Teorema 1.8.7:

Exerccio 1.8.4: Demonstre que = . )= )= |

QED

| |

=

17 QED

O resultado intuitivo, pois o complemento de em relao a ) so todos os elementos de que no pertencem a e o complemento do complemento de em relao a ( )) so todos os elementos de que no pertencem ao complemento de . Isto , o prprio . Demonstrao: Por definio, )= )= Teorema 1.8.8: )= ) . .

1.8.2:

)=

)

). Usando o Teorema ) )

)

)=

QED

Exerccio 1.8.5: Demonstre esse teorema e represente em forma de diagrama. SUGESTO: Use o Teorema 1.8.1. Teorema 1.8.10: Sendo , , = =

Teorema 1.8.9:

)=

)

)

Demonstrao: Usando o Exerccio 1.8.2, temos que )= = = . Exerccio 1.8.6: Mostre que, se e somente se, .

, ento essa uma incluso prpria se,

QED

18 Pode-se tambm apresentar as mesmas propriedades quando o complemento em relao a um conjunto universo. Como j dito, nesse caso, a notao usada = = , com . Assim, as propriedades tomam a forma: 1) 2) 3) 4) 5) =e =e = ) = ) = ) = =

As demonstraes j foram realizadas, pois um caso particular do que j foi tratado (apenas usando o prprio como subconjunto de ). As propriedades 4 e 5 listadas so chamadas de regras de De Morgan (Augustus De Morgan) e uma generalizao delas ser feita mais adiante. 1.9 Conjunto das partes e partio de conjuntos Definio 1.9.1: Dado um conjunto , chamamos de conjunto das partes de , denotado por ), o conjunto formado por todos os subconjuntos de . Ou seja: )= Exemplo 1.9.1: Dado = , , ento , , , , , pois esses ) so todos os subconjuntos que podem ser extrados de . Tambm se diz que a coleo de todos os subconjuntos de . Antes de passar a definio de partio, interessante que sejam definidos os operadores grandes de unio e interseco. Definio 1.9.2: = = )= |

s est bem definido se Essa definio uma recorrncia. Mas est bem definido. Ou seja, para se usar = , deve-se saber o que . No final das contas, essa definio nos permite escrever a unio de conjuntos de forma mais compacta. Se continuarmos a recorrncia at 1) = 1, obteremos o seguinte resultado: =

19 Uma observao a ser feita que os conjuntos , ,, no so necessariamente iguais. No se usou diferentes letras para distingui-los, mas a distino foi dada pelos ndices 1,2, . . . , . Exemplo 1.9.2: Seja desses conjuntos : = , , , = , 1,2 e = , , , , . A unio

= Definio 1.9.3:

=

, , , 1,2, , ,

= =

A discusso desse operador inteiramente anloga a do anterior. Apenas repitamos a seguinte observao: =

Exemplo 1.9.3: Usando os mesmos conjuntos = =

,

e

do Exemplo 1.9.2:

qualquer nmero natural de 1 at (sendo o nmero de elementos de forma, ndices diferentes indicam elementos distintos de .

Antes da definio, convencionemos que os elementos do conjunto , que vamos definir, so chamados de (eventualmente ) com (ou ) podendo ser ). Dessa

Observao importante: Ser visto no captulo seguinte que existe a possibilidade de ndices distintos corresponderem a um mesmo elemento do conjunto. Ento convencionaremos que ser admitida a possibilidade de ndices distintos referirem a elementos iguais somente quando chamarmos o conjunto de famlia (famlia de elementos ou famlia de conjuntos). Definio 1.9.4: Uma partio de um conjunto formado de subconjuntos no vazios de tal que as seguintes propriedades sejam satisfeitas: a) Se , e , ento = . =

b) Sendo .

o nmero de subconjuntos de

que existem na partio

,

20 Alguns comentrios podem tornar a definio mais clara. A primeira condio diz que, dados dois elementos (subconjuntos de ) quaisquer que pertenam partio , se no se trata do mesmo elemento (que o significado de ), ento esses elementos so disjuntos. Ou seja, um elemento de disjunto de todos os outros elementos de (diz-se que os elementos so disjuntos aos pares). A segunda condio simplesmente afirma que a unio (disjunta) de todos os elementos de resulta no prprio . Perceba que uma partio de divide (particiona) em uma coleo de ) e que subconjuntos disjuntos uns dos outros. Observemos tambm que essa incluso prpria. Abaixo est apresentado o diagrama de uma possvel partio de .

Exemplo 1.9.4: Dado Mas tambm poderia ser = , , ,

so parties de .

=

=

, , ,

,

, uma partio possvel . No entanto nem

=

=

,

,

,

. nem

Exerccio 1.9.1 (importante): Se uma coleo de subconjuntos de , , possui a propriedade: para cada , pertence a um, e somente um, , mostre que uma partio de . Mostre tambm que h recproca. Ou seja, que, se uma partio de (pela definio 1.9.4), possui a propriedade apresentada na primeira parte desse exerccio. Observao: Cada elemento de notado por , com as mesmas convenes prvias adotadas para . Definio 1.10.1: Dados , , a diferena simtrica entre simbolizada por , o conjunto dado por: De forma equivalente: = = | . 1.10 Diferena simtrica

e

,

Isto , a unio dos conjuntos, mas tirando os elementos da interseco.

21 Exerccio 1.10.1: Mostre que equivalente para a diferena simtrica. = ) ) uma definio

Abaixo esto listadas as principais propriedades da diferena simtrica tomando como conjunto universo e , e conjuntos arbitrrios. As demonstraes delas so deixadas como exerccio. Teorema 1.10.1: = (comutatividade) Teorema 1.10.3: = Teorema 1.10.2: ) = (elemento neutro) ) (associatividade)

Teorema 1.10.5: ) = ) interseco em relao diferena simtrica) Teorema 1.10.6: )

Teorema 1.10.4: =

Exerccio 1.10.2: Demonstre os teoremas acima. Represente os diagramas correspondentes. SUGESTO: Leia a estratgia apresentada na subseco seguinte para demonstrar igualdades entre conjuntos. 1.11 Generalizaes

)

) (distributividade da

Teorema 1.11.1 (1.8.1): Seja um conjunto e uma famlia arbitrria (qualquer) de conjuntos , com podendo tomar valores naturais de 1 at , ou seja, existem conjuntos na famlia (o ndice faz a distino entre os conjuntos). Ento: = )

Agora generalizaremos alguns teoremas apresentados durante essa seco. A indicao entre parnteses no incio de cada teorema ser referente ao teorema que se est generalizando.

), ento Demonstrao: Se , afinal, pertence a tirando os elementos de todos os . Assim, tambm se conclui que para todo de 1 at (se no pertence unio dos conjuntos, no pertence a nenhum conjunto da unio). Mas pertence a e, assim, sempre temos que ) para qualquer de 1 at . Se isso acontece, pertence interseco de todos os conjuntos ), pois pertence a cada um desses conjuntos. Conclumos, ento, ), ento que )). Ou seja, se )). Mas isso no prova a igualdade, o que acabamos de mostrar que ), como se pode ver pela definio de subconjunto.

Mostremos agora a recproca. Se )), ento no pertence a nenhum conjunto , pois, se pertencesse existiria tal que e, ento, no

22 pertenceria a para esse em particular, o que levaria a concluir que no pertence a interseco dada. Dessa forma, com no pertencendo a nenhum , ). Isso no pertence unio deles, ou seja, . Assim, ). Pela definio de mostra que )) implica subconjunto, acabamos de mostrar, nessa parte da demonstrao, que ). Ora, mostramos logo acima que ) ) e, ento, juntando as duas informaes e tendo o Teorema 1.6.3, conclumos que: = ) QED At agora demonstramos igualdades entre conjuntos de forma direta. Simplesmente partamos do conjunto inicial e seguamos por igualdades at o conjunto que se queria demonstrar a igualdade. Essa forma torna a recproca imediata, pois basta seguir as igualdades no caminho inverso. Mas, de forma geral, provar diretamente igualdades entre conjuntos pode ser muito complicado e a estratgia acima, de provar primeiro que um conjunto subconjunto do outro e, depois, a recproca, pode tornar o trabalho mais simples. Fica como sugesto que, ao tentar demonstrar a igualdade entre conjuntos, se use a estratgia apresentada acima. Corolrio (1.8.9): Sendo um conjunto qualquer e uma famlia de subconjuntos de (com podendo tomar valores naturais de 1 at ), tem-se que: = )

Teorema 1.11.2 (1.8.2): Seja um conjunto e uma famlia arbitrria (qualquer) de conjuntos , com i podendo tomar valores naturais de 1 at . Ento: = )

