1. Proposies condicionais e bicondicionaisProposies condicionais Num debate sobre algum tema importante, comum utilizarmos ideias que procuram sustentar nossos argumentos. Essa sustentao, muitas vezes, se d por uma relao entre causa e consequncia, assero com razo ou hiptese com tese. As proposies que estudaremos a partir de agora introduzem os raciocnios mais sutis, presentes em diversas situaes cotidianas, e nos auxiliam tanto na linguagem falada quanto na escrita. Uma proposio condicional sempre pode ser escrita da forma se p, ento q, e denotada por p q.Observe alguns exemplos: Se amanh domingo, ento hoje sbado. Se x = 3, ento x2 = 9. Se eu estudo, ento obtenho uma boa nota na prova. Se 2 + 5 = 7, ento 7 5 = 2. Qualquer proposio da forma p q pode ser interpretada (ou lida) de vrias maneiras diferentes. Por exemplo, a proposio condicional: Se est chovendo, ento existem nuvens. composta pelas seguintes proposies simples: p: est chovendo e q: existem nuvens. Observe a seguir algumas maneiras equivalentes de express-la:Esse material parte integrante do Videoaulas on-line do IESDE BRASIL S/A, mais informaes www.videoaulasonline.com.br

2. Proposies condicionais e bicondicionais se p, ento q: Se est chovendo, ento existem nuvens. p implica q: Estar chovendo implica existir nuvens. p somente se q: Est chovendo somente se existem nuvens. p condio suficiente para q: Estar chovendo suficiente para existir nuvens. q condio necessria para p: Existir nuvens necessrio para estar chovendo.Qual o valor lgico de pq?Para entender como pode ser obtido o valor lgico de uma proposio condicional, considere outro exemplo: Se meu time ganha o jogo, ento ele campeo. As proposies componentes so p: meu time ganha o jogo e q: meu time campeo. A proposio condicional garante que, sendo verdadeiro que meu time ganha o jogo, ento ser verdadeiro tambm que meu time campeo. Entretanto, essa proposio condicional nada afirma sobre o que poder ocorrer caso meu time no ganhe o jogo. Assim, se meu time no ganha o jogo, pode ocorrer que meu time campeo ou que meu time no campeo. Ambas as concluses podem ser verdadeiras na hiptese de o meu time no ganhar o jogo. O nico caso que realmente contradiz a proposio composta : sendo verdadeiro que meu time ganha o jogo, ento ser falso que meu time campeo. q Dessa forma, podemos dizer que uma proposio condicional p ser falsa apenas no caso de p ser verdadeira e q ser falsa. Nos demais casos, p q ter sempre o valor lgico V.46 Esse material parte integrante do Videoaulas on-line do IESDE BRASIL S/A, mais informaes www.videoaulasonline.com.br 3. Proposies condicionais e bicondicionaisUma proposio condicional p q tem valor F apenas quando p tem valor V e q tem valor F. Nos outros casos, p q tem valor lgico V.A tabela-verdade a seguir apresenta um resumo de todos os valores lgicos possveis de uma proposio condicional: pqVVpq VVFFFVVFFVObserve alguns exemplos que procuram explicar as relaes de uma proposio condicional: Exemplo 1: De acordo com a regra que permite aferir valor lgico a uma proposio condicional, observe algumas sentenas com os respectivos valores lgicos: Se Curitiba capital do Paran, ento em 1958 a seleo brasileira ganhou a Copa do Mundo de Futebol pela primeira vez. A proposio condicional pq composta pelas proposies simples:p: Curitiba capital do Paran. (V) q: Em 1958 a seleo brasileira ganhou a Copa do Mundo de Futebol pela primeira vez. (V) Ambas as proposies so verdadeiras. Dessa forma, a proposio Se Curitiba capital do Paran, ento em 1958 a seleo brasileira ganhou a Copa do Mundo de Futebol pela primeira vez tambm verdadeira. Se o Polo Norte est descongelando, ento a China o maior pas em extenso territorial. A proposio condicional pq composta pelas proposies simples:47 Esse material parte integrante do Videoaulas on-line do IESDE BRASIL S/A, mais informaes www.videoaulasonline.com.br 4. Proposies condicionais e bicondicionaisp: O Polo Norte est descongelando. (V) q: A China o maior pas em extenso territorial. (F) A primeira proposio (p) verdadeira e a segunda proposio (q) falsa. Assim, a proposio Se o Polo Norte est descongelando, ento a China o maior pas em extenso territorial falsa. Se o esporte mais praticado na Venezuela o futebol, ento So Paulo o estado de maior produo industrial do Brasil. A proposio condicional pq composta pelas proposies simples:p: O esporte mais praticado na Venezuela o futebol .(F) q: So Paulo o estado de maior produo industrial do Brasil. (V) A proposio Se o esporte mais praticado na Venezuela o futebol, ento So Paulo o estado de maior produo industrial do Brasil verdadeira, pois a primeira proposio (p) falsa e a segunda proposio (q) verdadeira. Se uma semana possui 8 dias, ento Ernesto Geisel no foi presidente da Repblica brasileira. A proposio condicional pq composta pelas proposies simples:p: Uma semana possui 8 dias. (F) q: Ernesto Geisel no foi presidente da Repblica brasileira. (F) A proposio Se uma semana possui 8 dias, ento Ernesto Geisel no foi presidente da Repblica brasileira verdadeira, pois tanto a primeira proposio (p) quanto a segunda proposio (q) so falsas. Exemplo 2: A proposio Se no sei meu nome, ento no sei o seu pode ser escrita de outras formas equivalentes: 1. forma: No saber meu nome implica no saber o seu. 2. forma: No sei o meu nome somente se