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UNIVERSIDADE FEDERAL DO RIO GRANDE DO NORTE
CENTRO DE CIÊNCIAS HUMANAS, LETRAS E ARTES
DEPARTAMENTO DE FILOSOFIA
MÁRCIA SOLANYA DA SILVA FREIRE DE SOUSA
UM ESTUDO SOBRE AS FIGURAS SILOGISTICAS DE ARISTÓTELES E OS DIAGRAMAS DE VENN
Natal/RN
2016
MÁRCIA SOLANYA DA SILVA FREIRE DE SOUSA
UM ESTUDO SOBRE AS FIGURAS SILOGISTICAS DE ARISTÓTELES E OS DIAGRAMAS DE VENN
Trabalho de conclusão de curso
de graduação apresentado ao
Departamento de Filosofia da
Universidade Federal do Rio Grande do
Norte, como requisito parcial para
obtenção do grau de Bacharel em
Filosofia
Orientador: Bruno Rafaelo Lopes Vaz
Natal/RN
2016
MÁRCIA SOLANYA DA SILVA FREIRE DE SOUSA
UM ESTUDO SOBRE AS FIGURAS SILOGISTICAS DE ARISTÓTELES E OS DIAGRAMAS DE VENN
Trabalho de conclusão de curso de
graduação apresentado ao Departamento
de Filosofia da Universidade Federal do Rio
Grande do Norte, como requisito parcial
para obtenção do grau de Bacharel em
Filosofia
Aprovado em _____ de ___________________ de ________.
BANCA EXAMINADORA:
____________________________________
Bruno Rafaelo Lopes Vaz - Orientador
________________________________
Sérgio Eduardo Lima da Silva – Membro Titular
___________________________________
Samir Bezerra Gorsky – Membro Titular
A O MEU AMADO FILHO GUI.
AGRADECIMENTOS
A Deus.
Ao meu maravilhoso filho Guilherme e a Nicolas, pelo companheirismo de sempre e por me fazerem sentir o real significado da palavra amor.
Ao meu orientador Bruno Vaz , pela ajuda e paciência, as quais me foram extremamente necessárias e que vou ser eternamente grata.
Aos amigos que me ajudaram, em especial Keoma.
Aos verdadeiros professores do Departamento de Filosofia da UFRN.
Vencer a si próprio é a maior das vitórias
Platão
RESUMO
O presente trabalho é uma breve exposição sobre a silogística de Aristóteles e
sua interseção com os diagramas de Venn. Pretende-se mostrar como o
método diagramático pode ser visto como uma ferramenta para que o assunto
se torne mais facilmente compreendido. Esse trabalho pretende apresentar as
semelhanças e diferenças entre o modo tradicional de se estudar a silogística,
e o método diagramático, enfatizando este último no que diz respeito à
facilidade para o teste de validade de silogismos, bem como para a
compreensão de alguns dos princípios da teoria silogística.
Palavras-chave: Lógica silogística,figuras silogísticas,Diagramas de Venn.
ABSTRACT
This work is a brief presentation on the syllogistic of Aristotle and its intersection
with Venn diagrams. It is intended to show how the diagrammatic method can
be seen as a tool for a better understanding about that theory. This study aims
to present the similarities and differences between the traditional way of
studying the syllogism, and the diagrammatic method stressing the latter with
regard to the heuristic advantages related to validity tests and to the
understanding of some of the principles of syllogistic theory.
Keywords: syllogistic logic, syllogistic figures, Venn diagrams.
SUMÁRIO
INTRODUÇÃO..............................................................................................................................................................10
CAPÍTULO 1: A SILOGÍSTICA..................................................................................................................................12
1.1 - QUADRADO DE OPOSIÇÕES........................................................................................................................14
1.2 - SILOGISMO CATEGÓRICO...........................................................................................................................15
1.3 - FIGURAS SILOGÍSTICAS...............................................................................................................................18
CAPÍTULO 2: DIAGRAMAS PARA A SILOGÍSTICA...............................................................................................22
2.1. O QUADRADO DE OPOSIÇÕES COM DIAGRAMAS......................................................................................22
2.2. DIAGRAMAS PARA OS SILOGISMOS CATEGÓRICOS..................................................................................25
2.3. DIAGRAMAS PARA SILOGISMOS COM COMPROMISSO EXISTENCIAL.....................................................33
CONSIDERAÇÕES FINAIS..........................................................................................................................................34
REFERÊNCIAS BIBLIOGRÁFICAS.............................................................................................................................38
INTRODUÇÃO
O objetivo do presente trabalho é apresentar alguns pontos básicos sobre a
teoria do silogismo, originalmente concebida por Aristóteles, com ênfase em
dois métodos de avaliação possíveis para os silogismos, a saber, o método de
redução à primeira figura, concebido pelo próprio autor, e o método dos
diagramas, concebido no séc. XIX por John Venn e posteriormente
aperfeiçoado. Abordaremos o tema desde uma perspectiva geral, mas com
foco nos princípios ou regras relativas aos termos gerais das proposições que
ocupam o lugar de sujeito e predicado (pois serão eles que serão
representados através dos diagramas), aos quantificadores universais e
particulares e ao modo como as chamadas proposições categóricas se
relacionam através do quadrado de oposições. O objetivo final será comparar o
modo como Aristóteles determinava a validade de um argumento em forma
silogística com o modo simplificado dos diagramas de Venn.
