02-funcoesdevariasvariaveis

FUNÇÕESDE

VÁRIAS VARIÁVEIS

1a Edição - 2.007

SOMESBSOCIEDADE MANTENEDORA DE EDUCAÇÃO SUPERIOR DA BAHIA S/C LTDA.

WILLIAM OLIVEIRAPRESIDENTE

SAMUEL SOARESSUPERINTENDENTE ADMINISTRATIVO E FINANCEIRO

GERMANO TABACOFSUPERINTENDENTE DE ENSINO, PESQUISA E EXTENSÃO

PEDRO DALTRO GUSMÃO DA SILVASUPERINTENDENTE DE DESENVOLVIMENTO E PLANEJAMENTO ACADÊMICO

FTC-EADFACULDADE DE TECNOLOGIA E CIÊNCIAS – ENSINO A DISTÂNCIA

REINALDO DE OLIVEIRA BORBADIRETOR GERAL

MARCELO NERYDIRETOR ACADÊMICO

ROBERTO FREDERICO MERHYDIRETOR DE DESENVOLVIMENTO E INOVAÇÕES

MÁRIO FRAGADIRETOR COMERCIAL

JEAN CARLO NERONEDIRETOR DE TECNOLOGIA

ANDRÉ PORTNOIDIRETOR ADMINISTRATIVO E FINANCEIRO

RONALDO COSTAGERENTE DE DESENVOLVIMENTO E INOVAÇÕES

JANE FREIREGERENTE DE ENSINO

LUÍS CARLOS NOGUEIRA ABBEHUSENGERENTE DE SUPORTE TECNOLÓGICO

OSMANE CHAVESCOORD. DE TELECOMUNICAÇÕES E HARDWARE

JOÃO JACOMELCOORD. DE PRODUÇÃO DE MATERIAL DIDÁTICO

MATERIAL DIDÁTICO

PRODUÇÃO ACADÊMICA PRODUÇÃO TÉCNICAJANE FREIRE JOÃO JACOMEL

GERENTE DE ENSINO COORDENAÇÃO

ANA PAULA AMORIM CARLOS MAGNO BRITO ALMEIDA SANTOSSUPERVISÃO REVISÃO DE TEXTO

GECIARA DA SILVA CARVALHO JONES GARCIA DA MATACOORDENADOR DE CURSO REVISÃO DE CONTEÚDO

ADRIANO PEDREIRA CATTAIPAULO HENRIQUE RIBEIRO DO NASCIMENTO PAULO HENRIQUE RIBEIRO DO NASCIMENTO

AUTOR(A) EDIÇÃO EM LATEX2!EQUIPE

ALEXANDRE RIBEIRO, ANGÉLICA JORGE, BRUNO LEMOS CEFAS GOMES, CLAUDER FILHO, DANILO BARROS DIEGO DORIAARAGÃO, FÁBIO GONÇALVES, FRANCISCO FRANÇA JÚNIOR, HERMÍNIO FILHO, ISRAEL DANTAS, LUCAS DO VALE, MARCIO

SERAFIM, MARIUCHA PONTE, RUBERVAL DA FONSECA E TATIANA COUTINHO.

Copyright c! 2.007 FTC-EAD

Todos os direitos reservados e protegidos pela lei 9.610 de 19/02/98.É proibida a reprodução total ou parcial, por quaisquer meios, sem autorização prévia, por escrito, da

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Sumário

Bloco 1: Cálculo Diferencial e Integral em Várias Variáveis 7

Tema 1: Diferenciabilidade 7Funções Reais de Várias Variáveis . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 71.2 Gráfico de uma Função . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 81.3 As Curvas de Nível . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 9

1.3.1 Exercícios Propostos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 101.4 Gráfico de Funções de Duas Variáveis . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 10Limites e Continuidade . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 151.5 Vizinhança de um Ponto . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 161.6 Conjunto Aberto . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 161.7 Ponto de Fronteira ou do Bordo. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 171.8 Conjunto Fechado. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 171.9 Ponto de Acumulação . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 181.10 Limite de uma Função . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19

1.10.1 Exercício Proposto . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 191.11 Propriedades Operatórias dos Limites . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 201.12 Funções Contínuas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20Funções Diferenciáveis . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 231.13 Interpretação Geométrica . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 231.14 O Gradiente . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 251.15 As Derivadas Direcionais . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 261.16 Funções Implícitas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 28

1.16.1 Derivada de uma Função Implícita . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 291.17 Plano Tangente e Reta Normal . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 301.18 Máximos e Mínimos de Funções Reais de Várias Variáveis . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 31

1.18.1 Critério para Identificar os Extremantes Locais . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 321.18.2 Valores Máximos e Mínimos Absolutos de Funções de Duas Variáveis . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 321.18.3 Multiplicadores de Lagrange . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 331.18.4 Exercícios Propostos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 35

Tema 2: Integração 38Integrais Duplas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 382.1 Funções Integráveis. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 392.2 Volume, Soma de Riemann e a Integral Dupla . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 40

2.2.1 Propriedades da Integral Dupla . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 402.3 Integrais Iteradas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 412.4 Integrais Duplas sobre Regiões . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 42

2.4.1 Propriedades . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 432.5 Cálculo de Integrais Duplas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 43

2.5.1 Região do Tipo I . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 432.5.2 Região do Tipo II . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 43

2.6 Integrais Duplas em Coordenadas Polares . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 442.6.1 Exercícios Propostos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 46

FUNÇÕES DE VÁRIAS VARIÁVEIS 3

2.7 Massa, Centro de Massa e Momento de Inércia . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 482.7.1 Exercícios Propostos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 49

Integrais Triplas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 492.8 Integrais Iteradas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 502.9 Integrais Triplas sobre Regiões . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 51

2.9.1 Regiões do Tipo I . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 512.9.2 Regiões do Tipo II . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 522.9.3 Regiões do Tipo III . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 522.9.4 Exercícios Propostos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 53

2.10 Volume . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 532.11 Massa, Centro de Massa e Momento de Inércia . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 54

2.11.1 Exercícios Propostos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 542.12 Mudança de Variáveis em Integrais Duplas e Triplas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 55

2.12.1 Exercícios Propostos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 562.13 Integrais Triplas em Coordenadas Cilíndricas e Esféricas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 57

2.13.1 Coordenadas Cilíndricas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 572.13.2 Coordenadas Esféricas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 582.13.3 Exercícios Propostos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 60

Bloco 2: Funções Vetoriais 62

Tema 3: Análise Vetorial 62Integrais de Linha. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 623.1 Integral de Linha em Campos Escalares . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 62

3.1.1 Exercícios Propostos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 633.2 Integrais de Linha em Campos Vetoriais . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 64

3.2.1 Campos Vetoriais . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 643.2.2 O Gradiente . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 643.2.3 O Divergente . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 643.2.4 O Rotacional . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 653.2.5 Integrais de Linha de Campos Vetoriais . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 653.2.6 Exercícios Propostos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 673.2.7 Campos Conservativos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 683.2.8 Exercícios Propostos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 70

Tema 4: Teoremas de Green, Stokes e Gauss 71Relações entre as Integrais de Linha e de Superfície . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 714.1 O Teorema de Green. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 71

4.1.1 Exercícios Propostos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 734.1.2 Um Pouco de História . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 74

4.2 Campos Conservativos em Domínios Simplesmente Conexos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 744.2.1 Exercícios Propostos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 76

4.3 Superfícies Parametrizadas. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 784.3.1 Exercícios Propostos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 78

4.4 Área de uma Superfície . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 794.4.1 Exercícios Propostos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 81

4.5 Integrais de Superfície de Campos Escalares . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 814.5.1 Dispositivo Prático para o Cálculo do Fator . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 81

FTC EaD | LICENCIATURA EM MATEMÁTICA4

4.6 O Teorema de Gauss . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 834.7 O Teorema de Stokes . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 84

4.7.1 Exercícios Propostos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 864.8 Um Pouco da História das Funções de Várias Variáveis . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 86


Caro aluno,

Este material foi elaborado para servir como referência aos estudos da disciplina Funções deVárias Variáveis, do curso de Licenciatura em Matemática da FTC-EAD .

Nos temas a seguir, generalizaremos o conceito de função real de variável real para funçõesescalares, ou seja, funções reais de mais do que uma variável real. Além destas, consideraremos,ainda, as funções vetoriais de variáveis reais que, mais uma vez, podem ser vistas como umageneralização das funções escalares, com o fim de descrever vetores que variam de ponto a pontono espaço.

Através do operador diferencial ! (nabla) conseguiremos estabelecer transformações entre osdiferentes tipos de funções. Do mesmo modo, generalizamos o conceito de integral definida de umafunção real de variável real para funções escalares, introduzindo o conceito das integrais duplase triplas. Além disso, tendo como referência as funções vetoriais, generalizaremos as integraisconhecidas, introduzindo as integrais de linha e de superfície.

O resultado final é animador. Veremos que, no espaço euclidiano representado em coordenadascartesianas, as funções vetoriais são transformadas numa “lista” de várias funções escalares (duas,quando trabalhamos no plano e três, no espaço). O mesmo acontece em coordenadas curvilíneasortogonais, porém, tendo o cuidado de que, neste caso, os versores não são imutáveis como nocaso cartesiano e, portanto, as coordenadas, num dado ponto do espaço, estão relacionadas entresi. Isto leva à introdução de alguns fatores {h1, h2, h3} e suas combinações, no que toca à forma dogradiente, divergente e rotacional nesses sistemas de coordenadas, bem como ao aparecimento doJacobiano no estabelecimento de uma medida de integração nas integrais iteradas ou múltiplas.

Tornar-se-á, também, necessário fazer um revisão dos conceitos de derivada parcial, que nospermitem “organizar” e “sistematizar” o processo de diferenciação para funções de mais do queuma variável real. De um modo análogo, será necessário generalizar o conceito de integral definidapara estabelecer o processo de integração de funções de mais do que uma variável real. Tambémveremos que as integrais de linha e de superfície de funções vetoriais estão diretamente ligadas aintegrais iteradas de funções escalares, podendo, muitas vezes, serem convertidas entre si, bemcomo nestes últimos (e vice-versa), recorrendo aos teoremas de Green, Gauss e Stokes.

Prof. Paulo Henrique Ribeiro do Nascimento.

APRESENTAÇÃO DA DISCIPLINA

BLOCO 01 Cálculo Diferencial e Integral em

Várias Variáveis

TEMA 01 Diferenciabilidade

Funções Reais de Várias Variáveis

Uma função real com n variáveis é uma relação do tipo f : D " R, com D # Rn = R $ R $ . . . $ R, ou seja,uma função cujo domínio D é um subconjunto de Rn e seu contra-domínio é R. Por exemplo,

f : R2 " R

(x , y) %" 2x + 3yg : R3 " R

(x , y , z) %" x2 + y + 3z

h : R3 \ {(0, 0, 0)} " R

(x , y , z) %" 3y

x2 + y2 + z2

A f é função real de duas variáveis onde Dom(f ) = R2 e seu contra-domínio é R. Observe que f é umafunção linear.

A g é uma função real de três variáveis onde Dom(g) = R3 e seu contra-domínio é R. Observe que g é,também, uma função polinomial.

A h é uma função real de três variáveis onde Dom(h) = R3 \ {(0, 0, 0)} e seu contra-domínio é R. Observeque h é uma função racional.

Usamos, também, a notação y = f (x1, . . . , xn) (mais simples) para representar funções reais de n variáveise, neste caso, o seu domínio Dom(f ) é o conjunto:

Dom(f ) = {(x1, . . . , xn) & Rn; f (x1, . . . , xn) & R}.

ER 1. Determine e represente geometricamente os domínios das seguintes funções:

(a) f (x , y) = 4x2 ' 1

(d) f (x , y) =x3

x ' y

(b) f (x , y) =3y2 ' 1

x2 + y2 + 1

(e) f (x , y) = lnx ' y

y ' 1

(c) f (x , y) =x3 + 3y

x2 + y2

(f) f (x , y) =3x + y

x2 ' y

Solução:

(a) Observe que Dom(f ) = R2, pois não existem restrições nesta relação de igualdade.

(b) f é uma função racional e, portanto, o seu denominador não pode ser zero. Como, x2 + y2 + 1 > 0,

para todo (x , y) & R2, Dom(f ) = R2.

(c) Temos, novamente, uma função racional e, portanto, seu denominador não

pode ser zero. Como x2 + y2 = 0 ( x2 = 0 e y2 = 0, segue que x = 0 e y = 0.

Logo, Dom(f ) = R2 \ {(0, 0)}. A representação gráfica do seu domínio é, portanto:x

y


(d) Neste caso, temos que Dom(f ) = {(x , y) & R2; x ' y )= 0} = {(x , y) & R2; y )=

x}, ou seja, todo o plano exceto a 1a bissetriz. A representação gráfica do seu

domínio é, portanto:x

y

(e) A condição x ' y

y ' 1> 0 é equivalente a x ' y > 0 e y ' 1 > 0 ou x ' y < 0 e y ' 1 < 0. De fato,

x ' y > 0

y ' 1 > 0*

y < x

y > 1. Esta região do plano é:

x

y

x ' y < 0

y ' 1 < 0*

y > x

y < 1. Esta região do plano é:

x

y

O domínio da função é o conjunto Dom(f ) = (x , y) & R2;x ' y

y ' 1> 0 = {(x , y) &

R2; y < x e y > 1 ou y > 1 e y > 1} e sua representação gráfica é: x

y

(f) Neste caso Dom(f ) = {(x , y) & R2; x2 ' y > 0} = {(x , y) & R2; y < x2}, ou seja,

o conjunto dos pares ordenados que possuem ordenada menor do que o quadrado

da abscissa. A representação gráfica do seu domínio é a região do plano que se

situa abaixo do gráfico da parábola y = x2.

x

y

(g) f (x , y) = arcsec(x2 + y2)

O domínio da função é dado por Dom(f ) = {(x , y) & R2; x2 + y2 + '1 ou x2 + y2 , 1}, ou melhor, como

x2 + y2 + '1 não ocorre seja qual for o par (x , y) & R2, Dom(f ) = {(x , y) & R2; x2 + y2 , 1}.

Lembre-se que x2 + y2 = 1 é a equação de uma circunferência de raio 1 e centro

na origem do sistema cartesiano, Dom(f ) é a região do plano formada pela cir-

cunferência e por seu exterior. Portanto, a representação gráfica do domínio de f

é:

x

y

(g) O domínio da função é dado por Dom(f ) = (x , y);& R2;'1 + x2

4+ y2 + 1 . Como x2

4+y2 , 0, para

todo (x , y) & R2, o domínio pode ser reescrito como Dom(f ) = (x , y);& R2;x2

4+ y2 + 1 .

Lembre-se que x2

4+ y2 = 1 é a equação padrão de uma elipse com

centro na origem e comprimentos dos eixo maior e menor, respectiva-

mente, iguais a 2a = 4 e 2b = 2, Dom(f ) é a região do plano formada

pela elipse e por seu interior.

x

y

1.2 Gráfico de uma Função

Dada uma função f : D " R, D # Rn, seu gráfico é o conjunto graf(f ) = {(a, f (a); a & D}.

Analisemos estas funções para alguns valores de n.


Funções reais de uma variável real (n = 1) f : D " R; D # R, o gráfico é uma curva do R2.

Para uma função de duas variáveis reais (n = 2)

f : D " R, D # R2

(x , y) %" f (x , y),

o gráfico é uma superfície do R3.

Por exemplo, a esfera x2 + y2 + z2 = 9 de centro na origem e raio 3 é uma superfície do R3 que, claramente,não é gráfico de uma função z = f (x , y). De fato, isolando-se o z desta equação, tem-se z = ± 9 ' x2 ' y2.

Considere, agora, as funções f (x , y) = 9 ' x2 ' y2 e g(x , y) = ' 9 ' x2 ' y2 e observe que seusdomínios são iguais a Dom(f ) = Dom(g) = {(x , y) & R2; x2 + y2 + 9}, a circunferência de centro na origeme raio igual a três unido ao seu interior. O gráfico de f é a semi-esfera superior (z , 0) e o gráfico de g é asemi-esfera inferior (z + 0).

Para valores de n > 2, a representação gráfica, claramente, não é possível.

1.3 As Curvas de Nível

Dados uma função z = f (x , y) e uma constante k & R, a curva de nível de f em z = k é o conjunto{(x , y) & R2; f (x , y) = k}, ou seja, é o conjunto dos elementos do domínio de f que possuem imagens iguais ak . Pode, também, ser entendido como a intersecção do gráfico de f com o plano (paralelo a xOy ) de equaçãoz = k .

Nota 1. As curvas de nível de uma função são um recurso auxiliar para o esboço de gráficos.

ER 2. Determine e esboce a curva de nível da função f (x , y) =y

xem z = 3.

Solução: A curva de nível é o conjunto dos pontos (x , y) & R2 que satis-

fazem a 3 =y

x* y = 2x , com x )= 0, ou seja, trata-se da equação de uma

reta excluindo-se o ponto (0, 0). Sendo assim, sua representação gráfica é:x

y

ER 3. Dada a função f (x , y) =y

x2 ' 1, determine e represente graficamente o seu domínio e as suas curvas

de nível.

Solução: Temos que x2'1 )= 0 e, portanto, o domínio da função é Dom(f ) =

{(x , y) & R2; x )= ±1}, ou seja, todo o plano exceto as retas de equação

x = '1 e x = 1. A representação gráfica é:x

y

Para encontrarmos as curvas de nível tomamos a equação y

x2 ' 1= k , que é equivalente a y = k(x2'1),

com x )= '1 e x )= 1.


Para cada k )= 0 temos uma parábola y = k(x2 ' 1), excluindo-se ospontos ('1, 0) e (1, 0).Para k = 0, temos y = 0, excluindo-se os pontos ('1, 0) e (1, 0), ouseja, o eixo das ordenadas exceto os pontos ('1, 0) e (1, 0). A repre-sentação gráfica é:

x

y

k > 0

1.3.1 Exercícios Propostos

EP 1.1. Seja f (x , y) = x2 ' 2x3 + 3xy . Determine a equação da curva de nível que passa pelo ponto:

(a) ('1, 1) (b) (0, 0) (c) ('1,'1)

EP 1.2. Seja f (x , y , z) = x2 + y2 ' z. Determine a equação da superfície de nível que passa pelo ponto:

(a) (1, 0, 3) (b) (1,'2, 0) (c) (0, 0, 0)

1.4 Gráfico de Funções de Duas Variáveis

Para esboçarmos o gráfico de uma função de duas variáveis f , deveremos determinar:

i. o domínio de f ;

ii. as suas curvas de nível;

iii. as interseções com os planos coordenados.

ER 4. Esboce o gráfico das seguintes funções:

(a) f (x , y) = x2 + y2 (b) f (x , y) = 1 ' y2 (c) f (x , y) = y2 ' x2 (d) f (x , y) = lnx2

9+ y2

(a) f (x , y) = x2 + y2

i. O domínio da função é Dom(f ) = R2.

ii. As curvas de nível são obtidas da equação f (x , y) = k , ou seja, x2 +

y2 = k . Como x2 , 0 e y2 , 0, temos que,

" se k < 0 a equação não tem solução, ou seja, para qualquer k < 0 acurva de nível correspondente é o conjunto vazio.

" se k = 0 (intersecção com o plano xOy ) a equação x2 +y2 = 0 tem comosolução o par (0, 0).

" se k > 0, a equação x2 + y2 = k é a de uma circunferência de centro naorigem do sistema xOy e raio

-k .

A representação gráfica das curvas de nível é dada na figura ao lado.

x

y

k > 0

-k


Como todas as curvas de nível são circunferências com centros em (0, 0), concluímos que o gráfico def (x , y) é uma superfície de revolução em torno de Oz.

iii. Interseções com os planos coordenados.

" Graf(f ) . xOy : Já foi obtido e corresponde à curva no nível z = 0 (no caso, a origem do sistema xOy ).

" Graf(f ). xOz: Fazendo y = 0 na equação z = x2 + y2 obtemos z = x2, que é a equação de uma parábolaobtida em xOz.

" Graf(f ) . yOz: Fazendo x = 0 na equação z = x2 + y2 obtemos z = y2, que é a equação de parábolaobtida em yOz.

A representação gráfica das interseções com os planos xOy , xOz e yOz é dada, respectivamente, pelasfiguras:

x

y

x

z

y

z

Concluímos que o gráfico é um parabolóide de revolução, da figura:

x

y

z

(b) f (x , y) = 1 ' y2

i. O domínio é Dom(f ) = R2

ii. As curvas de nível são obtidas da equação f (x , y) = k , ou seja, 1 ' y2 = k . Isolando-se a variável ynesta equação, obtemos y = ±

-1 ' k . Logo para

" k > 1 (isto é, 1 ' k < 0) a curva de nível correspondente é o conjunto vazio.

" k = 1, temos y = 0, z = 1 e x variando em R. Então, a curva de nível é uma reta paralela ao eixo Ox noplano z = 1.


" k < 1, y assume dois valores (y = ±-

1 ' k), com x variando em R e z = k . Então, a curva de nível éconstituída de duas retas paralelas a Ox no plano z = k .

A representação gráfica das curvas de nível é dada na figura:

x "

y "

x

y-1 ' k, k < 1

'-

1 ' k , k < 1

iii. Intersecções com os eixos coordenados

" Graf(f ) . xOy : z = 0 * 1 ' y2 = 0 * y = ±1, ou seja, as retas de equação y = '1 e y = 1.

" Graf(f ) . xOz: y = 0 * z = 1 ' 02 = 1, ou seja, a reta de equação y = 0 e z = 1.

" Graf(f ) . yOz: Fazemos x = 0 e temos z = 1 ' y2, que é a equação de uma parábola no plano yOz.

Representação gráfica:

x

y

1

'1

x

z

1

y

z

Portanto, podemos concluir que o gráfico é de uma superfície cilíndrica de geratrizes paralelas ao eixoOx tal que a parábola do plano yOz, de equação z = 1 ' y2, é uma diretriz.

(0, 0, 1)

xy

z


Nota 2. O gráfico de funções z = f (x , y) que possuem apenas uma variável independente (x ou y ) são

de superfícies cilíndricas.

(c) f (x , y) = y2 ' x2

i. O domínio da função é Dom(f ) = R2.

ii. As curvas de nível são obtidas da equação f (x , y) = k , ou seja, y2 ' x2 = k . Logo para

" k = 0 temos x2 = y2, que é equivalente a x = y ou x = 'y .Os pontos que satisfazem essas equações correspondemàs bissetrizes dos quadrantes ímpares e dos pares do planoxOy , respectivamente.

" k > 0 podemos reescrever a equação y2 ' x2 = k como y2

k'

x2

k= 1 e, assim, temos, para cada valor de k , uma hipérbole

com focos sobre o eixo Oy .

" k < 0 então 'k > 0 e, assim, podemos reescrever a equação

y2 'x2 = k como x2

k' y2

k= 1. Neste caso, temos, também,

uma hipérbole, porém, com focos sobre o eixo Ox .

A representação gráfica da curvas de nível obtidas é dada nafigura ao lado:

y

z

#k,k>0

#$k,k<0

iii. Intersecções com os planos coordenados

" Graf(f ) . xOy : Já foi obtido e corresponde à curva no nível z = 0.

" Graf(f ) . xOz: Fazendo y = 0 na equação z = y2 ' x2, obtemos z = 'x2, que é a equação de umaparábola de vértice na origem do plano xOz e foco sobre o semi-eixo negativo das cotas.

" Graf(f ) . yOz: Fazendo x = 0 naequação z = y2 ' x2, obtemos z = y2,que é a equação de uma parábola devértice na origem do plano yOz e focosobre o semi-eixo positivo das cotas.

A figura ao lado representa graficamenteos traços sobre os planos coordena-dos xOz e yOz.

x

z

y

z

O gráfico da função é, portanto, um parabolóide hiperbólico (sela).


x

y

z

(d) f (x , y) = lnx2

9+ y2

i. Como x2

9+ y2 > 0, o domínio é Dom(f ) = R2 \ {(0, 0)}

ii. As curvas de nível são obtidas da equação f (x , y) = k , ou seja, ln x2

9+ y2 = k , que é equivalente a

x2

9+ y2 = ek . Como ek > 0 para todo k , então a curva de nível em z = k é formada por elipses cuja equação

padrão é x2

9ek+

y2

ek= 1.

Podemos perceber que o seu eixo maior está sobre o eixo Ox e ésempre três vezes maior que o seu eixo menor que está situado sobreo eixo Oy .A representação gráfica da curva de nível é dada pela figura ao lado:

x

y

3-

ek

-ek

iii. Intersecções com os planos coordenados

" Graf(f ) . xOy : Fazemos z = 0, ou seja, x2

9+ y2 = 1, que é a

equação de uma elipse.

" Graf(f ) . xOz: Fazemos y = 0 na equação z = lnx2

9+ y2 e

obtemos z = lnx2

9, que é equivalente a z = 2[ln |x |' ln(3)].

" Graf(f ) . yOz: Fazendo x = 0 na equação z = lnx2

9+ y2 e

obtemos z = 2 ln |y |.

A representação gráfica dos traços obtidos com os planos coor-denados xOz e yOz é feita na figura ao lado:

x

z

3'3 y

z

1'1

O gráfico é, portanto, o da seguinte superfície:


x

y

z

Nota 3. Dada uma função z = f (x1, . . . , xn) a superfície de nível de f em z = k é definida, de modo

análogo, às curvas de nível para n = 2.

ER 5. Determine e represente graficamente as superfícies de nível da função f (x , y , z) = x2 + y2 + z2.

Seja a equação x2 + y2 + z2 = k . Então:

" se k < 0, então a superfície de nível é, claramente, o conjuntovazio.

" se k = 0, então a superfície de nível é o ponto (0, 0, 0).

" se k > 0, então a superfície é esférica de centro em (0, 0, 0) eraio

-k.

A representação gráfica das superfícies de nível é dada pelafigura ao lado:

x

y

z

Limites e Continuidade

Aqui estudaremos o limite e a continuidade de funções reais com n variáveis, em particular, as funções reaisde duas ou três variáveis.


1.5 Vizinhança de um Ponto

A bola aberta ou vizinhança de centro em a = (a1, . . . , an) & Rn e de raio r > 0 é dada por

B = B(a, r) = {a & Rn; ||x ' a|| < r}.

Utilizaremos, aqui, a norma euclidiana

d(x , a) = ||x ' a|| = (x1 ' a1)2 + . . . + (xn ' an)2.

Assim sendo, uma vizinhança do ponto a & R2, de raio r > 0, é um conjuntode pontos que satisfazem (x1 ' a1)2 + (x2 ' a2)2 < r que é equivalente a(x1 ' a1)2 + (x2 ' a2)2 < r2, ou seja,

B(a, r) = {x = (x1, x2) & R2; (x1 ' a1)2 + (x2 ' a2)2 < r}.

