0.1 leis de newtonfisica1.if.ufrj.br/.../html_2016_2/listas/probcap45gabarito.pdf · como o livro...
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0.1 Leis de Newton 1
0.1 Leis de Newton
1. (a) Pela Terceira Lei de Newton, o módulo da força que um corpo exerce sobre o outro
é igual a força que outro exerce sobre um. Se Fabrício empurra Maurício é porque o
primeiro exerce uma força sobre o solo maior do que aquela que o segundo exerce
sobre o solo.
(b) Para haver mudança na velocidade de um objeto é preciso haver uma aceleração.
De acordo com a Segunda Lei de Newton, para haver aceleração em uma direção é
preciso haver uma força atuando nessa direção. Quando a bola quica no gramado, a
única força que atua na direção do movimento horizontal da bola é a de atrito entre a
grama e bola. Uma vez que a força de atrito atua sempre no sentido contrário ao do
movimento, essa força só pode diminuir o módulo da velocidade e jamais aumentá-
lo. Por outro lado, na grama molhada o coeficiente de atrito diminui e quando a bola
quica ela perde menos velocidade do que no caso de o gramado estar seco. Por ela
perder menos velocidade que o normal, há uma impressão equivocada de que ela
ganhe velocidade.
(c) O vetor velocidade da partícula aponta sempre na direção tangente à trajetória. Por-
tanto, apesar de ter sempre o mesmo módulo, como ele muda de direção, o vetor
não é constante.
2. (a) As forças que atuam no livro são: o peso, a normal, a força que o mantém pressio-
nado contra a parede e o atrito.
~F
~P
~N
~Fat
(b) As força peso e F tem módulos
|~P | = mg e |~F | = F
0.1 Leis de Newton 2
Como o livro está em repouso, a componente vertical da Segunda Lei de Newton
fornece
~Fat + ~P = 0 ⇒ |~Fat| = mg
Já a componente horizontal da Segunda Lei de Newton nos fornece
~F + ~N = 0 ⇒ | ~N | = F
3. (a) A Segunda Lei de Newton aplicada ao movimento desta partícula nos leva à seguinte
equação diferencial:
max = −kx+ F0 , (0.1)
ou, ainda, na forma
d2x
dt2+ ω2x =
F0
m, com ω =
√
k/m . (0.2)
(b) Devemos verificar se a equação anterior se torna uma identidade matemática quando
nela substituimos cada um dos movimentos dados no enunciado.
(i) Por subsituição direta, obtemos nesse casod2xi
dt2+ω2xi = 0 e, portanto, esse não
é um movimento possível da partícula. (ii) Por substituição direta, e observando que
cos(ωt) satisfaz à equação
(
d2
dt2+ ω2
)
cos(ωt) = 0 , (0.3)
temos(
d2
dt2+ ω2
)[
F0
kcos(ωt) +
F0
k
]
= 0 +ω2F0
k=
F0
m. (0.4)
Portanto, concluímos que esse é um movimento possível da partícula, pois satisfaz
à equação de movimento imposta pela Segunda Lei de Newton.
(iii) Repetindo o cálculo do item anterior, fica evidente que esse não é um movi-
mento possível da partícula, pois o sinal do termo F0/k está trocado.
4. (a) A equação cartesiana da trajetória é obtida eliminando-se o tempo das expressões
de x e y e relacionando diretamente essas coordenadas num instante qualquer. Da
0.1 Leis de Newton 3
equação para x temos gt2 = 20x, de forma que a segunda equação pode ser escrita
como
y = h− 2
520x = h− 8x . (0.5)
A equação anterior mostra que a trajetória da partícula é retilínea. Um trecho dessa
trajetória está indicado na figura. Nela, também indicamos por meio de uma seta o
sentido do movimento da partícula.