Para alcançar estes objetivos, o trabalho será dividido em três capítulos.
No primeiro será apresentada a teoria de Aristóteles, do modo como ficou
conhecida (o que, de certa forma, já está para além do que o autor escreveu,
pois incorpora contribuições de pensadores medievais e posteriores) com
vistas a permitir o entendimento de como se pode determinar a validade de
argumentos silogísticos. Serão apresentadas ainda as formas válidas de
argumentos silogísticos, tais como catalogadas no medievo, as quais serão
apresentadas na seção seguinte no formato silogístico.
No segundo capítulo, será a vez da abordagem diagramática à teoria do
silogismo. Será mostrado como representar as proposições em seus diferentes
modos; as regras de conversão de proposições; e também a representação
diagramática para o silogismo como um todo, juntamente com a técnica que
permite testar a validade de um silogismo.
No terceiro e último capítulo, o método diagramático será contraposto ao
método de redução à primeira figura, defendido por Aristóteles. Sem diminuir a
importância da metodologia original, relativamente aos propósitos do autor,
pretende-se ressaltar a facilidade de compreensão e de execução da
metodologia diagramática. Espera-se, por fim, poder argumentar em favor do
aspecto heurístico que o sistema diagramático apresenta com relação ao
método de redução à primeira figura.
Ao fim, terá ficado pelo menos sugerido o quanto o teste através de
diagramas representa mais fielmente a noção de dedução apresentada pelo
próprio Aristóteles, de acordo com a qual uma dedução é algo que surge quase
que espontaneamente uma vez que sejam estabelecidos certos dados. Não se
pretende com isso dizer que a noção de redução à primeira figura fosse
primariamente destinada a representar o que Aristóteles chamou de dedução.
De fato, o que parece estar em jogo é uma forma de comprovar que a dedução
de fato é válida, pois a redução só é feita como um método de comprovação.
Um aspecto interessante para os propósitos deste trabalho,é o quanto os
diagramas podem ser vistos como desempenhando ambos os papéis. Longe
de desafiar a teoria tradicional do silogismo, pretende-se aqui apresentá-la
desde uma perspectiva diferente.
CAPÍTULO 1: A SILOGÍSTICA
Aristóteles expõe seu pensamento sobre o conhecimento científico,o que
poderia ser de certo modo sinônimo, sobre o conhecimento dedutivo, em suas
obras intituladas Analíticos Anteriores e Analíticos Posteriores, os quais foram
mais tarde reunidos em uma série de livros reunidos sob o título Organon, que
em grego significa “instrumento”, ou “ferramenta”. Neste trabalho vamos nos
basear no tema exposto nos Analíticos Anteriores. Este livro analisa justamente
o que Aristóteles chama de silogismo, nele estão contidos os detalhes daquilo
que se passou a chamar de dedução.
Aristóteles define silogismo como “uma locução em que, uma vez que
certas suposições sejam feitas, alguma coisa distinta delas se segue
necessariamente devido à mera presença das suposições como tais”.1
Também podemos citar a leitura da definição aristotélica que se faz presente
no livro O Desenvolvimento da Lógica, de Willian e Martha Kneale: “uma
inferência na qual, se certas proposições se afirmam, qualquer coisa de
diferente do que é afirmado nelas se segue necessariamente”2. Ou seja, um
silogismo, que em grego significa originalmente “dedução”, é a conexão de
enunciados, sentenças ou proposições, de tal modo que uns surgem como
consequência a partir da mera suposição dos demais.
O silogismo possui três proposições declarativas que se conectam entre
si e de tal modo que das duas primeiras concluímos a terceira. Tais
proposições contém, cada uma, dois conceitos (ou termos), um na posição de
sujeito da proposição e o outro na posição de predicado. Além destes termos,
comparecem nas proposições a cópula (o verbo “ser”), um quantificador
(universal ou particular) e eventualmente uma partícula negadora, caso a
proposição seja negativa.
O termo sujeito é como se chama o primeiro termo que é justamente de
que se fala e o termo predicado é como se chama o segundo nas proposições
silogísticas, ou seja, o que é dito a respeito do sujeito. Podem ocupar a posição
de sujeito e predicado das proposições categóricas apenas termos gerais
(conceitos). Na lógica silogística representam-se os termos gerais por letras
1 Cf. Aristóteles, 2010, p. 112. (24b10)2 Cf. Kneale & Kneale, 1962, p. 69.
maiúsculas, permanecendo os quantificadores, a cópula e a partícula de
negação em linguagem natural. No lugar das letras, tem-se originalmente, em
um argumento em linguagem natural, conceitos como “homem”, “mortal”,
“filósofo”, etc.