Graficamente, B(a, r) é o interior de um círculo de raio r , centrado em a =

(a1, a2) e é chamado de disco aberto de centro em a e raio r .

x

y

x1

x2

(x1, x2)

r

A vizinhança do ponto (1, 2), de raio 3, por exemplo, é o conjunto

{x & R2; (x1 ' 1)2 + (x2 ' 2)2 < 9},

cuja representação gráfica é o disco da figura ao lado.x1

x2

1

2

Analogamente, uma vizinhança de a = (a1, a2, a3) é:

B(a, r) = {x = (x1, x2, x3) & R3; (x1'a1)2+(x2'a2)

2+(x3'a3)2 < r2},

o interior de uma esfera de raio r e centro em a.

x

y

z

1.6 Conjunto Aberto

Um dos principais conceitos da Matemática é o que apresentaremos agora. Os conjuntos abertos sãodemasiadamente importantes e tratados, também, nas disciplinas ligadas à álgebra, topologia e análise. Esteconceito é muito utilizado no estudo dos limites de uma função real com n variáveis reais.

Um subconjunto A & Rn é um aberto do Rn se, para todo a & A, existe r > 0 tal que B(a, r) # A. Ossubconjuntos próprios (/ e o Rn) são, também, abertos.

A # Rn é aberto ( 0 a & A, 1r > 0; B(a, r) # A.

Nota 4. Os conjuntos abertos do Rn, n , 2, são uma generalização dos intervalos abertos em R.


ER 6. Verifique se as seguintes afirmações são verdadeiras ou falsas. Justifique sua resposta.

(a) O conjunto A = {(a1, . . . , an)} é um aberto do Rn;

(b) A = R é um aberto de R2;

(c) Considere A = Rm, m < n. A é um aberto em Rn;

(d) A = (a1, a2) $ (b1, b2) é um aberto em R2;

(e) Seja a & Rn e r > 0. A bola B(a, r) é um aberto do Rn.

(a) FALSO. O conjunto A = {(a1, . . . , an)} não é um aberto do Rn, pois, para todo r > 0, a bola centrada

em (a1, . . . , an) e de raio r , B(a, r), não está contida em A.

(b) FALSO. O conjunto A = R não é um aberto do R2, pois, para todo r > 0, a bola centrada em a & R e

de raio r , B(a, r), não está contida em A.

(c) FALSO. O conjunto A = Rm não é um aberto em Rn, pois, para todo r > 0, a bola centrada em

(a1, . . . , am, 0, . . . , 0) & Rn e de raio r , B(a, r), não está contida em A.

(d) VERDADE. A = (a1, a2) $ (b1, b2) é um aberto em R2. De fato, se (a, b) inA, temos que a1 < a < a2

e b1 < b < b2. Se considerarmos # = min{|a ' a1|, |a ' a2|, |b ' b1|, |b ' b2|}, $ > # e r =#

$, temos que

B((a, b), r) # A.

(e) VERDADE. Se a" & B(a, r), temos que |a" ' a| < r . Se r " = r ' |a" ' a|, temos 0 < r " < r . Assim,

B(a", r ") # B(a, r).

1.7 Ponto de Fronteira ou do Bordo

Considere A um subconjunto do Rn e a & A. O ponto a é um ponto de fronteira ou do bordo de A se todavizinhança de a intercepta A e o seu complemento Rn # A.

Denota-se o conjunto dos pontos de fronteira ou do bordo de A por %A.

Um importante resultado é formulado a partir dos conceitos vistos e sua prova deverá ser vista em um livrode análise matemática.

1.1 Teorema. Um conjunto A # Rn é um aberto do Rn se A . %A = /.


(a) Se a & Rn e r > 0, então %B(a, r) = {x & Rn; |x ' a| = r};

(b) O conjunto F = {x & Rn; |x ' a| + r} é aberto;

(c) Se A = {(x1, x2) & Rn; x1 > 0}, então %A = {(0, x2); x2 & R}

1.8 Conjunto Fechado

Um conjunto A # Rn é dito fechado em Rn se %A # A. O vazio e o próprio Rn são também fechados.



(a) Se a & Rn e r > 0, então A não é fechado. De fato, %B(a, r) = {x & Rn; |x ' a| = r} )# B(a, r);

(b) O sólido W = {(x1, x2, x3) & Rn; x21 + x2

2 + x23 , r2, r > 0} é fechado. De fato, %W = {(x1, x2, x3) &

Rn; x21 + x2

2 + x23 = r2, r > 0} e %W # W .

(c) Se A = {(x1, x2) & Rn; x1 > 0}, então %A = {(0, x2); x2 & R}

1.9 Ponto de Acumulação

Se A é um subconjunto do Rn e a = (a1, . . . , an) & Rn, dizemos que a é um ponto de acumulação de A setoda vizinhança B de a é tal que

B . (A \ {a}) )= /.

Por exemplo, se A = {(a1, a2) & R2; a2 < a1}, então:

" (2, 1) é um ponto de acumulação de A;

" (1, 1) é ponto de acumulação de A;

" (1, 2) não é ponto de acumulação de A.

O conjunto dos pontos de acumulação de A é {(a1, a2) & R2; a2 + a1}.

x

y

(2, 1)(1, 1)

(1, 2)

x

y

Pontos de acumulação de A

Agora, para A = {(a1, a2) & R2; a2 > a21} 2 (2,'2) temos que (2,'2) & A, mas não é ponto de acumulação

de A, pois existe r > 0 tal B(a, r) . A = /. Observe que o conjunto dos pontos de acumulação de A é{(a1, a2) & R2; a2 , a2

1}.

x

y

2'1

x

y

Pontos de acumulação de AFTC EaD | LICENCIATURA EM MATEMÁTICA18

1.10 Limite de uma Função

Considere f : D # Rn " R uma função e a um ponto de acumulação de D. Dizemos que L & R é o limite def (x) em a se, para todo # > 0, existe & > 0 tal que, se x & B(a, &).A, então, que |f (x)'L| < #. Simbolicamente,

limx%a

f (x) = L ( (0 # > 0, 1 & > 0; x & B(a, &) . A * |f (x) ' L| < #).

ou, ainda,limx%a

f (x) = L ( (0 # > 0, 1 & > 0; 0 < ||x ' a|| < & * |f (x) ' L| < #.) .

Para uma função f : D # R2 " R consideraremos x = (x , y), a = (x0, y0), a norma usual ||x ' a|| = |x ' a| =

(x ' x0)2 + (y ' y0)2 e a notaçãolim

(x,y)%(x0 ,y0)f (x , y) = L.

Para uma função f : D # R3 " R consideraremos x = (x , y , z), a = (x0, y0, z0), a norma usual ||x ' a|| =

|x ' a| = (x ' x0)2 + (y ' y0)2 + (z ' z0)2 e a notação

lim(x,y ,z)%(x0 ,y0,z0)

f (x , y , z) = L.

ER 9. Prove que lim(x,y)%(2,1)

(x + 3y) = 5

Solução: Observe que |f (x , y) ' 5| = |x + 3y ' 5| = |x ' 2 + 3(y ' 1)| e, de acordo com a desigualdade

triangular, |x ' 2 + 3(y ' 1)| , |x ' 2| + 3|y ' 1|. Como |x ' 2| = (x ' 2)2 + (x ' 2)2 + (y ' 1)2 e

|y ' 1| = (y ' 1)2 + (x ' 2)2 + (y ' 1)2, temos que

|x ' 2|+3|y ' 1| + (x ' 2)2 + (y ' 1)2 +3 (x ' 2)2 + (y ' 1)2 + 4 (x ' 2)2 + (y ' 1)2 + 4||(x , y)' (2, 1)||.

Dado # > 0, considere & =#

4. Segue que ||(x , y) ' (2, 1)|| < & * |x + 3y ' 5| < 4& = #.

1.2 Teorema. Dados f (x , y) = x e g(x , y) = y , para todo (x , y) & R2, então lim(x,y)%(x0 ,y0)

f (x , y) = x0 e

lim(x,y)%(x0 ,y0)

g(x , y) = y0.

1.3 Teorema. [Conservação do sinal]Se lim(x,y)%(x0 ,y0)

f (x , y) = L, então existe uma vizinhança V de (x0, y0) tal

que, para todo (x , y) & V \ {(x0, y0)}, o sinal de f (x , y) é o mesmo de L.

Por exemplo, para f (x , y) = 4x temos lim(x,y)%(1,0)

f (x , y) = 4 e, para todo (x , y) & {(x , y) & R2; |(x , y)'(1, 0)| <

1}, temos f (x , y) > 0.

1.10.1 Exercício Proposto

EP 1.3. Sabendo que f (x , y) = 1, g(x , y) =1 , se (x , y) )= (1, 2)

x2 + 2 , se (x , y) = (1, 2), prove os seguintes limites

(a) lim(x,y)%(x0 ,y0)

f (x , y) = 1; (b) lim(x,y)%(1,2)

g(x , y) = 1.

Nota 5. De modo geral, dada uma função f (x , y) = c , c & R, 0 (x , y) & R2 e (x0, y0) & R2,

lim(x,y)%(x0 ,y0)

f (x , y) = c .


1.11 Propriedades Operatórias dos Limites

Considere as funções f (x , y) e g(x , y), com domínio em D # R2 e (x0, y0) & R2 um ponto de acumulação deD. Se lim

(x,y)%(x0 ,y0)f (x , y) = L1 e lim

(x,y)%(x0 ,y0)g(x , y) = L2, então:

(a) lim(x,y)%(x0 ,y0)

[f (x , y) ± g(x , y)] = L1 + L2;

(b) lim(x,y)%(x0 ,y0)

[f (x , y) · g(x , y)] = L1 · L2;

(c) lim(x,y)%(x0 ,y0)

f (x , y)

g(x , y)=

L1

L2, L2 )= 0;

Nota 6. As propriedades do limite para as funções de duas ou mais variáveis são análogas às do limite

de funções de uma variável e as provas seguem da definição.

ER 10. Calcule lim(x,y)%(1,2)

3x2 ' 2y3

x ' 3.

Solução: lim(x,y)%(1,2)

3x2 ' 2y3

x ' 3=

3 lim(x,y)%(1,2)

x2 ' lim(x,y)%(1,2)

2y3

lim(x,y)%(1,2)

x ' lim(x,y)%(1,2)

3=

3 · 12 ' 2 · 23

1 ' 3=

3 ' 16

'2=

13

2.

1.12 Funções Contínuas

1.4 Definição. Dizemos que f : D # Rn " R é contínua em a & D se, para todo # > 0, existe & > 0 tal que

||x ' a|| < &, |f (x) ' f (a)| < #. Simbolicamente:

f : D # Rn " R é contínua em a & D ( (0 # > 0, 1 & > 0; ||x ' a|| < & * |f (x) ' f (a)| < #) .

De forma equivalente, temos que uma função f : D # Rn " R é contínua em a & D se(a) lim

x%af (x) existe; (b) lim

x%af (x) = f (a).

Nota 7. Análogo ao que foi visto no curso de Cálculo I, temos que, se lim(x,y)%(x0 ,y0)

f (x , y) = f (x0, y0), a

função f (x , y) é contínua em (x0, y0). Observe, aqui, que (x0, y0) é, claramente, um ponto do domínio da

função e que o limite deve existir.

ER 11. Calcule lim(x,y)%(1,$1)

3x2y ' 2y3

xy ' 1.

Solução: lim(x,y)%(1,$1)

3x2y ' 2y3

xy ' 1=

3 · 12 · ('1) ' 2 · ('1)3

1 · ('1) ' 1=

'3 + 2

'1 ' 1=

1

2.

Nota 8. Em alguns casos, mesmo quando o ponto não pertence ao domínio da função, podemos calcular

o valor do limite de uma função racional bastando, para isso, eliminar a indeterminação por cancelamento

de fatores.


ER 12. Calcule lim(x,y)%($1,1)

2(y + 1)2 · (x3 ' 1)

(1 ' x) · y2.

Solução: lim(x,y)%($1,1)

2(y + 1)2 · (x3 ' 1)

(1 ' x) · y2=

2(y + 1)2 · (x ' 1) · (x2 + x + 1)

(1 ' x) · y2=

2(y + 1)2 · (x2 + x + 1)

'y2=

2(1 + 1)2 · [('1)2 ' 1 + 1]

'12= '4.

Nota 9. Claro que, se f é uma função racional e a pertence ao seu domínio (isto é, não anula o denomi-

nador da função), então f é contínua em a.

Nota 10. As funções contínuas num ponto a têm as mesmas propriedades operatórias já descritas para

os limites.

1.5 Proposição. Se f (x , y) é continua em (x0, y0), L1 = f (x0, y0), e g(z) é uma função de uma variável real tal

que existe limz%L1

g(z) = L2, então lim(x,y)%(x0 ,y0)

g(f (x , y)) = L2.

ER 13. Determine:

(a) lim(x,y)%($2,1)

x2 ' 3y

x · y2; (b) lim

(x,y)%(0, !4 )

senx + y

x · y ' 1.

Solução:

(a) lim(x,y)%($2,1)

x2 ' 3y

x · y2=

('2)2 ' 3(1)

('2) · 12= '1

2;

(b) lim(x,y)%(0, !

4 )sen

x + y

x · y ' 1= sen

0 +'

4

0 · '

4' 1

= sen ''

4= '

-2

2.

1.6 Proposição. Se lim(x,y)%(x0 ,y0)

f (x , y) = L, então para toda curva C , dada por uma função contínua y = y(x)

(ou x = x(y)) tal que C # {(x0, y0)} está contido no domínio de f e y0 = y(x0) (ou x0 = x(y0)), temos:

limx%x0

f (x , y(x)) = L ou limy%y0

f (x(y), y) = L .

Nota 11. Dada a curva C de equação y = y(x), usaremos a notação

lim(x,y)%(x0 ,y0)

f (x , y) = limx%x0

f (x , y(x)), onde (x , y) & C .

ER 14. Determine lim(x,y)%(1,0)

(x ' 1) · y(x ' 1)2 + y2

.

Solução: Temos, aqui, que lim(x,y)%(1,0)

x ' 1 = 0 e lim(x,y)%(1,0)

(x ' 1)2 + y2 = 0.

Para que este limite exista devemos ter que os limites, em qualquer uma das direções, seja o mesmo.

De forma análoga, podemos pensar que, se existem duas curvas C1 e C2 tais que limx%x0

f (x , y(x)) =

L1, onde (x , y) & C1 e limx%x0

f (x , y(x)) = L2, onde (x , y) & C2, com L1 )= L2, então limx%x0

f (x , y(x)) não existe.

Vamos mostrar que este limite não existe apresentando duas curvas que passam por (1, 0) e são tais que


os limites sobre elas são diferentes (análogo ao que se faz para funções de uma variável, usando os limites

laterais).

Temos que o domínio da função f (x , y) =(x ' 1) · y

(x ' 1)2 + y2é D = R2'{(1, 0)}. Lembre-se, aqui, da importân-

cia de se conhecer o domínio da função: os valores (x , y) de cada uma das curvas C1 e C2 consideradas,

devem pertencer a D.

Considere, por exemplo, as curvas C1 : y = 0 e C2 : x = 1. Observe que as curvas citadas contêm o

ponto (1, 0). Então, para (x , y) & C1, temos que

lim(x,y)%(1,0)

f (x , y) = limx%1

(x ' 1) · 0(x ' 1)2 + 02

= 0

e para (x , y) & C2

lim(x,y)%(1,0)

f (x , y) = limy%0

(x ' 1)2

2(x ' 1)2=

1

2.

Desta forma, temos que não existe lim(x,y)%(1,0)

(x ' 1) · y(x ' 1)2 + y2

.

ER 15. Determine os pontos de descontinuidade da função

f (x , y) =

x2 · yx4 + y2

; se (x , y) )= (0, 0)

0 ; se (x , y) = (0, 0)

Solução: A expressão racional x2 · yx4 + y2

está definida para todo (x , y) )= (0, 0). Portanto, a função f (x , y)

é contínua para todo (x , y) )= (0, 0).

Para o ponto (0, 0) vamos mostrar, como no exemplo anterior, que não existe limite neste ponto e a função,

por conseguinte, é descontínua.

Considere, por exemplo, as curvas C1 : x = 0 e C2 : y = x2. Observe que as curvas citadas contêm o

ponto (0, 0)). Então, para (x , y) & C1, temos que

lim(x,y)%(0,0)

f (x , y) = limx%0

df rac02 · y04 + y2 = 0

e para (x , y) & C2

lim(x,y)%(0,0)

f (x , y) = limx%0

x2 · x2

x4 + (x2)2=

1

2.

Desta forma, temos que não existe lim(x,y)%(0,0)

x2 · yx4 + y2

e, portanto, a função f não é contínua.

ER 16. Calcular, caso exista, lim(x,y)%(2,2)

1

x ' y.

Solução: O domínio da função f (x , y) =1

x ' yé D = {(x , y) & R2; x )= y}.

Considere a curva C : x = 2. Observe que essa curva contém o ponto (2, 2) e que para (x , y) & C temos

que lim(x,y)%(2,2)

f (x , y) = limy%2

1

2 ' ynão existe. De fato, lim

y%2!

1

2 ' y= 3 e lim

y%2+

1

2 ' y= '3.


Funções Diferenciáveis

As funções de mais de uma variável são diferentes das funções de uma variável quando falamos de diferen-ciabilidade. Esta condição, se fosse análoga a das funções de uma variável, requereria, apenas, que a funçãode mais de uma variável possuísse derivadas parciais, o que não é o caso.

Restringiremos o estudo da diferenciabilidade, aqui, para funções reais de duas variáveis reais definidanuma vizinhança de (x0, y0). A notação d [(x , y), (x0, y0)] é para representar a distância entre os pontos (x , y) e(x0, y0).

1.7 Definição. Dizemos que f (x , y) é diferenciável em (x0, y0) se as seguintes condições são verdadeiras:

i. Existem %f

%x(x0, y0) e

%f

%y(x0, y0)

ii. lim(x,y)%(x0 ,y0)

r(x , y)

d [(x , y), (x0, y0)]= 0, para r(x , y) = f (x , y)' %f

%x(x0, y0) · (x ' x0) +

%f

%y(x0, y0) · (y ' y0) + f (x0, y0)

ER 17. Verifique se a função f (x , y) = 2x + 3y é diferenciável em (1,'1).

Solução: Temos que

i. %f

%x(1,'1) = 2 e %f

%y(1,'1) = 3;

ii. r(x , y) = 2x + 3y ' (2 ' 3) ' 2 · (x ' 1) ' 3(y + 1) = 0, para todo (x , y).

Portanto, lim(x,y)%(1,$1)

r(x , y)

d [(x , y), (x0, y0)]= 0.

1.13 Interpretação Geométrica

A equação z1 =%f

%x(x0, y0) · (x ' x0) +

%f

%y(x0, y0) · (y ' y0) + f (x0, y0) é de um plano que passa por

(x0, y0, f (x0, y0)). Temos que r(x , y) = f (x , y) ' z1. Logo, dizer que lim(x,y)%(1,$1)

r(x , y)

d [(x , y), (x0, y0)]= 0 significa

que f (x , y) ' z1 tende a zero “mais rápido” do que (x , y) tende a (x0, y0), ou seja, próximo de (x0, y0) o gráficode f (x , y) está, ainda, mais próximo desse plano.

1.8 Definição. Se f (x , y) é diferenciável em (x0, y0), então

i. O plano tangente à superfície f (x , y) em (x0, y0) tem equação

z1 =%f

%x(x0, y0) · (x ' x0) +

%f

%y(x0, y0) · (y ' y0) + f (x0, y0);

ii. A diferencial (ou diferencial total) de f (x , y) em (x0, y0) é

df (x0, y0) =%f

%x(x0, y0) · !x

(x$x0)

+%f

%y(x0, y0) · !y

(y$y0)

=%f

%x(x0, y0) · !x +

%f

%y(x0, y0) · !y .

ER 18. Seja a função f (x , y) = 2x + 3y e o ponto (1,'1). Determine a equação do plano tangente e a

diferencial neste ponto.


Solução: O plano tangente à superfície f (x , y) = 2x + 3y é z = 2(x ' 1) + 3(y + 1)' f (1,'1) = 2x + 3y ,

ou seja, é ela própria. Observe que a superfície é um plano.

A diferencial no ponto é dada por df (1,'1) = 2 · !x + 3!y .

1.9 Proposição. Se f (x , y) é diferenciável em (x0, y0), então é contínua em (x0, y0).

Prova: Devemos mostrar que

lim(x,y)%(x0 ,y0)

f (x , y) = f (x0, y0)

que é equivalente a

lim(x,y)%(x0 ,y0)

f (x , y) ' f (x0, y0) = 0.

Portanto, como f (x , y) é diferenciável, temos lim(x,y)%(x0 ,y0)

f (x , y)'f (x0, y0) =%f

%x(x0, y0)·(x'x0)+

%f

%y(x0, y0)·

(y ' y0) + r(x , y).

Como (x ' x0) " 0, (y ' y0) " 0 e r(x , y) " 0, quando (x , y) " (0, 0), temos que lim(x,y)%(x0 ,y0)

f (x , y) '

f (x0, y0) = 0.

ER 19. Verifique se a função

f (x , y) =

(x ' 1) · y(x ' 1)2 + y2

; se (x , y) )= (1, 0)

1 ; se (x , y) = (1, 0)

é diferenciável em (1, 0).

Solução: A função em questão, apesar de possuir derivadas parciais em (1, 0), não é diferenciável em

(1, 0), pois não é contínua neste ponto.

No exercício a seguir veremos que uma função pode ser contínua sem que seja diferenciável neste ponto.

ER 20. Verifique se a função f (x , y) = x2 + y2 é diferenciável em (0, 0).

Solução: Verifique que a função não possui derivadas parciais neste ponto e, assim, pode-se concluir

que não é diferenciável, apesar dela ser contínua neste ponto.

Nota 12. Esboce o gráfico da superfície do exercício anterior e conclua que era de se esperar que esta

função não fosse diferenciável em (0, 0), pois, neste ponto, ocorre o vértice do cone, onde não existe

plano tangente à superfície.

1.10 Teorema. Se f (x , y) possui derivadas parciais em todos os pontos de uma vizinhança de (x0, y0) e as

derivadas parciais são contínuas em (x0, y0), então f (x , y) é diferenciável em (x0, y0).

ER 21. Verifique se a função f (x , y) =x

(x ' y + 1)2 + y2é diferenciável em ('1, 0)

Solução: Observemos, inicialmente, que o domínio da função f (x , y) é D = R2 \ {('1, 0)} e, para todo

ponto (x , y) & D, temos que

%f

%x(x , y) =

(x ' y + 1)2 + y2 ' 2x · (x ' y + 1)

[(x ' y + 1)2 + y2]2e %f

%y(x , y) = 'x ['2(x ' y + 1) + 2y ]

[(x ' y + 1)2 + y2]2.


Como %f

%x(x , y) e %f

%y(x , y) são funções racionais de mesmo domínio D, então são funções contínuas neste

domínio. Concluímos que f (x , y) é diferenciável em todo o seu domínio.

Nota 13. Uma função racional é diferenciável em todos os pontos do seu domínio.

Considerando-se que dx = !x e dy = !y , podemos, para a diferencial de uma função no ponto (x0, y0),escrever

df (x0, y0) =%f

%x(x0, y0) · dx +

%f

%y(x0, y0) · dy .

ER 22. Calcule o diferencial da função f (x , y) = cos(3xy) + y e determine a equação do plano tangente ao

ponto '

2,'1 .

Solução: As derivadas parciais de f são: %f

%x(x , y) = '3y sen(3xy) e %f

%y(x , y) = '3x sen(3xy) + 1 e são

contínuas em todo ponto pertencente ao R2.

Portanto,

df'

2,'1 =

%f

%x

'

2,'1 ·dx+

%f

%y

'

2,'1 ·dy = '3·('1) sen

'3'

2'3'

2sen

'3'

2+1 = 3 dx+ 1 ' 3'

2dy .

Temos que f'

2,'1 = cos

'

2' 1 = '1 e, portanto, a equação do plano tangente é:

z = '1 + 3 · x ' '

2+ 1 ' 3'

2(y + 1) = 3x + 1 ' 3'

2y ' 3'.

1.14 O Gradiente

Inicialmente, relembremos dois conceitos importantes visto na disciplina de Álgebra Linear. Dados doisvetores u = (x1, x2, . . . , xn) e v = (y1, y2, . . . , yn), o produto escalar (ou produto interno) de u por v é dado por

u · v = x1 · y1 + x2 · y2 + . . . + xn · yn =n

i=1

xi · yi

e, se u e v são vetores não nulos, então

u · v = |u| · |v | · cos((),

sendo ( o ângulo por eles formado.

Trabalharemos, a partir deste ponto, com o espaço R2, visto que podemos trabalhar, de modo análogo, comfunções de mais de duas variáveis. O propósito disto se deve a questão de melhor visualização.

1.11 Definição. Se f (x , y) é diferenciável em (x0, y0), então seu vetor gradiente em (x0, y0) é definido por

!f (x0, y0) =%f

%x(x0, y0),

%f

%y(x0, y0) .

ER 23. Calcule o gradiente de f (x , y) = cos(x2 · y) ' x no ponto 1,'

2.

Solução: Temos que%f

%x= '2xy sen(x2 · y) ' 1 e %f

%y= x2 sen(x2 · y)


Portanto,%f

%x1,

'

2= '2 · '

2· sen '

2' 1 = '1 ' ' e %f

%y1,

'

2= ' sen

'

2= '1

Segue que !f 1,'

2= ('' ' 1,'1).

1.15 As Derivadas Direcionais

Vimos que, se f (x , y) é diferenciável em (x0, y0) e u é um vetor não nulo, então

%f

%u(x0, y0) = a · %f

%x(x0, y0) + b · %f

%y(x0, y0),

em que (a, b) = u& =u

|u|é o versor de u. Temos, então, que

i. %f

%u(x0, y0) = !f (x0, y0) · u&

ii. Se !f (x0, y0) )= 0, então %f

%u(x0, y0) = |!f (x0, y0)| · |u&|

1

· cos(() = |!f (x0, y0)| · cos(().

Na expressão acima, fixando o ponto (x0, y0) e variando o vetor unitário u&, observamos que o gradientee, conseqüentemente, seu módulo, permanecem constantes. A variação das derivadas direcionais dependemapenas do cos((). Como cos(() & ['1, 1], então, num só ponto (x0, y0), encontramos derivadas direcionais detodos os valores, que vão desde '|!f (x0, y0)| até |!f (x0, y0)|.

A maior derivada direcional é |!f (x0, y0)| e ocorre para cos(() = 1 * ( = 0, ou seja, ocorre se u temmesma direção e mesmo sentido que !f (x0, y0). Então, o gradiente aponta para a direção e sentido em que ocrescimento da função é maior.

A menor derivada direcional ocorre para cos(() = '1 * ( = 180&, ou seja, se u tem a direção do gradientee sentido contrário a ele.

A derivada direcional é nula se, e somente se, cos(() = 0, ou seja, se ( = 90&. Isto é, se u é ortogonal a!f (x0, y0). Como a derivada direcional na direção da tangente à curva de nível é nula. Então, o gradiente éortogonal à tangente à curva de nível. Ou, mais simples, o gradiente é normal à curva de nível.

ER 24. Dada a função f (x , y) = cos(x2 · y) ' x e o ponto 1,'

2. Determine:

(a) Um vetor unitário na direção em que f (x , y) cresce mais rapidamente neste ponto e a respectiva taxa de

variação de f .

