Fıs1 — 04/1 — G.3 — Ex.10 – p. 9

IF — UFRJ — 2004/1

Fısica 1 — IFA (prof. Marta)

Lista de exercıcios 10

Trabalho e Energia

1. Um bloco de massa m = 0, 5 kg move-se com velocidade ~v0 constantesobre uma mesa horizontal lisa. Calcule o trabalho realizado por todasas forcas que atuam sobre o bloco no seu deslocamento entre os pontosA e B distantes 3 m entre si.

A B

οοvr 1Ex.

b

h

οοvr 2Ex.

2. Um bloco de massa m = 0, 2 kg move-se com velocidade ~v0 constantesobre um plano inclinado com altura h = 3 m e base b = 4 m. Calculeo trabalho realizado por cada uma das forcas que atuam no bloco desdeo alto ate a base do plano inclinado.

3. Um bloco de massa m move-se sobre uma mesa horizontal. O coe-ficiente de atrito cinetico entre a superfıcie da mesa e o bloco e µc.Calcule o trabalho realizado por todas as forcas que atuam sobre obloco no seu deslocamento entre o ponto A, onde sua velocidade e ~v0,e o ponto B, onde o bloco para, em funcao dos dados (m, µc, v0 e g).

4. Um bloco de massa m = 0, 5 kg sobe um plano inclinado com alturah = 3 m e base b = 4 m. O coeficiente de atrito cinetico entre o blocoe a superfıcie e µ = 0, 25, a velocidade do bloco quando ele comeca asubir o plano inclinado e 8 m/s, e a aceleracao da gravidade pode serconsiderada como g = 10m/s2.

(a) Calcule o trabalho realizado por todas as forcas que atuam nobloco desde o inıcio da subida ate o ponto que o bloco para.

(b) Calcule a variacao da energia cinetica do bloco.

(c) Calcule a distancia que o bloco percorreu ate parar.

Estopped

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5. Para empurrar um caixote de 25, 0 kg numa rampa sem atrito quefaz um angulo de 30± com a horizontal, um operario exerce uma forcaconstante de 200 N, paralela a rampa. Se o caixote se desloca de 1, 5 m,qual o trabalho executado sobre o caixote

(a) pelo operario,

(b) pelo peso do caixote,

(c) pela forca normal exercida pela rampa sobre o caixote?

(d) Qual a variacao na velocidade do caixote, se ele parte do repouso?

6. Considere um corpo de massa m movendo-se sob a acao de uma forca~F constante. Demonstre que neste caso – em que a forca resultantee constante – o “teorema trabalho-energia cinetica” e equivalente aequacao v2

f= v2

i+ 2~a · ¢~r (as vezes chamada de “equacao de Tor-

ricelli”), onde ~vf e a velocidade final, ~vi e a velocidade inicial, ~a e aaceleracao do corpo e ¢~r e a distancia percorrida pelo corpo entre osinstantes inicial e final. Mostre que se o movimento e unidimensional,esta expressao pode ser escrita como v2

f= v2

i+2 a¢x, onde ¢~r =¢x ı.

7. Um homem de 90 kg pula de uma janela para uma rede de bombeiros,10 m abaixo. A rede se estica de 1, 0 m antes de deter a queda earremessar o homem para cima. Qual a energia potencial da rede esti-cada, supondo que a energia mecanica e conservada?

8. Considere o sistema constituıdo por um corpo de massa m ligado aum fio de comprimento ` preso a um ponto A. Sabe-se que a tensaomaxima suportada pelo fio e igual a 2mg. Se a massa e solta de umponto B situado na mesma horizontal de A, a que distancia vertical habaixo desta horizontal a corda se rompe?

AB

l h

-3-3-336-333

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9. Um objeto de massa m desliza ao longo de uma pista sem atrito con-tendo uma curva circular vertical de raio r, como mostrado na figura.O objeto parte do repouso de um ponto A na pista, a uma altura hacima da base da curva, passa por B, na base e da a volta na curva.

(a) Determine o modulo da velocidade do objeto nos pontos B, C eDda figura.

(b) Determine a menor altura h para que o corpo de uma volta com-pleta na pista circular.

