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Caros Colegas,

Em sua reunião de 28 de novembro de 2014,o Conselho Diretor da SBM decidiu relançar os estudos com vista à elaboração de uma proposta curricular para os diferentes segmentos do ensino de Matemática. Na sequência, foram formados 4 grupos de trabalho, compostos por professores universitários e professores da educação básica com reconhecida competência, os quais se vêm debruçado sobre a questão das diretrizes curriculares para o Ensino Fundamental 1, o Ensino Fundamental 2, o Ensino Médio e a Licenciatura em Matemática.

A metodologia utilizada é redigir uma primeira minuta da proposta e em seguida submetê-la para análise em oficinas e outros fóruns, sempre contando com participação substancial de professores atuantes em sala de aula no segmento respectivo. Os diferentes grupos iniciaram em tempos distintos e, por essa, os seus trabalhos encontram-se em diferentes estágios de amadurecimento.

No caso do grupo do Ensino Médio, que é o mais avançado dos quatro, o estágio atual das suas conclusões já foi endossado pelo Conselho Diretor e é apresentado neste documento como uma contribuição da SBM ao debate do tema na comunidade e à construção da Base Nacional Comum que está sendo levada a cabo pelo Governo Federal.

Ressaltamos que a construção de uma proposta curricular nacional deve ser um processo continuado, em constante evolução, alimentada por um amplo diálogo com todos os atores do processo educativo. Assim, o presente documento deve ser visto como um esforço concreto da SBM para enriquecer esse diálogo, a ser aprimorado sucessivamente e sem qualquer pretensão de ser uma resposta “definitiva” à questão.

Uma excelente oportunidade para fomentar o diálogo sobre o tema será a Mesa Redonda sobre o tema das Diretrizes Curriculares que terá lugar no dia 14 de agosto, durante o 2o Simpósio Nacional da Formação do Professor de Matemática (acesse para http://anpmat.sbm.org.br/simposio-nacional-2/) que será realizado no Colégio Militar de Brasília.

Contamos com a participação de todos neste debate de importância estratégica nacional!

Cordialmente,

Marcelo VianaPresidente da SBM

APRESENTAÇÃO

A presente proposta é resultado de uma discussão ao longo de um pouco mais de três meses, com base na experiência em sala de aula, na análise de currículos em vigor no país e no exterior e no nosso ponto de vista sobre os conteúdos apresentados nos principais livros didáticos usados pelas escolas brasileiras. Desta forma, foi construída uma grade com os principais conteúdos de Matemática, visando contemplar habilidades a serem alcançadas pelos alunos concludentes do Ensino Médio.

Pretendemos que este trabalho contribua com discussão sobre a elaboração de um Currículo Nacional de Matemática para essa última etapa da educação básica.

Esta é a primeira versão da tentativa de colaborar com a SBM para a construção de um documento à luz das necessidades de aprendizagem dos alunos brasileiros para esta etapa de ensino. Por isso, buscamos equilibrar teoria e prática, a partir dos principais referenciais de conteúdo de Matemática para a formação continuada do professor que leciona Matemática do Ensino Médio, mantendo atenção para a prática possível em sala de aula.

Consideramos quatro grandes áreas de trabalho, que permeiam as três séries do Ensino Médio, através de conteúdos chaves que conduzirão à aquisição das habilidades esperadas. Dentro de cada área, acrescentamos um bloco chamado “temas suplementares”, a fim de provocar uma discussão ao optar por uma proposta relativamente ousada sobre o tipo de ensino que se pretende oferecer (Científico, Humanístico ou Geral).

Iniciamos com a organização das áreas e seus conteúdos e das metas suplementares em cada série. Depois, procuramos detalhar os tópicos de conteúdos, enfatizando as habilidades ligadas a cada tópico. Tivemos ainda o cuidado de manifestar algumas recomendações de trabalho de acordo com alguns tópicos.

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TABELA DESCRITIVA DE ÁREAS POR SÉRIE

Séries Números e Funções Geometria Matemática Discreta Tratamento da Informação

1º

• Conjuntosenoçõesdelógica.

• ConjuntosNuméricos.• Proporcionalidade.• Funções:aspectosgerais.• FunçõesAfime

Quadrática.

• GeometriaPlana:congruência,semelhançaeáreas.

• Trigonometriadotriângulo.

• ConjuntoseContagem.• Aritmética.

• Noçõesdeamostragem.• Organizaçãodedados:

distribuiçõesdefrequênciasegráficos.

2º

• Sequências.• Outrasfunçõesreais.• FunçõesExponenciaise

Logarítmicas.• EquaçõeseSistemas

Lineares.

• Perímetroeáreadefigurassemelhantes.

• Círculo.• GeometriaEspacialde

Posição.

• MatemáticaFinanceira.• TécnicasdeContagem.

• Medidasresumoedistribuiçãodedados.

3º• FunçõesTrigonométricas.• Desigualdadesemédias.

• Poliedros.• ÁreaseVolumes.• GeometriaAnalítica.

• Probabilidade. • NoçõesdeEstatísticabivariada.

Temas Suplementares

• Taxasdevariação.• Outrasfunções

trigonométricas.• NúmerosComplexos.• Noçõessobrematrizes

etransformaçõeselementaresnoplanoenoespaço.

• Áreasdefigurasplanas:outrasabordagens.

• Vetoresnoplano.• Transformações

geométricasesimetria.

• Grafos.• Aritmética.• Outrosmétodosde

contagem.

DETALHAMENTO POR SÉRIES1ª Série

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1ª SérieÁREA: NÚMEROS E FUNÇÕES

1. CONjUNTOS E NOÇÕES DE LóGICA

Estrutura de tópicos Habilidades Recomendações

1.1.Noçãodeconjunto;1.2. Conjunto definido por uma condição;

igualdade entre conjuntos; conjuntosdefinidos por uma propriedade ou porextensão;

1.3.RelaçãodeInclusão(implicação);1.4. Reunião (ou), intersecção (e) e diferença

de conjuntos e conjunto complementar(negação);

1.5. Relação entre operações lógicas sobrecondiçõeseoperaçõessobreosconjuntosquedefinem.

• Representar um conjunto listando seuselementos, enunciando uma propriedadecomum ou graficamente (diagrama deVenn);

• Relacionar elementos a conjuntos econjuntos a conjuntos (relações depertinênciaeinclusão,respectivamente);

• Compreender as operações da reunião,intersecção,diferençaecomplementardeconjuntos;

• Relacionar as operações entre conjuntoscomasoperaçõeslógicas;

• Resolversituaçõesproblemaqueenvolvamconceitosdeconjuntosesuasoperações.