x
y
h/8
h
(b) Derivando a posição (vetorial) da partícula em relação ao tempo, obtemos a sua
velocidade
~v =d~r
dt=
gt
10ı̂− 4gt
5̂ . (0.6)
(c) Derivando a velocidade (vetorial) da partícula em relação ao tempo, obtemos a sua
aceleração
~a =d~v
dt=
g
10ı̂− 4g
5̂ . (0.7)
(d) A partir da Segunda lei de Newton (~Fr = m~a), vemos facilmente que
~Fr =mg
10ı̂− 4mg
5̂ . (0.8)
Como a força resultante é dada pela soma da força ~F , pedida no problema, com a
força peso, temos,
~Fr = ~F +m~g = m~a =⇒ ~F = m~a−m~g . (0.9)
Substituindo na equação anterior a expressão da aceleração dada por (0.7) e escre-
vendo ~g = −g ̂, obtemos
~F =mg
10ı̂− mg
5̂ . (0.10)
0.1 Leis de Newton 4
5. Embora o raio de cada órbita circular seja R, a distância entre as duas estrelas é sempre
2R. Aplicando a Segunda Lei de Newton para uma estrela qualquer, obtemos,
Gm2
(2R)2= mω2R = m
4π2
T 2R , (0.11)
onde usamos o fato de que a aceleração de uma partícula num movimento circular uni-
forme de raio R e freqüência angular ω tem módulo ω2R. Isolando m, obtemos,
m =16π2R3
T 2. (0.12)
6. (a) A Segunda Lei de Newton para o satélite é
m~a = −GmM
r2r̂ , (0.13)
onde denotamos por ~a a aceleração do satélite.
(b) Derivando a posição ~r = Rcos(ωt)̂ı + R sen(ωt)̂ em relação ao tempo, obtemos a
velocidade ~v = −ωR sen(ωt)̂ı + ωRcos(ωt)̂ı e a aceleração ~a = −ω2Rcos(ωt)̂ı −ω2R sen(ωt)̂ı. Portanto, temos ~a = −ω2~r. Obtemos, também,
r = |~r| =√
R2cos2(ωt) +R2 sen2(ωt) = R
Substituindo essas expressões para ~a e r na Segunda Lei de Newton (0.13), obtemos
−mω2~r = −GmM
R2r̂ ⇐⇒ ω2 =
GM
R3(0.14)
que é a relação entre ω, R, M e G que faz com que ~r = Rcos(ωt)̂ı+R sen(ωt)̂ı seja
um possível movimento desse satélite. Esse movimento tem período T = 2π/ω.
Portanto, usando a relação entre ω, R, M e G, obtemos T = 2π/√
GM/R3, ou
seja, T = 2π√
R3/(GM).
(c) Da função ~r = ~b + ~vt, obtemos que a aceleração é nula em qualquer instante,
~a = ~0. Também obtemos que, em diversos instantes, ~r = ~b + ~vt não é um vetor
nulo. Conseqüentemente, nesses instantes, o membro esquerdo da Segunda Lei de
Newton (0.13) é nulo e o membro direito não é nulo. Portanto, a função ~r = ~b+ ~vt
não satisfaz à Segunda Lei de Newton e, por isso, não é um movimento possível do
satélite.
0.1 Leis de Newton 5
7. Designando por m1 e m2 as respectivas massas dos satélites 1 e 2, a aplicação da Segunda
Lei de Newton aos movimentos dos dois nos permite escrever
GMm1
R2= m1
v21
R=⇒ v1 =
√
GM
R; (0.15)
GMm2
(4R)2= m2
v21
4R=⇒ v2 =
√
GM
4R. (0.16)
Dividindo a equação (0.15) pela equação (0.16), obtemos a razão desejada,
v1v2
=√4 = 2 . (0.17)
Problemas envolvendo forças vinculares
8. Como o bloco está em repouso, a Segunda Lei de Newton nos permite escrever
T cosθ − fat = 0 =⇒ fat =
√3
2T (0.18)
T senθ +N −mg = 0 =⇒ N = mg − 1
2T , (0.19)
onde N , fat e g são, respectivamente, os módulos da reação normal exercida pela super-
fície sobre o bloco, da força de atrito e da aceleração da gravidade, e já usamos o fato de
que θ = 30o. Note que, à medida que T aumenta, o valor de fat necessário para manter o
bloco em repouso também aumenta. Já o valor de N diminui, à medida que T aumenta.