(c) Determine a altura h0 tal que, quando a partıcula atingir o pontoD, ela exerca sobre a pista uma compressao igual ao seu propriopeso.

A

B

C

Dhr

9Ex.

θθ

°°30

10Ex.

10. Um pendulo de 1 m de comprimento e amarrado ao topo de um armario,como mostra a figura.O peso e elevado de tal modo que a corda faca umangulo de 30± com a vertical, e, entao, liberado. Se o lado do armariotiver comprimento 0, 5 m, que angulo a corda fara com a vertical quandoo peso estiver em seu ponto mais alto sob o armario? Admita que todosos efeitos de atrito sao desprezıveis.

11. Um objeto de massa m e amarrado num suporte no teto usando-seuma corda fina e flexıvel de comprimento l. Ele e deslocado ate que acorda esteja esticada horizontalmente, como mostra a figura, e depoise deixado livre.

(a) Ache a velocidade atingida pela massa quando ela esta diretamenteabaixo do ponto de suspensao, na base de sua oscilacao.

(b) Ache a tensao na corda neste ponto, imediatamente antes da cordatocar no pino.

-3-3-336-333

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(c) A corda e interceptada por um pino, como mostra a figura. Quala distancia b mınima para que a massa realize um giro completoem torno do pino?

l

b

11Ex.

1m

2mh

12Ex.

12. Analise, usando consideracoes de energia, o movimento da maquina deAtwood mostrada na figura. A corda e a polia tem massas desprezıveis,a polia nao tem atrito, e m1 > m2. O sistema esta inicialmente emrepouso.

(a) Se voce considerar o topo da mesa sobre a qual m2 repousa comoo nıvel de referencia, qual a energia total do sistema?

(b) O sistema e liberado e m1 desce. Escreva uma expressao para aenergia total do sistema pouco antes de m1 atingir a mesa.

(c) Com os resultados dos itens (a) e (b), determine a velocidade doscorpos pouco antes de m1 atingir a mesa.

(d) Quando m1 atinge a mesa, a corda torna-se frouxa. Use consi-deracoes de energia para determinar a que distancia m2 se elevadepois disso.

13. Uma bola de 0, 5 kg e lancada verticalmente para cima com velocidadeinicial de 20 m/s e atinge uma altura de 15m. Calcule a perda deenergia devida a resistencia do ar. Considere g = 9, 8 m/s2.

14. (a) Usando o teorema trabalho-energia, ache a distancia mınima paraparar um automovel se movendo numa superfıcie horizontal ondeo coeficiente de atrito entre os pneus e a estrada e µ e a velocidadeinicial e v0.

(b) Qual seria a distancia mınima se v = 25, 82 m/s (96, 564 km/h) eµ = 0, 8?

-3-3-336-333

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(c) Ache a resposta do item (a) supondo que haja um “tempo dereacao” tr entre o instante em que o motorista e avisado paraparar e o momento em que os freios sao aplicados.

(d) Qual a resposta do item (b) se o tempo de reacao do motorista forde 0, 65 s? Considere g = 9, 81 m/s2.

15. Um modo simples de se medir o coeficiente de atrito cinetico entre duassuperfıcies e mostrado na figura. Um bloco de massa m desliza numasuperfıcie horizontal; a interface entre os dois e a interface de atrito aser estudada. Este bloco e acelerado atraves de uma distancia h pelaqueda da massa m0. Depois da massa m0 bater no chao, a massa mcontinua a se mover ao longo da superfıcie, ate parar, devido ao atrito,apos percorrer uma distancia adicional d. Usando a conservacao deenergia, determine:

(a) uma expressao para o coeficiente de atrito cinetico em termos dasgrandezas mensuraveis m,m0, h e d;

(b) o coeficiente de atrito no caso em quem = 0, 200 kg,m0 = 20, 0 kg,h = 0, 200 m e d = 0, 500 m.

'm

m h

h

d15 Ex.

1 2 3 4 5 6 7 x (m)

-3

-2

-1

0

1

2

3

F (N ) Ex. 16

16. Uma forca F paralela ao eixo x varia conforme o grafico da figura.

(a) Determine o trabalho realizado pela forca atuando sobre uma partı-cula que se move de x = 0 ate x = 3 m.