O estudo dos conjuntos não deve seraprofundado por ser entendido como umalinguagemnecessárianoestudodasfunções.

1ª Série - Área: Números e Funçôes

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2. CONjUNTOS NUMÉRICOS


2.1.NúmerosNaturaiseInteiros2.2.NúmerosRacionais2.3.Comensurabilidade2.4.NúmerosReais

• Reconhecer o conjunto dos númerosnaturaiseoconjuntodosnúmerosinteiros,suas operações, suas propriedadesprincipaisesuarelaçãodeinclusão;

• Reconhecer o conjunto dos númerosracionais, suas operações e suaspropriedadesprincipais;

• Compreender as diferentes formas derepresentação dos números racionais ecomoalternarasrepresentações;

• Localizar números racionais na retanumérica;

• Compreender o conceito decomensurabilidade para estabelecer aampliação do conjunto dos númerosracionaisatravésdosnúmerosirracionais;

• Representar os números reais na retanumérica;

• Identificarintervalosreaisnaretanuméricacomo subconjuntos do conjunto dosnúmerosreais.

Aintroduçãodecadaconjuntonuméricodeveter como base situações matemáticas dasquais o conjunto numérico anterior não dáconta.Emparticular,aextensãodosnúmerosracionaisparaosnúmerosreaisdevetercomobaseproblemasdemedidaquenãopodemsersolucionadospornúmerosracionais.


3. PROPORCIONALIDADE

Estrutura de tópicos Habilidades

3.1.Grandezas proporcionais: definição,grandezas diretamente ou inversamenteproporcionais.

3.2.Divisãoempartesproporcionais.3.3.Grandezaproporcionalaváriasoutras.3.4.Porcentagem.

• Identificar grandezas como diretamente proporcionais, inversamente proporcionais ou nãoproporcionais;

• Resolverproblemasqueenvolvamgrandezasproporcionais;• Resolverproblemasqueenvolvamumadivisãoempartesproporcionais;• Representarpartesdotodopercentualmente;• Resolverproblemasqueenvolvamporcentagens.


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4. FUNÇÕES: ASPECTOS GERAIS


4.1.Funções;4.2.Gráficosdefunções;4.3.Estudodamonotonicidadeeextremos;4.4.Composição;4.5.Funçõesinjetivas,sobrejetivas,bijetivas;4.6.Funçãoinversadeumafunçãobijetiva;4.7.Transformaçõesdegráficosdasfunções.

• Compreenderoconceitodefunção;• Reconhecerumarelaçãocomofunção;• Identificar o domínio, contradomínio e o

conjuntoimagemdeumafunção;• Resolverproblemasqueenvolvamgráficos

defunções(mesmosemconhecerasualeideformação);

• Esboçargráficosdefunções;• Identificar intervalos de crescimento e

decrescimentodefunções;• Identificarextremoslocaisdefunções;• Compreender o conceito de composição

defunções;• Obterafunçãocompostadeduasfunções;• Reconhecer uma função como injetiva,

sobrejetivaebijetiva;• Compreenderoconceitodefunçãoinversa;• Obter a função inversa de uma função

bijetiva;• Obterográficodafunção inversaapartir

dográficodafunçãodada;• Representargraficamenteasfunçõesaf(x)

+b, f(ax+b),paraaebreais,apartirdográficodaf(x).

O estudo de funções reais não deve tercomoeixo central a separaçãonas chamadas“classesdefunçõeselementares”.Aocontrário,recomenda-se que, inicialmente, sejaapresentadaumagamadiversificadadefunçõesreais simples (sem que sejam estabelecidasclassificaçõesapriori)equesejamexploradaspropriedades qualitativas dessas funções(tais como crescimento, extremos locais eabsolutos,variaçãoabsolutaevariaçãomédia),pormeiodaarticulaçãoentre representaçõesalgébricas,numéricasegráficase,emespecial,comsuportederecursosdigitais.Em particular, recomenda-se fortemente queastransformaçõesdegráficosdefunçõessejamrealizadas em ambiente virtual, permitindoumaabordagemmaisdinâmicaerápida.A identificação de “classes de funçõeselementares” (polinomiais, exponenciais,logarítmicas e trigonométricas) deve emergirda identificação de propriedades comuns nouniversodeexemplosdefunçõesreaissimplesapresentadoinicialmente.


5. FUNÇÕES AFIM E QUADRÁTICA


5.1.FunçãoAfim5.2.FunçãoLinear5.3.FunçãoQuadrática

• Identificarumafunçãoafimapartirdasuarepresentaçãoalgébricaougeométrica;

• Representargraficamentefunçõesafins;• Obter a representação algébrica de uma

funçãoafimapartirdasuarepresentaçãográfica;

• Compreender que a função afim possuitaxadevariaçãoconstante;

• Identificarumafunçãolinearapartirdasuarepresentaçãográficaoualgébrica;

• Associar a função linear a grandezasdiretamenteproporcionais;

• Identificar uma função quadrática apartir da sua representação algébrica ougeométrica;

• Representar graficamente funçõesquadráticas;

• Obter a representação algébrica deuma função quadrática a partir da suarepresentaçãográfica;

• Resolverproblemasqueenvolvammáximosemínimosdefunçõesquadráticas

Utilizar os conhecimentos de funçõesdesenvolvidos anteriormente para analisare construir gráficos das funções afim equadrática.No caso de funções quadráticas, explorarprimeiramente casos mais simples, em queos zeros das funções possam ser obtidospor meio de fatoração e da aplicação deoperaçõesaritméticas(semousodefórmulaspadronizadas).Apartirdessescasos,introduzirocompletamentodequadradoseaobtençãodaformacanônicaparafunçõesquadráticas.Essa formacanônicadevesustentaroestudodaspropriedadesdasfunçõesquadráticas,emespecialmáximosemínimos,eixodesimetriaedeterminaçãodezeros.


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1ª SérieÁREA: MATEMÁTICA DISCRETA

1. CONjUNTOS E CONTAGEM


1.1.PrincípiodaInclusãoeExclusão;1.2.ContagemdeSubconjuntos;1.3.PrincípioMultiplicativo

• AplicaroPrincípiodaInclusãoeExclusãonaresoluçãodeproblemasdecontagemqueenvolvamauniãodedoisoutrêsconjuntos;

• Determinaronúmerodesubconjuntosdeumconjuntofinitoeaplicaresteconceitonaresoluçãodeproblemasdecontagem;

• ResolverproblemasdecontagemaplicandooPrincípioMultiplicativo.

