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Lógica e teoria dos conjuntos

Exercícios

1. Considere proposições p e q tais que p é falsa e é verdadeira. Indique o valor lógico de cada uma das seguintes proposições.

1.1. q 1.2. 1.3.

1.4. 1.5. 1.6.

1.7.

Resolução

1. Sabemos que p é falsa e verdadeira.Como p é falsa, então q é verdadeira.

1.1. q é verdadeira 1.2. é falsa 1.3. é verdadeira

1.4. é falsa 1.5. é falsa 1.6. é verdadeira

1.7. é verdadeira

2. Considere as proposições p e q. Simplifique as seguintes expressões que definem proposições e indique, sempre que possível, o respetivo valor lógico.

2.1. 2.2. 2.3.

2.4. * 2.5. *

Resolução

2.1. . Proposição falsa

2.2. . Proposição verdadeira

2.3.

2.4.* . Proposição falsa

2.5.*

. Proposição verdadeira

3. *Determine o valor lógico das proposições p, q e r sabendo que a proposição:

3.1. é falsa; 3.2. é verdadeira.

Resolução

3.1. é falsa.

Descritor: 1.16 (Página 4 do caderno de apoio)

▪ Simplificar expressões envolvendo operações com proposições, substituindo-as por proposições equivalentes com menos símbolos, e determinar o respetivo valor lógico sempre que possível.

Lógica e teoria dos conjuntos Dado que é falsa segnifica que p é verdadeira e é falsa. Pelo mesmo descritor, q é verdadeira e r é falsa.Portanto, p e q são verdadeiras e r é falsa.


3.2. é verdadeira, logo e r são verdadeiras.

Como é verdadeira, é falsa. é falsa se e somente se p é verdadeira e q é falsa.

Portanto, p e r são verdadeiras e q é falsa.

4. *Sabe-se que é uma proposição verdadeira. Qual o valor lógico de p, q e r?

Resolução

é uma proposição verdadeira , logo , e p são verdadeiras.Como p e são verdadeiras, é verdadeira e portanto, q é falsa.Como é verdadeira e q é falsa, então é falsa e, por conseguinte, r é verdadeira. Portanto, p e r são verdadeiras e q é falsa.

Exercícios

1. Considere as condições .

1.1. Indique as que são universais, as que são possíveis e as que são impossíveis.1.2. *Tendo em conta a alínea anterior, para cada uma das seguintes condições indique se é possível,

impossível ou universal:1.2.1. 1.2.2. 1.2.3.1.2.4. 1.2.5.

Resolução

1.1. ▪ Universais:

▪ Possíveis:

▪ Impossíveis:

1.2.1. , impossível 1.2.2. , universal

1.2.3. , possível 1.2.4. , universal

1.2.5. , possível

Descritores: 2.3, 2.4 e 2.5 (Página 6 do caderno de apoio)

▪ Identificar uma condição como «universal» se for uma proposição verdadeira e reconhecer que a disjunção de qualquer condição com uma condição universal é uma condição universal.

▪ Saber, dada uma condição, , que «existe x tal que » é uma proposição que é verdadeira se

e somente se, para pelo menos um objeto a , for verdadeira, representá-la por « » e designar o símbolo « » por «quantificador existencial».▪ Identificar uma condição como «possível» se for uma proposição verdadeira, como

«impossível» se não for possível e reconhecer que a disjunção de qualquer condição com uma condição possível é uma condição possível e a conjunção de qualquer condição com uma condição impossível é uma condição impossível.


2. *Mostre que a disjunção de qualquer condição com uma condição universal é uma condição universal, que a disjunção de qualquer condição com uma condição possível é uma condição possível e que a conjunção de qualquer condição com uma condição impossível é uma condição impossível.


Resolução

Seja p(x) uma condição universal (isto é, é uma proposição verdadeira) e q(x) uma condição.Então, substituindo x em p(x) por um objeto arbitrário obtemos uma proposição verdadeira, assim como em

.

Daqui resulta que é uma proposição verdadeira, ou seja, é uma condição universal.

Seja p(x) uma condição possível (isto é, ) é uma proposição verdadeira) e q(x) uma condição. Então, existe pelo menos um objeto a para o qual p(a) é verdadeira. Para esse mesmo objeto a

é também uma proposição verdadeira. Daqui resulta que é uma proposição

verdadeira, isto é, é uma condição possível.