), ento Demonstrao: Se . Assim, para ao menos um , , pois se pertencesse a todos os , pertenceria interseco . Dessa forma se pode concluir que pertence a ) para algum . Ento ) implica ). Logo, ). Como antes, isso ainda no conclui a demonstrao, pois o que mostramos, na verdade, que ) ). A recproca um caminho de retorno pelo raciocnio feito acima. Se ), pertence a ) para algum , pois, se no pertencesse a nenhum ), no pertenceria unio desses conjuntos. Dessa forma, para algum

23 . Podemos concluir, ento, que , pois existe ao qual no pertence. ). Ou seja, Assim, sabendo que pertence a , ) ). Logo, ). Chagamos finalmente, implica ) tendo demonstrado essa incluso e a anterior, que: = ) QED

Corolrio (1.8.8): Sendo um conjunto qualquer e uma famlia de subconjuntos de (com podendo tomar valores naturais de 1 at ), tem-se que: = )

Exerccio 1.11.1: Demonstre os corolrios apresentados. SUGESTO: use os teoremas 1.11.1 e 1.11.2. Quando o conjunto universo, usando a notao j apresentada para a complementao em relao ao conjunto universo, os corolrios apresentados tomam a forma: = e = ) )

Teorema 1.11.3 (1.8.3): Seja um conjunto e uma famlia arbitrria de conjuntos , com podendo tomar valores naturais de 1 at . Ento: = )

Teorema 1.11.4 (1.8.4): Sendo um conjunto e uma famlia arbitrria de conjuntos , com podendo tomar valores naturais de 1 at , tem-se que: = )

Teorema 1.11.4 (1.7.8): Dado o conjunto e uma famlia arbitrria de conjuntos , com podendo tomar valores naturais de 1 at , tem-se que:

24 1.7.8. Exerccio 1.11.2: Demonstre esses ltimos trs teoremas. As generalizaes apresentadas aqui ainda no so as mais gerais possveis. As demonstraes dos casos mais gerais so quase idnticas s feitas para esses casos menos gerais, mas no faremos tais generalizaes aqui, pois falta a apresentao de conceitos que permitem entend-las. = ) = )

Esse ltimo teorema a generalizao das leis distributivas do Teorema

Exerccios I 11 Represente os seguintes conjuntos listando seus elementos. a) Conjunto dos cinco primeiro nmeros primos. b) Conjunto dos nmeros naturais pares. c) Conjunto das letras da palavra matemtica. 2 Indique quais dos conjuntos abaixo so vazios. a) b) c) d) = = = = |1 >0 | 0=1 | 1>0 | >3 >4 =

3 Dados conjuntos abaixos. a) b) c) d) e) f) ) ) )

, , 3,4,5 ,

=

, 4,6,7,8, ,

e

=

, 3,4, ,

, d os

4 Seja = 1,2,3,4,5,6 , = 2,3,4 , = 3,4,5,6 e = 3,4 . Represente os seguintes conjuntos por uma lista de elementos e por diagramas de Euler-Venn. a) b) c) d) e) f) g)

) ) ) ) )

) )

25 5 Sendo = 1,2,3,4,5,6 , represente os seguintes conjuntos: a) b) c) d) = 4,5,6,7,8,9 , = 4,9,10 e = 1,4,10 ,

6 Dado o conjunto = , , , represente o conjunto ). partes de ) e d dois exemplos de parties de 7 Dados os conjuntos = 6,8,10 , encontre: a) b) ) ) ) ) ) ) = 1,2,3,4,5,6 ,

)

) ) (conjunto das = 4,6,8,10 e

= 2,4,6,8 ,

SUGESTO: Use os teoremas 1.11.1 e 1.11.2. 8 A Teoria Ingnua dos Conjuntos permite que se defina o seguinte conjunto: = |

Mas surge um problema ao se definir esse conjunto, chamado de Paradoxo de Russell. Esse paradoxo mostrou que a formulao original da teoria dos conjuntos, a ingnua, (de Cantor e Frege), levava a contradies. No entanto esse problema evitado na teoria de conjuntos moderna, a Teoria Axiomtica dos Conjuntos. Voc consegue identificar o paradoxo? 9 Encontre o conjunto 1,3,4,5 e 2.3.4 = 3 .

tal que

10 Sejam e conjuntos disjuntos e = , , . Sabe-se que = , , , e = , , . Encontre os conjuntos e . 11 Demonstre os seguintes teoremas:

1,2,3,4

= 1,2,3,4,5 ,

3,4

,

=

12 Seja uma famlia arbitrria de conjuntos com podendo tomar valores naturais de 1 at . Sendo um conjunto arbitrrio, mostre que:

a) = se, e somente se, = . b) Se , ento e qualquer que seja . c) Se e , ento . SUGESTO: Perceba que, usando o resultado do exerccio anterior, que se pode fazer . ) ) com )= ) se, e somente se, d) Se , ento = . SUGESTO: O resultado imediato para = , ento mostre, supondo que ) ) uma incluso prpria. a incluso seja prpria, que

26

= =

) =)

)

SUGESTO: Use os teoremas 1.11.1 e 1.11.2 e, quando for conveniente, chame))

. Tome

e

)=

)

com podendo tomar 13 Sendo uma famlia arbitrria de conjuntos valores naturais de 1 at e outra famlia arbitrria de conjuntos com podendo tomar valores naturais de 1 at e ) = = ) ) = , mostre que: = )

Eliminando os colchetes, podemos escrever o teorema como sendo: e = = = =

SUGESTO: Use o Teorema 1.11.4 diversas vezes.

2 Pares Ordenados e Produto CartesianoUm par ordenado uma lista de dois elementos, e , denotado por , ) com , ( um conjunto genrico), onde existe distino entre ser o primeiro elemento (no caso: ) ou o segundo (no caso: ). Ou seja, , ) no o mesmo que , ). Em outras palavras, , ) = , ) se, e somente se, = e = . comum que se chame o primeiro elemento do par de primeira coordenada e o segundo de segunda coordenada. 2.1 Par ordenado

27 Essa apresentao de par ordenado intuitiva, mas no formal. No entanto vamos tom-la, sem necessidade de uma apresentao formal do conceito de par ordenado, durante o texto. 2.2 Produto cartesiano

Definio 2.2.1: Dados dois conjuntos, e , chamamos de produto cartesiano de por , denotado por , o conjunto de todos os pares ordenados , ) tal que e . De forma mais sucinta: Uma observao que podemos fazer que, em geral, . Isso porque, como visto logo acima, em geral, , ) no o mesmo que , ), pois a ordem dos elementos diferente. Dessa forma, em geral, o conjunto formado por todos os pares , ), com e , no o mesmo que o formado por todos os pares , ), com e . Outra observao que o produto cartesiano faz sentido quaisquer que sejam os conjuntos e (podendo esses at serem produtos cartesianos entre outros conjuntos). Quando se tem o produto cartesiano entre conjuntos iguais, usa-se mais comumente a seguinte notao: Se, no produto cartesiano , ou forem vazios, o produto cartesiano por definido como sendo o conjunto vazio. Ou seja: = , = = = = , )|

de

Exemplo 2.2.1: Para fixar a idia de conjunto de pares ordenados, peguemos dois conjuntos, e , finitos definidos como = , e = 1,2 . O produto cartesiano dado pelo conjunto: Exerccio 2.2.1: Faa o conjunto exemplo acima. = , 1), , 2), , 1), tomando , 2) e definidos como no

Exemplo 2.2.2: O produto cartesiano = (produto cartesiano entre o conjunto dos reais e ele prprio) o conjunto de todos os pares ordenados , ) onde o primeiro elemento um nmero real ( ) e o segundo tambm ( ). Uma forma de representao desse conjunto o plano cartesiano, onde os pares ordenados so pares de coordenadas que indicam a posio de um ponto no plano. Percebemos que ainda vlido, de forma geral, que um par , ) no o mesmo que , ), como pode-se ver na representao abaixo.

28

Tendo ,

e

conjuntos arbitrrios, seguem os teoremas abaixo.