1ª Série - Área: Matemática Discreta

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2. ARITMÉTICA


2.1.Divisão Euclidiana, discussão sobrediferentes algoritmos e procedimentos esuas relações coma estruturado sistemaposicionaldenumeração.

2.2.DivisibilidadeeResto:aritméticadosrestos,múltiplos e divisores, números primos,fatoraçãoecritériosdedivisibilidade;

2.3.MáximoDivisorComum;2.4.MínimoMúltiploComum.

• Valorizar os números naturais, em suas aplicações, como um dos conceitos mais antigosconcebidospeloserhumano;

• CompreenderoAlgoritmodeEuclides;• Reconhecer proposições e propriedades dosmúltiplos e divisores de umnúmero, fatorar e

saberusaroscritériosdedivisibilidade;• DemonstrarpropriedadesdoMáximoDivisorComumedoMínimoMúltiplocomumdedois

números;• Conheceraplicaçõesemtornodoestudodaaritmética,favorecendoarelaçãoteoria-práticano

contextodemundo.


1ª SérieÁREA: GEOMETRIA

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1. GEOMETRIA PLANA: CONGRUêNCIA, SEMELHANÇA, RELAÇÕES MÉTRICAS E ÁREAS


1.1.Conceito de congruência de duas figuras,Casosdecongruênciadetriângulos

1.2.Conceitodesemelhançaentreduasfiguras,Semelhançadetriângulos

1.3.Relaçõesmétricas no triângulo retângulo,TeoremadePitágoras

1.4.Conceitodeárea,áreasdasfigurassimples

• Identificarfigurascongruentes.• Conhecer os casos de congruência de

triângulos e saber utilizá-los na resoluçãodeproblemas

• Conhecer as propriedades dos principaisquadriláterosesaberjustificá-las.

• Identificarfigurassemelhantes.• Conheceroconceitoderazãodesemelhança

entreduasfigurassemelhantes.• Utilizar a semelhança de triângulos para

resolverproblemas.• Conhecerasrelaçõesmétricasnotriângulo

retângulo e suas demonstrações viasemelhançadetriângulos.

• ConheceroteoremadePitágorasealgumasdemonstrações

• Compreender o conceito de área comomedida da superfície ocupada por umafigura.

• Compreenderasdiversasunidadesdeáreaesuasrelações.

• Saber calcular áreas de diversas figurassimples.

1. O tópico de Geometria plana tem duasfinalidades: recordar os conceitos epropriedadesqueforamabordadosnoEF2eaprofundaressesconteúdosumavezqueos alunos já possuem, nesta série, maiormaturidade.

2. NoEF2aspropriedadesdasfiguraseram,emgeral,observadasnasfiguras.Agora,aênfaseéadequeessaspropriedades,muitasjáconhecidas,podemserdemonstradas.

3. Nãosedeveexagerarnorigordaescrita,asideiassãoascoisasmaisimportantes.

4. Anotaçãodeveseramaissimplespossível.Escrever de forma rebuscadanão torna aMatemáticamelhor.

1ª Série - Área: Geometria

2. TRIGONOMETRIA DO TRIâNGULO


2.1.Razõestrigonométricasdoânguloagudo2.2.Atabelatrigonométrica2.3.Definiçõesdesenoecossenoparaângulos

retoeobtusos2.4.LeidoscossenoseLeidossenos

• Conhecerosconceitosdeseno,cossenoetangentedeumânguloagudo.

• Compreender os casos de resolução detriângulosretângulos.

• Compreender a tabela trigonométrica esua forma de utilização na resolução deproblemas.

• Compreender as definições de seno ecossenodeângulosobtusos.

• Conhecer a Lei dos cossenos e suademonstração.

• Conhecer a Lei dos senos e suademonstração.

• Calcular distâncias inacessíveis com osrecursosdatrigonometriadotriângulo.

1. Enfatizar que seno, cosseno e tangentesão números associados a cada ângulo,independentedesuamedida.

2. No mundo real raramente aparecemângulosde30o,45oe60o.Dar ênfase àutilizaçãodatabelatrigonomátrica.

3. Utilizaracalculadorasimplesnaresoluçãodeproblemas.

4. Dar resultados aproximados de medidasreais mantendo a coerência nasaproximações.

5. Apresentarafórmuladaáreadotriânguloem função de dois lados e do seno doânguloformadoporeles.


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1ª Série ÁREA: TRATAMENTO DA INFORMAÇÃO

1. PESQUISAS ESTATíSTICAS E COLETA DE DADOS


1.1.CiclodeInvestigaçãoestatística1.2.População,ValorNeCenso1.3.AmostraeBasedeAmostragem1.4.Viés de Seleção, Amostragem por

Conveniência,Autosseleção1.5.Amostragem por Cotas, Aleatória e

Estratificada1.6.EstatísticaeParâmetro1.7.Erro de Amostragem: erros aleatórios e

viésdeamostragem1.8.Estudos Clínicos: variáveis de confusão,

grupo de tratamento, grupo de controle.Efeito Placebo, Estudo Cego e EstudoDuplo-Cego

• Compreender o ciclo de investigação estatística (PPDAC: problema, planejamento, dados,análiseeconclusão)

• Compreenderoprocedimentodeseconduzirumcenso.• Compreenderasvantagensedesvantagensdeseconduzirumcenso.• Compreender o propósito do processo de amostragempara fornecer parâmetros para uma

determinadavariáveldapopulaçãoquandoumcensonãoéusado.• Compreenderasdiferentestécnicasdeamostragem(porcotas,aleatória,estratificada),suas

vantagensedesvantagens.• Compreender princípios gerais na elaboração de questionários em pesquisas estatísticas

(linguagem simples, perguntas sem ambiguidade, consideração do número de escolhas,questõesdeéticaeprivacidade,viesesdeamostragem).

• Reconhecerasdiversasfontesdeerrosdeamostragem(errosaleatórioseviésdeamostragem)emumapesquisaestatística.

• Compreenderatécnicadecaptura-recapturaparaocálculodeestimativasparaotamanhodeumapopulação.

• Compreenderoprocessoeprotocolosempesquisasclínicas(variáveisdeconfusão,gruposdetratamentoecontrole,efeitoplacebo,estudoscegoeduplo-cego).