Seja p(x) uma condição impossível (isto é, é uma proposição falsa) e q(x) uma condição. Então, não existe nenhum objeto x para o qual p(x) é verdadeira. Isto implica que não existe nenhum objeto x para

o qual é verdadeira. Logo, é uma proposição falsa, ou seja, é uma condição impossível.

Exercícios

1. Complete com as seguintes condições (substituindo as reticências por um destes símbolos), de modo que sejam universais em .

1.1. 1.2. 1.3

1.4. 1.5.

Resolução

1.1. 1.2. 1.3

1.4. 1.5.

2. Para cada uma das condições indique se é universal, possível ou impossível em e o que daí pode concluir, a esse mesmo respeito, acerca das condições:

2.1. 2.2.

2.3 2.4.

Resolução

2. , impossível; , universal; , possível

Descritores: 2.7 e 2.8 (Página 8 do caderno de apoio)

▪ Representar, dada uma condição e um conjunto , a proposição, por

« », e, no caso de ser verdadeira, designar por «condição universal em ».

▪ Representar, dada uma condição e um conjunto , a proposição por

« », no caso de ser verdadeira designar por «condição possível em » e, no caso

contrário, por «condição impossível em ».


2.1. , impossível 2.2. , possível

2.3 , impossível 2.4. , universal

Exercícios

1. Escreva afirmações equivalentes à negação das seguintes proposições, utilizando as segundas leis de De Morgan:

1.1. «Existe um colega na minha turma que não tem irmão.»1.2. «Todas as pessoas que estão nesta sala usam um chapéu.»

Resolução

1.1. Todo o colega da minha turma tem irmãos.1.2. Existe pelo menos uma pessoa nesta sala que não usa um chapéu.

2. Considere o conjunto e seja a condição «x é número primo» e a condição «x é múltiplo de 6».

2.1. Indique o valor lógico de cada uma das proposições: .2.2. Para cada uma das proposições consideradas na alínea anterior, escreva uma proposição, começando

com um quantificador, equivalente à respetiva negação, traduzindo-a também em linguagem corrente.

2.3. Quanto a cada uma das condições e indique se é possível, impossível ou universal em A.

Resolução

2.1. , falso; , falsa

2.2.Existe pelo menos um elemento do conjunto A que não é um número primo.

Nenhum elemento do conjunto A é múltiplo de 6.

2.3. , possível em A ; , impossível em A ; , possível em A ; , universal em A

3. Mostre que as seguintes afirmações são falsas, apresentando um contraexemplo. 3.1. Todos os quadriláteros do plano têm diagonais iguais. 3.2. Todos os números ímpares são primos. 3.3. Todos os números primos formados por dois algarismos têm os algarismos distintos.

Resolução

3.1. Um paralelogramo não retângulo é um quadrilátero e não tem diagonais iguais.3.2. Nove é um número ímpar e não é um número primo.3.3. O número 11 é um número primo e tem os dois algarismos iguais.

Descritor: 2.9 (Página 8 do caderno de apoio)

▪ Reconhecer, dada uma condição e um conjunto , que a negação da proposição é

equivalente à proposição , que a negação da proposição é equivalente à

proposição e designar um elemento tal que como um «contraexemplo»

para a proposição .


4. *Dado um conjunto U e uma condição , escreva, na forma de uma implicação quantificada, a

proposição e utilize as segundas leis de De Morgan para determinar uma proposição equivalente à respetiva negação, escrevendo-a também na forma abreviada.

Resolução

5. *Dado um conjunto U e uma condição , mostre que se for uma condição universal em U,

então é uma condição impossível em U e se for uma condição impossível em U, então

é uma condição universal em U.

Resolução

Seja p(x) uma condição universal em U, isto é, é uma proposição verdadeira. Então,

para todo é uma proposição falsa. Daqui resulta que é uma proposição

falsa e, portanto, é uma condição impossível em U.

Seja p(x) uma condição impossível em U, isto é, é uma proposição falsa. Como, para

todo é uma proposição falsa, é uma proposição verdadeira. Então:

é uma proposição verdadeira, ou seja, é uma condição universal em U.