Teorema 2.2.1: O produto cartesiano distributivo esquerda em relao unio e interseco. Ou seja, )= ) ) e )= ) ). Demonstrao: Pela definio: )= = = = = , , , , )| )| )| ) )| ) ) ) , )|

)

QED

Teorema 2.2.2: O produto cartesiano distributivo direita em relao unio e interseco. Ou seja, ) = ) ) e ) = ) ). Demonstrao: Pela definio: ) = = = = = , )| , )| ) , )| ) )| , ) ) , )|

)

QED

Exerccio 2.2.2: Demonstre a parte referente interseco nos dois teoremas acima. Teorema 2.2.3: O produto cartesiano distributivo esquerda em relao diferena. Ou seja, dados , e quaisquer, )= . Demonstrao: Pela definio:

29 )= = = = = , , , , )| )| )| )| ) , )|

QED

A passagem da terceira para a quarta linha se deu pelo fato de pertencer a , mas no pertencer a implica que o par , ) que pertence a ) no pertence a . Exerccio 2.2.3: Demonstre que h tambm distributividade pela direita. Existe a necessidade de se demonstrar a distributividade pela esquerda e pela direita (separadamente) devido ao fato do produto cartesiano no ser comutativo. Mas, mais rigorosamente, devemos ver que chamar essas propriedades de distributividade foi um abuso de linguagem, pois as operaes unio, interseco e diferena no tem como resultado conjuntos de pares ordenados entre os conjuntos considerados ao passo que o produto cartesiano tem. Vemos que, no caso dos nmeros reais, onde se tem a distributividade da multiplicao em relao soma, tanto a multiplicao quanto a adio possuem como resultados nmeros reais. Teorema 2.2.4: Sendo ) ). , , e conjuntos, temos ) )

Demonstrao: Mostremos que ) ). , ) se, e somente se, e . Mas qualquer que seja e para qualquer . Ou seja, para todo e , e . Dessa forma, , ) ) ) pela definio de produto cartesiano. Segue, ento, que ) ). De forma inteiramente anloga, se conclui que ) ) e, sabendo que a operao de unio fechada, ) ) ) ) (tome ) ) como conjunto universo e consulte o Teorema 1.7.3). QED

Exerccios I 21 Seja conjuntos: a) b) c) d) e) =

) )

, 2,

e

= 1, ,

e

=

, , 3 , represente os seguintes

)

30 2 Mostre que ) )= Parta da definio de produto cartesiano. ) )= . SUGESTO: )= ) .

3 Mostre que ) = e conclua que SUGESTO: Use o resultado do exerccio anterior. 4 Sendo anterior para obter = 1,2,3,4,5 e ) ).

6 Mostre que, sendo , , e conjuntos, ) )= ) ) (veja que o resultado do exerccio 3 um corolrio desse caso mais geral).

5 Demonstre que, se

, ento, para qualquer ,

= 4,5,6,7,9 , use o resultado do exerccio .

)

3 Noo de Cardinalidade3.1 Cardinalidade de alguns conjuntos finitos

Inicialmente vamos nos ater a uma noo intuitiva de cardinalidade, pois, para uma definio mais formal e geral, necessria a introduo do conceito de funo e os nmeros naturais, que no foram apresentados. Tendo um conjunto finito, natural que se queira saber quantos elementos ele possui. Ou seja, contar o nmero de elementos. Quando contamos (nmero de fotos de um lbum, por exemplo), associamos nmeros naturais sucessivos a cada elemento contado. Ou seja, chamamos o primeiro contado de 1 e prosseguimos na seqncia 2,3, . . . , at chegar no ltimo elemento. O nmero natural associado ao ltimo objeto contado nos d o nmero de elementos do conjunto que se estava contando e chamamos esse nmero de cardinalidade do conjunto ou nmero cardinal do conjunto.

Se um conjunto finito, denotamos por | | a cardinalidade de . Essa o nmero natural (| | = ) que indica a quantidade de elementos do conjunto . Teorema 3.1.1: Se e so conjuntos finitos e | | = | | se, e somente se, = . , ento | | | | com

Esse resultado intuitivo, pois todos os elementos de pertencem a assim, o nmero de elementos de no pode ultrapassar o de . Teorema 3.1.2: Se | | = | |+| || | e so conjuntos finitos, ento:

e,

Em particular, se = , ento | | = | | + | | || = | | + | |, pois a cardinalidade do conjunto vazio 0 (e o nico conjunto com cardinalidade 0). Tal resultado intuitivo, pois, se no h elementos compartilhados entre os conjuntos,

31 a unio deles ter um nmero de elementos igual soma do nmero de elementos de cada conjunto.

Teorema 3.1.3: Se um conjunto finito com | | = , ento )| = 2 . das partes de ) possui 2 elementos. Ou seja, | Teorema 3.1.4: Se e so conjuntos finitos e | | = | |=

e| |=

) (conjunto

, ento:

A demonstrao desses teoremas ser feita no Captulo III, pois ainda no temos uma definio rigorosa do que significa um conjunto finito possuir elementos. Mas podemos dar algumas justificativas no rigorosas para esses resultados. No Teorema 3.1.2, pode-se ver que, ao tomar | | + | |, nessa soma se est contando duas vezes os elementos da interseco e, assim, para ter o nmero correto de elementos da unio, deve-se subtrair uma vez a cardinalidade da interseco. J no Teorema 3.1.4, pode-se ver que, para cada elemento de , esse forma um par ordenado com cada um dos elementos de . Como existem

Teorema 3.1.5: Sendo e conjuntos finitos, temos | | = | | | |. Em particular, se , ento | | = | | = | | | |.

elementos em , o nmero total de pares ordenados ser + + + = . O Teorema 3.1.5 pode ser entendido imediatamente, pois se est simplesmente no contando os elementos que pertencem a e simultaneamente. Para o Teorema 3.1.3 no h uma justificativa simples, mas uma demonstrao relativamente simples dada no Captulo III (Teorema 2.7.3). 3.2 Alguns exemplos , | |=3 e

Exemplo 3.2.1: Sendo e conjuntos finitos tais que | | = 27, qual a cardinalidade de e de ?

completando a resoluo.

Resoluo: Pelo Teorema 1.7.5, se , ento = . Assim, | | = | | = 3. Pelo Teorema 3.1.4, | | = | | | | = 3 | | = 27. Ou seja, | | = 27 3 = 9,

Exemplo 3.2.2: Numa cidade circulam trs jornais diferentes (jornais , e ). Ao se entrevistar 2000 moradores, se descobriu que 400 lem o jornal , 800 lem o jornal , 500 lem o jornal , 200 dos que lem o jornal tambm lem o jornal , 100 dos que lem o jornal lem tambm o jornal e nenhum dos que lem o jornal lem o jornal . Quantos dos entrevistados no lem nenhum dos trs jornais? Resoluo: Devemos transformar esse problema em um problema de encontrar a cardinalidade do conjunto dos entrevistados que no lem nenhum dos trs jornais. Claramente, o nosso conjunto universo o dos entrevistados (chamaremos de conjunto ), cuja cardinalidade | | = 2000. A cardinalidade do

32 conjunto dos entrevistados que lem o jornal (chamaremos de conjunto ) | | = 400, dos que lem o jornal (chamaremos de conjunto ) | | = 800 e dos que lem o jornal (chamaremos de conjunto ) | | = 500. Mas, como no existem pessoas que lem o jornal e simultaneamente, | | = 0, pois a interseco vazia. Dessa forma, usando o Teorema 3.1.2, a cardinalidade do conjunto | | = | | + | | = 400 + 500 = 900. Queremos saber quantas pessoas lem algum jornal (para ser possvel dizer quantas no lem nenhum). Ento, devemos encontrar a cardinalidade de . Usando o Teorema 3.1.2, temos que: | |=| )| = | |+| || )|

Sabemos a cardinalidade de e de , mas no sabemos a cardinalidade de ). Usando a distributividade da interseco em relao unio: )= ) ). Assim, a cardinalidade dessa interseco : ) | )| + | =| =| )| + | )|= | )| + | )| | )| | )| | | )| ) )|

Juntamos a interseco de com porque j sabemos que essa vazia, o que garante que | )| = | | = || = 0. J | )| o nmero de leitores que lem tanto o jornal quanto o , ou seja, 200 e | )| o nmero de leitores que lem tanto o jornal quanto o , que 100, segue, ento, )| = | ) )| = 200 + 100 = 300. Voltando unio que | , temos agora que a cardinalidade dessa unio : Sabendo que a unio que o complemento dessa unio, no lem nenhum dos jornais, temos que a nmero de pessoas que no lem nenhum temos: | |+| || )| = 800 + 900 300 = 1400 subconjunto do conjunto universo e ) , o conjunto dos entrevistados que cardinalidade desse complemento d o dos jornais. Usando o Teorema 3.1.5,

Ou seja, 600 entrevistados no lem nenhum dos jornais.

|

) |= | ||

| = 2000 1400 = 600

No realmente necessrio que a resoluo seja feita de forma to cuidadosa (talvez preciosista) como foi feita acima, mas foi feita de tal maneira para mostrar que o resultado foi obtido inteiramente atravs das propriedades dos conjuntos. Uma forma mais simples de tratar o problema usando diagramas de Euler-Venn. Para descobrir a soluo, representamos os conjuntos na forma de diagramas e damos valores correspondentes s cardinalidades s partes dos conjuntos. O diagrama abaixo representa o problema anterior.