1ª Série - Área: Tratamento da Informação

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2. ORGANIzAÇÃO DE DADOS ESTATíSTICOS


2.1.Variáveis estatísticas: quantitativas xqualitativas,discretasxcontínuas

2.2.Tabelas de frequência, frequênciasabsolutasefrequênciasrelativas

2.3.Pictogramas,diagramasdebarra,diagramasdesetorescirculares,diagramasdepontos,diagramasderamoefolhas,histogramas

• Reconhecerqueumaquestãoestatísticaantecipavariabilidadenosdadosreferentesàquestão(porexemplo,“Qualéaminhaidade?”nãoéumaquestãoestatística,mas“Quaissãoasidadesdosestudantesdaminhaescola?”éumaquestãoestatística,poiselaantecipavariabilidadenasidadesdosalunos).

• Reconhecereidentificarvariáveisquantitativasequalitativas.• Entenderqueumconjuntodedadoscoletadospara responderumaquestãoestatísticatem

umadistribuiçãoquepoderserdescritanumericamenteegraficamente.• Sercapazdeorganizardadosemtabelasdefrequênciaeemdiferentesrepresentaçõesgráficas

(pictogramas, diagramas de barra, diagramas de setores circulares, diagramas de pontos,diagramasderamoefolhas,histogramas).

• Compararaadequaçãodosdiferentesmétodosdeorganizaçãoeapresentaçãodedadosemcontextosdomundoreal.

• Reconheceremexemplosdamídiausosadequadoseinadequadosderepresentaçõesgráficas.• Reconhecerdadosdiscrepantes.• Sercapazdecomparardoisdiagramasderamoefolhasdiferentescolocadosladoalado.


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1. OUTRAS FUNÇÕES REAIS


1.1.Outrasfunçõesreais:polinomiais,funçãof x x( ) = função f x x( ) = 1 ;

1.1.Funções definidas por partes (funçãomodular).

• Reconheceralgebricamenteegraficamentefunçõespolinomiais,a f x x( ) = ,funçãof x x( ) = 1 ;

• Compreender a ideia de funçãorepresentadaalgebricamentepormúltiplasexpressões(funçõesporpartes);

• Representargraficamenteumafunçãoporpartes;

• Entender a função modular como umafunçãoporpartes.

O estudo dessas funções não deve seraprofundando,porémressalta-seaimportantedeseconhecerseusgráficos.Deveprivilegiarautilizaçãodeambientevirtualnaconstruçãodosgráficos.


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2. FUNÇÕES ExPONENCIAIS E LOGARíTMICAS


2.1.FunçãoExponencial2.2.EquaçõesExponenciais2.3.FunçãoLogarítmica2.4.EquaçõesLogarítmicas

• Identificarumafunçãoexponencialapartirdasuarepresentaçãoalgébricaougeométrica;• Representargraficamentefunçõesexponenciais;• Obter a representação algébrica de uma função exponencial a partir da sua representação

gráfica;• Identificarumafunçãologarítmicaapartirdasuarepresentaçãoalgébricaougeométrica;• Representargraficamentefunçõeslogarítmicas;• Reconhecerafunçãologarítmicacomofunçãoinversadafunçãoexponencial;• Resolverproblemasqueenvolvamfunçõesexponenciaiselogarítmicas.

3. EQUAÇÕES E SISTEMAS LINEARES


3.1.EquaçõeseSistemasLineares • Reconhecerseumtrioordenadoésoluçãodeumsistemadeequaçõeslineares;• Resolverumsistemadeequaçõeslinearescomduasetrêsvariáveisporescalonamento;• Interpretar geometricamente o resultado de um sistema de equações lineares com duas

incógnitas;• Resolverproblemasquepossamsermodeladosporumsistemadeequaçõeslineares.


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1. MATEMÁTICA FINANCEIRA


1.1.Acréscimosedescontospercentuais1.2.TaxasdeJuros1.3.ValorPresenteeValorFuturo1.4.JurosCompostos1.5.TaxasEquivalentes1.6.JurosSimples1.7.SériesUniformes1.8.SistemasdeAmortização

• Determinarovalorfinaldeumagrandezaque sofreu variação percentual de umataxa i(produtopor1+ie1-i);

• Determinar a taxa devariação percentualdeumagrandezaquesofreuacréscimooudesconto;

• Determinar a taxa de juros de umempréstimorelacionadaaoperíodo;

• Resolver problemas envolvendoequivalênciadecapitais;

• Resolver problemas envolvendo juroscompostoseamortizações;

• Determinar taxas de juros equivalentes etaxasdejurosproporcionais;

• Aplicar o conceito de juros simples asituações em que o prazo é menor queunidade;

• Resolver problemas envolvendo sériesuniformes;

• Construir tabelas de amortização nossistemasPriceeSAC.

• No ensino de juros compostos e daMatemática Financeira como um todo,pode-seevitarousoexcessivodefórmulascaso o aluno adquira a habilidade deresolver problemas com o diagrama deflechasmontandoa chamadaequaçãodevalor,comfoconumadeterminadaépoca.

• O conceito de juros simples é raramenteutilizado em situações reais e, portanto,deve-se abolir a prática de propor aosalunosexemploseexercíciosartificiaisdeempréstimos a juros simples. A exceçãoresidenocálculodejurosemqueoprazoémenorqueaunidadedetempoadotada,emparticular,nocálculodosjurosdemora.Umaboaformadevisualizaromotivopeloqualissoacontece,écompararosgráficosdemontantesdos jurossimplesecompostos(funçãoafimeexponencial),ondesepodeverificaravantagemdeadotaressapráticaparaodetentordocapital.

• Na medida do possível, o ensinoda Matemática Financeira deve seracompanhado do uso de calculadorasfinanceiras e/ou planilhas eletrônicas. Talprática aproxima o aluno das aplicaçõesdessesconceitosnomundoreal.


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2. TÉCNICAS DE CONTAGEM


2.1.PermutaçõesSimples2.2.PermutaçõesCircularesecomRepetições2.3.CombinaçõesSimples2.4.CombinaçõesCompletas2.5.PrincípiodasGavetas

• Resolver problemas de contagem queenvolvam permutações simples, comrepetiçõesecirculares;

• Resolver problemas de contagem queenvolvam combinações simples ecompletas;

• Resolver problemas de contagem queenvolvamoPrincípiodasGavetas.

• A fórmula do binômio de Newton,conteúdo tradicionalmente trabalhado noEnsinoMédiocomoumtópicoespecífico,pode ser brevemente apresentada comoumaaplicaçãodoestudodecombinações,sem que se perca muito tempo comproblemasartificiaiscomoadeterminaçãodo coeficiente de certa potência de umavariávelenvolvidanobinômio.