no sei o seu.48 Esse material parte integrante do Videoaulas on-line do IESDE BRASIL S/A, mais informaes www.videoaulasonline.com.br 5. Proposies condicionais e bicondicionais3. forma: No saber o meu nome condio suficiente para no saber o seu. 4. forma: No saber o seu nome condio necessria para no saber o meu. Exemplo 3: Na proposio: Se hoje domingo, ento vou missa, a proposio hoje domingo condio suficiente para a ocorrncia da proposio ir missa. Por outro lado, a proposio ir missa condio necessria para a ocorrncia da proposio hoje domingo. Assim, temos: Se, hoje domingo entocondio suficientevou missa condio necessriaExemplo 4: Considere como falsa a proposio: Se tenho um bom currculo, ento consigo um bom emprego. Se a proposio simples p: Tenho um bom currculo verdadeira, o que pode concluir em relao ao valor lgico da proposio simples q:Consigo um bom emprego? q seja falsa, a proPara que uma proposio condicional da forma p posio p deve ser verdadeira e a proposio q deve ser falsa. Desta forma, conclui-se que a proposio q: Consigo um bom emprego deve ser falsa. Exemplo 5: Considere como verdadeira a proposio: Se tenho dinheiro, ento viajo ao exterior. Se a proposio simples p: Tenho dinheiro falsa, o que possvel concluir sobre o valor lgico da proposio simples q:Viajo ao exterior? Uma proposio condicional da forma p q verdadeira em qualquer caso, exceto quando a proposio p verdadeira e a proposio q falsa. Logo, como j se conhece o valor lgico falso da proposio p, conclui-se que a proposio q pode ser ou verdadeira ou falsa. Em qualquer um dos 49 Esse material parte integrante do Videoaulas on-line do IESDE BRASIL S/A, mais informaes www.videoaulasonline.com.br 6. Proposies condicionais e bicondicionaisvalores de q, a proposio composta p q ser verdadeira. Assim, conclui-se que a proposio q: Viajo ao exterior pode ser ou verdadeira ou falsa. Exemplo 6: Outra maneira de definir o valor lgico de uma proposio condicional a seguinte: Uma proposio condicional da forma p q for verdadeira.q verdadeira se p for falsa ouEm qualquer um dos casos expostos, ou em ambos, o valor lgico de p q sempre verdadeiro.Relaes entre proposies condicionais Qualquer que seja a proposio condicional, sempre podemos associ-la a outras proposies condicionais. A seguir, estudaremos alguns tipos especiais de proposies que so importantes no estudo da Lgica e da Matemtica.Proposio recproca A proposio recproca de pq a proposio da forma qp. Proposio: Se est chovendo , ento existem nuvens . qp Recproca: Se existem nuvens , ento est chovendo . qpA proposio original garante que, se for verdadeiro que est chovendo, ento ser tambm verdadeiro que existem nuvens. J a proposio recproca correspondente garante que, se existem nuvens, ento est chovendo. Ou seja, a proposio recproca no garante o mesmo que a proposio original. Assim, p q pode ser verdadeira, e sua recproca, q p, falsa. Observe inclusive que na recproca, se for verdadeiro que existem nuvens, ento poder ser verdadeiro ou falso que est chovendo. A presena de nuvens no garante a chuva. Portanto, as duas proposies podem ter valores lgicos diferentes, no sendo, portanto, logicamente equivalentes. 50 Esse material parte integrante do Videoaulas on-line do IESDE BRASIL S/A, mais informaes www.videoaulasonline.com.br 7. Proposies condicionais e bicondicionaisExemplo 1: A proposio Se hoje sbado, ento amanh domingo tem como recproca a proposio Se amanh domingo, ento hoje sbado. Exemplo 2: A proposio Se me esforo, ento veno tem como recproca a proposio Se venci, ento me esforcei. Exemplo 3: A proposio Se sou carioca, ento sou brasileiro tem como recproca a proposio Se sou brasileiro, ento sou carioca. Observe, nesse ltimo exemplo, que uma proposio condicional e sua correspondente recproca no so necessariamente equivalentes. Uma pessoa que brasileira pode ser ou no carioca. J no caso de uma pessoa ser carioca, ela ser necessariamente brasileira.Proposio inversa A proposio inversa de pq a proposio da forma ~p~q. Proposio: Se est chovendo , ento existem nuvens . pq Inversa: Se no est chovendo , ento no existem nuvens . ~p~qA proposio original garante apenas que, no caso de chuva, existem nuvens, mas nada dito sobre o que acontecer caso no chova. Analisando a proposio inversa correspondente, vemos que se for verdadeiro que no est chovendo ento pode ser verdadeiro ou falso a concluso de que no existem nuvens. No difcil perceber que p q pode ser verdadeira, e sua inversa, ~p ~q, falsa. Portanto, ambas podem ter valores lgicos diferentes, no sendo, assim, logicamente equivalentes. Exemplo 1: A proposio Se hoje sbado, ento amanh domingo tem como inversa a proposio Se hoje no sbado, ento amanh no domingo. 