Como o valor máximo para fat é µeN , esse valor também diminui à medida que T au-
menta. Ou seja, a partir de um certo valor crítico, denotado por Tc, o bloco entra em
movimento. Quando T = Tc, temos fat = µeN , de modo que as equações anteriores nos
levam ao resultado
µe
(
mg − 1
2Tc
)
=
√3
2Tc =⇒ Tc =
2µemg
µe +√3. (0.20)
9. (a) As forças sobre o bloco são a normal ~N exercida pela superfície lisa da cunha e o
peso m~g exercido pela Terra, conforme indicado na figura seguinte.
0.1 Leis de Newton 6
θ
M
m
~N
m~g
(b) As forças sobre a cunha são a normal ~N ′ exercida pela superfície do tablhado, a
força de atrito ~fe, também exercida pela superfície do tablado, o peso M~g exercido
pela Terra e a força − ~N exercida pelo bloco (que é a reação da forca ~N exercida
sobre o bloco pela cunha). Essas forças estão indicadas na figura seguinte.
θ
M
~fe
~N ′ m
− ~NM~g
(c) Na próxima figura, à esquerda, temos o diagrama das forças que agem sobre a cunha.
A direção de ~N é perpendicular à rampa inclinada da cunha e a direção do peso é
perpendicular à horizontal. Como o ângulo que a rampa faz com a horizontal é θ,
concluímos que o ângulo entre − ~N e M~g também é θ. Aplicando a Segunda Lei de
Newton à cunha, temos na direção horizontal
fe = N senθ . (0.21)
~fe
~N ′
− ~N M~g
θ
~N
m~g
θ
0.1 Leis de Newton 7
À direita, temos o diagrama de forças que agem sobre o bloco. O ângulo entre
normal e peso é determinado como no diagrama para a cunha. Aplicando ao bloco
a Segunda Lei de Newton, temos na direção da normal ~N a seguinte condição de
equilíbrio,
N = mg cos θ . (0.22)
Substituindo esse resultado em (0.21), obtemos a resposta para o módulo da força
de atrito ~fe,
fe = mg senθ cos θ . (0.23)
(d) Aplicando novamente a Segunda Lei de Newton à cunha temos, agora na direção
vertical, a seguinte condição de equilíbrio,
N ′ = Mg +N cos θ . (0.24)
Substituindo nessa equação o valor de N encontrado em (0.22), obtemos
N ′ = Mg +mg cos θ cos θ = (M +m cos2 θ)g , (0.25)
que é o valor procurado do módulo da normal ~N ′.
10. (a) As forças sobre o bloco são o peso m~g e a reação do plano inclinado, que de-
compomos na normal ~N e na força de atrito estático ~f , conforme indicadas na
figura que aparece abaixo. Aplicando a Segunda Lei de Newton ao bloco, temos
X
Y
m~g
~f~N
θ
θ
θ
~f + ~N + m~g = m~a, onde ~a é a aceleração horizontal comum ao bloco à rampa e
0.1 Leis de Newton 8
ao caminhão. Vamos escolher um eixo OX na direção e sentido da aceleração ~a e
o eixo O† vertical, apontando para cima. Decompondo a Segunda Lei de Newton
segundo esses eixos, obtemos as equações
f cos θ −N sen θ = ma e f sen θ +N cos θ = mg . (0.26)
Multiplicando ambos os membros da primeira equação por cos θ, ambos os mem-
bros da segunda por sen θ e somando membro a membro as equações resultantes,
chegamos a f(cos 2θ + sen 2θ) = m(a cos 2θ + g sen 2θ), isto é,
f = m(a cos θ + g sen θ) . (0.27)
Agora, multiplicando ambos os membros da primeira equação por sen θ, ambos os
membros da segunda por cos θ e subtraindo membro a membro a primeira equação
resultante da segunda, obtemos N(cos 2θ + sen 2θ) = m(g cos θ − a sen θ), ou seja,
N = m(g cos θ − a sen θ) . (0.28)
A normal ~N é perpendicular à rampa e aponta no sentido da rampa para cima. O
atrito ~f tem a direção inclinada da rampa, no plano vertical que contém a aceleração,
e sentido de subida da rampa.