• A técnica de contagem conhecida comoArranjo, tradicionalmente presente noslivros didáticos de Ensino Médio, nãoprecisa ser abordada se o aluno tiver umbom domínio do Princípio Multiplicativo(estudado na 1ª série); a resolução deproblemasenvolvendoarranjoé,emgeral,mais simples quando feita por aqueleprincípio. Além disso, são frequentes asconfusões feitas pelos alunos entre asfórmulasdearranjoecombinaçãoecomasfalas “a ordem importa” ou “a ordemnãoimporta”.

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1. PERíMETRO E ÁREA DE FIGURAS SEMELHANTES


1.1.Perímetrodepolígonossemelhantes1.2.Conceitogeraldeárea1.3.Áreasdefigurassemelhantes

• Compreenderoconceitodeperímetrodeumpolígono.

• Identificar a razão de semelhança depolígonossemelhantes.

• Reconhecerquearazãoentreosperímetrosde polígonos semelhantes é a razão desemelhança.

• Compreenderoconceitogeraldeáreadeumafiguraplana.

• Saber demonstrar que a razão entre asáreas de dois triângulos semelhantes é oquadradodarazãodesemelhança.

• Reconhecerquearazãoentreasáreasdefigurassemelhanteséoquadradodarazãodesemelhança.

1. Recordaroconceitoderazãodesemelhançaentreduasfigurassemelhantes.

2. O conceito geral de áreanãoé fácil,masprecisaserexplicadocomcalma.Ofatodecolocarretângulosoutriângulosnointeriordeumafigura,eaumentandoseunúmeroéaprimeiraoportunidadeparaabordaroconceito de limite, ainda de formamuitointuitiva.


2. CíRCULO


1.3.Perímetrodepolígonossemelhantes1.4.Conceitogeraldeárea1.5.Áreasdefigurassemelhantes

• Identificar os ângulos central e inscrito econhecerarelaçãoentreosquesubtendemummesmoarco.

• Conhecer a razão entre o comprimentode uma circunferência e seu diâmetro (onúmeropi).

• Conhecerademonstraçãodoteoremadascordasusandosemelhançadetriângulos.

• Resolverproblemassimplesenvolvendooteoremadascordas.

• Identificaraáreadocírculocomolimitedasáreasdospolígonosregularesinscritos.

• Calcularaáreadocírculo.• Calcularasáreasdosetoredosegmento

circular.

1. Demonstrar que a medida do ânguloinscrito é igual à metade da medida doângulocentralquesubtendeomesmoarco.

2. A razão entre o comprimento de umacircunferência e seu diâmetro é amesmapara todas as circunferências. Enfatizar eexplicar.

3. Oteoremadascordasdeveserdemonstradopois essa demonstração é simples eenvolve dois argumentos importantes;os ângulos inscritos e a semelhança detriângulos.Entretanto,asaplicaçõesdevemsersimples.Nãosedevecomplicaraqui.

4. Explicar o conceito de limite calculandocomalgumrecursocomputacionalasáreasde polígonos regulares inscritos em umacircunferência com número crescente delados.

5. A passagem ao limite do perímetrodo polígono para o comprimento dacircunferência deve ser feita de formaintuitiva, sem formalizações (do apótemaparaoraiotambém).

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3. GEOMETRIA ESPACIAL DE POSIÇÃO


3.1.Elementosprimitivosealgunsaxiomas3.2.Posições relativas entre pontos retas e

planos3.3.Paralelismoeperpendicularismo3.4.Projeções,Distânciaseângulos

• Compreenderaexistênciadeobjetosquenão podem ser definidos e afirmaçõesadotadascomoverdadeiras

• Identificar pertinência de um ponto emrelaçãoàumaretaouumplano

• Identificar retas concorrentes paralelas ereversas.

• Identificarplanosparalelosesecantes.• Conhecer as condições de paralelismo

entreretaeplanoeentredoisplanos.• Reconhecerretaeplanoperpendiculares.• Conhecer o teorema fundamental de

perpendicularismoentreretaeplano.• Reconhecerplanosperpendiculares.• Conhecer o significadodedistância entre

dois pontos, distância de ponto a reta,distância de ponto a plano bem comodistânciaentreduasretasparalelaseentredoisplanosparalelos.

• Conhecer o significado de projeçãoortogonaldeumobjetosobreumplano.

• Conhecer o significado de ângulo entreduas retas reversas, de ângulo entre umareta e um plano e do ângulo entre doisplanos.

• Identificarretasortogonais.

1. Aapresentaçãodosaxiomasnãodeveserformalnemexagerada.Osalunosdeverãocompreender a necessidade de adotaressesfatosiniciais.

2. Os símbolos utilizados nos Conjuntosdevem ser utilizados com o mesmosignificado.

3. Algum teorema deve ser demonstradoparaqueoalunoentendaadiferençaentreaxiomaeteorema.Deveserenfatizadoquenoensinomédionãosepodedemonstrartudo, mas tudo (além dos axiomas) podeserdemonstrado.

4. As relações de pontos retas e planos,paralelismo e perpendicularismo devemser ilustradas com objetos concretos eutilizandoointeriordasaladeaula.

5. Aprojeçãodeumobjeto sobreumplanohorizontalpodeserassociadaàsombradoobjetoquandoosolestáapino.


2ª SérieÁREA: TRATAMENTO DA INFORMAÇÃO

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1. MEDIDAS DE POSIÇÃO E DISPERSÃO


1.1.Medidas de posição: moda, média emediana

1.2.Quartisepercentis1.3.Medidas de dispersão: amplitude, desvio

médioabsoluto,desviopadrão,amplitudeinterquartílica,coeficientedevariação

1.4.Boxploteoresumodoscinconúmeros

• Entenderqueumconjuntodedadoscoletadospara responderumaquestãoestatísticatemumadistribuiçãoquepodeserresumidapormedidasdeposiçãoedispersão.

• Saberidentificaramoda.• Sabercalcularmedidasdeposição(moda,médiaemediana).• Reconhecerousoapropriadoounãodemedidasdeposiçãoemvárioscontextosdomundo

real.• Reconheceroefeitodedadosdiscrepantesnamédiaenamediana.• Sabercalculareinterpretarquartaisepercentis.• Sabercalcularmedidasdedispersão(amplitude,amplitudeinterquartílica,desviopadrão)• Reconheceremexemplosdamídiausosadequadoseinadequadosdemedidasdeposiçãoe

dispersão.• Sabercalcularoresumodoscinconúmeroseconstruirorespectivoboxplot.• Sercapazdecompararboxplotsdiferentescolocadosladoalado.• Reconhecer que umamedida de posição para um conjunto de dados quantitativos resume

todososseusvalorespormeiodeumúniconúmeroequeumamedidadedispersãodescrevecomoestesvaloresvariamcomrelaçãoaumúniconúmero.

