francieli prob cap3e4

7/24/2019 Francieli Prob Cap3e4

1/38

Universidade do Estado de Santa Catarina UDESCCentro de Cincias Tecnolgicas - CCTDisciplina:Tpicos Especiais Anlise de Sistemas LinearesProfessor: Jos de Oliveira

Problemas Captulo 3 e 4

Acadmica: Francili Lima de S

Joinville, junho de 2009.

1


2/38

- ObjetivosNeste trabalho sero apresentados as resolues dos problemas propostos do

terceiro e quarto captulos do livro Control System Design, com o intuito de fixar o

contedo referente a dinmica de sistemas lineares e a anlise no domnio da freqnciarespectivamente. No decorrer das resolues, os resultados sero analisados e discutidos.

Problema 3.1 Exerccios para a resoluo de matriz de transio de estados

Encontre as matrizes de transio de estados para cada uma das matrizes seguintes:

a) 1

1 0 0

1 2 0

1 2 3

A

=

;

b) 21 0 0

1 1 0

0 1 1

A =

;

c) 3

2 1 1

1 2 1

1 1 2

A

=

.

Resoluo:a) A1:

At 1 1e ( ) [( ) ]t L sI A = = (1)

0 0 1 0 0 1 0 0

( ) 0 0 1 2 0 1 2 0

0 0 1 2 3 1 2 3

s s

sI A s s

s s

+ = = + +

(2)

1

1/( 1) 0 0

( 1)( ) 1/ 1/( 2) 0

( 2)

( 4) /( 1) 2 /( 2)1/( 3)

( 2) /( 3) ( 3)

s

ssI A s

S

s s ss

s s s

+

+ = + +

+ + ++

+ + +

(3)

2


3/38

2 2

2 3 2 3 3

0 0

( ) 0

3 12 2 2

2 2

t

t t t

t t t t t t

e

t e e e

e e e e e e

=

+

(4)

b) A2:

At 1 1e ( ) [( ) ]t L sI A = = (5)

s+1 0 0

( ) -1 s 1 0

0 -1 s 1

sI A

= + +

(6)

-1

2

3 2

10 0

(s 1)

1 1(sI-A) 0

( 1) ( 1)

1 1 1

( 1) ( 1) ( 1)

s s

s s s

+

= + +

+ + +

(7)

2* ( )

0 0

( ) * 0

1*

2*

t

t t

t t

e t

e

t t e e

t e et

=

(8)

c) A3:

At 1 1e ( ) [( ) ]L t sI A = = = (9)

2 1 1

( ) 1 2 1

1 1 2

s

sI A s

s

+ = + +

(10)

3


4/38

-1

( 1) 1 1

( 3) ( 3) ( 3)

1 ( 1) 1

(sI-A) ( 3) ( 3) ( 3)

1 1 ( 1)

( 3) ( 3) ( 3)

s

s s s

s s s

s

s s s

s s s

s

s s s

s s s

+ + + + +

= + + + +

+ + +

(11)

3 3 3

3 3 3

3 3 3

2 1 1 1 1 1

3 3 3 3 3 3

1 1 2 1 1 1( )

3 3 3 3 3 3

1 1 1 1 2 1

3 3 3 3 3 3

t t t

t t t

t t t

e e e

t e e e

e e e

+ + +

= + + +

+ + +

(12)

3.2 Exerccios sobre formas cannicas:Determine a forma cannica de Jordan para cada uma das seguintes funes de

transferncias:

a)

Por Companion temos:

15239

86

)5)(3)(1(

)4)(2()(

23

2

+++

++=

+++

++=

sss

ss

sss

sssH

(13)

4


5/38

Por Jordan temos:

( 2)( 4) 3 1 1 1 3 1( )( 1)( 3)( 5) 8 ( 1) 4 ( 3) 8 ( 5)

s sH ss s s s s s

+ += = + ++ + + + + +

1 1 0

0 3 1

0 0 5

=

(14)

5


6/38

b)


sss

s

ss

ssH

52

2

]4)1[(

2)(

232 ++

+=

++

+=

(15)

c)


254)3(

)2()1()3()(

232 ++++=

+++=

ssss

ssssH

(16)

6


7/38

Por Jordan temos:

2 2

( 3) 1 1 1( ) 2

( 1) ( 2) ( 1) ( 1) ( 2)

sH s

s s s s s

+= = +

+ + + + +

1 1 0

0 1 1

0 0 2

=

(17)

7


8/38

Problema 3.3 Outra forma cannica (Forma Cannica de Tandem)

a)Pela figura P3.3(pg.108) podemos tirar as relaes a seguir.