(b) A força de atrito estático satisfaz á desigualdade f ≤ µe N . Substituindo nela os
resultados (0.27) e (0.28), obtemos m(a cos θ + g sen θ) ≤ µe m(g cos θ − a sen θ),
donde a (cos θ + µe sen θ) ≤ g(µe cos θ − sen θ) e, conseqüentemente,
a ≤ µe − tg θ
1 + µe tg θg , isto é , amax =
µe − tg θ
1 + µe tg θg . (0.29)
Se a aceleração ultrapassar esse valor máximo a força de atrito estático não é capaz
de arrastar o bloco para frente com aceleração a e, conseqüentemente, ele começa
a deslizar plano abaixo. Notemos que, de acordo com o enunciado, temos tg θ <
tg θc = µe, o que impede a situação absurda de termos em (0.29) uma grandeza
positiva, o módulo a da aceleração, menor ou igual a uma grandeza negativa.
11. Por conveniência, repetimos a figura do enunciado.
0.1 Leis de Newton 9
θ~a
(a) Usando a Segunda Lei de Newton e supondo que seja nula a força de atrito, temos
N senθ = ma (0.30)
N cosθ = mg , (0.31)
onde N = | ~N |, a = |~a| e g é o módulo da aceleração da gravidade. Dividindo a
primeira equação pela segunda, obtemos
a = g tan θ . (0.32)
(b) Para que o bloco permaneça sem deslizar sobre a superfície da rampa mesmo quando
a assumir valores maiores que g tan θ deverá aparecer uma força de atrito sobre o
bloco, paralela à superfície da rampa e apontando no sentido de descida. Como
veremos, quanto maior for o valor de a, maior deverá ser o módulo da força de
atrito.
Aplicando a Segunda Lei de Newton nessa nova situação (força de atrito não-
nula), temos
N senθ + Fat cosθ = ma (0.33)
N cosθ − Fat senθ = mg , (0.34)
A partir da equação (0.34), podemos escrever
N =Fat senθ +mg
cosθ. (0.35)
Substituindo (0.35) em (0.33) e resolvendo para a força de atrito, obtemos
Fat = m(a cosθ − g senθ) . (0.36)
0.1 Leis de Newton 10
A expressão do módulo da reação normal sobre o bloco é obtida, simplesmente,
substituindo (0.36) em (0.35), o que nos fornece
N = m(a senθ + g cosθ) . (0.37)
Antes de prosseguirmos, analisemos a equação (0.36). Observe, inicialmente, que
para a = g tan θ temos Fat = 0, como foi mostrado no item (a). À medida que a
vai aumentando, cresce também o valor de Fat necessário para manter o bloco sem
deslizar sobre a rampa até que, para um certo valor de a, designado por amax, Fat
atinge seu valor máximo, dado por µeN .
Escrevendo Fat = µeN no lado esquerdo da equação (0.36) e substituindo para
N a expressão dada em (0.37), temos
µem (amax senθ + g cosθ) = m (amax cosθ − g senθ) .
Resolvendo a última equação para amax, obtemos, finalmente,
amax =senθ + µe cosθcosθ − µe senθ
g . (0.38)
(c) Observe que quando cosθ − µe senθ = 0, isto é, quando θ → θc = cotg−1(µe),
amax → ∞. Isso significa que a partir de θc, qualquer que seja a aceleração da
rampa, o bloco não deslizará sobre ela. Embora o aumento de a exija um valor de
Fat cada vez maior para manter o bloco sem deslizar, para θ ≥ θc o valor de N
cresce de tal forma que o atrito máximo µeN sempre é capaz de manter o bloco sem
deslizar sobre a rampa.
12. Por conveniência, repetimos a figura do enunciado. Aplicaremos, separadamente, a Se-
gunda Lei de Newton a cada corpo.
Analisando o movimento do bloco de massa M , podemos escrever, a partir da figura
Mg cos(θ)− µcMg sen(θ)− T = Ma , (0.39)
0.1 Leis de Newton 11
mMθ
onde T é a tensão no fio e usamos as relações trigonométricas cos(π/2 − θ) = sen(θ) e
sin(π/2− θ) = cos(θ).