• Usarmedidasdeposiçãoedispersãodeamostrasaleatóriasparaobterinferênciasinformaissobreduaspopulações (por exemplo, decidir se aspalavras emumcapítulodeum livrodeciênciasdoEnsinoMédiosãoemgeralmaislongasdoqueaspalavrasdeumcapítulodeumlivrodeciênciasdoEnsinoFundamental)

• Reconhecerdadosdiscrepantes.

35


1. FUNÇÕES TRIGONOMÉTRICAS


1.1.Trigonometrianocírculo1.2.FunçõesTrigonométricas

• Expressaramedidadeumarcoemgrausouradianos;• Identificaraextremidadedeumarconocírculotrigonométrico;• Reconhecererepresentararcoscôngruos;• Calcularoseno,cossenoetangente(casoexista),dosânguloscomextremidadesnasintersecções

doseixoscomocírculo(0°,90°,180°e270°);• Identificarasvariaçõesdesinaisdasfunçõesseno,cossenoetangente;• Reconhecerarelaçãotrigonométricafundamentalparaqualquerarcoreal;• Simplificarexpressõestrigonométricas;• Identificar domínio, imagem, extremos locais, paridade, zeros das funções seno, cosseno e

tangente;• Reconhecerográficodasfunçõesseno,cossenoetangente;• Resolverproblemasqueenvolvamasfunçõestrigonométricas.

3ª Série - Área: Números e Funções

37

2. DESIGUALDADES E MÉDIAS


2.1.MédiasAritmética,Ponderada,HarmônicaeGeométrica

2.2.Desigualdade de médias na resolução deproblemas

• Calcularamédiaaritmética,amédiaponderada,amédiaharmônicaeamédiageométrica;• Estabeleceradesigualdadesentreasmédias;• Resolverproblemasutilizandoadesigualdadeentreasmédias.

3ª Série - Área: Números e Funções

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1. PROBABILIDADE


1.1.ProbabilidadesdeLaplace1.2.Espaçosnãoequiprováveiseprobabilidade

frequentista1.3.Espaçosdeprobabilidade1.4.ProbabilidadesCondicionais1.5.DistribuiçãoBinomial1.6.Noções de probabilidades em espaços

contínuos

• Calcularprobabilidadesemespaçosequiprováveis;• Resolverproblemasenvolvendoprobabilidadesemespaçosnãoequiprováveis;• Analisarexperimentosfrequentistaseinferirprobabilidades.• Aplicaraspropriedadesdeumespaçodeprobabilidadesnaresoluçãodeproblemas;• Resolverproblemasenvolvendoprobabilidadescondicionais;• AplicaroTeoremadaprobabilidadetotaleoTeoremadeByaes.• Calcularprobabilidadesdeumadistribuiçãobinomial;• Resolverproblemaselementaresemespaçosdeprobabilidadescontínuos.


41


1. POLIEDROS


1.1.Definição1.2.Arestas,facesevértices1.3.RelaçãodeEuler1.4.Poliedrosregulares1.5.Construçãodeprismasepirâmides

• Identificarpoliedrosapartirdadefinição.• Identificarosnúmerosdearestas, facese

vérticesdeumpoliedro.• Fazeracontagemdasarestasapartirdas

faces.• Conhecer o significado de poliedro

convexo.• ConhecerarelaçãodeEulerparapoliedros

convexos.• Resolver problemas simples sobre os

númerosdearestas,facesevérticesdeumpoliedroconvexo.

• Reconheceros5poliedrosregularesesuascaracterísticas.

• Reconhecer um prisma e conhecer suaspropriedades.

• Identificar os objetos especiais da famíliados prismas como o prisma regular, oparalelepípedo,oparalelepípedoretânguloeocubo.

• Reconhecerumapirâmideeconhecersuaspropriedades.

• Identificar os objetos especiais da famíliadaspirâmidescomoapirâmideregulareotetraedro.

1. Adefiniçãoapresentadadeverestringirosobjetos chamados de poliedros aos casosmaissimples.

2. Asdefiniçõesdevemseracompanhadasdeexemplos concretos, muitos encontradosnointeriordasaladeaula.

3. A demonstraçãoda relaçãodeEuler parapoliedrosconvexosnãoéfácil.Éaceitávelquesejavistaemdiversospoliedrosequesedigaqueexistemdiversas demonstraçõesdela.

4. Ospoliedrosregularesdevemserexibidosdeformaconcretaouexibidosemfigurasencontradasnainternet.

5. Prismasepirâmidesdevemserassociadosaconstruçõesqueseobservamemdiversoslugares.


2. ÁREAS E VOLUMES


2.1.Áreadeumpoliedro2.2.Definiçãodevolume2.3.Volumedoparalelepípedoretângulo2.4.PrincípiodeCavalieri2.5.Volumedoprisma2.6.Volumedapirâmide2.7.Construção dos sólidos redondos

(cilindro,cone,esfera).Sólidosderevolução.2.8.Volumesdossólidosredondos2.9.Áreasdossólidosredondos

• Identificar a área de um poliedro como asomadasáreasdetodasassuasfaces.

• Estabeleceroconceitodevolume.• Reconhecerdiversasunidadesdevolume.• Sabercalcularaáreadeumparalelepípedo

retângulo.• Saber calcular o volume de um prisma

simples.• Conhecer a relação entre o volume do

prismatriangulareovolumedotetraedrode mesma base e mesma altura que oprisma.

• Saber calcular ovolumedeumapirâmidesimples.

• Reconhecercilindros,coneseaesfera.• Reconhecerossólidosderevolução.• Conhecerosvolumesdossólidosredondos

deduzidosapartirdoprincípiodeCavalieri.• Reconhecerdeformaintuitivaosignificado

dasáreasdossólidosredondos.• Saber calcular as áreas dos sólidos

redondos.

1. Enfatizarqueaunidadedevolumeéocubodearesta1.

2. Medir o volume de um sólido significadeterminar quantas vezes a unidadede volume cabe dentro dele. Enfatizara dificuldade que isso representa paraobjetosreais.

3. 3O volume do paralelepípedo retângulodeve ser mostrado quando as medidasdasarestassãonúmerosracionais.Ofatode que o volume é igual ao produto dasarestasmesmo que elas tenhammedidasreaisquaisquernãoéacessívelaosalunosdo ensinomédio,mas essa fato deve sercitado.