(b) Um vetor unitário na direção em que f (x , y) decresce mais rapidamente neste ponto e a respectiva taxa

de variação de f .

(c) Vetor(es) unitário(s) na direção em que f (x , y) permanece(m) constante(s) e a respectiva taxa de variação

de f neste ponto.


Solução: (a) O vetor unitário na direção em que f (x , y) cresce mais rapidamente neste ponto é o versor

u& na direção de !f 1,'

2e, pelo exemplo anterior,

u ='' ' 1

('' ' 1)2 + ('1)2,

'1

('' ' 1)2 + ('1)2=

'' ' 1-'2 + 2' + 2

,'1-

'2 + 2' + 2.

Segue que%f

%u1,

'

2= !f (1,

'

2| = '2 + 2' + 2.

(b) O vetor unitário na direção em que f (x , y) cresce mais rapidamente neste ponto é o versor u1 na

direção de !f 1,'

2. Assim,

u1 =' + 1-

'2 + 2' + 2,

1-'2 + 2' + 2

.

Segue que%f

%u11,

'

2= ' !f 1,

'

2= ' '2 + 2' + 2.

(c) São os versores ortogonais ao versor u (ou u1).

u2 ='1-

'2 + 2' + 2,

' + 1-'2 + 2' + 2

e u3 =1-

'2 + 2' + 2,

'' ' 1-'2 + 2' + 2

. Segue que:

%f

%u21,

'

2= ' %f

%u21,

'

2= 0.

ER 25. A superfície de um rio se encontra no plano XOY e o seu leito é representado pela parte do gráfico

da função f (x , y) = z = '5 + x2 que se encontra abaixo desse plano. Se um barco está situado na superfície

do rio no ponto (1, 1) em que direção (e sentido) deve se deslocar para que

(a) A profundidade da água aumente mais rapidamente;

(b) A profundidade permaneça a mesma.

Solução: (a) Na direção e sentido de '!f (1, 1) = '(2, 0) = ('2, 0).

(b) Nas direções ortogonais ao gradiente, ou seja, nas direções e sentidos dos vetores (0, 2) e (0,'2).

Podemos trabalhar com funções commais de duas variáveis, de modo análogo ao que fazemos com funçõesde duas variáveis.

ER 26. A densidade de massa de certo corpo (dada em g/cm3) é variável e, em cada ponto (x , y , z) do corpo,

é igual a f (x , y , z) = 4x2 + y2 + 16z2. Consideremos o ponto P0(1, 2,'1). Determine:

(a) A taxa de variação da densidade em P0, na direção de P0 para a origem. A densidade cresce ou decresce

nesta direção?

(b) A direção e o sentido em que a densidade cresce mais no ponto P0 e o valor da taxa.


Solução: (a) O vetor (0'1, 0'2, 0' ('1)) = ('1,'2, 1) possui a direção e sentido de P0 para a origem,

(0, 0, 0). O versor na direção deste vetor é

u ='1-

6,'2-

6,

1-6

e !f = (8x , 2y , 32z) * !f (P0) = (8, 4,'32).

Logo%f

%u(P0) =

'8-6

+'8-

6+

'32-6

='48-

6.

A densidade decresce, pois %f

%u(P0) < 0.

Nota 14. Aqui, utilizamos o teorema da conservação do sinal aplicado à função contínua %f

%u(x , y , z) =

'8x-6

''4y-

6+

'32z-6

que é a “função derivada direcional na direção do vetor u” dado acima.

(b) Direção de !f (P0) = (8, 4,'32). A taxa de variação (ou derivada direcional) é:

%f

%u(P0) = |!f (P0)| = 64 + 16('32)2 =

-1184.

1.16 Funções Implícitas

Vamos considerar uma elipsóide E cuja equação é x2

4+

y2

4+ z2 ' 1 = 0.

Explicitando a variável z desta, temos:

z = ± 1 ' x2

4' y4

4.

As funções de duas variáveis

f1(x , y) = 1 ' x2

4' y4

4e f2(x , y) = ' 1 ' x2

4' y4

4

são dadas implicitamente pela equação de E e o gráfico de cada uma destas é parte do elipsóide.

1.12 Definição. Sejam as funções F (x , y , z) e z = f (x , y) e a constante C & R. Dizemos que f (x , y) é

dada implicitamente pela equação F (x , y , z) = C se F (x , y , f (x , y)) = C , para todo (x , y) do domínio de f .

Geometricamente, temos que o gráfico de f é parte da superfície de nível C de F .

Portanto, se fizermos F (x , y , z) =x2

4+

y2

4+ z2 ' 1, uma função de 3 variáveis, a equação de E pode ser

escrita como F (x , y , z) = 0, ou seja, esta é a equação da superfície de nível 0 de F (x , y , z).


1.16.1 Derivada de uma Função Implícita

Seja a função z = f (x , y) diferenciável em (x0, y0), dada implicitamente pela equação F (x , y , z) = C , tal queF (x , y , z) é diferenciável em (x0, y0, z0

f (x0,y0)

) e %F

%z(x0, y0, z0) )= 0. Então,

%f

%x(x0, y0) = '

%F

%x(x0, y0, z0)

%F

%z(x0, y0, z0)

e %f

%y(x0, y0) = '

%F

%y(x0, y0, z0)

%F

%z(x0, y0, z0)

A demonstração dessa propriedade é apenas uma aplicação da regra da cadeia e, por essa razão, vamosmostrar apenas a derivada de F em relação a x . A derivada de F em relação a y segue de modo análogo.

Na equação F (x , y , f (x , y)) = C temos que a função de duas variáveis h(x , y) = F (x , y , f (x , y)) é constante,ou seja, h(x , y) = C . Logo, suas derivadas são iguais a zero. Além disso, usando a regra da cadeia, temos,

%h

%x(x0, y0)

0

=%F

%x(x0, y0, z0)

%x

%x

1

+%F

%y(x0, y0, z0)

%y

%x

0

+%F

%z(x0, y0, z0)

%f

%x=* %f

%x(x0, y0) = '

%F

%x(x0, y0, z0)

%F

%z(x0, y0, z0)

.

ER 27. Determinar %z

%x(0,'1, 1) para z = z(x , y) dada implicitamente pela equação

z3 + cos(x)z2 + y2z + sen(2x) = 5.

Solução: Seja F (x , y , z) = z3 + cos(x)z2 + y2z + sen(2x). Temos

%F

%x= ' sen(x)z2 + 2 cos(2x) *

%F

%x(0,'1, 1) = 2

%F

%y= 2yz *

%F

%y(0,'1, 1) = '2

%F

%z= 3z2 + 2 cos(x)z + y2 * %F

%z(0,'1, 1) = 6

Portanto,%z

%x(0,'1) = '1

3e %z

%y(0,'1) =

1

3.

Podemos, também, resolver este exercício considerando que na equação z3+cos(x)z2+y2z+sen(2x) = 3,

z ou z3 + cos(x)z2 + y2z + sen(2x) são funções de x e y . Fixando x e derivando em relação a y , temos:

3z2 %z

%y+ 2 cos(x)z

%z

%y+ 2yz + y2 %z

%y= 0 * 3 · 12 %z

%y+ 2 cos(0)1

%z

%y2 + 12 %z

%y= 0

* 3 · 12 %z

%y+ 2 cos(0)1

%z

%y+ 2 + 12 %z

%y= 0

* %z

%y= '2

6= '1

3

De modo análogo, calculamos a derivada em relação a x .


1.17 Plano Tangente e Reta Normal

Plano Tangente a uma Superfície

Existe um resultado (Teorema da Função Implícita) que nos garante que, se a função F (x , y , z) possuiderivadas parciais contínuas e sua derivada em relação a z não se anula no ponto P0 = (x0, y0, z0), então,numa vizinhança deste ponto, a superfície de nível de F (que passa em P0) coincide com o gráfico de umafunção de duas variáveis z = f (x , y) e esta função também possui derivadas parciais contínuas.

Ocorre o análogo se a derivada de F em relação a x ou a y é não nula em P0, e, assim, teremos funçõesx = f (y , z) ou y = f (x , z). Nestas condições, se o gradiente de F é não nulo, definimos o plano tangente àsuperfície S , como sendo o plano tangente ao gráfico da função f em P0. Assim, se a derivada de F em relaçãoa z for não nula, o plano tangente tem equação

z =%F

%x(x0, y0)(x ' x0) +

%F

%y(y ' x0) + z0.

Substituindo as derivadas de f (x , y) em função das derivadas de F (x , y), temos:

z = '

%F

%x(P0)

%F

%z(P0)

(x ' x0) '

%F

%y(P0)

%F

%z(P0)

(y ' x0) + z0

Segue que,

%F

%x(P0)(x ' x0) +

%F

%y(P0)(y ' y0) +

%F

%z(P0)(z ' z0) = 0.

Da última equação, temos que se Q = (x , y , z) é um ponto qualquer do plano tangente, então o vetorQ ' P0 = (x ' x0, y ' y0, z ' z0) é tal que !F (P0) · (Q ' P0) = 0. Isto é, o vetor Q ' P0 = (x ' x0, y ' y0, z ' z0)

é ortogonal a !F (P0).

Então, o plano tangente a S em P0 é o plano que passa neste ponto cujo vetor normal é !F (P0).

Reta Normal a uma Superfície

Nas mesmas condições citadas definimos a reta normal a S em P0: reta que passa neste ponto na direçãode !F (P0). Portanto, temos:

Equação Vetorial

(x , y , z) = P0 + t · %F

%x(P0),

%F

%y(P0),

%F

%z(P0)


Equações Paramétricas

x = x0 + t · %F

%x(P0)

y = y0 + t · %F

%y(P0)

z = z0 + t ·%F

%z(P0)

ER 28. Determinar as equações do plano tangente e da reta normal à superfície x2

4+

y2

4+ z2 ' 1 = 0 em

P0 = 1, 1,1-2

.

Solução: Façamos F (x , y , z) =x2

4+

y2

4+ z2 ' 1. Assim, !F (x , y , z) =

x

2,y

2, 2z . Determinemos o

gradiente no ponto P0, ou seja,

!F 1, 1,1-2

=1

2,1

2,

2-2

.

O plano tangente tem equação

1

2(x ' 1) +

1

2(y ' 1) +

2-2

z ' 1-2

= 0

A reta normal tem equação vetorial

(x , y , z) = 1, 1,1-2

+ t · 1

2,1

2,

2-2

.

1.18 Máximos e Mínimos de Funções Reais de Várias Variáveis

As definições de máximo e de mínimo para funções de várias variáveis são as mesmas que no caso defunções de uma variável.

Seja z = f (x , y) definida num conjunto aberto U # R2. Um ponto (x0, y0) & U é um ponto crítico de f se asderivadas fx(x0, y0) e fy (x0, y0) são iguais a zero ou se f não é diferenciável em (x0, y0) & U. Geometricamente,um ponto é crítico de uma função num ponto quando o gráfico da função nesse ponto não tem plano tangenteou o plano tangente é horizontal.

1.13 Definição. Seja f : U # Rn " R e x0 & U. Dizemos que x0 é ponto de mínimo (ou mínimo absoluto) de

f , se para todo x & U, f (x0) + f (x). Analogamente, x0 é ponto de máximo (ou máximo absoluto) de f , se para

todo x & U, f (x0) , f (x). Dizemos que x0 é ponto de mínimo local (ou relativo) de f , se existe uma vizinhança

V de x0, tal que, para todo x & V . U, f (x0) + f (x). Analogamente, x0 é ponto de máximo local (ou relativo) de

f , se existe uma vizinhança V de x0, tal que, para todo x & V . U, f (x0) , f (x).

Por exemplo,

• o ponto (1, 2) é de mínimo para a função f (x , y) = x2 + y2 ' 2x ' 4y + 6, pois, para todo (x , y) & R2,f (1, 2) = 1 + f (x , y) = 1 + (x ' 1)2 + (y ' 2)2.


• o ponto (0, 0) é de máximo para a função g tal que g(x , y) = 1 ' x2 ' y2, pois, sendo o domínio de g

o conjunto Dom(g) = {(x , y) & R2; x2 + y2 + 1}, temos que, para todo (x , y) & Dom(g), g(0, 0) = 1,1 , 1 ' x2 ' y2 e 1 , 1 ' x2 ' y2.

1.14 Teorema. Se f : U # Rn " R é contínua e U é compacto, então f possui ponto de mínimo e ponto de

máximo em U.

1.15 Teorema. Se f : U # Rn " R é diferenciável em x0 e x0 é ponto de mínimo local ou de máximo local de

f , então !f (x0) = 0.

1.18.1 Critério para Identificar os Extremantes Locais

Com o determinante a seguir somos capazes de determinar se um dado ponto x0 do domínio da função éum ponto de máximo, de mínimo ou de sela.

1.16 Definição. Seja f : U # R2 " R uma função com derivadas segundas contínuas numa vizinhança de

(x0, y0). O determinante

H(x0, y0) =fxx (x0, y0) fxy (x0, y0)

fyx (x0, y0) fyy (x0, y0)=

fxx fxy

fyx fyy(x0,y0)

= fxx (x0, y0) · fyy (x0, y0) ' f 2xy (x0, y0)

é chamado Hessiano de f em (x0, y0).

Observe que utilizamos a notação fxx , fxy , fyy e fyx para representar, respectivamente, as derivadas parciais

de segunda ordem %2f

%x2, %2f

%y2, %2f

%x%ye %2f

%y%x.

1.17 Teorema. Sejam (x0, y0) um ponto interior do conjunto U, f : U # R2 " R uma função com derivadas

segundas contínuas numa vizinhança de (x0, y0) e fx (x0, y0) = fy (x0, y0) = 0, ou seja, !f (x0, y0) = 0. Então

(a) Se H(x0, y0) > 0 e fxx (x0, y0) > 0 (ou, fyy (x0, y0) > 0), então (x0, y0) é ponto de mínimo local de f .

(b) Se H(x0, y0) > 0 e fxx (x0, y0) < 0 (ou, fyy (x0, y0) < 0), então (x0, y0) é ponto de máximo local de f .

(c) Se H(x0, y0) < 0, então (x0, y0) é ponto de sela de f .

Nota 15. O Teorema nada diz no caso em que H(x0, y0) = 0.

1.18.2 Valores Máximos e Mínimos Absolutos de Funções de Duas Variáveis

Vimos, anteriormente, como identificar localmente os pontos de máximo e de mínimo. Mas, como podemosidentificar o maior ou menor valor que uma função assume? Esses valores são importantes para resolvermosalguns problemas de otimização.

O teorema a seguir é conhecido como de Weierstrass e é um importante resultado.

1.18 Teorema. Seja f uma função contínua em um conjunto fechado e limitado D # R2. Então f atinge um

valor máximo absoluto f (x1, y1) e um valor mínimo absoluto f (x2, y2), para algum ponto (x1, y1) e (x2, y2) de D.

Segue que, para se determinar um valor máximo ou mínimo absoluto para uma função contínua f em umconjunto fechado e limitado D, temos que:


• Determinar os valores de f nos pontos críticos de f em D;

• Estabelecer os valores de f na fronteira de D;

• O maior e o menor valor encontrado são, respectivamente, o valor máximo e mínimo absoluto.

1.18.3 Multiplicadores de Lagrange

O método dos multiplicadores de Lagrange é utilizado para resolver problemas de máximos e mínimos“relativos”. Por exemplo, o problema clássico de construir uma caixa de papelão com a forma de paralelepípedoque tenha máximo volume para uma área de papelão dada, pode ser formulado assim: determinar o máximo dafunção f (x , y , z) = xyz (volume do paralelepípedo de arestas x , y e z) com a condição de que xy + xz + yz = k

(a área total das faces é fixa e igual a 2k). Esta condição é denominada vínculo ou condição subsidiária.

A solução decorre, imediatamente, usando a condição de área fixa para eliminar, digamos, z, em funçãode x e de y . O volume passa, então, a ser uma função só de x e y , à qual se aplicam os métodos usuais.O problema se complica, e este método se torna inaplicável, quando as condições subsidiárias são muitasou muito complicadas. Lagrange descobriu uma maneira genial de simplificar o problema: o método dosmultiplicadores de Lagrange. Vamos discutir este problema.

Seja f (x , y , z) a função da qual queremos saber os máximos e mínimos e g(x , y , z) = 0 a condição sub-sidiária. No problema citado acima, teríamos f (x , y , z) = xyz e g(x , y , z) = 0 seria dada por xy+yz+zx'K = 0.Desta última relação, segue que:

z =K ' xy

x + y

que, levada a equação xy + yz + zx ' K = 0, dá:

F (x , y) = f (x , y , z(x , y)) = xyK ' xy

x + y.

A solução é obtida, agora, igualando a zero as derivadas parciais %F

%xe %F

%y, ou seja

%F

%x=

y2

(x + y)2{K ' 2xy ' x2}

%F

%y=

x2

(x + y)2{K ' 2xy ' y2}

Igualadas a zero, obtemos as equações 2xy + x2 = K e 2xy + y2 = K , de onde se conclui que x = y e queK = 3x2. Logo, temos, também, x = z, ou seja, o paralelepípedo de volume máximo, para área dada, é o cubo.

Os “métodos usuais” que mencionamos acima consistem em procurar os “pontos críticos”, ou seja, ospontos em que todas as derivadas parciais da função a maximizar se anulam.

A receita para achar os pontos de máximo é igualar a zero todas as derivadas parciais. Se não houvessevínculos isto seria o mesmo que impor df = 0, onde df , o diferencial da função f , é dado por

df =%f

%xdx +

%f

%ydy +

%f

%zdz

Uma vez eliminado z por meio do vínculo, temos, em lugar desta última, a equação

dF =%F

%xdx +

%F

%ydy = 0,

ou seja, não aparece mais o diferencial dz, indicando que a função F não depende de z. O método de Lagrangeoferece uma técnica mais eficiente e simétrica para eliminar a dependência em z, ou seja, para se livrar dotermo em dz na expressão do diferencial da função cujos máximos se procura.


Considere o diferencial da função f

df =%f

%xdx +

%f

%ydy +

%f

%zdz

e, como g(x , y , z) = 0, temos

dg =%g

%xdx +

%g

%ydy +

%g

%zdz = 0.

Seja ) um número qualquer, de valor a ser determinado posteriormente. Adicionemos a df a quantidade) dg , que é zero. Logo, df = df + ) dg . Portanto, podemos escrever

df =%f

%x+ )

%g

%xdx +

%f

%y+ )

%g

%ydy +

%f

%z+ )

%g

%zdz

Mas, como ) é indeterminado, podemos determiná-lo, agora, impondo que o coeficiente de dz, na expressãoanterior, seja nulo, ou seja, que %f

%z+ )

%g

%z= 0. Com isso, temos, agora, um df independente de z e podemos

localizar seus pontos de máximo impondo que df = 0, ou, mais precisamente, que df + ) dg = 0. Mas isso dáas condições %f

%x+ )

%g

%x= 0 e %f

%y+ )

%g

%y= 0. Como, adicionalmente, temos a condição dada, notamos que

o conjunto das equações que determinam os pontos de máximo (bem como o valor de )) é obtido da seguintemaneira: igualam-se a zero as derivadas parciais da função f + )g .

A generalização é imediata. Seja f (x , y , z, u, v) a função cujos pontos de máximo queremos localizar, esejam g(x , y , z, u, v) = 0 e h(x , y , z, u, v) = 0 condições subsidiárias. Então, igualam-se a zero as derivadasparciais da função f + )1g + )2h, em que )1 e )2 são coeficientes a determinar. Se houver n condiçõessubsidiárias gi = 0, igualem-se a zero as derivadas parciais da função f + i )igi Os )i são denominadosmultiplicadores de Lagrange.

Voltemos ao problema do paralelepípedo e vamos resolvê-lo pelo método de Lagrange. A função cujosmáximos procuramos é f (x , y , z) = xyz; o vínculo é g(x , y , z) = xy + yz + xz ' K = 0. Logo, temos de igualara zero as derivadas parciais da função f + )g . Um cálculo simples leva a

%f

%x+ )

%g

%x= yz + )(y + z) = 0

%f

%y+ )

%g

%y= xz + )(x + z) = 0

%f

%z+ )

%g

%z= xy + )(x + y) = 0

Das duas primeiras temosyz + )(y + z) = xz + )(x + z),

de onde segue que x = y . Das duas últimas, analogamente, segue que y = z. Logo, x = y = z. Trata-se,portanto, de um cubo. Note que não foi sequer necessário calcular ). Assim, mesmo neste caso muito simples,é vantajoso usar o método dos multiplicadores de Lagrange.

Formalizemos, então, o método dos multiplicadores de Lagrange para uma função real de duas variáveisreais.

1.19 Teorema. Seja f (x , y) uma função diferenciável num conjunto aberto U e g(x , y) uma função com

derivadas parciais contínuas em U tal que !g (x , y) )= (0, 0), para todo (x , y) & V , em que V = {(x , y) &

U; g(x , y) = 0}. Uma condição necessária para que (x0, y0) & V seja extremante local de f em V é que

!f (x0, y0) = )!g(x0, y0),

para algum valor real ).



EP 1.4. Construa o gráfico de f (x , y) = x2 + y2 ' 2x ' 4y + 6 (utilize o winplot) e justifique porque f não tem

ponto de máximo absoluto.

EP 1.5. Justifique (analiticamente) porque, para a função g(x , y) = 1 ' x2 ' y2, todo ponto (a, b); a2+b2 = 1

é ponto de mínimo de g . Construa o gráfico de g (utilize o winplot) e comprove o resultado.

EP 1.6. Dadas as funções abaixo, calcule o indicado, sendo:

(a) f (x , y) = 5x ' 13y ' x2y + 7 (a1) f(2,3) (a2) f($1,0)(a3) lim

(x,y)%($3,2)f (x , y)

(b) f (x , y) = 4y3+12x

y+-

y + 3'15 (b1) f(3,1) (b2) f(6,$2)(b3) lim

(x,y)%(1,6)f (x , y)

EP 1.7. Dê o conjunto domínio e calcule as derivadas parciais de 1a e 2a ordem de cada uma das funções:

(a) f (x , y) = 12y2 + 7xy +24-x

(b) f (x , y) = 8y + 5-

x + 15 ' x2y3

(c) f (x , y) =-

4x + 3 + 3-

y +12

y

(d) f (x , t) =3

t2+

t

x+ x2

(e) f (r , s) = 5r5 + rs2 +-

2s + 1

(f) f (x , y) = 3 sen(x) + cos(y2) + 5y

EP 1.8. Usando a Regra da Cadeia, resolva os seguintes problemas:

(a) A altura de um cone é de 14cm e aumenta na razão de 0, 03cm/s. O raio é de 8cm e aumenta na razão

de 0, 04cm/s. Determine a taxa de variação do volume em relação ao tempo.

(b) A voltagem V de um circuito elétrico está decrescendo à medida que a bateria se descarrega. A resistência

R está aumentando devagar com o aumento de calor do resistor. Use a lei de Ohm, V = I ·R , para achar

como a corrente I está variando no momento em que R = 30ohms e estiver aumentando 0, 15ohms/s e

V = 26volts e estiver diminuindo 0, 25volts/s.

(c) A lei do gás ideal é dada pela fórmula PV = kT , onde P é a pressão, V é o volume, T é a temperatura e

k é a constante de proporcionalidade. Encontre a taxa de variação da pressão em relação ao tempo, no

instante em que o volume do gás for 400cm3 e estiver com temperatura de 40 graus e em que o volume

aumenta à razão de 0, 1cm3/s e a temperatura diminui à razão de 0, 018graus/s. Supor k = 10.

(d) O comprimento c , a largura l e a altura h de uma caixa variam com o tempo. A certo instante as dimensões

da caixa são c = 5m, l = 3m e h = 10m, onde c e l estão aumentando a uma taxa de 0, 25m/s, ao passo

que h está diminuindo à taxa de 0, 5m/s. Nesse instante, determine as taxas nas quais o volume e a área

da superfície estão variando.

EP 1.9. Usando diferencial, resolva os seguintes problemas:

(a) Determine a quantidade de estanho numa lata cilíndrica fechada com 7, 5cm de diâmetro e 15cm de altura,

se a espessura da folha de estanho for de 0,03 cm. DADO : V = 'r2h.

(b) Determine o máximo erro no cálculo da área da superfície e no cálculo de volume de uma caixa aberta

retangular com altura 25m, largura 30cm e comprimento 70cm, com erro máximo de 0, 3cm em cada

dimensão.


(c) A potência consumida numa resistência elétrica é dada por P =V 2

Rwatts. Se V = 12volts e R =

6ohms, determine o valor da variação da potência se V é aumentada de 0, 015volts e R é aumentada de

0, 002ohms. Interprete o sinal do resultado: a potência é reduzida ou aumentada?

(d) O período T em segundos para oscilações de um pêndulo simples que tem *cm de largura é dado pela

fórmula T = 2'*

g, onde g é a constante de aceleração da gravidade. Sabendo que * = 13cm e

g = 9, 8cm/s2 e que foi a leitura incorreta com * = 12, 95cm e g = 9, 85cm/s2, encontre a variação do

período T .

(e) Seja um retângulo com lados x = 3cm e y = 4cm. Determine a variação aproximada da diagonal deste

retângulo, sabendo que o lado x foi aumentado 0, 005cm e o lado y diminuído 0, 004cm.

(f) A resistência de um circuito elétrico é dada por R =E

Cohms. Sabendo que E = 18volts e C = 6 ampères,

porém, foi feita a leitura de E = 17, 985 voltas e C = 6, 125 ampères, determinar a variação da resistência.

EP 1.10. Dadas as funções abaixo, classifique os pontos críticos em máximo, mínimo ou sela.

(a) f (x , y) = '2y2x ' 4x2y + 24xy (b) f (x , y) = 9xy + 7xy2 ' 3x2y(c) f (x , y) = 3x2+y2'18x+6y'3xy +

27

EP 1.11. (a) Deseja-se construir uma caixa retangular, com tampa, cujo volume é de 2744cm3, sendo que

a quantidade de material para a sua fabricação deve ser mínima.

(b) Deseja-se construir uma caixa retangular, com tampa, de 64cm3 de volume. O custo do material a ser

usado é de 1u.m. por cm2 para o fundo e tampa, 4u.m. por cm2 para um par de lados opostos e 2u.m. por

cm2 para o outro par de lados opostos. Determine as dimensões da caixa de tal maneira que o custo seja

mínimo.

(c) Determine três números positivos cujo produto seja 100 e cuja soma seja mínima.

(d) Deseja-se construir um tanque com a forma de um paralelepípedo para estocar 270m3 de combustível,

gastando a menor quantidade de material em sua construção. Supondo que todas as paredes serão

feitas com o mesmo material e terão a mesma espessura, determinar as dimensões do tanque.

(e) Determine a temperatura mínima num disco de raio igual a 1 centrado na origem, sabendo que a temper-

atura T em qualquer ponto (x , y) do plano é dada por T (x , y) = 3y2 + x2 ' x ' 7.

(f) Determine a temperatura máxima num disco de raio igual a 2 centrado na origem, sabendo que a temper-

atura T em qualquer ponto (x , y) do plano é dada por T (x , y) = 'y2 ' x2 ' 2x + 2y + 8.