Analogamente, analisando o movimento do bloco de massa m, temos
T −mg sen(θ) = ma (0.40)
As equações anteriores formam um sistema de duas equações e duas incógnitas. Resol-
vendo para a e T , obtemos
a =
[
M(cosθ − µc senθ)−m senθm+M
]
g (0.41)
e
T =mMg [cosθ + senθ(1− µc)]
m+M. (0.42)
13. (a) Atuam apenas duas forças sobre a partícula, o seu peso e a tensão exercida pelo
fio. Como o movimento ocorre num plano horizontal, a componente vertical da
tensão, Tz = T cos θ, contrabalança o peso. Denotando por θ o ângulo entre o fio e
a vertical, temos,
T cos θ = mg . (0.43)
Quanto maior for o ângulo θ maior será a tensão no fio necessária para manter o
movimento circular uniforme. No ângulo máximo, θmax, temos,
Tmax cos(θmax) = mg , (0.44)
o que nos leva ao resultado
θmax = cos−1(mg/Tmax) . (0.45)
0.1 Leis de Newton 12
(b) A componente horizontal da tensão aponta sempre para o centro da trajetória circu-
lar, de modo que
Tmaxsen(θmax) = mv2/r , (0.46)
onde r é o raio da trajetória d partícula e v o módulo de sua velocidade. Usando,
então, a equação Tmax cos(θmax) = mg, obtemos
v =√
gr sin(θmax)/ cos(θmax) . (0.47)
O período é dado por T = 2πr/v, ou seja,
T = 2π
√
r cos(θmax)
g sin(θmax)= T = 2π
√
ℓ cos(θmax)
g, (0.48)
onde usamos o fato de que r = ℓ sen(θmax).
14. (a) Uma vez que o bloco desliza com velocidade constante, sua aceleração é nula e,
pela Segunda Lei de Newton, é nula a soma de todas as forças sobre o bloco. As
vizinhanças do bloco são a Terra, o plano inclinado e a prancha. A Terra exerce
sobre o bloco a força peso, de módulo 3mg. O plano inclinado exerce sobre o bloco
uma força normal, de módulo N e uma força tangencial, a força de atrito cinético,
de módulo f = µN . A prancha também exerce sobre o bloco uma força normal,
de módulo N ′ e uma força tangencial, a força de atrito cinético, de módulo f ′ =
µN ′. Essas forças estão especificadas em módulo, direção e sentido no diagrama à
esquerda da figura.
3mg θ
N
f
N ′ f ′
mg
N ′
θ
f ′
T
0.1 Leis de Newton 13
Na direção do plano inclinado e na direção perpendicular ao plano inclinado, temos
as seguintes equações para o equilíbrio de forças: 3mg senθ = f + f ′ e N =
N ′ + 3mg cos θ, ou seja,
3mg senθ = µN + µN ′ e N = N ′ + 3mg cos θ . (0.49)
As vizinhanças da prancha são a Terra, o fio e o bloco. A Terra exerce sobre a
prancha a força peso, de módulo mg. O fio exerce sobre a prancha uma força de
módulo T na direção do plano inclinado. O bloco exerce sobre a prancha uma força
normal e uma força de atrito tangencial. Elas são as respectivas reações às forças
de ação normal e tangencial que a prancha exerce sobre o bloco e, pela Terceira
Lei de Newton, têm os mesmos módulos N ′ e f ′ das forças de ação, as mesmas
direções, e os sentidos opostos, tal como indicado no diagrama à direita da figura.
Na direção do plano inclinado e na direção perpendicular ao plano inclinado, temos
as seguintes equações para o equilíbrio de forças sobre a prancha: f ′+mg senθ = T
e N ′ = mg cos θ, ou seja,
µN ′ +mg senθ = T e N ′ = mg cos θ . (0.50)
Usando a segunda equação em (0.50) na segunda equação em (0.49), obtemos N =
4mg cos θ. Agora, substituimos essa expressão de N , e a expressão de N ′ dada na
segunda equação em (0.50), na primeira equação em (0.49). Obtemos 3mg senθ =
µ5mg cos θ, ou seja, µ = (3/5) tgθ.