33

Vemos que, para cada rea limitada (que no pode ser cortada por nenhuma linha), se atribui um valor (a cardinalidade). O procedimento, nesse caso, atribuir valores s interseces e s depois atribuir valores s partes dos conjuntos que no fazem parte das interseces. Tal procedimento vlido mesmo que no se conhea a cardinalidade de alguma interseco, pois se pode atribuir alguma incgnita cardinalidade da interseco. O exemplo abaixo ilustra isso. Exemplo 3.2.3: Numa escola, os alunos podem fazer educao fsica s teras ou quintas. 60% dos alunos fazem s teras e 75% fazem s quintas. Qual a percentagem dos alunos que fazem tanto quinta quanto tera?

Resoluo: A percentagem total deve ser claramente 100%. Comecemos a completar o diagrama do problema chamando o conjunto dos que fazem s teras de e dos que fazem s quintas de e colocando uma incgnita, , no lugar da percentagem da interseco.

A percentagem da parte do conjunto que no faz parte da interseco 60% e a da parte de que no faz parte da interseco 75% . Coloquemos essas informaes no diagrama.

A soma dessas percentagens deve ser 100%. Assim:

34 60% ) + + 75% ) = 100% = 100%

Ou seja, 35% dos alunos fazem educao fsica s teras e quintas. No se usou diretamente a cardinalidade dos conjuntos (no sabemos de quantos alunos o problema trata), mas, mesmo assim, possvel trabalhar apenas com a percentagem da cardinalidade associada ao conjunto (lembrando que o total deve dar 100%). 1 Sejam e conjuntos finitos com | | | | = 4, | | + | | = 10. Quanto so as cardinalidades | | e | |? possvel determinar as cardinalidades de e a partir das informaes dadas? 2 Sabendo que | | = 6, listando seus elementos. e 2, 1), 1,1)

= 60% + 75% 100% = 135% 100% = 35%

60% + 75%

Exerccios I 3

3 Se e so finitos e disjuntos com | | = 5, | | = 6 e | | > | |, qual a cardinalidade de e de ? 4 Sendo e | | + | | 2| |.

, d o conjunto

5 Considere os conjuntos e finitos. Sabe-se que | )| = 15, | | = 3 e | | = 8. Qual a cardinalidade de e qual a cardinalidade de ? SUGESTO: Use o resultado do exerccio anterior. 7 Sendo | | + | | = 7 e | | = 2, d a cardinalidade de ) . 6 Sendo = , , , , quantos subconjuntos de possuem ou ?

conjuntos finitos, mostre que | | = | | | | =

) e

8 Sejam e conjuntos finitos. Sabendo que | | 2| | e | | > | | , mostre que e no so disjuntos.

9 Sendo , , e conjuntos finitos tais que | | = 5 e | | = 7, qual a cardinalidade de ) )? SUGESTO: Consulte o exerccio 6 da seco anterior. , e ,

10 Uma pesquisa de mercado, sobre as marcas de sabo em p mostrou os seguintes resultados:

35 a) Qual a percentagem de consultados que usam apenas a marca ? b) Quanto vale a percentagem dos que usam apenas a marca entre os consultados? c) Qual a percentagem de usurios consultados que usam as marcas e , mas no usam a ? d) Qual a percentagem de consultados que no usam nenhuma das trs marcas? 11 Num clube de natao e tnis, o nmero de pessoas que praticam natao o dobro do que praticam tnis e um tero dos que praticam tnis tambm praticam natao. Sabendo que 30 pessoas praticam tnis, quantas pessoas praticam tanto natao quanto tnis e quantas praticam somente natao? 12 Numa escola, os alunos podem estudar espanhol, portugus, ingls e francs. Sabe-se que todos devem estudar portugus e podem estudar, no mximo, duas lnguas alm do portugus. Tambm se sabe que nenhum dos que estudam francs estuda espanhol. Alm disso, apenas metade dos que estudam portugus estuda alguma das outras lnguas e, dessa metade, 2/3 estuda ingls, 1/3 estuda espanhol e 1/3 estuda francs, sendo que o nmero de pessoas que estudam ingls e espanhol (simultaneamente) igual ao que estudam ingls e francs (tambm simultaneamente). Qual frao do total: a) b) c) d) estuda francs? estuda tanto francs quanto ingls? estuda apenas espanhol? Se o nmero de alunos que estuda apenas espanhol 50, quantos alunos a escola possui? 13 Observe o diagrama abaixo:

Sabendo que |

| = 100, quanto ?

4 RelaesComo foi feito at agora, admitiremos conhecidos resultados bsicos sobre nmeros reais e naturais. Esses conjuntos numricos sero tratados com mais cuidado no Captulo III.

36 4.1 Plano cartesiano Definio 4.1.1 (Plano Cartesiano): Sendo e dois eixos perpendiculares em 0 (figura abaixo), esses determinam o plano . Sendo um ponto qualquer de ( ), criemos duas retas, e , tal que seja paralela ao eixo , seja paralela ao eixo e a interseco ocorra no ponto (figura). Chamemos a interseco entre e o eixo de e a interseco de com o eixo de . Com isso seguem as seguintes definies: a) A abscissa de o (nico) nmero real b) A ordenada de o (nico) nmero real c) d) e) f) g) h) representado por . representado por . As coordenadas de so indicadas pelo par , ) com a abscissa sendo o primeiro elemento do par. O eixo dito ser o eixo das abscissas. O eixo chamado de eixo das ordenadas. O sistema formado pelos eixos das abscissas e das ordenadas o sistema cartesiano de eixos ortogonais. O ponto 0 chamado de origem do sistema. O plano determinado pelos eixos e o plano cartesiano.

existe um, pois, pelas definies apresentadas, a reta intersecta o eixo em um nico ponto e a reta intersecta o eixo em um nico ponto. Sendo assim, existe um nico par de pontos e e, pelas definies (a), (b) e (c), um nico par

Demonstrao: a demonstrao dada em duas partes. Primeiro vamos demonstrar que para cada ponto existe um nico par de pontos e . De fato, s

Teorema 4.1.1: Existe uma correspondncia biunvoca entre o plano cartesiano e o conjunto (= ).

, ) correspondente ao ponto . Isso mostra que cada ordenado de coordenadas P corresponde a um par , ) . Agora vamos demonstrar que cada , ) corresponde a um nico ponto do plano cartesiano. De fato isso ocorre, pois, a cada , ), representado por e representado por . Criando uma reta que passa por e paralela

37 ao eixo das abscissas e outra, , que passa por e paralela ao eixo das ordenadas, essas duas retas se intersectam em um nico ponto . Conclumos, ento, que cada par , ) corresponde a um nico ponto do plano cartesiano e isso completa a demonstrao. QED 1,1), 3,2), 2,3), 1,2), 2, 2) e Exemplo 4.1.1: Localizemos no plano cartesiano abaixo os pontos ,2 .

Tambm possvel representar subconjuntos de no plano cartesiano. O exemplo abaixo ilustra isso. Exemplo 4.1.2: Representemos o conjunto plano cartesiano. = 1,1), 2,2), 3,3), 3,2) no

4.2 Relaes binrias Definio 4.2.1: Dados dois conjuntos, e , qualquer subconjunto no vazio do produto cartesiano chamada de relao de em . Ou seja: relao binria de em e .

38 O conjunto chamado de conjunto de partida da relao de conjunto de chegada (ou contradomnio) da relao . e chamado

Para cada tipo de relao, em geral, se tem um smbolo diferente para represent-la (estamos usando para representar o caso geral). Em alguns casos, se um par , ) pertence a ( , ) ), conveniente usar a notao e quando , ) .