(g) Uma indústria produz dois produtos, denotados por A e B. O lucro da indústria pela venda de x unidades

do produto A e y unidades do produto B é dado pela função L(x , y) = 60x + 100y ' 3

2x2 ' 3

2y2 ' xy .

Supondo que toda a produção da indústria seja vendida, determinar a produção de tal modo que o lucro

seja máximo.


Gabarito

1.1 (a) 3y $ 2x2 + x = 0; (b) 3y $ 2x2 + x = 0; (c) 3xy $ 2x3 + x2 $ 6 = 0. 1.2 (a) z = x2 + y2 + 2; (b) z = x2 + y2 $ 5; (c)

z = x2 + y2 . 1.6 (a1) -34; (a2) 2; (a3) -52; (b1) 27; (b2) -82; (b3) 854; 1.7 (a)!f

!x= 7y $ 12x

!32 ,

!2f

!x2= 18x

!52 ,

!f

!y= 24y + 7x,

!2f

!y2= 24,

!2f

!x!y=

!2f

!y!x= 7 e Dom(f ) = {(x, y) ' R

2; x > 0}; (b)!f

!x=

1

5(x + 15)

45 $ 2xy3 ,

!2f

!x2=

$4

25(x + 15)

!95 $ 2y3 ,

!f

!y= 8 $ 3x2y2 ,

!2f

!y2= $6x2y ,

!2f

!x!y=

!2f

!y!x= $6xy2 e Dom(f ) = R

2; (c)!f

!x= 2(4x + 3)

!12 ,

!2f

!x2= $4(4x + 3)

!32 ,

!f

!y=

1

3y

!23 $ 12y!2,

!2f

!y2=

$2

9y!53+ 24y!3,

!2f

!x!y=

!2f

!y!x= 0 e Dom(f ) = {(x, y) ' R

2; x ($3

4, y )= 0}; (d)

!f

!x= $tx!2 + 2x,

!2f

!x2= 2tx!3 + 2,

!f

!t= $6t!3 + x!1 ,

!2f

!t2= 18t4 ,

!2f

!x!t=

!2f

!t!x= $x!2 e Dom(f ) = {(x, t) ' R

2; x )= 0, t )= 0}; (e)!f

!r= 25r4 + s2,

!2f

!r2= 100r3,

!f

!s= 2rs + (2s + 1)

!12 ,

!2f

!s2= 2r $ (2s + 1)

!32 ,

!2f

!r!s=

!2f

!s!r= 2s e Dom(f ) = (r , s) ' R

2; s )=$1

2; (f)

!f

!x= 3 cos(x),

!2f

!x2= $3 sen(x),

!f

!y= $2y sen(y2) + 5,

!2f

!y2= $4y2 cos(y2) $ 2 sen(y2),

!2f

!x!y=

!2f

!y!x= 0 e Dom(f ) = R

2. 1.8

(a)!v

!t= 3, 62"cm3/s; (b)

!I

!t= $0, 01266 ampères/s; (c)

!P

!t= $0, 0007dinas/cm2/s. 1.9 (a) dv = 4, 219"cm3; (b) dv = 1.380cm3

e dA = 120cm2; (c) dP = 0, 052watts; (d) dT = 0, 0102"s; (e) dD = $0, 0002cm; (f) dR = 0, 063ohms; 1.10 (a) (0, 0), (6, 0), (0, 12) e(2, 4) são pontos de sela; (b) (0, 0), (0,$9/7) e (3, 0) são pontos de sela e (1,$3/7) é de mínimo; (c) (6, 6) é ponto de mínimo. 1.11 (a)x = y = z = 14cm (b) x = 8cm, y = 4cm e z = 2cm


TEMA 02 Integração

Integrais Duplas

Até agora sabemos calcular o volume de alguns sólidos, por exemplo, dos prismas, dos cilindros, daspirâmides, dos cones e das esferas. Aqui, estaremos interessados em desenvolver uma teoria que nos dêa medida do volume de um sólido qualquer, porém, com algumas restrições. Comecemos por abordar esteproblema pensando no sólido a seguir:

Considere uma função de duas variáveis f , definida em um retângulo fechado R = [a, b] $ [c , d ] e suponhaque f (x , y) é positiva, para todo (x , y) & R . Lembrando que o gráfico desta função é um subconjunto do R3,considere o sólido

S = {(x , y , z) & R3 : 0 + f (x , y), (x , y) & R}.

Nosso objetivo é o de calcular o volume deste sólido.

Por exemplo, a função f : R " R, f (x , y) = x(1' y4), com R = [0, 2]$ [0, 1]. Poderíamos pensar em calcularo volume da superfície S = {(x , y , z) & R3 : 0 + f (x , y), (x , y) & R} de várias maneiras. Podemos “fatiar” osólido com planos paralelos ao plano yz.

xy

z

x

y

z

Assim, para cada x fixo entre 0 e 2 temosuma região onde se calcula a área, facil-mente, usando integral de uma variável. Va-mos denotá-la por A(x). Então y

zz =

1 ' y4

2; x =

1

2

0 1 y

zz =

3 ' 3y4

2; x =

3

2

0 1

A(x) =1

0x(1 ' y4) dy = xy ' xy5

5

1

0

= x ' x

5.

Assim, o volume do sólido poderia ser definido como sendo a “soma” de todos os A(x). Somar em x é integrar.Então, uma boa definição do volume de S parece ser

V =2

0A(x) dx =

2

0

1

0x(1 ' y4) dy dx =2

0x ' x

5dx =

2x2

5

2

0

=8

5

Veja que outro tipo de “fatiamento” poderia ter sido feito, por exemplo, com planos paralelos ao plano xz.Teríamos obtido o mesmo valor? E, se a função possuir uma expressão mais complicada, ainda assim isto


funciona? E, se o domínio da função for outra região que não um retângulo, poderíamos usar este método?Estas e outras questões serão abordadas devidamente a seguir. Daremos uma definição formal de integraldupla e suas propriedades. Discutiremos em que situações podemos calcular o volume de S da forma acima everemos algumas outras aplicações da integral dupla.

2.1 Funções Integráveis

Uma questão natural quando necessitamos integrar é: que funções de uma variável real são integráveis?Assim, é natural, também, que nos questionemos: quais funções de duas ou mais variáveis são integráveis?

Vejamos, a seguir, um exemplo de função não integrável.

ER 29. Considere o retângulo R = [0, 1] $ [0, 1] e a função

f (x , y) =1, se (x , y) & Q . R

0, se (x , y) )& Q . R

Verifique se f é integrável.

Solução: Tomemos uma partição qualquer de R e em cada Ri e escolhamos (xi , yi ) & Q $Q. Assim, por

um raciocínio simples, temos:n

i=1

f (xi , yi ) · A(Ri ) = 1.

Entretanto, ao escolhermos (xi , yi ) & R2 \ Q2, temosn

i=1

f (xi , yi ) · A(Ri ) = 0.,

Dessa forma, o limite não existe, ou seja, f não é integrável.

O fato de se calcular o volume de um sólido delimitado pelo gráfico de uma função positiva, definida numretângulo, utilizando-se o método anterior, nem sempre é possível. Portanto, restringiremos este cálculo aográfico de funções contínuas, de acordo com o teorema:

2.1 Teorema. Se f é uma função contínua em um retângulo R , então f é integrável em R .

A definição de integral dupla não é muito simples de se manipular. Entretanto, uma conseqüência dadefinição nos dá uma forma de encontrar funções não-integráveis. O resultado é o seguinte:

2.2 Teorema. Se f é uma função integrável em R , então f é limitada em R , isto é, existe M > 0 tal que

|f (x , y)| < M , para todo (x , y) & R .

O resultado acima é útil no seguinte aspecto: se uma função de duas variáveis não é limitada em R entãoela não é integrável em R . Por exemplo, a função

f (x , y) =(x ' y)

(x + y)3

não é limitada em [0, 1] $ [0, 1] (mostre como exercício), logo, não é integrável.


2.2 Volume, Soma de Riemann e a Integral Dupla

No curso de Cálculo I vimos que a integral definida defunções de uma variável era aplicada para o cálculo de áreasde certas regiões planas. Aqui, veremos que a integral dupladeterminará a medida do volume de alguns sólidos (regiõesdo espaço).

Para motivar a definição de integral dupla em um retân-gulo R , vamos tentar calcular o volume de um sólido particu-lar usando a mesma idéia que tivemos para funções de umavariável.

Considere a região abaixo do gráfico de uma função f deduas variáveis, definida num retângulo fechado R = [a, b] $[c , d ] e suponha que f (x , y) é positiva, para todo (x , y) & R2.

xy

z

ab

c d

Vamos calcular o volume de um sólido do tipo

S = {(x , y , z) & R3; 0 + z + f (x , y) e (x , y) & R}

dividindo o retângulo R em pequenos retângulosRi (esta divisão é chamada de “partição” de R).Escolhendo-se um ponto qualquer (xi , yi ) de Ri , monte-mos o paralelepípedo de base Ri e altura f (xi , yi ), queterá volume f (xi , yi ) ·A(Ri ), onde A(Ri) indica a área doretângulo Ri .

x

y

Ri

xi

yi

Uma partição da região R

A soma de todos os valores destes volumes é:n

i=1

f (xi , yi ) · A(Ri ).

Se os retângulos Ri forem suficientemente pequenos, a soma obtida parece ser uma boa aproximação dovolume procurado do sólido. Assim, nossa intuição nos diz que o volume de S pode ser encontrado calculando

limA(Ri )%0

n

i=1

f (xi , yi ) · A(Ri).

Na verdade, queremos que A(Ri ) seja uma valor muito pequeno. Consideremos, então, a diagonal d(Ri) dosretângulos e façamos max d(Ri ) ir para zero. Então, temos a seguinte definição:

2.3 Definição. A integral dupla de f sobre R é:

R

f (x , y) dA = limmax d(Ri )%0

n

i=1

f (xi , yi ) · A(Ri ),

se tal limite existe. Neste caso, diz-se que f é integrável em R .

Portanto, se a função f é positiva e integrável em um retângulo R , o volume de S pode ser obtido por:

V (S) =

R

f (x , y) dA.

2.2.1 Propriedades da Integral Dupla

Se f e g são funções integráveis em R e c é constante, então:


1.R

[f (x , y) + g(x , y)] dA =

R

f (x , y) dA +

R

g(x , y)] dA

2.R

c · f (x , y) dA = c ·R

f (x , y)] dA

3.R

f (x , y) dA +R

g(x , y) dA sempre que f (x , y) + g(x , y) em R .

2.3 Integrais Iteradas

A definição de integral dupla pode ser natural, porém, ela não é uma forma muito prática de se calcular.Entretanto, para se calcular o volume de um sólido vimos que poderíamos “fatiá-lo”, paralelamente, ao eixo x

ou ao eixo y . Mas, por enquanto, pensemos num caso particular.

Seja f (x , y) , 0, 0 (x , y) & R = [a, b] $ [c , d ] e considere, novamente, a região

S = {(x , y , z) & R3; 0 + z + f (x , y) e (x , y) & R}.

Para cada x fixo entre a e b, a área da fatia é dada por

A(x) =d

c

f (x , y) dy .

Então, o volume de S éb

a

A(x) dx =b

a

d

c

f (x , y) dy dx .

Entretanto, fixando y entre c e d poderíamos, também, calcular a área de cada fatia e depois o volume, fazendod

c

A(y) dy =d

c

b

a

f (x , y) dx dy .

Estas integrais são chamadas de integrais iteradas e, usualmente, se escreve apenas

b

a

d

c

f (x , y) dy dx oud

c

b

a

f (x , y) dx dy

ER 30. Verifique se2

1

3

0x2y dx dy =

3

0

2

1x2y dy dx .

Solução:

2

1

3

0x2y dx dy =

2

1

x3

3y

3

0

dy =2

19y dy =

27

2e

3

0

2

1x2y dy dx =

3

0x2 y2

2

2

1

dx =3

0

3x2

2dx =

27

2

O que obtivemos anteriormente não é uma mera coincidência. O resultado, que é denominado teorema deFubbini, nos diz que se f é uma função integrável, a ordem a qual fazemos a integração nos dá resultadosidênticos. Lembre-se de que toda função contínua é integrável e, assim, poderemos calcular o volume demuitos sólidos.

2.4 Teorema. [de Fubini] Se f é integrável em R = [a, b]$ [c , d ], então

R

f (x , y) dA =d

c

b

c

f (x , y) dx dy =b

a

f (x , y) dy dx .


Nota 16. O teorema acima foi provado em 1907 pelo matemático italiano Guido Fubini (1879-1943), en-

tretanto a versão para funções contínuas era conhecida pelo matemático francês Augustin-Louis Cauchy,

quase um século antes.

ER 31. Esboce o gráfico das funções abaixo usando o Winplot e calcule as integrais duplas. Sugestão: como

são funções contínuas nos respectivos retângulos, aplique o Teorema de Fubini.

(a) f (x , y) = 2y2 ' 3xy3 e R = [1, 2] $ [0, 3];

(b) f (x , y) =1

x + ye R = [1, 2]$ [0, 1]

ER 32. Calcule as seguintes integrais iteradas1

0

1

0

(x ' y)

(x + y)3dy dx e

1

0

1

0

(x ' y)

(x + y)3dx dy

e responda se contradiz o Teorema de Fubini. Explique o que está acontecendo.

2.4 Integrais Duplas sobre Regiões

Nem sempre e, aliás, muito freqüentemente, o domínio da região de integração da função f não é umretângulo. Como calcular a integral dupla sobre essas regiões?

Por exemplo, se o objetivo fosse calcular o volume do sólido limitado pela superfície f (x , y) = 4 ' x2 ' y2

sobre a região x2 + y2 = 1, como fazer?

Tome uma região D limitada do R2, isto é, D está contida num retângulo R , e f (x , y) uma função definidaem D. Defina a função

F (x , y) =f (x , y) , se (x , y) & D

0 , se (x , y) )& D

Se a integral dupla sobre R existe, definimos a integral dupla de f em D por

D

f (x , y) dA =

R

F (x , y) dA.

Como F (x , y) = 0 quando (x , y) & R # D, então ela contribui em nada no cálculo da integral. Assim, nãoimporta qual retângulo tomamos.

Da mesma forma que fizemos antes, se f (x , y) é positiva e é integrável em D, definimos o volume do sólidoS = {(x , y , z); (x , y) & D} e 0 + z + f (x , y) como sendo

V (S) =

D

f (x , y) dA.

É importante notar que, mesmo f sendo contínua em D, em geral, não temos a continuidade de F em R .Observe que as descontinuidades ocorrem no bordo (ou fronteira) de D (veja a figura acima). Assim, dizemosque Se f é contínua em D e se o bordo da região D é “bem comportado”, então f é integrável em D. Mas oque é bordo “bem comportado”?

Pensemos no seguinte caso: f (x , y) = 1 em D. Visualize o sólido S da figura anterior. Ele parece um“cilindro” de base D e altura 1. A integral dupla de f (x , y) = 1 sobre D é, por definição, o volume deste sólido.


É natural pensar que o volume deve ser 1 · A(D), só que não sabemos se D “tem área”. Dizemos que D temárea se f (x , y) = 1 é integrável em D e define-se a área de D por

A(D) =

D

1 dA.

Isto não é estranho, pois existem conjuntos do plano que “não têm área”. Por exemplo, D = Z $ Z &[0, 1]$ [0, 1] não tem área.

As regiões com as quais iremos trabalhar são as que possuem área e um bordo “bem comportado”.

2.4.1 Propriedades

Além das mesmas propriedades vistas para integração num retângulo R , vale para a integral dupla sobre D

uma outra propriedade muito útil para determiná-la:

2.5 Proposição. Suponha que f (x , y) é integrável em D1 e em D2, duas regiões limitadas do plano. Se

D = D1 2 D2 e D1 . D2 tem área nula, então f é integrável em D e vale

D

f (x , y) dA =

D1

f (x , y) dA +

D2

f (x , y) dA.

2.5 Cálculo de Integrais Duplas

Vimos que Se f é contínua em D e se o bordo da região D é “bem comportado”, então f é integrável em D.Mas, afinal, que regiões são deste tipo e como calcular a integral dupla? Veremos que são mais comuns doistipos destas regiões e como podemos calcular as integrais duplas.

2.5.1 Região do Tipo I

Região do plano entre gráficos de funções contínuas de uma variável realx definidas num intervalo [a, b]. Mais explicitamente, são regiões do tipo:

D = {(x , y); a + x + b e g1(x) + y + g2(x)},

em que g1 e g2 são duas funções contínuas em [a, b].Neste caso, se R = [a, b]$ [c , d ] contém D, então, pelo Teorema de Fubini,

temos que:

D

f (x , y) dA =b

a

d

c

F (x , y) dy dx =b

a

g2(x)

g1(x)f (x , y) dy dx . x

y

g1(x)

g2(x)

a b

c

d

2.5.2 Região do Tipo II

Região do plano entre gráficos de funções contínuas de uma variável real y definidas num intervalo [c , d ].Mais explicitamente, são regiões do tipo:

D = {(x , y); c + y + d e h1(y) + x + h2(y)}.

em que h1 e h2 são funções contínuas em [c , d ].


Também podemos calcular a integral dupla fazendo

D

f (x , y) dA =d

c

b

a

f (x , y) dx dy =d

c

h2(y)

h1(y)f (x , y) dx dy .

ER 33. Calcular aD

(x + 2y) dA, sabendo-se que D é a região limitada pelas parábolas y = x2 e y = 1 + x2.

Solução:

D

(x + 2y) dA =1

$1

1+x2

x2

(x + 2y) dy dx =1

$1xy + y2

1+x2

x2dx =

1

$1('3x4 ' x2 + 2x2 + x + 1) dx =

32

15

ER 34. Encontre o volume do sólido S que fica abaixo do parabolóide z = x2 + y2, acima da região no plano

xy e delimitada pelas superfícies y = x2 e y = 2x .

Solução: Temos, neste caso, que descobrir a região de integração (no plano

xy ). A região é

D = {(x , y); 0 + x + 2, x2 + y + 2x}.

e o volume V (S) é dado pela integral dupla2

0

2x

x2(x2 + y2) dy dx =

216

35. x

y

ER 35. Calcule1

0

1

0sen(y2) dy dx .

Solução: Se tentarmos calcular a integral do modo como ela aparece, teremos problemas. Mas, a

integral proposta é igual à integral dupla de f (x , y) = sen(y2) em D = {(x , y); 0 + x + 1, x + y + 1} (Desenhe

a região e perceba que também podemos escrevê-la na forma D = {(x , y); 0 + y + 1; 0 + x + y}). Então

D

sen(y2) dA =1

0

y

0sen(y2) dx dy =

1

0x sen(y2)

y

0dy =

1

0y sen(y)2 dy =

1

2[1 ' cos(1)].

2.6 Integrais Duplas em Coordenadas Polares

Considere o problema de calcular o volume do sólido que estásob o parabolóide z = x2 + y2, acima do plano xy e dentro docilindro x2 + y2 = 2x . Então,

V (S) =

D

(x2 + y2) dA, em que D = {(x , y); (x ' 1)2 + y2 = 1}.

xy

z


Esta é uma região do Tipo I e, então,

V (S) =1

0

-1$(x$1)2

$-

1$(x$1)2

(x2 + y2) dy dx

=1

02x2 1 ' (x ' 1)2 +

2

3( 1 ' (x ' 1)2)3 dx

x

y

(

O cálculo desta integral é muito trabalhoso e uma pergunta natural é: existe uma forma mais simples deobtê-la? A resposta é: pode existir um modo mais fácil, porém, se existir um modo, este pode ser quandomudamos o sistema de coordenadas uma vez que o valor da integral iterada não é modificada.

Por exemplo:D1 = {(x , y); x2 + y2 + 1} ou D2 = {(x , y); 1 + x2 + y2 + 4, 0 + y}

são tipos regiões circulares. Se fizermos x = r cos(() e y = r sen((), então as regiões D1 e D2 passam a ser,respectivamente,

R1 = {(r , (); 0 + r + 1, 0 + ( + 2'} e R2 = {(r , (); 1 + r + 2, 0 + ( + '}

que são retângulos!

A região D passa a ser R = {(r , () : ''

2+ ( + '

2, 0 + r + 2 cos(()}, pois, substituindo-se x = r cos(() e

y = r sen(() na equação x2 + y2 = 2x , temos que r2 = 2r cos((). Será, então, que

V (S) =

!2

$!2

2 cos(#)

0r2 d( dr?

Antes de responder, note o que ocorre com f (x , y) = 1 definida em Da disco de centro na origem e raiofixado a.

A integral dupla de f em Da é

Da

1 dx dy = 'a2,

pois é a área da região Da.

Em coordenadas polares, temos:

R

1 dr d( =a

0

2"

01 dr d( = 2'a.

Para se calcular a integral dupla de f (x , y) em coordenadas polares devemos, além de descrever a região eescrever a função f (x , y) em coordenadas polares, multiplicar f por um fator de correção.

O que vale é a fórmula

D

f (x , y) dx dy =

R

f (r cos((), r sen(())r dr d(.

Nota 17. A fórmula acima pode ser provada diretamente da definição de integral (soma de Riemann) e

o fator r aparece quando se escreve A(Ri ) em função de r e (.

Vamos, agora, continuar com o cálculo do volume da região descrita no início do texto usando a fórmula emcoordenadas polares. Portanto,

V (S) =

!2

$!2

2 cos(#)

0r2r dr d( = 4

!2

$!2

cos4(() d( = 8"/2

0

1 + cos(2()

2

2

d( = 23(

2+ sen(2() +

sen(4()

8

!2

0 =3'

2

ER 36. CalculeD

(3x + 4y2) dA, em que D = {(x , y); 1 + x2 + y2 + 4, 0 + y}.


Solução:

D

(3x + 4y2) dA ="

0

2

1(3r cos(() + 42 sen2(())r dr d( =

"

0r3 cos(() + r4 sen2(()

2

1d( =

15'

2


EP 2.1. Faz-se um buraco cilíndrico de raio b passando pelo centro de uma esfera de raio a.

(a) Calcule o volume do buraco. Observe que esta fórmula dá o volume da esfera quando a = b.

(b) Calcule o volume do sólido em forma de anel que restou. Expresse esse volume em termos da altura h do

anel. Observe que esse volume depende apenas de h e não do raio a ou do raio b!

EP 2.2. Use integral dupla para calcular a área interior à lemniscata r2 = 2a2 cos(2() e exterior à circunferência

de raio a.

EP 2.3. Calcule as seguintes integrais duplas:

(a)R

(2y2 ' 3xy3) dx dy , onde R = {(x , y); 1 + x + 2, 0 + y + 3}

(b)R

x sen(y) dx dy , onde R = {(x , y); 1 + x + 4, 0 + y + '

6}

(c)R

1

x + ydx dy , onde R = [1, 2]$ [0, 1]

EP 2.4. Determine o volume do sólido limitado pela superfície z = x x2 + y e os planos x = 0, x = 1, y = 1

e z = 0.

EP 2.5. Determine o volume do sólido contido no primeiro octante limitado pelo cilindro z = 9 ' y2 e pelo

plano x = 2.

EP 2.6. Calcule as integrais iteradas1

0

1

0

x ' y

(x + y)3dy dx e

1

0

1

0

x ' y

(x + y)3dx dy . As respostas contradizem

o Teorema de Fubini? Explique.

EP 2.7. Calcule as seguintes integrais duplas: (Sugestão: escreva D de forma conveniente e esboce a região

D)

(a)D

xy dx dy , onde D = {(x , y); 0 + x + 1, x2 + y +-

x}

(b)D

(x2 ' 2xy) dx dy , onde D = {(x , y); 0 + x + 1,-

x + y + 2 ' x}

(c)D

e(x/y) dx dy , onde D = {(x , y); 1 + y + 2, y + x + y3}

(d)D

x cos(y) dx dy , onde D é a região limitada por y = 0, y = x2 e x = 1.


(e)D

4y3 dx dy , onde D é a região limitada por y = x ' 6 e y2 = x .

(f)D

xy dx dy , onde D é a região do primeiro quadrante limitada pela circunferência de centro (0, 0) e raio 1.

(g)D

(x2 tg(x) + y3 + 4) dx dy , onde D = {(x , y); x2 + y2 + 2}

EP 2.8. Determine o volume do sólido S em cada um dos seguintes casos:

(a) S é limitado superiormente pelo parabolóide z = x2 + y2 e sua projeção no plano xy é a região limitada

por x = y2 e x2 = y .

(b) S é limitado superiormente por z = xy e sua projeção no plano xy é o triângulo de vértices (1, 1), (4, 1) e

(1, 2).

(c) S é a região do primeiro octante limitada pelo cilindro x2 + z2 = 9 e pelos planos x = 0, y = 0, z = 0 e

x + 2y = 2.

EP 2.9. Determine o volume do sólido S em cada um dos seguintes casos:

(a) S é limitado pelos planos x = 0, y = 0, z = 0 e x + y + z = 1.

(b) S é a região do primeiro octante limitada pelo cilindro x2 + y2 = 1 e pelos planos y = x , x = 0 e z = 0.

(c) S é limitado pelos cilindros x2 + y2 = r2 e x2 + z2 = r2.

EP 2.10. Escreva as duas integrais iteradas correspondentes à integral duplaD

f (x , y) dx dy , em que D é

a região do plano limitada pelas curvas y = 'x2 + x + 2 e x ' 2y + 1 = 0.

EP 2.11. Calcule as seguintes integrais, invertendo a ordem de integração:

(a)1

0

3

3y

ex2

dx dy (b)3

0

9

y2

y cos(x2) dx dy (c)1

0

!2

arcsen(y) cos(x) 1 + cos2(x) dx dy

EP 2.12. Calcule as integrais:

(a)R

x dx dy , onde R é o disco de centro na origem e raio 5.

(b)R

xy dx dy , onde R é a região do primeiro quadrante limitada pelas circunferências x2 + y2 = 4 e

x2 + y2 = 25.

(c)R

1

x2 + y2dx dy , onde R é a região interior à cardióide r = 1 + sen(() e exterior à circunferência r = 1.

(d)D

(x2 + y2) dx dy , onde D é a região limitada pelas espirais r = ( e r = 2(, com 0 + ( + 2'.

EP 2.13. Determine o volume da região interior à esfera x2 +y2 +z2 = 4a2 e exterior ao cilindro x2 +y2 = 2ax ,

com a > 0.


2.7 Massa, Centro de Massa e Momento de Inércia

A massa total de um sistema de k partículas cuja massa de cada partícula é mi , i = 1, . . . , k , é a somam = m1 + m2 + . . . + mk .

Seja uma lâmina ou placa fina plana cujo formato é uma região D limitada do plano. Se *(x , y) é uma funçãocontínua em D que representa a densidade superficial de massa, então a massa total de D deve ser “a somadas massas em cada ponto (x , y) de D”.

Sendo assim, faz sentido definir a massa de D como

M =

D

*(x , y) dA

já que *(x , y) dA pode ser interpretado como a massa do elemento de área dA.

