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probabilidades, função massa de probabilidade

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1. A equipa de basquetebol do Artur tem 12 elementos, dos quais três têm 16 anos, seis têm

17 anos e três têm 18 anos.

Escolhe-se um elemento da equipa ao acaso.

Considere a variável aleatória X “Idade do atleta escolhido”

1.1. Indique os valores da vaiável aleatória X.

1.2. Determine a probabilidade da variável assumir cada um desses valores.

2. O Manuel tem um cadeado com um código de três algarismos introduzido através de três

rodas numeradas de 0 a 9. Foi de viagem e quando teve de abrir a mala verificou que não se

recordava de todo o código, lembrava-se que o primeiro algarismo é o número 8, o segundo

é o número 7 e do último algarismo apenas sabia que era ímpar.

Seja X a variável aleatória “Número de tentativas para abrir o cadeado”

Construa a tabela de distribuição de probabilidades da variável X.

3. Considere o modelo de probabilidade da variável aleatória X definido por:

ix 0 1 2 3

ip X x 0,4 0,1 a 0,2

3.1. Determine a.

3.2. Calcule:

3.2.1. 1p X

3.2.2. 2p X

4. Uma variável aleatória X toma os valores 0, 1, 2 e 3. Sabe-se que:

1

22

p X 1

23

p X 0 1p X p X

Construa a tabela de distribuição de probabilidades da variável X.

5. De um saco com duas bolas vermelhas, três azuis e uma preta, retiram-se quatro bolas.

Considere a variável aleatória X que representa o número de bolas azuis retiradas.

5.1. Justifique: “A variável X não pode ter zeros”.

5.2. Determine 2p X e interprete o valor obtido no contexto do problema.

5.3. Construa a tabela de distribuição de probabilidades de X.

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6. Considere a experiência aleatória que consiste no lançamento de um dado equilibrado com

as faces numeradas de 1 a 6.

Seja X a variável aleatória “número de divisores do número obtido”.

6.1. Quais os possíveis valores de X?

6.2. Construa a tabela de distribuição de probabilidades da variável X.

7. A distribuição de probabilidades de uma certa variável aleatória Y é a seguinte:

iy 0 1 2 3

ip Y y 1

8

1

4

1

8

1

2

Calcule o valor médio da variável Y.

8. A variável aleatória X “número do vértice de um dado tetraédrico equilibrado que ocorre

quando se lança o dado” tem a seguinte distribuição.

ix 1 3 x

ip X x a 0,25 0,25

com x e a

.

Sabe-se que o valor médio de X é 2,5.

Como se encontram distribuídos os vértices do dado?

9. A distribuição de probabilidades de uma certa variável aleatória X é a seguinte

ix 1 2 3

ip X x 0,3 0,1 0,6

Calcule o desvio padrão da variável X.

10. Determine a média aritmética e o desvio padrão da distribuição de frequências relativas da

seguinte variável aleatória X:

ix 1 2 3 4

in 150 120 40 90

Apresente os resultados arredondados às milésimas.

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11. Considere a seguinte distribuição de probabilidades de uma certa variável aleatória X:

ix 1 2 3 4

ip X x 0,1 0,4 0,2 a

11.1. Determine a.

11.2. Calcule o valor médio e o desvio padrão populacional. Apresente os resultados com 1 c.d.

12. Relativamente a duas variáveis aleatórias X e Y associadas à mesma experiência aleatória,

sabe-se que:

os valores médios são iguais

o desvio padrão da variável X é maior que o da variável Y

O que pode concluir?

13. Num concurso é acionada uma roleta. O concorrente pode ser contemplado com 0€, 500€,

2500€ ou 5000€.

A probabilidade de ser premiado é igual à probabilidade de não ser premiado, sendo os três

prémios equiprováveis.

Seja X a variável aleatória “A quantia que o concorrente recebe”.

13.1. Defina a distribuição de probabilidade de X

13.2. Calcule a média e o desvio padrão de X.

13.3. Qual a probabilidade de o prémio ser uma quantia pertencente a , .

Bom trabalho!!

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Principais soluções

1.

1.1. 16,17,18X

1.2. 1 1

16 ; 17 ;4 2

p X p X

1

184

p X

2.

ix 1 2 3 4 5

ip X x 1

5

1

5

1

5

1

5

1

5

3.

3.1. 0,3

3.2.

3.2.1. 0,5

3.2.2. 0,8

4.

ix 0 1 2 3

ip X x 1

6

1

6

1

6

1

2

5.

5.1. Apenas existem três bolas não azuis

o que nos garante que pelo menos

uma é azul.

5.2. 0,6 representa a probabilidade de

duas das quatro bolas retiradas

serem azuis.

5.3.

ix 1 2 3

ip X x 0,2 0,6 0,2

6.

6.1. 1,2,3,4X

6.2.

ix 1 2 3 4

ip X x 1

6

1

2

1

6

1

6

7. 2

8. Em dois vértices encontram-se os

números 3 e 5, respetivamente, nos

outros dois o número 1.

9. 0,9

10. 2,175; 1,159X

11. 2,7; 1,0

12. A probabilidade de ocorrerem

valores próximos do valor médio é

maior na variável Y do que na

variável X.

13.

13.1.

ix 0 500 2500 5000

ip X x 1

2

1

6

1

6

1

6

13.2. 1333,33; 1863,39

13.3. 5

6p