2111

111

)(

.:

)(

)(

xsxx

xsxx

usxx

kkkk

kkk

+=

+=

+=

(18)

Das equaes acima podemos montar as matrizes A,B e C, que seguem abaixo.

[ ]

=

+

=

k

k

kkk

x

x

x

x

CCCCy

u

x

x

x

x

s

s

s

s

x

x

x

x

.

:

...

1

.:

0

0

0

.:

...000

.:

.:

.:

.:

.:

0...00

0...10

0...01

.:

3

2

1

321

3

2

1

3

2

1

3

2

1

(19)

Problema 3.6 Motor-driven cart pendulum

a)Do problema 2.1 temos as equaes a seguir

eMrRl

Kx

RlMr

Kg

Ml

mM

e

MrR

K

M

mgx

RMr

Kx

=

+

=++

(20)

],[

],,,[

xy

eu

xxx

=

=

=

(21)

8


9/38

Considerando que:

=

==

=

==

=

=

=

=

4

43

2

21

4

3

2

1

x

xx

xx

xxx

x

x

xx

xx

(22)

Podemos montar as matrizes abaixo:

[ ]

=

+

+

=

4

3

2

1

4

3

2

1

4

3

2

1

0101

0

0

0

0

1000

0

0

0010

xx

x

x

y

u

MrRl

K

MrR

K

x

x

x

x

gMl

mM

RlMr

K

M

mg

RMr

K

x

x

x

x

(23)

Sendo que:

mrR

Vsk

msg

ml

KgM

Kgm

02,0100

1

8,9

1

1

1,0

2

==

=

=

=

=

=

9


10/38

Podemos reescrever a matriz A como:

=

078,10250

1000

098,0250

0010

A

(24)

Problema 3.7

Equivalente Eltrico:

Onde:

v1= T1Temperatura do Ponto 1

v2= T2Temperatura do Ponto 2v3= T3Temperatura do Ponto 3 (Sada)u = e0 Entrada do Controle de Temperaturav0= eRTemperatura Ambiente

2

2

03323

32212

2110

1

Rvv

Rvvi

R

vv

R

vvi

R

vv

R

vei

=

=

=

(25)

E:

10


11/38

dt

dv

Ci

dt

dvCi

dt

dvCi

3

3

22

11

=

=

=

(26)

Logo:

0323

3212

0211

21211

11111

21121

vRC

vRRC

vRC

v

vRC

vRRC

vRC

v

eRC

vRC

vRRC

v

+

+

=

+

+

=

+

+

=

(27)

Representao por Variveis de Estado:

xCy

vEeBxAx

=

++=

00

(28)

Onde:

1

2

3

vx v

v

=

3 10

1 2 1

1 30

C R C R

AC R C R C R

C R C R

=

2

0

0

C R

B

=

11


12/38

0

0

2

E

C R

=

[ ]0 0 1C=

[ ]

=

+

+

=

3

2

1

00

3

2

1

3

2

1

100

20

0

0

0

2

310

121

013

v

v

v

y

v

RC

eRC

v

v

v

RCRC

RCRCRC

RCRC

v

v

v

(29)

Representao por funo de Transferncia:

Entrada:

( ) BAIsCsH

sU

sYsH

=

=

1

1

1

)(

)(

)()(

(30)

Onde:

Y(s) = y = v3Temperatura do Ponto 3 (Sada)U(s) = u = e0 Entrada do Controle de Temperatura (Entrada)H1(s) Funo de transferncia da sada pela entrada

Perturbao:

( ) EAIsCsH

sP

sYsH

=

=

1

2

2

)(

)(

)()(

(31)