4. Cortarumapirâmideporumplanoparaleloà base. A razão entre as distâncias dovérticedapirâmideaosplanosdaseçãoedabaseék.Observarquearazãoentreasáreasdaseçãoedabaseék2.Essefatoéfundamentalseoprofessorquisermostrarqueduaspirâmidedemesmabaseemesmaalturatêmmesmovolume(viaCavalieri).

5. Aconstruçãodecilindroseconesdeveserestringiraoscasosmaissimpleseusuais.

6. Identificar os cilindros e cones simplescomosólidosderevolução.

43

3. GEOMETRIA ANALíTICA


3.1.Ométododascoordenadas3.2.Distânciaentredoispontos3.3.Pontoscolineares3.4.Equaçãodareta3.5.Equaçãodacircunferência

• Identificaraposiçãodeumpontonoplanocartesiano.

• Calcular a distância entre dois pontosdados.

• Reconhecerpontoscolineares.• Saber dividir um segmento, internamente

ouexternamenteemumarazão.• Conhecerasformasusuaisdeapresentação

daequaçãodareta.• Identificar o coeficiente angular de uma

reta.• Reconhecerosignificadodainterseçãode

duasretas.• Identificarretasparalelaseperpendiculares.• Identificaraequaçãodeumacircunferência.• Identificar o centro e o raio de uma

circunferência.• Identificar a posição relativa de duas

circunferências.• Saber intersectar uma reta e uma

circunferênciaouduascircunferências.• Identificar a tangência entre reta e

circunferência.

1. Não se deve criar dificuldades artificiais.Os itens sobre coordenadas e pontoscolineares devem ser apresentados deformasimples.

2. Aequaçãodaretadeveserapresentadanasformasgeralereduzida.Nãoénecessárioapresentarmuitasoutras.

3. O coeficiente angular é importante. Seo professor tiver tempo, poderá mostrarcomosecalcularumânguloemfunçãodasuatangente.

4. Enfatizar que a interseção de retas estádiretamenteligadaàsoluçãodossistemaslineares2x2.

5. Dada a equação desenvolvida dacircunferência a determinação do centroe do raio deve ser feita através do“completamento” de quadrados. Nãodevemserdadasfórmulasparaisso.

6. Para a interseção de uma reta com umacircunferência,osistemadasduasequaçõeslevaaumaequaçãodosegundograu,cujaspropriedadesdevemserrecordadas.


3ª SérieÁREA: TRATAMENTO DA INFORMAÇÃO

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1. NOÇÕES DE ESTATíSTICA BIVARIADA


1.1.Diagramas de dispersão etabelasdeduplaentrada

1.2.Associação, regressão ecorrelação

• Construir e interpretar diagramas de dispersão de medidas bivariadasparainvestigarpadrõesdeassociaçãoentreduasquantidades.Descreverpadrõestaiscomodadosdiscrepantes,espalhamento,associaçãopositivaounegativa,associaçãolinearenãolinear.

• Reconhecervariáveisderespostaevariáveisexplanatórias.• Reconhecer que uma associação observada entre duas variáveis não

necessariamente significa que existe uma relação de causalidade entreelas.

• Modelar uma relação linear por meio de uma reta de regressão linearcalculadapelocritériodosmínimosquadrados.

• Calcular e interpretar o coeficiente de correlação para quantificar aintensidadedeumaassociaçãolinear.

• Usaraequaçãodeummodeloderegressãolinearpararesolverproblemascontextualizados(porexemplo,emummodelolineary=ax+bparaumexperimentoembiologia,interpretara=1,5cm/hcomosignificadodequeumahoraadicionaldesoldiariamenteestáassociadocomumacréscimode1,5cmnaalturadeumaplantaadulta).

• Distinguirinterpolaçãoeextrapolaçãoaousarmodelosderegressãoparafazerprediçõesereconhecerosperigosempotencialdaextrapolação.

• Construir e interpretar tabelas de dupla entrada para duas variáveisqualitativascoletadasdeummesmoproblema.

• Entenderquepadrõesdeassociaçãotambémpodemservistosemdadosquantitativos bivariados pormeio de frequência e frequências relativasemumatabeladeduplaentrada.

• Entenderoprocessodeinvestigaçãoestatísticapararesponderquestõesque envolvam identificar, analisar e descrever associações entre duasvariáveis quantitativas ou qualitativas (Existe uma associação entreatitudeparaapenademorte(concordar,semopinião,discordar)egênero(masculino,feminino)?Existeumaassociaçãoentrealturaecomprimentodopé?).

Os coeficientes da reta deregressão linearpelocritériodosmínimos quadrados podem serdeduzidos sem o uso de cálculodiferencial ou álgebra linear,apenas com o uso da teoria defunções quadráticas de umavariável.

TEMAS SUPLEMENTARES

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Temas SuplementaresÁREA: NÚMEROS E FUNÇÕES

1. TAxAS DE VARIAÇÃO


1.1.TaxadevariaçãoMédia1.2.Taxadevariaçãoinstantânea

• Calcularataxadevariaçãomédia;• Calcularataxadevariaçãoinstantânea;• Determinarocoeficienteangulardaretatangenteaumacurvaemdeterminadoponto;• Resolverproblemasqueenvolvamtaxasdevariaçãomédiaeinstantânea.

Temas Suplementares - Área: Números e Funções

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2. OUTRAS FUNÇÕES TRIGONOMÉTRICAS


2.1.FunçãoSecante,CossecanteeCotangente2.2.FunçõesTrigonométricasInversas

• Identificar secante, cossecante e cotangente como inverso do seno, cosseno e tangente,respectivamente;

• Reconhecerográficodasfunçõessecante,cossecanteecotangente;• Identificardomínio,imagem,extremoslocais,paridade,zerosdasfunçõessecante,cossecante

ecotangente;• Simplificarexpressõestrigonométricasqueenvolvamsecante,cossecanteecotangente;• Resolverequaçõestrigonométricasenvolvendotodasasfunçõestrigonométricas;• Identificarasfunçõestrigonométricasinversas:arco-seno,arco-cossenoearco-tangente;• Reconhecerosgráficosdasfunçõesarco-seno,arco-cossenoearco-tangente.

3. NÚMEROS COMPLExOS


3.1.NúmerosComplexos3.2.OperaçõescomComplexos

• Reconheceranecessidadedaampliaçãodosnúmerosreais;• Representaralgebricamenteegeometricamenteosnúmeroscomplexos;• Escreverosnúmeroscomplexosnaformatrigonométrica;• Operarcomnúmeroscomplexos;• Resolverequaçõesdo2°graucomraízescomplexas.