51 Esse material parte integrante do Videoaulas on-line do IESDE BRASIL S/A, mais informaes www.videoaulasonline.com.br 8. Proposies condicionais e bicondicionaisExemplo 2: A proposio Se me esforo, ento veno tem como inversa a proposio Se no me esforo, ento no veno. Exemplo 3: A proposio Se sou carioca, ento sou brasileiro tem como inversa a proposio Se no sou carioca, ento no sou brasileiro. Observe, nesse ltimo exemplo, que uma proposio condicional e sua correspondente inversa no so necessariamente equivalentes. Se uma pessoa no carioca, ela pode ser ou no brasileira. No caso de uma pessoa ser carioca, ela ser necessariamente brasileira.Proposio contrapositiva A proposio contrapositiva de pq a proposio da forma ~q~p. Proposio: Se est chovendo, ento existem nuvens . pq Contrapositiva: Se no existem nuvens , ento no est chovendo . ~q~pA proposio original afirma que se est chovendo, ento existem nuvens. Assim, se for verdadeiro que no existem nuvens, tambm ser verdadeiro que no est chovendo, pois a chuva somente ocorre com a presena de nuvens. Podemos, portanto, observar que se p q for verdadeira, a contrapositiva correspondente, ~q ~p, ser verdadeira e, se p q for falsa, ~q ~p tambm ser falsa. Em outras palavras, podemos dizer que estar chovendo condio suficiente para existir nuvens, e no existir nuvens tambm condio suficiente para no estar chovendo. A concluso a de que ambas as proposies so sempre logicamente equivalentes. Portanto, uma proposio condicional e sua correspondente contrapositiva so logicamente equivalentes.52 Esse material parte integrante do Videoaulas on-line do IESDE BRASIL S/A, mais informaes www.videoaulasonline.com.br 9. Proposies condicionais e bicondicionaisA tabela-verdade a seguir relaciona todos os valores lgicos possveis de cada uma delas. proposiopq~p~qVVFFpqrecprocaqpinversa~pcontrapositiva~qVVV~q~p VVFFVFVVFFVVFVFFVFFVVVVVVLogicamente EquivalentesResumindo, dada uma proposio condicional qualquer, sua recproca no logicamente equivalente; sua inversa tambm no logicamente equivalente, mas sua contrapositiva sempre logicamente equivalente: (pq) (~q~p)Exemplo 1: A proposio Se hoje sbado, ento amanh domingo equivalente sua correspondente proposio condicional Se amanh no domingo, ento hoje no sbado. Exemplo 2: A proposio Se me esforo, ento veno equivalente sua correspondente proposio condicional Se no venci, ento no me esforcei. Exemplo 3: A proposio Se sou carioca, ento sou brasileiro equivalente sua correspondente proposio condicional Se no sou brasileiro, ento no sou carioca.Implicao material Alm da proposio contrapositiva, ~q ~p, a proposio condicional p q possui outra proposio equivalente, porm, no condicional. A proposio ~p q, chamada de implicao material, equivalente proposio condicional p q. Para comprovar essa equivalncia, vamos construir as correspondentes tabelas-verdade.53 Esse material parte integrante do Videoaulas on-line do IESDE BRASIL S/A, mais informaes www.videoaulasonline.com.br 10. Proposies condicionais e bicondicionaispq~pVVFp Vq~p q VVFFFFFVVVVFFVVV EquivalentesAs duas ltimas colunas so idnticas. Dessa forma, as proposies ~p q e p q so logicamente equivalentes, ou seja: q ~p qpExemplo: Sejam as proposies p: Ana arquiteta e q: Bruno barbeiro, e as proposies compostas: Proposio condicional: pq: Se Ana arquiteta, ento Bruno barbeiro. Contrapositiva: ~q~p: Se Bruno no barbeiro, ento Ana no arquiteta. Implicao material: ~p q: Ana no arquiteta ou Bruno barbeiro. Observao: A negao da proposio ~p q dada por ~(~p q) p ~q. Como a proposio condicional p q equivalente a ~p q, temos que a negao de ~p q tambm a negao de p q . Observe a tabela-verdade: pq~p~qpq~p qp ~qVVFFVVFVFFVFFVFVVFVVFFFVVVVF54 Esse material parte integrante do Videoaulas on-line do IESDE BRASIL S/A, mais informaes www.videoaulasonline.com.br 11. Proposies condicionais e bicondicionaisDessa forma, a negao da proposio p seja: ~(pq a proposio p~q, ouq) p ~qExemplo: Proposio condicional: pq: Se Ana arquiteta, ento Bruno barbeiro. Negao: p ~q: Ana arquiteta e Bruno no barbeiro.Proposies bicondicionais As proposies bicondicionais so formadas a partir de proposies condicionais. Assim, quando ocorrer simultaneamente as proposies se p, ento q e se q, ento p, dizemos que tambm ocorre a proposio bicondicional p se, e somente se, q e a representamos por p q .Para exemplificar, considere as seguintes proposies: Condicional: pq: Se Carla curitibana , ento Carla nasceu em Curitiba . Recproca: qpqp: Se Carla nasceu em Curitiba , ento Carla curitibana . pqFazendo a conjuno das proposies anteriores, obtemos a proposio bicondicional: Carla curitibana se, e somente se, Carla nasceu em Curitiba . pqA expresso se, e somente se nos d a garantia de que se for verdadeiro que Carla curitibana, ento ser verdadeiro que Carla nasceu em Curitiba. Da mesma forma, se for falso que Carla curitibana, ento ser tambm falso que Carla nasceu em Curitiba. Podemos, portanto, definir uma proposio bicondicional (p q) como sendo uma conjuno ( ) entre a proposio condicional associada (p q) e sua correspondente recproca (q p). 55 Esse material parte integrante do Videoaulas on-line do IESDE BRASIL S/A, mais informaes www.videoaulasonline.com.br 12. Proposies condicionais e bicondicionaisEm smbolos, a relao a seguinte: conjuno(pq) (qp) (pCondicional recprocaq)bicondicionalExistem outras maneiras equivalentes para utilizar uma proposio bicondicional. Observe: p se, e somente se, q: Carla curitibana se, e somente se, nasceu em Curitiba. p equivale a q: Carla ser curitibana equivale a nascer em Curitiba. p condio necessria e suficiente para q: Carla ser curitibana necessrio e suficiente para nascer em Curitiba.Como podemos obter o valor lgico de uma proposio bicondicional p q? Para compreendermos o valor lgico de uma proposio bicondicional, vamos, inicialmente, recordar o valor lgico de uma condicional. A proposio p q tem valor F apenas quando p tem valor V e q tem valor