12


13/38

Onde:

Y(s) = y = v3Temperatura do Ponto 3 (Sada)P(s) = v0= eRTemperatura Ambiente (Perturbao)H2(s) Funo de transferncia da sada pela Perturbao

Para:

R=1 e C=2

Temos:

[ ]

=

+

+

=

3

2

1

00

3

2

1

3

2

1

100

1

0

0

0

0

1

5,15,00

5,015,0

05,05,1

v

v

v

y

ve

v

v

v

v

v

v

(32)

E usando o MatLab para calcular as funes de transferncia H1(s) e H2(s), temos

[H1n,H1d]=ss2tf(A,B,C,0)[H2n,H2d]=ss2tf(A,E,C,0)

5,1.75,4.4

25,0.10.55,310.77,1)(

23

15215

1+++

++=

sss

sssH

(33)

5,1.75,4.4

25,1.5,2)(

23

2

2+++

++=

sss

sssH

(34)

Problema 4.2

Sistema em Malha aberta:

Equivalente Eltrico:

Onde:

v1= T1Temperatura do Ponto 1v2= T2Temperatura do Ponto 2

C C C

RR/2 R/2R

v0= eRu = e0

v1 v2 v3

13


14/38

v3= T3Temperatura do Ponto 3 (Sada)u = e0 Entrada do Controle de Temperaturav0= eRTemperatura Ambiente

2

2

0332

3

32212

21101

R

vv

R

vvi

R

vv

R

vvi

R

vv

R

vei

=

=

=

(35)

E:

dt

dvCi

dt

dvCi

dt

dv

Ci

33

22

1

1

=

=

=

(36)

Logo:

0323

3212

0211

21211

11111

21121

vRC

vRRC

vRC

v

vRC

vRRC

vRC

v

eRC

vRC

vRRC

v

+

+

=

+

+

=

+

+

=

(37)


xCy

vEeBxAx

=

++= 00

(38)

Onde:

14


15/38

[ ]100

20

0

0

0

2

310

121

013

3

2

1

=

=

=

=

=

C

RC

E

RCB

RCRC

RCRCRC

RCRC

A

v

v

v

x

Logo:

1 1

2 2 0 0

3 3

3 10 2

01 2 1

0 0

0 21 3

0

C R C Rv v C R

v v e vC R C R C R

v v

C RC R C R

= + +

[ ]1

2

3

0 0 1

v

y v

v

=

(39)

15


16/38

Diagrama de Blocos:


Entrada:

( ) BAIsCsH

sU

sYsH

=

=

1

1

1

)(

)(

)()(

(40)

Onde:

Y(s) = y = v3Temperatura do Ponto 3 (Sada)U(s) = u = e0 Entrada do Controle de Temperatura (Entrada)H1(s) Funo de transferncia da sada pela entrada

Perturbao:

( ) EAIsCsH

sP

sYsH

=

=

1

2

2

)(

)(

)()(

(42)

Onde:

Y(s) = y = v3Temperatura do Ponto 3 (Sada)P(s) = v0= eRTemperatura Ambiente (Perturbao)H2(s) Funo de transferncia da sada pela Perturbao

B

E

C

A

v0

e0 y

16


17/38

Para:

R=1 e C=2

Temos:

[ ]

=

+

+

=

3

2

1

00

3

2

1

3

2

1

100

1

00

0

01

5,15,00

5,015,005,05,1

v

v

v

y

ve

v

vv

v

vv

(43)

E usando o Matlab para calcular as funes de transferncia H1(s) e H2(s), temos

[H1n,H1d]=ss2tf(A,B,C,0)[H2n,H2d]=ss2tf(A,E,C,0)

5,1.75,4.4

25,0.10.55,310.77,1)(

23

15215

1+++

++=

sss

sssH

(44)

5,1.75,4.4

25,1.5,2)(

23

2

2+++

++=

sss

sssH

(45)

Sistema em malha fechada:

3

3

0

vy

ved

dgeu

d

=

=

==

(46)