As proposições consideradas por Aristóteles são aquelas classificadas
como categóricas. Segundo o livro O Desenvolvimento da Lógica, as
proposições foram chamadas assim porque categorizam objetos ou seres. Elas
são divididas em proposições universais e proposições particulares, afirmativas
e negativas. As proposições universais descrevem o todo de uma determinada
categoria, enquanto que as particulares de apenas alguns elementos dela.
Existem quatro tipos de proposições categóricas:
Universal Afirmativa (A): Todo A é B
Universal Negativa (E): Nenhum A é B
Particular Afirmativa (I): Algum A é B
Particular Negativa (O): Algum A não é B
A forma universal afirmativa é definida como todo o conjunto possui uma
determinada característica, o formato lógico será: “Todo A é B”. Quando
dizemos “Toda borboleta é bonita”, dizemos que a classe das borboletas está
incluída na classe das coisas bonitas. A proposição universal afirmativa possui
outras expressões em linguagem natural, tais como: “Quem é borboleta é
bonita”, “Qualquer borboleta é bonita”, “Só existe borboleta bonita”, “As
borboletas são bonitas”, etc.
Sobre as universais negativas, a ideia é que nenhum elemento de um
determinado conjunto é pertencente a outro determinado conjunto. Ela tem
como formato: “Nenhum A é B”. Em linguagem natural se pode exemplificar a
proposição universal negativa em declarações como: “Nenhum ser humano é
verde”, “O ser humano não é verde”, “Só existe ser humano que não é verde”,
“Quem é ser humano não é verde”, etc.
Nas proposições particulares algum elemento pode se encontrar ou não
numa referida categoria, como por exemplo: “Algum número é primo entre o
intervalo de 1 a 10”. “Alguma pessoa é cega”, etc. Na lógica, os quantificadores
existenciais, que aparecem através da partícula “Algum” na linguagem natural,
devem ter interpretação sobre algum elemento do grupo.
A particular afirmativa terá o formato “Algum A é B” e significa que algum
elemento se encontra, ao mesmo tempo, em duas categorias (a saber, as que
formam o sujeito e o predicado da proposição em questão). As formas de
interpretação destas proposições na linguagem natural são: “Há seres
humanos loiros”, “Existem seres humanos loiros”, “Pelo menos um ser humano
é loiro”, dentre outras formas.
Por último, as proposições particulares negativas afirmam que um
determinado elemento de uma classe não é elemento de outra. A forma da
proposição particular negativa é “Algum A não é B”, por exemplo, “Algum ser
humano não é loiro”
1.1 - QUADRADO DE OPOSIÇÕES
O quadrado de oposições tem sua origem de forma obscura mas é aceito que
Boécio lhe deu a forma final. As proposições categóricas podem ser
organizadas de acordo com as relações que possuem com as demais. Tais
relações podem ser mostradas no esquema a seguir:
AUniversal Afirmativa
EUniversal Negativa
IParticular Afirmativa
OParticular Negativa
Ele relaciona as formas lógicas entre si. As sentenças declarativas
categóricas: A (Universal Afirmativa), I (Particular Afirmativa), E (Universal
Negativa) e O (Particular Negativa). Elas possuem as seguintes relações
lógicas entre si:
a) A e E são contrárias, ou seja, não podem ser ambas verdadeiras,
mas podem ser ambas falsas. I e O são sub-contrárias, no sentido de
que podem ser ambas verdadeiras, mas não podem ser ambas falsas;
b) Os pares A e O, e E e I são compostos de proposições
contraditórias, ou seja, em cada par, se uma é verdadeira a outra é
falsa, e vice-versa;
c) I e O são subcontrárias, ou seja, podem ser as duas verdadeiras,
porém, não podem ser em conjunto falsas.
d) A para I e de E para O são subcontrárias (se a primeira for
verdadeira a segunda também será, se a segunda for falsa a primeira
também será).
Uma proposição particular afirmativa, ou uma universal negativa, pode
ter seus termos sujeito e predicado invertidos, sem perder o valor de verdade:
“Nenhum S é P” se converte em “Nenhum P é S”; do mesmo modo, “Algum S é
P” se converte em “Algum P é S”. Isso é chamado conversão simples. Uma
proposição universal afirmativa pode ser transformada em uma particular
afirmativa, invertendo os termos sujeito e predicado (“Todo S é P”, se converte
em “Algum P é S”). Esse tipo de procedimento é chamado por conversão por
acidente.