(b) Calcule o trabalho realizado por F quando a partıcula passa dex = 3 m a x = 6 m.

(c) Ache o trabalho realizado no percurso de x = 0 ate x = 6 m.

-3-3-336-333

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17. O grafico da figura representa a variacao de uma forca unidimensionalem funcao da distancia a origem do eixo x. Esta forca esta agindo sobreuma partıcula de massa 2 kg que esta com velocidade 3 m/s no pontox = 0. Qual e a sua velocidade em x = 4 m?

1 2 3 4 x (m )0

1

2

3

F (N ) Ex. 17

m18 Ex.

h

18. A mola representada na figura tem a massa desprezıvel e sua constanteelastica tem um valor igual a k. Um bloco de massa m e largado,num certo instante, de uma altura h acima do topo da mola. Supondodesprezıveis os possıveis atritos, sabendo que o bloco desliza ao longode um cilindro vertical e que a extremidade inferior da mola esta fixa,calcule o deslocamento maximo do topo da mola.

19. Um bloco demassa m e empurrado por uma forca ~Fext contra uma molade constante elastica k. O bloco comprime a mola a uma velocidadeconstante, ate uma distancia d em relacao a posicao de equilıbrio damola. A velocidade do bloco (e de seu extremo) pode ser consideradacomo sendo muito pequena, de forma tal que podemos desprezar aenergia cinetica do bloco no processo de compressao da mola. Logoque a mola fica comprimidade de d, solta-se o bloco e este desliza pelapista, como mostra a figura. Nao existe atrito em parte alguma.

km

extFr

d

19 Ex.

B••

••C

h

-3-3-336-333

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(a) Qual e o trabalho Wext realizado pela forca ~Fext? Em que foitransformado este trabalho?

(b) Qual e a velocidade ~v0 do bloco quando chega ao ponto B, a peda pista curvilınea?

(c) Qual a altura que o bloco atinge, ao chegar ao ponto C, onde para?

(d) Calcule os valores das grandezas obtidas nos itens anteriorespara o caso em que k = 200 dinas/cm, d = 2 m e m = 2 g.Indique as unidades de cada grandeza que calcular. Considereg = 10 m/s2.

20. Um objeto move-se ao longo do eixo x impulsionado por duas forcas,~F1 e ~F2, como mostrado na figura. O modulo da forca ~F1 varia com xe o de ~F2 e constante e igual a 20 N.

(a) Determine o trabalho realizado por ~F1 quando o objeto se movede x = 0 ate x = 3 m.

(b) Qual o trabalho correspondente realizado por ~F2?

(c) Qual a velocidade do objeto em x = 3 m, se ele parte do repousoem x = 0 e seu peso e de 80 N? Suponha que nao exista atritoentre o corpo e a superfıcie e considere g = 10 m/s2.

1Fr

2Fr

οο60

20 Ex.

km

21 Ex. C

Ch

••

••

Bh

B

θθ

21. Um bloco de massa m = 0, 2 kg esta encostado em uma mola compri-mida de 8 cm em relacao ao seu comprimento normal. Ao ser liberadaa mola, o bloco desloca-se plano inclinado acima, chegando ao pontoB (altura hB = 1, 8 m) com velocidade vB = 4 m/s. Considere queno trecho ate B nao ha atrito. A partir de de B o atrito nao e maisdesprezıvel, e o bloco finalmente para no ponto C (altura hC = 2, 2 m).A inclinacao do plano e de 30±.

(a) Calcule, em funcao dos dados do problema, o valor da constanteelastica da mola.

-3-3-336-333

Fıs1 — 04/1 — G.3 — Ex.10 – p. 16

(b) Qual o trabalho realizado pela forca de atrito desde o instanteinicial ate o instante em que o bloco para?

(c) Determine o coeficiente de atrito entre o bloco e a superfıcie doplano inclinado no trecho BC.

22. Considere dois observadores, o primeiro fixo ao solo e o outro num tremque se move com velocidade uniforme u em relacao ao solo. Cada umdeles observa que uma partıcula de massa m, inicialmente em repousoem relacao ao trem, e acelerada por uma forca constante aplicada a eladurante um intervalo de tempo t, e orientada no sentido do movimento.