Onde:

u = e0 Entrada de Temperatura do sistema em malha abertaedEntrada de referncia de Temperatura do sistema em malha fechadag Ganho do controley = v3= T3Temperatura do Ponto 3 (Sada)v0= eRTemperatura Ambiente

Substituindo e0no 1aequao do sistema temos:

17


18/38

( )

0323

3212

3211

3211

0211

21211

11211

221121

21121

21121

vRC

vRRC

vRC

v

vRC

vRRC

vRC

v

eRC

gv

RC

gv

RCv

RRCv

vegRC

vRC

vRRC

v

eRC

vRC

vRRC

v

d

d

+

+

=

+

+

=

+

+

=

+

+

=

+

+

=

(47)


xCy

vEeBxAx

=

++= 00

(48)

Onde:

[ ]100

20

0

3

2

1

=

=

=

C

RC

E

v

v

v

x

e:

3 1 2

1 2 1

1 30

g

C R C R C R

AC R C R C R

C R C R

=

18


19/38

2

0

0

g

C R

B

=

1 1

2 2 0

3 3

3 1 22

01 2 1

0 0

0 21 3

0

d

gg

C R C R C Rv v C R

v v e vC R C R C R

v v

C RC R C R

= + +

[ ]

1

2

3

0 0 1

v

y vv

=

(49)

Diagrama de blocos com as novas matrizes A e B:

Diagrama de blocos Original (A e B), mais a realimentao (g):

B

E

C

A

v0

ed y

19


20/38

ou:

Desconsiderando a perturbao v0e substituindo as matrizes A,B e C pela funo de

transferncia H1(s), temos:

B

E

C

A

v0

e0

yg

ed

y = v3

+ ++

+-

B

E

C

A

v0

e0 y

g

ed

y = v3

+ ++

+-

g

H1(s)

U(s) = e0Y(s) = y

g

V(s) = ed

y = v3

+

-

g

20


21/38

a)


Entrada:

( ) BAIsCsHf

sVsYsHf

=

=

1

1

1

)(

)()()(

(50)

Onde:

Y(s) = y = v3Temperatura do Ponto 3 (Sada)V(s) = ed Entrada de referncia de Temperatura do sistema em malha fechada

(Entrada)

U(s) = u = e0 Entrada do Controle de Temperatura no sistema em malha aberta(Entrada)

Hf1(s) Funo de transferncia da sada pela entrada no sistema em malhafechada

H1(s) Funo de transferncia da sada pela entrada no sistema em malha aberta

ou:

( )1( ) ( ) ( )

( ) ( ) ( )

Y s H s U s

U s g V s Y s

=

=

( )( )

( )

1

1 1

1

1

( ) ( ) ( ) ( )( ) 1 ( ) ( ) ( )

( ) ( )

( ) 1 ( )

Y s H s g V s Y sY s H s g H s g V s

Y s H s g

V s H s g

= + =

=

+

(51)

( )1

1

1

15 2 15

1 3 2

( )( )

1 ( )

1, 77.10 3, 55.10 . 0, 25( )

4. 4, 75. 1,5

H s gHf s

H s g

s sH s

s s s

=

+

+ +=

+ + +

15 2 15

3 2

1 15 2 15

3 2

1, 77.10 3, 55.10 . 0, 25.

4. 4, 75. 1,5( )

1, 77.10 3, 55.10 . 0, 251 .

4. 4, 75. 1,5

s sg

s s sHf s

s sg

s s s

+ +

+ + + = + +

+ + + +

21


22/38

( )( ) ( )

15 2 15

1 3 15 2 15

1, 77.10 3, 55.10 . 0, 25 .( )

4 1, 77.10 . . 4, 75 3, 55.10 . . 1, 5 0, 25.

s s gHf s

s g s g s g

+ +=

+ + + + + +

1 3 2

0,25.( )

4. 4, 75. 1, 5 0, 25.

gHf s

s s s g

+ + + +

(52)

Perturbao:

( ) EAIsCsHf

sP

sYsHf

=

=

1

2

2

)(

)(

)()(

(53)

Onde:

Y(s) = y = v3Temperatura do Ponto 3 (Sada)P(s) = v0= eRTemperatura Ambiente (Perturbao)Hf2(s) Funo de transferncia da sada pela Perturbao no sistema em malha

fechada

H2(s) Funo de transferncia da sada pela Perturbao no sistema em malhaaberta

Para:

R = 1 e C = 2

Temos:

[ ]

1 1

2 2 0 0

3 3

1

2

3

1,5 0,5 0

0,5 1 0,5 0 0

0 0,5 1,5 0 1

0 0 1

v g v g

v v e v

v v

v

y v

v

= + +

=

(54)

[ ]

1

2

1,5 0,5 0

( ) 0 0 1 0,5 1 0,5 0

0 0,5 1,5 1

g

Hf s s I

=

22


23/38

[ ]

1

2

1,5 0,5 0

( ) 0 0 1 0,5 1 0,5 0

0 0,5 1,5 1

s g

Hf s s

s

+

= + +

(55)

Sabemos que:

( ) ( )

( ) ( ) EAIs

AIsAdjCEAIsCsHf

BAIs

AIsAdjCBAIsCsHf

==

==

1

2

1

1

)(

)(

Logo o denominador de Hf1(s) e Hf2(s), so iguais a AIs .

Como as matrizes C e E so respectivamente [ ]100 e

1

0

0

, o resultado de

( ) EAIsAdjC ser o elemento (3,3) da matriz ( )AIsAdj , este elemento igual a

2221

1211

asa

aas

, conforme apndice A4 (pg. 474) do livro Friedland - Control System

Design, assim o numerador de Hf2(s) :

( )( )

( )( ) 25,1.5,225,01.5,115,0

5,05,12 ++=++=

+

+ssss

s

s

Logo nosso resultado :

gsss

sssHf

.25,05,1.75,4.4

25,1.5,2)(

23

2

2++++

++

(56)

b) Usando o Algortimo de Routh-Hurwitz:

( )( )( )ga

ga

ga

a

+=

+=

+=

=

25,05,1

10.55,375,4

10.77,14

1

3

15

2

15

1

0

23


24/38

E:

( ) ( ) ( )

( )( )

( )gc

ab

ab

b

baabc

gb

g

gggb

a

aaaab

+=

=

=

=

+

+++=

=

25,05,1

4

25,05,17

10.77,14

25,05,1110.55,375,410.77,14

1

3

1

31

1

21311

1

15

1515

1

1

30211

a1>0

15

15

10.26,2

010.77,14

>

>+

g

g

b1>0

( )

70

5,1725,0

04

25,05,17

>

g

g

g

c1>0

6025,05,1

>

>+

gg

-6 < g < 70 (57)

24


25/38

c)

Root Locus

Real Axis

Im

aginaryAxis

-3 -2.5 -2 -1.5 -1 -0.5 0 0.5 1-1.5

-1

-0.5

0

0.5

1

1.5x 10

7

System: H1

Gain: 68.8

Pole: -1.08e-008 - 2.16i

Damping: 4.99e-009

Overshoot (%): 100

Frequency (rad/sec): 2.16

System: H1

Gain: 3.99e+028

Pole: -0.00797 + 1.19e+007i

Damping: 6.72e-010

Overshoot (%): 100

Frequency (rad/sec): 1.19e+007

Root Locus

Real Axis

ImaginaryAxis

-0.5 0 0.5 1 1.5 2 2.5 3

x 106

-1.5

-1

-0.5

0

0.5

1

1.5x 10

7

System: H1

Gain: 68.8

Pole: -1.08e-008 - 2.16i

Damping: 4.99e-009

Overshoot (%): 100


System: H1

Gain: 3.99e+028

Pole: -0.00797 + 1.19e+007i

Damping: 6.72e-010

Overshoot (%): 100

Frequency (rad/sec): 1.19e+007

25


26/38

d)

10-2

10-1

100

101

102

-270

-225

-180

-135

-90

-45

0

Phase(deg)

Bode Diagram

Frequency (rad/sec)

-140

-120

-100

-80

-60

-40

-20

0

Magnitude(dB)

26


27/38

e)

g

gy

g

gy

sHfs

sLimy s

+=

+=

=

6)(

.25,05,1

.25,0)(

)(1

)( 10

gd

g

gd

yed

e

d

d

+=

+=

=

=

6

6)(

61)(

)()()(

1)(

(58)

27


28/38

Problema 4.3

Calculo da Funo de Transferncia em Malha Fechada:

( )

( ))()(.