Podemos representar relaes binrias de forma diagramtica. Essa representao consiste em representar os conjuntos como se fez at agora, na forma de diagramas de Euler-Venn, e usar setas para representar a relao entre os elementos do conjunto de sada e de chegada. Por exemplo, se , ) pertence relao binria, representamos isso com uma seta que parte do elemento , no conjunto de partida, e vai at o elemento no conjunto de chegada. Exemplo 4.2.1: Sejam dada por = , 2), , 4), relao : = , , , e , 1), , 5) . = 1,2,3,4,5,6 e uma relao binria representao diagramtica dessa

Definio 4.2.3: Sendo e conjuntos e uma relao entre eles, chamamos de domnio da relao (denotamos )) o conjuntos dos elementos pertencentes a tal que , ) para algum pertencente a . Ou seja: Definio 4.2.4: Sendo e conjuntos e entre eles, chamamos de imagem da relao (denotamos elementos pertencentes a tal que , ) para algum seja: )= | , ) )= | , ) uma relao binria )) o conjuntos dos pertencente a . Ou

Definio 4.2.2: Dado um conjunto , uma relao relao binria em .

chamada de

Perceba que, sendo um subconjunto de , no de se esperar que todos os pares ordenados , ) pertenam relao . Ou seja, em geral, ) nos existem pares , ) que no pertencem relao . O conjunto d todos os elementos tais que exista algum tal que , ) e o conjunto ) nos d todos os elementos tais que exista algum tal que , ) .

39 Podemos pensar essas duas ltimas definies em termos da representao diagramtica dada acima. Sendo o conjunto de partida, o conjunto de chegada e uma relao binria de em , o domnio da relao binria o conjunto de todos os elementos de de onde parte alguma seta e a imagem da relao binria o conjunto de todos os elementos de onde termina alguma seta (elementos que so flechados). No entanto vemos que , ) no implica necessariamente que no pertena ao domnio da relao, nem que no pertena imagem da relao, ) ou mas implica que uma das duas seguintes situaes ocorre: ). O exemplo abaixo ilustra isso. ALERTA: embora essas definies possuam relao com os conceitos de domnio e imagem de funes, como ser visto logo a seguir, as noes no devem ser identificadas. Funo um tipo particular de relao binria e possui particularidades em relao ao domnio e imagem. Na verdade, o que difere os tipos de relaes binrias so as restries (condies) que impomos sobre o domnio e imagem da relao.

Exemplo 4.2.2: Dados = 1,2,3,4 , = 1,2,3,4,5 e uma relao binria dada por = 1,2), 2,2), 3,2), 4,2) , a representao em forma de diagrama dessa relao :

Vemos que todos os elementos de pertencem ao domnio da relao, mas pares como 1,1), 1,4), 2,1), etc no pertencem relao . = , ) | , )

Definio 4.2.5: Sendo e conjuntos arbitrrios no vazios e uma relao binria , chama-se de relao inversa de o conjunto tal que:

Ou seja, , ) se, e somente se, , ) . Assim, para se ter a relao inversa, basta inverter a ordem de e em cada par pertencente a . Alguns resultados imediatos so: a) b) ) )= = )e )= )

Nem sempre a relao inversa do tipo da relao original. Ou seja, nem sempre as restries que impomos na relao original so aplicveis na relao inversa. Um exemplo disso so as funes, cuja definio dada mais adiante.

40 Exemplo 4.2.3: Tomando os conjuntos do Exemplo 4.2.2, a relao inversa a de = 1,2), 2,2), 3,2), 4,2) dada por = 2,1), 2,2), 2,3), 2,4) . Em forma de diagrama:

O efeito sobre o diagrama, ao se tomar a relao inversa, , ento, simplesmente inverter o sentido das setas. 4.3 Funes Essa talvez seja a relao mais importante das que sero apresentadas. O conceito de funo permeia toda a matemtica e acaba recebendo vrios nomes dependendo do contexto em que est sendo usado (como, por exemplo, operao, aplicao, produto...). Antes da definio de funo, vejamos primeiro alguns exemplos intuitivos, para servir de motivao para a definio que ser dada. Exemplo 4.3.1: Se um trabalhador recebe um determinado acrscimo no salrio a cada hora extra que trabalha, intuitivo que o total acrescido varia de acordo com quantas horas extras so trabalhadas. Diz-se que o acrscimo (total) est em funo da quantidade de horas extras que se trabalha, pois existe uma dependncia do ganho extra com as horas extras trabalhadas. Exemplo 4.3.2: Quando se vai a um posto de gasolina abastecer, o preo (total) pago pela gasolina tanto maior quanto mais se coloca gasolina no carro. Ento, como acima, se diz que o preo pago est em funo da quantidade de gasolina colocada no carro. Uma observao que podemos fazer que no faz sentido, por exemplo, que se possa colocar alguma quantidade de gasolina no carro, mas no exista nenhum valor correspondente a essa quantidade (nem mesmo zero, pois zero seria um valor). Isso motiva a condio (a) da definio de funo que ser dada abaixo. Exemplo 4.3.3: Ao se jogar uma pedra verticalmente para cima, a posio da pedra pode ser dada em funo do tempo (vemos que, se ligamos um cronmetro no instante em que se joga a pedra, podemos associar cada instante posio altura em que a pedra se encontra). Percebamos que a pedra ir subir e descer, ou seja, as posies que a pedra vai assumir durante a subida sero repetidas na descida, mas em instantes diferentes dos que estavam associados s mesmas posies durante a subida. Por exemplo, se a pedra vai at uma altura de 10 metros, ela passar pela altura 5 metros durante a subida (em um instante t) e

41 passar pela mesma altura 5 metros durante a descida (mas num instante posterior portanto, diferente ao t). No entanto no faz sentido associar duas posies diferentes a um mesmo instante. Por exemplo, a pedra no pode estar no cho e na altura 5 metros no mesmo instante.

Definio 4.3.1 (funo): Dados dois conjuntos, e , e uma relao binria de em , o terno , , ) (trinca ordenada) dita ser uma funo de em ou aplicao de em quando satisfaz ambas as seguintes condies: a) b) )= , ) e , ) = .

implica

A primeira condio diz que, para todo pertencente a , existe algum ) = ). J a pertencente a tal que , ) (mas no necessrio que segunda nos assegura que, dado um , o elemento correspondente a na imagem de nico. Em outras palavras, a funo leva cada do domnio a um nico da imagem (o Exemplo 4.3.3 d uma motivao para se definir assim). Mas perceba que nada probe que existam dois elementos distintos, e , pertencentes ao domnio de (e, portanto, a ) tais que , ) e , ) com mesmo (vemos que, no Exemplo 4.3.3, se pde associar dois instantes diferentes a uma mesma altura). Por causa da unicidade do elemento , na imagem, correspondente a um ) para indicar os elementos da dado do domnio, comum usar a notao , ) = . Atentemos desde j que ser comum chamarmos de funo . Ou seja, funo embora a funo seja, na verdade, a trinca ordenada , , ).

Exemplo 4.3.4: Dados os conjuntos = 1,2,3 e = , , ento = 1, ), 2, ), 3, ) uma funo de em , pois o domnio da relao o prprio e, para cada elemento de , esse associado a apenas um elemento em . Mas perceba que = 1, ), 2, ), 2, ) no funo de em porque no satisfaz nenhuma das duas condies necessrias. Abaixo est representado o diagrama da funo .

Vemos, ento, que, em termos de diagramas, a condio (a) da definio de funo quer dizer que, de cada elemento de , deve partir alguma seta e a condio (b) quer dizer que s pode partir uma nica seta de cada elemento de .

Exemplo 4.3.5: Dados agora = 1,2,3 e = , , , ), 2, ), 3, ) continua sendo uma funo, mas de em (pois continua = 1, satisfazendo as condies (a) e (b)) e o diagrama dado abaixo.

42

Exerccio 4.3.1: A relao dada no Exemplo 4.2.2 uma funo? E a dada no Exemplo 4.2.1? Trabalharemos funes de forma mais detalhada no captulo seguinte, mas perceba que, dadas as restries (a) e (b), a relao inversa de uma funo nem sempre uma funo. Se uma funo e a imagem dessa no o prprio , a relao inversa no pode ser uma funo, pois o domnio dessa relao inversa no e, pela definio, necessrio que o domnio de uma funo seja o prprio conjunto de partida. Mesmo que a relao inversa tenha como domnio , essa relao inversa ainda tem que levar cada elemento de a um nico elemento de para ser uma funo (condio (b) da definio). Como, em geral, se pode ter , ) e , ) com mesmo , a relao inversa no ser uma funo se isso ocorrer. Afinal, se teria, na relao inversa, um levado a dois (ou mais) diferentes na imagem. Por fim, s possvel que a relao inversa seja uma funo quando a imagem de for o prprio e no ocorrer de , ) e , ) com )), se ) = , no exista tal que . Ou seja, usando a notao , ) = . Quando a relao inversa de uma funo uma funo tambm, dizemos que essa relao inversa a funo inversa. Exerccio 4.3.2: Por que as relaes inversas das funes apresentadas nos exemplos 4.3.4 e 4.3.5 no so funes? D um exemplo de funo cuja relao inversa tambm uma funo. Note que isso s possvel quando a cardinalidade do conjunto de partida (conseqentemente, do domnio) a mesma que a do contradomnio (esse termo mais comum quando se trata de funes). 4.4 Relaes de equivalncia Alm das funes, as relaes de equivalncia tambm so presentes em vrios campos da matemtica. Informalmente podemos dizer que uma relao de equivalncia estabelece uma condio que define uma igualdade entre elementos de um conjunto.