(b) Para calcular a tensão T , substituímos na primeira equação em (0.50) o valor de µ
que acabamos de encontrar e o valor de N ′ dado na segunda equação em (0.50).
Obtemos (3/5) tgθ mg cos θ+mg senθ = T , donde (3/5)mg senθ+mg senθ = T .
Portanto, T = (8/5)mg senθ.
15. Para facilitar a compreensão da resolução do problema, repetimos a figura do enuncidado.
(a) Sobre a conta atuam duas forças, a normal e o peso. A normal deve ser decom-
posta em duas componentes, uma vertical, que se opõe ao peso, e outra centrípeta.
0.1 Leis de Newton 14
R
β
ω
Aplicando a Segunda Lei de Newton, temos:
N cosβ = mg (0.51)
N senβ = mω2R senβ =⇒ N = mω2R , (0.52)
onde usamos o fato de que o raio da trajetória circular da conta é R senβ. Dividindo
a equação (0.51) pela (0.52), obtemos
cosβ =g
Rω2=⇒ β = cos−1
( g
Rω2
)
(0.53)
(b) Para β = 0, N = mg e a velocidade angular do aro pode ser qualquer, inclusive
nula.
Já para o caso em que β → π/2, devemos ter
g
ω2R= cos(π/2) = 0 =⇒ ω −→ ∞ . (0.54)
Embora esse resultado pareça um tanto peculiar à primeira vista, ele pode ser facil-
mente entendido observando que para β → π/2 a direção da normal sobre a conta
vai tendendo a ser horizontal. Mas como sua componente vertical deve equilibrar
o peso, seu módulo deve tender para infinito. Lembre-se de que N = mω2R e,
portanto, N → ∞ implica ω → ∞.
16. Por conveniencia, repetimos a figura do enunciado.
(a) Para resolver esse problema é conveniente decompor as trações exercidas pelos fios
sobre a bolinha em suas componentes vertical e horizontal. Por conveniência, de-
signaremos por T1 a tensão no fio de cima e por T2 a tensão no fio de baixo.
0.1 Leis de Newton 15
L
L
L
m
ω
Inicialmente, note que o triângulo formado pelos fios e pela haste é equilátero,
de modo que o ângulo que cada fio faz com a horizontal é π/6. Com isso, o raio da
trajetória circular da bolinha é R = L cos(π/6) = L√3/2. Como o movimento é
horizontal, a componente vertical da aceleração da bolinha é nula, o que nos permite
escrever:T1
2=
T2
2+mg =⇒ T1 − T2 = 2mg . (0.55)
Usando o fato de que o movimento é circular uniforme e de raio L√3/2, temos
√3
2(T1 + T2) = mω2L
√3
2=⇒ T1 + T2 = mω2L . (0.56)
Resolvendo o sistema formado pelas equações (0.55) e (0.56), obtemos
T1 = mw2L/2 +mg ; (0.57)
T2 = mw2L/2−mg (0.58)
(b) Analisando as equações anteriores, vemos que nos movimentos circulares uniformes
desse sistema com velocidades angulares ω cada vez menores, ambas as tensões são,
também, cada vez menores. No entanto, existe um valor de ω, que designaremos
por ωmin, para o qual T2 = 0, ou seja, para o qual o fio de baixo deixa de exercer
qualquer força sobre a bolinha. É imediato mostrar que
T2 = 0 =⇒ ω2
minL
2g− 1 = 0 =⇒ ωmin =
√
2g
L. (0.59)
Movimentos circulares uniformes com ω < ωmin terão raios menores que L√3/2
e, nesses casos, o fio de baixo não estará esticado. Essa situação é a mesma que a
de um pêndulo cônico usual.