F. Da mesma forma, q p tem valor F apenas quando q tem valor V e p tem valor F. Portanto, p q ter valor lgico V, se p e q forem ambas verdadeiras ou ambas falsas. Caso p e q tenham valores diferentes uma V e outra F o valor lgico de p q ser F. Resumindo, podemos construir a seguinte tabela-verdade da proposio bicondicional: pqV V F FV F V FpqqpV V F V V F V V Condicionais pq V F F V Bicondicional56 Esse material parte integrante do Videoaulas on-line do IESDE BRASIL S/A, mais informaes www.videoaulasonline.com.br 13. Proposies condicionais e bicondicionaisOs valores lgicos da ltima coluna da tabela foram obtidos fazendo uma conjuno ( ) entre os valores da terceira e da quarta colunas, pois (p q) (q p) (p q). Observe ainda que esses valores da ltima coluna podem tambm ser obtidos atravs dos valores lgicos da primeira e segunda colunas. Nesse caso, quando p e q tm valores iguais, a bicondicional tem valor V, e quando p e q tm valores diferentes, a bicondicional tem valor F. Exemplo 1: Considere as seguintes proposies: p: x divisvel por 3 q: y mltiplo de 5 Vamos representar cada uma das proposies abaixo utilizando as proposies p ou q, e os smbolos: ~, ou . Se x divisvel por 3, ento y mltiplo de 5. pq Se y mltiplo de 5, ento x divisvel por 3. qp Se x no divisvel por 3, ento y no mltiplo de 5. ~p~q Se y no mltiplo de 5, ento x no divisvel por 3. ~q~p x divisvel por 3 se, e somente se, y mltiplo de 5. pq x no divisvel por 3 se, e somente se, y no mltiplo de 5. ~p~qExemplo 2: Sejam as proposies: p: 10 mltiplo de 4. q: 10 par. 57 Esse material parte integrante do Videoaulas on-line do IESDE BRASIL S/A, mais informaes www.videoaulasonline.com.br 14. Proposies condicionais e bicondicionaisObserve que a proposio p falsa e a proposio q verdadeira. Vamos escrever as seguintes proposies em linguagem usual e determinar o correspondente valor lgico resultante. pq: Se 10 mltiplo de 4, ento 10 par. qp: Se 10 par, ento 10 mltiplo de 4. ~p~q: Se 10 no mltiplo de 4, ento 10 no par. ~q~p: Se 10 no par, ento 10 no mltiplo de 4. pq: 10 mltiplo de 4 se, e somente se, 10 par. pq~p~qFVVFpq Vqp~pF~q~qF~ppVq FExemplo 3: Nesse exemplo, mostraremos que as proposies ~(p logicamente equivalentes por meio da tabela-verdade: pq~qV V F FV F V FF V F Vp~q F V F Fpq V F V Vq) e (p ~q) so~(pq) F V F FObserve na tabela-verdade que as colunas referentes s proposies ~(p q) e (p ~q) so idnticas. Isso mostra que so logicamente equivalentes. Esse exemplo ilustra o fato de que a negao de uma proposio condicional da forma p q obtida fazendo uma conjuno entre a proposio p e a negao da proposio q. Em outras palavras, a negao de p q p ~q. 58 Esse material parte integrante do Videoaulas on-line do IESDE BRASIL S/A, mais informaes www.videoaulasonline.com.br 15. Proposies condicionais e bicondicionaisAssim, a negao da proposio Se trabalho, ento veno Trabalho e no veno. Exemplo 4: Considere as proposies: p: Joo casado q: Joo dana tango Utilizando as proposies p ou q, e os smbolos , ou ~, represente simbolicamente as proposies que a seguir esto escritas em linguagem natural. Se Joo casado, ento dana tango. pq Se Joo no dana tango, ento casado. p ~q Joo casado se, e somente se, dana tango. pq Se Joo dana tango, ento Joo casado. qp Se Joo no dana tango, ento no casado. ~q~p Joo danar tango condio necessria para ser casado. pq Joo ser casado condio suficiente para danar tango. pq Joo no danar tango equivale a Joo no ser casado. ~p ~q Exemplo 5: Considere as proposies simples: 59 Esse material parte integrante do Videoaulas on-line do IESDE BRASIL S/A, mais informaes www.videoaulasonline.com.br 16. Proposies condicionais e bicondicionaisp: O Brasil um pas sul-americano.q: O Japo fica na Oceania.r: A cidade do Rio de Janeiro nunca foi capital do pas.Os valores lgicos das proposies anteriores so V, F e F, respectivamente. Vamos determinar o valor lgico de cada uma das proposies compostas a seguir: p qA proposio p r ~q A proposio ~q p r tem valor F, pois ~q tem valor V e r tem valor F.rA proposio p ~qq tem valor F, pois p tem valor V e q tem valor F.r tem valor F, pois p tem valor V e r tem valor F.~rA proposio ~q ~p (~r~r tem valor V, pois ~q tem valor V e ~r tem valor V.q) Observe que ~r tem valor V, q tem valor F e, portanto, a condicional (~r q) tem valor F. Como ~p tem valor F, concluise que a proposio ~p (~r q) tem valor F. (p ~r)qObserve que p tem valor V, ~r tem valor V e, assim, a conjuno (p ~r) q tem valor V. Como q tem valor F, conclui-se que a proposio (p ~r) tem valor F.Conjuntos possvel relacionar as proposies condicionais e conjuntos. Isso pode ser feito naturalmente pela associao de conceitos matemticos com conceitos lgicos. Para uma melhor compreenso, atente para alguns conceitos.60 Esse material parte integrante do Videoaulas on-line do IESDE BRASIL S/A, mais informaes www.videoaulasonline.com.br 17. Proposies condicionais e bicondicionaisElementos de conjuntosUniversidade Federal de Minas Gerais.Os deputados federais so eleitos para representar os interesses da sociedade brasileira no Congresso Nacional, em Braslia.Os deputados federais so elementos do conjunto de polticos do Congresso Nacional.Se considerssemos o conjunto de todos os polticos que trabalham no Congresso Nacional, cada deputado federal e cada senador seria um elemento desse conjunto. Esse