)()(

)()(.)(

)()()(

211

21

1

sYsVs

gsgsHsY

sYsVs

gsgsU

sUsHsY

+=

+=

=

1 21 1

.( ) ( )

g s gH s H s

s

+ =

(59)

( )

( )1

1 1

( ) ( ) ( ) ( )

( ) 1 ( ) ( ) ( )

Y s H s V s Y s

Y s H s H s V s

=

+ =

( )1

1

( ) ( )

( ) 1 ( )

Y s H s

V s H s=

+

( )1

1

1

( )( )

1 ( )

H sHf s

H s=

+ (60)

Funo de Transferncia em Malha Fechada:

( ) ( )( ) ( ) ( ) 2122

2

1221

3

11

4

2122

2

1221

3

111

.25,0..25,0.5,1...75,4..4

.25,0..25,0......)(

gsggnsgngnsgns

gsggnsgngnsgnsHf

+++++++++

+++++=

(61)

Onde:

n1= 1,77.10-15

n2= 3,55.10-15

Diagrama de Blocos:

H1(s)Y(s) = yG(s)V(s) = ed +

-

28


29/38

a) Usando o Algortimo de Routh-Hurwitz:

( )( )( )

24

1223

12212

111

0

.25,0

.25,0.5,1

..75,4

.4

1

ga

ggna

gngna

gna

a

=

++=

++=

+=

=

Como n1 e n2so nmeros muito pequenos, podemos fazer a seguinte aproximao:

( )

24

13

2

1

0

.25,0

.25,05,1

75,4

4

1

ga

ga

a

a

a

=

+

=

E:

( )

( )4

25,05,17

4

25,05,1175,44

11

11

1

3021

1

gb

gb

a

aaaab

+

=

22

4

1

41

1

50412

.25,0 gb

aa

aaa

aaaab

=

===

( )( )

( )

1

2

2

111

1

211

1

1

2131

1

25,05,17

.4.0625,0.425,26

4

25,05,17

.25,0425,05,1.4

25,05,17

g

gggc

g

ggg

c

b

baabc

+=

+

=

=

21

2

1

21

1

21211

.25,0 gd

bc

bc

c

cbbcd

=

=

=

=

29


30/38

b1>0

( )

70

5,1725,0

04

25,05,17

1

1

1

>

g

g

g

(63)

c1>0

2

2

11

2

2

11

1

2

2

11

.4.0625,0.425,26

0.4.0625,0.425,26

025,05,17

.4.0625,0.425,26

ggg

ggg

g

ggg

>+

>+

>

+

(64)

d1>0

0

0.25,0

2

2

>

>

g

g

(65)

30


31/38

b) Para g1= g2, temos:

( )

( ))()(1

)()(

)()(1)(

)()()(

11

1

1

sYsVs

ssHgsY

sYsVs

sgsU

sUsHsY

+=

+=

=

( )

( )

( )

( ))(1)(

)(

)(1

)(

)(

)(

)()()(1)(

)()()()(

1)()(

11

111

11

11

1111

11

11

sHg

sHgsHf

sHg

sHg

sV

sY

sVsHgsHgsY

sYsVsHgsY

s

ssHsH

+

=

+

=

=+

=

+=

( ) ( )( )

( ) ( )( ) ( )( ) 1122

121

3

11

4

12

2

21

3

11

.25,0..25,05,1..75,4..4

25,0.25,0..)(

gsgnsgnnsgns

gsnsnnsnsHf

+++++++++

+++++=

(66)

31


32/38

b)

-3 -2.5 -2 -1.5 -1 -0.5 0 0.5 1-3

-2

-1

0

1

2

3

System: H1b

Gain: 18.7

Pole: -0.021 - 1.23i

Damping: 0.017

Overshoot (%): 94.8


Root Locus

Real Axis

ImaginaryAxis

32


33/38

c)