Fazendo, também, analogia a um sistema finito de partículas temos que o centro de massa da lâmina é o

ponto (x , y) =1

MD

x*(x , y) dA,1

MD

y*(x , y) dA .

Quando a função densidade é constante (*(x , y) = k), o ponto (x , y) é chamado de centróide da lâmina (ouda região D).

O momento de inércia de uma partícula de massa m com relação a uma reta é dado por m2, onde r é a dis-tância da partícula a esta reta. Estendendo este conceito a uma placa de formato D com densidade de massa*(x , y), temos que as definições dos momentos de inércia com relação aos eixos x e y são, respectivamente:

Ix =

D

y2*(x , y) dA e Iy =

D

x2*(x , y) dA.

O momento de inércia polar (ou com relação à origem) é definido por

I0 = Ix + Iy =

D

(y2 + x2)*(x , y) dA

Nota 18. Nas fórmulas de momento de inércia não troque x por y !

ER 37. A densidade de cada ponto de uma placa semicircular é proporcional à distância ao centro do círculo.Encontre o centro de massa da placa.

Solução: Vamos colocar a placa na parte superior do circulo de raio a. A distância de (x , y) ao cen-

tro (origem) é x2 + y2, portanto, a densidade *(x , y) é *(x , y) = K x2 + y2, para alguma constante K .

Calculemos, primeiramente, a massa

M =

D

K x2 + y2 dA ="

0

a

0(Kr)r dr d( =

K'a2

3.

Como a região é simétrica com relação ao eixo y , temos que x = 0 e y =1

MD

y*(x , y) dA =

3

K'a3

"

0

a

0r sen(()(Kr)r dr d( =

3a

2'. Logo, o centro de massa é o ponto (0, (3a)/2'). Observação: se

a densidade fosse constante, então o centro de massa seria o ponto (0, (4a)/2').



EP 2.14. Encontre a massa, o centro de massa e os momentos de inércia de uma lâmina de formato D e

densidade (x , y) para:

(a) D a região do primeiro quadrante limitada pela parábola y = x2 e a reta y = 1; *(x , y) = xy .

(b) D a região interior a circunferência x2 + y2 = 1 no primeiro quadrante; a densidade em cada ponto é

proporcional ao quadrado da sua distância à origem.

EP 2.15. Determine a massa e o centro de massa da lâmina que ocupa a região D e tem densidade *, nos

seguintes casos:

(a) D = {(x , y);'1 + x + 1, 0 + y + 1} e *(x , y) = x2;

(b) D é o triângulo de vértices (0, 0), (2, 1), (0, 3) e *(x , y) = x + y ;

(c) D é a região do primeiro quadrante limitada pela parábola x2 = y e a reta y = 1 e *(x , y) = xy ;

(d) D é a região limitada pela parábola y2 = x e a reta y = x ' 2 e *(x , y) = 3;

(e) D = {(x , y); 0 + y + sen(x), 0 + x + '} e *(x , y) = y .

EP 2.16. Determine os momentos de inércia Ix , Iy e I0 das lâminas descritas nos ítens (c) e (d) do exercício

anterior.

Integrais Triplas

Trabalharemos, agora, com funções de três variáveis f (x , y , z). O domínio destas funções são subconjuntosdo R3 e não podemos mais visualizar seus gráficos, visto que são subconjuntos do R4. Apesar disto, podemosdefinir integrais de funções de três variáveis, assim como fizemos para funções de duas variáveis.

Considere o paralelepípedo

P = [a, b] $ [c , d ] $ [p, q] = {(x , y , z); a + x + b, c + y + d , p + z + q}

e f (x , y , z) uma função definida em P . Divida P em pequenos paralelepípe-dos dividindo os intervalos [a, b], [c , d ] e [p, q]. Vamos nomeá-los deP1, P2, . . . , Pn que chamamos de partição de P . Para cada i = 1, . . . , n,escolha um ponto (xi , yi , zi ) de Pi . Podemos formar “paralelepípedos” de“altura” f (xi , yi , zi ) e base Pi . Claro que não podemos desenhá-lo, mas, seu“volume” é f (xi , yi , zi ) · V (Pi ), em que V (Pi ) é o volume do paralelepípedoPi .

xy

z

Pi

2.6 Definição. A integral tripla de f sobre P é

P

f (x , y , z) dV = limmax{d(Pi )}%0

n

i=1

f (xi , yi , zi )V (Pi ),

se tal limite existe. Neste caso, se diz que f é integrável em P .


Propriedades

São válidas para a integração tripla as mesmas propriedades operatórias que valem para integrais duplas.Assim, se f e g são funções integráveis em P e k & R, então

"

P

[f (x , y , z) + g(x , y , z)] dV =

P

f (x , y , z) dV +

P

g(x , y , z) dV

"

P

k · f (x , y , z) dV = k ·p

f (x , y , z) dV

"

P

f (x , y , z) dV +P

g(x , y , z) dV , sempre que f (x , y) + g(x , y).

e, principalmente, temos que:

" se f é contínua em P , então f é integrável em P .

Note que, se f (x , y , z) = 1 (que é contínua e, portanto, integrável), entãoS

1 dV é o volume de P , que é

(b'a) ·(d'c) ·(q'p). Será que, para calcular integrais triplas, também usamos as integrais iteradas? A ordemcom que se fazem as integrações deve ser levada em consideração? E quantas integrais iteradas temos?

2.8 Integrais Iteradas

Assim como fomos capazes de calcular uma integral dupla para funções de duas variáveis definida numparalelogramo usando integrais iteradas, seremos, também, capazes de calcular a integral tripla de uma funçãodefinida num paralelepípedo P usando as integrais iteradas e, assim como antes, não importará, também, aordem com que fazemos o cálculo das integrais, pois o seu resultado não se altera. Porém, como estamostrabalhando com três variáveis, teremos 6 combinações possíveis. Este resultado, também, é devido a Fubini.

2.7 Teorema. [de Fubini] Se f é uma função integrável em P = [a, b]$ [c , d ] $ [p, q], então:

s

f (x , y , z) dV =q

p

d

c

b

a

f (x , y , z) dx dy dz =q

p

b

a

d

c

f (x , y , z) dy dx dz

=d

c

q

p

b

a

f (x , y , z) dz dy dx =d

c

b

a

q

p

f (x , y , z) dz dx dy

=b

a

d

c

q

p

f (x , y , z) dz dy dx =b

a

q

p

d

c

f (x , y , z) dy dz dx

ER 38. CalculeP

f (x , y , z) dV , em que P = [0, 1] $ ['1, 2]$ [0, 3] e f (x , y , z) = xyz2.

Solução: Se P = [0, 1]$ ['1, 2]$ [0, 3] e f (x , y , z) = xyz2, então:

P

xyz2 dV =3

0

2

$1

1

0xyz2 dx dy dz =

3

0

2

$1

yz2

2dy dz =

3

0

3z2

4dz =

27

4

Poderíamos obter este resultado por mais 5 diferentes maneiras. Que tal você treinar um pouco e fazer

algumas delas?

ER 39. Calculep

x sen(yz) dx dy dz, onde P = [0, 1]3 é o cubo de lado 1 e arestas sobre os eixos x , y e z.


Solução:

P

x sen(y + z) dV =1

0

1

0

1

0x sen(y + y) dx dy dz =

1

0

1

0

sen(y + z)

2dy dz

=1

2

1

0' cos(y + z)

1

0dz =

1

2

1

0[' cos(z + 1) + cos(z)] dz

=1

2' sen(z + 1) + sen(z)

1

0=

1

2[' sen(2) + sen(1) + sen(1) ' sen(0)]

= sen(1) ' sen(2)

2.

Observe que a função f (x , y , z) = x sen(yz) é positiva em P e a integral tripla resultou em um número

positivo.

2.9 Integrais Triplas sobre Regiões

Seja S uma região limitada do R3, isto é, S está contida num paralelepípedo P , e f (x , y , z) uma funçãodefinida em S . Como fizemos para integrais duplas, defina a função F (x , y , z) em P como sendo igual af (x , y , z) em S e assumindo valor 0 em pontos que estão em P , mas não em S .

Definimos a integral tripla de f (x , y , z) sobre S como:

S

f (x , y , z) dV =

P

F (x , y , z) dV ,

quando a segunda integral existe.

A questão é saber quando esta integral existe e como calculá-la! Aliás, ela nem sempre existe. Encontreum exemplo, parecido com o que apresentamos para integrais duplas.

Como antes, o que vale é que se f é contínua em S e se o bordo da região S é “bem comportado”, então f

é integrável em S .

E que tipo de regiões S são estas? Lembre que estamos no R3 e tais regiões são sólidos do espaço.Novamente, não iremos discutir aqui o que significa ser “bem comportado”, mas, você pode encontrar isto feitoem [BCHS ].

Vamos destacar os tipos de regiões S que aparecem com maior freqüência.

2.9.1 Regiões do Tipo I

Regiões em que S = {(x , y , z); (x , y) & D, u1(x , y) + z + u2(x , y)}, em que u1 e u2 são funções contínuasem D e D é a projeção de S no plano xy (Ver gráfico).

Assim, a integral fica

S

f (x , y , z) dV =b

a

g2(x)

g1x

u2(x,y)

u1(x,y)f (x , y , z) dz dy dx

ou

S

f (x , y , z) dV =d

c

h2(y)

h1y

u2(x,y)

u1(x,yf (x , y , z) dz dx dy

Atenção: Muito cuidado com a ordem de integração!


2.9.2 Regiões do Tipo II

S = {(x , y , z); (y , z) & D, v1(y , z) + z + v2(y , z)}, em que v1 e v2 são funções contínuas em D e D é aprojeção de S no plano yz.

Da mesma forma que antes, podem-se ter dois tipos de integração, dependendo da forma da região D.

S

f (x , y , z) dV =d

c

g2(y)

g1(y)

v2(y ,z)

v1(y ,z)f (x , y , z) dx dz dy

ou

S

f (x , y , z) dV =q

p

h2(z)

h1z

v2(y ,z)

v1(y ,z)f (x , y , z) dx dy dz

2.9.3 Regiões do Tipo III

São regiões do espaço com a característica do conjunto

S = {(x , y , z); (x , z) & D, w1(x , z) + y + w2(x , z)},

em que w1 e w2 são funções contínuas em D que é a projeção de S no plano xz. Pode existir, também, doistipos de integração, dependendo da forma da região D:

S

f (x , y , z) dV =q

p

g2(z)

g1(z)

w2(x,z)

w1(x,z)f (x , y , z) dy dx dz

ou

S

f (x , y , z) dV =b

a

h2(x)

h1(x)

w2(x,z)

w1(x,z)f (x , y , z) dy dz dx .

ER 40. CalculeS

x2 + z2 dV , em que S é a região limitada pela parábola y = x2 + z2 e pelo plano y = 4.

Solução:

Pode-se descrever esta região de várias formas. Projetando S no plano xy temos a região D limitada

pela parábola y = x2(z = 0) e a reta y = 4 e, se (x , y) está nesta região D, então ' y ' x2 + z + y ' x2.

Assim,

S

x2 + z2 dV =

D

-y$x2

$-

y$x2

x2 + z2 dz dA =2

2

4

x2

-y$x2

$-

y$x2

x2 + z3 dz dy dx

Entretanto, a primeira integral que temos que calcular é um pouco complicada (vai ser necessário fazer

uma mudança de variável). Vamos tentar escapar disto vendo S de outra maneira. Projetando S no plano xz

temos um disco D2 de raio 2 e centro na origem (pois, no máximo x2 + z2 = 4). Para (x , z) em D2 temos que

y varia entre v1(x , z) = x2 + z2ev2(x , z) = 4.

Então

S

x2 + z2 dV =

D2

4

x2+z2

x2 + z2 dy dA =

D2

(4'x2+z2) x2 + z2 dA =2

0

2"

0(4'r2)r d( dr =

128'

15


Nota 19. Não esqueça que na integração dupla ou tripla a cada vez que se integra com relação a uma

determinada variável ela deve desaparecer, pois, estamos fazendo uma integral definida, e o que sobra é

apenas função das variáveis restantes. O resultado de integração dupla ou tripla é sempre um número!


EP 2.17. CalculeS

f (x , y , z) dV e veja o gráfico de S usando o winplot nos casos a seguir.

(a) f (x , y , z) = z e S sólido limitado pelos 4 planos z = 0, x = 0, y = 0 e x + y + z = 1 (que sólido é este?)

(b) f (x , y , z) = z, em que S é limitado pelo cilindro y2 + z2 = 9 e os planos x = 0, y = 3x e z = 0 no primeiro

octante.

EP 2.18. CompareD

u(x,y)

01 dz dA com

D

u(x , y) dA. São iguais? Por quê?

2.10 Volume

Vimos que a integral dupla pode ser usada para o cálculo de áreas. A área de uma região D é, por definição,

A(D) =

D

1 dA

Podemos usar a integral tripla para calcular volume de sólidos.

2.8 Definição. Seja S uma região limitada do R3 (significa que S está dentro de um paralelepípedo). O volume

de S é dado por

V (S) =

S

1 dV

quando tal integral existe.

Assim, para regiões com bordo “bem comportado”, o volume é dado pela integral tripla da função constanteigual a 1. Portanto, as regiões do Tipo I, II e III, possuem volume e este pode ser calculado usando a integraltripla.

Só que já tínhamos definido o volume de certos sólidos. Lembrando: Seja f (x , y) , 0 integrável em D.Definimos o volume do sólido S = {(x , y , z); (x , y) & D, 0 + z + f (x , y)} como sendo

V (S) =

D

f (x , y) dA.

Será que são iguais? Bom, têm que ser, e é só entender S como uma região do Tipo I . Então,

S

1 dV =

D

f (x,y)

01 dz dA =

D

[z]f (x,y)0 dA =

D

f (x , y) dA


2.11 Massa, Centro de Massa e Momento de Inércia

De forma análoga ao que fizemos para lâminas planas, podemos calcular a massa e o centro de massa desólidos usando integrais triplas.

Considere um sólido S , que pode ser descrito como uma região do R3 do Tipo I, II ou III e cuja funçãodensidade é *(x , y , z) no ponto (x , y , z). Então, a massa de S é

M =

S

*(x , y , z) dV

e o centro de massa de S é o ponto de coordenadas

(x , y , z) =1

MS

x*(x , y , z) dV ,1

MS

y*(x , y , z) dV ,1

MS

z*(x , y , z) dV .

Podemos calcular os momentos de inércia de S com relação aos eixos x , y e z, respectivamente, por:

Iy =

S

(x2 + z2)*(x , y , z) dV Iz =

S

(x2 + y2)*(x , y , z) dV

ER 41. Seja S o sólido limitado pelo cilindro parabólico x = y2 e pelos planos x = z, z = 0 e x = 1.

(a) Calcule o volume de S ;

(b) Encontre o centro de massa de S , considerando que a densidade é constante.

Solução: Projetando S no plano xy temos a região

S = {(x , y , z);'1 + y + 1, y2 + x + 1, 0 + z + x}.

(a) V (S) =

S

1 dV = '1

$1

1

y2

x

0dz dx dy =

1

$1

1

y2

x dx dy =1

$1(1 ' y4) dz =

4

5.

(b) Como a densidade é constante k em S (isto é, *(x , y , z) = k) a massa de S será, simplesmente,

k ·V (S). A região é a função V (x , y , z) são simétricas com relação ao plano xz, então a segunda coordenada

do centro de massa é 0. Calculando as outras, temos que

x =5

4kS

xk dV =5

7, y = 0, z =

5

4kS

zk dV =5

14

que não dependem de k .


EP 2.19. Um cabo delgado é dobrado na forma de um semi-círculo x2 + y2 = 4 para x , 0. Se a densidade

linear é uma constante K , determine a massa e o centro de massa do cabo.

EP 2.20. (a) Escreva as fórmulas que determinam o centro de massa (x , y , z) de um fio delgado com função

densidade *(x , y , z) que tem o formato de uma curva $ no espaço R3.

(b) Determine a massa e o centro de massa de um fio no espaço com o formato da hélice x = 2 sen(t), y =

2 cos(t) e z = 3t, para 0 + t +'

2, se a densidade é uma constante K .


EP 2.21. Se um cabo com densidade linear *(x , y , z) tem o formato de uma curva $ do espaço, seus

momentos de inércia Ix , Iy e Iz , em relação aos eixos x , y e z são definidos, respectivamente, por

Ix =$(y2 + z2)*(x , y , z) ds

Iy =$(x2 + z2)*(x , y , z) ds

Iz =$(x2 + y2)*(x , y , z) ds

Determine os momentos de inércia do fio da questão anterior item (b).

2.12 Mudança de Variáveis em Integrais Duplas e Triplas

Vimos que em integrais duplas ou triplas quando mudamos para coordenadas polares, cilíndricas ou esféri-cas temos que multiplicar a função por um fator de correção (r ou *2 sen(+)?. Isto é semelhante ao que se fazcom integrais de funções na reta

b

a

f (x) dx =d

c

f (x(t))x "(t)dt =d

c

f (x(t))dx

dtdt.

As mudanças de variáveis para integrais duplas (polares) e para integrais triplas (cilíndricas e esféricas) sãomuito utilizadas, mas, às vezes, a mudança mais conveniente para calcular a integral não é nenhuma destas.Em geral, uma mudança de coordenadas em R2 ou R3 é uma transformação , contínua e injetora no interior daregião. Em R2, escrevemos ,(u, v) = (x(u, v), y(u, v)) e em R3, ,(u, v , w) = (x(u, v , w), y(u, v , w), z(x , y , w)).Uma fórmula análoga ao caso de integral no intervalo é:

Dxy

f (x , y) dx dy =

Duv

f (x(u, v , ), y(u, v), y(u, v))!dudv

Dxyz

f (x , y , z) dx dy dz =

Duvw

f (x(u, v , w), y(u, v , w), z(u, v))!dudvdw

O que viria no lugar do !? Já vimos que, no caso da mudança para as coordenadas polares e cilíndricasaparece r e no caso da mudança para as coordenadas esféricas, *2 sen(+)?

Para responder a essa pergunta vamos calcular a integralD

(x + y)7

x ' ydA, em que D é a região limitada

pelas retas x + y = 4, x + y = 3, y ' x = 3 e y ' x = 1.

Observa-se que teríamos algum trabalho se integrássemos na região requerida pela questão (veja figura).

Entretanto, se rotacionarmos os eixos, de modo que o retângulo fique paralelo aos novos eixos, a integraçãoserá, com certeza, mais simples.

Sendo assim, façamos u = x + y e v = y ' x (ou x = (u ' v)/2 e y = (u + v)/2). Transformamos Dxy emDuv = [3, 4] $ [1, 3]. Mas a integral em Dxy (dx dy ) é igual à integral em Duv (dudv )? Vejamos o que acontececom as áreas dos retângulos Dxy e Duv . A área de Duv é 2, mas a área de Dxy é 1. Então, 2A(Dxy ) = A(Duv ).Seria 2 o fator de correção de uma integral para a outra?

Na verdade, o que vale é o seguinte:

Para integrais duplas

Dxy

f (x , y) dx dy =

Duv

f (x(u, v), y(u, v))|J,(u, v)|dudv ,


em que J,(u, v) é o Jacobiano da transformação, ou seja,

J,(u, v) =%(x , y)

%(u, v)=

%x

%u

%x

%v%y

%u

%y

%v

=%x

%u· %x

%v' %y

%u· %y

%v

Para integrais triplas

Dxyz

f (x , y , z) dx dy dz =

Duvw

f (x(u, v , w), y(u, v , w), z(u, v , w))|J,(u, v , w)|dudvdw ,

em que J,(u, v , w) é o Jacobiano da transformação, ou seja,

J,(u, v , w) =%(x , y , z)

%(u, v , w)=

%x

%u

%x

%v

%x

%w%y

%u

%y

%v

%y

%w%z

%u

%z

%v

%z

%w

Estas fórmulas são válidas quando os jacobianos são diferentes de zero, ou seja, J,(u, v) )= 0 ou J,(u, v , w) )=0, nas respectivas regiões de integração, ou seja, Duv ou Duvw .

Atenção: Nas fórmulas aparece o módulo do Jacobiano!

Voltemos, portanto, ao exemplo, Calculando o Jacobiano obtemos J,(u, v) =1

2. Logo

Dxy(x + y)7

(x ' y)=

Duv

u7

2vdudv =

4

3

2

1

u7

2vdvdu

ER 42. Determine o volume da região limitada pelo plano z = 0 e pelas superfícies z = x2 + y2 e x2

2+

y2

3= 1.

Solução: O volume pode ser determinado se calcularmos a integral dupla

V (S) =

Dxy

x2 + y2 dx dy

A região de integração Dxy é o interior de uma elipse, ou seja, Dxy = {(x , y);x2

3+

y2

2+ 1}.

A melhor mudança de coordenadas, aqui, não é exatamente a polar, mas quase isso. Façamos x =

-3 cos(() e y =

-2 sen((), em que r varia de 0 a 1 e ( de 0 a 2'.

Portanto,

V (S) =2"

0

1

03r2 cos(() + 2r2 sen(()|J,(r , ()| dr d( e J((r , () =

-3 cos(() '

-3r sen(()

-2 sen(()

-2 cos(()

=-

6r


EP 2.22. Calcule a integralD

ex+yx!y dA, em que D é o trapézio de vértices em (1, 0), (2, 0), (0,'2) e (0,'1).

SUGESTÃO: Use a transformação u = x + y e v = x ' y .

EP 2.23. Verifique que, de fato, os Jacobianos das transformações para coordenadas polares, cilíndricas eesféricas são, respectivamente, r , r e + sen(,).


2.13 Integrais Triplas em Coordenadas Cilíndricas e Esféricas

2.13.1 Coordenadas Cilíndricas

Sabemos que um ponto P(x , y , z) em coordenadas cartesianas pode, também, ser escrito em coordenadascilíndricas (r , (, z), em que

x = r cos(()

y = r sen(()

z = z

Suponha que S é uma região do tipo I , isto é,

S = {(x , y , z); (x , y) & D, u1(x , y) + z + u2(x , y)}.

Se D pode ser descrita em coordenadas polares, então

S

f (x , y , z) dV =

Dxy

u2(x,y)

u1

(x , y)f (x , y , z) dz dx dy =

Dr"u2(r cos(#),r sen(#))

u1(r cos(#),r sen(#))f (r cos((), r sen((), z)r dz dr d(.

Esta é a fórmula utilizada para o cálculo de integrais triplas em coordenadas cilíndricas.

ER 43. CalculeS

x2 + y2 dV , em que S é a região interior ao cone z2 = x2 + y2 para z entre 0 e 2.

Solução: Note que

S

x2 + y2 dV =

D

2

-x2+y2

x2 + y2 dz dA,

em que D é o disco de centro 0 e raio 2.

Em coordenadas cilíndricas, temos

S

x2 + y2 dV =2"

0

2

0

2

r

r2r dz dr d( =16'

5.

ER 44. Seja D a região do espaço que corresponde ao interior ao cilindro x2 + y2 = 16 e exterior ao cilindro

x2 + y2 ' 4x = 0, compreendida entre os planos z = 0 e z = y + 6. CalculeD

x dx dy dz.

Solução: TemosD

x dx dy dz =

D1

x dx dy dz 'D2

dx dy dz, em que D1 é a região compreendida

entre os planos e interior ao cilindro maior e D2 é a região compreendida entre os planos e interior ao cilindro

menor.

Usando coordenadas cilíndricas, temos as seguintes parametrizações:

D1 = {(r , (, z); 0 + (2', 0 + r + 4, 0 + z + r sen(() + 6}

D2 = (r , (, z);''

2+ ( +

'

2, 0 + r + 4 cos((), 0 + z + r sen(() + 6 .


Então

D1

x dx dy dz =2"

0

4

0

6+r sen(#)

0r2 cos(() dz dr d(

=2"

0

4

0(6r2 cos(() + r3 sen(() cos(()) dr d(

=2"

0(128 cos(() + 64 sen(() cos(()) d( = 0

e

D2

x dx dy dz =

!2

$!2

4 cos(#)

0

6+r sen(#)

0r2 cos(() dz dr d(

=

!2

$!2

4 cos(#)

0r3 cos(() sen(() + 6r2 cos(() dr d(

=

!2

$!2

128 cos4 ( d( +

!2

$!2

64 cos3 ( sen(()) d(

= 32

!2

$!2

(1 + cos 2()2 d(

= 32

!2

$!2

1 d( + 64

!2

$!2

cos 2( d( + 16

!2

$!2

(1 + cos 4() d(

= 32' + 0 + 16' + 0 = 48'

Portanto,D

x dx dy dz = 0 ' 48' = '48'.

2.13.2 Coordenadas Esféricas

Um ponto P do espaço pode ser escrito tanto em co-ordenadas cartesianas (x , y , z) como em coordenadasesféricas (*, +, (), sendo que

x = * sen(+) cos(()

y = * sen(+) sen(()

z = * cos(+).

Se quisermos calcular uma integral tripla sobre umaregião S , que é mais facilmente descrita em coorde-nadas esféricas, como devemos fazer?

x

y

z

P(x , y , z)

+

(

r

Vimos que se usássemos coordenadas cilíndricas teríamos que multiplicar a função por um fator de correção(r ). Qual é o fator de correção no caso de coordenadas esféricas?

A esfera de raio a é o conjunto Sa = {(x , y , z); x2 + y2 + z2 + a2}. Em coordenadas esféricas passa a ser oparalelepípedo [0, a] $ [0, '] $ [0, 2'].

Sabemos que o volume de uma esfera de raio a é dado por V =4

3'a3, mas o volume do paralelepípedo

é 2'2 · a. Portanto, o volume não é preservado através desta mudança de coordenadas. Gostaríamos deestabelecer alguma relação entre o volume de um “pedaço” da esfera, em que a1 + * + a2, -1 + ( + -2, .1 ++ + .2.

Considerando que !*, !+ e !( são as variações das respectivas coordenadas e supondo que são pe-quenos, temos que o volume da região é, aproximadamente, *2 sen(+)!*!(!+ (e não apenas !*!(!+. Por-tanto, é razoável que este seja o fator de correção quando se passa de coordenadas cartesianas para esféricas


numa integração. De fato, vale que

Sxyz

f (x , y , z) dV =

S#"$

f (* sen(+) cos((), * sen(+) sen((), * cos(+))*2 sen(+)d* d(d+,

em que Sxyz indica a região descrita em coordenadas cartesianas e S%#& ?indica a região em coordenadasesféricas. Esta é a fórmula de integrais triplas em coordenadas esféricas.

Atenção Não se esqueça do fator de correção quando fizer a mudança de variáveis nas integrais:

" cilíndricas: r ;

" esféricas: *2 sen(+).

ER 45. CalculeS

z dV sendo S a região interior ao cone z2 = x2 + y2, com z positivo, e limitada pela

esfera x2 + y2 + z2 = 2z (esfera de centro em (0, 0, 1) e raio 1).

Solução: A equação x2 + y2 + z2 = 2z em coordenadas polares é * cos(+). A intersecção do cone com

a esfera se dá quando z = 1 e x2 + y2 = 1. O ângulo + varia de 0 até o encontro da esfera com o cone, que

se dá quando z = 1. Segue que, o ângulo + é '

4. Então, nossa região, que é o interior de um “sorvete” é:

S%#& = {(*, (, +); 0 + ( + 2', 0 + * + 2 cos+}.