0.1 Leis de Newton 16
17. (a) Da Segunda Lei de Newton (componentes horizontais), podemos escrever também
F −N = Ma e N = ma , (0.60)
onde N é módulo da componente horizontal da força de contato entre os blocos e
usamos o fato de que os blocos têm a mesma aceleração. Das duas últimas equações,
obtemos
a =F
M +me N =
m
M +mF . (0.61)
A última equação relaciona a normal N com a força F aplicada. Note que à medida
que F diminui, N também diminui. No entanto, para que o bloco de massa m
não deslize sobre a superfície vertical do bloco de massa M , Fat = mg. Como o
módulo da força de atrito pode variar de zero até o valor máximo µeN , o menor
valor da normal possível deve satisfazer a equação
µeNmin = mg =⇒ Nmin =mg
µe
. (0.62)
Conseqüentemente, o valor mínimo de F é dado por
Fmin =M +m
mNmin =
M +m
m× mg
µe
=⇒ Fmin =(M +m)g
µe
. (0.63)
(b) As componentes verticais das forças que atuam sobre o bloco de massa M são as
seguintes: seu peso (Mg), a reação normal exercida pelo solo (NS) e a reação à
força de atrito (Fat = mg). Portanto, temos
NS = (M +m)g (0.64)
18. A figura mostra o bloco deslizando sobre a superfície interna do cone de ângulo α.
(a) Isolando as forças que atuam na partícula, temos, para as direções horizontal e ver-
tical da figura, respectivamente:
N cos α =mv2
r(0.65)
e
N senα = mg =⇒ N =mg
senα. (0.66)
0.1 Leis de Newton 17
mr
α
Substituindo a expressão da normal N na primeira das equações, temos
mg
senαcos α =
mv2
r=⇒ v =
√
g r
tanα. (0.67)
(b) O período do movimento é dado pela razão
T =2 π r
v= 2 π
√
r tanαg
(0.68)
19. A figura a que se refere o enunciado desse problema está reproduzida abaixo, para que
possamos identificar as posições dos blocos de massa M e m.
mMθ
Se o bloco de mass M não desce a rampa, então a tração exercida pelo fio contrabalanç a
a componente do peso paralela à rampa, isto é,
T = Mg sen(90− θ) = Mg cosθ . (0.69)
Analogamente, podemos escrever a condição para que o outro bloco também fique pa-
rado, a saber,
T = mg senθ + Fat . (0.70)
As duas equações anteriores nos levam a
Mg cosθ = mg senθ + Fat =⇒ M =mg senθ + Fat
g cosθ. (0.71)
0.1 Leis de Newton 18
Na iminência de movimento, temos Fat = µmg cos θ. Substituindo esse valor na equação
anterior, obtemos
M =senθ + µ cos(θ)
cosθm . (0.72)
20. Por conveniência, reproduzimos a figura do enunciado.
m m
π2 − θ θ
Plano 1Plano 2
(a) Para resolver este problema, vamos proceder em etapas:
(i) Determinar as acelerações ao longo dos dois planos inclinados.
Isolando as forças sobre cada bloco, obtemos ao longo do plano 1
mg sen θ = ma1 =⇒ a1 = g sen θ ,
e ao longo do plano 2
mg sen(π
2− θ
)
− fat = mg cos (θ)− fat = ma2
e
N = mg cos(π
2− θ
)
= mg sen θ
Combinando as duas equações acima, temos
mg cos θ − µcmg senθ = ma2
ou,
a2 = g (cos θ − µc senθ)
(ii) Depois vamos supor que a altura do triângulo seja h, de forma que as distâncias
ao longo do plano inclinado de θ (plano 1) e do plano inclinado de π/2 − θ (plano
2) sejam respectivamente:
0.1 Leis de Newton 19
d1 = h/sen θ e d2 = h/sen (π/2 − θ) = h/ cos θ .
(iii) Finalmente calculamos os tempos necessários para os dois blocos descerem as
rampas, e comparamos os resulados. Os tempos são dados por
t1 =
√
2 d1a1
(ao longo da rampa 1) e t2 =
√
2 d2a2
(ao longo da rampa 2)
Igualando os dois instantes acima, temos
t1 = t2 =⇒√
2h /senθa1
=
√
2h / cos θ
a2
Elevando ambos os membros ao quadrado e substituindo as expressões para as ace-
lerações a1 e a2, obtemos,
1
senθ(g senθ)=
1
cos θ g (cos θ − µc senθ). (0.73)
Rearranjando adequadamente os termos da equação anterior, temos,
cos2 θ − µc cos θ senθ = sen2θ , (0.74)
donde,
µc =cos2 θ − sen2θ
senθ cos θ=
2 cos 2 θ
sen 2 θ=
2
tan 2θ. (0.75)
(b) Para θ = π/4, as duas rampas têm a mesma inclinação e, conseqüentemente, o
mesmo comprimento. Nesse caso, obtemos para o coeficiente de atrito na rampa da
esquerda
µc = 2 cos(π/2)/sen(π/4) = 0 . (0.76)
Ou seja, para π/4, os blocos só chegarão simultâneamente ao solo se não houver
atrito sobre o bloco da esquerda, como esperado (uma vez que os comprimentos das
rampas são iguais e não há força de atrito sobre o bloco da direita).