-150

-100

-50

0

50

Magnitud

e(dB)

10-2

10-1

100

101

102

-270

-225

-180

-135

-90

Phase(deg)

Bode Diagram

Frequency (rad/sec)

33


34/38

Problema 4.6

Do exemplo 4.H obtemos a equao caracterstica do sistema:

( ) ( ) ( ) 0..9,613..2,206.5,554..4,1104,182..04,362,36 21212

1

3

1

4 =+++++ KKsKKsKsKs

Aplicando a matriz de Hurwitz temos:

( )( )( )

( )( ) ( )

( )

( ) ( )( )( ) ( )

( ) ( )( )( ) ( )

( )

+

+

+

+

=

=

+

+

+

=

=

+

+=

=

+==

=

=

+=

+=

=

11

211

211

211

42

31

42

31

211

211

211

31

42

31

3

1

211

2

31

2

111

214

213

12

11

0

..9,613.4,1104,18210

0.2,206.5,554.04,362,360

0..9,613.4,1104,1821

00.2,206.5,554.04,362,36

10

00

01

00

.2,206.5,554.04,362,360

..9,613.4,1104,1821

0.2,206.5,554.04,362,36

0

1

0

.4,1104,1821

.2,206.5,554.04,362,36

1

.04,362,36

..9,613

.2,206.5,554

.4,1104,182

.04,362,36

1

KKK

KKK

KKK

KKK

aa

aa

aa

aa

H

KKK

KKK

KKK

aa

aa

aa

D

K

KKK

a

aaD

KaD

KKa

KKa

Ka

Ka

a

( )1 136, 62 3, 04. 0D K= + > (67)

( ) ( )( )

1 1 2

2

1

36, 62 3, 04. 554, 5. 206, 2.0

1 182, 4 110, 4.

K K KD

K

+ = >

+ (68)

( ) ( )2

3 1 2 2 1 2 1554,5. 206, 2. . 613,9. . . 36, 62 3, 04. 0D K K D K K K= + + > (69)

4 1 2 3613,9. . . 0D K K D= > (70)

34


35/38

Problema 4.9

Do exemplo 4E, obtemos a equao caracterstica do sistema:

0.100980.100980.10449.2,140 234 =++++ Kssss

Usando o Algortimo de Routh-Hurwitz:

Ka

a

a

a

a

.100980

100980

10449

2,140

1

4

3

2

1

0

=

=

=

=

=

E:

9729

2,140

100980110449140

1

1

1

30211

=

=

b

b

a

aaaab

Kb

aa

aa

a

aaaab

.1009802

4

1

41

1

5041

2

=

=

=

=

Kc

Kc

b

baabc

.1455100980

9729

.1009802,140100980.9729

1

1

1

2131

1

=

Kd

bc

bc

c

cbbcd

.1009801

2

1

21

1

21211

=

=

=

=

c1 > 0

4,69

0.1455100980

K

K

(71)

35


36/38

d1 > 0

0

0.100980

>

>

K

K

(72)

Problema 4.10

36


37/38

Problema 4.10

20

30

40

50

60

70

80

90

100

Magnitude(dB)

100

101

102

103

104

90

135

180

225

270

315

360

Phase(deg)

Bode Diagram

Frequency (rad/sec)

-150 -100 -50 0 50 100 150-80

-60

-40

-20

0

20

40

60

80

System: M1

Gain: 0.000139

Pole: 0.488 + 25.8i

Damping: -0.0189

Overshoot (%): 106


Root Locus

Real Axis

Imagina

ryAxis

37


38/38

Concluso

Os problemas foram resolvidos e demonstrados conforme proposto.

Bibliografia

[1] Friedland, Bernard. Control System Design.

[2] Ogata K. Engenharia de Controle Moderno, terceira edio.

[3] Anotaes realizadas aula da disciplina de ASL- Anlise de Sistemas Lineares, do

Mestrado em Engenharia eltrica- UDESC.

francieli prob cap3e4

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