(a) Mostre que, para cada observador, o trabalho realizado pela forcae igual ao acrescimo de energia cinetica da partıcula, mas que umobservador (no trem) mede estas grandezas como sendo 1/2ma2t2,enquanto que o outro (no solo) encontra 1/2ma2t2 +maut, ondea e a aceleracao da partıcula vista pelos dois observadores.

(b) Explique as diferencas entre os trabalhos realizados pela mesmaforca em termos das diferentes distancias nas quais os observadoresmedem a forca que atua durante o tempo t. Explique as diferentesenergias cineticas finais medidas por cada observador em funcao dotrabalho que a partıcula poderia realizar ao ser trazida ao repouso,em relacao ao sistema de referencia de cada observador.

23. Considere o sistema constituıdo por uma massa m apoiada numa mesahorizontal lisa e presa a uma extremidade de uma mola de massa des-prezıvel e constante elastica k. A outra extremidade da mola esta fixa.

(a) Calcule a energia potencial do sistema e trace o grafico desta funcao.

(b) Se o sistema massa-mola for comprimido de uma distancia d emrelacao ao seu comprimento de equilıbrio, qual e a energia total dosistema?

(c) Para a energia do item (b), quais as regioes do espaco em que amassa pode ser encontrada?

(d) Calcule os valores maximo e mınimo da velocidade da massa. Emque pontos esses valores ocorrem?

-3-3-336-333

Fıs1 — 04/1 — G.3 — Ex.10 – p. 17

24. Uma partıcula desloca-se sobre um eixo x sob acao de uma forca resul-tante conservativa cuja energia potencial esta representada no grafico.No instante inicial a partıcula estava no ponto x1, afastando-se daorigem do eixo x.

x7x

8x

9x4 x5x2 x3

x6x

1

x

U(x)

(a) Descreva o movimento da partıcula quando a energia mecanica totale E1. Caso existam, quais sao os pontos de inversao neste movimento?

(b) Repita o item (a) no caso em que a energia mecanica total e E2.

(c) Idem para o caso em que a energia mecanica total e E3.

(d) Em que regioes do eixo x a forca resultante aponta para a origemdo eixo x? Justifique todas as suas respostas.

25. Um corpo de massa 1 kg que se move sobre o eixo x esta sujeito a umaforca dada por

F (x) = ¡2x

onde x e dado em metros e F em Newtons.

(a) Determine a energia potencial U em funcao de x, considerandoU (0) = 0.

(b) Trace o grafico de U contra x.

(c) Qual o ponto de equilıbrio estavel e qual a energia do corpo nestasituacao?

(d) Se em x = 0 o corpo tem velocidade v0 = 1 m/s, qual a regiao dex para a qual o corpo oscila?

26. Uma partıcula de massa m = 2 kg move-se ao longo de uma linha retaem uma regiao em que a sua energia potencial varia como na figura.

-3-3-336-333

Fıs1 — 04/1 — G.3 — Ex.10 – p. 18

Nao ha forcas dissipativas agindo. Quando x!1, a energia potencialse anula.

x2

x1

6

-5

x

U(x )

(a) Sabendo-se que a partıcula se aproxima da origem (x = 0) e quesua energia cinetica quando esta muito longe dela e de 10 J, determineo modulo de sua velocidade ao passar pelos pontos x1 e x2.

(b) Em que regiao a partıcula pode ser encontrada se sua energia totalfor de ¡3 J?

(c) Neste caso, quanta energia deve ser fornecida a partıcula para queela se afaste indefinidamente da origem?

27. A energia potencial de uma partıcula de massa m em funcao de suaposicao x esta indicada na figura. Calcule o perıodo de uma oscilacaocompleta, caso a partıcula tenha uma energia mecanica total dada porE = 3U0/2.

E

2U 0

U 0

0 b x

U(x)

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Fıs1 — 04/1 — G.3 — Resp.Ex.10 – p. 19

IF — UFRJ — 2004/1

Fısica 1 — IFA (prof. Marta)

Lista de exercıcios 10 — Respostas

1. WNORMAL = 0 J ; WPESO = 0 J.

2. WNORMAL = 0 J ; WPESO = 6, 0 J; WATRITO = ¡ 6, 0 J.

3. WNORMAL = 0 J ; WPESO = 6, 0 J; WATRITO = ¡12 mv

2±.