Definio 4.4.1: Dado o conjunto e sendo uma relao binria em , uma relao de equivalncia em quando forem satisfeitas as seguintes propriedades: a) b) , ) , ) para todo (reflexibilidade). implica , ) (simetria).

43 c) Se , ) e , ) , ento, , ) (transitividade).

Normalmente se usa o smbolo ~ para indicar a equivalncia pela relao . Ou seja, quando os elementos , so equivalentes por , escrevemos ~ . Se os elementos , no so equivalentes por , se escreve . No caso em que no h perigo de confuso, se escreve simplesmente ~ para indicar que os elementos e so equivalentes pela relao de equivalncia considerada e caso no sejam equivalentes. Assim, as condies dadas acima podem ser reescritas como sendo: a) b) ~ para todo ~ implica ~ (simetria). (reflexibilidade).

Tomamos a relao de equivalncia com o conjunto de partida sendo e o de chegada ele mesmo e isso necessrio. Perceba que as propriedades so tais que no existe possibilidade de existir uma relao de equivalncia com o conjunto de partida diferente do de chegada. Duas relaes de equivalncia sempre so possveis de serem feitas num conjunto. Uma relao identidade (ou diagonal), onde, dado um conjunto , , so equivalentes quando = (por essa relao de equivalncia, os elementos de s so equivalentes a eles mesmos). A outra a que os elementos , so equivalentes quando esses pertencem a (por essa relao de equivalncia, todos os elementos de so equivalentes a todos os elementos de ).

c) Se ~ e ~ , ento, ~ (transitividade).

Exemplo 4.4.1: Dado o conjunto = , , e uma relao binria em dada por = , ), , ), , ), , ), , ) , essa relao binria uma relao de equivalncia em (verifique!).

Exemplo 4.4.2: Definamos uma relao de equivalncia em da seguinte forma: dizemos que equivalente a quando racional ( ) ). Ou seja, tal que: Mostremos que tal relao , de fato, uma relao de equivalncia: = , )| )

a) ~ , pois = 0, que racional (demonstrando a simetria). b) Se racional, ento racional, pois = ) e o oposto de um nmero racional racional. Assim, ~ implica ~ (demonstrando a reflexibilidade). c) Pela propriedade demonstrada anteriormente, y-z racional implica z-y racional. Usemos isso para demonstrar a transitividade. Se racional e racional, ento ) )= + = racional, pois a subtrao de racionais (no caso, ) e )) um nmero racional. Ou seja, ~ e ~ implica ~ (demonstrando a transitividade).

44 Sendo um conjunto no vazio e uma relao de equivalncia em , dado um elemento do conjunto , , em geral, interessante ter o conjunto de todos os elementos equivalentes a (tal conjunto definido abaixo).

Definio 4.4.2: Seja um conjunto e uma relao de equivalncia em . Para cada definimos a classe de equivalncia de (pela relao de equivalncia ) pelo conjunto: = | , )

Vemos que, fixado , o conjunto o de todos os elementos equivalentes a e que sempre se tem , devido propriedade (a) da definio de relao de equivalncia, ou seja, o conjunto nunca vazio. Abaixo seguem um lema e um teorema referentes a essa definio. O teorema a razo das relaes de equivalncias serem to presentes na matemtica e chamado de Teorema Fundamental das Equivalncias. Lema 4.4.1: Sendo so tais que ~ , ento = . uma relao de equivalncia em , se ,

Demonstrao: Com efeito, se ~ , ento e, se ~ , ento . Ora, se ~ e ~ , ento ~ (transitividade), que implica . Ou seja, todo elemento que pertence a tambm pertence a , que o mesmo que dizer que . De forma inteiramente anloga conclui-se que . Logo, pelo Teorema 1.6.3, = . Teorema 4.4.1: Se o conjunto de todas as classes de equivalncias de pela relao de equivalncia , uma partio de . QED

De fato, para todo elemento , esse pertence a, ao menos, uma classe de equivalncia, pois sempre se tem que , e, se para algum , ~ , que nos leva a concluir, pelo Lema 4.4.1, = . Ou seja, para todo , pertence a uma, e somente uma, classe de equivalncia pertencente a , que o mesmo que dizer que uma partio de . QED Esse ltimo teorema nos diz que um conjunto pode ser dado pela unio disjunta de todas as classes de equivalncia (distintas) de uma relao de equivalncia. | , chamado, O conjunto , que pode ser escrito como = tambm, de conjunto quociente de por e pode ser representado por = / .

Demonstrao: Usaremos o resultado que foi pedido para ser demonstrado no Exerccio 1.9.1 para demonstrar esse teorema. Pelo enunciado do exerccio, para mostrar que uma partio de , devemos mostrar que, para cada , esse deve pertencer a uma, e somente uma, classe de equivalncia pertencente a .

45 Vemos que a relao de equivalncia equivalncias. realmente divide com as classes de

A recproca do teorema acima tambm verdadeira: toda partio de um conjunto um conjunto de todas as classes de equivalncia de alguma relao de equivalncia, mas a demonstrao dessa recproca ser omitida. Exemplo 4.4.3: Usando o conjunto e a relao de equivalncia dada no Exemplo 4.4.1, se v que a classe de equivalncia dos elementos e = , = (Lema 4.4.1) e a do = . O conjunto das classes de equivalncia , ento, = , , , que uma partio de . Exemplo 4.4.4: Usando a relao de equivalncia nos reais apresentada no Exemplo 4.4.2, mostremos que o conjunto dos racionais uma das classes de equivalncia daquela relao. Evidentemente a subtrao de racionais um racional, ou seja, se racional e racional, ento j se tem que equivalente a pela relao dada. Mas tambm se tem que nenhum irracional pode ser equivalente a um racional, pois, se fosse, chegaramos seguinte contradio: suponha que racional e irracional, mas racional. Um racional pode ser escrito como a diviso entre dois nmeros inteiros. Dessa forma, escrevamos = e = = , com , , nmeros inteiros (com e no nulos). Assim, nmero racional, entrando em contradio com a hiptese de Conclumos, ento, que uma das classes de equivalncia de | ) . = = , que um ser irracional. = , )

e

Foi dito no incio dessa subseco que a relao de equivalncia estabelecia uma igualdade entre elementos de um conjunto. A igualdade no , em geral, entre os elementos, mas aparece entre as classes de equivalncia, como mostrado pelo Lema 4.4.1. As classes de equivalncia so, ento, agrupamentos dos elementos com mesmas propriedades, de acordo com a relao de equivalncia dada. 4.5 Relaes de ordem total Em alguns conjuntos natural dizermos que um elemento maior que outro. Por exemplo, no conjunto dos nmeros inteiros, dizemos que 2 maior que 1 e representamos isso por 2 > 1. A relao que nos permite dizer isso nos permite ordenar os nmeros inteiros (por exemplo, podemos ordenar de forma crescente os nmeros inteiros). Uma relao de ordem total quando sempre possvel dizer, dados dois elementos de um conjunto com relao de ordem, se um

irracional e 2 1 tambm , mas a subtrao dada um nmero racional.

Observao: a soma (ou subtrao) de um racional com irracional nunca ser um racional, mas possvel se ter soma ou subtrao de irracionais com resultado racional (diferente de zero, inclusive). Por exemplo, 2 2 1 = 1. 2

46 elemento maior, igual ou menor que outro. Mas as relaes de ordem no se restringem a conjuntos numricos (naturais, inteiros, racionais...). Veremos que, dado um conjunto qualquer, sempre possvel criar uma relao de ordem total no conjunto. Definio 4.5.1: Sendo um conjunto e uma relao binria em uma relao de ordem total em se forem satisfeitas as seguintes condies: Para todo , , ) (reflexibilidade). Se , ) e , ) , ento , ) (transitividade). Se , ) e , ) , ento = (anti-simetria). Para todo , , , ) ou , ) (totalidade).

