MATEMÁTICA IIIAULA 06: PRINCÍPIO FUNDAMENTAL DA

CONTAGEM (PRINCÍPIO MULTIPLICATIVO)EXERCÍCIOS PROPOSTOSANUAL

VOLUME 2

OSG.: 094045/15

01. Para respondermos este problema, devemos tomar sete decisões, a saber:

Decisão 1 Decisão 4 Decisão 5 Decisão 6 Decisão 7· · · ·· ·Decisão 2 Decisão 3Escolher uma letra diferente

de y e z.

Escolher um algarismo

diferente de7, 8 e 9.

Escolher um algarismo

sucessor doescolhido naDecisão 4.

Escolher um algarismo

sucessor doescolhido naDecisão 5.

Escolher um algarismo

sucessor doescolhido naDecisão 6.

Escolher a letra do

alfabeto queaparece depois.

da escolhidana Decisão 1.

Escolher a letra do

alfabeto queaparece depois.

da escolhidana Decisão 2.

Ora, sabemos que o número de maneiras distintas em que podemos tomar a Decisão 1 é igual a 24. Nesse caso, é claro que o número de maneiras distintas em que podemos tomar as decisões 2 e 3 são, ambos, iguais a 1. Além disso, o número de maneiras distintas em que podemos tomar a Decisão 4 é igual a 7. Logo, o número de maneiras distintas em que podemos tomar as decisões 5, 6 e 7 são, ambos, iguais a 1. Assim, pelo princípio multiplicativo, concluímos que o número de placas distintas nas condições do problema é:

24 1 1 7 1 1 1⋅ ⋅ ⋅ ⋅ ⋅ ⋅ = 168

Resposta: B

02. Para calcularmos o número máximo x de tentativas de modo que a 1ª senha seja descoberta, é necessário tomar 4 decisões, a saber:

Decisão 1 · · ·Escolher o1º dígito

Escolher o2º dígito

Escolher o3º dígito

Escolher o4º dígito

Decisão 2 Decisão 3 Decisão 4

Nesse caso, como os dígitos são escolhidos entre os algarismos 0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8 e 9, temos que o número de maneiras de

tomarmos qualquer uma das decisões acima é igual a 10. Portanto, pelo princípio multiplicativo, concluímos que

x = 10000.

Por um argumento análogo ao tomado acima, temos que o número máximo y de tentativas, de modo que a 2ª senha seja descoberta,

é igual a 1000.

Assim, é claro que, no máximo, devemos testar 11000 vezes para descobrirmos a senha.

Resposta: C

03. Pelo Princípio Multiplicativo, podemos formar 23 · 23 · 23 · 23 = 234 códigos, sem qualquer restrição, utilizando as 23 letras do alfabeto.

Por outro lado, o número de códigos em que fi guram apenas vogais, também pelo Princípio Multiplicativo, é dado por 5 · 5 · 5 · 5 = 54.

Em consequência, o resultado pedido é igual a 234 – 54.

Resposta: D

04. Note que, para respondermos este problema, devemos escolher um cetáceo, um primata e um roedor. Assim, como o número de

maneiras de efetuarmos as escolhas acima é, respectivamente, dado por 2, 20 e 33, então, pelo princípio multiplicativo, segue que:

Cetáceo Primata Roedor2

· · = 132020 33

Resposta: A

05. Existem 4 alimentos cujo pH pode ser 3,2 e 3 alimentos cujo pH pode ser 4,2, temos então 12 maneiras distintas que esse técnico tem para tentar identifi car, de maneira correta, quais foram os dois alimentos examinados.

4 · 3 = 12

Resposta: C

OSG.: 094045/15

Resolução – Matemática III

06. Para esse problema, temos:• 1ª mala:

1

5

2

8 9

8

3

º

º º

d gito

par

d gito

de e

d

í

í í

Algarismo

Algarismo distinto

⋅ ⋅

ggito

Sucessor do

d gito

d gito

Sucessor do

d gito

d g

2

1

4

3

1

5

º

º

º

º

í

í

í

í

⋅ ⋅

iito

A arismo parlg

55 82= ⋅

• 2ª mala:

1

9

2

1

3

8

4

7

5

º º.

º º

º

d gito d gito d gito dígito

d gito

í í í

í

í⋅ ⋅ ⋅

Algarismo mmpar

52520=

Nota: Observe que, caso ela esqueça apenas os três dígitos consecutivos da mala 1, é claro que o número de tentativas que ela necessita para abrir a mala é igual a 8.

Resposta: C

07. Como, para este problema, há uma imposição em que a terceira letra do referido cartão seja L, bem como o penúltimo algarismo do mesmo seja nº 1 e o último seja 0, sem contar que as três letras são distintas e os quatro algarismos também, temos as seguintes decisões a tomar:

Decis o

Escolher uma

letra diferente

de

Decis o

Escolheruma

l

ã

L

ã4 5

.

⋅

eetra diferente

daquelas duas

j escolhidas

Decis o

Escolher a

le

á

ã⋅

1

ttra

Decis o

Escolher um

a arismos

diferente de

e

Decis o

L

ã ã

. lg

⋅ ⋅6

1 0

7

EEscolher um

a arismo

difetentes dos

j escolhidos

Decis o

Esc

lg

3

2

á

ã⋅

oolher o

Decis o

Escolher o

a arismoalgarismo 1

3

0. lg .