Logo,

S

z dV =2"

0

!4

0

2 cos(&)

0(* cos(+))*2 sen(+)d*d+ d(

=2"

0

!4

0

*4

4

2 cos(&)

0

sen(+)d+ d( =2"

0

!4

04 cos4 + sen(+)d+ d(

= 4

!2

0

cos5 ,

5

!4

0

d( =8'

5(2-

2 ' 1)

ER 46. Seja D a região do primeiro octante limitada pela esfera x2 + y2 + z2 = 4 e pelos planos y = 0 e

y =-

3x . CalculeD

y dx dy dz.

Solução:

Em coordenadas esféricas a parametrização de D é:

D = (*, (, ,); 0 + * + 2, 0 + ( +'

3, 0 + , +

'

2.

Sendo assim,

D

y dx dy dz =

!2

0

!3

0

2

0(* sen(,) sen(())p2 sen(,)d* d(d,

=

!2

0

!3

0 sen2(,) sen(()*4

4

2

0d(d, = 4

!2

0

!3

0sen2(,) sen(() d(d,

= 4

!2

0sen2(,)(' cos(())

!3

0d, = 4

!2

0sen2(,)

'1

2+ 1 d,

=

!2

0[1 ' cos2(,)]d, =

'

2



EP 2.24. Calcule as integrais iteradas:

(a)1

0

z

0

y

xyz dx dy dz (b)"

0

2

0

-4$x2

0z sen(y) dx dz dy

EP 2.25. Calcule as integrais triplas:

(a)D

yz dx dy dz, em que D = {(x , y , z); 0 + z + 1, 0 + y + 2z, 0 + x + z + 2}.

(b)D

y dx dy dz, em que D é a região abaixo do plano z = x + 2y e acima da região no plano xy limitada

pelas curvas y = x2, y = 0 e x = 1.

(c)D

xy dx dy dz, em que D é o tetraedro sólido com vértices (0, 0, 0), (1, 0, 0), (0, 2, 0) e (0, 0, 3).

(d)D

z dx dy dz, em que D é limitada pelos planos x = 0, y = 0, z = 0, y + z = 1 e x + z = 1.

(e)D

x dx dy dz, em que D é limitada pelo parabolóide x = 4y2 + 4z2 e pelo plano x = 4.

EP 2.26. Determine a massa e o centro de massa do cubo Q = [0, a] $ [0, a] $ [0, a] cuja densidade é dada

pela função *(x , y , z) = x4 + y2 + z2.

EP 2.27. Determine os momentos de inércia de um cubo de densidade constante k e aresta L se um dos

seus vértices é a origem e três de suas arestas estão sobre os eixos coordenados.

EP 2.28. Calcule as seguintes integrais:

(a)E

(x2 + y2) dx dy dz, em que E é a região limitada pelo cilindro x2 + y2 = 4 e pelos planos z = '1 e

z = 2.

(b)E

y dx dy dz, em que E é a região entre os cilindros x2 + y2 = 4 e x2 + y2 = 1, limitada pelo plano xy e

pelo plano z = x + 2.

(c)E

x2 dx dy dz, em que E é o sólido limitado pelo cilindro x2 + y2 = 1, acima do plano z = 0 e abaixo do

cone z2 = 4x2 + 4y2.

EP 2.29. Determine o volume da região R limitada pelos parabolóides z = x2 + y2 e z = 36 ' 3x2 ' 3y2.

EP 2.30. Determine a massa e o centro de massa do sólido S limitado pelo parabolóide z = 4x2 + 4y2 o pelo

plano z = a(a > 0), se S tem densidade constante k .

EP 2.31. Calcule as integrais:

(a)B

(x2 + y2 + z2) dx dy dz, em que B é a bola unitária x2 + y2 + z2 + 1.

(b)E

y2 dx dy dz, em que E é a parte da bola unitária x2 + y2 + z2 + 1 contida no primeiro quadrante.


(c)E

x2 + y2 + z2 dx dy dz, em que E é a região interior ao cone + ='

6e à esfera * = 2.

EP 2.32. Determine a massa de um hemisfério sólido H de raio a se a densidade em qualquer ponto é

proporcional a sua distância ao centro da base.

EP 2.33. Calcule o volume da região limitada pelo elipsóide x2

a2+

y2

b2+

z2

c2= 1.

EP 2.34. Seja f contínua em [0, 1] e seja R a região triangular com vértices (0, 0), (1, 0) e (0, 1). Mostre que

R

f (x + y) dx dy =1

0uf (u)du.

EP 2.35. (a) CalculeD

1

(x2 + y2)n/2dx dy , onde D é a região entre os círculos com centros na origem e

raios r e R , 0 < r < R . Para que valores de n a integral tem limite quando r " 0+? E quando R " 3?

(b) Faça uma análise semelhante para a integral tripla

D

1

(x2 + y2 + z2)n/2,

em que D é a região interior às esferas com centros na origem e raios r e R , 0 < r < R .

EP 2.36. Use a transformação x = u2, y = v2 e z = w 2 para calcular o volume da região limitada pela

superfície-

x +-

y +-

z = 1 e pelos planos coordenados.

Gabarito2.3 (a)

$585

8(b)

15

4(2 $

#3) (c) ln

27

162.4 V (S)

4

15(2#

2 $ 1) 2.5 V (S) = 36 2.6 $1

2e

1

2. 2.7 (a) 1/12; (b) $19/42; (c) e4/2 $ 2e;

(d)1 $ cos(1)

2; (e) 500/3; (f) 1/8; (g) 8". 2.8 (a) 6/35 (b) 31/8 (c)

1

6(11

#5 $ 27) 2.9 (a) 1/6 (b) 1/3 (c) 16r3/3 2.10 2.11 (a) (e9 $ 1)/6;

(b) sen(81)/4; (c)(2#

2 $ 1)

3. 2.15 (a) 2/3 e (0, 1/2); (b) 6 e (3/4, 3/2); (c) 1/6 e (4/7, 3/4) (d) 27/2 e (8/5, 1/2) 2.16 (c) Ix = 1/10,

Iy = 1/16 e Iz = 13/80; (d) Ix = 189/20, Iy = 1269/28 e Iz = 1917/35. 2.17 2.18 2.19 2.20 (a) $%x =1

m%

x%(x, y , z) ds,$%y =

1

m%

y%(x, y , z) ds$%z =1

m$z%(x, y , z) ds, onde m =

%

%(x, y , z) ds; (b) 2#

13k", (0, 0, 3"). 2.21 2.22 2.23 2.24 (a) 1/48; (b) 16/3.

2.25 (a) 7/5; (b) 5/28; (c) 1/10; (d) 1/12; (e) 16"/3. 2.26 m = a/5 e (x , y , z) = (7a/12, 7a/12, 7a/12). 2.27 Ix = Iy = Iz =2

3kL5.

2.28 (a) 24"; (b) 0; (c) 2". 2.29 162". 2.30 "a2/8 , (0, 0, 2a/3). 2.31 (b) p/30; (c) 4"(2 $#

3). 2.32 "a2, onde k é a constante deproporcionalidade.


BLOCO 02 Funções Vetoriais

TEMA 03 Análise Vetorial

Trabalharemos, aqui, integrais de linha e integrais de superfície, bem como consideraremos algumas dassuas aplicações mais comuns. Veremos como integrais de linha podem ser transformados em integrais desuperfície e vice-versa, o mesmo acontecendo entre integrais de superfície e integrais triplas, culminando comos resultados dos teoremas de Gauss, Green e Stokes.

Integrais de Linha

3.1 Integral de Linha em Campos Escalares

Definiremos uma integral semelhante à integral simples, mas a qual é feita sobre uma curva $. Ela foidescoberta no início do século XIX para resolver problemas envolvendo escoamento de fluidos, eletricidade,magnetismo, etc.

Considere uma curva $(t) = (x(t), y(t)), em que t & [a, b] tal que $"(t) é contínua e que $"(t) )= '"0 .

Dividindo-se o intervalo [a, b] em n subintervalos [ti$1, ti ], temos os correspondentes pontos na curva Pi =

$(x(ti ), y(ti )). A imagem do intervalo [ti$1, ti ] é o pedaço da curva (arco) que vai de Pi$1 a Pi . Vamos denotarpor si o comprimento de cada um desses arcos. Assim, a curva $ fica dividida em sub-arcos de comprimentoss1, s2, . . . , sn. Vamos tomar uma função f de duas variáveis cujo domínio D contém a curva $. Lembre-se queisto quer dizer que $(t) = (x(t), y(t)) está contido em D, para todo t & [a, b]. Calculando f em Pi , multiplicandopela variação $i e somando tudo temos

*

i=1

f (x(ti ), y(ti )) · !si .

3.1 Definição. A integral de linha ao longo de $ é:

$f (x , y) ds = lim

n%*

*

i=1

f (x(ti )y(ti ))!si

quando tal limite existe. Mas o comprimento de um pequeno arco da curva é, aproximadamente, o tamanho do

vetor tangente. Assim

!si 4 x "(ti)2 + y "(ti )2

e, se f é uma função contínua, o limite acima sempre existe e a seguinte fórmula é valida

$f (x , y) ds =

b

a

f (x(t), y(t)) x "(t)2 + y "(t)2 dt.


Nota 20. De forma análoga, define-se a integral de linha para funções f de três variáveis. Ainda, também,

temos que, se f (x , y , z) é contínua numa região que contém uma curva $(t) = (x(t), y(t), z(t)) tal que

$"(t) é contínua e que $"(t) )= '"0 , então

$f (x , y , z) ds =

b

a

f (x(t), y(t), z(t)) x "(t)2 + y "(t)2 + z "(t)2 dt.

Podemos, também, escrever a integral de linha numa forma mais sintética

b

a

f ($(t)) · |$"(t)| dt.

Importante! A integral de linha não depende da parametrização de $.

Nota 21. Note que comprimento de uma curva nada mais é que a integral de linha

L($) =$

1 ds =b

a

|$"(t)| dt.

Se temos uma curva “lisa por partes”, isto é, $ é a união finita de curvas $i , 1 + i + n, em que o ponto inicialde $1 coincide com o ponto final de $n, então definimos a integral de f ao longo de $ por

$f ds =

$1

f ds +$2

f ds + . . . +$n

f ds.

ER 47. Calcule$

y sen(z) ds, em que $ é a hélice circular de equação

x(t) = cos(t)

y(t) = sen(t)

z(t) = t

, 0 + t + 2'.

xy

z

Solução:

$y sen(z) ds =

2"

0sen(t) sen(t) sen2(t) + cos2(t) + 1 dt =

-2

2"

0sen2(t) dt = '

-2.


EP 3.1. Denota-se por '$ a curva que tem os mesmo pontos de $, mas com orientação contrária. As

integrais de linha$

f ds e$$

f ds são iguais?

EP 3.2. Calcule as integrais de linha para

(a) f (x , y) = xy + ln(x) para $ o arco da parábola y = x2 de (1, 1) a (3, 9).

(b) f (x , y , z) = x2z para $ o segmento com extremidades (0, 6,'1) e (4, 1, 5).


3.2 Integrais de Linha em Campos Vetoriais

3.2.1 Campos Vetoriais

O vento possui uma direção, um sentido e uma intensidade. Assim, em cada instante temos um vetor querepresenta o vento para cada ponto de uma região. Este é um típico exemplo de um campo de vetores. Outroexemplo é um campo de força em que a cada ponto associa-se um vetor.

Um campo de vetores do R2 é uma função '"F de uma região D do R2 que a cada ponto (x , y) associa um

vetor '"F (x , y) do R2. Podemos escrever'"F (x , y) = P(x , y)

'"i + Q(x , y)

'"j ,

em que P e Q são funções de D em R e um campo de vetores do R2 é uma função '"F de uma região D do R3

que a cada ponto (x , y , z) associa um vetor '"F (x , y , z) do R3

'"F (x , y , z) = P(x , y , z)

'"i + Q(x , y , z)

'"j + R(x , y , z)

'"k ,

em que P , Q e R são funções de D em R .

São muitos os exemplos de campos vetoriais, principalmente na Física, mas os mais importantes são ogradiente, o divergente e o rotacional.

3.2.2 O Gradiente

Dada uma função f : D # R2 " R, com derivadas parciais, o gradiente de f é um campo que a cada ponto(x , y) & D associa o vetor

'"! f (x , y) =%f

%x(x , y),

%f

%y(x , y) =

%f

%x(x , y)

'"i +

%f

%y(x , y)

'"j .

Se a função está definida no R3, ou seja, f : D # R3 " R, com derivadas parciais, o gradiente de f é umcampo que a cada ponto (x , y , z) & D associa o vetor

'"!f (x , y , z) =

%f

%x(x , y , z),

%f

%y(x , y , z),

%f

%z(x , y , z) =

%f

%x(x , y , z)

'"i +

%f

%y(x , y , z)

'"j +

%f

%z(x , y , z)

'"k .

Nota 22. Utiliza-se, também, a notação:

'"! =

%

%x,

%

%y,

%

%z=

%

%x

'"i +

%

%y

'"j +

%

%z

'"k

com versão análoga para o caso R2.

Nota 23. Um campo de vetores '"F é chamado conservativo se ele é um campo gradiente de alguma

função f , isto é, se '"F =

'"!f . Nesta situação chamamos de f o potencial de '"F .

3.2.3 O Divergente

Dado um campo vetorial '"F (x , y) = P(x , y)'"i + Q(x , y)

'"j definido em D tal que P e Q possuam derivadas

parciais em D, então o divergente de '"F é

div'"F =

%P

%x+

%Q

%y.


Analogamente, se '"F (x , y , z) = P(x , y , z)

'"i +Q(x , y , z)

'"j +R(x , y , z)

'"k tal que P , Q e R possuam derivadas

parciaisdiv

'"F =

%P

%x+

%Q

%y+

%R

%z.

Nota 24. Note que o divergente é uma função de D em R (conjunto dos números reais) e é o que

chamamos de campo escalar. Simbolicamente, ele pode ser expresso como o “produto interno”:

div'"F =

'"! ·

'"F = (

%

%x,

%

%y,

%

%z) · (P , Q, R).

3.2.4 O Rotacional

Dado um campo vetorial '"F (x , y , z) = P(x , y , z)'"i + Q(x , y , z)

'"j + R(x , y , z)

'"k definido em D tal que P , Q e

R possuam derivadas parciais em D, então o rotacional de '"F é dado por:

rot'"F =

%R

%y'

%Q

%z

'"i +

%P

%z'

%R

%x

'"j +

%Q

%x'

%P

%y

'"k ,

ou ainda, simbolicamente, como um “produto vetorial” ou o determinante de uma matriz

rot'"F =

'"! $

'"F =

'"i

'"j

'"k

%

%x

%

%y

%

%zP Q R

.

Se rot'"F (x , y) = P(x , y)

'"i + Q(x , y)

'"j , então dizemos que rot

'"F =

%Q

%x' %P

%y

'"k .

Podemos citar como exemplo importante a Lei de Gravitação de Newton: a intensidade da força gravitacionalentre dois objetos de massa M e m é F = g

mM

r2, em que r é a distância entre os objetos e g é a constante

gravitacional. Vamos assumir que um objeto de massaM está localizado na origem de R3 (M pode ser a massada Terra e a origem seu centro). Se o objeto de massam está no ponto (x , y , z), então a força gravitacional queestá agindo em m é

'"F (x , y , z) = 'G

mM

( x2 + y2 + y2)3(x , y , z).

Este é um exemplo de campo conservativo, pois

f (x , y , z) = GmM

( x2 + y2 + y2)3

é um potencial para '"F (verifique!).

3.2.5 Integrais de Linha de Campos Vetoriais

Considere uma partícula que se move no plano ao longo da curva $(t) = (x(t), y(t)), t & [a, b]. Ela está soba ação de um campo de forças '"

F (x , y) = P(x , y)'"i + Q(x , y)

'"j . Queremos calcular o trabalho realizado pela

força '"F quando a partícula se desloca de $(a) até $(b).

Se '"F é uma força constante e se a partícula se desloca sob um segmento de reta AB, então o trabalho W

é dado pelo produto escalar W ='"F ·

'"AB.

Dividindo-se o intervalo [a, b] em pequenos subintervalos [ti ' 1, ti ], criamos pequenos arcos na curva$(t) : $([ti$1, ti ]). Se estamos com intervalos pequenos, o deslocamento de Ai$1 = $(ti$1) a Ai = $(ti ) é,


aproximadamente, um deslocamento ao longo do segmento Ai$1Ai . Se também a variação de '"F ao longo do

arco $([ti$1, ti ]) for muito pequena, podemos pensar que é quase constante. Assim, o trabalho neste trechoserá, aproximadamente,

Wi 4'"F (x(ti ), y(ti )) ·

''''"Ai$1Ai = P(x(ti ), y(ti ))!xi + Q(x(ti ), y(ti ))!yi ,

em que !xi = x(ti ) ' x(ti$1) e !yi = y(ti ) ' y(ti$1).

Aplicando-se o teorema do valor médio, podemos dizer que o trabalho total é

W 4n

i=1

Wi 4n

i=1

P(x(ti ), y(ti ))x"(ti )!ti + Q(x(ti ), y

"(ti )!ti .

Assim, uma definição razoável para o trabalho é:

W =b

a

P(x(t), y(t))x "(t) + Q(x(t), y(t))y "(t) dt

Pode-se fazer um raciocínio análogo para o caso de R3.

3.2 Definição. Sejam $(t) = (x(t), y(t)) (ou $(t) = (x(t), y(t), z(t)) uma curva diferenciável por partes e '"F

um campo contínuo cujo domínio contém esta curva. A integral de linha de '"F ao longo de $ é:

$

'"F d'"r =

b

a

'"F ($(t)) · $"(t).

No caso R2 temos:b

a

[P(x(t), y(t)) · x "(t) + Q(x(t), y(t)) · y "(t)] dt

No caso R3 temos:b

a

[P(x(t), y(t), z(t)) · x "(t) + Q(x(t), y(t), z(t)) · y "(t) + R(x(t), y(t), z(t)) · z "(t)] dt.

Usando a notação dx = x "(t) dt, dy = y "(t) dt e dz = z "(t) dt, podemos escrever que:

$

'"F d'"r =

b

a

P dx + Qdy + Rdz ou$

'"F d'"r =

b

a

P dx + Qdy .

Importante Não é difícil provar que a integral de linha não depende da particular parametrização dacurva, desde que não se inverta a orientação da curva.

ER 48. Calcule$

'"F d'"r , em que '"

F = x'"i + y

'"j + z

'"k e a curva é a hélice $(t) = (cos(t), sen(t), t), para t

entre 0 e 2'.

Solução:

$

'"F d'"r =

b

a

P dx + Qdy + Rdz =2"

0[cos(t)(' sen(t)) + sen(t)(cos(t)) + t1] dt = 2'2.

ER 49. Calcule o trabalho realizado pelo campo de força '"F = x2'"i ' xy

'"j quando uma partícula se move

ao longo da curva $(t) = (cos(t), sen(t)), para t entre 0 e '

2partindo de (1, 0) até (0, 1) e partindo de (0, 1) até

(1, 0).

Solução: Partindo de (1, 0) até (0, 1) temos:

W =$

'"F d'"r =

!2

0[cos2(t)(' sen(t))'cos(t) sen(t)(cos(t))] dt =

!2

0'2 cos2(t) sen(t) dt =

2 cos3 t

3

!2

0

= '2

3


Partindo de (0, 1) até (1, 0)

W =$

'"F d'"r =

!2

0[sen2(t)(cos(t)) ' sen(t) cos(t)(' sen(t))] dt =

!2

02 sen2(t) cos(t) dt =

2 sen3 t

3

!2

0

=2

3

Nota 25. Observe, no exercício anterior, que as integrais são diferentes, pois, na primeira estamos

percorrendo no sentido anti-horário, enquanto na segunda, no sentido horário. Em geral, o que temos é

que$

'"F d'"r = '

$$

'"F d'"r (verifique isto!).

ER 50. Considere o campo '"F = x2'"i ' xy

'"j e a curva $(t) = (cos(2t), sen(2t)), para t entre 0 e '. Calcule a

integral de linha.

Solução:

W =$

'"F d'"r =

"

0[cos2(2t)('2 sen(2t)) ' cos(2t) sen(2t)(2 cos(2t))] dt

="

0'4 cos2(2t) sen(2t) dt =

4 cos3 t

6

2"

0

= '2

3

As respostas dos exercícios anteriores são iguais. Como se explica isso? As curvas são as mesmas(traço e sentido), só que foram parametrizadas de formas diferentes. A integral de linha não depende daparametrização, desde que não se inverta sua orientação.


EP 3.3. Calcule as seguintes integrais de linha ao longo da curva indicada:

(a)$

x ds, $(t) = (t3, t) e 0 + t + 1.

(b)$

xy4 ds, $ é a semi-circunferência positiva x2 + y2 = 16 para x , 0.

(c)$(x ' 2y2) dy , $ é o arco da parábola y = x2 de ('2, 4) a (1, 1).

(d)$

xy dx + (x ' y) dy , $ consiste dos segmentos de reta de (0, 0) a (2, 0) e de (2, 0) a (3, 2).

(e)$

xyz ds, $(t) = (2t, 3 sen(t), 3 cos(t)) para? ?0 + t + '

2.

(f)$

xy2z ds, $ é o segmento de reta de (1, 0, 1) a (0, 3, 6).

(g)$

x3y2z ds, $ é dada por x = 2t, y = t2 e z = t2 , para 0 + t + 1.

(h)$

z2 dx ' z dy + 2y dz, $ consiste dos segmentos de reta de (0, 0, 0) a (0, 1, 1), de (0, 1, 1) a (1, 2, 3) e de

(1, 2, 3) a (1, 2, 4).

EP 3.4. Calcule$

'"F · d'"r , onde '"

F = (x2 + y)'"i ' 7yz

'"j + 2xz2'"k e $ é a curva ligando o ponto (0, 0, 0) a

(1, 1, 1), nos seguintes casos:


(a) $(t) = (t, t2, t3);

(b) $ é composta dos segmentos de reta de (0, 0, 0) a (1, 0, 0), depois a (1, 1, 0) e depois a (1, 1, 1);

(c) $ é o segmento de reta de (0, 0, 0) a (1, 1, 1).

EP 3.5. Calcule$

'"F · d'"r nos seguintes casos:

(a) '"F (x , y) = x2y'"i ' xy

'"j e $ : '"r (t) = t3'"i + t4'"j , 0 + t + 1;

(b) '"F (x , y , z) = sen(x)'"i + cos y

'"j = xz

'"k e $ : '"r (t) = t3'"i ' t2'"j + t

'"k , 0 + t + 1.

3.2.7 Campos Conservativos

Para funções de uma variável temos o Teorema Fundamental do Cálculo, que pode ser escrito como:b

a

f "(x) dx = f (b) ' f (a)

que usamos com freqüência. Queremos obter um resultado semelhante para funções de duas ou três variáveis.O gradiente de uma função f (x , y) (ou f (x , y , z)) é um tipo de “derivada” da f .

Tomemos uma curva $ de [a, b] em R2, lisa por partes, e uma função f (x , y) de classe C 1 cujo domínio D

contém a curva $. Calculando

$

'"!f d'"r =

a

b

'"!f ($(t))$"(t) dt =

b

a

%f

%x

dx

dt+

%f

%y

dy

dtdt =

b

a

d

dtf ($(t)) dt = f ($(b)) ' f ($(a))

Note que aplicamos a Regra da Cadeia, o Teorema Fundamental do Cálculo e, ainda, podemos fazer osmesmos cálculos para funções de três variáveis f (x , y , z).

O que mostramos acima pode ser escrito da seguinte forma:

Se '"F é um campo contínuo em D, onde existe f tal que '"

!f ='"F , chamado de campo gradiente, ou

conservativo, e se $ : [a, b] " R2 (ou R3) é uma curva lisa por partes contida em D, então

$

'"F d'"r =

$!f d'"r = f ($(b)) ' f ($(a)).

Além disso, se $ é um caminho fechado,$

'"F d'"r = 0.

3.3 Proposição. Se $ : [a, b] # D " Rn é uma curva com extremidades em dois pontos (a, $(a)) e (b, $(b))

pertencentes a D e '"F é conservativo, então

D

'"F d'"r não depende do caminho $.

Seja f uma função potencial de '"F e $ : [a, b] " Rn um caminho. Então

$

'"F d'"r =

$!f d'"r = f ($(b)) ' f ($(a)).

A função f é chamada potencial de F em D e, portanto f ($(b)) ' f ($(a)) é uma diferença de potencial.

ER 51. Verifique se o campo '"F (x , y , z) = (x2, y , 1) é conservativo.

Solução: Sendo, por exemplo, f (x , y , z) =x3

3+

y2

2+ z, temos que o campo '"

F é conservativo, pois

!f ='"F .


Nota 26. Note que o valor da integral de linha de um campo gradiente sobre uma curva só depende do

ponto inicial e final da curva e não da particular curva.

Não é verdade que todo campo é conservativo. Por exemplo: seja '"F (x , y) = y

'"i + (x2 + y2)

'"j e dois

caminhos ligando os pontos ('2, 0) a (0, 2). $1(t) = (2 cos(t), 2 sen(t)) para t em '

2, ' e $2 o segmento

ligando os pontos de coordenadas ('2, 0) e (0, 0) e, em seguida, os de (0, 0) a (0, 2). Então,

$1

'"F d'"r = '

"

$!2

(2 sen(t), 4) · ('2 sen(t), 2 cos(t)) dt = '"

$!2

(2 cos(2t) + 8 cos(t) ' 2) dt = ' + 8

e

$2

'"F d'"r =

2

$2(0, x2) · (1, 0) dt +

2

0(y , y2) · (0, 1) dt =

8

3.

Uma questão que, naturalmente, pode aparecer é: se tivermos um campo cujas integrais ao longo decurvas não dependem particularmente de curvas, mas, apenas, dos pontos finais e iniciais, então o campo éconservativo?

Para responder a essa pergunta vamos considerar um campo'"F (x , y) = P(x , y)'"i +Q(x , y)

'"j nas condições

acima especificadas, definido em D # R2.

Queremos encontrar uma função f tal que '"!f =

'"F , isto é:

%f

%x= P e %f

%y= Q.

Usando uma idéia já conhecida para funções reais, poderíamos definir f da seguinte forma: se X = (x , y) e$ é uma curva qualquer ligando A a X tome

f (x , y) =$

'"F d'"r .

Note que, por hipótese, a integral não depende da particular curva e, resumidamente, teríamos que

%f

%x(x , y) = lim

h%*

f (x + h, y) ' f (x , y)

h= lim

h%*

1

h

(x+h,y)

(x,y)

'"F d'"r = lim

h%*

1

0P(x + th, y) dt = P(x , y)

e, analogamente, mostramos que %f

%y= Q.

Uma outra questão é: será que sempre existe uma curva ligando A a X em D?

Um conjunto D é dito conexo se, para dois pontos de D, existe uma curva lisa por partes contida em D.

