03 teoria funcao modular

APOSTILA 4 – MATEMÁTICA –1 (ÁLGEBRA) – FUNÇÃO MODULAR 37- TÓPICO 8.10 -

=8.10. FUNÇÃO MODULAR 8.10.1. FUNÇÃO DEFINIDA POR MAIS DE UMA SENTENÇA EXEMPLO 1:

EXEMPLO 2:


8.10.2. MÓDULO DE UM NÚMERO REAL Dado um número real x, chama-se módulo ou valor absoluto de x, e indica-se com o número real não negativo tal que:

|x| ,

0xse,x|x|

ou

0xse,x|x|

Exemplos:

7|7|

0|0|

4|4|

Observação: |x|x 2 , assim, a informação 1)1( 2 É FALSA!

8.10.3. DEFINIÇÃO DA FUNÇÃO MODULAR Chama-se função modular a função de IR em IR dada pela lei .|x|)x(f

0xse,x

0xse,x)x(f|x|)x(f

8.10.4. GRÁFICO DA FUNÇÃO MODULAR


|

8.10.5. GRÁFICOS DE FUNÇÕES EM MÓDULO Exemplo 1: 1x|)x(f

Exemplo 2: |4x|)x(f 2


1

Exemplo 3: |x|)x(h

Obs.: Uma maneira prática para deslocarmos o gráfico do exemplo anterior é, na fig 1, deslocarmos o eixo

das abscissas para cima uma unidade.

Exemplo 4: 2)3x()x(f


g e

Exemplo 5: |1x||1x|)x(f 1º passo: fazer ; )x(h)x(g)x(f 2º passo: analisar o comportamento algébrico de g(x) e de h(x) individualmente, ou seja:

1xse,1x

1xse,1x|1x|)x(

1xse,1x

1xse,1x|1x|)x(h

3º passo:

Assim,

1xse,x2

1x1se,2

1xse,x2

|1x||1x|)x(f

Exemplo 6: Construa o gráfico de |1x||x|2)x(f e determine suas raízes.

Analogamente ao exemplo anterior, temos:

Do gráfico vemos que há duas raízes,

A primeira é 1 ; A segunda está entre 0 e 1. De fato, se

3

1x01x3 .


|

Exemplo 7: 2|3x2||)x(f


EXERCÍCIOS: 1) Construir o gráfico da função 2|1x|)x(f . RESPOSTA:

2) Construir o gráfico da função | e determinar o seu domínio e conjunto imagem.

x4x|)x(f 2 RESPOSTA:

3) Construir o gráfico da função

e determinar seu domínio e conjunto imagem.

2|3x4x|)x(f 2

RESPOSTA:

4) Determine o conjunto imagem da função

definida no intervalo real |2x|)x(f ]3,1[ . RESPOSTA:

}3x1|IRy{


8.11. EQUAÇÕES MODULARES NA VARIÁVEL x Basicamente existem quatro tipos de equações modulares:

TIPO 1: realºn)xemressão(exp

Exemplo: . 2|1x|

1x21x

ou

3x21x

2|1x|

}3;1{S

TIPO 2: )xemressãoexpoutra(k)xemressão(exp , onde k .IR

Exemplo: . |2x|2|2x|

3

2x)2x(22x

ou

6x)2x(22x

|2x|2|2x|

}3

20;6{S

TIPO 3: )xemressão(exp (outra expressão em x).

Atenção, observe que temos uma expressão em x no segundo membro da equação representando o resultado do módulo presente no primeiro membro; sabemos que o resultado de um módulo não pode ser negativo.

Assim, para este tipo de equação modular, deveremos iniciar sua resolução impondo a condição de existência do módulo em questão, vejamos o exemplo abaixo:

Exemplo: . 1x5|5x3|

Condição de existência do módulo: 5

1x01x5

Resolvendo a equação:

4

3x1x55x3

ou

2x1x55x3

1x5|5x3|

Verificando na condição de existência:

4

3S

APOSTILA 4 – MATEMÁTICA –1 (ÁLGEBRA) – FUNÇÃO MODULAR - TÓPICO 8.10 -

45

TIPO 4: A equação apresenta 2x .

Exemplo: 08x2x 2

Para resolvermos este tipo de equação deveremos fazer yx .

Assim, .08y2y 2

2y

ou

4y

08y2y 2

Efetuando o retorno à variável x:

4x 2x

4x

ou

4x

IRx

Resposta: }4;4{S Nota: Existem basicamente estes quatro tipos de equações modulares, entretanto, é

necessário estar atento às diversas combinações de equações geradas a partir destes tipos.

Exemplo: Resolva, em IR, a equação . 02|1x|3|1x|2 2 Resolução:

Resposta: 3;1S

APOSTILA 4 – MATEMÁTICA –1 (ÁLGEBRA) – INEQUAÇÕES MODULARES 46- TÓPICO 8.12

8.12. INEQUAÇÕES MODULARES Sendo “EEX” uma expressão em x e “k” um número real positivo, de modo geral temos dois casos de inequações modulares:

CASO 1: kEEX CASO 2: kEEX

kEEXk

kEEX

ou

kEEX

Exemplo-1: Resolva 21x .

3x1

21x2

3,1S

Exemplo-2: Resolva 52x .

7x52x

ou

3x52x

7xou3x|IRxS

Obs.: Os casos 1 e 2 também se verificam, respectivamente, para as situações de "."e"" Exemplo 3: Resolva, em IR, a inequação 1x|1x2| .

Neste exemplo temos, no segundo membro, outra expressão em x; assim, teremos que analisar duas situações:

Como sabemos que

)II(2

1xse,1x2

)I(2

1xse,1x2

|1x2|

Em ( I ): 2

1x (a) e 1x1x2 2x (b)

Então teremos }2x|IRxS)b()a(1

Em ( II ): 2

1x (c) e 1x1x2 0x (d)

Então teremos }0x|IRxS)d()c(2

Logo, a solução da inequação dada é:

}2xou0x|IRxSS21

APOSTILA 4 – MATEMÁTICA –1 (ÁLGEBRA) – INEQUAÇÕES MODULARES - TÓPICO 8.12

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EXERCÍCIOS

1) Resolva, em IR, a inequação 31x2 . Resposta: }2xou1x|IRx{S

2) Resolva, em IR, a inequação 14x . Resposta: }5x3|IRx{S

3) Resolva a inequação 03x4x 2 , em IR. Resposta: }3xou3xou1x1|IRx{S

4)

Resolva a inequação 01x

4x

, em IR. Resposta:

}1xe4x|IRx{S

5) Determine o domínio D da função .

Resposta: }4xou1x|IRx{D 35x2

1)x(f

APOSTILA 4 – MATEMÁTICA –1 (ÁLGEBRA) – FUNÇÃO MODULAR 48

TESTES COMPLEMENTARES 1)

Resposta:A

2)

Resposta:C

3)

Resposta B

4)

Resposta A

5)

Resposta: D


6)

Resposta: B

7)

Resposta: B

8)

Resposta: C

9)

Resposta: C

10)

Resposta: C

11)

Resposta: B


12)

Resposta: A

13)

Resposta: B

14)

Resposta: A

15)

Resposta: C

16)

Resposta: A

17)

Resposta: B


18)

Resposta: D

19)

Resposta: E

20)

Resposta: C


QUESTÕES DISCURSIVAS D1)

Respostas: a)

b)

Somente para 6

7x

c)

2

7xe

4

5x

D2)

Respostas: a) -1, 0 e 1 b)

c)

03 teoria funcao modular

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