conjunto poderia ser representado de vrias maneiras. Sendo C o conjunto dos polticos que trabalham no Congresso Nacional, observe algumas dessas maneiras: C = {x / x poltico do Congresso Nacional} C = {polticos do Congresso Nacional} Polticos do Congresso Nacional Deputado Federal 1 Deputado Federal 2 Deputado Federal n Senador 1 Senador 2 Senador m61 Esse material parte integrante do Videoaulas on-line do IESDE BRASIL S/A, mais informaes www.videoaulasonline.com.br 18. Proposies condicionais e bicondicionaisA associao entre um elemento e um conjunto chamada de relao de pertinncia: Dizemos que um elemento x pertence a um conjunto A, e representamos por x A, quando x um dos elementos que constituem o conjunto A. Caso contrrio, quando no constitui, dizemos que x no pertence a A, ou seja, x A. Exemplo 1: Para o conjunto A = {2; 5; 7}, podemos escrever: 2 A, 5 A, 7 A e 3 A. Exemplo 2: Para o conjunto B = { ; ; }, temos:B, B,B, masB.Exemplo 3: O conjunto soluo ou conjunto verdade de uma equao formado pelos valores da varivel que tornam a igualdade verdadeira. Por exemplo, qual o conjunto soluo da equao x2 5x + 6 = 0? O conjunto soluo S pode ser assim definido: S = {x/ x2 5x + 6 = 0} A resoluo pode ser efetuada pela frmula de Bhskara (1114-1185):x2 5x + 6 = 0 x = ( 5) (5)2 4 . 1 . 62.1x=512 x = 2 ou x = 3Logo, o conjunto soluo S da equao S = {2, 3}: S 23 DiagramaOs nmeros 2 e 3, chamados de razes, so os nicos nmeros que tornam verdadeira a equao ao se substituir a varivel x por 2 ou por 3, separadamente: x = 222 5 . 2 + 6 = 00 = 0 (igualdade verdadeira) x = 332 5 . 3 + 6 = 00 = 0 (igualdade verdadeira)62 Esse material parte integrante do Videoaulas on-line do IESDE BRASIL S/A, mais informaes www.videoaulasonline.com.br 19. Proposies condicionais e bicondicionaisObservao: Apesar de existir vrias maneiras de se representar um conjunto, o mais importante, entretanto, no a representao utilizada, mas, sim, que no haja dvida sobre quais so os elementos componentes.Subconjuntos Assim como elementos podem estar associados a conjuntos utilizando os smbolos correspondentes a pertence ( ) e no pertence ( ), dois conjuntos podem estar tambm relacionados por meio dos smbolos (est contido) ou (no est contido). Como exemplo, considere: C: polticos do Congresso Nacional B: polticos brasileiros Ento, podemos escrever: CBNesse caso, o conjunto C subconjunto do conjunto B: B C Nesta representao C est contido no BDizer que o conjunto dos polticos do Congresso Nacional est contido no conjunto dos polticos do Brasil o mesmo que afirmar: Todo poltico do Congresso Nacional um poltico do Brasil. Podemos tambm dizer que o conjunto B contm o conjunto C, ou seja, B C. Pode ocorrer que nem todos os elementos de um conjunto (ou nenhum) pertenam ao outro conjunto. Para ilustrar, considere os seguintes conjuntos: A: pessoas que trabalham no Congresso Nacional B: polticos do Brasil63 Esse material parte integrante do Videoaulas on-line do IESDE BRASIL S/A, mais informaes www.videoaulasonline.com.br 20. Proposies condicionais e bicondicionaisExistem pessoas que trabalham no Congresso Nacional e no so polticos. Nesse caso, dizemos que A no est contido em B ou que o conjunto B no contm o conjunto A. Em smbolos, a representao A B. B A Nesta representao o conjunto A no est contido em BExemplo: Dados os conjuntos A = {1; 2; 3; 4; 5}, B = {2; 4; 5} e C = {0; 1; 2; 3}, todos os elementos de B pertencem ao conjunto A, mas nem todos os elementos de C pertencem ao conjunto A. A ilustrao indica que o conjunto B subconjunto de A e o conjunto C no subconjunto de A. A BC41 0253Logo, podemos escrever: BAeCA.Conjunto vazio Um conjunto qualquer pode ter muitos elementos, at infinitos elementos podem ocorrer. Por outro lado, um conjunto pode tambm no ter elementos. Quando um conjunto no possui elemento algum chamado de conjunto vazio. Um conjunto vazio no possui elemento algum. Para represent-lo, existem duas maneiras: { } ou .64 Esse material parte integrante do Videoaulas on-line do IESDE BRASIL S/A, mais informaes www.videoaulasonline.com.br 21. Proposies condicionais e bicondicionaisObservaes: No possvel apresentar um elemento sequer do conjunto vazio que no pertena a um conjunto qualquer A. Por isso, admitimos sempre que: A, qualquer que seja A. Todos os elementos de um conjunto A pertencem ao prprio conjunto A, ou seja: AA, para todo conjunto A.Exemplo 1: Dadas as afirmaes a seguir, vamos classificlas em verdadeiras (V) ou falsas (F): ( V ) Se A = {m, n, p, q}, ento m A. {2, 3, 4}( V ) {2, 3}( V ) {0, 2, 4, 6, ...} BeB( V ) Se A (V){0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, ...} C, ento AC.A, qualquer que seja A. BeB( V ) Se AA, ento A = B.( V ) Se A = {x/ x > 0 e x par}, ento A = {2, 4, 6, 8, ...