4. (a) WNORMAL = 0 J; WPESO = 0 J; WATRITO = ¡ 4, 0 J;

(b) ¢Ec = ¡ 16, 0 J; (c) 4, 0 m.

5. (a) 300, 0 J; (b) ¡ 187, 5 J; (c) 0 J; (d) 3, 0 m/s.

6. (Leia a demonstracao no livro texto, e discuta com seu professor.)

7. 9, 9 × 103 J.

8. 23 `.

9. (a) vB =p2 g h ; vC =

q2g (h¡ r) ; vD =

q2g (h¡ 2r) ;

(b) h = 5 r/2; (c) h0 = 3r.

10. arccos 0, 73 = 43±.

11. (a)p2g` ; (b) 3mg ; (c) 2

5`.

12. (a) m1 g h ; (b)12(m1 +m2) v2 +m2 g h ;

(c)qm1¡m2m1+m2

2g h ; (d) m1¡m2m1+m2

h.

13. ¡ 25 J.

14. (a) v2±/(2µg); (b) 42 m; (c) v2±/(2µg) + v± tr ; (d) 59 m.

15. (a) µ= (m0 h) / [(m+m0) d +mh]; (b) 0, 39.

16. (a) 7, 5 J; (b) ¡ 3, 0 J; (c) 4,5 J.

17. 3, 9 m/s.

-3-33538--303-1

Fıs1 — 04/1 — G.3 — Resp.Ex.10 – p. 20

18. mg/k³1 +

q1 + 2kh/(mg)

´.

19. (a) WEXT = 12 kd

2; em energia potencial elastica; (b) v± =qk/md;

(c) h = kd2/(2mg); (d) WEXT = 0, 4 J, v± = 20 m/s, h = 20 m.

20. (a) 0 J; (b) considerando o angulo entre ~F2 e a horizontal como sendode 60±, 30 J; (c) 2, 7 m/s.

21. Usando g = 10 m/s2, (a) k = 1625 N/m, (b) WAT = ¡ 0, 8 J, (c) 0, 6.

22. (Discuta com o seu professor).

23. (a) Considerando a energia potencial elastica igual a zero quando a molanao esta comprimida nem distendida, Ep =

12 k x

2 (x e o deslocamentoda massa em relacao a posicao de equilıbrio do sistema). (b) E = 1

2k d2.

(c) ¡ d · x · +d. (d) vMAX = +qk/m, d e vMIN = ¡

qk/m, d; ambas

ocorrem quando x = 0.

24. As energias nao estao indicadas na figura; considere E1 como sendo aenergia associada a linha pontilhada mais baixa, E2 a seguinte, e E3 amais alta. (a) Movimento oscilatorio entre os pontos x1 e x3; pontos deinversao x1 e x3. (b) O corpo move-se aumentando sua velocidade atex2, e comeca, a partir daı, a ter sua velocidade reduzida, ate parar emx4; nesse ponto, e acelerado para x = 0. (c) O corpo move-se ate x9 eretorna. (d) Ate o primeiro maximo (nao indicado na figura, antes dex1) a forca e negativa (aponta para a origem do eixo); a forca tambemaponta para x = 0 em: x2 < x < x4 e x > x6.

25. (a) U (x) = x2. (c) x = 0; para ocorrer equilıbrio estavel, E = 0. (d)¡0, 7 · x · 0, 7.

26. (a) T (x1) = 4 J, T (x2) = 15 J. (b) Substitua no enunciado “se suaenergia total for de ¡ 3J” por “se sua energia total for de ¡ 5 J”: emx = x1. (c) Nesse caso, 11 J.

27. Na figura, falta a indicacao do valor de x para o qual a energia potencialsalta do valor U± para o valor 1, 5U±; considere esse valor como sendo1, 5 b.

perıodo completo = 2 bq

712m/U±.

-3Ezof-#-gzo3-Eew_p.tf