mstemática discreta tema i

Universidad

TECNICA de

BABAHOYO.

Módulo de Matemática Discreta.

Gilma Tablada Martínez.

Ingeniera en Matemáticas.

𝑃 𝑖, 𝑗

0≤ 𝑖 ≤ 𝑚0<𝑗<𝑛

𝐴𝑖𝑛𝑖=1

𝑃𝑗

𝑘

𝑗=1

Gilma Tablada Martínez | Ingeniera en Matemáticas.

2

I. CONJUNTOS

1. Concepto y notación.

2. Relación de pertenencia.

3. Relación de inclusión. Subconjunto propio

4. Conjuntos finitos e infinitos.

5. Igualdad de conjuntos.

6. Comparabilidad.

7. Conjuntos notables.

7.1. Conjunto vacío.

7.2. Conjunto universo.

8. Conjunto de conjuntos.

9. Conjunto potencia.

10. Conjuntos disjuntos.

11. Diagramas de Veen-Euler.

12. Diagramas lineales.

13. Operaciones con conjuntos.

14. Algebra de conjuntos.

14.1. Teoremas y demostraciones.

15. Generalización de las operaciones de conjuntos.

16. Principio de dualidad.

17. Conjuntos indizados.

18. Cubrimiento.

19. Partición.


3

I. CONJUNTOS.

Conjunto:

Es una colección o clase de objetos bien definidos; pueden ser números, personas,

letras, ríos, provincias, etc.

Ejemplos:

1. Conjunto de los dígitos.

2. Las soluciones de la ecuación 2 .

3. Las vocales del alfabeto.

4. Los países Ecuador, Perú y Chile.

5. Las capitales de América del Sur.

6. Los Ríos de la provincia “Los Ríos”

7. Los pares mayores o iguales a y menores ó iguales a

Note que en cada ejemplo de alguna manera se especifican los elementos que

conforman el conjunto.

Notación.

Los conjuntos se denotan con una letra mayúscula. Por ejemplo, , , , , ,

Forma literal o extensional: Los elementos del conjunto son expresados en lenguaje

natural mediante la descripción de sus elementos.

Ejemplo:

: “Conjunto de las vocales del alfabeto”

Forma tabular: Los elementos de los conjuntos generalmente se denotan con letras

minúsculas, por ejemplo, , , , , , , Los elementos se escriben entre llaves y

separados por coma.

Ejemplo: { , , , , }

{ , , , , , , , , , }

Forma notacional, constructiva o intencional: Mediante una notación matemática se

describen las propiedades de los elementos del conjunto.

Ejemplo: { ⁄ } { }

Forma gráfica: En una figura cerrada se representan los elementos de conjuntos finitos.

Ejemplo:

Relación de pertenencia.

La se establece entre elementos y conjuntos a través del

símbolo ∈.

• 𝑎

• 𝑒

• 𝑖 • 𝑜

• 𝑢


4

Ejemplo:

∈ , significa que es elemento del conjunto y se lee:

”.

Si un elemento no está contenido en el conjunto entonces se escribe y se lee

.

Relación de inclusión.

La se establece entre conjuntos a través del

símbolo . Si todos los elementos del conjunto se encuentran incluidos en el

conjunto , entonces se escribe y se lee También se puede

utilizar el símbolo ⊃; de forma tal que ⊃ , y se lee .

Ejemplos: Si { , , , , } y { , , }, entonces,

1.

2. ⊃

Subconjunto propio.

Todo conjunto es subconjunto propio de sí mismo. Dados dos conjuntos y , se dice

que es subconjunto propio de y se denota si y sólo sí, está contenido en

y además es distinto de . De igual forma que en el caso de la inclusión se puede usar el

símbolo ⊇.

Ejemplo:

Si { , , , , } y { , , }, entonces, ó ⊇

Cardinalidad de un conjunto. Conjuntos finitos e infinitos.

Para denotar el número de elementos de un conjunto , se emplea la notación .

Ejemplo:

Si R es el conjunto de todas las rectas del plano,

Los conjuntos pueden ser finitos o infinitos. Son cuando al contar sus

elementos el proceso de conteo puede acabar. Caso contrario son .

Ejemplos: 1. Si es el conjunto de los meses del año, es un conjunto finito.

2. Si es el conjunto de los números positivos pares, entonces es infinito. { , , , , , } ;

Igualdad de conjuntos.

Dos conjuntos , son iguales si ambos tienen los mismos elementos. Se escribe

, y se lee , sí y sólo sí, para todo elemento del conjunto ,

entonces también pertenece a y si cada elemento de también pertenece a . No

importa en orden en que aparezcan los elementos en el conjunto.


5

Ejemplos:

Sean los conjuntos:

{ , , , }

{ 2⁄ }

{ , , , , , , , , , }

{ , , , , }

{ , , , , }

{ , }

{ , , , , }

{ , , , , , }

{ }

, y son iguales.

Comparabilidad de conjuntos.

Dados 2 conjuntos , se dice que son comparables si uno de ellos está contenido en

el otro.

Ejemplo: Sean los conjuntos:

{ , , , , , } y { , , , , , , , , , } ; y son comparables.

Conjunto vacío.