1.2 - SILOGISMO CATEGÓRICO
Como já foi dito anteriormente o silogismo é formado através de duas
premissas e após elas uma conclusão (todas as três sendo proposições
categóricas). Elas devem envolver três termos, ou conceitos: um deles será o
sujeito da conclusão (e será chamado termo menor); o outro será o predicado
da conclusão (e será chamado termo maior); e o terceiro aparecerá como
sujeito ou predicado nas duas premissas, mas não aparecerá na conclusão
(este será o termo médio, que ligará os outros dois termos). Um silogismo em
formato padrão, e formalizado, terá a seguinte estrutura:
Todo M é P
Todo S é M
Todo S é P
As duas proposições acima do traço representam as premissas, e a
proposição abaixo do traço representa a conclusão. De acordo com o que foi
visto, pode-se notar que a premissa maior aparece em primeiro lugar, e a
menor em segundo. A ordem das premissas é irrelevante.
Anteriormente, as definições de Aristóteles sobre silogismo, a cerca das
formas de argumentos válidos ou não, existiam apenas como forma intuitiva de
resolver problemas relacionados às ciências de forma geral e na filosofia. Antes
de ele criar o argumento lógico não se dava tanta importância para a análise de
fatos e versões de serem verdadeiros ou não. Aristóteles por sua vez viu o
potencial que o argumento lógico poderia ter em sua totalidade, pois poderia
contribuir com a filosofia sobre as formas de argumentação válida ou não, para
ele, poderia, de certa forma, ser um meio de contribuição para o conhecimento
cientifico. Aristóteles, se baseou na geometria, e observou que a ciência
necessitava de provas para existir, nesse caso teríamos o silogismo de provas.
Para Aristóteles era necessário a sequência de verdades lógicas para
daí sim, haver algum tipo de contribuição à ciência. Porém, isso só seria
possível se houvessem premissas verdadeiras e que não pudessem ser
demonstradas e que, a partir delas, teríamos demonstrações eficazes. Para
Aristóteles o silogismo tem várias divisões mas a que é mais fundamental é o
silogismo categórico, que também é chamado :demonstrativo, cientifico ou
universal o qual possui apenas premissas prováveis. A teoria mais antiga
referente ao silogismo é o chamado silogismo dedutivo categórico sendo
demonstrado pelo próprio Aristóteles, ele é composto em seu principio, como
foi supracitado, por proposições sendo elas compostas por termos.
O silogismo propriamente dito é uma espécie de argumento de dedução,
que está subdividido em proposições do tipo: A, E, I e O. Entretanto, a teoria de
Aristóteles também fala sobre a teoria de conversão que define-se por: o
predicado pode ser sujeito na conclusão. O silogismo categórico tem como
definição que o todo argumento precisa se encaixar nos seguintes pré-
requisitos:
Premissa maior: onde aparece o termo maior e o termo médio;
Premissa menor: termo menor e o termo médio;
Termo maior: predicado da conclusão;
Termo menor: sujeito da conclusão;
Termo médio: devemos o encontrar em todas as premissas, exceto, na
conclusão.
A distribuição de termos é o que leva em consideração os termos da
proposição conforme estejam sendo considerados em sua extensão total. Um
termo será distribuído se fizer referência a todos os membros pertencentes a
uma determinada classe, e, pelo contrário, não será distribuído se não faz
referência a todos os membros. Quando se diz “Todo homem é mortal”, por
exemplo, se deve levar em conta todos os homens, pois se diz de todos eles
que estão incluídos na classe dos mortais. A classe dos mortais, por sua vez,
não precisa ser considerada em toda a sua extensão, afinal há outras coisas
que são mortais e não são homens, e que não necessitam ser levadas em
consideração para que se compreenda a proposição. Este termo, portanto, não
está distribuído. A distribuição do termo sujeito acontece referente às
proposições das classes A e E, e não acontece referente a I e O. Os Termos
predicados serão distribuídos nas proposições dos tipos E e O, contrariamente
eles não serão distribuídos nas proposições das classes de A e I.
Sujeito Predicado
A Distribuído Não Distribuído
E Distribuído Distribuído
I Não Distribuído Não Distribuído
O Não Distribuído Distribuído
No seguinte exemplo “Todo homem é bom” temos o referido termo
sujeito dessa proposição “homem” e o seu termo predicado “é bom”, leva-se
em consideração que o termo “homem” está distribuído. Um termo para se
estar distribuído precisa que se tenha todos os subtipos de sua classe, ”Todo A
é B” mas nem “Todo B é A”.
1.2 - FIGURAS SILOGÍSTICAS
De acordo com a posição do termo médio nas premissas, temos a
possibilidade de determinar uma figura, na terminologia aristotélica, para o
silogismo. As formas válidas da 1º figura não precisam de demonstração. Para
as demais (2ª, 3ª e 4ª figuras) será necessária a transformação, pelas regras
de conversão das premissas, em uma forma condizente com a primeira figura.