Lembramos que um subconjunto D do R2 ou R3 é dito aberto se, para todo ponto P de D, existe uma “bola”(disco ou esfera) de centro P contida em D. Desta forma, temos uma idéia da prova, para D em R2, do seguintefato:

Se '"F é um campo contínuo num domínio aberto conexo, então '"

F é conservativo se, e somente se, paracada par de pontos (A, B) a integral de linha de '"

F é a mesma ao longo de qualquer curva lisa ligando A e B

contida em D.

ER 52. Seja '"F (x , y) = P(x , y)

'"i + Q(x , y)

'"j um campo conservativo, onde P e Q são funções C 1, em um

aberto conexo D. Mostre que rot'"F =

'"0 .

Solução: Como '"F é conservativo, então '"

!f ='"F . Segue que %f

%x= P e %f

%y= Q. Mas,

%P

%y=

%2f

%x%y=

%2f

%x%y=

%Q

%x


e, então

rot'"F =

%Q

%x' %P

%y

'"k =

'"0

Nota 27. Este exercício já foi proposto no texto sobre campos e é válido, também, para campos em R3.

Será que podemos concluir que quando rot'"F =

'"0 o campo é conservativo?


EP 3.6. Verifique que a integral$

2x sen(y) dx + (x2 cos y ' 3y2) dy , em que $ é uma curva ligando ('1, 0) a

(5, 1), é independente do caminho e calcule o seu valor.

EP 3.7. Seja'"F (x , y) = P(x , y)'"i + Q(x , y)

'"j =

'y'"i + x

'"j

x2 + y2.

(a) Mostre que %P

%y=

%Q

%x;

(b) Analise o valor de$

'"F · d'"r , em que $ é uma curva simples e fechada.

EP 3.8. Nem todo campo é conservativo. Procure um exemplo de um campo não-conservativo.

EP 3.9. Quando o campo é conservativo só existe um potencial para este campo? Como são todos os

potenciais de um campo conservativo?

EP 3.10. Tomando uma função f de classe C 2 (lembra o que isto quer dizer?) verifique que '"rot(

'"! f ) =

'"0 .

EP 3.11. Se '"F é um campo de classe C 2, isto é, as funções P , Q e R são de classe C 2, verifique que

div'"rot(

'"F ) = 0.

EP 3.12. Se '"F (x , y) = (3x2 + 2xy , x2 + 3y2), verifique se '"

F é conservativo no R2 e, em caso afirmativo,

determine a função potencial de '"F .

Gabarito3.3 (a) (10

#10 $ 1)/54; (b) 1638, 4; (c) 48; (d) 17/3; (e) 9

#13"/4; (f) 3

#35; (g) 16/11; (h) 77/6. 3.4 (a) $11/15; (b) 1; (c) $1. 3.5 (a)

$19/143; (b) 6/5 $ cos(1) $ sen(1). 3.6 25 sen(1) $ 1.


TEMA 04 Teoremas de Green, Stokes e Gauss

Relações entre as Integrais de Linha e de Superfície

As relações entre as integrais de linha e de superfícies são dadas pelos teoremas de Green, Stokes e Gaussque, além de sua utilidade teórica, servem para diminuir, consideravelmente, o trabalho para o cálculo de certasintegrais.

4.1 O Teorema de Green

O Teorema de Green nos dá uma relação entre integrais de linha sobre curvas fechadas e integrais sobreregiões limitadas pela curva. Para compreendê-lo, precisamos estabelecer algumas definições e convenções.

Uma curva $ : [a, b] " R2 (ou $ : [a, b] " R3) é fechada se $(a) = $(b).

Uma curva é chamada de simples se ela não se auto-intercepta entre o ponto inicial e final. Formalmente,uma curva $ é simples se $(t) é diferente de $(s) para todo t e s pertencentes ao intervalo [a, b].

As regiões que vamos considerar nas hipóteses do Teorema de Green são regiões planas fechadas elimitadas cuja fronteira (ou bordo) é composto por um número finito de curvas simples, fechadas, lisa porpartes, duas a duas disjuntas.

No Teorema iremos calcular a integral de linha sobre as curvas da fronteira de D. Para isso, temos queorientar estas curvas convenientemente. A orientação para o nosso teorema deve ser tal que, ao caminharmossobre a curva, a região fica sempre à esquerda.

Vejamos, agora, como é possível relacionar integrais de linha com as integrais duplas e vice-versa. Esse éo resultado contido no teorema de Green no plano.

4.1 Teorema (de Green). Seja D uma região fechada e limitada de R2 cuja fronteira %D é formada por um

número finito de curvas simples, fechadas e lisa por partes, duas a duas disjuntas orientadas no sentido que

deixa D à esquerda das curvas. Seja um campo vetorial

'"F (x , y) = P(x , y)

'"i + Q(x , y)

'"j

de classe C 1 (as derivadas parciais de P e Q são contínuas) em um aberto que contém D. Então,

D

%Q

%x' %P

%ydA =

!D

'"F · d'"r =

!D

P dx + Q dy

ou, pode-se escrever

D

(rot'"F ) ·

'"k dA =

!D

'"F · d'"r

em que a integral de linha é a soma de integrais sobre as curvas componentes da fronteira de D, isto é,

%D = $1 + $2 + . . . + $n.


A prova deste Teorema é bem complicada e não cabe a este curso.

Vamos ver alguma aplicações para entender melhor o Teorema de Green.

Nota 28. Usa-se a notação$

P dx + Q dy quando se trata de integrais de linha de curvas fechadas.

ER 53. Calcule$

x2y dx + xy3 dy sendo $ o bordo do quadrado de vértices (0, 0), (1, 0), (1, 1) e (0, 1),

orientado positivamente (anti-horário).

Solução: Claramente poderíamos calcular diretamente esta integral:

$x2y dx + xy3 dy =

1

0x20 dx +

1

01y3 dy '

1

0x21 dx '

1

00y3 dy

Usando o Teorema de Green:

A região é o quadrado D; as funções P e Q possuem derivadas parciais contínuas em D e a curva está

orientada de forma a deixar a região à esquerda. Então, vale que

$x2y dx + xy3 dy =

D

%Q

%x'

%P

%ydA =

1

0

1

0y3 ' x2 dx dy = '

1

12

Podemos, também, utilizar o Teorema de Green quando uma das integrais envolvidas é muito difícil decalcular.

ER 54. Calcule$(3y + esen(x)) dx + (7x + y4 + 1) dy , em que $ é o círculo de raio 3 centrado na origem

orientado no sentido anti-horário.

Solução: Verifica-se que ao se tentar calcular diretamente a integral de linha proposta, logo se chega a

integrais complicadas. Portanto, usaremos o Teorema de Green como alternativa.

!D

P dx + Q dy =

D

%Q

%x' %P

%ydA =

D

(7 ' 3) dx dy = 36'.

onde D é o disco de centro (0, 0) e raio 3.

O Teorema de Green nos permite passar de integrais de linha complicadas para integrais de linha maissimples de se calcular.

ER 55. Calcule$

'"F · d'"r , em que '"

F (x , y) = 2x cos y'"i + (7xy ' x2 sen(y))

'"j e $ é o gráfico de y = cos x

percorrido de ''

2a '

2.

Solução:

Usando o Teorema de Green, temos que

D

%Q

%x' %P

%ydA =

!D

'"F · d'"r = '

$P dx + Q dy +

!2

$!2

2t cos(0) dt


Portanto,

$

'"F · d'"r =

!2

$!2

2t cos(0) dt 'D

%Q

%x' %P

%ydA = 0 '

D

7y dx dy

= '!2

$!2

cos x

07y dx dy = '7

4

!2

$!2

(1 + cos 2x) dx = '7

4'

Cuidado! Ao usar o Teorema de Green, não se esqueça de verificar todos os itens da hipótese.

ER 56. Calcule a integral de linha de '"F (x , y) =

'y'"i + x

'"j

x2 + y2sobre $, uma curva fechada, simples, lisa por

partes qualquer, que contém a origem no seu interior, percorrida uma vez no sentido anti-horário.

Solução: Temos que %Q

%x' %P

%y= 0 (verifique!). O aluno, apressado, vai concluir que a integral de linha

é zero. Errado! O campo em questão não está definido na origem! Não podemos usar o Teorema de Green

desta forma.

Tomemos um círculo $1 de centro na origem e raio r que está no interior da curva $ (sempre existe?).

Pelo Teorema de Green

0 =

D

%Q

%x' %P

%ydA =

!D

P dx + Q dy =$

P dx + Q dy +$1

P dx + Q dy

Portanto, sendo $1(t) = (r cos(t), r sen(t)), para t em [0, 2'], temos uma parametrização de $1 no sentido

anti-horário e, assim,

$P dx + Q dy =

2"

0

1

r2['r sen(t)('r sen(t)) + cos(t)(r cos(t))] dt = 2'


EP 4.1. Usando o Teorema de Green, calcule as seguintes integrais de linha:

(a)$

x2y dx +xy3 dy , em que $ é o quadrado com vértices (0, 0), (1, 0), (1, 1) e (0, 1), orientado positivamente

(sentido horário);

(b)$(x + 2y) dx + (x ' 2y) dy , onde $ consiste do arco da parábola y = x2 de (0, 0) a (1, 1) e do segmento

de reta de (1, 1) a (0, 0) orientada positivamente (sentido horário).

(c)$(y + e

#x) dx + (2x + cos y2) dy , onde $ é a fronteira da região limitada pelas parábolas y = x2 e x = y2

percorrida no sentido anti-horário.

(d)$

x2y dx + y2 dy , $ é a curva x6 + y6 = 1, sentido anti-horário.

(e)$

xy dx +2x2 dy , $ consiste do segmento de reta unindo ('2, 0) a (2, 0) e da semi-circunferência x2 +y2 =

4, com y maior ou igual a 0 e orientada positivamente.

(f)$

2xy dx + x2 dy , $ é a cardióide r = 1 + cos(() orientada positivamente.


(g)$(xy + ex2

) dx + (x2 ' ln(1 + y)) dy , $ consiste do segmento de reta de (0, 0) a (', 0) e do arco da curva

y = sen(x), orientado positivamente.

(h)$

'"F · d'"r , onde '"

F (x , y) = (y2 ' x2y)'"i + xy2'"j e $ consiste do arco de circunferência x2 + y2 = 4, de

(2, 0) a (-

2,-

2), e dos segmentos de reta de (-

2,-

2) a (0, 0) e de (0, 0) a (2, 0).

(a) '1/12; (b) '1/6; (c) 1/3; (d) 0; (e) 0; (f) 0; (g) '; (h) ' +16

3

1-2' 1 .

4.1.2 Um Pouco de História

O Teorema de Green é assim chamado devido ao cientista inglês George Green (1793-1841), que o formuloue provou. Ele trabalhava em tempo integral na padaria de seu pai desde os 9 anos de idade e aprendeu sozinhoMatemática e Física com livros de biblioteca. Em 1828 ele publicou, com recursos próprios, seu trabalho maisimportante: “An Essay on the Application of Mathematical Analysis to the Theories of Eletricity and Magnetism”.Apenas 100 cópias foram feitas, as quais ele distribuiu entre seus amigos. Este trabalho contém uma formaequivalente do que hoje conhecemos como Teorema de Green, que foi pouco notado. Finalmente, aos 40 anos,Green ingressa na Universidade de Cambridge como um aluno de graduação. Em 1846, Willian Thomson (LordKelvin) descobre uma cópia do trabalho de Green, percebe sua importância e o republica em 1846, cinco anosdepois de sua morte. Green foi o primeiro a tentar formular uma teoria matemática para a eletricidade e omagnetismo. Seu trabalho foi a base para os trabalhos de Thomson, Stokes, Rayleigh e Maxwell sobre a teoriade eletromagnetismo.

4.2 Campos Conservativos em Domínios Simplesmente Conexos

No texto sobre Campos Conservativos vimos que se um campo '"F é conservativo, então ele tem um poten-

cial e, facilmente, se prova que rot'"F =

'"0 . Deixamos a seguinte pergunta sem resposta: podemos concluir

que quando rot'"F =

'"0 , o campo é conservativo, ou seja, que toda integral de linha do campo sobre uma curva

fechada é zero? Afinal, não é só aplicar o Teorema de Green usando a região interior à curva e concluir que aintegral de curvas fechadas dá sempre 0? Calma!

Considere o campo '"F =

'y'"i + x

'"j

x2 + y2cujo domínio é R2 \ {(0, 0)}. É fácil ver que rot

'"F =

'"0 , mas que

$

'"F d'"r = 2' para qualquer circunferência centrada na origem percorrida no sentido anti-horário. Basta

calcular para ver isto. O problema é o tipo de domínio do campo que tem um “buraco”. Então, a resposta é não,ou seja, não basta ver que o rotacional é zero para concluir que o campo é conservativo! Entretanto, quandoconsideramos regiões D sem “buracos”, então a resposta à nossa pergunta é sim!

Uma região D (de R2 ou R3) é dita simplesmente conexa se é conexa e se toda curva fechada, simples, lisapor partes, contida em D pode ser contraída continuamente a um ponto sem sair de D. Intuitivamente, umaregião assim, no R2, é a que não tem “buracos”.

E, assim, temos o seguinte resultado:

4.2 Teorema. Seja '"F um campo de classe C 1 definido num aberto simplesmente conexo D do R2. Se

rot'"F =

'"0 , então '"

F é conservativo.

Podemos, dessa forma, aplicar o Teorema de Green para obtermos o resultado acima.


Atenção! É válido, também, que se '"F é conservativo em um conjunto simplesmente conexo, então

rot'"F =

'"0 .

Podemos enunciar o teorema anterior para campos do R2 e do R3 da seguinte forma:

4.3 Proposição (para campos em R2). Seja '"F (x , y) = (P(x , y), Q(x , y)), um campo definido em um domínio D

e suponha que as derivadas parciais de P e Q sejam contínuas. Então '"F (x , y) é conservativo se, e somente

se, %P

%x=

%Q

%ye D é simplesmente conexo.

4.4 Proposição (para campos em R3). Seja'"F (x , y , z) = (P(x , y , z), Q(x , y , z), R(x , y , z)), um campo definido em

um domínio D e suponha que as derivadas parciais de P , Q e R sejam contínuas. Então '"F (x , y) é conservativo

se, e somente se, rot'"F e D é simplesmente conexo.

Atenção! Não existem “campos simplesmente conexos”. O domínio do campo que deve ser simples-mente conexo para que o resultado valha.

Nos dois exercícios a seguir, devemos observar que em campos cujo domínio não é simplesmente conexo,não implica que ele não seja conservativo. Leia as hipóteses do teorema: quando o domínio for simplesmenteconexo, então podemos dizer que, se o rotacional é nulo, então o campo é conservativo. Se o domínio não forsimplesmente conexo, nada podemos dizer.

ER 57. Verifique se o campo '"F (x , y) =

x'"i + y

'"j

x2 + y2é conservativo.

Solução: Alguns podem responder que não é conservativo, pois o domínio R2 \ {(0, 0)} não é sim-

plesmente conexo. Mas a resposta é sim, apesar deste fato. Isto se deve ao fato de que '"F (x , y) =

!ln(x2 + y2)

2.

ER 58. Verifique se o campo '"F (x , y) =

(x2 + y2)(x'"i + y

'"j )

x2 + y2 ' 1é conservativo.

Seu domínio é o conjunto D = {(x , y); x2 + y2 > 1}. Para mostrar que este campo é conservativo vamos

calcular a integral de linha deste campo sobre toda curva fechada e ver que é zero usando o teorema de

Green. Verifique que o rotacional do campo é nulo (lembre que se não fosse, o campo não poderia ser

conservativo!).

1o caso: tome uma curva $ fechada de forma que o disco de centro (0, 0) e raio 1 não está contido na

região interior a $, orientada no sentido anti-horário.

Aplicando o Teorema de Green, temos que

D

%Q

%x' %P

%ydA = 0 = %D

'"F · d'"r =

$

'"F · d'"r

2o caso: tome uma curva $ fechada, de forma que o disco de centro (0, 0) e raio 1 esteja contida na região

interior a $, orientada no sentido anti-horário.

Agora, para aplicarmos o teorema de Green, temos que considerar outra região. Tome a curva $ como

sendo uma circunferência de centro em (0, 0) e raio r > 1 e que contenha $ no seu interior. Agora, sim, para


a região R indicada vale que

0 =D

%Q

%x'

%P

%ydA =

!D

'"F · d'"r = $2

'"F · d'"r ' $

'"F · d'"r .

Note o sinal negativo por causa da orientação.

Sendo assim, temos que

$

'"F d'"r =

2"

0

r2

-r2 ' 1

[r cos(t)('r sen(t)) + r sen(t)(r cos(t))] dt = 0


EP 4.2. Considere o campo vetorial '"F (x , y) ='y

x2 + y2,

x

x2 + y2.

(a) Verifique que '"F é conservativo em qualquer região simplesmente conexa que não contém a origem e

calcule$

'"F d'"r , onde $ é uma curva fechada contida na referida região.

(b) Considere uma curva $ fechada, contornando a origem, e mostre que$

'"F '"r = 2'.

EP 4.3. Mostre que para um campo '"F contínuo num domínio aberto conexo tem-se que é conservativo se,

e somente se,$

'"F d'"r = 0 para qualquer curva lisa por partes fechada em D.

EP 4.4. Determine o trabalho realizado pelo campo de forças '"F (x , y) = x'"i + (y + 2)

'"j ao mover um ponto

ao longo da ciclóide '"r (t) = (t ' sen(t))'"i + (1 ' cos(t))

'"j , 0 + t + 2', 0 + t + 2'.

EP 4.5. Determine se os campos são conservativos. Em caso afirmativo, determine um potencial.

(a) '"F (x , y) = (2x ' 3y)'"i + (2y ' 3y)

'"j ;

(b) '"F (x , y) = (3x2 ' 4y)'"i + (4y2 ' 2x)

'"j ;

(c) '"F (x , y) = (x2 + y)'"i + x2'"j ;

(d) '"F (x , y , z) = y'"i + x

'"j +

'"k ;

(e) '"F (x , y , z) = x'"i + y

'"j + x

'"k ;

(f) '"F (x , y , z) = yz'"i ' z2'"j + x2'"k ;

(g) '"F (x , y , k) = yz'"i + (y2 + xz)

'"j + xy

'"k ;

(h) '"F (x , y , z) = zx'"i + xy

'"j + yz

'"k .

EP 4.6. (a) Se $ é o segmento de reta ligando o ponto (x1, y1) ao ponto (x2, y2), mostre que:

$x dy ' y dx = x1 · y2 ' x2 · y1.

(b) No sentido anti-horário, os vértices de um polígono são (x1, y1), (x2, y2), . . . , (xN , yN). Mostre que sua área

é dada por:

A =1

2[(x1y2 ' x2y1) + (x2y3 ' x3y2) + . . . + (xN$1yN ' xNyN$1) + (xNy1 ' x1yN)]

(c) Determine a área do pentágono de vértices (0, 0), (2, 1), (1, 3), (0, 2) e ('1, 1).

EP 4.7. Calcule$

'"F · d'"r para:

(a) '"F (x , y , z) = xy'"i ' y

'"j +

'"k , onde $ é o segmento unindo (0, 0, 0) a (1, 1, 1);


(b) '"F (x , y , z) = xy'"i ' y

'"j +

'"k , onde $(t) = (t, t2, t3), 0 + t + 1;

(c) '"F (x , y) = y'"i +(x2 + y2)

'"j , onde $ é o arco de circunferência $(x) = (x ,

-4 ' x2), ligando ('2, 0) a (2, 0);

(d) '"F (x , y) = (x +y)'"i +(x 'y)

'"j , onde $ é a elipse de equação x2

a2+

y2

b2= 1, percorrida uma vez em sentido

anti-horário;

EP 4.8. Calcule:

(a)$

x dx + y dy + z dz, sendo $ a intersecção das superfícies z = x2 + y2 e z = 2x + 2y ' 1, orientada de

modo que sua projeção no plano Oxy seja percorrida uma vez no sentido horário;

(b)$

2y dx + z dy +x dz, sendo $ a intersecção das superfícies 1 = x2 +4y2 e 1 = x2 + z2 , com y e z maiores

ou iguais a 0, percorrida uma vez do ponto (1, 0, 0) ao ponto ('1, 0, 0);

(c) dint$y dx + z dy + x dz, sendo $ a intersecção das superfícies x + y = 2 e x2 + y2 + z2 = 2x +2y , orientada

de modo que sua projeção no plano Oxz seja percorrida uma vez no sentido horário;

(d) $y dx + z dy + x dz, sendo $ a intersecção das superfícies z = xy e 1 = x2 + y2, orientada de modo que

sua projeção no plano Oxy seja percorrida uma vez no sentido horário;

EP 4.9. Calcule:

(a)$

2x dx + (z2 ' y2) dz, onde $ é o arco circular dado por x = 0, x2 + z2 = 4, de (0, 2, 0) a (0, 0, 2);

(b)$

(x + y) dx ' (x ' y) dy

x2 + y2, onde $ é a circunferência a2 = x2 + y2, percorrida uma vez no sentido horário;

(c)$

dx + dy

|x | + |y |, onde $ é o quadrado de vértices (±1,±1), percorrido uma vez no sentido horário;

(d)$

-y dx +

-x dy , sendo $ a fronteira da região limitada por x = 0, y = 1 e y = x2, percorrida uma vez no

sentido horário.

EP 4.10. Prove que o trabalho realizado pelo campo '"F (x , y) = x

'"i + xy

'"j é nulo ao longo de qualquer

circunferência com centro no eixo das abscissas. Pode-se concluir que '"F é conservativo?

EP 4.11. Considere o campo '"F (x , y) = cxy

'"i + x6y2'"j , c > 0, atuando sobre uma partícula que se move do

ponto (0, 0) até a reta x = 1 sobre a curva $, gráfico da função y = axb, com a > 0 e b > 0. Determine um valor

de c em termos de a e de b para que o trabalho realizado por '"F seja nulo.

EP 4.12. Um campo de vetores '"F em R2 é chamado de radial (ou central) se existe uma função g : R " R tal

que '"F (x , y) = g(|'"r |)'"r , onde '"r = x

'"i + y

'"j . Suponha que g é de classe C 1. Mostre que '"

F é conservativo.

EP 4.13. Determine todos os valores possíveis da integral

(2,2)

(1,0)

'y dx + x dy

x2 + y2

sobre um caminho que não passe pela origem.


4.3 Superfícies Parametrizadas

Uma curva é uma “linha” do plano ou do espaço que pode ser vista como um segmento deformado. Umasuperfície é uma região do espaço que pode ser vista como uma região plana deformada. O conjunto dospontos (x , y , z) do R3 tais que x = x(u, v), y = y(u, v) e z = z(u, v), onde (u, v) pertence a D, é chamado desuperfície parametrizada S . Estas equações são chamadas de equações paramétricas de S (ou apenas umaparametrização de S). Note que é como se pegássemos a região plana D e a deformássemos criando S . Comono caso das curvas, temos a equação vetorial de S que descreve as coordenadas dos pontos de S de formavetorial. Gráficos de funções de duas variáveis são sempre superfícies parametrizadas. De fato, se z = f (x , y),onde (x , y) pertence a D que é o domínio de f (D é uma região do plano xy ) uma parametrização do gráficode f (que está no R3) é x = u, y = v e z = f (u, v), para (u, v) em D.

Por exemplo, a equação vetorial '"r (u, v) = 2 cos(u)'"i + v

'"j + 2 sen(v)

'"k , com (u, v) em D = R2 descreve o

cilindro infinito de raio 2, com eixo no y . Se mudamos a região D e tomamos D = ['1, 1] $ [0, 4], temos outrasuperfície, que é uma parte da anterior.

As equações x = x(u, v) = 2 cos(u), y = y(u, v) = v e z = z(u, v) = 2 sen(v) são equações paramétricas deS , ou, como se diz, uma parametrização de S .

Note que, deixando u = u0 constante e fazendo v variar, temos, no plano uv , uma reta e na superfícieuma curva, r(u0, v). Analogamente, se fixamos v = v0, temos, variando v , a curva r(u, v0). Estas curvas sãochamadas de curvas coordenadas.

Um outro exemplo é a superfície parametrizada dada por r(u, v) = ((2+sen(v)) cos(u), (2+sen(v)) sen(u), u+

cos(v)), para (u, v) & [0, 4]$ [0, 2'](tente construir usando o software winplot). Observe as curvas coordenadas.

Uma questão natural é: a parametrização de uma superfície é única? Ou seja, só existe uma maneira dedescrever os pontos de uma superfície S usando duas variáveis? A resposta ...

Considere a parte superior da esfera x2+y2+z2 = a2, ou seja, z = a2 ' x2 ' y2 e observe as parametriza-ções:

i. tomando x = x(u, v) = u; y = y(u, v) = v e z = z(u, v) =-

a2 ' u2 ' v2, com (u, v) & D = {(u, v); u2 + v2 +a2.

ii. usando coordenadas esféricas x = x((, +) = a cos(() sen +y ; y = y((, +) = a sen(() sen + e z = z((, +) =

a cos+, em que D = [0, 2']$ [0, '].

Nota 29. Construindo-se o gráfico da superfície (parte superior de uma esfera) com o Winplot utilizando

as parametrizações obtidas, podemos observar uma diferença. No caso ii, as curvas coordenadas são

os meridianos e os paralelos. Já no caso i, temos que as curvas coordenadas são cortes por planos

paralelos aos planos x = 0 e y = 0. O gráfico deste não fica tão bom como no caso ii, exatamente pelo

tipo de parametrização usada.


EP 4.14. Use o winplot para esboçar o gráfico das seguintes superfícies parametrizadas. Identifique as

curvas coordenadas. Quais destas superfícies são gráficos de funções de duas variáveis f (x , y)? Quais são

superfícies conhecidas?

(a) x(u, v) = u cos(v), y(u, v) = u sen(v), z(u, v) = u2, com (u, v) em [0, 4]$ [0, '];


(b) x(u, v) = 1 + 2u, y(u, v) = 'u + 3v , z(u, v) = 2 + 4u + 5v , com (u, v) em ['3, 4]$ [0, 7];

(c) x(u, v) = sen(u) cos(v), y(u, v) = sen(u) sen(v), z(u, v) = cos(u)+ ln(tg(v/2)), com (u, v) em [0, 2']$ [1, 6.2]

(d) x(u, v) = cos3(u) cos3(v), y(u, v) = sen3(u) cos3(v), z(u, v) = sen3 v , com (u, v) em [0, '] $ [0, 2']

(e) x(u, v) = u sen(u) cos(v), y(u, v) = u cos(u) cos(v), z(u, v) = u sen(v) , com (u, v) em [0, 2'] $ [0, 2']

(f) x(u, v) = u, y(u, v) = u cos(v), z(u, v) = u sen(v), com (u, v) em [0, '] $ [0, ']

4.4 Área de uma Superfície

Até aqui, conhecemos fórmulas para calcular a área de algumas superfícies, como, por exemplo, a superfíciedo cilindro, do cone ou da esfera. Se S é uma superfície, como calcular a sua área?

Partiremos do seguinte exemplo: o telhado de uma estrutura tem o formato da superfície S dada por z =

2 ' y2

4para (x , y) & [0, 5]$ [0, 2].