Es el conjunto que no tiene elementos. También se llama y se denota

por el símbolo . El conjunto vacío se considera contenido en todo conjunto, dicho de

otra manera, todo conjunto contiene al conjunto vacío.

{}

Ejemplos:

1. Son ejemplos de conjunto vacío:

- D: Conjunto de las personas que viven más de 300 años ;

- { 2⁄ } ;

∈ ∈ ∈ ∈


6

2. Sea el conjunto:

{ , , , , , } ; ⊃

Conjunto universal.

Es un conjunto que contiene a varios conjuntos. A este supra conjunto se le llama

“ ” ó “ ” y se denota por U.

Ejemplos: 1. Sean los conjuntos:

{ , , , , , , , , , } { , , , , } { , , } { , } puede considerarse el conjunto universal para , y puede ser

considerado universal para .

2. El plano cartesiano es el universo de los puntos , 3. La universidad es el universo para los estudiantes de la FAFI.

Conjuntos de conjuntos.

Un conjunto puede tener conjuntos como elementos. Si todos los elementos son

conjuntos, entonces es “ ” y se denota con letras mayúsculas

cursivas: 𝒜, B, 𝒞, 𝒟,….

𝒜={A, B / A y B son conjuntos)}

Ejemplos: Sean los conjuntos:

1. 𝒞 = {{ , }, { }, { , }, { , , }} es una familia de conjuntos.

2. 𝒟 = {{ , }, , { , }, { , , }} no es una familia de conjuntos porque un elemento

no es conjunto.

3. R = { , { , , }, { , }} es una familia de conjuntos.

Conjunto potencia.

La familia de todos los subconjuntos de un conjunto se llama

“ ”. Si A tiene elementos entonces su conjunto potencia

tendrá elementos y así se denota el conjunto.

Ejemplo:

Si { , , , }

V = { , { }, { }, { }, { , }, { , }, { , }, { , , }}

V tiene 3= 8 elementos.

Conjuntos disjuntos.

Dos conjuntos , son disjuntos si ellos no tienen ningún elemento común.

= { }


7

Ejemplo:

Si { , , } y { , , }; entonces

Diagramas de Venn-Euler.

Permiten ilustrar la relación entre conjuntos de forma gráfica cuando es posible dicha

representación. Los conjuntos se representan en figuras planas y cerradas, tales como

esferas, círculos, cuadrados, rombos, etc.….

Ejemplos:

1. Si y 2. Si A y B son disjuntos 3. Si A y B no son comparables

2. Dados los conjuntos:

Dados { , } y { } la representación en diagrama de Venn-Euler es como

sigue:

Diagramas lineales.

Se usan también para ilustrar la relación entre conjuntos.

Ejemplos:

1. Si 2. Si 3. Si { , }, { } y { }

2. Sean { }, { , }, { , , } y { , , }. El diagrama lineal es

𝐴

𝐵

𝐵

𝐴

𝐴

𝐵

• 𝑑

𝐵 𝐴

• 𝑎 • 𝑏

• 𝑐

• 𝑑

𝐴

𝐵 𝐶

𝐴

𝐵

𝐴

𝐵 𝐶

Z 𝑊

𝑋

𝑌


8

Operaciones con conjuntos.

Entre los conjuntos se establecen ciertas operaciones, que aplicadas en conjuntos dan

como resultado un conjunto. Estas operaciones cumplen ciertas propiedades que

estudiaremos más adelante.

Las operaciones definidas para conjunto son:

1. Unión.

La unión de los conjuntos y , se denota y se lee “ ”. El conjunto

unión está formado por todos los elementos que pertenecen a o .

Ejemplos:

1. Sean { , , } y { , , }

{ , , , , , }

2. Sean { , , } y { , , , }

{ , , , , } 2. Intersección.

La intersección de los conjuntos y , se denota y se lee “ ”.

El conjunto intersección está formado por todos los elementos que pertenecen a y a .

{ ∈ ∈ }

Ejemplos:

1. Sean { , , } y { , , }

2 Sean { , , } y { , , , }

{ , }

3. Diferencia.

La de 2 conjuntos y es el conjunto de elementos que pertenecen a y

no pertenecen a . Se denota ó .

{ ∈ }

Ejemplos:

1. Sean { , , } y { , , }

{ , }

2. Sean { , , } y { , , , }

{ ∈ ∈ }


9

{ }

{ , }

4. Diferencia simétrica.

La de 2 conjuntos y es el conjunto de elementos que

pertenecen a ó pero no pertenecen a ambos. Se denota .

{ ∈ }

Ejemplos:

1. Sean { , , } y { , , }

{ , , , }

2. Sean { , , } y { , , , }

{ , , }

5. Complemento.

El es una operación unaria. El complemento de un conjunto es el

conjunto de elementos que le faltan a para ser, el conjunto universal. El complemento

del conjunto se denota .

{ ∈ } ó { ∈ }

Ejemplo:

1. Sean { , } y { , , } { , , } { , , , , , , , , }

2. Si { , , , , } y { , , , , } { , , , , , , , } { , } { , , } { , , } { , , , , , }

Representación de las operaciones a través de un diagrama de Veen-Euler.