,

a) b) c) d)

De forma anloga ao que foi feito para relaes de equivalncia, usamos a notao para indicar que , ) e para indicar que , ) . Quando no h perigo de confuso, o ndice R omitido. Usando essa notao, podemos reescrever as condies: a) Para todo b) Se c) Se e e , , ento , (reflexibilidade). = (transitividade). (anti-simetria). (totalidade).

O smbolo lido como maior ou igual e isso logo se justifica. A primeira condio apenas impem que , ) deve pertencer a relao, pois pela mesma relao, atravs da propriedade (c), se conclui que = , como deve ser. Essas propriedades so bem familiares, pois so as mesmas das relaes de ordem dos nmeros naturais, inteiros, racionais e reais (esses servem de exemplos para esse tipo de relao binria). Um conjunto com uma relao de ordem total dito totalmente ordenado ou linearmente ordenado (pela relao ). Existem outras relaes de ordem (que no sero tratadas aqui) e por isso se explicita que a relao de ordem total. Exerccio 4.5.1: Dada uma famlia arbitrria no vazia de conjuntos, , criemos uma relao de ordem em tal que dizemos que, para , , se . Por que essa relao no , em geral, uma relao de ordem total? Qual condio deve ser satisfeita para que a relao dada seja uma relao de ordem total? Teorema 4.5.1 (Teorema do Bom Ordenamento): Dado um conjunto no vazio , sempre possvel encontrar uma relao de ordem tal que totalmente ordenado por essa relao. No demonstraremos esse teorema, pois, alm de outras razes, esse teorema garante, na verdade, que possvel obter uma relao de ordem tal que o conjunto dito bem ordenado (noo que no foi apresentada) por essa relao de

d) Para todo ,

, ento

ou

47 ordem. Mas possvel demonstrar que todo conjunto bem ordenado completamente ordenado pela mesma relao de ordem. Sabendo da veracidade desse teorema, fica a questo: como ter uma relao de ordem total em conjuntos como o ? Podemos obter tal relao usando o fato de j possuir uma relao de ordem. Tal construo apresentada abaixo.

Chamaremos a relao de ordem de de e a de de . Definamos a relao de ordem total em da seguinte forma: dados , ), , ) , , ) , ) se ou se = , mas . Ou seja, se > , j se tem , ) , ) (independente de ou no), mas, se = a relao passa a ser entre a segunda coordenada e se tem , ) , ) quando . Por exemplo, 3,1) > 2,5) e 2,1) < 2,5). Exerccio 4.5.2: Mostre que essa relao apresentada de fato uma relao de ordem total em . Exemplo 4.5.1: Peguemos o subconjunto = 1,1), 1,2), 1,3), 2,1), 2,2), 2,3), 3,1), 3,2), 3,3) de . Usando a relao de ordem apresentada acima para , temos que 3,3) > 3,2) > 3,1) > 2,3) >. . . > 1,1). Abaixo est ilustrada, no plano cartesiano, a relao de ordem desse conjunto, onde o ponto preto o 2,2) e os maiores que 2,2) so vermelhos e os menores verdes.

Perceba que os elementos menores que 2,2) so os que esto esquerda ou abaixo desse e os maiores os que esto direita ou acima. Essa forma de ordenar totalmente produtos cartesianos de conjuntos que j possuem uma relao de total pode ser generalizada. Se um conjunto com uma relao de ordem total , podemos fazer com que (= n vezes) seja totalmente ordenado por uma relao fazendo ,, ) , , ) quando, se as primeiras coordenadas forem iguais, > . Ordens desse tipo, onde se usa uma relao de ordem total em para induzir uma relao de ordem total em da forma como foi feita, so chamadas de ordens lexicogrficas por razes que ficaro claras a seguir.

Observao: Ainda no generalizamos a noo de produto cartesiano, mas, como foi feito acima, pode-se fazer o produto cartesiano entre conjuntos obtendo um conjunto cujos elementos so pares ordenados (na verdade, chamados de n-

48 uplas) com elementos ordenados (com cada elemento pertencendo ao conjunto correspondente posio que se encontra na n-upla). Por exemplo, sendo , e conjuntos no vazios, o conjuntos de todas as trincas ordenadas , , ) onde , e .

Tal forma de ordenao pode parecer estranha a primeira vista, mas um caso desse tipo de ordem bastante comum e bem familiar a todos. A ordem alfabtica (usada para ordenar palavras de um dicionrio) uma ordem desse tipo. Perceba que ordenamos inicialmente o alfabeto (dizemos que > , por exemplo) e, ao ordenar palavras, pegamos duas palavras e vamos comparando as letras das palavras (a partir do incio dela) at que se encontre uma coordenada distinta entre essas palavras. Ou seja, comparamos as primeiras letras e, se as letras forem iguais, passamos a comparar a segunda e assim por diante at que haja diferena. Quando encontrada a diferena, se usa a ordem j dada para o alfabeto para dizer que uma palavra maior que outra (no sentido de que, dadas as duas letras distintas, uma aparece depois da outra no alfabeto). Por exemplo, comparemos as palavras casa e caso. Vamos primeiro colocar as letras como quadras ordenadas: , , , ) e , , , ). As trs primeiras letras so iguais, mas > (no sentido de aparecer depois de no alfabeto). Assim, , , , ) > , , , ), fazendo caso aparecer depois de casa no dicionrio. Claro, o exemplo foi simplificado, pois nem todas as palavras possuem quatro letras, de forma que seriam necessrias mais coordenadas e algum elemento que preencha as coordenadas sem letras, e existem letras com acentos, hfens, etc., que devem ser acrescidos no alfabeto. 1 No plano cartesiano abaixo, encontre os pontos 0,0), 2, 1), 1 3 , 0 , 2,3) e 5 3 , 4 3 .

Exerccios I 4

2 Sendo binrias de em

= 1,2,3,4,5,6 e = , , , , em forma de diagramas:

, represente as seguintes relaes

49 a) b) c) d) e) = = = = = 1, 1, 1, 1, 1, ), ), ), ), ), 3, 2, 3, 2, 2, ), ), ), ), ), 3, 3, 4, 3, 3, ), ), ), ), ), 6, 4, 5, 3, 4, ) ), ), ), ), 5, 6, 5, 5, ), 6, ) ) ), 6, ) ), 6, )

3 D o domnio e a imagem das relaes apresentadas no exerccio 2 e indique quais relaes so funes de em . 4 Escreva as relaes inversas das relaes binrias apresentadas no exerccio 2 e represente-as em forma de diagramas. 5 A partir dos diagramas de relaes binrias apresentados abaixo, represente as relaes binrias listando seus elementos e d o domnio e a imagem de cada relao. a)

b)

c)

6 Sendo = 1,2,3 , indique quais das relaes abaixo so relaes de equivalncia em A. Caso no seja, indique qual(ais) condio(es) falha(m).

50 a) b) c) d) e) f) g) = = = = = = = 1,1), 1,1), 1,1), 1,1), 1,1), 1,1), 1,1), 2,2), 2,2), 2,2), 2,2), 2,2), 2,2), 2,2), 3,3) 3,3), 3,3), 3,3), 1,2), 3,3), 3,3), 2,1), 1,2), 1,2), 2,3), 1,3), 1,3), 3,2), 2,1) 2,3), 3,2) 3,1), 3,1), 3,1)

7 Escolha, no exerccio acima, uma relao que seja de equivalncia e uma que no seja e represente-as em forma de diagrama. No caso da relao de equivalncia, faa tambm a representao do conjunto no plano cartesiano e destaque (circulando, por exemplo) os pontos que compem a relao de equivalncia. 8 Represente as classes de equivalncias das relaes de equivalncia existentes no exerccio 6 e d o conjunto quociente em cada caso. SUGESTO: Para poupar trabalho, use o Lema 4.4.1. 9 Mostre que uma relao de equivalncia em um conjunto em se, e somente se, a relao identidade. uma funo

2,3), 3,2) 2,3), 3,2), 2,1), 1,2)

3,2)

de

10 Alguma relao binria do exerccio 6 uma relao de ordem total? Se sim, indique-a e, representando no plano cartesiano, destaque os pontos que compem a relao.

13 Seja definido como 0 ). Defina uma relao em fazendo com que , ), , ) (ou , )~ , )) se = . Mostre que essa relao uma relao de equivalncia. 14 Usando a ordem lexicogrfica definida para , escreva, em cada caso abaixo, os pontos na ordem crescente. a) b) c) d) 1,1,1), 2,1,3), 1,1,2), 4,6,7), 1,3,1), 2,3,5), 2,2,3), 3,5,2), 4,2,6), 3,1,4), 2,1,4), 3,4,8), 4,2,2) 2,5,5) 1,45,2) 6,3,7), 6,4,1)

12 Defina uma relao anloga a feita no exerccio anterior, mas para . D as classes de equivalncia de 1,1), 2,2) e 3,3). Represente essas classes de equivalncia no plano cartesiano.