6. **Dado um conjunto U mostre que a disjunção de qualquer condição com uma condição universal em U é uma condição universal em U, que a disjunção de qualquer condição com uma condição possível em U é uma condição possível em U e que a conjunção de qualquer condição com uma condição impossível em U é uma condição impossível em U.

Resolução

Seja p(x) uma condição universal em U (isto é, é uma proposição verdadeira) e q(x) uma

condição. Então, para todo é uma proposição verdadeira, assim como . Daqui

resulta que é uma proposição verdadeira e é uma condição

universal em U. Seja p(x) uma condição possível em U (isto é, é uma proposição verdadeira) e q(x) uma condição. Então, existe pelo menos um objeto para o qual p(a) é verdadeira.

Para esse mesmo objeto é também uma proposição verdadeira. Daqui resulta que

é uma proposição verdadeira, isto é, é uma condição possível em U.

Seja p(x) uma condição impossível (isto é, é uma proposição falsa) e q(x) uma condição. Então não existe nenhum objeto para o qual p(x) é verdadeira. Isto implica que não existe nenhum

objeto para o qual é verdadeira. Logo, é uma proposição

falsa, ou seja, é uma condição impossível.

Descritores: 2.19 e 2.20 (Página 10 do caderno de apoio)

▪ Reconhecer, dadas as condições e , que a negação da proposição, , é

equivalente à proposição , isto é, que essa proposição é falsa se e somente se existir

a tal que é verdadeira e é falsa.

▪ Justificar, dadas as condições e , que a proposição é equivalente à


Exercícios

1. Justifique que as seguintes proposições são falsas. 1.1. Qualquer número natural que seja múltiplo de 5 é múltiplo de 10.1.2. Qualquer quadrilátero que tenha os quatro lados iguais é um quadrado. 1.3. Qualquer quadrilátero que tenha os ângulos iguais também tem os lados iguais.

Resolução

1.1. Cinco é um múltiplo de 5 e não é múltiplo de 10.1.2. O losango tem quatro lados iguais e pode não ser um quadrado.1.3. Um retângulo não quadrado tem ângulos iguais e os lados não são todos iguais.

2. Escreva os contrarrecíprocos das proposições indicadas no exercício anterior.

Resolução

2.1. Qualquer número natural que não seja múltiplo de 10 não é múltiplo de 5.2.2. Qualquer quadrilátero que não seja um quadrado não tem quatro lados iguais.2.3. Qualquer quadrilátero que não tenha os lados iguais, não tem os ângulos iguais.

3. Demostre por contrarrecíproco que se o quadrado de um dado número natural n é ímpar, n é ímpar.

Resolução

é ímpar é ímparDemostração por contrarrecíproco:

Suponhamos que n não é ímpar, ou seja, que n é par. Pretendemos demonstrar que é par (não é ímpar).

Como n é par, existe um tal que . Logo, , com .

Portanto, é um número par. Por conseguinte, é ímpar é ímpar.

4. Demonstre por contrarrecíproco que se, em dado plano, uma reta r é paralela a outras duas retas s e t, então s e t são paralelas entre si.

Resolução

Se, num dado plano, uma reta r é paralela a outras duas s e t, então s e t são paralelas entre si.Recíproco:Se s e t não são paralelas entre si, então r não é paralela à reta s ou à reta t.Dado que s e t não são paralelas e são complanares, estas serão concorrentes num ponto P. Se r é paralela a s então r interseta t. Se r é paralela a t então r interseta s.Logo, r não é paralela a s ou a t.Fica assim provado que se, num dado plano, uma reta r é paralela a outras duas retas r e t, então s e t são paralelas entre si.

▪ Reconhecer, dadas as condições e , que a negação da proposição, , é

equivalente à proposição , isto é, que essa proposição é falsa se e somente se existir

a tal que é verdadeira e é falsa.

▪ Justificar, dadas as condições e , que a proposição é equivalente à


5. *Considere condições . Utilizando as segundas leis de De Morgan, mostre que são

equivalentes as proposições .

Resolução


6. Considere as condições . Mostre que são equivalentes as proposições:

Resolução

Exercícios

1. Indique o valor lógico das seguintes proposições: 1.1. 7 é um número primo e 2 não é um número primo.

1.2. Tanto como π são números irracionais. 1.3. 70 é múltiplo de 7 e de 5.1.4. 28 é múltiplo de 7 ou de 8.1.5. 111 é um número primo ou 19 é múltiplo de 9.