} Exemplo 2: Quais possveis conjuntos X satisfazem a relao {3, 4}X{2, 3, 4, 5}?Para satisfazer tal relao, X deve conter {3, 4} e, ao mesmo tempo, estar contido em {2, 3, 4, 5}. Assim, existem quatro conjuntos possveis para X: X = {2, 3} X = {2, 3, 4} X = {2, 3, 5} X = {2, 3, 4, 5}65 Esse material parte integrante do Videoaulas on-line do IESDE BRASIL S/A, mais informaes www.videoaulasonline.com.br 22. Proposies condicionais e bicondicionaisProposies condicionais e conjuntos IESDE Brasil S.A. Adaptado.A Inglaterra um dos pases da Europa.Escala grfica aproximada0405 KmFonte: Temtica Cartografia.Legenda:Territrios pertencentes ao continente europeu Territrios pertencentes outros continentes Reino UnidoPor esse motivo, podemos escrever: Todo ingls europeu. E representar: Pessoa inglesa Pessoa europeia, ou seja: Se uma pessoa inglesa, ento europeia. Observao: Em Lgica, quando utilizamos a proposio p q (se p, ento q), estamos relacionando dois conjuntos: P (formado pelos elementos que satisfazem a propriedade p) e Q (formado pelos elementos que satisfazem a propriedade q), de forma que todos os elementos de P sejam elementos de Q, ou seja, P Q. p q corresponde a P Q. 66 Esse material parte integrante do Videoaulas on-line do IESDE BRASIL S/A, mais informaes www.videoaulasonline.com.br 23. Proposies condicionais e bicondicionaisExemplo 1: Considere as definies: p: Ana inglesa q: Ana europeia e as designaes P: conjunto dos ingleses Q: conjunto dos europeus Relacionando as ideias, podemos escrever: Se Ana inglesa, ento Ana europeia (pq).Logo, de forma equivalente, todo ingls europeu (PQ).Para explorar mais detalhes relacionados lgica, considere: ~p: Ana no inglesa ~q: Ana no europeia O que voc diria quanto s afirmaes: Se Ana europeia, ento Ana inglesa (qp).Se Ana no inglesa, ela no europeia (~p~q).Quem da Alemanha, por exemplo, no da Inglaterra, mas da Europa. Assim, uma pessoa europeia no necessariamente inglesa. Do mesmo modo, uma pessoa no inglesa no necessariamente no europeia. Organizando as informaes, podemos dizer que a proposio: Pessoa inglesaPessoa europeiano equivalente a qualquer uma das seguintes proposies: Pessoa europeia Pessoa no inglesaPessoa inglesa Pessoa no europeiaEntretanto, a proposio: Se Ana inglesa, ento Ana europeia (pq). 67Esse material parte integrante do Videoaulas on-line do IESDE BRASIL S/A, mais informaes www.videoaulasonline.com.br 24. Proposies condicionais e bicondicionais equivalente a: Se Ana no europeia, ento Ana no inglesa (~q~p).Europeus Ingleses AnaAna Se Ana no europeia, ento no inglesa. Se Ana inglesa, ento europeia.Observe que essa relao validada pelo seguinte fato: Proposio condicional: Se Ana inglesa, ento europeia. Proposio contrapositiva equivalente: Se Ana no europeia, ento no inglesa. Exemplo 2: Considere as definies: p: Bruno carioca q: Bruno brasileiro e as designaes: P: conjunto dos cariocas Q: conjunto dos brasileiros Associando as proposies e os conjuntos, temos: Se Bruno carioca, ento Bruno brasileiro (pq).De forma equivalente, todo carioca brasileiro (PQ).Observe no prximo exemplo que as relaes entre as proposies e os conjuntos no precisam ser geogrficas. 68 Esse material parte integrante do Videoaulas on-line do IESDE BRASIL S/A, mais informaes www.videoaulasonline.com.br 25. Proposies condicionais e bicondicionaisExemplo 3: Considere as aes: p: Estudar q: Aprovao no concurso e as designaes: P: conjunto dos que estudam Q: conjunto dos aprovados em concursos Se a relao entre as proposies p e q se d por uma proposio condicional, podemos escrever: Se algum estuda, ento aprovado no concurso (pq).Da mesma forma: Todos os que estudam so aprovados no concurso (PQ).Exemplo 4: Qual ilustrao poderia ser construda se considerssemos como verdadeira a proposio: Se dirige rpido, ento est apressado (pq).O conjunto das pessoas que dirigem rpido subconjunto das pessoas apressadas: Pessoas apressadasPessoas que dirigem rpidoTodas as pessoas que dirigem rpido so apressadas. Vale ainda ressaltar que, de acordo com a ilustrao anterior, as pessoas que no dirigem rpido podem ou no ser apressadas.69 Esse material parte integrante do Videoaulas on-line do IESDE BRASIL S/A, mais informaes www.videoaulasonline.com.br 26. Proposies condicionais e bicondicionaisExemplo 5: Considerando verdadeira a proposio: Todas as plantas so verdes. Por meio de diagramas, a ilustrao adequada para relacionar os conjuntos plantas e verdes a seguinte: VerdesPlantasObserve que as proposies a seguir no so necessariamente verdadeiras: Todos os verdes so plantas. Todas as no plantas so no verdes. A proposio abaixo necessariamente verdadeira, pois se todas as plantas so verdes, obrigatoriamente algumas plantas so verdes. Algumas plantas so verdes. Tambm necessariamente verdadeira a proposio abaixo: Todos os no verdes so no plantas. Para verificar, basta utilizar a proposio contrapositiva correspondente. Proposio condicional: Plantas Verdes Proposio contrapositiva equivalente: No Verdes No Plantas Isso pode ser verificado no diagrama anterior: os elementos que no pertencem ao conjunto dos Verdes necessariamente no pertencem ao conjunto das Plantas.70 Esse material parte integrante do Videoaulas on-line do IESDE BRASIL S/A, mais informaes www.videoaulasonline.com.br 27. Proposies condicionais e bicondicionaisExemplo 6: Considere verdadeira a proposio: Todos os advogados so honestos. Uma ilustrao que representa corretamente a relao entre os conjuntos Advogados e Honestos a seguinte: HonestosAdvogadosSe Todos os advogados so honestos, ento: Todos os honestos so advogados. Todos os no advogados so no honestos. as proposies no so necessariamente verdadeiras. A proposio: Alguns advogados so honestos. necessariamente verdadeira, pois se todas os advogados so honestos, verdade que alguns advogados so honestos. A proposio abaixo tambm necessariamente verdadeira. Todos os