Tomemos uma parametrização de S : X (u, v) = (x(u, v), y(u, v), z(u, v)), em que x = x(u, v) = u, y =

y(u, v) = v e z = z(u, v) = 2'v2

4, para (u, v) & D = [0, 5]$ [0, 2]. A fim de calcular a área deste telhado, vamos

dividi-lo em pequenos pedaços Si , tão pequenos que são quase planos. Mesmo assim, temos o problema decalcular a área destes pequenos pedaços de planos.

Assim, podemos pensar em cobrir nosso telhado com pequenos paralelogramos. O plano tangente podeajudar. Temos dois vetores que extraímos de cada curva coordenada que são tangentes a estas curvas, osquais possuem coordenadas:

'"X u =

%x

%u,%y

%u,%z

%ue '"

X v =%x

%v,%y

%v,%z

%v

Cada paralelogramo tem área

|'"X u!u $

'"X v !v | = |

'"X u $

'"X v |!u!v

No nosso caso: '"X u = (1, 0, 0), '"X v = 0, 1,'v

2e '"

X u $'"X v = 0,

v

2, 1 .

Portanto, a área do telhado é, aproximadamente, a soma das áreas de cada pequeno paralelogramo, isto é:

|'"X u $

'"X v |!u!v

Intuitivamente, podemos concluir que quanto menor a partição mais próximos estamos da área “real” dotelhado. Assim, nos parece que um valor que pode ser chamado de “área da superfície” é:

D

|'"X u $

'"X v | du dv

Portanto, a área do telhado é2

0

5

01 +

v2

4du dv .

Deixamos como exercício o cálculo desta integral.

Podemos concluir que, para uma superfície parametrizada S qualquer, é razoável encontrar a medida dasua área, como fizemos acima. Entretanto, temos alguns problemas. O paralelogramo '"

X u $'"X v )= '"

0 deve


ser conhecido e, além disso, a integral referida tem que existir. Desta forma, nos restringiremos a superfíciesparametrizadas S as quais certas condições são satisfeitas. Resumidamente, temos que ter uma região limitadae fechada D cuja fronteira é composta de um número finito de curvas lisas por partes, simples e fechadas, duasa duas disjuntas, com parametrização tal que '"

X u $'"X v )= '"

0 , no interior de D e biunívoca. Uma superfíciecomo esta chamaremos de superfície lisa parametrizada.

4.5 Definição. Seja S uma superfície lisa parametrizada dada por x = x(u, v), y = y(u, v ) e z = z(u, v), em

que (u, v) & D # R2. A área de S é dada pela integral

D

|'"X u $

'"X v | du dv ,

quando esta existir.

Nota 30. A definição de área de superfície não depende da parametrização de S .

Nota 31. Às vezes S não pode ser descrita globalmente usando apenas uma parametrização. Às vezes,

também, aquela que temos não satisfaz as condições (não é globalmente lisa). Se pudermos dividir S em

pedaços e calcular a área de cada um, basta, no final, somá-las, ou seja , se S = S1 2 S2 2 . . . 2 Sn, com

cada Sk superfície lisa parametrizada, então A(S) = A(S1) + A(S2) + . . . + A(Sn).

Podemos, então, com o que foi visto, concluir que se a superfície é o gráfico de uma função f (x , y), para(x , y) & D, região do R2, então uma parametrização natural é x = x , y = y e z = f (x , y) (não precisamos trocaro nome das variáveis) e a área da superfície é:

A(S) =

D

1 +%f

%x

2

+%f

%y

2

dA

ER 59. Calcule a área de parte do parabolóide z = x2 + y2 que está abaixo do plano z = 9.

Solução: O plano intercepta o parabolóide na circunferência x2 + y2 = 9; z = 9. Portanto, a superfície

que queremos é o conjunto dos pontos

S = {(x , y , z); (x , y) & D, z = x2 + y2},

em que D = {(x , y); 0 + x2 + y2 + 9}.

Logo, A(S) =

D

1 + (2x)2 + (2y)2 dA.

Usando coordenadas polares

A(S) =

D

1 + (2x)2 + (2y)2 dA =2"

0

3

0r 1 + 4r2 drdtheta = 2'

1

8

2

3(1 + 4r2)3/2

3

0=

'

6(37

-37 ' 1)

ER 60. Determine uma representação paramétrica da superfície S : toro obtido pela rotação da circunferência

no plano xz, com centro (b, 0, 0) e raio a < b, em torno do eixo z e calcule sua área.

Solução:

Uma parametrização para a superfície: x = (b + a cos(v)) cos(u), y = (b + a cos(v)) sen(u), z = a sen(v).


Segue que

|'"X u $

'"X v | =

'"i

'"j

'"k

' sen(u)(b + a cos(v)) cos(u)(b + a cos(v)) 0

'a cos(u) sen(v) 'a sen(u) sen(v) a cos(v)

= |a cos(u) cos(v)(b + a cos(v))'"i + a sen(u) cos(v)(b + a cos(v))

'"j + a sen(v)(b + a cos(v))

'"k |

= a(b + a cos(v))

Então

A(S) =2"

0

2"

0a(b + a cos(v)) du dv = 4'2ab.


EP 4.15. Calcule a área da parte da superfície z = 4 ' x2 ' y2 limitada por 0 + z + x2 + y2.

EP 4.16. Determine a área da região limitada pela hipociclóide dada por'"r (t) = cos3 t'"i +sen3 t

'"j , 0 + t + 2'.

4.5 Integrais de Superfície de Campos Escalares

4.6 Definição. Seja S um superfície parametrizada lisa com domínio D. Seja f (x , y , z) uma função real

contínua, definida em S . A integral de superfície de f em S é a integral dupla

D

f (x(u, v), y(u, v), z(u, v))|'"X u $

'"X v (u, v)| du dv

que é denotada porS

f dS .

Atenção: Note a presença do fator |'"X u $'"X v |.

4.5.1 Dispositivo Prático para o Cálculo do Fator

Como o fator |'"X u$'"X v | sempre aparece quando queremos calcular uma integral de superfície de um campo

escalar, é interessante termos um modo prático de obtê-lo.

Um cálculo simples mostra que |'"X u $

'"X v | =

-E · G ' F 2, onde E =

'"X u 5

'"X u , G =

'"X v 5

'"X v e F =

'"X u 5

'"X v .

De fato, quando f (x , y , z) = 1 a área de S é dada pela integral de |'"X u $

'"X v |.

ER 61. Calcule a massa da superfície S que é a fronteira da região limitada pelo cilindro x2 + z2 = 1 e pelos

planos y = 0 e x + y = 2, sendo a densidade f (x , y , z) = xy .

Solução: A superfície S é a união de 3 superfícies: o cilindro e as duas “tampas”, que chamaremos de

S2, S1 e S3, respectivamente, (veja o desenho). Então, a massa procurada é:

S

xy dS =S1

xy dS +

S2

xy dS +

S3

xy dS .


Calcularemos cada uma separadamente.

S1 : x = u, y = 0, z = v para, D1 o disco de raio 1. Temos que:

'"X u $

'"X v =

'"i

'"j

'"k

1 0 0

0 1 0

= (0,'1, 0)

Segue que

S1

xy dS =

D1

u · 0 du dv = 0

S3 : x = u cos(v), y = 2 ' u cos(v), z = u sen(v), para (u, v) em [0, 1]$ [0, 2']. Temos que:

'"X u $

'"X v =

'"i

'"j

'"k

cos(v) cos(v) sen(v)

'u sen(v) 'u sen(v) u cos(v)

= (u,'u, 0)

Segue que

S2

xy dS =

D2

u cos(v)(2 ' cos(v))-

2u du dv

=-

22"

0

1

0(2u2 cos(v) ' u3 cos2(v)) du dv

=2"

0

2 cos(v)

3' cos2(v)

4dv

='-

2

4'

S2 : x = cos(u), y = v , z = sen(u), para u & [0, 2'] e v & [0, 2 ' cos(u)]. Temos que

'"X u $

'"X v =

'"i

'"j

'"k

sen(u) 0 cos(u)

0 1 0

= (' cos(u), 0,' sen(u))

Segue que

S

xy dS =

D2

v cos(u) du dv

=2"

0

2$cos(u)

0v cos(u) dv du

=2"

0

(2 ' cos(u))2

2cos(u) du

=1

2

2"

04 cos(u) ' 4 cos2(u) + cos3(u) du

=1

20 + 4

u

2+

sen 2u

4

2

0+ sen(u) ' sen3(u)

3

2"

0

= '2'

Portanto,S

xy dS = '2' '-

2

4'.

ER 62. CalculeS

x + 1 dS , em que S é a parte de z = x2 + y2 limitada por x2 + y2 = 2y .


Solução: Inicialmente, esboce a superfície utilizando o software winplot:

Agora, vamos mostrar duas maneiras de parametrizar a superfície.

1a maneira: temos o gráfico de uma função e então podemos parametrizar da forma x = u, y = v e

z =-

u2 + v2, em que (u, v) pertencem à região D (disco de centro (0, 1) e raio 1). Como vimos antes, nesta

situação temos que:

|'"X u $

'"X v | = 1 +

u-u2 + v2

2

+v-

u2 + v2

2

=-

2

Portanto,

S

x + 1 dS =

D

(u + 1)-

2 du dv .

O mais indicado, agora, é fazer a seguinte mudança de coordenadas: u = r cos((), v = 1 + r sen((), para

r & [0, 1] e ( & [0, 2']. Logo

D

(u + 1)-

2 du dv =-

22"

0

1

0(r cos(() + 1)r drdtheta =

-2

2"

0

cos(()

3+

1

2dtheta =

-2'

2a maneira: podemos parametrizar S da forma x = u cos(v), y = u sen(v) e z = u, onde v varia em [0, ']

e u varia em [0, 2 sen(v)] (pois x2 + y2 = 2y se, e só se, u2 = 2u sen(v)). Então, neste caso,

'"X u $

'"X v =

'"i

'"j

'"k

cos(v) sen(v) 1

'u sen(v) 'u cos(v) 0

= ('u cos(v),'u sen(v), u)

Segue que |'"X u $

'"X v | = u

-2 e, portanto,

S

x + 1 dS =

D

(u cos(v) + 1)u-

2 du dv =-

2"

0

2 sen(v)

0u2 cos(v) + u du dv

="

0

8 sen3(v) cos(v)

3+ 2 sen2(v) dv =

-2

3 sen4(v)

4+ 1 ' sen(2v)

4

"

0

=-

2'

4.6 O Teorema de Gauss

O teorema de Gauss, também conhecido como o teorema da divergência, permite-nos relacionar integraisde superfície com os integrais triplos já estudados anteriormente.

Seja T uma região fechada e limitada no espaço, cuja fronteira é uma superfície S orientável ou, então, sepode decompor num conjunto finito de superfícies orientáveis. Seja '"

F (x , y , z) uma função vetorial contínua,com primeiras derivadas parciais contínuas num dado domínio que contém T . Nestas condições, temos que

T

÷'"F dV =

S

'"F '"n dA,

em que '"n é o versor normal que aponta para fora da superfície S . Em coordenadas cartesianas, podemosescrever

T

dFx

dx+

dFy

dy+

dFz

dzdx dy dz =

S

F1 dy dz + F2 dz dx + F3 dx dy .


Curiosidade! O teorema de Gauss é resultado de ligações entre a divergência de um campo vetorial e ovalor da integral de superfície do fluxo definido pelo campo. Ele é um importante resultado que aFísica utiliza, em particular, na Eletrostática e na Dinâmica dos Fluidos.

ER 63. Determine o integralS

(x3 dx dy + x2y dx dy + x2z dx dy), onde S é a superfície fechada delimitada

pelo cilindro x2 + y2 = a2, 0 + z + b e respectivas bases circulares.

Solução: Temos que ÷'"F = ! ·

'"F = 5x2. Em coordenadas cilíndricas, e utilizando o teorema de Gauss,

podemos escrever:

T

5x2 dx dy dz = 5b

0dz

a

0*2* d*

2"

0d+ cos2(+) =

5

4ba4

2"

0d+ cos2(+) =

5

4'ba4.

ER 64. Verifique o teorema de Gauss na integralS

(7x'"i 'z

'"k ) ·'"n dA, onde S é a superfície x2+y2 +z2 = 4.

Solução: Uma vez que ÷'"F = ! ·

'"F = 6, pelo teorema de Gauss, podemos escrever que o integral

vale 64

3'23 = 64'. Para calcular a integral de superfície, diretamente, podemos utilizar a representação

paramétrica da superfície esférica e calcular a integral para a = 2. Temos que,

'"r (u, v) = 2 sen(u) cos(v)'"i + 2 sen(u) sen(v)

'"j + 2 cos(u)

'"k ,

em que 0 + u + ' e 0 + v + 2'.

Através de um cálculo direto, obtém-se:

'"r u(u, v) = 2 cos(u) cos(v)'"i + 2 cos(u) sen(v)

'"j ' 2 sen(u)

'"k

'"r v (u, v) = '2 sen(u) sen(v)'"i + 2 sen(u) cos(v)

'"j ' 2 sen(u)

'"k

Segue que,

'"N = '"r u $'"r v = [4 sen2(u) cos(v)]

'"i + [4 sen2(u) sen(v)]

'"j + [4 cos(u) sen(u)]

'"k .

Na superfície S , o campo '"F = 7x

'"i ' z

'"k possui a seguinte representação paramétrica:

'"F = 14 sen(u) cos(v)

'"i ' 2 cos(u)

'"k .

Sendo assim, a área da superfície esférica é dada por (4 sen3(u) = 3 sen(u) ' sen(3u)),

S

'"F ·'"n dA =

S

'"F ·

'"N du dv =

2"

o

dv"

0du[56 sen3(u) cos2(v) ' 8 sen(u) cos2(u)] = 64'.

4.7 O Teorema de Stokes

O teorema de Stokes nos permite transformar as integrais de linha em integrais de superfície e vice-versa.


4.7 Teorema (de Stokes). Considere, então, S uma superfície orientada no espaço, que é lisa ou, então,

decomponível em um número finito de superfícies orientadas lisas. Seja C a fronteira de S , constituindo uma

curva fechada lisa ou, então, decomponível num número finito de curvas lisas. Seja '"F (x , y , z) uma função veto-

rial contínua, com primeiras derivadas parciais contínuas num dado domínio que contém S . Nestas condições,

temos que:

S

(!$'"f ) ·'"n dA =

'"F · d'"r ,

em que '"r é um versor normal a S de acordo com o sentido de circulação em C

Nota 32. É importante não esquecer que o teorema de Stokes se aplica a superfícies abertas, pois só

neste caso se estabelece inequívocamente uma curva delimitadora.

Do teorema de Stokes se torna evidente que, se uma função vetorial pode ser escrita como o gradientede uma função escalar, então a integral ao longo de qualquer circuito fechado é zero. Voltamos a encontrarfunções cuja integral de linha não depende da trajetória que liga os pontos inicial e final - são as denominadasfunções conservativas.

ER 65. Verifique o teorema de Stokes para o campo'"F = y'"i +z

'"j +x

'"k , onde S é o parabolóide z = 1'x2'y2,

z , 0

Solução:

Determinemos, primeiramente, a integral de linha. O contorno C é a circunferência de raio unitário no

plano xy .'"r (t) = cos(t)

'"i + sen(t)

'"j * '"r "(t) == sen(t)

'"i + cos(t)

'"j

Logo,C

'"F · d'"r =

2"

0[sen(t) · (' sen(t))] dt = ''. Para determinar a integral de superfície precisamos

calcular ! $'"F = ''"

i ' '"j '

'"k . Para calcular um vetor normal à superfície, basta recordar que esta é a

superfície equipotencial w = 0 do campo escalar w = 1 ' x2 ' y2 ' z. Sendo assim,

'"N = !w = wx

'"i + wy

'"j + wz

'"k = '2x

'"i ' 2y

'"j '

'"k .

No ponto de coordenadas 1

2,1

2,1

2o vetor '"N aponta para o interior do parabolóide. Isso significa que

o sentido de '"N não está de acordo com o sentido de circulação de C . Portanto, ou mudamos o sentido de '"

N

ou, então, ficamos desde já sabendo que vamos obter o simétrico do resultado pretendido. Podemos, assim,

escrever:

S

(!$'"F ) ·'"n dA =

S

(!$'"F ) ·

'"N dx dy =

S

(2x + 2y + 1) dx dy .

A solução é mais simples se convertêssemos a integral para coordenadas cilíndricas. Obtemos, portanto:

S

(!$'"F ) ·'"n dA =

2"

0d+

1

0* d*(2* cos(+) cos(+) + 2* sen(+) + 1) = ',

que é o resultado simétrico, como se pretendia.



EP 4.17. Determine, utilizando o teorema de Gauss, a integral de superfícieS

'"F · '"n dA, em que S é a

superfície do paralelepípedo de limites 0 + x + 3, 0 + y + 2 e 0 + z + 1.

EP 4.18. Determine a integralS

(! $'"F ) · '"n dA por integração direta, em que S é o quadrado de limites

0 + x + 1, 0 + y + 1, z = 1 e '"F = 2z2'"i + 3x

'"j .

EP 4.19. Mostre a validade do teorema de Stokes na questão anterior.

4.8 Um Pouco da História das Funções de Várias Variáveis

Durante o século XVI, a matemática estava se desenvolvendo para resolver problemas nas ciências físicas.Como o mundo físico é multidimensional (isto é, três dimensões espaciais e o tempo), muitas das quantidadesusadas nestes modelos aplicados eram de várias variáveis. A Astronomia era uma área da ciência que erarica neste tipo de matemática de várias variáveis. Por isso, o cenário estava sendo montado por astrônomose matemáticos para o desenvolvimento de funções de várias variáveis e, finalmente, para o cálculo de váriasvariáveis.

Galileu (1564–1642) tentou aplicar a Matemática ao seu trabalho em Astronomia, cinemática e resistênciados materiais. Pelo seu trabalho nestas áreas, é, freqüentemente, chamado de fundador da mecânica e Físicamoderna.

O astrônomo, matemático e físico alemão Johannes Kepler (1571–1630) contribuiu grandemente atravésdo desenvolvimento das suas três leis do movimento planetário. Estes resultados mudaram a Astronomia edesempenharam um papel crucial no desenvolvimento da física newtoniana e do cálculo. Seu trabalho ajudoua desacreditar o modelo geocêntrico de Ptolomeu e ajudou a estabelecer a teoria heliocêntrica de Copérnico.Também, montou o cenário para o surgimento da matemática aplicada em várias variáveis.

Depois do desenvolvimento do cálculo de uma variável no século XVII, sua aplicação para resolver proble-mas em um mundo multidimensional resultou na necessidade de generalização para incluir funções de mais deuma variável e cálculo de várias variáveis. O que seriam os análogos da derivada e da integral para funçõesde mais de uma variável?

Jean d’Alembert (1717–1783) desenvolveu e usou o cálculo de várias variáveis para lidar com métodos pararesolver equações diferenciais e movimento de corpos considerando a resistência do meio. De várias maneiras,usou os trabalhos de Newton, L’Hospital e dos Bernoulli para estender os conceitos de cálculo para váriasvariáveis. D’Alembert pesquisou nesta área e publicou muitos trabalhos em matemática e física matemática.Seu trabalho principal foi o Traité de dynamique (1743), o qual ajudou a fazer com que a diferenciação parcialfizesse parte do cálculo.

Próximo na linha de refinamento e uso do cálculo de várias variáveis foi Joseph Louis Lagrange (1736–1813). Este aplicou seu conhecimento de cálculo à mecânica. Foi muito produtivo nesta área aplicada daMatemática. Seus principais trabalhos foram sobre as equações de movimento e no entendimento da energiapotencial. Lagrange também foi o primeiro a desenvolver os métodos de hoje para encontrar máximos e míni-mos usando cálculo. Seu trabalho em otimização em várias variáveis resultou na técnica que agora chamamosde multiplicadores de Lagrange. Ele tinha apenas 19 anos quando inventou estes métodos e até muito maistarde em sua vida ainda os considerava como seu melhor trabalho em Matemática. Publicou Mécanique an-alytique (1787), no qual aplicou cálculo de várias variáveis ao movimento e às propriedades de objetos noespaço.


Colega de Lagrange, o astrônomo e matemático Pierre-Simon Laplace (1749–1827), se sobressaiu ao re-solver, ainda jovem, um problema de gravitação mútua que tinha frustrado Euler e Lagrange. Seu trabalhocontribuiu para a análise do sistema solar. Laplace generalizou as leis da mecânica para sua aplicação aomovimento e às propriedades de corpos celestes, por isso precisou e desenvolveu resultados em cálculo devárias variáveis. Seu famoso tratado sobre este assunto foi intitulado Mécanique celeste.

Em 1782, Adrien Legendre (1752–1833) venceu um prêmio de pesquisa da Academia de Berlim com seutrabalho sobre balística exterior. Analisou a curva descrita pelas bolas de canhão, levando em consideraçãoa resistência do ar e desenvolveu relações para alcance dadas as velocidades iniciais. Legendre pôde de-senvolver estas equações a partir de seu trabalho avançado em equações diferenciais e cálculo de váriasvariáveis.

Sylvestre François Lacroix (1765–1843) escreveu um tratado importante sobre cálculo em 1797. Em seulivro, unificou e generalizou muitos métodos para incluir cálculo de várias variáveis. Enquanto Lacroix seguiumuitos dos fundamentos estabelecidos por Euler, também incorporou resultados obtidos no final do séculoXVIII ao seu texto. Seu tratado expandiu o papel do cálculo de várias variáveis nas ciências.

O matemático francês Joseph Fourier (1768–1830) também aplicou cálculo para resolver problemas práticosem ciência. Por sua habilidade, foi selecionado por Napoleão para ir numa expedição ao Egito como consultortécnico em engenharia e pesquisa técnica. Posteriormente, Fourier continuou sua pesquisa matemática usandoseu entendimento de derivadas parciais e de cálculo de várias variáveis. Fourier fez contribuições para o estudoe cálculo de difusão de calor e para a solução de equações diferenciais. Muito daquele trabalho aparece emseu influente livro Théorie analytique de la chaleur.

À frente daqueles que contribuíram para o cálculo de várias variáveis estava Carl Friedrich Gauss (1777–1855). As conquistas de Gauss em ciências e, especialmente, na Matemática, foram assombrosas. Seudesenvolvimento de uma teoria de órbitas planetárias foi publicado em 1809. Gauss desenvolveu e provou oTeorema da Divergência enquanto trabalhava na teoria de gravitação, mas suas anotações não foram publi-cadas até muitos anos depois, por isso foi dado crédito a outros pelo desenvolvimento e prova deste importanteresultado de várias variáveis. O teorema é, algumas vezes, chamado de Teorema de Gauss. Gauss desen-volveu resultados que estabeleceram a teoria do potencial como um ramo coerente da Matemática.

Mikhail Ostrogradsky (1801–1862) foi o primeiro a publicar uma prova do teorema da divergência. Ostro-gradsky deixou a Rússia para Paris, em 1822, onde encontrou Laplace, Legendre, Fourier, Poisson e Cauchy.Enquanto trabalhava na teoria do calor, na metade da década de 1820, formulou o teorema da divergênciacomo uma ferramenta para tornar integrais de volume em integrais de superfície.

O matemático francês Siméon Poisson (1781–1840) estudou com Lagrange e Laplace, fazendo seus trabal-hos iniciais em mecânica. Utilizou a matemática nas aplicações de elasticidade e vibrações.

O famoso matemático Augustine Cauchy (1789–1857) construiu sobre os conceitos de várias variáveis noMécanique céleste de Laplace e no Traité des functions analytiques de Lagrange. Em 1816, resolveu umproblema de hidrodinâmica a respeito da propagação de ondas sobre a superfície de um líquido. Usou seusconhecimentos de diferenciação parcial e de integrais de linha para analisar soluções e propriedades dasequações diferenciais parciais.

O matemático aplicado Carl Jacobi (1804–1851) desenvolveu a teoria de determinantes e transformaçõesem uma ferramenta poderosa para avaliar integrais múltiplas. Também aplicou métodos de transformação paraestudar integrais como as que surgiram no cálculo do comprimento de arco.

O trabalho de George Green (1793–1841) sobre os fundamentos matemáticos da gravitação, da eletricidadee do magnetismo foi publicado em 1828 em um pequeno livro intitulado An Essay on the Application of Mathe-matical Analysis to Electricity and Magnetism. A matemática de Green deu a base na qual Thomson, Stokes,Rayleigh, Maxwell e outros construíram a teoria atual do eletromagnetismo.


Central a este desenvolvimento foi o cálculo de várias variáveis, resultado que agora chamamos de Teoremade Green. George Stokes (1819–1903) aplicou o cálculo de várias varáveis para estudar hidrodinâmica, elasti-cidade, luz, gravitação, som, calor, meteorologia e física solar. Ele não foi o primeiro a desenvolver o teoremaintegral que agora chamamos de Teorema de Stokes; ele o aprendeu de Thomson, em 1850, e, poucos anosdepois, incluiu entre questões de um exame. Desde então tornou-se conhecido como Teorema de Stokes.

Bernhard Riemann (1826–1866) trabalhou com o físico Wilhelm Weber (1804–1891), introduzindo as idéiasbásicas da geometria diferencial. Continuou a estudar e contribuir com o cálculo de várias variáveis aplicandoresultados em dinâmica e física computacional.

Similarmente, Josiah Willard Gibbs (1839–1903), que nasceu em Connecticut e estudou em Yale, trabal-hou em problemas de ciência aplicada em física matemática. Suas contribuições foram em termodinâmica,eletromagnetismo e mecânica.

Sonya Kovalevsky (1850–1891), a matemática russa mais conhecida do final do século XIX, aprendeumatemática lendo papel de parede de um quarto que consistia de páginas de um texto matemático do cál-culo diferencial e integral de Ostrogradsky. Ela trabalhou, principalmente, na teoria de equações diferenciaisparciais.

Trabalhos posteriores de cientistas e matemáticos aplicados no final do século XIX e no século XX refinaramresultados anteriores de várias variáveis e utilizaram estas técnicas em várias áreas de ciência e engenharia.

O físico James Maxwell (1831–1879) usou ferramentas de várias variáveis como a divergência, o rotacional,fluxo e potencial para avançar no entendimento de ótica, luz, eletricidade e magnetismo.

Ernst Mach (1838–1916) usou muitas destas mesmas ferramentas para produzir novos resultados emmecânica, termodinâmica e Física. Seu trabalho influenciou trabalhos posteriores de Albert Einstein em Físicae relatividade.

O matemático italiano Guido Fubini (1879–1943) avançou ambos os aspectos, aplicado e teórico, do cálculode várias variáveis. Seu trabalho aplicou Matemática à ciência e à engenharia. Ele provou o método de avaliarintegrais iteradas, que tem o seu nome, e utilizou os resultados em mecânica e física.

Gabarito

4.4 2"2. 4.6 (c) 9/2. 4.8 (a) 0, (b) 0, (c) $2"#

2, (d) ". 4.15"

6[173/2 $ 27]. 4.16 3"/8. 4.17 4.18 4.19


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02-funcoesdevariasvariaveis

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