Resolução

1.1. 7 é um número primo e 2 não é um número primo

V FLogo, a proposição é falsa.

1.2. Falso, é um número racional.1.3. Verdadeiro, pois e .1.4. Verdadeiro, , apesar de ser um múltiplo de 8.1.5. 111 não é um número primo, pois também é divisível por 3.

19 é primo, logo não é múltiplo de 9.Portanto, a proposição é falsa.

2. Indique o valor lógico de cada uma das seguintes proposições.2.1. π é igual a 3,14 ou a 3,1416. 2.2. 12 é um número múltiplo de 4 ou de 7.

2.3. 2.4. 17 é um número primo e par.

2.5. é um número irracional maior que 1. 2.6.

Resolução

2.1. Falsa, π é um número irracional.2.2. Verdadeira, 12 é múltiplo de 4, mas 12 não é múltiplo de 7.

2.3. Falsa Verdadeira

Logo, a proposição é verdadeira.

Descritor: 3.1 (Páginas 11 e 12 do caderno de apoio)

▪ Resolver problemas envolvendo operações lógicas sobre proposições.


2.4. Falsa, 17 não é par.

2.5. Falsa, pois é um número racional.

2.6. Verdadeira Verdadeira

Logo, a proposição é verdadeira.

3. Considere as proposições:

é um número irracional.3.1. Indique o valor lógico de cada uma delas.3.2. Traduza em linguagem corrente, sem utilizar a palavra «não», as seguintes proposições e indique o

respetivo valor lógico:3.2.1. 3.2.2. 3.2.3.

Resolução

3.1. a é verdadeira; b é falsa; c é falsa3.2.1. é verdadeira

é um número irracional menor ou igual a 3.

3.2.2. é falsa

é um número racional ou é maior que 3.3.2.3. é verdadeira

Se é menor ou igual a 3 então é maior ou igual a –2.

4. Identifique as operações lógicas e as proposições elementares envolvidas em cada uma das seguintes

proposições e escreva-as em linguagem simbólica. (Por exemplo, «Se então ou ou

» pode traduzir-se simbolicamente por , sendo e

).4.1. 5163 é múltiplo de 3 se e só se a soma do valor dos algarismos desse número for um múltiplo de 3.

4.2. *Nem 102 é um número ímpar nem é um número racional.4.3. *Como 3400 termina por dois zeros, então é múltiplo de 2, de 5 e de 4.

Resolução

4.1. a: 5163 é múltiplo de 3b: a soma do valor dos algarismos 5163 é um múltiplo de 3.

4.2. a: 102 é um número ímpar b: é um número racional

4.3. a: 3400 termina em dois zeros b: 3400 é múltiplo de 2c: 3400 é múltiplo de 5 d: 3400 é múltiplo de 4


5. ** Considere as proposições:a: «Está a chover»b: «O Carlos sai de casa»c: «O Carlos tem aulas»

Utilizando operações lógicas entre a, b e c, escreva a seguinte proposição em linguagem simbólica:«O Carlos não sai de casa quando está a chover, a menos que tenha aulas.»

Resolução

A proposição «O Carlos não sai de casa quando está a chover a menos que tenha aulas.» pode ser escrita

em linguagem simbólica da seguinte forma Como a proposição é equivalente a «Se está a chover e o Carlos não tem aulas, o Carlos não sai de casa»,

outra solução é .

6. ** Considere uma operação , dita «ou exclusivo» ou «disjunção exclusiva», tal que, dadas proposições p e q, é verdadeira quando e apenas quando p e q têm valores lógicos distintos para resolver as seguintes questões.

6.1. Dadas as proposições p e q, construa uma proposição equivalente a partindo de p e q e

utilizando apenas as operações .6.2. Indique, justificando, se, dadas as proposições p e q, algumas das seguintes proposições é sempre

verdadeira.

a) b)

c) d)

Resolução

6.p qV V F F F F F FV F V F V F V VF V V V F V F VF F F V V F F F

6.1.

6.2. a) A proposição nem sempre é verdadeira. Quando p e q são ambas falsas, é verdadeira e

é falsa, logo, é falsa.

b) A proposição nem sempre é verdadeira. Quando p e q são ambas falsas, é verdadeira e

é falsa, logo é falsa.

c) A proposição nem sempre é verdadeira. Quando p é falsa e q é verdadeira, é falsa e

é verdadeira, logo é falsa. d) A proposição é sempre verdadeira. Por um lado, é verdadeira quando p e q são ambas

verdadeira ou ambas falsas. Nos dois casos, é falsa e, portanto, é verdadeira. Por outro, é falsa quando p e q têm valores lógicos diferentes. Nesse caso, é verdadeira

e, portanto, é falsa.

Descritor: 3.2 (Páginas 12 e 13 do caderno de apoio)

▪ Resolver problemas envolvendo operações sobre condições e sobre conjuntos.


Exercícios

1. Considere as seguintes condições definidas em .

: n é um número primo : n é múltiplo de 3 : n é divisor de 18 : n é inferior a 10Defina em extensão cada um dos seguintes conjuntos:

; ; ;

Resolução

; ; ;

2. Considere os seguintes conjuntos de números reais.

Defina, sob a forma de intervalo, ou de reunião de intervalos disjuntos, os seguinte conjuntos, considerados como subconjuntos de .

2.1. 2.2. 2.3. 2.4.

2.5. 2.6. 2.7. 2.8. 2.9.

Resolução

2. , ,

2.1. 2.2.

2.3. 2.4.

2.5.

2.6. 2.7.

2.8.

2.9.

3. Considere os conjuntos , e

. Defina em extensão os conjuntos A, B, C, e .

Resolução

3. .


;

4. Indique se, para qualquer concretização das variáveis no conjunto U, se obtêm, das seguintes condições, implicações verdadeiras, e escreva as respetivas contrarrecíprocas.

4.1.

4.2. x é múltiplo de 6 é par

4.3.4.4. Se um triângulo é retângulo, então não é equilátero (U é o conjunto dos triângulos de um dado plano).4.5. Se um triângulo é isósceles, então não tem ângulos internos retos (U é o conjunto dos triângulos de um

dado plano).4.6. Se um losango tem as diagonais iguais, então é um quadrado (U é o conjunto dos losangos de um dado

plano).4.7. Um triângulo tem um ângulo externo agudo quando é obtusângulo (U é o conjunto dos triângulos de

um dado plano).

4.8. 4.9.

Resolução

4.1. Obtém-se uma implicação verdadeira. Contrarrecíproco:

4.2. x é múltiplo de 6 é par

x é múltiplo de 6, tal que , onde .Logo, x é par. Obtém-se uma implicação verdadeira.Contrarrecíproco: x é ímpar x não é múltiplo de 6.

4.3.Para x = 2, é verdadeira, mas é falsa. Portanto, a implicação é falsa.

4.4. A implicação é verdadeira. Pois um triângulo retângulo tem um ângulo reto e um equilátero tem todos os ângulos agudos. Contrarrecíproco: Se um triângulo é equilátero então não é retângulo.

4.5. A implicação é falsa uma vez que um triângulo isósceles pode ser retângulo, logo tem um ângulo reto.Contrarrecíproco: Se um triângulo tem ângulos internos retos então não é isósceles.

4.6. A implicação é verdadeira. Tem-se um losango com diagonais iguais e suficientes para ser um quadrado. Contrarrecíproco: Se um losango não é um quadrado então não tem as diagonais iguais.

4.7. Verdadeira. Pois um ângulo externo e o interno adjacente são suplementares.Contrarrecíproco: Um triângulo não obtusângulo não tem um ângulo externo agudo.

4.8. . Verdadeira. Contrarrecíproco:

4.9. . Falsa, pois para : é verdadeira e, no entanto, é falsa.

Contrarrecíproco:

5. Demonstre, por contrarrecíproco, que se um número natural n não é divisível por 3, então não é divisível por 15.


Resolução

Se um número natural n não é divisível por 3, então não é divisível por 15.Demonstração por contrarrecíproco: Suponhamos que n é um número natural divisível por 15. Pretendemos mostrar que n é divisível por 3.Dado que n é divisível por 15, existe tal qu

. Logo, , onde . Portanto, n é divisível por 3.Fica assim demonstrado que se n é um número natural não divisível por 3, então não é divisível por 15.

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