O autor previa apenas a necessidade de 3 figuras silogísticas, mas os autores
medievais acabaram introduzindo também, para completar o quadro com
relação à posição do termo médio nas premissas, uma quarta figura, tal como
descrito abaixo:
1ª Figura
Termo Médio – Predicado
Sujeito – Termo Médio
Sujeito – Predicado
O termo médio é sujeito na maior e predicado na menor
2ª Figura
Predicado – Termo Médio
Sujeito – Termo Médio
Sujeito – Termo Predicado
Nesta segunda figura ele é predicado nas duas premissas
3ª Figura
Termo Médio – Predicado
Termo Médio – Sujeito
Sujeito – Predicado
O termo médio é sujeito nas duas premissas
4ª Figura
Predicado – Termo Médio
Termo Médio – Sujeito
Sujeito – Predicado
Nesta quarta o predicado na maior e sujeito na menor
A primeira figura é dita como perfeita e os silogismos válidos neste
formato não precisam de demonstração ou quaisquer modificações para que
tenham sua validade reconhecida. Ao contrário, as demais formas válidas nas
outras figuras devem se reduzir às da primeira para ter a validade dos
silogismos demonstrada. Vindo dos escolásticos a ideia de palavras fictícias e
em formato de versos para sintetizar as 19 formas válidas do silogismo que nas
quatro figuras:
Na figura 1 temos: bArbArA; cElArEnt; dArII; e fErIO.
Na figura 2: cEsAre; cAmEstrEs; fEstInO; bArOkO;
Na figura 3: dArAptI; dIsAmIs; dAtIsI; fEIAptOn; bOkArdO; fErIsOn.
Na figura 4: brAmAntIp; cAlEmEs; dImAtIs; fEsApO; frEsIsOn.
Essas palavras são originalmente formadas desse modo e irredutíveis
no que se reporta entre elas. Eles definem cada uma delas um significado
diferente. O motivo principal de elas existirem é a função da memorização. Elas
serviriam, por exemplo, da primeira para mostrar as propriedades, da segunda
diferenciação de outras.
1º Figura AAA EAE AII EIO
2º Figura EAE AEE EIO AOO
3º Figura AAI IAI AII EAO OAO EIO
4º Figura AAI AEE IAI EAO EIO
A primeira figura possui validade “óbvia”. Comparando a todas as
demais ela é a única na qual as formas válidas de silogismo não necessitam de
um processo de redução para que se tenha validade comprovada. A validade
de um modo válido em segunda figura, por exemplo Cesare, deverá ser
demonstrada, por meio de um processo de troca de lugares dos termos do
silogismo de modo que o termo médio compareça como o sujeito da premissa
maior, e predicado da menor. Assim, a referida demonstração seria:
1. Nenhum P é M
2. Todo S é M / (Nenhum S é P – conclusão almejada)
3. Nenhum M é P (de 1, por conversão simples)
4. Todo S é M (de 2, por reiteração)
5. Nenhum S é P (de 3,4 por Celarent).
Pode-se notar que o processo chamado de redução à primeira figura
acontece nas linhas 3 e 4, onde, por conversão simples da primeira premissa e
reiteração da segunda, se obteve um modo da primeira figura, com premissas
universais negativa e afirmativa, respectivamente. Ou seja, obteve-se uma
instância de Celarent, que é um modo válido em primeira figura e portanto não
precisa de justificação.
Das quatro proposições (A,E,I,O), juntamente com a posição do termo
médio no silogismo, obtém-se por combinação exatamente 256 maneiras de se
estruturar um silogismo. No entanto em sua grande maioria essas formas são
explicitamente inválidas (por serem redundantes, por não vincularem os
termos, etc.). Levando-se em conta algumas restrições sobre a composição do
silogismo, tais como as referentes à natureza das premissas (que se uma
premissa for particular, a conclusão também o será; que pelo menos uma
premissa deve ser universal; que pelo menos uma premissa, tem que ser
afirmativa e que se uma premissa for negativa é preciso que a conclusão
também seja; etc.) Dos modos não “degenerados”, temos 64 maneiras
diferentes de combinações, porém, apenas 19 são realmente válidas,
distribuídas em quatro diferentes figuras de acordo como os já mencionados
termos maior, menor e médio, fazem parte das premissas e da conclusão.
Uma restrição importante do sistema aristotélico é a proibição do uso de
conceitos que não se aplicam a nenhum objeto, ou, em outras palavras, de
classes vazias. A definição da classe vazia é uma classe sem nenhum
elemento, por exemplo: “Seres humanos com mais de 4 metros de altura”. Se
forem eliminadas as classes vazias não vamos encontrar, no sistema original
de Aristóteles, formas de silogismos que seriam hoje consideradas inválidas,
mas que para Aristóteles eram válidas. Não podemos confirmar nada a respeito
de qualquer elemento que esteja relacionado às classes que são vazias. Em
suma, não podemos afirmar algo que não temos conhecimento.