no honestos so no advogados. Observe: Proposio condicional: Advogados Honestos Proposio contrapositiva equivalente: No honestos No advogados71 Esse material parte integrante do Videoaulas on-line do IESDE BRASIL S/A, mais informaes www.videoaulasonline.com.br 28. Proposies condicionais e bicondicionaisAmpliando seus conhecimentos O prximo texto foi extrado do livro Lgica? Lgico! (MACHADO, 2000, p. 9)O filme O Enigma de Kaspar Hauser relata a histria de um homem (Kaspar Hauser) que viveu isolado de outras pessoas desde criana at a idade adulta, quando aprendeu a falar. Nesse filme, h uma cena em que um professor de Lgica, para investigar a inteligncia de Kaspar Hauser, prope o seguinte problema: Caminhando por certa estrada, voc chega a um ponto em que h uma bifurcao: uma das vias conduz aldeia A e a outra conduz aldeia B. No ponto de bifurcao, voc encontra dois homens, cada um vindo de uma das aldeias onde vivem. No se sabe qual deles vem da aldeia A ou da B. Sabe-se apenas que todos os habitantes da aldeia A mentem o tempo todo, enquanto todos os habitantes da B falam somente a verdade. Voc deve identificar a procedncia de cada um dos homens, sendo-lhe permitido, para isso, fazer uma nica pergunta a um s deles. Qual deve ser a pergunta? Kaspar Hauser respondeu: Eu perguntaria a qualquer um dos dois: Voc uma pedra? Explique como essa nica pergunta feita a qualquer um dos homens possibilitou a identificao da origem de cada um deles. Comentrio do autor: Cada um dos homens tem uma procedncia diferente e, portanto, naturezas distintas em relao falar ou no a verdade. A pergunta voc uma pedra? deve ser respondida com um sim por quem mente e nopor quem fala a verdade. Logo, independentemente a quem feita a pergunta, de acordo com a resposta, sempre ser possvel identificar se o homem fala a verdade ou mente. Alm disso, o homem a quem no feita a pergunta ter, necessariamente, natureza oposta do primeiro a quem feita a pergunta. Isso possibilitar identificar a origem de cada um deles.72 Esse material parte integrante do Videoaulas on-line do IESDE BRASIL S/A, mais informaes www.videoaulasonline.com.br 29. Proposies condicionais e bicondicionaisAtividades de aplicao 1. Considere as proposies simples: p: 7 um nmero mpar.q: Existem infinitos nmeros inteiros.r: Todo europeu francs.De acordo com os valores lgicos de p, q e r, determine os valores lgicos das proposies compostas: a) ( ) p q b) ( ) ~q r c) ( ) p r d) ( ) q ~r e) ( ) ~r ~q f) ( ) p q g) ( ) ~q r h) ( ) (~p r) (~q)2. Considerando verdadeira a proposio Se sou carioca, ento sou brasileiro, marque V ou F, conforme se possa concluir que cada uma das seguintes proposies verdadeira ou falsa, respectivamente. a)( ) Ser carioca suficiente para ser brasileiro. b)( ) Ser brasileiro necessrio para ser carioca. c) ( ) Ser brasileiro suficiente para ser carioca. d)( ) Ser carioca necessrio para ser brasileiro. e)( ) Sou carioca somente se sou brasileiro. f) ( ) Sou brasileiro somente se sou carioca.73 Esse material parte integrante do Videoaulas on-line do IESDE BRASIL S/A, mais informaes www.videoaulasonline.com.br 30. Proposies condicionais e bicondicionais3. Considerando como verdadeira a proposio Se Almir almirante, ento Bruno biruta, marque com um X as proposies que so necessariamente verdadeiras. a) ( ) Se Bruno biruta, ento Almir almirante. b) ( ) Se Bruno no biruta, ento Almir no almirante. c) ( ) Se Almir no almirante, ento Bruno no biruta. d) ( ) Almir ser almirante condio suficiente para Bruno ser biruta. e) ( ) Almir ser almirante condio necessria para Bruno ser biruta. f) ( ) Almir no ser almirante condio suficiente para Bruno no ser biruta. g) ( ) Almir no ser almirante condio necessria para Bruno no ser biruta. h) ( ) Bruno ser biruta condio suficiente para Almir ser almirante. i) ( ) Bruno ser biruta condio necessria para Almir ser almirante. j) ( ) Bruno no ser biruta condio suficiente para Almir no ser almirante. k) ( ) Bruno no ser biruta condio necessria para Almir no ser almirante. 4. Dada a proposio condicional Se estudo, ento passo: a) Escreva uma proposio condicional equivalente. b) Escreva uma proposio no condicional equivalente. c) Escreva a negao da proposio dada. 5. Qual a negao da proposio Se voc estudou Lgica ento voc acertar essa questo? 6. Marque V ou F conforme a proposio seja verdadeira ou falsa, respectivamente. a)( ) Uma condio necessria para que um nmero seja maior do que 3 que ele seja positivo. 74 Esse material parte integrante do Videoaulas on-line do IESDE BRASIL S/A, mais informaes www.videoaulasonline.com.br 31. Proposies condicionais e bicondicionaisb)( ) Uma condio suficiente para que um nmero seja maior do que 1 que ele seja positivo. c) ( ) Uma condio necessria e suficiente para que um nmero seja maior do que 2 que ele seja positivo. d)( ) Toda condio suficiente para que um nmero seja positivo tambm suficiente para que ele seja maior do que 2. 7. Num balnerio rigorosamente obedecida a seguinte ordem: Se no chover, ento todos os bares devero ser abertos.Nas proposies a seguir, marque V conforme se possa concluir corretamente que a proposio verdadeira. Caso contrrio, marque F. a)( ) Se todos os bares beira-mar esto abertos, ento choveu. b)( ) Se todos os bares beira-mar esto abertos, ento no choveu. c) ( ) Se choveu, ento todos os bares beira-mar no esto abertos. d)( ) Se choveu, ento todos os bares beira-mar esto abertos. e)( ) Se um bar beira-mar no est aberto, ento choveu.8. Por meio da tabela-verdade, mostre que a proposio Se tenho dinheiro, ento viajo a negao da proposio Tive dinheiro e no viajei. 9. Cada um dos cartes abaixo tm de um lado um nmero e do outro uma letra.U Z45Considerando como verdadeira a afirmao Todos os cartes que tm vogal numa face, tm nmero par na outra, marque V ou F em cada uma das proposies a seguir, conforme a proposio seja verdadeira ou falsa, respectivamente. Para verificar se tal afirmao verdadeira, a)( ) necessrio virar todos os cartes. 75 Esse material parte integrante do Videoaulas on-line do IESDE BRASIL S/A, mais informaes www.videoaulasonline.com.br 32. Proposies condicionais e bicondicionaisb)( ) suficiente virar os dois primeiros cartes. c) ( ) suficiente virar os dois ltimos cartes. d)( ) suficiente virar os dois cartes do meio. e)( ) suficiente virar o primeiro e o ltimo carto. 10.A sentena Estou feliz se, e somente se, meu time ganha verdadeira. Marque V caso se possa concluir que a sentena apresentada necessariamente verdadeira. Caso contrrio, marque F. a) ( ) Estou feliz. b) ( ) Meu time ganhou. c) ( ) No estou feliz. d) ( ) Meu time no ganhou. e) ( ) Se estou feliz, ento meu time ganhou. f) ( ) Se meu time ganhou, ento estou feliz. g) ( ) Se meu time no ganhou, ento no estou feliz. h) ( ) Se no estou feliz, ento meu time no ganhou. i) ( ) Se no estou feliz, ento meu time ganhou. j) ( ) Se estou feliz, ento meu time no ganhou. k) ( ) Se meu time ganhou, ento no estou feliz. l) ( ) Se meu no time ganhou, ento estou feliz.76 Esse material parte integrante do Videoaulas on-line do IESDE BRASIL S/A, mais informaes www.videoaulasonline.com.br 33. Proposies condicionais e bicondicionaisReferncias ABELARDO, Pedro. Lgica para Principiantes. Petrpolis: Vozes, 1994. ALENCAR FILHO, Edgard de. Iniciao Lgica Matemtica. So Paulo: Nobel, 2003. 203 p. ARISTTELES. Tpicos. So Paulo: Abril Cultural, 1973. (Coleo Os Pensadores). _____. Organon. So Paulo: Nova Cultural, 1999. (Coleo Os Pensadores). BOLL, Marcel; REINHART, Jacques. A Histria da Lgica. Lisboa: Edies 70, 1982. 127 p. CASTRUCCI, Benedito. Introduo Lgica Matemtica. 6. ed. So Paulo: Nobel, 1986. 158 p. DESCARTES, Ren. Discurso do Mtodo. 4. ed. So Paulo: Martins Fontes, 2003. 102 p. KELLER, Vicente; BASTOS, Cleverson L. Aprendendo Lgica. 12. ed. Petrpolis: Vozes, 2000. 179 p. KOPNIN, P. V. A Dialtica como Lgica e Teoria do Conhecimento. Rio de Janeiro, 1978. 353 p. LAUSCHNER, Roque. Lgica Formal. 4. ed. rev. Porto Alegre: Sulina/ Unisinos, 1984. 207 p. LIARD, L. Lgica. 6. ed. So Paulo: Cia. Editora Nacional, 1965. 211 p. LIPSCHULTZ, Seymour. Teoria dos Conjuntos. So Paulo: McGraw-Hill, 1972. 337 p. MACHADO, Nilson Jos. Matemtica 1 por Assunto lgica, conjuntos e funes. So Paulo: Scipione, 1988. 240 p. _____. Lgica? Lgico! So Paulo: Scipione, 2000. 49 p. (Coleo Vivendo a Matemtica). MARITAIN, Jacques. Elementos de Filosofia II: a ordem dos conceitos, lgica menor. Rio de Janeiro: Agir, 1980. 318 p.77 Esse material parte integrante do Videoaulas on-line do IESDE BRASIL S/A, mais informaes www.videoaulasonline.com.br 34. Proposies condicionais e bicondicionaisNAHRA, Cnara; WEBER, Ivan Hingo. Atravs da Lgica. 5. ed. Petrpolis: Vozes, 1997. 174 p. OLIVEIRA, Augusto J. Franco de. Lgica Aritmtica. Braslia: UnB, 2004. 241 p. SALMON, Wesley C. Lgica. 4. ed. Rio de Janeiro: Zahar, 1978. 142 p. SRATES, Jonofon. Raciocnio Lgico. 8. ed. Braslia: Jonofon, 1998. 432 p. v. 1. _____. Raciocnio Lgico. 8. ed. Braslia: Jonofon, 1998. 467 p. v. 2. SOARES, Edvaldo. Fundamentos da Lgica elementos da Lgica Formal e Teoria da Argumentao. So Paulo: Atlas, 2003. 187 p. TELLES JR., Goffredo. Curso de Lgica Formal. 3. ed. So Paulo: Edusp, 1973. 367 p.78 Esse material parte integrante do Videoaulas on-line do IESDE BRASIL S/A, mais informaes www.videoaulasonline.com.br 35. Proposies condicionais e bicondicionaisGabarito 1. a) ( V )b)( V )c)( F )d)(V)e) ( F )f )( V )g)( V )h)(F)2. a) ( V )b)( V )c)( F )d)(F)f )(F)e) ( V )3. a) ()b)( X )c)()d)(X)e) ()f )()g)( X )h)(i)( X )j)( X )k)())4. a) Se no passei, ento no estudei. b) No estudo ou passo. c) Estudei e no passei. 5. Voc estudou lgica e no acertar essa questo. 6. a) ( V )b)( F )c)( F )d)(F)7. a) ( F )b)( F )c)( F )d)(F)e) ( V )8. Sejam as proposies p: tenho dinheiro e q: viajo. A proposio Se tenho dinheiro, ento viajo tem a forma p q e a proposio Tive dinheiro e no viajei tem a forma p ~q. Assim, temos: p~qVVFVFVFVFVFVFVFFqpqp ~qFVVFA tabela comprova que as proposies so contraditrias, ou seja, ~(p q) p ~q.79 Esse material parte integrante do Videoaulas on-line do IESDE BRASIL S/A, mais informaes www.videoaulasonline.com.br 36. Proposies condicionais e bicondicionais9. a) ( F )b)( F )d) ( F )e)(V)10.a) ( F )b)e) ( V )i)( F )c)(F)( F )c)( F )d)(F)f )( V )g)( V )h)(V)j)( F )k) ( F )l)(F)80 Esse material parte integrante do Videoaulas on-line do IESDE BRASIL S/A, mais informaes www.videoaulasonline.com.br 37. Esse material parte integrante do Videoaulas on-line do IESDE BRASIL S/A, mais informaes www.videoaulasonline.com.br 38. Esse material parte integrante do Videoaulas on-line do IESDE BRASIL S/A, mais informaes www.videoaulasonline.com.br