21. (a) Para resolver este problema primeiro precisamos determinar a aceleração de cada
bloco para só depois igualar os tempos de descida, lembrando que o trajeto de cada
um é diferente. A força resultante em cada bloco é dada por
F ′
r= mgsen(π/2− θ)− µ′mg cos(π/2− θ) (0.77)
0.1 Leis de Newton 20
Fr = mg senθ − µmg cos θ (0.78)
Simplificando a primeira equação, temos
F ′
r= mg cos θ − µ′mg senθ . (0.79)
O que nos deixa com as seguintes acelerações
a′ = g[cos θ − µ′ senθ] (0.80)
a = g[senθ − µ cos θ] . (0.81)
O comprimento do plano inclinado da direita pode ser escrito como d = h/sen(θ),
onde h é a altura do triângulo. Da mesma forma d ′ = h/ cos(θ), lembrando que
sen(π/2 − θ) = cos(θ). Os tempos gastos pelos blocos em suas descidas são,
respectivamente, dados por
t =√
2d/a (0.82)
t′ =√
2d′/a′ (0.83)
Igualando os tempos de descida anteriores, obtemos
2d
a=
2d ′
a ′(0.84)
donde1
a senθ=
1
a ′ cos θ. (0.85)
Substituindo na equação anterior os valores das acelerações, obtemos
senθ senθ − µ cos θ = cos θ cos θ − µ′ senθ . (0.86)
Conseqüentemente, chegamos ao resultado desejado,
µ′ − µ =cos2 θ − sen2θ
cos θsenθ= 2 cot(2θ) . (0.87)
(b) Quando µ′ = µ obtemos a condição cos2(θ) = sen2(θ). Nesse caso, o ângulo θ deve
ser igual a π/4.
0.1 Leis de Newton 21
22. (a) As vizinhanças do bloco de baixo são a Terra, que exerce a força peso m~g, o fio
esticado, que exerce a força ~T na direção da rampa e apontando para cima, e a
própria rampa, que exerce a normal ~N e o atrito ~f , conforme abaixo indicados no
diagrama do bloco isolado. As vizinhanças do bloco de cima são a Terra, que exerce
a força peso m~g, a rampa, que exerce a normal ~N ′ e o atrito ~f ′, conforme abaixo
indicados no diagrama do bloco isolado, e o fio esticado, que exerce a força ~T ′.
Como o fio é ideal, ~T ′ = −~T . As forças de atrito, naturalmente, têm a direção da
rampa e apontam para cima, no sentido oposto ao dos movimentos dos blocos.
θ
θ
m~g
m~g
~N
~N ′
~T ′
~T
~f ′
~f
(b) Aplicando a Segunda Lei de Newton ao bloco de baixo, temos
mg senθ − T − f = ma e N −mg cos θ = 0 . (0.88)
Aplicando a Segunda Lei de Newton ao bloco de cima, temos
mg senθ + T − f ′ = ma e N ′ −mg cos θ = 0 , (0.89)
0.1 Leis de Newton 22
onde a aceleração é a mesma do bloco de baixo porque o fio é ideal e, portanto,
inextensível. Das equações (0.88) e (0.89), obtemos
mg senθ−T−µmg cos θ = ma e mg senθ+T−2µmg cos θ = ma . (0.90)
Somando essas equações obtemos a aceleração e, subtraindo uma da outra, a tensão;
elas são dadas, respectivamente, por
a =
(
senθ − 3
2µ cos θ
)
g e T =1
2(µ cos θ) mg . (0.91)