Para Aristóteles, quando dizemos “Todo homem é mortal” estamos
afirmando que o conjunto referente a “homem” é um subconjunto daquele
referente aos mortais. Mas, além disso, nos comprometemos com a existência
de homens. Por esta razão, as proposições particulares são consideradas pelo
autor como subalternas às universais, no sentido de que, se a universal é
verdadeira, a particular também será (observado o caso de serem ambas de
mesma qualidade, isto é, ambas afirmativas ou ambas negativas). Isso é o que
se costuma chamar de pressuposto existencial ou compromisso existencial da
silogística aristotélica.
Pelo que foi exposto, podemos notar a importância do trabalho de
Aristóteles no que diz respeito à criação do primeiro sistema dedicado a
descobrir e classificar as formas válidas de raciocínio. Vimos, no entanto, que
muitos detalhes por vezes dificultam uma compreensão imediata dos meios de
se testar a validade de silogismos. O que veremos na sequência será um
método alternativo a este, no qual o teste de validade é executado de uma
maneira mais intuitiva.
CAPÍTULO 2: DIAGRAMAS PARA A SILOGÍSTICA
A maneira como Aristóteles estabeleceu o teste de validade de um silogismo
pode ser vista como um tanto obscura, no sentido de eleger uma figura como
tendo sua conclusão se seguindo obviamente das premissas, e as demais
como necessitando serem reduzidas àquela. Analisando-se mais de perto,
pode-se questionar tanto a obviedade da primeira figura, quanto a falta de
obviedade das demais. Por volta do século XVIII, de acordo com Gergonne3,
apenas algumas academias góticas ensinavam a silogística à moda
aristotélica. É neste contexto que, por inspiração de Leibniz, que pensou em
modos geométricos de apresentar as relações lógicas entre as proposições,
autores como Euler, o já mencionado Gergonne, e mais tarde Venn e Carroll,
desenvolveram sistemas diagramáticos para a silogística de Aristóteles4. Neste
capítulo será apresentada uma versão dos diagramas de Venn para a
silogística, por ser esta uma das maneiras mais simples de se testar a validade
de silogismos categóricos. Embora possa divergir em alguns pontos da versão
original, tais divergências podem ser consideradas melhorias.
2.1. O QUADRADO DE OPOSIÇÕES COM DIAGRAMAS
O sistema diagramático que será apresentado utiliza círculos para representar
os conceitos (ou termos) envolvidos. Assim, para cada proposição categórica
precisamos de dois círculos, um representando cada um dos conceitos
envolvidos. Os círculos devem conter uma região em comum, a fim de que
todas as relações possíveis (exclusão total, inclusão total, e exclusão e
inclusão parciais) possam ser representadas. As quatro proposições
categóricas ganham as seguintes configurações.
3 Cf. Kneale & Kneale, 1962, p. 355.4 Cf. op. cit., pp 345-357.
Todo S é P Nenhum S é P
Algum S é P Algum S não é P
As relações entre as proposições, estabelecidas no quadrado de
oposições, podem ser agora melhor entendidas:
a) A e E não podem ser ambas verdadeiras, pois isso implicaria que o
diagrama que representa o termo sujeito ficaria completamente sombreado, o
que significaria que este termo é vazio, o que, como vimos, é algo proibido na
silogística aristotélica.
I e O podem ser ambas verdadeiras, e seus diagramas combinados
deixam claro esta possiblidade:
b) Nos pares A e O, e E e I, se uma é verdadeira a outra é falsa, e vice-
versa, o que fica claro no diagrama em virtude de a marcação de
ambas simultaneamente exigiria uma sobreposição de marcações, o
que não é permitido:
c) I e O podem ser ambas verdadeiras, como se pode ver:
d) Os pares A e I, e E e O são tais que se a primeira for verdadeira a
segunda também será
Como se pode ver, os diagramas podem servir como um facilitador na
compreensão das relações entre os termos tais como as proposições
categóricas as apresentam.
2.2. DIAGRAMAS PARA OS SILOGISMOS CATEGÓRICOS
Para o teste de validade de silogismos, serão necessários três círculos,
parcialmente sobrepostos de tal modo que haja uma região exclusiva de cada
círculo, regiões de intersecção para cada dois círculos, exclusivamente, e uma
região de intersecção dos três círculos. O teste consistirá em lançar no
diagrama as marcações relativas às premissas, e verificar se, com isso, a
marcação que seria referente à conclusão fica automaticamente estabelecida,
justamente no espírito da definição aristotélica segundo a qual a conclusão
surgiria pelo simples fato de as premissas serem como são.
A seguir, serão apresentadas as 15 formas válidas que não dependem
de compromisso existencial. As quatro formas restantes serão apresentadas na
seção seguinte.
As figuras abaixo representam os diagramas da primeira figura. Segundo
Aristóteles somente essa figura era dita como perfeita pois não precisava de se
adequar a outros tipos para ter a validade da conclusão demonstrada.