⋅ã

Assim, uma vez que o número de maneiras em que podemos tomar as decisões 1, 2, 3, 4, 5, 6 e 7 são, respectivamente, iguais a 1, 1, 1, 25, 24, 8 e 7, concluímos, pelo princípio multiplicativo, que n = 1 · 1 · 1 · 25 · 24 · 8 · 7 = 33600.

Resposta: A

08. Neste problema, queremos calcular o número n de capicuas formadas com cinco algarismos, não necessariamente distintos, de modo que o algarismo 0 não ocupe a 1ª posição. Para tanto, é necessário tomarmos cinco decisões, a saber:

Decis o

Escolher um

diferente de

Decis o

Escolher q

ã ã1

0

3

algarismo

.

⋅uualquer

Decis o

Escolher qualquer

Decis

algarismo

⋅ ⋅ã ã5

algarismo

oo

Escolher o

escolhido na

decisão

Decis o

Escolher o

4

3

2

algarismo⋅

ã

aalgarismo

escolhido na

decisão 3

Neste caso, uma vez que o número de maneiras em que podemos tomar as decisões 1, 2, 3, 4 e 5 são, respectivamente, 9, 1, 10, 1 e 10, concluímos, pelo princípio multiplicativo, que n = 9 · 1 · 10 · 1 · 10 = 900.

Resposta: C

09. Tempo gasto, com atividades escolares:1º caso – Durante a semana:

5 5 25

5 5

× =↑ ↑

dias na horassemana di riasá

2º caso – Durante o fi m de semana:2 1 2

2 1

× =↑ ↑

dias no horafim de di riasemana

á

Tempo semanal total: 25 + 2 = 27 horas.

Resposta: E

OSG.: 094045/15

Resolução – Matemática III

10.

A

Fila

B C D E F1ª

2ª

3ª

20ª

a) Para calcularmos o número n de maneiras distintas em que duas pessoas podem sentar-se em uma mesma fi la desse avião, é necessário tomarmos três decisões, a saber:

Decis o Decis o

Escolher um

assento da f

ã ã1 2

Escolher a ordem

da fila.

⋅

iila

selecionada para

uma pessoa

Decis o

Escolher um outro

.

⋅ã 3

assentto da mesma

fila para uma

outra pesssoa.

Nesse caso, levando em conta que o número de maneiras distintas em que podemos tomar as decisões 1, 2 e 3 são, respectivamente, 20, 6 e 5, concluímos, pelo princípio multiplicativo, que n = 20 · 6 · 5 = 600. b) Nesse item, devemos calcular o número de maneiras distintas em que um casal pode se sentar em poltronas vizinhas. Para tanto,

avaliaremos as seguintes situações:• 1ª Situação – Casal no lado esquerdo do avião: Neste caso, levando em conta que, no lado esquerdo de cada fi la do avião, só é possível as posições AB e BC, temos que o

número de acomodações possíveis neste lado é dado por 2 · P2, pois a ordem do casal é relevante. Assim, como são 20 fi las ao

todo, segue que existem 80 acomodações possíveis no lado esquerdo do avião.

• 2ª Situação – Casal no lado direito do avião: Nesse caso, levando em conta que, no lado direito de cada fi la do avião, só é possível as posições DE e EF, temos que o número

de acomodações possíveis neste lado é dado por 2 · P2, pois a ordem do casal é relevante. Assim, como são 20 fi las ao todo,

segue que existem 80 acomodações possíveis no lado direito do avião.

Logo, como acontece a 1ª situação ou a 2ª situação, concluímos, pelo princípio aditivo, que existem 80 + 80 = 160 maneiras distintas em que um casal pode sentar-se em poltronas vizinhas.

c) Para esse item, devemos tomar duas decisões, a saber:

Decis o

Escolher duas

poltronas

vizinhas para um

casal

Decis oã ã1 2

.

⋅EEscolher duas

novas poltronas

vizinhas para o

outro casal.

Note, pelo item anterior, que o número de maneiras distintas em que podemos tomar a Decisão 1 é igual a 160. Nesse caso, nos resta apenas, calcular o número de maneiras distintas em que podemos tomar a Decisão 2. Ora, uma vez escolhida as duas poltronas vizinhas para o 1º casal, como este, obrigatoriamente, deve estar em um mesmo lado (esquerdo ou direito) do avião, segue que o outro casal ou está no lado oposto da mesma fi la onde se encontra o 1º casal, ou, então, em qualquer uma das 19 fi las restantes. Assim, temos que o número de maneiras distintas de tomarmos a Decisão 2 é igual a 2 · P

2 + 19 · 8 = 156. Portanto, o número de maneiras em que

dois casais podem sentar-se em poltronas vizinhas neste avião é, de acordo com o princípio multiplicativo, igual a 160 · 156 = 24960.

Paulo H. – 10/11/2015 – Rev.: KP 09404515_pro_Aula06_Principio Fundamental da Contagem-Principio Multiplicativo