𝑨 𝑩 𝑨 𝑩

U U


10

La parte sombreada de cada gráfico representa la operación señalada debajo del gráfico.

Ejemplo:

1. Sean los conjuntos { }, { , }, { , , } y { , , }, la

representación en diagrama de Veen-Euler es la siguiente.

Algebra de conjuntos.

Se denomina o simplemente a una estructura

constituida por un de elementos, elementos notables del conjunto y las

definidas sobre ese conjunto.

Las operaciones de conjunto tienen un álgebra particular y cumplen con ciertas

propiedades que se expresan en la siguiente tabla:

𝑨 𝑩 𝑩 𝑨

𝑨

𝑼

𝑍 𝑊 𝑧

𝑦y

𝑥 𝑤 𝑌 𝑋

𝑩 𝑨

𝑼

U U


11

En el álgebra de conjuntos las relaciones de pertenencia y de inclusión no intervienen, a

pesar de ello se usan para demostrar los postulados. El enunciado se define

por .

Teoremas y demostraciones.

La esencia de la matemática consiste de teoremas y demostraciones. La veracidad de un

teorema se puede demostrar mediante suposiciones y/o definiciones previas.

Ejemplos:

1. Teorema 1. Si A es un subconjunto de B y B es un subconjunto de C, entonces A

es un subconjunto de C.

Matemáticamente:

Demostración:

Si ∈ , ∈

Si ∈ , ∈

Si ∈ , ∈

Otra forma de demostración.

1. Por definición de subconjuntos.

2. (1) Por sustitución.

3. Por Ley asociativa.

4. (3) Por sustitución.

6. Por sustitución.

2. Teorema 2.

Demostración:

Leyes del álgebra de conjuntos.

Leyes de Idempotencia

Leyes asociativas

Leyes conmutativas

Leyes distributivas

Leyes de identidad

;

Leyes de complemento

;

Leyes de D’Morgan


12

1. Por la Ley distributiva.

2. Por la Ley del complemento.

3. (1) y (2) Por sustitución.

4. Por Ley de identidad.

5. (3) y (4) Por sustitución.

Generalización y combinación de las operaciones con conjuntos.

Las operaciones de unión e intersección se pueden efectuar entre más de dos conjuntos

y no importa el orden en que se realicen, el resultado será el mismo.

=1 1 2 3 ⋂

= 1 2 3

Ejemplos:

Para los conjuntos , , de la gráfica anterior, calculemos los siguientes

conjuntos:

1. { }

3. { , , , }

2. { , }

4. ( { }

Principio de dualidad.

Si se intercambian (como también ), en cualquier razonamiento sobre conjuntos, el nuevo enunciado resultante se llama del primero.

𝒚

𝒚


13

Ejemplos:

1. El dual de es

2. El dual de es . Este enunciado

queda demostrado, puesto que su dual fue probado en el Teorema 2.

Conjuntos indizados.

Una familia de conjuntos indizados se representa por { } ∈ donde son conjuntos

e I es el conjunto de de los conjuntos .

Ejemplos:


1 = {1,5}

2 { , , , } 3 { , , } 4 { , , } 5 { , , , , } { , , , , }. { } ∈ es una familia de 5 conjuntos indizados. Los índices de

cada conjunto son elementos del conjunto .

2. Defínase { , ∈ }. Entonces:

1 = { , , , , , , } 2 { , , , , , } 3 { , , , , } 4 { , , , , } 5 { , , , , , }

{ , , , , , , , , } Note que coincide con 1 para este caso. es el conjunto universal para los conjuntos indizados.

Teorema 3.

Dada una familia indizada de conjuntos { } ∈ y dado cualquier conjunto , se tiene:

(⋃ ∈

) ⋃

∈

(⋂ ∈

) ⋂

∈

En algunos textos se considera el signo de suma para la unión y el de producto para la

intersección. En tales casos el teorema anterior quedaría:

∈

∈

∏ ∏

∈ ∈

Ejemplos:


1 = {1,5}


14

2 { , , } 3 { , , } { , , , } Probemos que:

( =1,2,3 ) =1,2,3

{ , , , } { , } { , , } { , , } { , , , } { , } { , , , } { , , } { , , , } { , , }

{ , , , } { , , , , } { } { , } { }

{ , , } { , , }

Cubrimiento.

Se denomina cubrimiento del conjunto , a un conjunto de conjuntos

1, 2, 3, , , tales que, la unión de todos los conjuntos nos dé, el propio

conjunto .

{ 1, 2, , } =1

Ejemplos:

1.- Sea { , , } y sea {{ , }, { }, { , }}, B es un cubrimiento de A porque

{ , } { } { , }

Partición.

Dado un conjunto y la familia 𝒜 de subconjuntos de indizados 1, 2, 3, , ,

se dice que es una partición del conjunto A, si y sólo sí cumple:

1. 𝒜 es un cubrimiento. 2. Para cualesquiera ; se cumple que y de 𝒜, no tienen elementos

comunes o son iguales ambos conjuntos.

𝒜 es una partición ∈ )

Ejemplos:

1. Dado { , , , , , , , }, 1 { , , , , } y 2 { , , , , } 1 2 son una partición de porque 1 2 1 2 .

2. La familia de conjuntos { } definida anteriormente no es una

partición.

Ejercicios: 1. Dados los conjuntos:

: Conjunto de los obreros de una cierta fábrica. : Conjunto de los obreros ejemplares. : Conjunto de los obreros que estudian. : Conjunto de los obreros calificados. Exprese los siguientes enunciados en notación de conjuntos:

a. es obrero ejemplar b. Todos los obreros ejemplares son trabajadores de la f brica


15

c. Hay un obrero ejemplar d. es un obrero ejemplar o calificado e. es un obrero ejemplar y calificado f. Hay un obrero ejemplar y calificado g. No todos los obreros ejemplares son calificados h. No existe un obrero ejemplar que estudie que no sea calificado

2. Referido a los conjuntos del ejercicio 1, transcriba al lenguaje de la teoría de

Conjuntos las siguientes expresiones: a. El conjunto de los obreros ejemplares que son calificados. b. El conjunto de los obreros calificados que no son obreros ejemplares. c. El conjunto de los obreros que estudian o que son ejemplares. d. El conjunto de los obreros que son calificados. e. El conjunto de los obreros que no estudian y son calificados. f. Todos los obreros ejemplares que son calificados son obreros que

estudian. g. Hay obreros calificados que no son ejemplares. h. No todos los obreros que estudian son ejemplares. i. Los obreros que no son calificados son obreros que no estudian. j. Ningún obrero que no estudia es calificado.

3. Referido a los conjuntos del ejercicio 1, diga con palabras cuáles son los

siguientes conjuntos: a. b. c. d. e. f.

4. Referido a los conjuntos del ejercicio 1, diga con palabras cuáles son los

siguientes enunciados: a. b. c. d. e. f.

5. Dados dos conjuntos A y B, subconjuntos de un conjunto U, demuestre que

si es verdadera una de las siguientes expresiones, entonces las restantes también son verdaderas:

a. b. c. d. e. f. g.


16

h. i. j.

6. Represente el conjunto {2} intencionalmente, de dos maneras diferentes.

7. De ejemplo de tres conjuntos , y , tales que ∈ , ∈ ∈ .

8. Diga si son Verdaderos o Falsos los siguientes enunciados. a. { } ______ b. ∈ { } ______ c. ∈ ______ d. ______

9. Enunciar literalmente los siguientes conjuntos.

a. { } b. { } c. { } d. { }

10. Escribir en forma tabular los siguientes conjuntos.

a. { 2 } b. { } c. { } d. { } e. { 2 }

11. Escribir matemáticamente los siguientes enunciados:

a. no pertenece al conjunto b. es un superconjunto de . c. es un elemento de . d. no es subconjunto de . e. no incluye a . f. no tiene como elemento a 3.

12. Sean los conjuntos {1, 2, 3} y {1, 2}. Diga si son Verdaderos o Falsos

los siguientes enunciados: a. _______ b. _______ c. { } _______ d. ∈ { } ______ e. ∈ { } ______ f. { } { }______

13. Si { 3 } y , ¿es ?

14. Decir cuáles de las siguientes afirmaciones son correctas ó no . a. { , , } { , , } ________ d. { } {{ }} ________

b. { , , , , , } { , , } ______ e. {{ }} ________


17

c. { } ∈ {{ }} ________ f. { , , } ⊇ { , , , , }

15. Sea { , , }. Diga cuáles de los siguientes enunciados son correctos

y cuáles no . a. ∈ ______ b. ______ c. { } ∈ ______ d. { } ______ e. ______ f. ______ g. ⊃ ______ h. { } ______

16. Dados los siguientes conjuntos enúncielos literal y tabularmente.

a. { 2 } b. { } c. { } d. { }

17. Escriba los siguientes conjuntos en forma notacional ó constructiva.

a. El conjunto que contiene las letras , , , . b. { , , , , }. c. Conjunto de todos los países de Europa. d. { }. e. Los presidentes Jamil Majúa, Gustavo Novoa, Lucio Gutiérrez.

18. ¿Cuáles de los siguientes conjuntos son finitos (F) o infinitos (I)? a. Los meses del año. b. Las personas que viven en la tierra. c. { } d. Las rectas paralelas al eje . e. Números que son múltiplos de 5. f. Las fracciones entre 2 y 4. g. Círculos que pasan por el punto , .

19. ¿Cuáles de estos conjuntos son iguales?

a. { , , }, { , , }, { , , , }, { , , , , , , } b. { }, { 2 }, { }, { 2 } c. Las letras de las palabras , , y .

20. ¿Cuáles de estas palabras tienen el mismo significado? ¿Por qué?

, y .

21. Entre los conjuntos que siguen, , { }, { }, {{}} y {}. ¿Cuáles son diferentes y cuáles iguales?

22. Diga si son Verdaderos o Falsos los siguientes enunciados:

a. { } ______ b. { } { } _______ c. { ,{ }}\{{ }}= _______ d. { } { }} _______ e. { , { }}{ } {{ }} ______

23. ¿Cuáles de estos conjuntos son vacíos?

a. { } b. { 2 }


18

c. { } d. { }

24. Determine los conjuntos , , conociendo que el conjunto Universo es:

{ , , , , , , , , } y que además: { , , , } { , , } { , } { , }

25. Dado { , , , }, ¿cuántos subconjuntos hay en y cuáles son?

26. Defina los siguientes conjuntos de figuras del plano euclidiano. Cuáles son subconjuntos propios de los otros. a. { } b. { } c. { } d. { }

27. ¿Tiene todo conjunto un subconjunto propio?

28. Sean { }, { , }, { , , }, { , }, y { , , }. Establezca la verdad (V) o falsedad (F) de los siguientes enunciados: a. ______ b. ______ c. ∈ ______ d. ______ e. ______ f. ______ g. ⊃ ______ h. ______

29. Hacer un diagrama lineal para los conjuntos:

a. { , , }, { , }, { , } b. { , , }, { , }, { } c. { , , }, { }, { , , } d. Los conjuntos , , del ejercicio 15. e. Los conjuntos , , , del ejercicio 17. f. , y un conjunto cualquiera .

30. Sean { , , , , , }, { , , , , , }, { , , , }, { , }, { , } y { }. Sea un conjunto cualquiera desconocido. Determinar cuáles de los conjuntos , , , , pueden ser iguales a si se dan las informaciones siguientes: a. ______ b. ______ c. X ______ d. ______ e. ______ f. ______ g. ______ h. ______

31. Represente los conjuntos , , , , del ejemplo anterior a través de

un diagrama de Venn-Euler.

32. Sean los conjuntos A,B y C, de manera tal que , , ∈ , ∈ , ∈ , , y , ¿cuáles de las siguientes afirmaciones son ciertas? a. ∈ ______ b. ∈ ______ c. ______ d. ∈ ______ e. ______ f. ______ g. ⊃ _____ h. ______


19

33. Dados 2 conjuntos a y B, considere las siguientes afirmaciones: , ⊃ , , , . ¿Cuál afirmación describe mejor cada diagrama de Venn?

34. Examinar el siguiente diagrama lineal de los conjuntos , , . Escriba una afirmación que relacione cada par de conjuntos del diagrama.

35. Construir los diagramas de Venn posibles para los conjuntos del ejercicio

23.

36. Hacer un diagrama lineal de los conjuntos del siguiente diagrama de Venn.

37. ¿Qué significa el símbolo {{ , }}?

38. Dado { , { , }, }, ¿qué afirmaciones son correctas ó incorrectas? ¿Por

qué? a. ∈ _______ b. { } ∈ _______ c. { , } ∈ ______ d. ∈ _______ e. { } ________

39. Hallar el conjunto potencia del conjunto { , { , }}.

40. Hallar el conjunto potencia del conjunto {{ }, { }, }.

𝐴

𝐶 𝐷

𝐵

𝑃

𝑄

𝑅 𝑆

B

𝑏 𝑐 𝑑 𝑎

𝐴 𝐵 𝐴

𝐵

𝐴

𝐴 𝐵


20

41. Sean y no vacíos, esto es, y . Demostrar que si y son disjuntos, entonces y son no comparables.

42. Dados y no comparables, ¿Se sigue que y son disjuntos?

43. En los siguientes diagramas de Venn sombree la operación .



46. Sean los conjuntos { , , , }, { , , , } y { , , , }, calcule y represente cada una de las siguientes operaciones en un diagrama de Venn a. b. c. d. e. f. g. h.

47. Dados los conjuntos y , ¿son los conjuntos , y

mutuamente disjuntos?

48. Sean los conjuntos y no comparables. Haga el diagrama lineal de ,

49. Sean los conjuntos y no comparables. Haga el diagrama lineal de

,

𝐴 𝐵

𝑐

𝐴

𝐵

𝑑 𝑏 𝑎

𝐴

𝐵 𝐵

𝐴

𝐴 𝐵

𝑐

𝐴

𝐵

𝑑 𝑏 𝑎

𝐴 𝐵 𝐵

𝐴

𝐴 𝐵

𝑐

𝐴

𝐵

𝑑 𝑏 𝑎

𝐴 𝐵 𝐵

𝐴


21

50. Sean los conjuntos y no comparables. Haga el diagrama lineal de , , , , .

51. Dado el siguiente diagrama sombree las operaciones indicadas: a. b. c. d.

52. Demuestre las leyes del algebra de conjuntos haciendo uso de los diagramas de

Venn-Euler.

53. Demostrarlos siguientes enunciados haciendo uso de las leyes del Álgebra de

Conjuntos: a. b. c. d. e. f. g. h. i. j.

54. Encontrar el dual de cada una de los siguientes enunciados:

a. b. c. d.

55. Dados los conjuntos { ∈ = { , , , }.

𝐶

𝑈

𝐴 𝐵

𝐶

𝑈

𝐴 𝐵

𝐶

𝑈

𝐴 𝐵

𝐶

𝑈

𝐴 𝐵


22

Hallar: a. 2 7 b. 6 8 c. 3 12 d. 3 12 e. 2 7


1 { , } 2 { , , , } 3 { , , } 4 { , , } 5 { , , , , }

con { , , , , } y { , , , }

57. Pruebe que:

a. ∈ ∈ b. ⋂ ∈ ⋂ ∈

58. Dado el conjunto { , , , , , , }. Decir si las siguientes familias de conjuntos son o no cubrimientos y/o particiones de . a. { 1 { , , }, 2 { }, 3 { , }}

b. { 1 { , , }, 2 { , }, 3 { , , }}

c. { 1 { , , , }, 2 { }, 3 { , }}

d. { 1 { , , , , , , }}

59. Hallar todos los cubrimientos y/o particiones de los conjuntos:

a. { , , , }. b. { , { , }}.

c. {{ }, { }, }.

60. Dada la figura:

La región sombreada es: a. b. c. d. e.


23

61. En los siguientes diagramas de Venn sombrear el área correspondiente a: a. b. c. d. e. f.

62. Hacer un diagrama de Venn con tres conjuntos no vacíos A, B y C de modo

que tengan las siguientes características: a. , , b. , , c. , , d. , , ,

63. Dada la figura:

{ , , , , , , , , , , , } { , , , } { , , } { , } { , } Represente los elementos de cada conjunto.

64. Sea { , , , , , } y los conjuntos A y B no vacíos, tales que:

{ , } { , , } { , , , }; Entonces es VERDAD que: a. b. c. d. ( )=2

e.

65. Sean A, B y C subconjuntos no vacíos de conjunto referencial U, tales que: { , , , , , , , , , , , } { , , , , , , , }

U A

B

C

𝑈 𝑈

𝑉

𝑊 𝑉 𝑊


24

{ , , , } C\ { } Entonces el conjunto es: a. { , , , , , , } b. { , , } c. { , , , , , } d. { , , , } e. { }

66. Dada la figura que se adjunta: La expresión que representa a la figura es: a. b. c. C. d. e.

67. Dados los conjuntos: { , , , , , , , , , } { , } { , , } { , } { } { , , } Entonces es VERDAD que: a. { , , } b. { , , , , } c. { , } d. { , , } e. { , }

68. Si A, B y C son conjuntos no vacíos representados en el siguiente diagrama

de Venn adjunto, entonces la región sombreada corresponde a:

C

A B


25

a. b. c. d. e.

69. Dados los siguientes conjuntos no vacíos A, B y C, entonces región

sombreada de la figura adjunta es: a. b. c. d. e.

70. Dada la figura:

Y los conjuntos A, B y C, no vacíos, entonces la expresión correspondiente a la región sombreada es:

a. b. c. d. e.

71. Dados los conjuntos A, B y C, no vacíos, entonces la expresión

correspondiente a la región sombreada del gráfico adjunto es:


26

a. b. [ ]

c. d. e. [ ]

72. Sean los conjuntos A, B y c no vacíos, como se muestra en la figura; entonces

la región sombreada está representada por:

a. b. c. d. e.

73. Dados los conjuntos A, B y c no vacíos, entonces la región sombreada del gráfico adjunto corresponde a:


27

a. b. c. d. e.

74. Dadas las siguientes expresiones escoge la que se corresponde con la región sombreada en el gráfico adjunto: a. b. c. d. e.

75. Dados los conjuntos no vacíos A, B, C y D; entonces la región sombreada del gráfico adjunto corresponde a:

a. b. (A B) c. d. e.

76. Considere el conjunto { , , , , } y los conjuntos A, B y C no vacíos, tales que: - { , , } - { , , , } - { , }


28

- { } - Entonces el conjunto B es: a. { , , , , } b. { , , , , } c. { , }

d. { , , , , } e. { , , , , }

77. Sea el conjunto { , { , }, { }} entonces es FALSO que:

a. { , } ∈ b. { , { }} ∈ c. {{ , }}

d. {{ , { }}} ∈ ( ) e. { , { , }} ∈

78. Sea el conjunto { , { }, } entonces es VERDAD que :

a. ∈ b. ∈ { } ∈ c. ( )

d. {{ }, } ∈ e. {{ }} ∈

79. Dados los conjuntos no vacíos A, B, C y el conjunto referencial U, tales que:

{ , , , , , } { , , } { } { , } Entonces el conjunto C es: a { , , , } b. c. { , } d e. { , , }

80. Sea U un conjunto universo, tal que { , , , , , , , , , } y sean A, B y c tres conjuntos no vacíos, tales que : { , , } { } { , , }

{ , } { , , , } { , } Entonces es VERDAD que: a. { , , , } b. { , , , , } c. { , , , , } d. { , , , , } e. { , , , }

81. De los 180 profesores de la Universidad, 135 tienen doctorado, 145 son

investigadores, de los doctores 114 son investigadores. Entonces es verdad que: a. 31 maestros no son doctores. b. 167 son investigadores o doctores. c. 22 doctores no son investigadores d. 14 profesores no son investigadores ni doctores. e. 21 profesores no son investigadores.

82. En un curso preuniversitario, de 1600 estudiantes:

- 801 aprobaron Matemática. - 900 aprobaron Economía.


29

- 752 aprobaron Contabilidad. - 435 aprobaron Matemática y Economía. - 398 aprobaron Matemática y Contabilidad. - 412 aprobaron Economía y Contabilidad. - 310 aprobaron Matemática, Economía y Contabilidad. Determine cuantos de los 1600 alumnos aprobaron: a. Solo una materia. b. Exactamente dos materias. c. Ninguna materia. d. Al menos una materia. e. Cuando mucho 2 materias.

83. Se realiza un encuesta a 660 estudiantes del Pre politécnico y se obtienen

los siguientes resultados: - 350 estudian Matemática. - 450 estudian Química. - 350 estudian Física. - 150 estudian las tres materias. - 200 estudian Matemática y Química. - 250 estudian Física y Química. - 210 estudian Física o Matemática, pero no Química. Determinar: a. ¿Cuantos estudian sólo Matemática? b. ¿Cuantos estudian por lo menos una materia? c. ¿Cuantos estudian cuando más 2 materias? d. ¿Cuantos estudian sólo una materia? e. ¿Cuantos estudian sólo dos materias?

84. En una encuesta a 500 estudiantes se tiene que 200 estudian Algebra, 180

estudian Lógica, 300 estudian Cálculo, 150 estudian Lógica y Cálculo, 120 estudian Algebra y Cálculo, 50 estudian las tres materias, 120 estudian Algebra o Lógica pero no Cálculo. Entonces, los que estudian solo Lógica son: a. 20 b. 100 c. 60 d. 30 e. 150

85. En una entrevista a 40 estudiantes del Pre politécnico acerca de ¿qué

deporte les gusta practicar?, se obtiene que 12 gustan de jugar básquet, 14 volley y 16 futbol. No hay estudiantes que practiquen básquet y volley, 4 practican básquet y futbol, 20 practican volley o futbol pero no básquet. Entonces, el número de estudiantes que no practican deporte alguno es: a. 8 b. 0 c. 1 d. 3 e. 5


30

86. En una encuesta realizada a 100 dañificados por los efectos del fenómeno de El Ni o , se encuentra que de ellos han perdido sus viviendas y sus rebaños, 35 sus viviendas y sus cultivos, mientras que 25 perdieron sus cultivos pero no sus rebaños, 40 perdieron sus cultivos y rebaños y 15 solo sus cultivos. Entonces el número de dañificados que perdieron o sólo sus vivienda o sólo sus rebaños es: a. 60 b. 15 c. 25 d. 30 e. 10

87. Los estudiantes que están en el Pre politécnico de Autoría se encuentran registrados en los paralelos A, B y C. En el paralelo A hay 35 estudiantes, en el B hay 41 y en el C 49. De estos estudiantes, 5 asisten a los tres paralelos, 13 asisten a los paralelos A y C y 11 asisten a los paralelos B y C. Entonces el número de estudiantes que asisten sólo al paralelo C es: a. 8 b. 36 c. 30 d. 38 e. 49

88. Una agencia de Autos vendió durante 1 año 180 unidades con las siguientes características: - 57 con transmisión automática. - 77 con aire acondicionado. - 45 con transmisión automática y aire acondicionado. - 10 tenían transmisión automática pero no aire acondicionado ni radio

estéreo. - 28 tenían transmisión automática y aire acondicionado, pero no radio

estéreo. - 90 no tenían ninguna de las características mencionadas. - 19 tenían radio estéreo y aire acondicionado. Entonces, el número de unidades que tenían radio estéreo es: a. 22 b. 1 c. 91 d. 30 e. 21

89. Un campamento de 100 estudiantes tiene 3 tipos de actividades: pescar, nadar y escalar. De ellos: - 70 estudiantes prefieren pescar. - 25 prefieren pescar y nadar. - 18 prefieren nadar o escalar, pero no pescar. - 10 se dedican a las 3 actividades. - 12 se enfermaron al llegar al campamento y no pueden hacer ninguna

actividad.


31

Entonces, el número de estudiantes que se dedican a pescar y nadar, pero no a escalar es: a. 15 b. 10 c. 20 d. 30 e. 25

90. En una encuesta a 100 aficionados del futbol, sobre qué equipo juega mejor

en la copa libertadores de América, se obtuvieron los siguientes resultados: - 50 opinan que es el Nacional. - 50 opinan que es el Emelec. - 40 opinan que es el Barcelona. - 20 opinan que es Nacional y Emelec. - 10 opinan que es Emelec y Barcelona. - 30 opinan que es Nacional y Barcelona. - 10 opinan que ninguno juega bien. ¿Cuántos aficionados están a favor de Emelec? a. 0 b. 30 c. 10 d. 20 e. 25

91. Se realiza un encuesta a 300 estudiantes del Pre politécnico y se obtienen la siguiente información: - 110 estudian Matemática. - 110 estudian Contabilidad. - 115 estudian Economía. - 25 estudian las tres materias. - 40 estudian Matemática y Economía. - 60 estudian Contabilidad y Economía. - 90 estudian Matemática o Contabilidad, pero no Economía. Entonces el número de estudiantes que solo estudia matemática es: a. 20 b. 40 c. 15 d. 25 e. 70

92. De un conjunto de 1200 estudiantes de ICHE se determinó que hay 400

estudiantes que hablan inglés, 600 que hablan francés y 500 que hablan alemán. De ellos 120 hablan inglés y francés, 130 hablan francés y alemán, 50 hablan inglés, francés y alemán, 180 sólo hablan inglés 750 hablan inglés o alemán, por tanto el número de estudiantes que hablan inglés y alemán pero no francés es: a. 100 b. 50 c. 150


32

d. 180 e. 270

93. Se realiza un encuesta a 885 estudiantes del Pre politécnico de Ingeniería y se obtienen la siguiente información: - A 600 les gusta Matemática. - A 400 les gusta Física. - A 620 les gusta Química. - A 195 les gusta Matemática y Física. - A 190 les gusta Física y Química. - A 400 les gusta Matemática y Química. - A todos los entrevistados les gusta al menos una de las tres materias Entonces el número de estudiantes que les gustan las tres materias es: a. 5 b. 25 c. 35 d. 50 e. 0

94. En una feria de autos, hubo 102 personas interesadas en comprar autos,

además en dicha feria se obtuvo la siguiente información: - 30 personas compran autos Volkswagen y Chevrolet. - 40 personas compran autos Volkswagen y Hyundai. - El número de personas que compran los tres carros es igual a la mitad

del número de las personas que compran sólo Chevrolet. - 50 personas compraron autos Hyundai. - 48 personas compraron Chevrolet o Volkswagen, pero no Hyundai. - 5 personas compraron Hyundai y Chevrolet. Entonces, el número de personas que compraron solo una clase de auto fue: a. 27 b. 28 c. 98 d. 14 e. 58

95. En una encuesta realizada por PACIFICTEL. SA. A un grupo de 26 abonados

que han realizado al menos una llamada, sea ésta local, nacional o internacional, se obtuvo la siguiente información: - 23 abonados han realizado llamadas nacionales o internacionales. - 5 abonados han hecho llamadas locales y nacionales. - 12 abonados han hecho llamadas internacionales, pero no locales. - El número de personas que han hecho sólo llamadas nacionales es igual

al doble de personas que han hecho llamadas internacionales y locales pero no nacionales.

Entonces, el número de abonados que han hecho llamadas locales es: a. 10 b. 4 c. 6 d. 2


33

e. 14

96. En una encuesta realizada a 2580 alumnos del malecón 2000 se obtuvo lo siguiente: - A 250 personas les gusta pasear y comer o pasear y conversar o comer

y conversar. - A 480 personas les gusta sólo conversar. - El número de personas que les gusta solo pasear es igual al número de

personas que les gusta sólo comer. - A 30 personas les gusta hacer las tres actividades. - Todas las personas entrevistadas tiene por lo menos uno de los gustos

mencionados. Entonces, el número de personas que les gusta solo pasear es: a. 910 b. 530 c. 700 d. 180 e. 925

97. Un curso de 40 estudiantes que tienen que aprobar Educación Física, y para

ello todos deben escoger entre tres deportes: futbol, básquet y volley. 6 estudiantes prefieren sólo volley, 4 eligen volley y básquet. El número de alumnos que sólo eligen básquet es la mitad de los que eligen futbol y es el doble de los que eligen futbol y volley. No hay ningún alumno que elija futbol y básquet. Entonces el número de alumnos que eligen solo volley, y el número de alumnos que eligen futbol y que eligen sólo básquet es respectivamente: a. 15, 20 y 10 b. 10, 20 y 15 c. 10, 10 y 10 d. 15, 15 y 15 e. 20, 10 y 15

98. Para realizar una encuesta se reparte el mismo número de productos A, B y

C entre 1270 consumidores, los resultados de dicha encuesta revelan lo siguiente: 200 personas consumen A y B o A y C o B y C, 370 personas consumen sólo C, el número de personas que consumen sólo A es igual al de las personas que consumen sólo B, 30 personas consumen los tres productos. Entonces el número de personas que consumen sólo el producto A es: a. 530 b. 370 c. 700 d. 180 e. 350

99. Se ha realizado una encuesta a un grupo de personas sobre los lugares de

compra de juguetes de Navidad, arrojando los siguientes resultados: 14 personas compraron en Mi Juguetería y en Juguetón, 11 personas


34

compraron sólo en Juguetón, 9 compraron sólo en Juguetelandia, 5 compraron en los tres lugares; el número de personas que compraron sólo en Juguetelandia y Juguetón es igual al número de personas que compraron sólo en Mi Juguetería y Juguetelandia. Se supo además que en Juguetón compraron 3 personas más de las que compraron en Juguetelandia y 3 personas más de las que compraron en Mi Juguetería. Entonces, el número de personas que compraron en cualquiera de estos tres lugares es: a. 93 b. 58 c. 13 d. 28 e. 15

100. Entre un grupo de personas conversan sobre tres películas A, B y C y

determinan que 4 personas no han visto alguna de las tres películas. La mitad del número de personas que han visto sólo la película B es igual al número de personas que han visto la película C. El número de personas que han visto las películas A y B es igual a la tercera parte del número de personas que han visto sólo la película B, 7 personas han visto la película A, 5 personas han visto sólo la película A. Las personas que ven la película C no han visto las otras películas. Determine: a. El número de personas que han visto las películas A y B. b. El número de personas que han visto la película A o la película B. c. El número de personas que ven sólo una película. d. El número de personas que no ven la película B.

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