Barbara é constituída de proposições universais e afirmativas. É a única
dentre todas que acumula essa característica5.
Celarent é formada, respectivamente, por duas premissas universais das
quais uma é negativa e a outra é afirmativa e de uma conclusão universal
negativa
Darii existe apenas uma universal afirmativa, que é uma das regras do
silogismo categórico, e uma premissa particular afirmativa e a conclusão
também a sendo.
5 Este diagrama e os que o seguem foram retirados do site http://markmcintire.com/phil/validforms.html visitado em 10 de junho de 2016.
Ferio possui a única proposição/conclusão que é particular negativa
inserida na primeira figura e suas premissas são universal negativa e particular
afirmativa.
A segunda figura é representada pelos diagramas seguintes:
Cesare é composta por duas premissas universais sendo uma negativa
e outra afirmativa e sua conclusão é universal negativa.
Camestres é formado por duas premissas universais uma afirmativa e
outra negativa e sua premissa universal negativa ela é idêntica a figura da
quarta figura Camenes.
Festino suas premissas são formadas por uma universal negativa e
outra particular afirmativa e sua conclusão é obrigatoriamente particular
negativa
Baroco formado por uma universal afirmativa e uma particular negativa
sua conclusão é também particular negativa. Seu diagrama é assim
representado:
Os diagramas referentes a terceira figura são os seguintes
Disamis representado por uma premissa particular afirmativa e a
segunda sendo universal afirmativa sua conclusão é, assim como a primeira
premissa, particular afirmativa. Segue abaixo seu diagrama:
Datisi formado por uma premissa universal afirmativa e outra particular
afirmativa com sua conclusão também o sendo.
Bocarco formado, respectivamente, por uma premissa particular
negativa e outra universal afirmativa e sua conclusão é particular
negativa,segue abaixo a configuração de seu diagrama:
Ferison formada por uma premissa particular negativa e outra particular
afirmativa e sua conclusão particular negativa.
Na quarta e última temos as seguintes:
Camenes formada por uma premissa universal afirmativa e sua segunda
premissa universal negativa seguindo sua conclusão que também é.
Dimatis formada por uma premissa particular afirmativa e outra universal
afirmativa sua conclusão segue como particular afirmativa.
Fresison formada por uma premissa universal negativa e outra particular
afirmativa e a conclusão particular negativa
Nos casos acima apresentados, a conclusão fica diagramada tão
somente pela mera diagramação das premissas, enquadrando-se assim na
definição aristotélica de dedução, ou silogismo. Para os casos que envolvem o
compromisso existencial, todavia, algumas considerações adicionais são
necessárias para que se consiga “enxergar” a conclusão a partir da mera
diagramação das premissas.
2.3. DIAGRAMAS PARA SILOGISMOS COM COMPROMISSO EXISTENCIAL
Nos casos em que o silogismo é válido em função de depender das relações
de subalternação, ou de compromisso existencial, a interpretação do diagrama
não se dará de modo tão automático quanto se apresentou acima. Com efeito,
a marcação de um “x” em alguma área do diagrama não poderia aparecer na
conclusão sem que tivesse surgido antes nas premissas. Ora, este é
justamente o caso dos silogismos com premissas universais e conclusão
particular.
Nestes casos, devemos apelar para a própria teoria de Aristóteles no
que diz respeito ao requisito de que todo termo deva possuir objetos que
pertençam a ele. Assim sendo, os diagramas dos silogismo com compromisso
existencial só podem ser aceitos porque neles resta apenas uma área de um
determinado termo. Ora, se este termo deve possuir objetos, ali naquela área
deve poder ser marcado um “x” que represente tal objeto, e neste caso, o
silogismo poderá ser considerado válido.
Abaixo seguem os diagramas destes casos especiais
Aristóteles contabilizava como válidas quatro formas válidas além das já
citadas, as quais, porém, modernamente não são aceitas. Seguem abaixo as
que estão inseridas nesse contexto. Na terceira figura temos Darapti e
Felapton, respectivamente:
As que estão presentes na quarta figura estão representadas no
diagramas abaixo, respectivamente, Bramantip e Fesapo:
Somando essas quatro formas válidas às 15 apresentadas
anteriormente, tem-se ao todo as 19 formas válidas consideradas por
Aristóteles.
CONSIDERAÇÕES FINAIS
Comparando o sistema apresentado por Aristóteles tinha como objetivo a
classificação das formas válidas de raciocínio silogístico, mas também
almejava ser um sistema dedutivo no sentido de eleger como básica uma
determinada parte sua, e fazer com que toda a forma válida de raciocínio seja
mostrada como se reduzindo àquela parte básica. Isso pode ser confirmado
nos primeiros livros dos Analíticos Posteriores, onde o autor define ciência
demonstrativa, e argumenta em favor da necessidade de uma base não
demonstrada a partir da qual toda uma sequência de verdades pode ser
demonstrada – uma vez que a demonstração não pode retroceder ao infinito6.
Não é objetivo deste trabalho questionar a autoridade de Aristóteles,
mas apenas salientar as peculiaridades de outro sistema, que pode ser
considerado também formal, em certo sentido, no que diz respeito à sua
adequação ao tema bem como à definição de conhecimento por dedução.
Como já foi dito, Aristóteles pretendia que todo silogismo válido fosse
demonstrado como equivalente a algum dos modos válidos da primeira figura.
Isto porque, talvez, é esta figura a única capaz de fornecer conclusões de todos
os tipos de proposições categóricas. Isso, no caso dos diagramas de Venn,
mostra-se desnecessário, uma vez que a constatação da validade do silogismo
é, por assim dizer, imediata. Isto pode ser visto como uma vantagem, mas
também pode ser um entrave no que diz respeito à compreensão dos
mecanismos de transformação das proposições categóricas.
Ao fazer uma demonstração ao estilo de Aristóteles, se fica mais atento
aos procedimentos formais e à sequência de passos necessária para alcançar
a conclusão almejada. Por outro lado, é possível que o caminho não seja tão
claro, e o teste de validade, no caso de silogismos inválidos, pode se tornar um
desafio tedioso. Os diagramas, por sua vez, apresentam certas
correspondências com as proposições, como ficou claro na seção 2.1. E tais
correspondências podem indicar uma relação mais estreita ainda entre o
método aristotélico e o dos diagramas de Venn.
Pode-se notar, por exemplo, que muitos diagramas possuem
características semelhantes, podendo ser considerados idênticos quanto à
6 Aristóteles 2009, pp. 251-268.
marcação de sombreamentos e cruzes (ignorando-se os termos S, M e P). Este
é o caso, por exemplo, de Celarent e Cesare; de Ferio, Festino, Ferison e
Fresison; e de Darii, Datisi, entre outros. Como é sabido, os modos que
recebem nomes com a mesma letra inicial se reduzem àquele modo que
começa com a referida letra, na primeira figura (por exemplo, Festino, Fresison
e Ferison se reduzem a Ferio).
Talvez modificações na disposição do diagrama (giros no sentido horário
ou anti-horário; ou giros sobre o eixo do diagrama) possam levar uma
configuração dada a corresponder com um diagrama de forma válida na
primeira figura, e tais procedimentos poderiam ser vistos como análogos das
transformações que ocorrem nos passos da prova (conversões) ao estilo
aristotélico.
O estudo de tais aspectos, contudo, extrapola os objetivos deste
trabalho, constituindo, portanto tema de interesse para desenvolvimentos
futuros.
Se por um lado Aristóteles apresenta a lógica silogística com suas figuras
silogísticas e suas regras, por outro lado, temos os diagramas que facilitam
muito sua compreensão, retirando as dificuldades que pairam sobre este
assunto e que muitas vezes são tidas como barreiras intelectuais para muitos.
Com o método dos diagramas pode-se ressaltar uma das muitas
facilidades que a lógica representa em termos práticos, bem como que ela
apenas precisa de um olhar prático e preciso para que uma determinada
questão que nos é imposta seja resolvida.
Para Aristóteles era necessário a sequência de verdades, a partir de
verdades assumidas sem demonstração, para de fato se ter algum tipo de
conhecimento científico (que para ele era sinônimo de conhecimento
demonstrativo). Porém, isso só seria possível se houvessem premissas
verdadeiras e que não pudessem ser demonstradas e que, a partir delas,
teríamos demonstrações. Estes aspectos não são relevantes desde um ponto
de vista diagramático, pois, como foi visto, os diagramas possuem um certo
caráter imediato, no sentido de serem apresentados de uma só vez. Todavia,
tal caráter é apenas aparente, já que o preenchimento do diagrama também
segue uma sequência de passos. O que se torna de fato irrelevante para os
diagramas são as figuras a que as formas válidas pertencem (estas, sim, não
corresponderiam diretamente a nenhum aspecto diagramático).
Finalmente, deve-se reconhecer que, mais que um recurso meramente
heurístico, os diagramas de Venn podem ser vistos como um sistema formal
em sentido próprio, e as correspondências com o sistema formal que lhe deu
origem (a silogística) talvez possam ser mapeadas e sistematizadas de
maneira completa. É possível, pelo que foi visto, ampliar a noção de sistema
formal, bem como a de dedução. A adequação do sistema dos diagramas à
definição aristotélica de dedução, aliás, foi salientada desde o início e ao longo
deste trabalho.
REFERÊNCIAS BIBLIOGRÁFICAS
ARISTÓTELES. Organon. BINI, Edson (Org.). Bauru (São Paulo): Edipro, 2010
KNEALE, Willian; KNEALE, Martha. O Desenvolvimento da Lógica. Lisboa:
Fundação Calouste Gulbenkian, 1991.
LIARD, L. Lógica. São Paulo: Ed. Nacional, 1968.