11 Defina para uma relao binria tal que , , )~ , , ) (ou seja, , , ), , , ) ) se + + = + + . Mostre que essa relao uma relao de equivalncia.

| = 3 (cardinalidade do conjunto quociente 15 Se | | = 5, | ) e um elemento equivalente a, no mximo, um elemento distinto, quanto | | (cardinalidade da relao de equivalncia)?

51

Captulo II Funes e EstruturasNesse captulo ser apresentado um tratamento mais geral de funes. Como j foi dito no captulo anterior, o conceito de funo presente em toda a matemtica e por isso o estudo dele de particular importncia. Tambm sero apresentadas estruturas algbricas bsicas, tais como grupos, anis e corpos, onde o conceito de funo estar sempre presente.

1 Caractersticas Gerais1.1 Definio de funo e notaes Definio 1.1.1 (funo): Dados dois conjuntos, e , e uma relao binria de em , a trinca ordenada , , ) dita ser uma funo de em ou aplicao de em quando satisfaz ambas as seguintes condies: a) b) )= , ) e , ) = . Reapresentemos a definio de funo.

Algumas novas notaes devem ser introduzidas. No lugar de , , ), passaremos a representar funes por : (l-se funo definida de em ). Como j foi introduzido no captulo anterior, tambm escrevemos = ), devido unicidade de na imagem correspondente a um no domnio. Tambm devido a esse fato, comum indicar que um dado do domnio corresponde a um determinado na imagem por (ou )). Outra conseqncia dessa unicidade que, se = ), ento chamado de imagem de sob (com certo abuso de linguagem, comum omitir o sob ). Como o conjunto de partida de uma funo sempre igual ao domnio, chamamos o conjunto de partida simplesmente de domnio da funo e o conjunto de chegada mais comumente referido como o contradomnio da funo (lembrando que a imagem da funo um subconjunto do contradomnio). Quando o domnio e o contradomnio so subentendidos, representamos a funo simplesmente por . Atentemos tambm ao fato de, a partir de agora, usarmos com freqncia letras minsculas para representar funes. Por exemplo, : . 1.2 Igualdade entre funes Antes de apresentarmos a igualdade entre funes, notemos que, como a imagem de uma funo no necessariamente igual ao contradomnio, possvel alterar o contradomnio de uma funo sem alterar outras caractersticas dessa. De fato isso acontece, como mostra o teorema seguinte. : tal que uma funo. ) (a

implica

Teorema 1.2.1: Seja : uma funo e imagem de : est contida em ). Ento :

52 ). J que ) , Demonstrao: Se , ) , ento e temos que . Assim, o par , ) , mostrando que . Conclumos, ento, que : uma funo, pois, como satisfaz as condies (a) e (b) da definio de funo, elas continuam sendo satisfeitas. QED Uma funo pode ser definida a partir de uma regra. Isso quer dizer que podemos estabelecer um padro na obteno do na imagem a partir do do domnio. Ou seja, escrevemos ) em termos de . Sabendo a regra que define a funo, podemos escrever a funo como: ).

2) = 2 2 = 4 e

) = 2 (pode-se, tambm, escrever Exemplo 1.2.1: Seja : tal que As imagens de = 1, = 2 e = 4 so respectivamente 1) = 2 1 = 2, 4) = 2 4 = 8. O diagrama abaixo ilustra a funo.

: , )

onde

) a regra em questo.

A ltima funo tambm exemplifica o teorema demonstrado logo acima. A imagem da funo composta por todos os nmeros pares positivos. Vemos, ento, que se pode reduzir o contradomnio a somente os pares positivos sem alterar os outros aspectos da funo. Ou seja, poderamos fazer : , onde o conjunto dos nmeros pares positivos. Mas tambm poderamos tomar um contradomnio maior. Por exemplo, a funo poderia ser : . Um abuso de linguagem que bastante freqente (e cometeremos aqui tambm) chamar a regra definidora da funo, ), de funo, mas se deve sempre estar atento para no confundir os conceitos. A funo propriamente dita a trinca , , ) (embora seja comum chamarmos a relao de funo). Assim, no teorema anterior, se diferente de , a funo : diferente de : , pois , , ) , , ). Afinal, , , ) = , , ) se, e s se, = , = e = . Perceba, ento, que, no exemplo anterior, quando mudamos o contradomnio, mudamos a funo. No teorema abaixo, j se est tomando os domnios e os contradomnios iguais, mas apresenta uma forma equivalente de afirmar = .

53 : Teorema 1.2.2: Sejam : e : se, e somente se, para todo , , ) . Usando a notao = funes. Ento : )= ). igual a , )

Demonstrao: Se as funes so iguais, ento

)= ), pois o , )) , )) , donde segue que recproca obtida seguindo a demonstrao no sentido contrrio. : 1 ) e =) )

), a equivalncia escrita como

= . Segue que

nico. A

domnios e contradomnios j so iguais. Assim, basta mostrar que para todo 1, se tem )=)

)=

Exemplo 1.2.2: As funes e )=

1 ). Vemos que )= =)

+ 1, so iguais. Para mostrar isso, observemos que os )=)

: 1 ) , tais que

QED

mostrando que as funes so iguais. Exerccio 1.2.1: Sejam)

=

+1 =

e, dessa forma, sabendo que ) para todo 1 ),

)

e

) = . Mostre que essas funes so iguais.

: 1,0 ) e

: 1,0 ) tais que

1.3 Unio de funes comum que a regra definidora de uma funo no seja a mesma em todo o domnio. Assim, existiro funes cujas imagens sero definidas por mais de uma regra (cada regra referente a um subconjunto do domnio). Os dois exemplos abaixo ilustram isso. Exemplo 1.3.1: Seja Podemos criar uma funo : um subconjunto de um conjunto no vazio 0,1 de forma que: )= 1 0 ) .

Ou seja, se pertence a , a imagem desse 1, mas, se no pertence, a imagem 0. Essa funo chamada de funo caracterstica de . Exemplo 1.3.2: Pode-se ter : definida por: )= 1 1

No primeiro exemplo, podemos decompor a funo em duas. A primeira ) = 1 e a segunda : ) 0 tal que ) = 0. Juntando : 1 tal que os domnios ( ) = , j que ) e os contradomnios ( 0 1 = 0,1 ) dessas duas funes e usando as regras respectivas nas partes do domnio que as = . No segundo competem, conseguimos a funo original. Ou seja, exemplo, situao semelhante ocorre, mas devemos tomar cuidado, pois, sendo ) = e : 1, ) tal que ) = , a interseco dos : , 1 tal que

54 domnios no vazia ( 1 ), mas fcil ver que as regras coincidem nessa interseco. Como no caso anterior, podemos ver que, ao unir as funes, obtemos a funo original ( = ).

Observao: Definiremos no captulo seguinte o conceito de intervalo de nmeros reais, mas j adiantemos que , 1 = | 1 e 1, ) = | 1 . )= Teorema 1.3.1: Sejam : e : funes tais que todo . Ento a unio define uma funo de em de domnio e contradomnio ). Ou seja: tal que: = ): ) ) Motivados por esses exemplos, enunciemos o seguinte teorema.

) para (funo

Demonstrao: e so relaes binrias. Assim, e . Segue que . Mas ) ), afinal, ao se unir um conjunto ao conjunto e outro ao conjunto , no se est tirando elementos que pertenam a (veja o Teorema 2.2.4 do Captulo I). De forma semelhante ) ). Assim, ) ) ) ). Conclumos, ento, que: Ou seja, ) ), que o mesmo que dizer que uma relao )= binria de em . J que e so funes e ) para todo , ) definido de forma nica em todo o domnio, , mostrando que de fato uma funo. Exemplo 1.3.3: Sejam = 1,2,3 , = 2,3,5,6 , = 1,2, , e = 2,3,4 . Sejam tambm : tal que = 1,2), 2,3), 3,3) e : tal que = 1,2), 2,3), , 3), , 4) . Ento a relao = = 1,2), 2,3), 3,3), , 3), , 4) define uma funo : , cuja representao diagramtica dada abaixo. QED = ) ) ) )

)=

55

Exerccio 1.3.1: D o domnio e a imagem das funes , no exemplo anterior. de : No Teorema 1.3.1, quando . = e , :

e apresentadas

dita ser uma extenso

Definio 1.4.1: