05. termômetro de resistência - google groups

Problemas Resolvidos de Física Prof. Anderson Coser Gaudio – Depto. Física – UFES

________________________________________________________________________________________________________ Halliday, Resnick, Walker - Física 2 - 4

a Ed. - LTC - 1996. Cap. 19 – Temperatura

1

HALLIDAY, RESNICK, WALKER, FUNDAMENTOS DE FÍSICA, 4.ED., LTC, RIO DE JANEIRO, 1996.

FÍSICA 2

CAPÍTULO 19 – TEMPERATURA

05. Um termômetro de resistência é aquele que utiliza a variação da resistência elétrica com a

temperatura de uma substância. Podemos definir as temperaturas medidas por esse termômetro,

em Kelvins (K), como sendo diretamente proporcionais às resistência R, medida ohms ( ). Um

certo termômetro de resistência, quando seu bulbo é colocado na água à temperatura do ponto

triplo (273,16 K), tem uma resistência R de 90, 35 . Qual a leitura do termômetro, quando sua

resistência for 96,28 ?

(Pág. 180)

Solução.

Para um termômetro de resistência, a temperatura medida em função da resistência é dada pela Eq.

(1),

kRT R)( (1)

onde k é uma constante de proporcionalidade. Nesse termômetro, a temperatura do ponto tríplice da

água (T3) é dada por (2), onde R3 é a medida da resistência no mesmo ponto tríplice.

3)(3 3kRTT R (2)

Dividindo-se (1) por (2):

33

)(

R

R

T

T R

( ) 3

3

96,28 273,16 K 291,088 K

90,35 R

RT T

R

K 1,291T

06. Dois termômetros de gás a volume constante são usados em conjunto. Um deles usa nitrogênio e

o outro, hidrogênio. A pressão de gás em ambos os bulbos é p3 = 80 mmHg. Qual é a diferença

da pressão nos dois termômetros, se colocarmos ambos em água fervendo? Em qual dos

termômetros a pressão será mais alta?

(Pág. 180)

Solução.

Este problema deve ser resolvido com o auxílio do gráfico apresentado na Fig. 19-6 (pág. 173).




2

(a) A Fig. 19-6 mostra que um termômetro de gás a volume constante que usa H2 como substância

termométrica a uma pressão de 80 mmHg, mede uma temperatura para a água fervente

aproximadamente igual 2H 373,15 KT . Usando-se N2 à mesma pressão, a medida da temperatura

será 2N 373,35 KT . Para um termômetro de gás a volume constante, vale a seguinte relação:

3

273,16 Kp

Tp

Logo:

2

2

H

H

3

273,16 Kp

Tp

2

2

3 H

H273,16 K

p Tp (1)

De maneira idêntica, temos:

2

2

3 N

N273,16 K

p Tp (2)

Fazendo-se (2) (1):

2 2 2 2

3N H N H

273,16 K

pp p p T T

80 mmHg

373,35 K 373,15 K 0,058573 mmHg273,16 K

p

0,059 mmHgp

(b) A pressão será mais alta no termômetro de N2, pois 2 2N HT T . Isto se deve ao fato de o N2 ter

um comportamento menos ideal do que o N2.

08. Um termistor é um componente semicondutor cuja resistência elétrica depende da temperatura.

Costuma ser usado em terrmômetros clínicos e também para detectar superaquecimento em

equipamentos eletrônicos. Dentro de uma faixa limitada de temperatura, a resistência é dada por

1/ 1/ aB T T

aR R e ,




3

onde R é a resistência do termistor à temperatura T e Ra é a resistência à temperatura Ta; B é

uma constante que depende do material semicondutor utilizado. Para um tipo de termistor, B =

4.689 K, e a resistência a 273 K é 1,00 × 104 . Que temperatura o termistor mede quando sua

resistência é 100 ?

(Pág. 180)

Solução.

A resistência do termístor (R) em função da temperatura (T) é dada por:

)/1/1(

)(aTTB

aT eRR

Aplicando-se logaritmo natural, têm-se:

eTT

BRRRa

aT ln11

lnlnln )(

B

RR

TT

a

a

lnln11

11

4

100 1 1 1 1ln ln 373,0116 K

4.689 K 273 K1,00 10 a a

RT

B R T

K 373T

10. A que temperatura a escala Fahrenheit indica uma leitura igual a (a) duas vezes a da escala

Celsius e (b) metade da escala Celsius?

(Pág. 180)

Solução.

(a) O enunciado exige que:

2F CT T

A regra de conversão da escala Celsius para Fahrenheit é:

9

325

F CT T

Logo:

9

325 2

FF

TT

o320 FFT

(b) Agora o enunciado exige que:

2

CF

TT

Logo:

9

2 325

F FT T

o12,3076 FFT

o12 FFT




4

14. A que temperatura os seguintes pares de escalas dão a mesma leitura: (a) Fahrenheit e Celsius

(veja Tabela 19-2), (b) Fahrenheit e Kelvin e (c) Celsius e Kelvin?

(Pág. 180)

Solução.

(a)

F C

932

5T T

F=C F=C

932

5T T

F=C 40T

(b)

F C

932

5T T

F K

9273,15 32

5T T

F=K F=K

9273,15 32

5T T

F=K 574,5875T

F=K 575T

(c)

C K 273,15T T

C=K C=K 273,15T T

A equação acima não tem solução. Logo, as escalas Celsius e Kelvin nunca apresentam a mesma leitura.

15. Suponha que, numa escala de temperatura X, a água ferva a -53,5oX e congele a -170

oX. Qual o

valor de 340 K, na escala X?

(Pág. 180)

Solução.

Considere o seguinte esquema:




5

Comparando-se as escalas X e Kelvin, pode-se afirmar que:

X

53,5 X 170 X 373,15 K 273,15 K

373,15 K 340 K53,5 X T

X

116,5 X 100 K

33,15 K53,5 X T

X 92,11975 XT

X 92,1 XT

26. Logo depois que a Terra se formou, o calor causado pelo decaimento de elementos radioativos

aumentou a temperatura interna média de 300 para 3.000 K, que é, aproximadamente, o valor

atual. Supondo um coeficiente de dilatação volumétrica médio de 3,0 105 K

1, de quanto

aumentou o raio da Terra, desde a sua formação?

(Pág. 181)

Solução.

A razão entre o raio inicial da Terra R0 e o raio atual R pode ser calculado a partir da variação do volume da Terra, que é dada por:

0 0V V V V T

0 1V V T

0

1V

TV

33

33 00

4

3 14

3

RR

TR

R

1/31/3 5 1

0

1 3,0 10 K 2.700 K 1 1,026302R

TR

01,026302

RR

Logo:

53,5o

170o

Escala X

TX

373,15 K

Escala Kelvin

340 K

273,15 K




6

6

0

16,37 10 m 1 163.250,74 m

1,026302 1,026302

RR R R R

170 kmR

34. Uma caneca de alumínio de 100 cm3 está cheia de glicerina a 22

oC. Quanta glicerina derramará,

se a temperatura do sistema subir para 28oC? (O coeficiente de dilatação da glicerina é = 5,1

104/oC.)

(Pág. 181)

Solução.

O volume de líquido derramado corresponderá à diferença entre o seu volume final e o volume final do recipiente. O volume final da caneca de alumínio VAl é:

Al 0 Al1 3V V T

O volume final da glicerina VGli é:

Gli 0 Gli1V V T

O volume derramado V será:

Gli Al 0 Gli 0 Al 0 Gli Al1 1 3 1 1 3V V V V T V T V T T

0 Gli Al3V V T

3 4 1 5 1 3100 cm 5,1 10 C 3 2,3 10 C 28 C 22 C 0,2646 cmV

30,26 cmV

36. Uma barra de aço a 25oC tem 3,00 cm de diâmetro. Um anel de latão tem diâmetro interior de

2,992 cm a 25oC. A que temperatura comum o anel se ajustará exatamente à barra?

(Pág. 181)

Solução.

A solução do problema baseia-se em calcular separadamente os diâmetros finais da barra (db) e do anel (da) e igualá-los posteriormente. O diâmetro final do anel é:

a a0 a 01d d T T (1)

De forma semelhante, o diâmetro final da barra será:

b b0 b 01d d T T (2)

Igualando-se (1) e (2):

a0 a 0 b0 b 01 1d T T d T T

Resolvendo-se a equação acima para T:

b0 a0 a0 a b0 b 0

a0 a b0 b

d d d d TT

d d




7

o 5o 1

5o 1 5o 1

o 5o 1

o

5o 1 5o 1

3,00 cm 2,992 cm 2,992 cm 25 C 1,9 10 C

2,992 cm 1,9 10 C 3,00 cm 1,1 10 C

3,00 cm 25 C 1,1 10 C 360,4579 C

2,992 cm 1,9 10 C 3,00 cm 1,1 10 C

T

C 360 oT

37. A área A de uma placa retangular é ab. O coeficiente de dilatação linear é . Depois de um

aumento de temperatura T, o lado a aumentou de a e b de b. Mostre que, desprezando a

quantidade pequena a b/ab (veja Fig. 19-15), A = 2 A T.

(Pág. 181)

Solução.

A grandeza procurada é:

0AAA (1)

A área da placa expandida, A, é dada por:

A a a b b (2)

Enquanto que a área da placa original, A0, é dada por:

abA0 (3)

Substituindo-se (2) e (3) em (1):

A a a b b ab (4)

Os valores de a e b são dados por:

Taa (5)

Tbb (6)


A a a T b b T ab

Desenvolvendo-se a expressão acima, teremos:

abTabTababA 222

222 TabTabA

O termo 2ab T

2 pode ser identificado como sendo a b, que corresponde à área do pequeno

retângulo no extremo inferior direito da placa expandida. Esse termo é muito pequeno em

comparação a 2 ab T, e pode ser desprezado. Identificando o produto ab como a área A0, chega-se

ao final da demonstração:




8

TAA 02

49. Um tubo de vidro vertical de 1,28 m está cheio até a metade com um líquido a 20oC. Qual a

variação da altura da coluna líquida, se aquecermos o tubo até 30oC? Considere vidro = 1,0

105/oC e líquido = 4,0 10

5/oC.

(Pág. 182)

Solução.

Considere o seguinte esquema da situação:

A variação da altura da coluna líquida H vale:

00

2

LH H H H (1)

Como L0 é conhecido, precisamos determinar H. Vamos começar o cálculo de H pela expressão do volume final do líquido, Vliq:

2

liqV R H

liq

2

VH

R (2)

Agora dependemos de Vliq, que pode ser obtido pela análise da expansão térmica do líquido:

liq liq,0 1V V T

Na expressão acima, Vliq,0 corresponde ao volume inicial do líquido. Logo:

2 2 0liq 0 0 01 1

2

LV R H T R T (3)

Substituindo-se (3) em (2):

2

0 0 12

R LH T

R (4)

A razão entre os raios do tubo antes (R0) e depois (R) da variação térmica pode ser obtida pela

análise da dilatação linear do tubo:

0 1R R T

Logo:

T0 T

L0

H

R0R

H L = 0 0/2

L




9

0 0

0

1

1 1

R R

R R T T (5)


0

2

1

2 1

TLH

T (6)

Finalmente, podemos substituir (6) em (1):

0 0 0

2 2

1 11

2 2 21 1

T TL L LH

T T

5o 1 o

25o 1 o

1 4,0 10 C 10 C1, 28 mm1 0,1279 mm

2 1 1,0 10 C 10 CH

0,13 mmH

51. Uma espessa barra de alumínio e um fio de aço estão ligados em paralelo (Fig. 19-19). A

temperatura é de 10,0oC. Ambos têm comprimento 85,0 cm e nenhum dos dois está tensionado.

O sistema é aquecido até 120oC. Calcule a tensão resultante no fio, supondo que a barra se

expande livremente.

(Pág. 182)

Solução.

Considere o seguinte esquema:

O problema pede para determinar a tensão no fio de aço após a expansão do cilindro de alumínio.

Devido à natureza do problema, sua solução requer a utilização do módulo de Young do fio, EAço.

Veja maiores detalhes sobre o módulo de Young na seção13-6 - Elasticidade. O valor do módulo de

Young para o aço foi extraído da Tab. 13.1, pag. 13. O módulo de Young (E) é definido como a

constante de proporcionalidade entre F/A e L/L0, onde F é a força exercida sobre um objeto, A é a

L0

Al

Aço

L

Aço

TT0 Al




10

área da seção transversal do objeto na direção de F e L0 se refere ao comprimento original do

objeto, medido na direção de F. Ou seja:

0L

LE

A

F (1)

De acordo com a Eq. (1), a pressão (F/A) exercida sobre uma barra, na direção do seu comprimento,

é diretamente proporcional à variação fracional do comprimento ( L/L0). A pressão nos extremos

da barra pode ser no sentido de comprimi-la ou expandi-la. No presente caso, tem-se um fio ao

invés de uma barra e o processo é de expansão. Como o problema não forneceu a área da seção

transversal do fio de aço, somente será possível determinar a razão F/A, e não F, como foi pedido.

Inicialmente, à temperatura T0, tanto o fio quanto o cilindro possuem comprimento L0. Portanto, o

fio encontra-se inicialmente relaxado. Quando o sistema é aquecido, o fio e o cilindro expandem-se,

sendo que o alumínio expande-se mais do que o fio de aço (coeficiente de dilatação térmica maior

para o alumínio). A diferença entre os comprimentos finais do cilindro e do fio é que gera a tensão

no fio, sendo essa diferença, L, que entra em (1). Assim, o comprimento do cilindro de alumínio após a expansão térmica será:

5o 1 o

0 Al(1 ) 85,0 cm 1 2,3 10 C 110 C 85,21505 cmL L T

Se o fio de aço não estivesse conectado ao cilindro, seu comprimento após a expansão térmica seria:

' 5o 1 o

0 Aço(1 ) 85,0 cm 1 1,1 10 C 110 C 85,10285 cmL L T

Em relação à situação do fio de aço no problema, a Eq. (1) pode ser reescrita da seguinte forma:

Aço Aço

'

' '

F L L LE E

A L L

Substituindo-se pelos valores numéricos fornecidos:

9 2 885,21505 cm 85,10285 cm

200 10 N/m 2,6368 10 Pa85,10285 cm

F

A

Pa 1064,2 8

A

F

53. Duas barras de materiais diferentes, mas com o mesmo comprimento L e seção reta igual à A

são colocadas, como na Fig. 19-20a. A temperatura é T e não há tensão inicial. A temperatura é

aumentada em T. (a) Mostre que a interface entre as barras é deslocada de uma quantidade

dada por

1 1 2 2

1 2

E EL L T

E E

onde a1 e 2 são os coeficientes de dilatação linear e E1 e E2 são os módulos de Young dos




11

materiais. Despreze mudanças nas seções retas. (b) Ache a tensão na interface após o

aquecimento?

(Pág. 182)

Solução.

O esquema a seguir mostra quais seriam os comprimentos finais das barras 1 e 2, caso elas não

estivessem alinhadas e pudessem expandir-se livremente.

Os termos L1 e L2 correspondem às compressões sofridas pelas barras 1 e 2, respectivamente. De acordo com o esquema, temos as seguintes relações para estas grandezas:

1 1L L L L (1)

2 2 2L L L L L L L (2)

A equação que define o módulo de Young é:

F L

EA L

Nesta equação, F é a tensão aplicada sobre a área A de uma barra, L é a variação observada no

comprimento da barra, devido à tensão aplicada, L é o comprimento inicial da barra e E é o módulo

de Young do material da barra. No ponto de contato entre as barras 1 e 2, na temperatura T + T, temos:

1 2

1 2

F F

A A

Logo:

1 21 2

L LE E

L L

1 1 2 2E L E L (3)


1 1 2 2E L L L E L L L

Na expressão acima, os termos L1 L e L2 L podem ser substituídos pelos equivalentes L 1 T e

L 2 T.

L1

L L

L

L2

L1

L2

T

T T +

T T +

Barra 1 livre

T T +

Barra 2 livre




12

1 1 2 2E L T L E L T L

1 1 1 2 2 2E L T E L E L T E L

1 2 1 1 2 2E E L E E L T

1 1 2 2

1 2

E EL L T

E E


________________________________________________________________________________________________________ Halliday Resnick, Halliday, Krane - Física 2 - 4


13

RESNICK, HALLIDAY, KRANE, FÍSICA, 4.ED., LTC, RIO DE JANEIRO, 1996.

FÍSICA 2

CAPÍTULO 22 – TEMPERATURA

09. Observa-se que objetos quentes ou frios esfriam ou esquentam, respectivamente, para atingir a

temperatura do ambiente. Se a diferença de temperatura T entre o objeto e sua vizinhança( T

= Tobj Tviz) não for grande, a taxa de esfriamento ou aquecimento do objeto será

aproximadamente proporcional à diferença de temperatura, isto é,

d T

A Tdt

onde A é uma constante. O sinal menos aparece porque se T for positivo, ele decresce com o

tempo e, se for negativo, cresce. Esta é a lei de Newton para o resfriamento. (a) De que fatores

A depende? (b) Se no instante t = 0 a diferença de temperatura for T0, mostre que num instante

t ela será

0

AtT T e

(Pág. 176)

Solução.

(a) A constante A depende da massa, da área superficial e do calor específico do corpo. A unidade de A é s

-1.

(b) Partindo-se da função fornecida,

TAdt

Td

pode-se rearranjá-la da seguinte forma:

Tddt

Adt1

(1)

Integrando-se (1) dentro dos limites apropriados, obtém-se:

T

T

t

tTd

dtdtA

00

1

0

0lnln TTAt

AteT

T

0

Finalmente

AteTT 0

12. Um termômetro a gás especial consiste em dois bulbos que contém gás, cada um colocado em

um reservatório de água, como mostra a Fig. 13. A diferença de pressão entre os dois bulbos é

medida por um manômetro de mercúrio, também representado na figura. Reservatórios

apropriados, que não são mostrados na figura, mantém constante o volume de gás nos bulbos.

Quando os dois banhos estão no ponto tríplice da água, não há diferença de pressão. Quando um

banho está no ponto tríplice e o outro no ponto de ebulição da água, a diferença de pressão é de

120 mmHg. Finalmente, a diferença de pressão é de 90,0 mmHg, quando um banho está no




14

ponto tríplice da água e o outro numa temperatura desconhecida que desejamos medir. Que

temperatura é esta?

(Pág. 176)

Solução.

Considerando-se que a diferença de pressão observada no manômetro de mercúrio seja proporcional

à temperatura, podemos construir o seguinte gráfico da dependência entre estas grandezas, em que

T3 e p3 são a pressão e a temperatura do ponto tríplice da água, TE e pE são a pressão e a temperatura

do ponto de ebulição da água, T é a temperatura que se quer medir e p é a pressão do observada para

a temperatura T:

Como a declividade da curva vale T/ p, podemos escrever:

1 2

1 2

T T

p p

3 3

3 3

E

E

T T T T

p p p p

273,16 K 373,15 K 273,16 K

90,0 mmHg 120 mmHg

T

o355,6517 K 82,5017 CT

o82,5 CT

25. O comprimento de uma barra, medido com uma régua de ferro à temperatura ambiente de 20oC,

é de 20,05 cm. A barra e a régua são colocadas em um forno a 270oC e a medida da barra com a

régua é agora de 20,11 cm. Calcule o coeficiente de dilatação térmica do material da barra.

(Pág. 177)

Solução.


T

p3p

T3

TE

pE

T

p

p1

p2

T1

T2




15

T0

T

L0

L

Régua

Barra

Régua

Barra

Régua

T0

T

T0

L’

L’

Para calcular o coeficiente de dilatação da barra, é preciso determinar seu comprimento após a

expansão térmica, medindo-a com uma régua que esteja à temperatura T0. No presente caso, o comprimento final da barra foi medido com uma régua à temperatura T, que resultou na medida L’.

T

Régua

Barra

TL’

Como conhecemos o coeficiente de expansão linear da régua, podemos determinar o quanto a régua

expandiu. Ou seja, à temperatura T a marca L’ (20,11 cm)da régua coincide com o comprimento da

barra. Se a régua for resfriada à temperatura T0, mas a barra não, a régua irá marcar L como sendo o

comprimento da barra.

T

L

Barra

RéguaT0L’

A expansão térmica da régua é dada por (T0 T; L’ L):

' '

RL L L L T

' ' 1RL L L T (1)

A expansão térmica da barra é dada por:

TLLLL B 00

0 0 1BL L L T (2)

Igualando-se (1) e (2):

' '

0 0 1 1B RL L T L L T

' '

0 0 1B RL L T L L T

5o 1 o'

0

o0

20,11 cm 1,1 10 C 250 C 1 20,05 cm( 1)

250 C 20,05 cm

RB

L T L

TL

Na expressão acima, utilizou-se o coeficiente de dilatação térmica do aço para o ferro, pois são praticamente iguais.

5 o 12,30029 10 CB

1o5 C 103,2B

28. Uma barra de comprimento L0 = 3,77 m e coeficiente de dilatação térmica 25 106 por grau C

é fixada em seus extremos e tem uma rachadura em seu centro. Como conseqüência de um

aumento de temperatura de 32oC ela se eleva no centro, como mostra a Fig. 15. Determine a

elevação x.




16

(Pág. 177)

Solução.

O comprimento final da barra é

0 1L L T (1)

Aplicando-se o teorema de Pitágoras ao triângulo indicado na figura abaixo:

x

L/2

L /20

2

02

2

22

Lx

L (2)

Resolvendo-se (2) para x e substituindo-se o valor de L dado por (1):

22 202 0

1

4 4

L T Lx

2

22 0 1 14

Lx T

22 5o 1 o0

3,77 m1 1 1 2,5 10 C 32 C 1 0,07541 m

2 2

Lx T

7,5 cmx

33. A densidade é obtida dividindo-se a massa pelo volume. Como o volume V depende da

temperatura, a densidade também deve depender dela. Mostre que a variação da densidade

com a variação da temperatura T é dada por = T, onde é o coeficiente de dilatação

volumétrica. Explique o sinal menos.

(Pág. 178)

Solução.

Seja 0 a densidade à temperatura T0 e a densidade à temperatura T, definidas por:

0

0V

m

V

m

A variação do volume V devida à variação de temperatura T é dada por:

TVV 0 (1)

A variação de densidade devida à variação de temperatura será:




17

0

0

0 0

m V Vm m

V V VV

0

0 0

V V Vm m

VV VV (2)


V

Tm

VV

TVm

0

0

T (3)

O sinal negativo em (3) é conseqüência de uma variação positiva da temperatura resultar numa variação negativa da densidade.

41. O pêndulo de um relógio é feito de latão e é projetado para dar o tempo com precisão a 20oC.

Qual será o erro, em segundos por hora, se o relógio funcionar a 0oC?

(Pág. 178)

Solução.

Considere o seguinte esquema para a situação:

L0

T0

L

T

O erro pedido no problema é a variação observada no período do relógio de pêndulo ( P), durante

uma hora. Utilizou-se a abreviação P para o período para não confundir com a temperatura T. A

variação do período do relógio de pêndulo devida à variação de temperatura T é dada por:

0PPP (1)

onde P0, o período do relógio de pêndulo à temperatura T0, e P, o período à temperatura T, são

definidos por:

g

LP 0

0 2

g

LP 2 (2)

Na equação (2), g é a aceleração local da gravidade. O comprimento da haste do pêndulo, à temperatura T é:

0 1L L T (3)


0 00

12 2 1 1

L T LP T P T

g g (4)


0 0 01 1 1P P T P P T




18

Em uma hora, o que implica em P0 = 3600 s, o erro será:

5o 1 o3.600 s 1 1,9 10 C 20 C 1 0,68406 sP

0,68 sP

O sinal negativo de P significa que houve diminuição no período do relógio que, em uma hora,

acumulou 0,68 s. Como uma diminuição no período faz com que o relógio ande mais rápido, a conseqüência é que o relógio vai adiantar 0,68 s em uma hora.

45. Três barras retas de alumínio, invar e aço, de mesmo comprimento, formam a 20oC um triângulo

equilátero com articulações nos vértices. A que temperatura o ângulo oposto ao lado de invar

será de 59,95o?

(Pág. 178)

Solução.

Considere o seguinte esquema para a situação:

Al Inv

Aço

L0 L0

L0

LAl

LInv

LAço

T0 T

A resolução deste problema é geométrica. Aplicando-se a lei dos cossenos ao triângulo à

temperatura T:

cos2222

AçoAlAçoAlInv LLLLL (1)

Mas:

0 1L L T (2)

Substituindo-se a (2) em (1):

22 22 2 2

0 0 0

0 0

1 1 1

2 1 1 cos

Inv Al Aço

Al Aço

L T L T L T

L T L T

Eliminando-se L02 e expandindo-se os termos entre parênteses:

2 2

22

1 2 1 2 1 2

2cos 1

Inv Inv Al Al Aço

Aço Al Aço Al Aço

T T T T T

T T T T

Reconhecendo-se que os termos envolvendo 2 são muito menores dos que aqueles envolvendo

apenas , pode-se desprezar os primeiros:

1 2 1 2 1 2 2cos 1Inv Al Aço Al AçoT T T T T

TTTTT AçoAlAçoAlInv cos2cos2cos22122

cos2

1coscos TTTTT AçoAlAçoAlInv




19

1

cos cos cos2

Inv Al Aço Al Aço T

1cos

2

cos cosInv Al Aço Al Aço

T

o

6o 1 6o 1 6o 1 o 6o 1

o

o 6o 1

1cos 59,95

2

0,7 10 C 23 10 C 11 10 C cos 59,95 23 10 C

1 46,426497 C

cos 59,95 11 10 C

T

Por definição:

0TTT

TTT 0

o o o20 C 46,426497 C 66,426497 CT

O valor aproximado de T, com apenas um algarismo significativo, é:

o70 CT


________________________________________________________________________________________________________ Resnick, Halliday, Krane - Física 2 - 5


20

RESNICK, HALLIDAY, KRANE, FÍSICA, 5.ED., LTC, RIO DE JANEIRO, 2003.

FÍSICA 2

CAPÍTULO 21 - TEMPERATURA

26. Quando a temperatura de um cilindro de metal é aumentada de 60 para 100oC, o seu

comprimento aumenta em 0,092%. (a) Encontre a variação percentual na massa específica. (b)

Identifique o metal.

(Pág. 221)

Solução.


(a) O enunciado do problema pede para calcular a razão ( 0)/ 0.

0

0

0

mV VV

m m V

V V

Aplicando-se a expansão volumétrica do cilindro:

0 0

0 0

1 3

1 1 1 3

V V T T T

V T T T (1)

Agora precisamos determinar o valor do coeficiente de expansão térmica α do metal do cilindro

para completar o cálculo. Isso é feito por meio da informação sobre a expansão linear do cilindro,

fornecida pelo enunciado.

0

0

0,00092L L

L

00,00092L L

0 00,00092L T L

0,00092

T (2)


0

0,000923

0,002760,0027524

0,00092 1 0,002761 3

TT

TT

0

0,0028

L0

T

T0

L

L




21

Ou:

0

0,28%

O sinal negativo indica que houve diminuição na variação percentual da massa específica do cilindro.

(b) A identificação do metal é feita pela comparação do valor do coeficiente de expansão térmica do

metal com valores tabelados. A Equação (2) permite o cálculo de α.

5 o 1

o o0

0,00092 0,000922,3 10 C

100 C 60 CT T

A Tabela 21-3, Pág. 213, indica que o cilindro é feito de alumínio.

30. (a) Prove que a variação da inércia rotacional I de um sólido com a temperatura é dada por I =

2αI T. (b) Uma haste fina de latão, girando livremente a 230 rev/s em torno de um eixo

perpendicular à haste e passando pelo seu centro, é aquecida sem sem contato mecânico até que

sua temperatura aumente para 170oC. Calcule a variação na velocidade angular.

(Pág. 221)

Solução.

(a) Vamos supor que o momento de inércia inicial é I0 e o final, após o aquecimento, é I. Vamos

supor também que I0 = kML2, em que k é uma fração que depende do corpo e do eixo em relação ao

qual I0 é calculado.

2 2 2 2

0 0 0I I I kML kML kM L L

22 2 2 2 2 2

0 0 0 01 1 2I kM L T L kM L T T L

O termo α2

T2 é, em geral, muito menor do que α T. Neste caso, 2α T 10

3, enquanto que α

2T

2

105. Vamos, portanto desprezar α

2T

2.

2 2

0 02 2I kM TL kML T

02I I T

(b) A variação da velocidade angular é calculada por meio da aplicação da conservação do momento angular (L), dada a ausência de torques externos atuando sobre a haste.

0L L

0 0I I

Usando-se o resultado obtido no Item (a):

0 0 0 02I I T I

0

6 o 1 o 1

230 rev/s228,5237 rev/s

2 2 19 10 C 170 CT

Logo:

0 228,5237 rev/s 230 rev/s 1,4762 rev/s

0 1,45 rev/s

O sinal negativo indica que há uma diminuição na velocidade angular da haste como conseqüência

do aumento de temperatura.




22

40. Gás oxigênio com um volume de 1130 cm3 a 42,0

oC e à pressão de 101 kPa expande até que seu

volume seja 1530 cm3 e a sua pressão seja 106 kPa. Determine (a) o número de moles de

oxigênio no sistema e (b) a sua temperatura final.

(Pág. 221)

Solução.

(a) considerando-se que o oxigênio nessas condições apresente comportamento ideal, teremos:

0 0 0p V nRT

5 5 3

0

0 0

101 10 Pa 1,130 10 m0,043558 mol

8,314 J/K.mol 315,15 K

RTn

p V

0,0436 moln

(b) Comparando-se os estados inicial e final do sistema teremos:

0 0

0

p V pV

T T

5 3

0

5 30 0

106 10 Pa 1530 cm 315,15 K447,8316 K

101 10 Pa 1130 cm

pVTT

p V

448 KT

10. Considere um termômetro de vidro de mercúrio. Suponha que a seção transversal do capilar A é

constante e que V é o volume do bulbo de mercúrio a 0,00oC. Mostre que o comprimento L da

coluna de mercúrio no capilar a uma temperatura T, em oC,

3V

L TA

,

isto é, proporcional à temperatura, onde é o coeficiente de dilatação volumétrica do mercúrio

e é o coeficiente de dilatação linear do vidro.

(Pág. 223)

Solução.

A variação do volume do vidro é dada por:

vidro 03V V T

A variação do volume do mercúrio é dada por:

Hg 0V V T

O volume de mercúrio na coluna de vidro é dado pela dilatação aparente do mercúrio. Para isso, está implícito que na temperatura 0,00

oC o nível de mercúrio está na base da coluna (L = 0).

Hg, ap Hg vidroV V V

0 0 0 0 03 3 3AL V T V T V T V T T

Como T0 = 0,00oC:

0 3V

L TA

05. termômetro de resistência - google groups

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