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4. NOÇÕES DE MATRIzES


4.1.Matrizes4.2.PropriedadesdeMatrizes4.3.OperaçõescomMatrizes

• Compreenderoconceitodematriz;• Operarcommatrizes;• Obterainversadeumamatriz;• Calcularodeterminantedeumamatriz.

Temas SuplementaresÁREA: GEOMETRIA

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Temas Suplementares - Geometria

1. ÁREAS DE FIGURAS PLANAS, OUTRAS ABORDAGENS


1.1.Propriedadesdaáreadotriângulo1.2.Demonstraçõesusandoáreas

• Reconhecerquedoistriângulosdemesmabaseemesmaalturatêmmesmaárea.

• Reconhecer que se dois triângulos têmmesma altura, então a razão entre suasáreaséigualàrazãoentresuasbases.

• Reconhecer que se dois triângulos têmmesmabase,entãoarazãoentresuasáreaséigualàrazãoentresuasalturas.

• Saber que a razão entre as áreas de doistriângulos semelhantes é o quadrado darazãodesemelhança.

1. Demonstrar novamente fatos conhecidoscomoargumentodaárea.

2. Demonstraroteoremadabissetriz.3. Demonstrarafórmuladosen(2x).


2. VETORES NO PLANO


2.1.Definição2.2.Móduloeoperações2.3.Produtoescalar,ânguloentredoisvetores

• Reconhecerumvetorcomoumsegmentoorientado.

• Identificarvetoresiguais.• Conhecerasoperaçãodeadiçãodediversos

vetoresesubtraçãodedoisvetores.• Conhecerosignificadodemultiplicaçãode

umvetorporumnúmeroreal.• Conhecero significadodomódulodeum

vetoresabercalcularseuvalor.• UtilizaroconceitodevetoremGeometria

Analítica.• Saber calcular um ângulo no plano

cartesianoutilizandovetores.

1. Os tópicos sobre vetores devem estarassociados e integrados à GeometriaAnalítica,fornecendosoluçõesmaisrápidaseelegantesparadiversosproblemas.

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3. TRANSFORMAÇÕES GEOMÉTRICAS


3.1.Translação3.2.Simetriaemrelaçãoaumareta3.3.Rotação3.4.Homotetia

• Conheceratranslaçãodeumafiguracomofunçãodadaporumvetor.• Conhecerasimetriaemrelaçãoaumaretacomoumafunçãonoplano.• Identificarfigurasquepossuemeixo(oueixos)desimetria.• Conhecerarotaçãocomoumafunçãonoplano.• Identificarfigurasquepossuemsimetriaderotação.• Conhecerahomotetiacomofunçãonoplanoenoespaço.• Conhecerosignificadodarazãodehomotetia.

Temas SuplementaresÁREA: MATEMÁTICA DISCRETA

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Temas Suplementares - Matemática Discreta

1. OUTROS MÉTODOS DE CONTAGEM


1.1.Permutaçõescaóticas;1.2.LemasdeKaplansky;1.3.Princípiodareflexão.

• Resolverproblemasdecontagemqueenvolvampermutaçõescaóticas;• ResolverproblemasdecontagemqueenvolvamoslemasdeKaplansky;• Resolverproblemasdecontagemqueenvolvamoprincípiodareflexão.

Temas Suplementares - Matemática Discreta

2. ARITMÉTICA


2.1.AritméticaModular,2.2.Sistema de numeração posicional e

mudançadebase.

• Conhecer,deformamaisgeral,osistemadenumeraçãodecimal,• Resolverproblemasdiversosdearitmética.

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Temas SuplementaresTRATAMENTO DA INFORMAÇÃO

RECOMENDAÇÕES GERAIS

ENFATIzAR O PENSAMENTO ESTATíSTICO 1. A necessidade de dados: reconhecer a necessidade de fundamentar decisões pessoais em evidências (dados) e os perigos inerentes em se tomar decisões usando hipóteses que não são garantidas pela evidência.

2. A importância na aquisição de dados: reconhecer que é difícil e toma-se muito tempo formular questões e conseguir dados de boa qualidade que realmente contribuam para o estudo do problema.

3. A onipresença da variabilidade: reconhecer que variabilidade é ubíqua. Ela é a essência da estatística com uma disciplina e, para ser melhor percebida, ela deve ser experimentada.

Temas Suplementares - Recomendações Gerais

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Temas Suplementares - Tratamento da Informação

REFERêNCIAS:

• ACARA (Australian Curriculum Assessment and Reporting Authority). The Australian Curriculum: Essential Mathematics, General Mathematics, Mathematical Methods and Specialist Mathematics. 2015.

• Common Core State Standards for Mathematics, USA.• Guidelines for Assessment and Instruction in Statistics Education (GAISE)

Report: A Pre-K–12 Curriculum Framework, 2005.• Carmen Batanero, Gail Burrill, Chris Reading. Teaching Statistics in School

Mathematics-Challenges for Teaching and Teacher Education - A Joint ICMI/IASE Study: The 18th ICMI Study, Springer-Verlag, 2011.

• Joan B. Garfield, Dani Ben-Zvi. Developing Students’ Statistical Reasoning Connecting Research and Teaching Practice. Springer-Verlag, 2008.

• Pátria Educadora: a qualificação do ensino básico como obra de construção nacional, Secretaria de Assuntos Estratégicos, Brasil, 2015.

• Carneiro, Mário; Spira. Michel; Sabatucci, Jorge. CBC – Matemática Ensino Fundamental e Médio. Secretaria de Educação do Estado de Minas Gerais,

• PCN+ Ensino Médio. Ciências da Natureza, Matemática e suas Tecnologias, MEC.

• PCN - Parâmetros Curriculares Nacionais [PCN] para a área de Matemática no ensino fundamental (www.mec.gov.br/sef/estruct2/pcn/pdf/matematica.pdf)

• LIMA, E. L et al. A Matemática do Ensino Médio. Sociedade Brasileira de Matemática (SBM) Coleção do Professor de Matemática, Três volumes.

• LIMA, Elon Lages. Meu professor de Matemática. Sociedade Brasileira de Matemática( SBM).Col. do Professor de Matemática.

• MORGADO, A.C.; WAGNER, E.; ZANI, S.C. Progressões e Matemática Financeira. 5 ed. Rio de Janeiro: SBM, 2011.

• MORGADO, A.C.; et al. Análise Combinatória e Probabilidade. Rio de Janeiro: SBM.

Comissão Coordenadora e RedatoraAntonio Amaral, Eduardo Wagner, Priscilla Guez, Vítor Amorim

caros colegas, - sbm.org.br§ão... · tabela descritiva de Áreas por sÉrie séries números e...

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